Önsöz Değerli Öğrenciler, Bu fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak şekilde hücrelere ayrılarak işlenmiştir. Öğrenci ve öğretmenlere kolaylık olması için konu sırası ve kapsamı Milli Eğitim Bakanlığı müfredatı ile tam uyumludur. Fasikül baştan sona kazanım temelli hazırlanmıştır. Her hücre bir kazanımla ilişkilendirilmiştir. Fasikül aşağıdaki bölümlerden oluşmaktadır, Bilgi Kavrama Kutusu: Anlamlı en küçük hücredir. Önce kısa, temel bir bilgi verilir daha sonra da bu bilginin kavranması için örnek çözümler yapılır. Uygulama Kutusu: Bilgi kavrama kutusundaki bilginin uygulaması niteliğindedir. Bilgi dikkatle okunup, çözümlü örnekler incelenirse bu bölümdeki sorular kolaylıkla çözülür. Kontrol Testi: Birkaç hücrenin birleştirilerek anlamlı bir bütün oluşturduğu bölümdür. Birkaç bilgi kavrama kutusundan sonra verilen ve bu hücrelerdeki bilgilerin birleştirilmesi ile çözülebilecek sorulardan oluşan bölümdür. Karma Test: Fasikülün sonundaki bölümdür. Sorular ilk 2-3 testte konu sırasına göre gelir. Diğer testlerde karma sorular vardır. Sorular giderek zorlaşır. Tüm bilgi- kavrama kutularını birleştiren bölümdür. Fasikül Programlı Öğretim yöntemine ve Bloom ‘un “Eğitsel Hedeflerin Taksonomisi” ne göre hazırlanmıştır. Bireysel öğrenmeyi kolaylaştıran “Küçük Adımlar İlkesi”, “Bireysel Hız İlkesi”, “Aşamalı İlerleme İlkesi” gibi ilkeler gözetilmiştir. Programlı öğretim kendi kendine ve bir sınıf içinde aşamalı öğrenme yöntemidir. Bilginin özel parçalara veya temel öğelere ayrılarak belirli bir sıraya göre düzenlenip bireysel esasa göre öğrenilebileceği varsayımına dayanmaktadır. Öğretimin bireyselleşmesi ve tam öğrenme ilkeleri temele alınmaktadır. Programlı öğretim öğrencinin öğrenme sürecine etkin katılımını, bireysel öğrenme hızına göre ilerleme kaydetmesini ve öğrenme sonucunun anında kontrol edilmesini sağlayan bir öğretim tekniğidir. Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Üveys AKKAYA [email protected] 5 Neden Öğreneceğiz? En genel manada matematik; soyut veya somut nesneleri, bu nesnelere ait özellikleri ve bunlar arasında ilişkileri matematiksel bir dil ve tutarlılıkla ortaya koyma ve uygun genellemelerde bulunma cabasıdır. Bu bağlamda, modern matematiğin en temel kavramlarından birisi küme kavramıdır. Kümeler, nesnelerle ilgili düşünebileceğimiz en basit ilişkilerden olan gruplandırma ve sınıflandırmalara karşılık gelmektedir. Kümeler konusunda, nesnelere odaklanmadan nesneler arasındaki gruplandırma ilişkilerinin genel kural ve özellikleri üzerinde çalışacağız. Matematiğin birçok konusu kümeler üzerine inşa edilebilir. Örneğin, üçüncü ünitede göreceğimiz fonksiyonlar, kümeler aracılığıyla tanımlanmakta ve de fonksiyonların kullanıldığı matematiğin her alanında kümelerden faydalanılmaktadır. Benzer şekilde, kümeler yardımıyla elimizdeki bilgi ve verileri düzenler, bunlar üzerinde istatistiki analizler yapabiliriz. İstatistikte kümeleri kullanmak, bize veriler üzerinde daha düzenli bir çalışma imkanı sunar.* Ne Öğreneceğiz?* (Kazanımlar) 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler kullanır. 2. Evrensel küme, boş küme, sonlu küme ve sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar. 3. İki kümenin eşitliğini açıklar. 4. Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 5. Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar, bu işlemler arasındaki ilişkiyi ifade eder. 6. İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar. 7. Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer. *Meb 9. Sınıf Ders Kitabı, 2013 6 İçindekiler Önsöz........................................................................................................................................................... 5 Ne Öğreneceğiz? (Kazanımlar)..................................................................................................................... 6 İçindekiler..................................................................................................................................................... 7 Bilgi Kutusu 1 (Kazanım No 1-2-3) .............................................................................................................. 8 Uygulama Kutusu 1...................................................................................................................................... 9 Bilgi Kutusu 2 (Kazanım No 4).................................................................................................................... 10 Uygulama Kutusu 2.................................................................................................................................... 11 Bilgi Kutusu 3 (Kazanım No 4).................................................................................................................... 12 Uygulama Kutusu 3.................................................................................................................................... 13 Kontrol Testi 1......................................................................................................................................14-15 Bilgi Kutusu 4 (Kazanım No 5).................................................................................................................... 16 Uygulama Kutusu 4.................................................................................................................................... 17 Bilgi Kutusu 5 (Kazanım No 5).................................................................................................................... 18 Uygulama Kutusu 5.................................................................................................................................... 19 Bilgi Kutusu 6 (Kazanım No 5).................................................................................................................... 20 Uygulama Kutusu 6.................................................................................................................................... 21 Bilgi Kutusu 7 (Kazanım No 5)................................................................................................................... 22 Uygulama Kutusu 7.................................................................................................................................... 23 Kontrol Testi 2......................................................................................................................................24-25 Bilgi Kutusu 8 (Kazanım No 5).................................................................................................................... 26 Uygulama Kutusu 8.................................................................................................................................... 