P13(F2F)
Getaran merupakan ilmu yang banyak dipakai dalam
berbagai bidang pengetahuan lainnya seperti ;
bidang automotif , bidang instrumentasi , kelistrikan
dan lain-lain
.
Materi yang dibahas dalam pertemuan ini akan meliputi getaran harmonik sederhana , gaya pemulih ,
bandul matematis , bandul kompon dan getaran teredam . Aplikasi dari getaran ini di antaranya terdapat
dalam bidang teknik sipil (khususnya jembatan) ,
industri automotif , industri alat musik dan lain-lain
7/11/2017
1
Setelah menyelesaikan dengan baik mata kuliah ini
dan materi–materi sebelumnya mahasiswa diharapkan sudah mampu membuat dan menyelesaikan
model fisis dari masalah yang dihadapi khususnya
dalam bidang sistem komputer .
7/11/2017
2
1. Gerakan Harmonik Sederhana (GHS)
Dalam kehidupan sehari-hari , tanpa disadari kita di
kelilingi oleh benda-benda yang bergerak . Pada
umumnya gerakan ini ada dua macam , yaitu :
(1) Gerakan dimana benda berpindah dari satu
. tempat ke tempat yang lain sebagai fungsi
.. waktu seperti kereta api,kapal dan lain-lain .
… Gerakan benda yang demikian disebut translasi
…..dan ini telah dibahas dalam kinematika partikel
(2) Gerakan dimana benda melintasi suatu titik
…..tetap tertentu secara berulang seperti dawai
…..yang dipetik , gerakan permukaan air laut ,
…..gerakan bandul dan lain-lain . Gerakan demiki…..an disebut gerakan osilasi atau getaran .
7/11/2017
3
Dalam hal gerakan benda berulang dalam waktu
......yang sama maka gerakan benda tersebut disebut
... gerakan periodik atau gerakan harmonik sederhana
....
...
....
....
- Gaya pemulih
Tinjau gerakan massa m yang terhubung dengan
pegas dan bergerak diatas bidang datar tanpa
gesekan secara berulang melewati titik setimbang ,
karena pengaruh gaya pemulih FP
M
a
O
...
-A b A R
y = -A y = 0 y =A
N
7/11/2017
ab = bidang seimbang
massa m
= gaya pegas F
= gaya pemulih FP
4
...
Pada saat berada dalam kedudukan ab maka pada
massa m dikerjakan gaya pegas F yang besarnya :
F=ky
..
; k [N/m] = konstanta pegas
y [m]= simpangan sesaat benda
sehingga benda menyimpang sebesar y sedangkan
... gaya yang ingin mengembalikan benda ke titik setim
.... -bang adalah FP = - k y .
Kalau tarikan pada benda dilepas, berarti gaya F
.... lenyap sehingga gaya yang bekerja pada massa m
.... adalah FP = - k y
- Persamaan diferensial getaran harmonik(GHS)
Menurut hukum Newton II :
7/11/2017
5
d2y
M 2   ky
dt
...
FP = m a sedangkan FP = - k y maka :
m a = - k y ; a = d2y/dt2
sehingga
2
d y
m 2  ky  0 atau
dt
d2y
2
 y  0
2
dt
.............(01)
(persamaan diferensial ghs)
k
 
