PERSAMAAN, DAFTAR CAYLEY YANG DIPERLUAS dan SEMIGRUP TUJUAN • Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah struktur aljabar, grupoid, semigrup, monoid, kuasigrup dan loop Cakupan – Persamaan kiri dan kanan – Daftar Cayley yang diperluas – Semigrup Persamaan Kiri dan Kanan • Suatu grupoid (G,) memenuhi persamaan kiri jika xa = b selalu mempunyai jawab untuk setiap a,b G. • Suatu grupoid (G,) memenuhi persamaan kanan jika ax = b selalu mempunyai jawab untuk setiap a,b G. • Untuk grupoid yang komutatif, jika memenuhi persamaan kiri, maka pasti memenuhi persamaan kanan. Juga sebaliknya. Mengapa? Contoh: • Beri contoh-contoh grupoid yang memenuhi persamaan kiri dan kanan. • Beri contoh-contoh grupoid yang tidak memenuhi persamaan kiri dan kanan. Teorema • Jika dalam grupoid yang memenuhi pencoretan kiri, persamaan ax = b dapat dipecahkan, maka jawabnya tunggal. • Jika dalam grupoid yang memenuhi pencoretan kanan, persamaan xa = b dapat dipecahkan, maka jawabnya tunggal. Hati-hati • Grupoid yang memenuhi pencoretan kiri tentu memenuhi persamaan kanan. • Grupoid yang memenuhi pencoretan belum tentu memenuhi persamaan kiri. • Grupoid yang memenuhi persamaan belum tentu memenuhi pencoretan kiri. • Grupoid yang memenuhi persamaan kiri tentu memenuhi pencoretan kanan. belum kanan kanan belum Contoh: • Himpunan bilangan asli dengan perkalian memenuhi pencoretan kiri dan kanan, tapi tidak memenuhi persamaan kanan dan kiri. • Grupoid bilangan asli dengan operasi “” sbb: xy = x-y untuk xy dan xx = 1. Grupoid memenuhi persamaan kiri dan kanan, tetapi tidak memenuhi hukum pencoretan kanan dan kiri. Tetapi….. • Bila grupoid tersebut berhingga, maka pencoretan kiri persamaan kanan dan pencoretan kanan persamaan kiri. Ciri persamaan kiri dan kanan • Apa ciri grupoid yang memenuhi persamaan kanan dilihat dari tabel Cayley? • Apa ciri grupoid yang memenuhi persamaan kiri dilihat dari tabel Cayley? Semigrup • Semigrup (G,) adalah himpunan tak kosong dengan operasi “” yang bersifat: – Tertutup terhadap operasi “” – Asosiatif, (xy)z = x(yz) untuk setiap x,y,zG. • Beri contoh-contoh semigrup dan yang bukan semigrup. Penutup – Persamaan kiri dan kanan: ax=b dan xa=b punya jawab – Daftar Cayley dapat diperluas untuk sistem tak berhingga – Semigrup: sistem yang tertutup dan asosiatif
© Copyright 2024 Paperzz