27 Kontrol Testi 3........................................................................................................................................28-29 Bilgi Kutusu 9 (Kazanım No 6)................................................................................................................... 28 Uygulama Kutusu 9.................................................................................................................................... 29 Bilgi Kutusu 10 (Kazanım No 6).................................................................................................................. 30 Uygulama Kutusu 10.................................................................................................................................. 31 Bilgi Kutusu 11 (Kazanım No 7).................................................................................................................. 32 Uygulama Kutusu 11.................................................................................................................................. 33 Bilgi Kutusu 12 (Kazanım No 7).................................................................................................................. 34 Uygulama Kutusu 12.................................................................................................................................. 35 Kontrol Testi 3......................................................................................................................................36-37 Karma Test 1.........................................................................................................................................38-39 Karma Test 2.........................................................................................................................................40-41 Karma Test 3.........................................................................................................................................42-43 Karma Test 4.........................................................................................................................................44-45 Karma Test 5.........................................................................................................................................46-47 2014-2015 Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği........................................................................................ 48 7 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 1: Küme Kavramı • Küme, iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesnelerden oluşan topluluktur. • a elemanı A kümesine aitse a ∈ A, değilse a ∉ A ile gösterilir. • A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. • Kümeler üç şekilde gösterilir. 1. Venn Şeması 2. Liste 3. Ortak Özellik A = {.....} A = {k: k, p şartını sağlar} A • Hiçbir elemanı olmayan kümeye “boş küme” denir. ∅ veya { } ile gösterilir. • Üzerinde işlem yapılan tüm elemanları kapsayan kümeye “evrensel küme (E)” denir. • Bir kümenin eleman sayısı doğal sayı ise “sonlu kümedir”, değilse “sonsuz kümedir.” • Aynı elemanlardan oluşan kümelere “eşit kümeler” denir. A = B ile gösterilir. Örnek 1: Örnek 3: Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. A = {2, 3, 5, 7} kümesini ortak özellik yöntemi • A: “Nevşehir’e komşu iller” kümedir. ile yazalım. • B: “Alfabemizdeki ünlü harfler” A = {x: x, asal rakamdır} küme belirtir. • C: “En güzel renk” küme belirtmez. • D: “Haftanın günleri” küme belirtir. • E: “Sınıfımızdaki zeki öğrenciler” küme belirtmez. Örnek 4: B = {x: –2 ≤ x < 2, x tamsayı} kümesini liste yöntemi ile yazalım. B = {–2, –1, 0, 1} dir. Örnek 5: Örnek 2: A = {1, 2, 34, 5} kümesinin eleman sayısını C = {x I x2 – 16 = 0, x tamsayı} bulalım. kümesini venn şeması yöntemi ile gösterelim. C s(A) = 4’tür. 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∉ A, 4 ∉ A dır. 8 34 ∈ A, 5 ∈ A • –4 •4 x2 – 16 = 0 x2 = 16 x = 4 veya x = –4 UYGULAMA KUTUSU 1 1. A = {1, 11, 22, ∅, 3} kümesi için I. 1 ∈ A, II. 2 ∈ A, 4. III. {∅} ∈ A IV. s(A) = 7 V. s(A) = 4 A = {m: m, 7’den küçük doğal sayıdır} kümesinin farklı iki elemanının çarpımı en az kaçtır? A) 56 B) 12 C) 6 D) 2 E) 0 ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5.I. Boş küme {∅} ile gösterilir. II. Evrensel küme E ile gösterilir. A = {x: 2< x ≤ 15, x = 2n + 1, n ∈ Z} kümesinin liste yöntemi ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? A) {3, 4, 5, ......, 15} B) {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} C) {4, 6, 8, 10, 12, 14} D) {2, 3, 5, 7, 9, 11} E) {3, 5, 9, 11, 13} III.Sonsuz kümenin eleman sayısı bir doğal sayıdır. ÖZGÜN TASARI YAYINLARI 2. IV. “Türkiye Cumhuriyeti vatandaşları” küme belirtir. ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. A = {x: x2 + 1 = 0, x ∈ Z} B = {y: y rakam} C = {k: k bir doğal sayı} 6. A = {2x: x bir rakamdır} kümesinin en büyük elemanı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 15 D) 18 E) 20 kümelerinin eleman sayıları s(A), s(B), s(C) sırası ile aşağıdakilerden hangisidir? A) 2, 9, sonsuz B) 2, 10, sonsuz C) 0, 10, sonsuz D) 0, 9, sonsuz E) 10, 0, sonsuz 1. A 2. B 3. C 4. E 5. B 6. D 9 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 2: Alt Küme • A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı oluyorsa “A alt küme B’dir” A ⊂ B veya A ⊆ B ile gösterilir. A alt küme B ise B ⊃ A veya B ⊇ A ile de gösterilir. B kapsar A’dır. • ∅ ⊂ A dır. • A ⊂ A dır. • A ⊂ E dir. • A ⊂ B ve B ⊂ C ise A ⊂ C dir. • n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n dir. • n elemanlı bir kümenin öz alt küme (kendisi haricindeki alt kümeleri) sayısı 2n–1 dir. Örnek 1: Örnek 3: A = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerini yazalım. 127 olan kümenin eleman sayısını bulalım. 0 elemanlı alt küme ∅ 1 elemanlı alt küme {1}, {2}, {3} 2 elemanlı alt küme {1,2}, {1,3}, {2,3} 3 elemanlı alt küme {1, 2, 3} Alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı toplam = 8 = 2 3 • A’nın tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet s(A) = n olsun 2n + 2n – 1 = 127 2 . 2n = 128 2n = 64 n = 6 dir kümesi denir. Örnek 4: Bir kümenin eleman sayısı 1 arttırıldığında alt küme sayısı 32 artıyor. Bu kümenin eleman sayısını bulalım. Örnek 2: Özalt küme sayısı 255 olan kümenin eleman sayısını bulalım. s(A) = n s(B) = n+1 alt küme sayısı alt küme sayısı 2n s(A) = n 2n = 256 2 =2 n 10 8 olduğundan n = 8 dir. 2n+1 – 2n = 32 2n . 2 – 2n = 32 2n = 32 n=5 2n+1 UYGULAMA KUTUSU 2 1. 