DERS 1
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler
Sosyal ve Beşeri Bilimlerde Matematik–I kitabımızda doğrusal denklemleri tanımlamıştık (sayfa 85). Ayrıca, matematiksel modeli doğrusal denklemler içeren problem
örnekleri de görmüştük (sayfa 21, 22). Bu dersimizde doğrusal denklem sistemlerini
biraz daha yakından inceleyeceğiz. Dersi bitirdiğinizde
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
iki değişkenli doğrusal denklem sistemleri, çözüm, çözüm kümesi
grafik yöntemi ile çözüm
yerine koyma yöntemi ile çözüm
yok etme yöntemi ile çözüm
denk sistemler
doğrusal denklem sistemleri üzerinde temel işlemler
çok değişkenli doğrusal denklem sistemleri, çözüm, çözüm kümesi
ilaveli matris
matrisler, girdi, satır, sütun
matrislerde satır işlemleri
doğrusal denklem sistemleri üzerinde temel işlemler ile matrisler üzerinde satır
işlemleri arasındaki ilişki
konularında bilgi sahibi olabileceksiniz.
2 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
1.1. İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri. Günlük yaşamda karşılaşılan problemlerden bazılarının matematiksel modeli doğrusal denklem(ler) içerir (Bak.
Sosyal ve Beşeri Bilimlerde Matematik–I, sayfa 21, 22). Aşağıdaki örnekte matematiksel
modeli iki adet doğrusal denklem içeren bir problem görülmektedir.
Örnek 1. Manavdan alışveriş yapan bir müşteri, 3 kg elma ve 1 kg portakal için 9 TL,
diğer bir müşteri de 1 kg elma ve 2 kg portakal için 8 TL ödemiştir. Elma ve portakalın
satış fiyatını belirleyiniz.
Çözüm için, bir kg elmanın x TL den, bir kg portakalın da y TL den satıldığı varsayılırsa,
problemde verilenlerden 3x + y = 9 ve x + 2 y = 8 olduğu görülür.
Böylece, problemin matematiksel modeli
“ 3x + y = 9 ve x + 2 y = 8 denklemlerini sağlayan x ve y sayılarını belirleyiniz”
biçiminde ifade edilebilir. ■
Matematiksel modelde ifade edilen türden problemler için çözüm yöntemlerini vermeden önce konu ile ilgili bazı matematiksel terimler tanımlayacağız.
a, b, h ∈ ℝ olmak üzere ax + by = h denklemine bir (iki değişkenli) doğrusal denklem
denir. Bu ifadede x ve y sembollerine değişkenler, a ve b sayılarına katsayılar, h
sayısına da sağ taraf sabiti denir.
Verilen x0, y0 reel sayıları için ax + by = h doğrusal denkleminde x yerine x0 ve y
yerine y0 yazılınca denklem sağlanıyorsa, başka bir deyimle, ax0 + by0 = h oluyorsa, bu
takdirde (x0 , y0 ) reel sayı ikilisine bu denklemin bir çözümü denir.
Eğer a ve b sayılarından en az biri sıfırdan farklı ise, ax + by = h doğrusal denkleminin
sonsuz çoklukta çözümü vardır.
Örnek 2. 3x + y = 9 doğrusal denkleminin bazı çözümleri, (0,9), (1, 6), (3,0), (-1,12) dir.
(2,4) bu denklemin bir çözümü müdür? Neden? Her t ∈ ℝ için bu denklemde x yerine t
yazılarak y hesaplanırsa, y = - 3t + 9 elde edilir. Dolayısıyla, her t ∈ ℝ için (t,-3t+9) bu
denklemin bir çözümüdür. Diğer yandan, bu denklemin
y
Herhangi bir çözümünün birinci bileşeni t ise, ikinci bileşeni -3t + 9 olacağından bu denklemin çözüm kümesi,
Ç={(t,-3t + 9) : t ∈ ℝ}
olarak ifade edilebilir. Geometrik olarak, katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olan her iki değişkenli doğrusal denklemin grafiğinin düzlemde bir doğru olduğunu anımsayınız. Doğrusal denklemin çözümleri, grafik
üzerindeki noktalara karşılık gelen reel sayı ikilileridir.
