Oran ve Orantı Muharrem Şahin 4.12 – Oran ve Orantı ad b c 4.12.1 – Oran ve Orantının Tanımı a,b zılabilir. - Aynı türden iki çokluktan birinin diğerine bölümünü gösteren kesre oran denildiğini; - - a c k ve k k R olmak b d eşitliğine orantı denildiğini üzere, a c b d Tanım – 4.75 a biçiminde a, b oranı a,b , a : b veya b gösterilir; a oran b veya a’nın b’ye oranı diye okunur. 2 2 0 6 0 , , , , ,... birer orandır. 3 7 3 0 0 a oranına, a’nın b’ye bölümü de deb a a nilebilir. Bu durumda k R sayısına oranıb b 2 0 nın değeri denir. Ancak; ve gibi oranlar bir 0 0 bölüm olarak düşünülemez. Böyle oranların değerleri ya tanımsız ya da belirsizdir. b 0 iken a, b , c, d a d b c orantı denir. b d 0 olmak üzere; eşitliğini –küçük bir pürüz dir. a. 3, 6 4, 8 3 8 6 4 b. 0 0 5 2 0 2 5 0 c. 2 3, 6 6,3 2 2 3 3 0 0 3 3 2 3 0 03 6 6 e. a,b ka,kb a kb b ka f. a 0 b 0 a 0 b 0 a,b ka,kb orantısına göre; her a,b oranı her kR sayısı ile genişletildiğinde, a,b oranına eşit olan oranlar elde edilir. Örnek – 4.181 2 oranını 2, 0, 3 sayıları ile genişletelim: 3 2 2 2 ; 3 6 2 2 0 ; 3 0 0 2 3 2 elde edilir. 3 9 3 a 0 oranını a eşit saymamız, eşitliğin b 0 geçişme özeliği ile çelişir. Tanım – 4.76 nın elemanı olan her ise a,b c, d ya- Örnek – 4.180 RxR’de, a,b c, d düşünülürse, a c a d b c veya b d d. RxR’nin her a, b ikilisine bir oran denir. a,b , c, d a, b c, d a d b c öğrenmiştiniz. Bu bölümde, bu tanımları modern matematik kavramları ile vereceğiz. olduğu dışında– b d 0 olduğu durumlar için de yazabiliriz: a, b, c, d R olmak üzere; a oranında a’nın b’ye bölünmesi ile elde edilen b a gerçek sayıya oranının değeri denildiğini; b Örneğin; a c ve c, d b d b d 0 için İlköğretim yıllarınızda; a d b c a c dir. bd bd b d a, b , c, d bağıntısı- ikilisine bir Her Örneğin; 2 0 0 3 2 3 ve iken, tir. 3 0 0 5 3 5 Yukarıda sözü geçen pürüz budur. Bu pürüzü 0 0 “ oranı belirsizdir.” diyerek gidereceğiz. ora0 0 nını bir geçişme elemanı olarak kullanmayacağız. 1 Oran ve Orantı Muharrem Şahin Orantının özeliklerini ortaya koyduğumuzda, nea 0 den bazı sorunları göze alarak dediğimizi b 0 daha iyi anlayacaksınız. Böyle yapmakla, orantı kavramı ile ilgili olarak ortaya çıkabilecek daha önemli sorunları nasıl önlemiş; nasıl daha işlevsel bir orantı kavramı elde etmiş olduğumuzu göreceksiniz. Tanım – 4.78 a b orantısında b’ye b c a ile c sayılarının orta orantılısı veya a ile c’nin geometrik ortası denir. a, b, c R olmak üzere, Örnek – 4.183 Etkinlik – 4.275 Aşağıdaki eşitliklerin birer orantı olmasını sağlayan x değerlerinin kümelerini bulunuz. x 0 a. 2 0 d. 0 5 b. 0 x 5 5 0 x e. 2 3 x 3 0 x c. 8 3 f. 62 3 x x2 6 2 3 6 2 3 x 62 3 a c orantısında a, b, c, d sayılarına sırasıyb d la; orantının I. terimi, II. terimi, III. terimi, IV. terimi denir. (Yanlar) Dışlar x2 6 içler (ortalar) adı verilir. olur. a a a a1 ve 1 2 b b1 b1 b2 ise a a a2 0 a orantısını gerektirir. 1 iken b b2 b1 0 b oranı orantıları, ancak a1 0 b1 0 a2 oranına eşit olmayabilir. Bu durumu, b2 daha önce de dışlar (yanlar); II. ve III. Terimlere x2 36 12 3 1 5 x I. ve IV. terimlere 6 2 3 ve 6 2 3 sayıları arasında orta orantılı sayıyı bulalım: 0 ın belirsizliği ile açıklamıştık. 0 a:b c : d İçler (Ortalar) Tanım gereği, dışların çarpımı içlerin çarpımına eşittir. Tanım – 4.79 a : a1 : a2 : ... b : b1 : b2 : ... eşitliği a a1 a2 ... anlamına gelir. b b1 b2 a c ad bc b d Örnek – 4.184 Tanım – 4.77 a c orantısında d’ye a, b, c sayılarının dörb d düncü orantılısı denir. Örnek – 4.182 2, 3 2, lalım: 2 3 2 6 sayılarının dördüncü orantılısını bu6 2x 3 2 6 x 3 3 tür. x 2 : x : 0 : y 4 : 5 : z : 6 olduğuna göre x, y ve z sayılarını bulalım: Verilen orantı 2 x 0 y dır. 4 5 z 6 2 x 5 2 5 4 x x ; 4 5 2 2 0 2 z 4 0 z 0 olur. 4 z 0 y 2 y orantısından değil, oran0 6 4 6 tısından bulunmalıdır. (Neden?) y değeri 2 y y 3 bulunur. 