4.A = {1, 2, 3} A = {x: x asal rakamdır} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı kaçtır? A) 7 B) 15 C) 31 D) 63 A ⊂ D ⊂ B olduğuna göre D’nin eleman sayısı kaç farklı tamsayı değeri alır? E) 127 A) 3 2. A kümesinin eleman sayısı B kümesinin eleman sayısından 2 fazladır. Buna göre A kümesinin alt küme sayısı B kümesinin alt küme sayısının kaç katıdır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 C) 5 D) 6 E) 7 5. A ve B farklı iki küme, E evrensel kümedir. I. ∅ ⊂ A dır. ÖZGÜN TASARI YAYINLARI B) 4 II. B ⊂ E dir. III.A ⊂ B ise B ⊂ A dır. IV. B ⊂ B dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I, II B) I, II, III D) I, II, IV C) II, III, IV E) Hepsi 3. Eleman sayısı ile alt küme sayısının toplamı 135 olan küme kaç elemanlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6.A = {a, b, c, d} B = {b, c, d, e, f} olmak üzere T ⊂ A ve T ⊂ B koşulunu sağlayan kaç farklı T kümesi yazılabilir? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 1. C 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 11 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 3: Bulunur - Bulunmaz Soruları A = { a, b, c, d, e} olsun A’nın alt kümelerinin kaç tanesinde; • a bulunmaz ➞ A1 = {b, c, d, e} kümesinin alt kümesinde a yoktur. • a bulunur ➞ A2 = {b, c, d, e} kümesinin her alt kümesine a eklenir. veya: (Tüm alt küme sayısı) - (a’nın olmadığı alt küme sayısı) • a ve b bulunur ➞ A3 {c, d, e} kümesinin her alt kümesine a ve b eklenir. • a veya b bulunur ➞ (Tüm alt küme sayısı) - (a ve b’nin olmadıkları) e) 2 veya 4 bulunur? Örnek 1: Aşağıdaki soruları A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesine göre bulalım. Tüm alt küme sayısı: 32 2 ve 4’ün bulunmadığı: 23 = 8 2 veya 4’ün bulunduğu: 32 – 8 = 24 a) A’nın alt küme sayısı 25 = 32 f) 3 veya 5 bulunur? Alt kümelerinin kaç tanesinde, b) 1 bulunmaz? A1 = {2, 3, 4, 5} ➞ 2 = 16 4 A4 = {1, 2, 4} kümesinin alt küme sayısı 8’dir. (3 ve 5 yoktur) Bu 8 kümenin her birini; 3 eklenirse ➞ 8 5 eklenirse ➞ 8 24 olur 3 ve 5 eklenirse ➞ 8 c) 1 ve 2 bulunmaz? A2 = {3, 4, 5} ➞ 23 = 8 g) En az bir tane çift sayı bulunur? d) 1 bulunur? A3 = {2, 3, 4, 5} kümesinin alt küme sayısı 16’dir. Her kümeye 1 eklenirse 1 bulunur. A5 = {1, 3, 5} ➞ 23 = 8 tane kümede çift sayı yoktur. Bu kümelere 2 eklenirse 8 tane 4 eklenirse 8 tane 2 ve 4 eklenirse 8 tane 12 24 tane olur UYGULAMA KUTUSU 3 Aşağıdaki soruları A = {a, b, c, d, 1, 2} kümesine göre cevaplayınız. 1. A’nın alt kümelerinin kaç tanesinde rakam bulunmaz? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 4. A’nın alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir rakam bulunur? E) 64 A) 8 A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 3. A’nın alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya d bulunur? A) 64 B) 48 C) 32 D) 16 E) 8 C) 16 D) 32 E) 48 5. A’nın alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunmaz, b bulunur? ÖZGÜN TASARI YAYINLARI 2. A’nın alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur 1 bulunmaz? B) 12 A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 24 6.Özalt kümelerinin kaç tanesinde a veya b bulunur? A) 64 B) 63 C) 47 D) 45 E) 31 1. C 2. C 3. B 4. E 5. B 6. C 13 KONTROL TESTİ - 1 5. 1. Aşağıdakilerden hangisi küme belirtir? A) İyi futbol oynayanlar B) Bazı günler C) Uzun boylular A = {1, 2} ve B = {3, 4, 5, 6} olduğuna göre B’nin özalt küme sayısı A’nın alt küme sayısından kaç fazladır? A) 3 B) 7 C) 9 D) 11 E) 14 D) Negatif doğal sayılar E) Güzel arabalar 2. 6. Eleman sayısı ile özalt küme sayısının toplamı alt küme sayısından 6 fazla olan kümenin eleman sayısı kaçtır? A = {x: –2 < x < m, x, m ∈ Z} kümesinin eleman sayısı 7 olduğuna göre m kaçtır? B) 6 C) 7 D) 8 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 E) 9 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 5 A) 5 3. A = {x: –5 ≤ x ≤ 5, x ∈ Z} B = {y: y2 < 12, y ∈ A} olduğuna göre s(B) kaçtır? A) 4 C) 6 A = {1, 2, a, b} B = {1, 2, 3, a, b, c, d} D) 7 E) 8 olduğuna göre A ⊂ R ⊂ B şartını sağlayan A’dan farklı kaç tane R kümesi vardır? A) 7 14 B) 5 4. 7. “İNCEKARA” kelimesinin harflerinden oluşan kümenin alt küme sayısı kaçtır? B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A) 32 B) 64 C) 96 D) 128 E) 256 8. Eleman sayısı 2 azalan kümenin alt küme sayısı 48 azaldığına göre eleman sayısı 2 artarsa alt küme sayısı kaç artar? A) 224 B) 192 C) 152 D) 96 E) 48 9. 13. A = {1, 2, 4, 5, 6, 8} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde çift sayı bulunmaz? A) 2 10. B) 3 C) 4 D) 8 E) 16 kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı negatif tamsayı olur? C) 16 11. A = {1, 2, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} D) 24 B’nin alt kümelerinden kaç tanesi A’yı kapsar? A) 8 B) 16 C) 32 D) 48 A) 16 1. D 2. B B) 24 3. D C) 25 4. A 5. D N = {a, 1, b, 2, c, 3, d} olsun 7. D 8. B E) 232 N’nin alt kümelerinden kaç tanesi M’yi kapsamaz? A) 8 B) 16 C) 24 D) 96 E) 112 15.Eleman sayısı t kadar artan bir kümenin alt küme sayısı kaç katına çıkar? A) 4 B) t C) 2t D) 2t E) t2 16.Eleman sayıları çarpımı 12 olan iki kümenin alt küme sayıları toplamı en az kaçtır? D) 128 E) 129 6. C D) 216 E) 64 12.Eleman sayıları toplamı 7 olan iki kümenin alt küme sayıları toplamı en çok kaçtır? C) 212 M = {a, b, c} E) 32 B) 28 14. ÖZGÜN TASARI YAYINLARI B) 8 kümesinin alt kümelerinden oluşan kümenin alt küme sayısı kaçtır? A) 24 A = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} A) 4 A = {1, 2, 3, 4} A) 8 9. C 10. C B) 16 11. B 12. E C) 24 13. D 14. E D) 65 15. D E) 258 16. C 15 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 4: Birleşim ve Kesişim İşlemi 1. A ∪ B = {x: x ∈ A veya x ∈ B} •A∪A=A •A∪E=E • A ∪ ∅ = A • A ∪ B = B ∪ A 2. A ∩ B = {x: x ∈ A ve x ∈ B} • A ∩ ∅ = ∅ • A ∩ B = B ∩ A •A∩A=A •A∩E=A • A ⊂ B ise A ∪ B = B • A ⊂ B ise A ∩ B = A • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) • A ∪ B = ∅ ise A = ∅ ve B = ∅ • (A ∩ B) ⊂ A ve (A ∩ B) ⊂ B • A ⊂ (A ∪ B) ve B ⊂ (A ∪ B) Örnek 1: Örnek 2: A = {1, 2, 3} ve B = {2, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre s(A) = 4, s(A ∩ B) = 2 ve B kümesinin özaltkü- A ∩ B ve A ∪ B kümelerini bulalım ve venn me sayısı 63 olduğuna göre s(A ∪ B) kaçtır? şeması ile gösterelim. Çözüm: Çözüm: 2n – 1 = 63 ➠ 2n = 64 ise n = 6 A ∩ B = {2} olduğundan s(B) = 6 dir. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) •4 •1 B = 4 + 6 – 2 = 8 dir. •5 •2 •6 •3 •7 (A ∩ B) (A ∪ B) Örnek 3: A ⊂ B ve (A ∪ B)’nin alt küme sayısı 128 olduğuna göre s(B) kaçtır? Uyarı ! A, B, C kümeleri için; • s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) dir. 16 Çözüm: • s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) A ⊂ B ise A ∪ B = B dir. – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + 2n = 128 ise n = 7 dir. s(A ∩ B ∩ C) s(A ∪ B) = s(B) = 7 dir. UYGULAMA KUTUSU 4 1. A = {1, 2, {3, 4} 5} B = {1, {2} 3, 4, 5} 3.A, B ve A ∩ B kümelerinin alt küme sayıları sırası ile 64, 32, 4’ tür. olduğuna göre A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2, 3, 4, 5} B) {1, {2}, {3, 4}, 5} C) {1, 5} D) {2, 3, 4} Buna göre s(A ∪ B) kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12 E) ∅ ÖZGÜN TASARI YAYINLARI 2. Boştan farklı A, B, C kümeleri için A ⊂ B ve A ⊂ C olduğuna göre; 4. A ve B kümeleri için I. B = C dir. s(A) = 5 ve s(B) = 8 II. (A ∪ B) ⊂ (A ∪ C) dir. III.