3x+y=9 denkleminin çözümleri, yandaki doğrunun noktalarına karşılık gelen reel sayı ikilileridir. ■
(0,9)
(3,0)
x
3x+y = 9
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 3
Uyarı. Her iki katsayısı da sıfır, sağ taraf sabiti sıfırdan farklı olan bir doğrusal denklemin hiç çözümü yoktur. Örneğin, 0x + 0y = 3 doğrusal denkleminin hiç çözümü yoktur.
Eğer hem katsayılar hem de sağ taraf sabiti sıfır, yani 0x + 0y = 0 ise, her reel sayı ikilisi
bu denklemin bir çözümüdür. ■
a, b, c, d, h, k ∈ ℝ olmak üzere
ax + by = h
cx + dy = k
doğrusal denklemler topluluğuna bir (iki değişkenli) doğrusal denklem sistemi denir.
Böyle bir doğrusal denklem sisteminin bir çözümü denince her iki denklemin de çözümü olan bir (x0 , y0 ) reel sayı ikilisi anlaşılır.
Örnek 1’de ele aldığımız problemin matematiksel modeli yeni terimlerle şöyle ifade
edilebilir:
3x + y = 9
“
doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.”
x + 2y = 8
İki değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözüm kümelerini belirlemek için çeşitli
yöntemler vardır. Biz aşağıda üç yöntem üzerinde duracağız: Grafik Yöntemi, Yerine
Koyma Yöntemi, Yok Etme Yöntemi.
1.2. Grafik Yöntemi. Her iki değişkenli doğrusal denklemin grafiğinin bir doğru
olduğunu anımsayınız.
Düzlemde iki doğrunun birbirine göre konumu üç biçimde olabilir:
Kesişen doğrular
Paralel doğrular
Çakışık doğrular
4 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
İki değişkenli bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için o denklem sistemindeki doğrusal denklemlerin grafikleri aynı düzlem üzerinde (örneğin, aynı
grafik kâğıdı üzerinde) çizilir ve elde edilen doğruların ortak noktalarına, yani kesişim
noktalarına bakılır.
Kolayca görülebileceği üzere,
ax + by = h
cx + dy = k
denklem sistemine karşılık gelen doğrular
• paralel doğrular ise, denklem sisteminin hiç çözümü yoktur;
• kesişen doğrular ise, sistemin bir tane (tek) çözümü vardır;
• çakışık doğrular ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır.
3x + y = 9
Örnek 1.
denklem sistemini grafik yöntemi ile çözelim.
x + 2y = 8
y
3x + y =9
x +2 y =8
(0,9)
(0,4)
(2,3)
(3,0)
(8,0)
x
Görüldüğü üzere, bu denklem sistemine karşılık gelen doğrular bir noktada kesişmektedir. Dolayısıyla, sistemin tek bir çözümü vardır ve çözüm kümesi, Ç = {(2,3)} tür. ■
Yukarıda elde edilen çözüm, Örnek 1.1’de verilen problemin matematiksel modelinin
çözümüdür. Elmanın kilogramı 2 TL, portakalın kilogramı 3 TL den satılmaktadır. Aynı
problemin diğer yöntemlerle de çözümü yapılacaktır.
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 5
x + 2 y = −2
doğrusal denklem sisteminin grafik yöntemi ile çözümü:
Örnek 2.
2x + 4 y = 8
y
2x +4y=8
(0,2)
(-2,0)
(0,-1)
(4,0)
x
x +2y = -2
Bu örneğimizde, sisteme karşılık gelen doğrular paraleldir. Dolayısıyla, sistemin hiç
çözümü yoktur; çözüm kümesi, boş küme, Ç = ∅ dir. ■
x + 2y = 4
Örnek 3.
doğrusal denklem sisteminin grafik yöntemi ile çözümü:
2 x + 4 y = 8
y
2x +4y = 8
(0,2)
(4,0)
x
x +2y = 4
Bu örneğimizde, sisteme karşılık gelen doğrular çakışıktır. Başka bir deyimle sistemdeki
denklemlerin çözüm kümeleri aynıdır. Denklemlerden biri, örneğin x + 2y = 4
kullanılarak
x=t →
t + 2y = 4 →
y = 2 – (1/2)t
işlemleri ile çözüm kümesi, Ç = {(t , 2 – (1/2)t) : t ∈ ℝ } olarak ifade edilebilir. ■
6 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
1.3. Yerine Koyma Yöntemi. Denklemlerden biri kullanılarak değişkenlerden biri
diğeri cinsinden ifade edilir ve bu ifade diğer denklemde yerine konur; elde edilen bir
değişkenli denklem çözülerek sonuca gidilir.