m
ω = kecepatan sudut
2
7/11/2017
.............(02)
6
ω = 2πf = 2π/T
..............(03)
f = frekuensi ; T = waktu getar
1
f 
2
....
....
k
m
dan T  2
m
k
.............(3a)
- Persamaan GHS
Apabila persamaan (01) diselesaikan akan diperoleh persamaan getaran harmonik sederhana
sebagai berikut :
y = Y sin (ω t + Φ0 )
Φ0 = fase awal
ω t + Φ0 = fase
7/11/2017
………..(04)
7
Percepatan sesaat benda :
a = - ω2 y
........(05)
Percepatan maximum benda :
amax = - ω2 A
..........(5a)
- Energi getaran harmonik sederhana
FP = ma → - k y = m dV/dt
V = kecepatan sesaat benda
...
..........(06)
dV/dt = (dV/dy) (dy/dt) = (dV/dy) V →
persamaan (06) menjadi :
m V dV + k y dy = 0
di integralkan menghasilkan
7/11/2017
8
2
1
1 2
mV  ky  E
2
2
....................(07)
½ m V2 = tenaga kinetik
½ k y 2 = tenaga potensial
E = tenaga total sistem
Pada titik setimbang y = o dan V menjadi Vmax
sehingga :
2E
Vmax 
.....................(08)
m
Kecepatan sesaat, V :
V  k m A y
2
7/11/2017
2
.......................(8a)
9
Pada saat simpangan y = ymax = A = Y , maka
V = 0 → dari pers. (07)
diperoleh :
A = | ymax | =
2E
k
…….(09)
Contoh soal 1 : Suatu benda bergetar secara
GHS, saat simpangannya
8 cm kecepatannya
2E
k
6 cm./det dan saat simpangannya 6 cm , kecepaannya 8 cm/det. Tentukanlah :
(a). ampllitudo, A , (b). frekuensi, f dan (c). waktu
getar,T .
Jawaban :
V1   A  y  6   A  8
2
7/11/2017
2
2
2
10
V2   A  y  8   A  6
2
2
2
2
Dari kedua persamaan diatas diperoleh :
a). Amplitudo = Y = 10 cm
b). Kecepatan sudut ω = 1 rad/det
c). WAktu getar T = 2π det
Contoh soal 2 : Massa M = 25 gr bergetar GHS
k = 400 dyne/cm, Data simpangan : y = 10 cm
maka V = 40 cm/det . Tentukan
a). T , f , ω dan E
b). A , Φ0 , Vmax dan amax .
Jawaban ;
7/11/2017
11
a). T = 2 m k → T = 2π
25 gr
400 dyne
= 1.57 det
f = 1/T = 0.638 Hz ; ω = 2π f = 4 rad/det.
E
1
1
mV 2  ky2 
2
2
1
1
2
E  x 25 gr x(40cm / det)  x 400dyne / cm x (10 cm) 2  40000 erg
2
2
b). Y = A = √(2E/k) = √(2 x 40000 erg/(400 dyne))
Y = 10 √2 cm
y = Y sin ( ω t + Φ0 ) → sin Φ0 = yt=0 / Y
→ Φ0 = arcsin (10/10√2) = (π/4) rad
Vmax   2 E
7/11/2017
m
 Vmax  40 2 cm / det
12
amax = - ω2 A → | amax | = 160√2 cm/det2
Soal latihan :
Sebuah benda bermassa 0.5 kg tergantung pada
sebuah pegas yang massanya dapat diabaikan .
Massa ini meregangkan pegas sebesar 0.07 m .
Bila kecepatan kebawah 0.4 m/dt maka simpangan
-nya 0.03 m .
Tentukanlah :
a). Waktu getar .
b). Frekuensi getaran .
)c. Amplitudo getaran .
7/11/2017
13
2. Bandul Matematis.
Pada tali tak bermassa panjang L tergantung massa
M yang dianggap tak bervolum .
O
Gaya pemulih = -- Mg sin θ
θ
θ
█
█
█ Mg sinθ
Mg
7/11/2017
Massa M berputar terhadap
titik O → timbul momen gaya
τ dan menurut Hukum
Newtom II :
τ= Iα
Mg cosθ
τ = Mg (sin θ) L
I = M L2
14
....
Untuk sudut θ << maka sin θ ≈ θ persamaan gaya
menjadi :
2
d

2
( Mg sin  ) xL  ML
atau
2
dt
d 2
2


 0
2
dt

7/11/2017
g
1
T 
L
2
L
g
..............(10)
15
animasi/simulasi bandul matematis
http://www.walter-ndt.de/ph11e/springpendulum.htm
7/11/2017
16
3. Bandul Kompon(Fisis).
O●
O adalah engsel putar bandul
c.g adalah pusat massa bandul
θ
Mg sin θ
L adalah jarak antara titik O – c.g
c.g •
Mg cos θ
Mg
Saat bandul disimpangkan
sebesar sudut θ maka gaya yang akan mengembalikannya ke titik setimbang adalah Mg sin θ
Dengan pendekatan θ << , sin θ ≈ θ maka
7/11/2017
17
menurut hukum Newton II untuk gerak putar :
d 2
d 2
2
I 2   Mg L atau