4 6 2 Oran ve Orantı Muharrem Şahin Orantının Özelikleri Teorem – 4.124 Bir orantıda içler kendi aralarında, dışlar kendi aralarında yer değiştirebilir. 1 R olduğundan Ç dir. 0 b. x 2 x 2 x 1 2 x 1 x 1 2x 2 2x x 1 2 x 1 0 2 x 1 x 1 0 a c a b d c b d dir. b d c d b a a c x 1 bulunur. x 1 değeri için eşitlik bir orantıdır. 1 2 x 1 0 0 Etkinlik – 4.276 Oranlar kümesinin gerçek sayılar kümesini kapsadığını söyleyebilir miyiz? Teorem-4.124’ü ispatlayınız. Örnek – 4.187 Örnek – 4.185 a. 3 6 orantısına dayanarak 5 10 10 6 3 5 5 10 , , yazılır. 5 3 6 10 3 6 b. 0 0 orantısına dayanarak 3 4 4 0 3 4 3 0 , , yazılır. 3 0 0 0 4 0 0 oranından söz etmeseydik. Bu örnekteki du0 rumları açıklayamayacaktık.) ( 2 5 ve x y 63 ise x ve y sayılarını bulux y nuz. Çözüm 2 5 x y k olsun. x y 2 5 x 2k ve y 5k olur. x y 63 2k 5k 63 k 9 bulunur. x 2 9 18 ve y 5 9 45 tir. Teorem – 4.125 Örnek – 4.186 a. R’de b. x 2 denklemini çözünüz. x 1 2x 2 x 2 bir orantı olduğuna göre, x’in x 1 2x 2 alabileceği değerlerin kümesini yazınız. Çözüm a c bir orantı olmak üzere, b d a c ac ac dir. b d bd bd Etkinlik – 4.277 Teorem-4.125’i ispatlayınız. a. Eşitliğin iki yanını 2 x 1 ile çarpalım: x 1 x 2 x 1 2 x 1 2x 2 x 1 bulunur. x 1 değeri kesrin paydasını sıfır yapar. Örnek – 4.188 3 15 denklemini çözünüz. 1x 3x 3 Oran ve Orantı Muharrem Şahin Çözüm Çözüm Her kesir bir oran olduğuna göre, R’deki denklemlerin çözümünde orantının özeliklerinden yararlanılır. I. yol 3 15 12 3 15 3 1 x 3 x 1 x 3 x 4 x 2k, y 3k, z 4k olur. 3 3 3 3x 3 x 2 bulunur. 1x Teorem-4.125, Teorem-4.124’ün genelleştirilmiş biçimidir. x y z k olsun. 2 3 4 x 2y z 2k 2 3k 4k x 2y z 0 nur. bulu- II. yol x y z x 2y z x 2y z olur. 2 3 4 12 2 3 14 0 1 2 1 Bu orantı ancak x 2y z 0 iken gerçekleşir. x y z 0 dır. 2 3 4 0 Teorem – 4.126 a a1 a2 ve k, k 1 , k 2 R olmak üzere; b b1 b2 Teorem – 4.127 ka k 1a1 k 2a2 a a1 a2 dir. b b1 b2 kb k 1 b1 k 2 b2 Etkinlik – 4.278 Teorem-4.126’yı ispatlayınız. Örnek – 4.189 2a b c a 2b c a b 2c 3 8 9 re, a : b : c oranını yazınız. a c ise b d 1. a c dir. ab cd 2. a c dir. ab cd 3. ab cd dir. ab cd 4. xa y b xc yd dir. za tb zc td olduğuna gö- Etkinlik – 4.279 Teorem-4.127’yi ispatlayınız. Çözüm 4 a b c 2a b c a 2b c a b 2c 3 8 9 20 abc a b c bulunur. 5 2 3 1 a : b : c 2 : 3 : 1 dir. Örnek – 4.191 2a b xy a olduğuna göre, oranını x ve y ab 2x y b türünden bulunuz. Çözüm I. yol Örnek – 4.190 x y z ise x 2y z kaçtır? 2 3 4 2a b xy ab 2x y 4 Oran ve Orantı Muharrem Şahin 2a b a b 2a b 2 a b b. x y 2x y x y 2 2x y 2 1x c. x2 3x 4 2 3a 3x a x olur. 3b 3x 3y b xy 2 x2 3x 4 d. 5 1 6x 2x2 x3 12 3x x2 2x x2 x 2 x 1 x2 x 4 II. yol 2a b xy ab 2x y Etkinlik – 4.281 a 4x 2y b 2x y a x y b x y a 4 b 1 c 4 1 olduğuna göre, b 2 c 1 a7 4 a 4x 2y x y b x y 2x y a 3x a x b 3x 3y b xy a b c toplamını bulunuz. olur. Etkinlik – 4.282 Aşağıda verilen orantılardan, istenilen oranları bulunuz. Örnek – 4.192 x 2 x2 2x 5 R’de denklemini, orantının 2x x2 4x 9 özeliklerinden yararlanarak çözünüz. a. ab 3 ise a : b ? ab 2 b. a 3 b 3 ve ise a : b : c ? b 4 c 5 Çözüm c. ab ac bc b 2c a 2b 2a c d. 2a b c a 2b a c 7 1 5 e. a 2b 3a b 2a b 2a 2b ise a : b ? f. 2a 3b a 5b a 2b 4b ise a : b ? x 2 x2 2x 5 2x x2 4x 9 x 2 2x 2x x2 2x 5 x2 4x 9 x2 4x 9 2 2x 2x 4 0 2 2 2x x 4x 9 x 9 ise a : b : c ? olur. 2 2x 0 orantısı, 2 x 0 veya 2 2x x 9 x2 9 0 eşitliklerini gerektirir. Buna göre; x 2 veya x 3 olmalıdır. Bu x değerleri, verilen denklemdeki kesirleri gerçek sayı yaptığından Ç 3,2,3 olur. Etkinlik – 4.280 Aşağıdaki denklemleri, orantının özeliklerinden yararlanarak, R’de çözünüz. x 1 x 1 a. 4x 8x ise a : b : c ? 4.12.2 – Orantılı Çokluklar Doğru Orantılı Çokluklar Etkinlik – 4.283 Ekmek sayıları ile Ekmek sayısı bunların tutarları 1 x1 30 y1 tabloda verilmiştir. 