(A ∩ B) ⊂ C dir. IV. A ⊂ (B ∪ C) dir. A) 6 V. A = (B ∩ C) dir. ifadelerinden kaç tanesi her zaman doğrudur? A) 1 B) 2 olduğuna göre s(A ∪ B) nin en küçük değeri ile en büyük değerinin toplamı kaçtır? C) 3 D) 4 B) 9 C) 12 D) 18 E) 21 E) 5 1. C 2. B 3. D 4. E 17 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 5: Fark İşlemi • A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanlara “A fark B kümesi” denir ve A – B ile gösterilir. A • A – B = {x I x ∈ A ve x ∉ B} • B – A = {x I x ∈ B ve x ∉ A} B A–B B–A • A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kümelerdir. A Δ B = (A – B) ∪ (B – A) simetrik fark • s(A ∪ B) = s(A – B) + s(A ∩ B) + s(B – A) • A – A = ∅ • A –∅ = A • A – E = ∅ Örnek 1: A = {1, 2, 3, 4, 5} Örnek 3: B = {3, 4, 5, 6, 7} A, B, C kümeleri için olduğuna göre A – B ve B – A kümelerini yazalım. A – B = {1, 2} Yanda verilen şemadan aşağıdaki eşitlikleri gösterelim. a) (A – B) ∩ (B – A) = ∅ {a, b} ∩ {d, e} = ∅ A B •a •b •c b) (A – B) ∪ B = A ∪ B dir. {a, b} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e} c) A – (A – B) = A ∩ B {a, b, c} – {a, b} = {c} d) A – (B – A) = A 18 {a, b, c} – {d, e} = {a, b, c} A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) olduğunu küme işlemleri ile ispat edelim. B – A = {6, 7} Örnek 2: • A ≠ B ise A – B ≠ B – A dır. •d •e A – (B ∪ C) = {x: x ∈ A ve x ∉ B ∪ C} = {x: x ∈ A ve x ∉ B ve x ∉ C} = {x: x ∈ A ve x ∉ B ve x ∈ A ve x ∉ C} = {x: x ∈ A – B ve x ∈ A – C} = (A – B) ∩ (A – C) dir. UYGULAMA KUTUSU 5 1.s(A ∪ B) = 12 ve s(A Δ B) = 7 4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10} olduğuna göre A ∩ B nin alt küme sayısı kaçtır? A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128 olduğuna göre (A – B) ∩ (A – C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {2, 4, 6, 8, 10} B) {1, 2, 3, 4, 5, 6} C) {8, 10} D) {2, 4, 6} E) {1, 3, 5} 2.s(A) = 17 ve s(A ∩ B) = 10 olduğuna göre A – B kümesinin özalt küme sayısı kaçtır? A) 31 B) 63 C) 127 D) 255 E) 511 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI 5. s(A ∪ B) = 25 s(A – B) = 11 s(B – A) = 10 A) 15 3.s(A) = 10 ve s(B – A) = 6 olduğuna göre s(A) kaçtır? B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 olduğuna göre A – (B – A) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 10 C) 16 D) 24 E) 32 1. C 2. C 3. B 4. E 5. A 19 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 6: Tümleme İşlemi • A’ya ait olmayan elemanlardan oluşan kümeye A’nın tümleyeni denir ve Al veya Ar ile gösterilir. A kümesi Al = {x: x ∉ A} dır. • ^ Alhl = A • El = Ø ve Øl = E • A – B = A ∩ Bl dır. Örnek 1: Al kümesi • A ∪ Al = E ve A ∩ Al = Ø dir. • E – A = Al dır. • s(A) + s( Al ) = s(E) dir. Örnek 3: A A = {1, 2, 3, 4} ve Bl = {3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre A – B kümesini bulalım. B •a •e Çözüm: •d •f •g A – B = A ∩ Bl olduğundan A ∩ Bl = {3, 4} = A – B dir. •c •b C Yukarıda verilen şemaya göre aşağıdaki kümeleri bulalım. a) A – (B ∪ C) = {a,b,d,e} – {b, c, d, e, f, g} Örnek 2: = {a} s(A) + s(Bl ) = 13 s( Al ) + s(B) = 11 olduğuna göre s(E) kaçtır? c) Bl ∩ (A – C) = {a, e, g} ∩ {a, b} = {a} s( Al ) + s(B) = 11 + d) Al ∩ (Bl – C) = {c, f , g} ∩ {a} = Ø Çözüm: 20 b) A ∩ Bl = A – B = {a, e} s(A) + s(Bl ) = 13 s(A) + s( Al ) + s(B) + s(Bl ) = 24 s(E) s(E) 2 . s(E) = 24 ise s(E) = 12 dir. Bl – C = {a, e, g} – {e, d, f, g} = {a} UYGULAMA KUTUSU 6 1. 4. E evrensel kümedir. Al ∩ (A ∪ B) kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A B) B D) B – A C) A – B s(A) + s( Al ) = 24 ve s(Bl ) =17 E) A ∩ B olduğuna göre B kümesi kaç elemanlıdır? A) 7 B) 9 C) 11 D) 15 E) 24 2. olduğuna göre A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, b} B) {2, a, b} D) {1, 3, 5, 6, 7} C) {1, 2, a, b} E) {1, 2, 3, a, b, 7} ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A = {1, 2, a, b} , Bl = {1, 3, 5, 6, 7} 5. A ve B evrensel (E) kümenin iki alt kümesidir. K = (E – A) – B olduğuna göre K’nın tümleyeni aşağıdakilerden hangisidir? A) A – B 3. A – (A–B)l B) A ∩ B D) B – A C) A ∪ B E) B kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) Ø B) A ∪ B D) A ∩ B C) B – A E) A – B 1. D 2. B 3. E 4. A 5. C 21 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 7: De Morgan Kuralları • (A + B)l = Al , Bl ve • (A + Bl )l = Al , B ve • (Al , B)l = A + Bl ve ^ A , Bhl = A l + Bl dir. ^ A l + Blhl = A , B olur. ^ A l , Blhl = A + B olur. Örnek 1: Örnek 3: ^ A + Bhl = A l , Bl olduğunu gösterelim. ^ A + Bhl = " x: x z A + B , = " x: x z A veya x z B , = " x: x z A , , " x: x z B , = Al , Bl olur. A = {1, 2, 3, 4} B= {3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre ^ A l + Blhl kümesini bulalım. Çözüm: ^ A l + Blhl = ^ A lhl , ^Blhl = A , B A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Örnek 4: s ^6Al , B@lh = 7 ve s(A) = 11 Örnek 2: ^ A l , Blhl = Ø olduğuna göre; I. A = Ø ve B=Ø II. A ve B ayrık kümelerdir. ise A ∩ B nin alt küme sayısını bulalım. Çözüm: III.A ∪ B = E 6A l , B@l = A + Bl = A–B ifadelerinden hangileri doğrudur? s(A–B) = 7 dir. s(A) = s(A – B) + s(A∩B) Çözüm: ^ A l , Blhl = A + B = Ø olduğundan yalnız II doğrudur. 22 11 = 7 + s(A∩B) ise s(A∩B) = 4 tür. alt küme sayısı = 24 = 16’dır. UYGULAMA KUTUSU 7 1. s(A ∪ B) = 16 3. Boştan farklı A ve B kümeleri için s ^6Al , Bl@lh = 7 olduğuna göre A Δ B simetrik fark kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 s ^ Al , Bh = 9 olduğuna göre B) 16 C) 32 D) 64 4 E) 128 B) 24 C) 36 D) 45 E) 55 K = Al , B L = A , Bl olarak tanımlanıyor. A – B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 8 s(A) nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 18 E) 11 2. E evrensel kümesinin eleman sayısı 15’tir. ÖZGÜN TASARI YAYINLARI s ^6Al + Bl@lh = 10 olduğuna göre s ^Klh = 6 ve s ^Llh = 7 olduğuna göre s(A Δ B) kaçtır? A) 1 B) 6 C) 7 D) 13 E) 20 1. C 2. D 3. E 4. D 23 KONTROL TESTİ 2 4. A, B, C kümeleri evrensel kümenin alt kümeleridir. 1. A ve B kümelerdir. s(A) = 8 ve s(B) = 10 olduğuna göre s(A ∪ B) nin en küçük değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 s(A) + s(Bl ) = 14 s( Al ) + s(B) = 16 s(Cl ) = 9 olduğuna göre s(C) kaçtır? 2. A – B kümesinin alt küme sayısı 8, B – A kümesinin özalt küme sayısı 31’dir. s(A ∪ B) = 12 olduğuna göre A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 2 C) 8 D) 16 E) 32 B) 6 A = {a, b, c, d, e} B = {a, c, d, k, m, n} A) 3 B) 8 kümesi aşağıdakilerden hangisine her zaman eşittir? s(A – B) = 8 s(B – A) = 3 D) A ∪ B E) B – A E) 10 C) 10 D) 12 E) 16 s(A) = 2 . s(B) C) A ∩ B D) 9 kümelerinin alt kümelerinden kaç tanesi ortaktır? 6. B) A C) 8 5. 