 0
2
dt
dt
MgL
I
 
 T  2
I
MgL
.............(11)
- Getaran dua benda yang terkopel
X2
L
M2
M1
X1
X = (X1 – X2 ) - L
lantai licin
M1 dan M2 terkopel dengan pegas tanpa massa
7/11/2017
18
Persamaan diferensial getarannya adalah :
d2X k
M 1M 2

X

0
dengan


dt 2

M1  M 2
……….(12)
μ = massa tereduksi
Simpangan X dalam pers (12) merupakan simpang
-an relatif ke dua balok dari posisi seimbangnya .

k

 T  2

k
…….(13)
Ternyata bahwa sistem akan bergetar sama
dengan sebuah benda yang bermassa μ dan
terhubung dengan pegas yang indentik dengan
pegas sistem
7/11/2017
19
4. Getaran teredam.
Massa m yang bergetar mengalami gesekan dan
besarnya gesekan berbanding lurus dengan
kecepatan bendanya.
Hukum Newton II :
∑F = ma
Fg = -- b(dV/dt) = gaya gesekan
b adalah konstanta gesekan
V adalah kecepatan benda
FP = -- kX = gaya pemulih
X adalah simpangan
Gaya-gaya yang bekerja pada massa m adalah :
∑ F = - b(dV/dt) – kX atau
m d2X/dt2 = - b(dV/dt) – kX
7/11/2017
20
d2X
dX
2
...........(14)

2



X

0
dt 2
dy
(persamaan diferensial getaran teredam)
redaman = ε = b/2m dan ω2 = k/m
Persamaan getaran teredamnya :
d 2 X b dX k

 X 0
dt 2
m dt m
7/11/2017
 bt 
X  A exp  
 cos * t   0 
 2m 
............(15)
k b 
 *  2 f *  2    
 m 2m 
............(16)
A = amplitudo ; Φ0 = fase awal
21
ω* = frekuensi sudut getaaran teredam
f * = frekuensi getaran teredam
Getaran lama kelamaan amplitudonya makin
kecil sehingga getarannya terhenti akibat tenaga
getaran diserap oleh gesekan.
7/11/2017
22
Rangkuman :
1. Bentuk umum persamaan diferensial GHS :
d2y
2


y0
2
dt
y[m] = simpangan sesaat
frekuensi sudut ω[rad/det] = 2πf dan f = 1/T
f [Hz] = frekuensi getaran . T[det] = waktu getar
2. Bentuk umum persamaan getaran :
y = A sin ( ωt + Φ0 )
A[m] = amplitudo getaran
Φ0 = fase awal
7/11/2017
23
3. Percepatan sesaat benda , a [m/det2]:
a = - ω2 y
amax = - ω2 A
4. Kecepatan sesaat benda , V [m/det] :
V = ± ω2 √(A2 + y2)
Vmax = √(2E/m)
, m [kg] = massa
5. Energi getaran , E[J] :
E = ½ mV2 + ½ ky2
EK = ½ mV2 ; EP = ½ ky2
Energi total getaran , ET :
E = ½ kA2
7/11/2017
24
6. Frekuensi sudut bandul matematis , ωL :
ω = √(L/g)
7. Frekuensi sudut bandul fisis , ωI :
ω = √(mgL/I)
8. Persamaan diferensial tetaran teredam :
d2X
dX
2

2



X 0
2
dt
st
ε = redaman = b/2m
b = konstanta gesekan
7/11/2017
25
9. Persaman getaran teredam :
bt
X  A exp( 
) cos( * t   0 )
2m
 *  2 f *  2
k
b

m 2m
ω* = frekuensi sudut getaran yeredam
f * = frekuensi getaran teredam
Φ0 = fase awal
7/11/2017
26

download

download

download

download

download

download soal

download

download

download

download