2 x2 60 y2 x ekmek sayısı, 3 x3 90 y3 y ekmeklerin tutarı, 4 x4 120 y4 5 x5 150 y5 6 x6 180 y6 xi ve yi birbirlerine karşılık gelen ekmek sayısı ve tutarı olsun. Tutarı(kr) 5 Oran ve Orantı a. x2 y2 x3 y3 x4 y4 ; ; orantılarının varx3 y3 x5 y5 x6 y6 c. Hızı değişmeyen bir hareketlinin aldığı yol ile bu yolu alma süresi doğru orantılıdır. lığını gösteriniz. d. Denk işçilerin sayısı ile eşit sürede ürettikleri iş miktarı doğru orantılıdır. y1 y2 y y y y 3 4 5 6 olduğunu göstex1 x2 x3 x4 x5 x6 b. Muharrem Şahin riniz. c. y ile x arasındaki bağıntıyı bulunuz. Örnek – 4.194 Bir işçi 4 saatte 14 m2 duvarı boyarsa, 10 saatte kaç m2 duvarı boyar? Tanım – 4.80 Değişen iki çokluktan birinin herhangi iki değerinin oranı, diğerinin bunlara karşılık gelen değerlerinin oranına eşit ise; bu çokluklara doğru orantılı (ya da orantılı) çokluklar denir. Etkinlik-4.283’teki ekmeklerin sayısı ile ekmeklerin tutarı doğru orantılıdır. x ile y doğru orantılı çokluklar olsun. x x1 iken y y1 ve x x2 iken y y2 ise, x1 y y y 1 1 2 olur. x2 y2 x1 x2 Karşılıklı tüm x ve y değerleri için y1 y y 2 3 ... k bulunur. x1 x2 x3 Demek ki; doğru orantılı iki çokluğun birbirleriy ne karşılık gelen değerleri x ve y ise k dır. x Çözüm İşçinin çalıştığı sürelerin oranı, bu sürelerde boyanan duvarların alanlarının oranına eşittir. 4 saat 14 m2 x 35 m2 bulunur. 10 saat x Bu tür problemlerde işlemleri uzatmamak için, yukarıdaki orantı problemin ifadesi içinde oluşturulur. Şöyle ki; İşçi 4 saatte 14 m2 boyarsa 10 saatte x m2 boyar. Doğru Orantı (D.O.) 4 x 10 14 x 35 bulunur. (Okların işaret ettiği çoklukların çarpımları eşitlenir.) Bir y çokluğunun bir x çokluğu ile doğru orantılı olduğu “ yx ” ile gösterilir ve “y orantılı x” diye okunur. y k x y kx olur. yx Örnek – 4.195 x 0 iken kR’dir. 4800 lirayı, 18 ve 30 yaşlarındaki iki kardeş yaşları ile orantılı olarak paylaşırsa; her birinin payı kaç lira olur? y oranının değerinin y 0 iken belirsiz, y 0 0 iken tanımsız olduğunu hatırlayınız.) ( Örnek – 4.193 a. Bir işçinin çalışma süresi ile bu süreye karşılık alacağı ücret doğru orantılıdır. b. Satın aldığınız kalemlerin sayısı ile buna ödenecek para doğru orantılıdır. Çözüm Küçük kardeş x lira, büyük kardeş y lira alsın. x 18 x y k y 30 18 30 x 18k ve y 30k olur. x y 4800 18k 30k 4800 k 100 x 1800 ve y 3000 bulunur. 6 Oran ve Orantı Muharrem Şahin Örnek – 4.196 Etkinlik – 4.284 2x 3 ve y 5 çoklukları doğru orantılıdır. a. x 2 iken y 1 ise, x 4 iken y kaçtır? b. x 3 iken y 4 ise y 5 iken x kaçtır? c. x 6 iken y 5 ise x 10 iken y kaçtır? Çözüm Aşağıdaki soruları yanıtlayınız. a. Bir araç 8 litre benzinle 100 km yol alırsa, 14 litre benzinle kaç km yol alır? b. 9 işçinin 15 m2 duvarı ördüğü sürede, 20 m2 duvarı kaç işçi örer? c. 48 kalem 7 ve 9 yaşlarındaki iki kardeş arasında, yaşlarıyla orantılı olarak paylaştırılıyor. Her birine kaç kalem düşer? d. Üç kişi 60000 lirayı 2, 3, 5 sayıları ile orantılı olarak paylaşıyor. Her birinin payı kaç lira olur? a. I. yol Doğru orantılı iki çokluğun oranı sabittir. e. x ile y doğru orantılı çokluklardır. I. 2x 3 k dır. y5 x 2 ve y 1 için 22 3 1 k k olur. 15 6 2x 3 1 orantısında x 4 iken, y5 6 243 1 y 25 bulunur. y5 6 x 12 iken y 9 ise, x 8 iken y kaçtır? II. x 5 iken y 0 ise, x 9 iken y kaçtır? III. x 2 iken y 6 ise, x 0 iken y kaçtır? f. 2y 1 ile x2 3 doğru orantılı çokluklardır. x 4 iken y 29 ise, x 6 iken y kaçtır? II. yol 2x 3 ’ün alacağı değerlerin oranı, y 5 ’in bunlara karşılık gelen değerlerinin oranına eşit olacaktır. Etkinlik – 4.285 2x1 3 y1 5 tir. 2x2 3 y2 5 Bir balıkçı elinde kalan 6 kg balığı Ali ve Veli’ye, paraları ile doğru orantılı olarak paylaştıracaktır. x1 2, x2 4 ve y1 1 değerleri yerlerine ko- a. Ali’nin 4 lirası, Veli’nin 8 lirası varsa; nulursa 22 3 15 y2 25 bulunur. 