3x + y = 9
Örnek 1.
x + 2y = 8
y = 9 – 3x
x + 2(9 – 3x) = 8
x + 18 – 6x = 8
18 – 5x = 8
5x = 10
x=2
y=9-6
y=3
Bu örnekte, ilk denklem 3x + y = 9 den y değişkeni x cinsinden y = 9 − 3x olarak ifade
edilmiş; bu ifade ikinci denklem olan x + 2 y = 8 ’de yerine konulup birkaç aritmetik
işlem sonunda 18 − 5x = 8 denklemi elde edilmiş ve buradan x = 2 olduğu görülmüştür.
Sonra, y değişkeninin x cinsinden ifadesinde x yerine 2 yerleştirilerek y = 3 olduğu
ve böylece, çözüm kümesinin Ç = {(2 , 3)} olduğu görülmüştür. ■
Aşağıdaki örneklerde de benzer yolun izlendiğini gözlemleyiniz.
3x + y = 2
Örnek 2.
2x − 3 y = 5
y = 2 – 3x
2x - 3(2 – 3x) = 5
2x -6 + 9x = 5
-6 + 11x = 5
11x = 11
x=1
Sonuç olarak, çözüm kümesi, Ç = {(1 , -1)} dir. ■.
4x − 2 y = 4
Örnek 3.
2x − y = 5
y = 2x - 5
y=2-3
y = -1
4x - 2(2x – 5) = 4
4x – 4x + 10 = 4
10 = 4
!!!...
Ulaşılan bu ifade, birinci denklemin hiçbir çözümünün ikinci denklemi sağlamadığını;
dolayısıyla, denklem sisteminin hiç çözümü bulunmadığını gösterir. Sonuç olarak,
sistemin çözüm kümesi Ç = ∅ dir. ■
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 7
Örnek 4.
4 x − 2 y = 4
2x − y = 2
y = 2x - 2
4x - 2(2x – 2) = 4
4x – 4x + 4 = 4
4=4 !!!...
Son eşitlik, birinci denklemin her çözümünün ikinci denklemin de bir çözümü olduğunu;
dolayısıyla, iki denklemin çözüm kümelerinin aynı olduğunu gösterir. Buradan, sistemin
çözüm kümesinin sonsuz olduğu sonucu çıkar. Şimdi, x = t alıp yukarıda y için ikinci
denklemden bulduğumuz ifadeden y = 2t -2 elde ederiz. Dolayısıyla, bu örneğimizdeki
denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç = {(t , 2t - 2) : t ∈ ℝ} dir. ■
Önceki örnekte olduğu gibi çözüm kümesinin sonsuz olması durumunda çözüm
kümesinin ifadesinde görülen t simgesi parametre olarak adlandırılır. Parametreye
atanacak her değer sistemin bir özel çözümünü verir. Örneğin, yukarıda, t = 1 değeri
(1,0); t = 2 değeri (2,2) çözümünü verir. Bu bağlamda, çözüm kümesinin herhangi bir
elemanını gösteren (t , 2t - 2) ikilisine, sistemin genel çözümü denir.
1.4. Yok Etme Yöntemi. Bu yöntemde, verilen bir denklem sistemi, çözümü daha
kolay ancak verilen sistemle aynı çözüm kümesine sahip bir sisteme dönüştürülerek
adım-adım çözüme ulaşılır.
Çözüm kümeleri aynı olan iki denklem sistemine denk sistemler denir.
3x + y = 9
3x + y = 9
Örnek 1.
ve
sistemleri denktir, çünkü her iki sistemin
= − 10
x + 2y = 8
− 5x
de çözüm kümesi Ç = {(2,3)} tür. Burada, ikinci sistemin çözüm kümesinin {(2,3)} olarak
kolayca elde edilebileceğine ve sonra, bu bilgi ile, ilk denklem sisteminin de tek
çözümünün (2,3) olduğunun görülebileceğine dikkat ediniz. ■
Yok Etme Yöntemi aşağıdaki teoremin uygulanmasıyla gerçekleştirilir.
Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir
denklem sistemine dönüştürür:
A. Bir denklem ile başka bir denklemin yerlerini değiştirmek.
B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak.
C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme toplamak. ■
Teoremde ifade edilen işlemlere denklem sistemleri üzerinde temel işlemler denir.
8 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
Aşağıdaki örneklerde görüleceği üzere, özellikle C türü temel işlemler uygulanarak
verilen sistemin bazı denklemlerindeki bazı değişkenler yok edilmek suretiyle o sisteme
denk ancak çözümü daha kolay sistemler elde edilir. A ve B türü temel işlemler de
uygulanarak çözümü doğrudan okunabilen, başlangıçtakine denk bir doğrusal denklem
sistemine ulaşılır ve çözüm kümesi oradan belirlenir.
3x + y = 9 (-2) × (birinci) + (ikinci) 3x + y = 9
Örnek 2.
= −10
− 5 x
x + 2y = 8
(-1/5) × (ikinci)
3x + y = 9
=2
x
Birinci denklem (-2)
ile çarpılıp ikinci
denkleme toplanmıştır.
İkinci denklem ( -1/5)
ile çarpılmıştır.
(-3) × (ikinci) + (birinci)
x
y =3
İkinci denklem (-3) ile
çarpılıp birinci
denkleme toplanmıştır.
(ikinci) ↔ (birinci)
x
=2
y =3
İki denklemin yerleri
değiştirilmiştir.
=2
En sondaki denklem sisteminin çözüm kümesinin ne olduğu açıkça görülmektedir. Bu
sistem, başlangıçtaki sisteme denk olduğundan, buradan, başlangıçtaki denklem
sisteminin çözüm kümesinin Ç = {(2 , 3)} olduğu görülür. ■
x + 2 y = 4 (-2) × (birinci) + (ikinci) x + 2 y = 4
Örnek 3.
0=0
2x + 4 y = 8
Birinci denklem (-2) ile
çarpılıp ikinci
denkleme toplanmıştır.
Bu işlem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, ikinci denklemin yerine, daima doğru
olan 0 = 0 eşitliği gelmiştir. O halde, bu örneğimizdeki doğrusal denklem sisteminin
çözüm kümesi, x + 2y = 4 doğrusal denkleminin çözüm kümesi ile aynıdır. Bu
−1
t + 2 biçiminde ifade edilerek çözüm
denklemden y değişkeni x = t cinsinden y =
2
kümesinin Ç = {(t , -(1/2)t+2) : t ∈ ℝ} olduğu görülür. ■
x + 2 y = 4 (-2) × (birinci) + (ikinci) x + 2 y = 12 Birinci denklem (-2) ile
Örnek 4.
çarpılıp ikinci
0
4
=
2x + 4 y = 12
denkleme toplanmıştır.
Bu işlem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, ikinci denklemin yerine, asla doğru
olmayan 0 = 4 eşitliği gelmiştir. Bu nedenle, bu örneğimizdeki denklem sisteminin hiç
çözümü yoktur; çözüm kümesi Ç = ∅ dir. ■
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 9
3x − 2 y = 8
Örnek 5.
2x + 5 y = −1
5 × (birinci) , 2 × (ikinci)
(birinci) +(ikinci)
(1/19) × (ikinci)
-15 × (ikinci) + (birinci)
15x − 10 y = 40
4 x + 10 y = −2
15x − 10 y = 40
= 38
19x
15x − 10 y = 40
= 2
x
− 10 y = 10
= 2
x
(-1/10) × (birinci)
x
(ikinci) ↔ (birinci)
x
y = −1
= 2
= 2
y = −1
Son denklem sisteminden, çözüm kümesinin Ç = {(2 , -1)} olduğu görülür. ■
Ekonomide, fiyat – talep denklemi ve fiyat – arz denklemi çoğu zaman doğrusal denklemler olarak karşımıza çıkar. Dolayısıyla, bu durumda pazar denge fiyatının (Bak.
Sosyal ve Beşeri Bilimlerde Matematik–I, sayfa 35) bulunması, ortaya çıkan iki değişkenli doğrusal denklem sisteminin çözümünü gerektirir.