3. (A ∪ B) – (A – B) A) B 24 B) 4 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 4 olduğuna göre s(A ∩ B) kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 10.A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir. 7.A kümesinin eleman sayısının 4 katı B kümesinin eleman sayısının 5 katına ve kesişimin eleman sayısının 20 katına eşittir. A – B’nin eleman sayısı 80 olduğuna göre B’nin eleman sayısı kaçtır? A) 40 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120 s(A) + s(B) + s(C) = 25 s( Al ) + s(Bl ) = 7 s(E) = 11 olduğuna göre s(Cl ) kaçtır? 8. Boştan farklı A ve B kümeleri için A ⊂ B ve s(A) + 2 . s(B) = 24 olduğuna göre s(A ∩ B) en az kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 1 B) 3 11. s(A) = 7 s(B) = 8 s(A ∩ B) = 2 s(A ∪ B) = 27 s(A ∩ B) = 3 2 . s(B) = s(A) B) 13 küme sayısı kaçtır? B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 K = ^B – A hl , ^ A – Bhl C) 15 D) 17 E) 21 olduğuna göre K kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A 2. D 3. A 4. B 5. B 6. D 7. C B) B D) A ∪ B 1. C E) 10 12.Birbirinden farklı A ve B kümeleri için, olduğuna göre s(A – B) kaçtır? A) 11 D) 7 olmak üzere evrensel kümenin eleman sayısı 16 olduğuna göre ^ A l + Blh kümesinin alt A) 1 9. C) 5 8. B 9. D 10. A C) A ∩ B E) E 11. D 12. E 25 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 8: Venn Şeması ile Verilen Kümenin İfadesi A B A A B B A–B B∩A B–A Al A∪B A B (A + B)l A B C A B C A ∩ B ∩C C A – (B ∪ C) Örnek 1: C – (A ∩ B) Örnek 3: A B A B C C Taralı Alan: C ∩ (A ∪ B) Taralı Alan: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) Örnek 2: Örnek 4: A B A B C C Taralı Alan: A l + Bl + Cl 26 Taralı Alan: C – (A ∪ B) UYGULAMA KUTUSU 8 1. A C B 3. C) (A ∪ C) – C 2. B) ^ A + Bhl , Bl D) A ∩ ^B–Chl E) ^Cl + Bhl , A Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir? A) ^ A l , Blh + C B) A ∩ B ∩ C C) B – (A ∪ C) D) (B – A) ∪ (B – C) A B C Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir? A) (A ∩ B) ∪ C 4. Şekildeki taralı bölgenin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ^ A + B + Chl C) (A – B) ∪ C C E) Al + Cl + Bl ÖZGÜN TASARI YAYINLARI B A E A B B) (C – A) ∪ (C – B) D) ^ A + Bhl + Cl E) ^ A l + Blh + C C Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir? A) A l , ^C – Bh B) Bl , Cl + A l C) ^ A , Bhl , C D) A + Bl , C E) Al + Bl 1. D 2. B 3. C 4. E 27 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 9: Kartezyen Çarpım • a ∈ A ve b ∈ B olmak üzere (a, b) ifadesine “sıralı ikili” ya da kısaca “ikili” denir. a, birinci bileşen b, ikinci bileşendir. • a ≠ b ise (a, b) ≠ (b, a) dır. • (a, b) = (c, d) ise a = c ve b = d dir. • İlk bileşeni A’dan ikinci bileşeni B’den alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililere “A kartezyen çarpım B” kümesi denir. A x B = {(a, b) I a ∈ A ve b ∈ B} • s(A x B) = s(A) . s(B) dir. Örnek 1: Örnek 3: A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} ise A x B ve B x A A kümesinin eleman sayısı 5 ve kümelerini bulalım. B kümesinin alt küme sayısı 4 olduğuna göre s(A x B) kaçtır? Çözüm: Çözüm: A x B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } B nin alt küme sayısı 4 ise B x A = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } 2n = 4 = 22 olduğundan s(B) = 2 dir. s(A x B) = s(A) . s(B) Örnek 2: = 5 . 2 = 10 dur. Örnek 4: (2x+1, 3) = (16, y – 2) A = {1, 2, 3} olduğuna göre x ve y yi bulalım. A2 = A x A olduğuna göre B = {1, 2, a, b} s(A2) + s(B2) kaçtır? Çözüm: (2x+1, 3) = (16, y – 2) s(A2) = s(A) . s(A) = 3 . 3 = 9 2x+1 = 16 3 = y–2 2x+1 = 16 5=y s(B2) = s(B) . s(B) = 4 . 4 = 16 + 25 x+1=4 x=3 28 Çözüm: UYGULAMA KUTUSU 9 1. (a + b, 9) = (17, a – b) olduğuna göre a . b çarpımı kaçtır? A) 36 B) 42 C) 48 D) 52 E) 64 4. A = {a, b, c} B = {b, c, d} C = {c, d, e, f} olduğuna göre (A ∪ B) x C kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 12 2. olduğuna göre s(A) + s(B) nin en büyük değeri kaçtır? A) 12 B) 13 C) 14 3. A = {x: x2 – 1 = 0, x ∈ R} B = {x: – 1 < x ≤ 3, x ∈ Z} C) 18 D) 20 E) 25 s(A x B) = 12 D) 15 E) 20 olduğuna göre A x B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI B) 16 5. s(A x B) = 20 s(B x C) = 30 olduğuna göre s(A) + s(B) + s(C) en küçük değeri kaçtır? A) 9 6. B) 12 C) 15 D) 18 E) 51 D) 15 E) 11 (x + y, 7) = (5, x .y) olduğuna göre x2 + y2 kaçtır? A) 24 B) 20 C) 18 1. D 2. B 3. D 4. B 5. C 6. E 29 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 10: Kartezyen Çarpımın Özellikleri ve Grafiği •AxØ=ØxA=Ø • A x (B x C) = (A x B) x C • A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) • A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) • A x B nin grafiği çizilirken A kümesinin elemanları yatay eksene, B kümesinin elemanları düşey eksene yazılır. (a, b) şeklindeki noktalar işaretlenir. B (a,b) b • A ⊂ B ve C ⊂ D ise A a • (A x C) ⊂ (B x D) dır. Örnek 1: Örnek 3: s(A) = 4 A = {–1, 1, 2} B = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} C = {1, 3, 5, 7, 9} olduğuna göre A x B ve B x A nın grafiğini olduğuna göre s ^^ A x Bh + ^ A x Chh yi bulalım. Çözüm: Çözüm: (A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C) dir. (B ∩ C) = {1, 3, 5}, s(B ∩ C) = 3 s(A x (B ∩ C)) = s(A) . s(B ∩ C) çizelim. A x B = {(–1, 2), (–1, 4), (–1, 6), (–1, 8), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)} B 8 = 4 . 3 = 12 dir. 6 4 2 1 A 2 B x A = {(2, –1), (2, 1), (2, 2), (4, –1), (4, 1), (4, 2), Örnek 2: A = {1} B = {1, 2} C = {a, b} D = {a, b, c} (6, –1), (6, 1), (6, 2), (8, –1), (8, 1), (8, 2)} A 2 olduğuna göre A x C ve B x D’ yi bulalım. A x C = {(1, a) (1, b)} 1 B x D = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} 30 –1 –1 2 4 6 8 B UYGULAMA KUTUSU 10 1. B 3 3. A = {1, 2, 3, 4} B = {4, 5, 6, 7, 8} 2 1 3 A) 2 A 1 3 4 5 Şekilde A x B’nin grafiği verilmiştir. Buna göre s(A ∪ B) kaçtır? B) 3 C) 4 2. A = {–1, 1, 3} B = {1, 3, 5} D) 5 B) 3 1 7 C) 2 D) 4 E) 5 4. A = {a, 1, b, 2} B = {3, c, d, 4} C = {x I x = 5} olduğuna göre s(A x B x C) kaçtır? A) 80 B) 40 C) 20 D) 16 E) 8 5 3 1 3 1 5 –1 –1 C) 1 3 5. D) –1 1 3 5 –1 –1 5 B) 2 E) 6 olduğuna göre B x A’nın grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 2 olduğuna göre A x B’nin grafiğindeki noktaları dışarıda bırakmayan en küçük yarıçaplı çemberin yarıçapı kaç birimdir? 