2 4 3 y2 5 b. x1 3, y1 4, y2 5 ve 2x1 3 y1 5 2x2 3 y2 5 23 3 45 3 9 2x2 3 5 5 2x2 3 0 3 x2 bulunur. 2 b. Ali’nin 5 lirası varsa, Veli’nin parası yoksa; c. Ali’nin de Veli’nin de parası yoksa, balıkçı paylaştırmayı nasıl yapar? Doğru orantılı x ve y çoklukları arasında y kx bağıntısı olduğundan, y’nin x’e göre değişiminin grafiği orijinden geçen bir doğrudur. y y k>0 2k 1 k k c. x1 6, x2 10, y1 5 ve 1 2x1 3 y1 5 2x2 3 y2 5 k>0 y kx 2 x 2 x 2k y kx 26 3 5 5 9 0 2 10 3 y2 5 17 y2 5 y2 5 bulunur. x çokluğu hep sıfır olarak kalıyorsa, grafik x 0 doğrusu; y çokluğu hep sıfır olarak kalıyorsa, grafik y 0 doğrusu olur. 7 Oran ve Orantı Muharrem Şahin Ters Orantılı Çokluklar Etkinlik – 4.286 değişik sayıdaki Kişi sayısı 1 x1 Kişi başına elma sayısı 60 y1 kişiler arasında 2 x2 30 y2 paylaşılmasında, 3 x3 20 y3 kişi başına düşen 4 x4 15 y4 5 x5 12 y5 6 x6 10 y6 60 tane elmanın elma sayıları tabloda gösterilmiştir. x kişi sayısı, y kişi başına düşen elma sayısı; xi ve yi birbirlerine karşılık gelen kişi sayısı ve kişi başına düşen elma sayısı olsun. 1 y y x x a. 2 2 , 3 3 x3 y3 x5 y5 olduğunu gösteriniz. 1 y x , 4 4 x6 y6 y k 1 y k olduğundan y, x ile ters oran1 x x 1 tılı ise; ile doğru orantılıdır. x Örnek – 4.197 a. Belli bir işin bitirilmesi süresi, denk işçilerin sayısı ile ters orantılıdır. b. Belli bir yolu alma süresi,y hareketlinin hızı ile ters orantılıdır. Örnek – 4.198 9 işçi belli bir işi 10 günde yaparsa, 6 işçi aynı işi kaç günde yapar? 1 b. x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 ... olduğunu gösteriniz. c. x ile y arasındaki bağıntıyı bulunuz. Çözüm I. yol İşçi sayısı, çalışılan gün sayısı ile ters orantılıdır. 6 işçi işi x günde yapsın. 9 10 6 x 1 9 x x 15 bulunur. 6 10 II. yol Tanım – 4.81 Değişen iki çokluktan birinin herhangi iki değerinin oranı, diğerinin bunlara karşılık gelen değerlerinin oranının tersine eşit ise; bu çokluklara ters orantılı çokluklar denir. Etkinlik-4.286’daki kişi sayısı ile kişi başına düşen elma sayısı ters orantılıdır. İşçi sayısı, çalışılan gün sayısı ile ters orantılı olduğundan, bunların çarpımı sabittir. 9 işçi 10 günde yaparsa, 6 işçi x günde yapar. Ters orantı 6 x 9 10 (T.O.) x 15 bulunur. x ile y ters orantılı çokluklar olsun. x x1 iken y y1 ve x x2 iken y y2 ise, x1 y1 x2 y2 1 x1 y2 x1 y1 x2 y2 olur. x2 y1 Karşılıklı tüm x ve y değerleri için, x1 y1 x2 y2 x3 x3 ... k bulunur. Demek ki; ters orantılı iki çokluğun birbirlerine karşılık gelen değerleri x ve y ise, x y k dır. k R için, x y k y k yazılabilir. 1 x Örnek – 4.199 80000 liralık ödül, bir takımın iki kalecisine yedikleri gollerin sayısı ile ters orantılı olarak paylaştırılacaktır. Kalecilerden biri 7 gol, diğeri 9 gol yediğine göre; her birinin payı kaç lira olur? Çözüm I. yol Kalecilerden 7 gol yiyeni x lira, 9 gol yiyeni y lira alsın. 8 Oran ve Orantı x 7 y 9 1 x 9 y 7 x y k 9 7 x 9k ve y 7k olur. x y 80000 9k 7k 80000 k 5000 x 45000 TL y 35000 TL bulunur. 7 gol yiyen kaleci 45000 TL, diğeri 35000 TL alacaktır. II. yol 7 gol yiyen kaleci x lira, diğeri 80000 x lira alsın. Bir kalecinin yediği gollerin sayısı alacağı para ile ters orantılı olduğundan, bunların çarpımı sabittir. 