Örnek 6. Bir beldede kiraz satışlarıyla ilgili olarak yapılan araştırmalar, piyasada tonu
p TL den x ton kiraz talep edileceği düşünüldüğünde, fiyat – talep denkleminin
p = -(0.2)x + 3.9
TL olduğu ve piyasaya tonu p TL den x ton kiraz sürülebileceği (arz edilebileceği) düşünüldüğünde, fiyat – arz denkleminin ise
p = (0.08)x + 0.54
TL olduğu görülüyor. Pazar denge fiyatını bulunuz.
Çözüm. Fiyat-talep denklemini
p + (0.2)x = 3.9
10 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
ve fiyat – arz denklemini
p - (0.08)x = 0.54
biçiminde yazabiliriz. Pazar denge fiyatı, hem fiyat–talep denkleminin hem de fiyat–arz
denkleminin sağlandığı fiyattır. Başka bir deyişle, pazar denge fiyatını belirlemek için
p + (0.2)x = 3.9
p − (0.08)x = 0.54
doğrusal denklem sistemini çözmek gerekir. Çözüm için, istenilen herhangi bir yöntem
uygulanabilir. Yerine koyma yöntemini uygulayalım.
p + (0.2)x = 3.9
p − (0.08)x = 0.54
p = -(0.2)x + 3.9
-(0.2)x + 3.9 – (0.08)x = 0.54
-(0.28)x = -3.36
x = 12 , p = 1.5
Pazar denge fiyatı p = 1.5 TL dir. Piyasaya tonu 1.5 TL den 12 ton kiraz sürülürse arz ve
talep çakışır. ■
1.5. Çok Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri. Bu dersin başında Örnek
1.1’de ele aldığımız problemin verileri değiştirilerek ifade edilmiş olan aşağıdaki problemi göz önüne alalım.
Örnek 1. Manavdan alışveriş yapan bir müşteri, 3 kg elma, 1 kg portakal ve 1 kg muz
için 12 TL, diğer bir müşteri de 1 kg elma, 2 kg portakal ve 2 kg muz için 14 TL
ödemiştir. Bir kg elma kaça satılmaktadır?
Çözüm için, dersin başlangıç kısmında olduğu gibi, bir kg elmanın x TL den, bir kg
portakalın y TL den ve bir kg muzun da z TL den satıldığını varsayarak problemin veri ve
koşullarından 3x + y + z = 12 ve x + 2 y + 2z = 14 denklemleri elde edilir. Dolayısıyla,
problemin matematiksel modeli şöyle ifade edilebilir:
“ 3x + y + z = 12 ve x + 2 y + 2z = 14 denklemlerini sağlayan x sayısını bulunuz.” ■
Görüldüğü üzere yeni problemin matematiksel modelinde de denklemler ortaya çıktı. Bu
denklemlerin başlangıçtaki problemde ortaya çıkan denklemlerden farkı, x ve y değişkenlerine ek olarak yeni bir z değişkeni ve bu değişkene ait katsayılar içermesidir. Yeni
değişkenin ortaya çıkış nedeni satın alınan meyvelere “muz”un da katılmasıdır. Başka
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 11
bir meyve daha, örneğin “nar” satın alınsa bir değişken daha kullanılacak ve değişken
sayısı dört olacaktı.
Bir problemin matematiksel modeli oluşturulurken değişken sayısı üç veya daha az ise,
değişkenler için x, y ve z sembolleri tercih edilebilmekle beraber; değişken sayısı üçten
fazla ise, o zaman değişkenler için aynı sembol numaralanarak kullanılır. Örneğin, beş
değişken için x1, x2, x3, x4, x5 kullanılabilir.
Ele alınan alışveriş problemi ile ilgili olarak şu hususu da belirtelim ki, eğer manavdan
bir üçüncü müşteri de alışveriş yapar ve aynı tür meyvelerden satın alırsa, onunla ilgili
veriler üçüncü bir denkleme yol açar.
Bu tartışmalar bizi çok değişkenli doğrusal denklem ve çok değişkenli doğrusal denklem
sistemi kavramlarına götürür.
a1, a2, . . . , an , b ∈ ℝ olmak üzere
a1x1 + a2x2 +
. . .
+ a n xn = b
ifadesine bir n değişkenli doğrusal denklem denir. a1, a2, . . . , an sayılarına denklemin
katsayıları, b sayısına da sağ taraf sabiti denir.
Verilen c1, c2, . . . , cn sayıları için a1c1 + a2c2 + . . . + an cn = b ise, (c1, c2 , . . . , cn ) sıralı
n-lisine a1x1 + a2x2 + . . . + an xn = b denkleminin bir çözümü denir.