3 5 s(A) = 2, s(B) = 5, s(C) = 3 olduğuna göre (A x B) ∪ (A x C) kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? A) 30 B) 24 C) 18 D) 16 E) 6 –1 E) 5 3 1 1 3 5 1. D 2. A 3. B 4. D 5. D 31 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 11: Küme Problemleri Almanca a • Almanca konuşanların sayısı: a + b İngilizce b c • Yalnızca Almanca konuşanların sayısı: a • Yalnız bir dil konuşanların sayısı: a + c d • En az bir dil konuşanların sayısı: a + b + c • En çok bir dil konuşanların sayısı: a + c + d • İngilizce konuşmayanların sayısı: a + d E • Hem İngilizce hem Almanca konuşanların sayısı: b Örnek 1: Örnek 2: Bir grupta 16 kişi A ve B dillerinden en az birini Bir sınıfta futbol ve voleyboldan en az biri konuşabilmektedir. Bu grupta bu dillerden yal- oynanmaktadır. Sınıfın %80 i futbol, %60 ı nız birini konuşabilen 10 kişidir. voleybol oynamaktadır. A dilini konuşabilenler B dilini konuşabilenler- Hem futbol hem voleybol oynayan 16 kişi oldu- den 4 kişi fazla olduğuna göre A dilini konuşa- ğuna göre bu sınıf kaç kişidir? bilen kaç kişi vardır? Çözüm: Çözüm: A Sınıfın tamamına 100 diyelim. B s(F ∪ V) = 100 dır. x y z s(F ∪ V) = s(F) + s(V) – s(F ∩ V) 100 = 80 + 60 – s(F ∩ V) s(F ∩ V) = 40 1. x + y + z = 16 dır. 2. Yalnız bir dil konuşabilenler: x + z x + z = 10 3. s(A) = s(B) + 4 x+y=y+z+4 ➠ x=z+4 1 ve 2’den y = 6 dır. x + z + 6 = 16 x + z = 10 2 + x–z = 4 2x = &14 x=7 32 s(A) = x + y =7+6 = 13 olur 40’a 16 kişi karşılık gelirse 100’e x kişi x = 40 olur. UYGULAMA KUTUSU 11 1. 42 kişilik bir grupta 16 kişi X gazetesini okuyor, 20 kişi Y gazetesini okumuyor. İki gazeteden en az birini okuyan 28 kişi olduğuna göre bu gazetelerden yalnız birini okuyan kaç kişi vardır? A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 3.Bir sınıftaki öğrencilerin her biri fizik veya kimya kurslarına devam ediyor. Fizik kursuna devam edenler kimya kursuna devam edenlerden 7 fazla ve her iki kursa devam edenlerin ise 4 katıdır. E) 30 Bu sınıfın mevcudu aşağıdakilerden hangisi olabilir? 2. Herkesin Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bildiği bir sınıfta Almanca bilenler Fransızca bilenlerin 2 katından 4 fazladır. İki dili bilen 8 kişidir. Sınıfta 47 kişi olduğuna göre Fransızca bilen kaç kişi vardır? A) 12 B) 17 C) 21 D) 27 E) 30 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 24 B) 26 C) 28 D) 32 E) 34 4.30 kişilik bir sınıfta matematik dersinden kalan 6, fizik dersinden geçen 20 kişi vardır. Bu iki dersten de kalan 3 öğrenci olduğuna göre sınıfta yalnız matematikten geçen kaç kişi vardır? A) 10 B) 7 C) 5 D) 4 E) 2 1. B 2. B 3. C 4. B 33 BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 12: Bölünebilme Soruları • A = {x: 21 < x < 95, x = 4k, k ∈ N} kümesi 21’den büyük 95’ten küçük 4’ün katı olan doğal sayılar kümesidir. A = {24, 28, ..., 92} • A: 3’e tam bölünen doğal sayılar B: 5’e tam bölünen doğal sayılar kümesi • 3’e ve 5’e tam bölünen doğal sayılar: A ∩ B: 15’e tam bölünür. • 3’e veya 5’e tam bölünen doğal sayılar: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) dir. • 3’e bölünen 5’e bölünemeyen sayılar: s(A – B) = s(A) – s(A ∩ B) • Artış miktarı sabit olan bir ifadedeki terim sayısı = Örnek 1: Artıs miktarı +1 Örnek 2: İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi A : {x: 22 < x < 121, x = 4k, k ∈ Z} a) 3’e B : {x: 33 < x < 105, x = 6k, k ∈ Z} olduğuna göre b) 5’e a) A ∩ B kaç elemanlıdır? c) 3 ve 5’e b) A ∪ B kaç elemanlıdır? d) 3 veya 5’e tam bölünür? e) 3’e bölünür 5’e bölünmez? Çözüm: 99–12 3 + 1 = 30 95–10 b) B = " 10, 15, 20, ....., 95 , ( 5 + 1 = 18 c) Ü + B = " 15, ....., 90 , ( 90–15 15 + 1 = 6 d) s(Ü ∪B) = s(Ü) + s(B) – s(Ü ∩ B) = 30 + 18 – 6 = 42 e) s(Ü – B) = s(Ü) – s(Ü∩B) c) A – B kaç elemanlıdır? Çözüm: a) Ü = " 12, 15, ....., 99 , ( 34 ^son terim h – ^ ilk terim h = 30 – 6 = 24 A = " 24, 28, ....., 120 , ( 120–24 + 1 = 25 4 B = {36, 42, ....., 102} ( 102–36 + 1 = 12 6 a) A + B = " 36, 48, .....96 , ( 96–36 12 + 1 = 6 b) s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) = 25 + 12 – 6 = 31 c) s(A – B) = s(A) – s(A ∩ B) = 25 – 6 = 19 UYGULAMA KUTUSU 12 1. İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 2’ye bölünür fakat 3’e bölünmez? B) 24 C) 30 D) 41 E) 45 2. A = {x: 10 < x < 64, x ∈ N} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4’e ve 6’ya bölünür? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 A) 236 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 15 3. Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 5’e veya 6’ya tam bölünür? B) 300 C) 314 D) 327 E) 344 4.A = {x: 10 ≤ x ≤ 995, x = 4n, n ∈ Z} B = {y: 10 < y ≤ 888, y = 6n, n ∈ Z} olduğuna göre A ∩ B kaç elemanlıdır? A) 48 B) 54 C) 68 D) 74 E) 84 1. C 2. B 3. B 4. D 35 KONTROL TESTİ 3 A 1. 5.A = {a, b, c, d} B B x C = {(5, a), (5, b), (6, a), (6, b), (7, a), (7, b)} A) 4 C olduğuna göre s[ (A – C) x B] kaçtır? B) 6 C) 9 D) 10 E) 12 Yukarıdaki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağdakilerden hangisidir? A) Bl + ^C – A h B) A l + ^B – Ch C) C + A l D) (A – C) – B E) (B ∩C)–(A ∩B∩C) 6.A ⊂ B ⊂ C olmak üzere s(A x B x C) = 48 olduğuna göre C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? 2. ^ x , 1 h = _ 9, y 3 i olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 9 D) 81 E) 82 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 3 7.A, B, C küme ve B ⊄ C dir. 3. (x + y + z, 5) = (2, x + z) olduğuna göre y kaçtır? A) –3 B) –1 C) 1 D) 3 E) 5 s(B ∩ C) = 7 s[(A x B) ∪ (A x C)] = 56 olduğuna göre A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? A) 2 4. C) 6 D) 7 E) 9 A = {20, 21, ....., 121} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 veya 5’e tam bölünür? A) 52 36 B) 4 B) 56 C) 61 D) 68 E) 72 8. İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 3’ün katıdır fakat 4’ün katı değildir? A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 14 9. 12.Bir kitap fuarına katılanlara yapılan ankette A 170 kişi roman 2 142 kişi hikâye 82 kişi şiir 1 1 2 3 4 48 kişi roman ve hikâye B 39 kişi hikâye ve şiir 33 kişi roman ve şiir Yukarıdaki grafikte verilenlere göre 14 kişi roman, hikâye ve şiir s(A ∩ B) . s(A) çarpımı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 cevabını vermiştir. Buna göre bu ankete katılan kişi sayısı kaçtır? 10. A = {x: x rakam} B ∩ C = {x: x < 6, x doğal sayı} ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 288 olduğuna göre s[ (A x B) ∩ (A x C)] kaçtır? A) 24 B) 36 C) 45 D) 52 Bu toplulukta üç gazeteden yalnız birine abone olan 28 kişi olduğuna göre yalnız iki gazeteye abone olan kaç kişi vardır? A) 6 B) 8 1. E 2. E C) 12 3. A 4. C D) 16 5. B 7. D Bu toplulukta her iki dili bilen 6 kişi olduğuna göre sadece İngilizce bilen kaç kişidir? A) 5 B) 10 C) 15 D) 18 E) 21 14.29 kişilik bir sınıfta gözlüklü kızların sayısı 4 ve gözlüksüz erkeklerin sayısı 6’dır. Bu sınıfta kızların sayısı erkeklerin sayısının 2 katından 4 eksik olduğuna göre kızların sayısı erkeklerin sayısından kaç fazladır? A) 3 E) 18 6. B D) 318 E) 334 13.Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu 72 kişilik bir toplulukta Almanca bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısının üç katından 6 eksiktir. E) 60 11.A, B, C gazetelerinden en az birine abone 40 kişilik bir toplulukta A gazetesine abone olan hiçbiri B veya C’ye abone değildir. B) 294 C) 308 8. A 9. B B) 5 10. E 11. C C) 7 12. A D) 9 13. C E) 10 14. C 37 KARMA TEST - 1 1. Küme kavramı ile ilgili aşağıda verilenlerden kaç tanesi doğrudur? 