7 x 9 80000 x Muharrem Şahin d. 2x 1 ve 3y 4 ters orantılı çokluklardır. x 4 iken y 2 olduğuna göre x 2 iken y kaçtır? Etkinlik – 4.288 Miray, Senay ve Giray’ın programlarında 8 farklı ders bulunmakta ve karnelerindeki notlar 4 ve 5’lerden oluşmaktadır. Karnelerdeki 4’lerin sayısı notların dağılımı 5’lerin Toplam sayısı tabloda Miray 1 7 39 verilmiştir. Senay 1 7 39 Babaları toplam Giray 4 4 36 4104 liralık ödülü, a. 4’lerin sayısı ile ters orantılı olarak paylaştırırsa; x 45000 TL bulunur. b. 5’lerin sayısı ile doğru orantılı olarak paylaştırırsa; Örnek – 4.200 c. not toplamları ile doğru orantılı olarak paylaştırırsa x, y, z çoklukları sırasıyla 2, 3, 4 sayıları ile ters orantılıdır. x, y, z’nin orantılı olduğu en küçük sayma sayılarını bulunuz. her birine kaç lira düşer? Etkinlik – 4.289 soruları yandaki Çözüm tabloya göre 1 1 1 2, 3, 4 ile ters orantılı olan sayılar , , ile 2 3 4 doğru orantılıdır. yanıtlayınız. x:y:z 1 1 1 : : olur. 2 3 4 Oranlar 12 ile genişletilirse; 4’lerin sayısı Etkinlik-4.287 deki 5’lerin Toplam sayısı Miray 0 8 40 Senay 4 4 36 Giray 8 0 32 Ters orantılı x ve y çoklukları arasında x y k bağıntısı bulunduğundan, y’nin x’e göre değişiminin grafiği aşağıdakiler gibidir. x : y : z 6 : 4 : 3 bulunur. Etkinlik – 4.287 y k k>0 Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. 6 kişi bir miktar peyniri paylaşacaktır. Paylaşıma 3 kişi daha katılsaydı, kişi başına düşen peynir miktarı 1 kg azalacaktı. Paylaşılacak peynir kaç kg dır? b. 63000 TL, 32 ve 40 yaşlarındaki iki kardeş arasında yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırılırsa, küçük kardeşin payı kaç TL olur? c. 138 elma 1, 3, 5 sayıları ile ters orantılı olarak üçe bölünürse, her grupta kaçar elma bulunur? y k/2 k/3 3 2 1 k 1 2 k/3 k/2 k 3 x k<0 k/2 k/3 1 2 3 x k/3 k/2 k 9 Oran ve Orantı Muharrem Şahin k 0 için grafik, x 0 ve y 0 doğrularının oluşturduğu şekildir. Bileşik Orantı 5 “ 5 “ “ “ 1 “ “ 6 10 8 günde 5 6 “ “ 6 10 8 16 günde 56 bitirir. II. yol Teorem – 4.128 Problemi iki aşamada çözelim: Bir z çokluğu x ve y çoklukları ile ayrı ayrı doğru orantılı ise, x y çokluğu ile de doğru orantılıdır. 6 işçi; günde 8 saat çalışarak 10 günde bitirirse günde 6 saat çalışarak x günde bitirir. İspat T.O. 6 x 8 10 zx y z k x y dir. x z k x y eşitliğinde x sabit tutulursa, z k x y z k1y 40 gün olur. 3 Günde 6 saat çalışarak; k1 40 günde bitirirse 3 5 işçi y günde bitirir. z y ; 6 işçi y sabit tutulursa, z k y x z k 2x T.O. k2 5y 6 zx olur. y 16 gün bulunur. Teorem-4.127’den şu sonuçlar çıkarılır: 1. U, x, y, z, t birer değişken ve k sabit olmak üzere, xymzn Uk ise U değişkeni x, ym ve zn ile t ayrı ayrı doğru orantılı; t ile ters orantılıdır. 2. Bir z çokluğu x ve y ile doğru, t ile ters orantılı olsun. x x1 iken y y1, t t1, z z1 ve x x2 iken y y2 , t t2 , z z2 ise z1 x y t 1 1 2 dir. z2 x2 y2 t1 Örnek – 4.201 6 işçinin günde 8 saat çalışarak 10 günde bitirebilecekleri işi, 5 işçi günde 6 saat çalışarak kaç günde bitirir? 40 3 III. yol Bileşik orantıdaki değişen çoklukların her biri bilinmeyen çoklukla karşılaştırılır. Bunların doğru orantılı mı, ters orantılı mı oldukları belirlenir. 6 işçi günde 8 saat çal. 10 günde bitirirse 5 işçi günde 6 saat çal. x günde bitirir. T.O. (Gün sayısı ile) T.O. (Gün sayısı ile) İşçi sayısının aynı kaldığı düşünülürse; günlük çalışma süresi ile gün sayısı ters orantılıdır. Buna göre, 6 ile x ve 8 ile 10 çarpılacaktır. Bu, orantıda oklarla gösterilmiştir. Günlük çalışma süresinin aynı kaldığı düşünülürse; işçi sayısı ile gün sayısı (ya da toplam çalışma süresi) ters orantılıdır. Buna göre, 5 ile 6 x ve 6 ile 8 10 çarpılıp eşitlenecektir. Bu da orantıda oklarla gösterilmiştir. Açıklamalarımızı işleme dökersek, Çözüm I. yol (Bire indirgeme yöntemi) 5 6 x 6 8 10 x 16 bulunur. 6 işçi günde 8 saat çalışarak 10 günde bitirirse IV. yol 1 “ “ 8 “ “ 6 10 günde 1 “ “ 1 “ “ 6 10 8 günde III. yolda yaptığımız açıoklamaları daha özlü biçimde yapabiliriz: Çalışılan gün sayısı, işçi sayısı ve günlük çalışma süresi ile ters orantılıdır. 