MONOID, INVERS,
KUASIGRUP dan LOOP
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat membuktikan
bahwa suatu sistem adalah struktur
aljabar, grupoid, semigrup, monoid,
kuasigrup dan loop
Cakupan
– Monoid
– Invers dalam monoid
– Kuasigrup
– Loop
MONOID
• Monoid (G,) adalah himpunan tak kosong
dengan operasi “” yang bersifat:
– Tertutup terhadap operasi “”
– Asosiatif, (xy)z = x(yz) untuk setiap
x,y,zG
– Ada
unkes
(kiri=kanan=e),
sehingga
xe=ex=x, untuk setiap xG
– Beri contoh-contoh monoid dan yang bukan
monoid
• Monoid dapat bersifat komutatif (abelian)
atau pun tidak komutatif (non-abelian).
Invers/Regulir
• (M,) monoid dengan unkes = e disebut:
– Regulir kiri = punya invers kiri, jika untuk
setiap xM ada elemen x′G, sedemikian
sehingga x′x=e.
– Regulir kanan = punya invers kanan, jika
untuk setiap xM ada elemen x′G,
sedemikian sehingga x  x′ =e.
– Regulir = punya invers, jika untuk setiap xM
ada elemen x′G, sedemikian sehingga
x′x = xx′ = e.
GRUP
• Grup adalah himpunan tak kosong dengan
satu operasi  yang bersifat:
– Tertutup terhadap 
– Asosiatif untuk operasi 
– Mempunyai unkes
– Setiap elemen mempunyai invers (regulir)
• Grup yang komutatif disebut grup Abelian,
dan yang tidak komutatif disebut grup nonAbelian
Mana yang merupakan grup?
(sebut yang Abelian)
1.(N,+), (N,), (Z,+), (Z,), (Q,+), (Q,), (R,+),
(R,), (C,+), (C,), (2Z,+), (2Z,)
2.Himpunan matriks (22) bilangan bulat
dengan operasi penjumlahan matriks. Bila
dengan operasi perkalian matriks?
3.Himpunan matriks (22) bilangan riil
dengan operasi penjumlahan matriks. Bila
dengan operasi perkalian matriks?
Kuasigrup
• Suatu grupoid adalah kuasigrup jika dan
hanya jika setiap persamaan kiri dan
kanan dapat dipecahkan dengan jawab
tunggal.
• Mana yang kuasigrup?
– (C,+),(C,),(R,+),(R,),(R+,),(2Z,+),(Q,+),(Z,+)
– (C,), bila ab=a+b+ab
– (C,), bila ab=a2–b
Teorema
• Dalam kuasigrup berlaku pencoretan kiri
dan kanan.
• Grupoid berhingga adalah kuasigrup jika
dan hanya jika memenuhi pencoretan kiri
dan kanan.
• Jadi ciri tabel Cayley: setiap baris dan
kolom semua unsurnya berbeda.
Loop
• Adalah kuasigrup yang mempunyai unkes.
• Mana yang loop?
– (C,+),(C,),(R,+),(R,),(R+,),(2Z,+),(Q,+),(Z,+)
– (C,), bila ab=a+b+ab
– (C,), bila ab=a2–b
Penutup
– Monoid: sistem yang tertutup, asosiatif dan
mempunyai unsur kesatuan
– Invers dalam monoid: a1a=unkes, aa1
=unkes
– Kuasigrup: sistem yang tertutup dan setiap
persamaan kiri/kanan mempunyai jawab
tunggal
– Loop: kuasigrup yang mempunyai unkes

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download soal

download

download