4. A kümesinin alt küme sayısı B kümesinin alt küme sayısından 16 eksiktir. A kümesinin eleman sayısı B kümesinin eleman sayısından kaç eksiktir? I. Bir kümenin elemanları ortak bir özelliğe sahip olmak zorundadır. A) 1 II. Eleman sayıları eşit olan kümelere eşit kü- B) 2 C) 3 D) 4 E) 16 meler denir. III.Her küme liste yöntemi ile gösterilebilir. IV. Bir kümenin elemanı başka bir kümenin elemanı olabilir. V. Eleman sayısı bir doğal sayı olan kümelere sonlu küme denir. B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. Aşağıdakilerden hangisi boş kümedir? A) {x: x bir çift asal sayıdır} B) {x: x2 – 1 = 0, x ∈ N} C) {x: x karesi negatif bir doğal sayıdır} ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 1 5. A, B kümelerdir ve A ⊄ B dir. s(A) = 8, s(B) = 10 olduğuna göre s(A ∪ B) en az kaçtır? A) 11 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16 D) {x: x + 1 = 2, x ∈ R} E) {x: Türkiye’nin en güzel şehri} 3. Aşağıdakilerden hangileri sonsuz kümedir? 6.A = {a, b, {b, c} } A = {x: a < x < b, a, b, x ∈ Z} B = {x: a < x < b, a, b ∈ Z, x ∈ R} C = {x: a < x < b, a, b ∈ R, x ∈ N} A) A 38 B) B D) B ve C C) A ve B E) A, B, C kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) {a, c} ⊂ A B) {b, c} ∈ A C) {a} ⊂ A D) b ∈ A E) a, {b, c} ∈ A 7.A = {2, 3, 4, 5, 6} kümesi üzerinde tanımlı 10.A ve B kümeleri 20 elemanlı E evrensel kümesinin alt kümeleridir. B = {(x,y) I x + y = 7 ve x, y ∈ A} kümesi veriliyor. Buna göre B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 s(A – B) = 9 ve s ^ Al + Blh = 7 olduğuna göre B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. A 8. A kümesinin eleman sayısı B kümesinin eleman sayısının 2 katıdır. A ∪ B ve A ∩ B kümelerinin eleman sayıları toplamı 27 olduğuna göre B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 18 B) 14 C) 12 D) 9 E) 6 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI B C Yukarıdaki şemada verilen taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir? A) (B ∪ C) ∩ A C) A l , Bl + Cl 9.A – B kümesinin alt küme sayısı 64 B – A kümesinin özalt küme sayısı 31’dir. s(A ∪ B) = 14 olduğuna göre A ∩ B kümesinin iki elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 1. C C) 4 2. C 3. B D) 5 4. A E) 6 5. A 6. A B) ^ A + Bhl , C D) (B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) E) B ∩ (A ∪ C) 12.A ve B boştan farklı kümelerdir. s(A x B) = 24 s(B) = 4 olduğuna göre s(A x A) kaçtır? A) 4 7. C 8. D B) 16 9. B 10. D C) 25 11. E D) 36 E) 64 12. D 39 KARMA TEST - 2 1.Bir sınıfta 11 erkek, 14 kız öğrenci vardır. Bu sınıfta 12 kişi gözlüklüdür. 4. A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. B) 4 C) 5 D) 6 s(A) + s(B) = 17 olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? s ^ Alh + s ^Blh = 11 Gözlüklü veya erkek olanların sayısı 19 olduğuna göre gözlüklü erkeklerin sayısı kaçtır? A) 3 E) 7 A) 14 2.A ⊂ B ⊂ C olduğuna göre ÖZGÜN TASARI YAYINLARI II. A l + B = ^B + Ch – A dır. III. Bl 1 Al dır. IV. B 1 ^ A l + Ch dir. V. A , B , C = C dir. ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? A) 1 3. C) 3 D) 4 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? B) B D) A ∪ B D) 22 E) 28 C) A ∩ B E) A l , B A ∪ B kümesinin eleman sayısı 66 olduğuna göre A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 128 C) 210 B) 28 D) 212 E) 214 E) 5 A + 6^ A , Bh –A@l A) A 40 B) 2 C) 18 5.A – B, B – A ve A ∩ B kümelerinin eleman sayıları sırası ile 5, 4 ve 2 ile doğru orantılıdır. I. A l + B = B – A dır. B) 16 6. (2a + 1, b – 2) = (10 – a, 2b + 4) eşitliğini sağlayan (a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (3, 6) B) (6, –3) D) (–3, –6) C) (– 6, 3) E) (3, –6) 7.28 kişilik bir sınıfta 6 kişi tiyatro ve sinemaya gitmek istemektedir. 25 kişi sinema ve tiyatrodan en az birine gitmek istemektedir. Tiyatroya gitmek isteyenlerin sayısı sinemaya gitmek isteyenlerin sayısından 3 eksiktir. A = {x: x2 – 9 = 0, x tamsayı} B = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 olduğuna göre B’nin alt kümelerinden kaç tanesi A’yı kapsar? A) 4 Buna göre bu sınıfta tiyatroya gitmek istemeyen kaç kişi vardır? B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 E) 18 8. “50 kişilik bir toplulukta 21 kişi futbol 23 kişi voleybol oynamaktadır. Her iki oyunu da oynamayanların sayısı kaçtır?” sorusunun çözülebilmesi için aşağıdakilerden hangisin verilmesi yeterli değildir? A) Voleybol oynamayanların sayısı B) Yalnız voleybol oynayanların sayısı ÖZGÜN TASARI YAYINLARI 10. 11.Bir A kümesinin alt küme sayısı T’dir. Bu kümeye, kümedeki elemanlardan farklı, 3 eleman daha eklenirse alt küme sayısı T cinsinden ne olur? A) 3 T B) 8 T D) 16 T – 3 C) 16 T E) 32 T C) Hem futbol hem voleybol oynayanların sayısı D) Yalnız futbol oynayanların sayısı E) Futbol ve voleybolden an az birin oynayanların sayısı 9.Birbirinden farklı A ve B kümelerinin alt küme sayıları toplamı 129’dur. Bu kümelerin eleman sayıları toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 1. B C) 8 2. D 3. A D) 9 4. A 12. kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ile 3 eleman olarak bulunur 2 bulunmaz? E) 10 5. D 6. E A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A) 2 7. C 8. A B) 4 9. B 10. D C) 8 11. B D) 16 E) 32 12. C 41 KARMA TEST - 3 1. 4. A ve B evrensel kümenin alt kümeleridir. A = {–1, 0, 1, 3, 5, 7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları çarpımı sıfırdır? A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 Buna göre, I. A ∪ B = Ø ise A = Ø ve B = Ø dır. II. ^ A , Bhl = A l , Bl dır. E) 64 III. A + Bl = A – B IV. (B – A) ∪ A = A ∪ B V. A ∩ B = Ø ise A = Ø veya B = Ø dır. ifadelerinden kaç tanesi her zaman doğrudur? 2. A = {–5, 5, 10, 15, 20} B = {–5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} olmak üzere B kümesinin A kümesini kapsayan alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı negatif bir tamsayıdır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 1 B) 2 C) 3 5. s(A ∪B) + s(A ∩ B) = 21 s(A) – s(B) = 7 D) 4 E) 5 D) 12 E) 14 olduğuna göre s(A) kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 6. A ve B evrensel kümenin alt kümeleri ve m ∈ N dir. 3. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde d veya f elaman olarak bulunur? A) 8 42 B) 12 C) 24 D) 32 E) 48 s(A) + s(B) = 15 + 3m s ^ Alh + s ^Blh = 7– 3m olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 22 B) 14 C) 11 D) 9 E) 6 10.Herkesin A veya B gazetesinden en az birin okuduğu 152 kişilik bir toplulukta A gazetesini okuyanların sayısı, iki gazeteyi de okuyanların 4 katı, B gazetesini okuyanların dörtte biridir. 7. A ve B evrensel kümenin alt kümeleridir. s(A) = 9 ve s(B) = 12 olduğuna göre A ∩ B’nin alabileceği kaç kaç farklı değer vardır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Bu toplulukta A gazetesini okuyan kaç kişi vardır? 