10 Oran ve Orantı Muharrem Şahin Çalışılan gün sayısı g, işçi sayısı i, günlük çalışma süresi s ile gösterilirse; birim zamanda ürettiği parçalardan 2’si bozuk çıkan 5 işçi 510 sağlam parçayı 6 günde ürettiğine göre; g1 i2 s2 olur. g2 i1 s1 birim zamanda ürettiği parçalardan 3’ü bozuk çıkan 10 işçi 640 sağlam parçayı kaç günde üretir? g1 i2 s2 10 5 6 g2 i1 s1 x 6 8 f. 8 ton demirden, çapı 3 cm olan 1500 m uzunluğunda demir çubuk üretilirse; 6 ton demirden çapı 5 cm olan kaç m uzunluğunda demir çubuk üretilir? x 16 bulunur. Biz, bu tür problemlerde IV. yolu öneriyoruz. V. yol ! Üretilen iş miktarı, (y) 6 işçi günde 8 saat çalışarak 10 günde 6 8 10 480 saatlik iş yapar. 5 işçi bir günde 5 6 30 saatlik iş yapacağına göre, 480 saatlik işi 480 : 30 16 günde bitirir. Etkinlik – 4.290 2 3 x, y, z, t, u çoklukları arasında x y z t u bağıntısı bulunduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur? a. x ile t doğru orantılıdır. - İşçi sayısı ile; (n) - Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş miktarı ile; (p) - Günlük çalışma süresi ile; (r) - Çalışılan gün sayısı ile (t) doğru orantılıdır. Buna göre; Her biri birim zamanda p1 birim iş yapan n1 işçi günde r1 saat çalışarak y1 birim işi t1 günde; b. x ile y ters orantılıdır. her biri birim zamanda p2 birim iş yapan n2 c. z ile t ters orantılıdır. işçi günde r2 saat çalışarak y2 birim işi t2 günde d. t ile u3 ters orantılıdır. Etkinlik – 4.291 Aşağıdaki problemleri, Örnek-4.201’de belirtilen yollarla çözünüz. a. 3 işçi 4 dönüm tarlayı 10 saatte çapalarsa, 5 işçi 6 dönüm tarlayı kaç saatte çapalar? b. 8’er tonluk 6 kamyonun 12 seferde taşıdığı kömürü, 9’ar tonluk 4 kamyon kaç seferde taşır? c. Her biri birim zamanda 3 birim iş üreten 10 işçi günde 8 saat çalışarak 120 birim işi 9 günde üretirse; her biri birim zamanda 5 birim iş üreten 9 işçi günde 6 saat çalışarak 180 birim işi kaç günde üretir? d. 6 işçi her biri 50 cm2 olan parkelerle 8 saatte 120 m2 tabanı döşerse; 4 işçi her biri 60 cm2 olan parkelerle 5 saatte kaç m2 tabanı döşer? (Farklı parkelerin döşenme süreleri eşittir.) e. Her işçi birim zamanda eşit sayıda parça üretmektedir. Birim zamanda ürettiği parçalardan biri bozuk çıkan 6 işçi 540 sağlam parçayı 5 günde; yaparsa, y1 n1 p1 r1 t1 olur. y2 n2 p2 r2 t2 Bu sonuç; I. iş miktarı I. işle ilgili değişkenlerin çarpımı II. iş miktarı II. İşle ilgili değişkenlerin çarpımı biçiminde sağlıksız bir genellemeye yol açabilir. Bu genelleme ile problem çözmeye alışan bir öğrenci kolayca yanıltılabilir. Doğru olanı, her değişkenin iş miktarı ile doğru orantılı mı, ters orantılı mı olduğunu ayrı ayrı belirlemektir. Örnek – 4.202 8 işçi her biri 2 birim zamanda yapılan 600 parça işi 12 saatte yaparsa; 6 işçi her biri 3 birim zamanda yapılan 500 parça işi kaç saatte yapar? Çözüm Yapılan parça sayısı, işçi sayısı ve çalışma süresi ile doğru orantılı; bir parçanın üretilme süresi ile ters orantılıdır. 11 Oran ve Orantı Muharrem Şahin Buna göre; 600 8 2 500 6 3 1 12 x Etkinlik – 4.293 600 8 3 12 500 6 2 x x 20 saat bulunur. Aşağıdaki problemleri çözünüz. Örnek – 4.203 2y 1 çokluğu, x 2 ve 3p 2 ile doğru; 2t 3 ile ters orantılıdır. x 7, p 1 ve t 3 iken y 3 ise; x 1, p 11 ve t 2 iken y kaçtır? b. Bir terzi 2 ceket diktiği sürede 5 pantolon dikebilmektedir. Çözüm I. yol 12 terzi 420 pantolonu 6 günde dikerse; x 2 3p 2 2y 1 k 2t 3 yazılır. x 7, p 1, t 3, y 3 iken; 23 1 k 7 2 3 1 2 23 3 k 1 olur. x 1, p 11 ve t 2 iken; 2y 1 1 1 2 3 11 2 22 3 y 8 bulunur. II. yol 2y1 1 x1 2 3p1 2 2t2 3 2y2 1 x2 2 3p2 2 2t1 3 a. x tane makine günde y saat çalışarak z parça 1 işi 18 günde yapmaktadır. Makina sayısı ü 3 1 kadar artırılır, günlük çalışma süresi ü kadar 4 5 azaltılır ve iş miktarı katına çıkarılırsa iş kaç 3 günde biter? 2 3 1 7 2 3 1 2 2 2 3 2y2 1 1 2 3 11 2 2 3 3 15 terzi 280 ceketi kaç günde diker? c. 3 ceket için gereken kumaş ile 5 pantolon dikilebilmektedir. 72 m kumaşla 60 pantolon dikilirse, 90 m kumaşla kaç ceket dikilir. d. A tipi muslukların birim zamanda akıttıkları suyun, B tipi muslukların birim zamanda akıttık2 ları suya oranı tür. 3 C tipi kovaların hacimlerinin D tipi kovaların 3 hacimlerine oranı tir. 5 A tipi 5 musluktan 6 saatte C tipi 1200 kova doldurulursa; B tipi 8 musluktan 10 saatte D tipi kaç kova doldurulur? y2 8 bulunur. Etkinlik – 4.294 Etkinlik – 4.292 Aşağıdaki soruları yanıtlayınız. a. y çokluğu, x ile doğru ve t ile ters orantılıdır. x 6 ve t 3 iken y 8 ise, y 12 ve x 15 iken t kaçtır? b. y2 çokluğu x ve t3 ile doğru orantılıdır. x 1 ve t 3 iken y 9 ise, x 3 ve t 9 iken y kaçtır? Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. Bir grup işçinin günde 8 saat çalışarak belli bir 5 sürede yapabileceği işi bu işçilerin sı günde 6 6 saat çalışarak 6 gün daha uzun sürede bitirmiştir. İş kaç günde bitirilmiştir? b. 4 çırak ile 2 usta 24 parça işi 18 günde, 7 çırak ile 3 usta 32 parça işi 15 günde bitirmiştir. 1 çırak ile 1 usta 16 parça işi kaç günde bitirir? 12 Oran ve Orantı Muharrem Şahin Alıştırmalar ve Problemler – 4.13 1. Aşağıdaki eşitliklerin birer orantı olmalarını sağlayan x değerlerinin kümelerini bulunuz. a. c. e. 2. x 2 2 3,6 0 15 5 3 x b. 2 a b c 2a b c ise ? 2 3 5 3a 2b c f. a 5 b 4 ve ise a : b : c ? b 6 c 5 g. ab ab ab c ise a : b : c ? 2 3 6 h. a b c 2b c a c ise a : b : c ? 11 8 9 x 17 d. 0 0 x 0 i. a 2b 3a c 2b 3c ise a : b : c ? c b a 0 x2 0 x2 f. 3 x x x j. a b c ise a : b : c ? b c a c ab 1,8 Aşağıdaki orantılarda bilinmeyen terimleri bulunuz. a. e. 6. 3 : x 6 :3 b. 2 : 3 : 6 3 : x : y Aşağıda verilen orantılarda a : b : c oranlarını, mutlak değerleri en küçük olan tam sayılarla ifade ediniz. a. 2a : 3b : c 1 : 2 : 3 b. a : 2b : 4c 3 : 4 : 5 c. 2 3 : 0 : 2 : 12 x : y : z : 2 3 c. a : b : c d. x : 2 : y : 8 6 : 4 : 8 : z 1 3 5 : : 2 4 6 d. 3a : 4b : 6c 3. Aşağıdaki bulunuz. a. 2; 3 2; sayıların 4 dördüncü orantılılarını b. 1,3; 1,6; 1, 9 2 7. c. 1 2; 1 3; 1 6 d. 4. 5. 9 6 2; 3 6; 64 2 Aşağıdaki sayıların orta orantılılarını bulunuz. a. 3; 6 b. c. d. 50; 72 3; 2 3 20 8 6; 8. 45 18 6 Aşağıda verilen orantılardan, istenilen oranları bulunuz. a. ab 4 ise a : b ? ab 1 b. 2a 3b 1 ise a 2b : 3a 4b ? 3a 5b 4 c. 2a b 2a 3b ise a : b ? a b d. ab b a ise a : b ? a b 3 2 : :1 4 3 a b c ab bc cd ve 64 olduğub c d b c d a na göre oranını bulunuz. d Aşağıda verilen orantılardan x : y : z oranlarını bulunuz. a. xy yz xz 3 1 10 b. xy yz xz 3 6 4 9. a b 2a 3b 3 ise a b c kaçtır? b c 2b 15 10. 4a b 6 2 b ise kaçtır? 6a 2c 9 3 c 11. a c 2a c a b a c ve 7 b d 2b d b bd c göre oranı kaçtır? d olduğuna 13 Oran ve Orantı Muharrem Şahin a. 1 1 1 1 12. 2x 3y 4z ve ise x y z 12 3x y 2z kaçtır? b. c. 13. ax by cz 18 ve x y z 6 olduğuna göre, abc oranı kaçtır? ab bc ac xy xz yz 1 1 1 1 14. ve 2 6 3 x y z 12 göre; x, y, z değerlerini bulunuz. d. e. f. 16. a. x y z ve y z 40 3 4 6 x2 1 2 x x2 2x2 5 2x2 2x x 2 x2 2x 5 x2 2x 4 x2 2x 3 2 x 9 x x 2 x2 6 x2 5 x2 4x 4 x2 2x 12 x ile y doğru orantılı çokluklardır. x 12 iken y 9 ise, x 8 iken y kaçtır? y z ve 2x y z 12 2 3 b. x ile y ters orantılı çokluklardır. x 9 iken y 8 ise, x 6 iken y kaçtır? x 2 y 1 z 3 ve x y z 10 3 4 5 c. x 2 ile 2y 5 doğru orantılı çokluklardır. I. a5 b 2 c 1 ve b c a olduğuna 3 4 5 göre, a’nın alabileceği gerçek sayı değerlerinin kümesini bulunuz. 17. Aşağıda verilen orantılardan yararlanarak II. d. 2a b x 2y a. 3a 2b 2x y x 4 iken y 12 ise x 2 iken y kaçtır? a b oranlarını bulunuz. x 3 iken y 11 ise x 5 iken y kaçtır? III. b. 7x x2 1 20. Aşağıdaki soruları yanıtlayınız. x y z c. ve 2x y 80 2 4 5 d. 2 lerini bulunuz. b. x 5x x2 1 olduğuna 15. Aşağıda verilenlere göre; x, y ve z’nin değer- a. x 3 x 1 x2 x4 5 ise 2 x 3 iken y kaçtır? x 5 iken y x2 9 ile y z ters orantılı çokluklardır. I. x 1 için y 4 ise x 5 için y kaçtır? 