8. A, B, C evrensel kümenin alt kümeleridir. s(A) + s(Bl ) = 9 s(B) + s(Cl ) = 13 s(C) + s( Al ) = 20 olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 10 9. B) 12 s(A) = 14 C) 14 ve D) 16 B) 9 s(B) = 8 1. D C) 10 2. B 3. E D) 11 4. D B) 28 C) 24 D) 20 E) 18 11.A – B kümesinin 8, B – A kümesinin 32 alt kümesi vardır. s(A – Bl ) = 5 olduğuna göre A ∪ B kaçtır? A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15 E) 18 olduğuna göre s(A ∪ B)’nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 8 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 32 12.Bir sınıfta en çok bir dil bilen 30, en az bir dil bilen 25 ve sadece bir dil bilen 20 kişi olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır? A) 32 E) 12 5. E 6. C 7. D 8. C B) 35 9. B 10. A C) 38 11. D D) 42 E) 45 12. B 43 KARMA TEST - 4 1. A = {a, b, c, d, e} 4. A = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} B = {a, b, c, d, e, f, g, k, m} B = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} olmak üzere A ⊂ T ⊂ B koşulunu sağlayan kaç tane T kümesi vardır? A) 8 C) 24 D) 32 E) 64 A = {21, 22, 23, ....., 142} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3’e bölünüp 5’e bölünmez? A) 39 B) 37 C) 35 D) 33 E) 30 % 23’ünün A kitabını % 60’ının B kitabını % 13’ünün A ve B kitabını okuduğu gözlenmiştir. Ayrıca A kitabını okuyanlar C kitabını okumamaktadır. Buna göre sınıfta A, B, C kitaplarından hiç birini okumayanların yüzdesi kaçtır? 44 C) 9 D) 2 5 E) 5 Buna göre bu sayılardan kaç tanesi 4 ya da 6 ile tam bölünebilir? A) 21 B) 26 C) 31 D) 35 E) 37 Buna göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. s(A ∪ B), s(E)’nin %60’ı dır. % 22’sinin B ve C kitabını B) 7 C) 5 5.Bir öğrenci, 4 veya 6 ile tam bölünebilen 42 tane sayıyı kartlara yazarak bir torbaya atıyor. Yazdığı sayılardan 28’i 4 ile, 25’i ise 6 ile tam bölünebilmektedir. % 45’inin C kitabını A) 5 10 6.A ve B aynı evrensel kümenin ayrık iki alt kümesidir. Evrensel kümenin elemanlarından %75’i A kümesinin elemanı değil ve %65’i B kümesinin elemanı değildir. 3. Bir sınıftaki öğrencilerin A) 2 10 B) ÖZGÜN TASARI YAYINLARI 2. B) 16 kümeleri veriliyor. A x B kümesinin tüm elemanlarını kapsayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir? D) 12 E) 14 II. s(B–A), s(E)’nin %25’i dir. III.s(A ∩ Bl ), s(E)’nin %25’i dir. IV. s ^^ A , Bhlh , s(E)’nin %40’ı dır. V. s(A∩B) boş kümedir. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. A = {2, 3, 4, 5} 10. A = {1, 2, a} B = {a, b, c, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere A ⊂ B ve B ⊂ A olduğuna göre a . b. c çarpımı kaçtır? 8. B) 24 C) 30 D) 36 A = {–3, 0, 3, 6, 9, 12} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı negatif değildir? A) 18 B) 24 C) 32 D) 48 A) 8 E) 60 E) 64 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A) 18 olduğuna göre (A ∩ B) ⊂ K ⊂ (A ∪ B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? B) 16 C) 32 D) 36 E) 64 11.Boş kümeden farklı A, B kümeleri için 4. s(A – B) = 3. s(A ∩ B) = 5 s(B – A) olduğuna göre s(A ∪ B) nin en küçük değeri kaçtır? A) 15 B) 27 C) 32 D) 40 E) 47 12.Boştan ve birbirinden farklı A ve B kümeleri için 9. A = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerinde bulunan sayıların toplamı kaçtır? A) 32 B) 24 1. B C) 18 2. D 3. B D) 16 4. C 6. D olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) A – B = B – A E) 12 5. C (A – B) ∪ B = A C) A ∩ B = Ø 7. B 8. D 9. B 10. B B) A ∪ B = B D) B ⊂ A 11. E E) A ⊂ B 12. D 45 KARMA TEST - 5 1. s(A – B) = 8 4. s(A ∪ B) = 21 s(A) < s(B) A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 A x B kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? 3. C) 12 D) 15 E) 18 kümesinin kaç tane alt kümesinin elemanları çarpımı tek sayıdır? B) 31 C) 32 D) 63 C) 10 D) 12 E) 16 5. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin kaç tane alt kümesi ardışık doğal sayılardan oluşur? A) 6 B) 7 6. A1 = {1} A2 = {2, 3} A3 = {4, 5, 6} A4 = {7, 8, 9, 10} C) 8 D) 9 E) 10 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A) 15 46 B) 10 B) 8 E) 6 2. A kümesinin alt küme sayısı B kümesinin alt küme sayısının 2 katı olduğuna göre, A) 9 kümesinin kaç tane alt kümesinin elemanları çarpımı 10’un katı olur? A) 6 olduğuna göre A ∩ B kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ÖZGÜN TASARI YAYINLARI A = {1, 2, 3, 4, 5} E) 64 Pozitif tamsayılardan yukarıdaki gibi ayrık kümeler oluşturuluyor. Buna göre 20. kümenin son elemanı kaçtır? A) 180 B) 210 C) 230 D) 260 E) 290 7. A0 = Ø 10.n bir pozitif tamsayıdır. A1 = A0 ∪ {A0} A2 = A1 ∪ {A1} An = {x: –n ≤ x ≤ n, x ∈ Z} A3 = A2 ∪ {A2} B = {y2 : y ∈ An } olarak tanımlanıyor. An = An–1 ∪ {An–1} A) 5 B) 7 C) 11 D) 14 8. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {(x, y) I x + y = 9, x, y ∈ A} B) 7 C) 8 D) 10 B) n D) 2n + 1 C) n + 1 E) 2n –1 E) 21 olduğuna göre s(B) kaçtır? A) 6 Buna göre s(B) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2n–1 olarak tanımlanıyor. Buna göre s(A24) – s(A17) farkı kaçtır? ÖZGÜN TASARI YAYINLARI E) 12 11. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} şeklinde sıra ile asal sayılardan oluşan sekiz elemanlı bir kümedir. K sayısı, A kümesinin elemanları çarpımından 1 fazla olsun. Buna göre, I. K tek sayıdır. II. K, 77’ye tam bölünür. III.K, 3n şeklinde yazılabilir (n ∈ N) IV. K 39’un katıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I 9. An = {1, 2, 3, ...., n} (n, tek doğal sayı) Bn = {(x, y) I x + y = n, x, y ∈ A} B) III - IV D) I - III - IV C) I - II - IV E) I - IV doğal sayılar yardımı ile An kümesi, An kümesi yardımı ile Bn kümesi tanımlanıyor? Buna göre s(Bn) aşağıdakilerden hangisidir? A) 5050 B) n – 1 C) n 1. C 2. C D) n + 1 E) 2n 3. B 4. D 5. A 6. B 7. B 8. C 9. B 10. C 11. A 47 Süre AY EYLÜL HAFTA 15-19 22-26 29-03 Kümelerde 5. Kümelerin birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar; bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade eder. 6. İki kümenin Kartezyen çarpımını açıklar. 6 2 4 Kurban Bayramı 7. Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer. 4. İki kümenin eşitliğini açıklar. Kümelerde Temel Kavramlar 3. Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 2 Kümelerde Temel Kavramlar 2. Evrensel küme, boş küme, sonlu küme ve sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar 2 İşlemler Kümelerde İşlemler Kümelerde İşlemler ÖZGÜN TASARI YAYINLARI Kümelerde Temel Kavramlar (CEBİR) ÖĞRENME ALANI 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler kullanır. ALT ÖĞRENME ALANLARI VE KAZANIMLAR 1. Ünite KÜMELER (18 SAAT) Düz Anlatım Soru-cevap Problem çözme, Analiz etme, Gösterip Yaptırma, Grup Çalışması ÖĞRENMEÖĞRETME YÖNTEM VE TEKNİKLERİ Eba Etkileşimli Tahta Ders kitabı KULLANILAN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ VE TEKNİKLERİ 2014-2015 Eğitim Öğretim Yılı 9. Sınıf Matematik Dersi Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği 2 SAAT DEĞERLENDİRME
© Copyright 2024 Paperzz