3a b 2x 3y 2b a 5x y II. x 3 için y 5 ise x 4 için y kaçtır? 18. 3x 4y 5z ve 1 2 1 2 1 2 1 18 III. olduğuna x y z göre; (x, y, z) üçlülerinin kümesini bulunuz. x 6 için y 2 ise y 2 için x kaçtır? e. y çokluğu x ve t ile doğru orantılıdır. x 2 ve t 3 iken y 18 ise x 1 ve y 15 iken t kaçtır? 19. Aşağıdaki denklemleri, orantının özeliklerinden yararlanarak, R’de çözünüz. f. y 2 çokluğu x2 1 ile doğru, 2t 3 ile ters orantılıdır. 14 Oran ve Orantı Muharrem Şahin x 2 ve t 3 iken y 1 ise t 1 ve y 70 iken x kaçtır? g. y çokluğu 2x 1 ve t 2 ile doğru, z 3 ile ters orantılıdır. 26. Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. 9 tanesi 21 lira olan kalemlerin 12 tanesi kaç lira olur? b. 4 kişinin 15 günde bitirebileceği yiyeceği, 5 kişi kaç günde bitirir? c. 6 işçi toplam 6 m2 halıyı 6 günde dokursa, 9 işçi toplam 9 m2 halıyı kaç günde dokur? d. Alanı 300 cm2 olan fayanslarla her biri 12 m2 olan 6 parça yüzey 8 saatte döşenirse; alanı 400 cm2 olan fayanslarla her biri 18 m2 olan 8 parça yüzey kaç saatte döşenir? (Farklı fayansların döşenme süreleri eşittir.) x t 1 ve z 5 iken y 9 ise, x z 0 ve t 2 iken y kaçtır? h. p çokluğu x2 ve y 1 ile doğru, z3 ve t 1 ile ters orantılıdır. x y z 2 ve t 4 iken p 2 ise, y 4, z 1, t 8 ve p 60 için x kaç- tır? p3 z eşitliğinde k sabittir. t 2 x, y, p, z, t değişkenlerinin ikişer ikişer ters orantılı mı, doğru orantılı mı olduklarını belirtiniz. 21. x2y k 22. Aşağıdaki sayılarla doğru orantılı olan çok- 27. Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. 9 işçinin yapacağı bir işin bitirilmesi, 3 işçinin gelmemesi yüzünden 4 gün gecikiyor. Bu işi 8 işçi kaç günde yapardı? b. Bir işi Gevher 9 günde, Tunca 12 günde yapmaktadır. luklar, mutlak değeri en küçük hangi tam sayılarla ters orantılıdır? a. 2, 3 b. 2, 4, 5 c. 2 , 3, 4 d. 1, 3, 4, 6 Gevher tek başına 3 gün çalışırsa, kalan işi Tunca kaç günde tamamlar? c. 23. Aşağıdaki sayılarla ters orantılı olan çokluklar, mutlak değeri en küçük hangi tam sayılarla doğru orantılıdır? a. 2, 3, 6 b. 3, 4 , 8 c. 2, 3, 4, 6 d. 2 3 3 4 , , , 3 4 5 7 Bir grup işçi 12 dönümlük bahçenin fındığını 8 günde toplarken, bu işçilerin 3 fazlası 18 dönümlük bahçenin fındığını 6 günde toplamıştır. Bu işçilerden 8’i, 24 dönümlük bahçenin fındığını kaç günde toplar? d. 24. Aşağıdaki çoklukları, verilen sayılarla doğru Bir balıkçı grubu 160 kg balığı paylayacaktır. Gruptaki balıkçı sayısı 2 fazla olsaydı, kişi başına 4 kg daha az balık düşecekti. Gruptaki balıkçı sayısı 3 eksik olsaydı, kişi başına kaç kg balık düşerdi? orantılı parçalara ayırınız. a. 180 ceviz; 3, 5, 7 b. 460 lira; 1 2 3 , , 2 3 4 c. 24 kg fındık; 0, 3, 5 28. Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. Alüminyumun b. Bir çırağın 2 birim iş ürettiği sürede, bir usta 5 birim iş üretmektedir. Hem çırak 25. Aşağıdaki çoklukları, verilen sayılarla ters orantılı parçalara ayırınız. a. 6200 lira; 2, 3, 5 b. 50 kg bal; 1, 2 3 , 3 5 5 c. 14 elma; 0, 1, 3 yoğunluğunun demirin 9 yoğunluğuna oranı dır. 26 1080 kg alüminyum ile kalınlığı 2 mm olan 200 m2 levha üretilirse, 2340 kg demir ile kalınlığı 3 mm olan kaç m2 levha üretilir? 15 Oran ve Orantı Muharrem Şahin hem usta 2 pantolon diktiği sürede 3 gömlek dikmektedir. 3 usta 8 saatte 20 pantolon dikerse, 8 çırak 12 saatte kaç gömlek diker? c. hızıyla hareket eden bir otomobilin, frene basıldıktan sonra durana kadar aldığı yolun uzunluğu; 2 ile doğru orantılı, lastiklerle yol arasındaki sürtünme katsayısı ile ters orantılıdır. 80 km/h hızla giden bir otomobil sürtünme katsayısının k olduğu bir yolda 40 m’de durabiliyorsa; 100 km/h hızla giden bir otomobil sürk tünme katsayısının olduğu bir yolda 2 kaç m’de durabilir? 16
© Copyright 2024 Paperzz