Örnek 2. Yukarıda ortaya çıkan denklemlerden 3x + y + z = 12 nin çözümlerinden ikisi
(2,3,3) ve (2,2,4) dir. Bu üçlüler x + 2 y + 2z = 14 denklemi için de çözüm müdür? ■
aij , bi ∈ ℝ; 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n olmak üzere n değişkenli m denklemden oluşan
a11 x 1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1
a21 x 1 + a22 x 2 + + a2n x n = b2
am1 x 1 + am2 x 2 + + amn x n = bm
denklemler topluluğuna bir doğrusal denklem sistemi denir. aij sayılarına sistemin
katsayıları, bi sayılarına da sağ taraf sabitleri denir.
n değişkenli bir doğrusal denklem sisteminin bir çözümü denince, o sistemdeki denklemlerden her birinin çözümü olan bir sıralı reel sayı n-lisi anlaşılır.
Bu tanımlardan sonra, bu kesimin başında Örnek 1’de verilen problemin çözümü için
3x + y + z = 12
x + 2 y + 2z = 14
12 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
doğrusal denklem sisteminin çözülmesi yeterli olacaktır. Elde edilecek çözümünün asıl
problemde sorulandan daha çok bilgi içereceği dikkatli okurun gözünden kaçmamıştır.
Arzu edilirse matematiksel modelin sadece asıl problemde sorulan değeri verecek
şekilde ifade edilebileceği açıktır. Asıl problemde, doğrusal denklem sisteminin
çözümlerinde x bileşeninin ne olacağı sorulmaktadır. Öyle anlaşılıyor ki tüm çözümlerde
x bileşeni aynı olacaktır. x bileşeninin bu değerini bulmaya çalışınız.
Bir sonraki dersimizde çok değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için çok
elverişli ve etkin bir yöntem göreceğiz. Fikir olarak iki değişkenli doğrusal denklem
sistemleri için gördüğümüz yok etme yöntemine dayanan bu yöntem için biraz hazırlık
gerekecektir. Dersimizin kalan kısmı bu hazırlık doğrultusunda kullanılacaktır.
İki değişkenli doğrusal denklem sistemleri için tanımlanan “denklik” kavramı çok
değişkenli doğrusal denklem sistemleri için de geçerlidir.
Çözüm kümeleri aynı olan iki doğrusal denklem sistemine denk sistemler denir.
İki değişkenli doğrusal denklem sistemleri için gördüğümüz yok etme yöntemi, ikiden
çok değişkenli doğrusal denklem sistemleri için de aynen geçerlidir. Bir denklem
sistemini çözmek için aşağıdaki teoremde ifade edilen A, B, C temel işlemleri kullanılarak
o sisteme denk ancak çözümü daha kolay bir denklem sistemleri zinciri elde edilerek
adım-adım çözüme ulaşılır.
Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri, uygulandığı bir denklem sistemini ona denk
olan bir denklem sistemine dönüştürür:
A. Bir denklem ile başka bir denklemin yerlerini değiştirmek.
B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak.
C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme toplamak. ■
Hiç çözümü bulunmayan bir doğrusal denklem sistemine tutarsız doğrusal denklem
sistemi, en az bir çözümü bulunan doğrusal denklem sistemine de tutarlı doğrusal
denklem sistemi denir.
Bir doğrusal denklem sistemi tutarsız ise, o doğrusal denklem sisteminin, içinde
sağlanması mümkün olmayan bir denklem, örneğin “10 = 4”, bulunan bir doğrusal
denklem sistemine denk olduğu gösterilebilir (Bak. Örnek 3.3 ve Örnek 4.4).
Bir doğrusal denklem sistemindeki denklemlerden biri geri kalan denklemlerden A, B ve
C temel işlemleri ile elde edilebiliyorsa, o takdirde, o doğrusal denklem sistemine
bağımlı doğrusal denklem sistemi denir. Bağımlı olmayan bir doğrusal denklem
sistemine bağımsız doğrusal denklem sistemi denir.
Bir doğrusal denklem sistemi bağımlı ise, o doğrusal denklem sisteminin, içinde daima
sağlanan bir denklem, örneğin “4 = 4”, bulunan bir doğrusal denklem sistemine denk
olduğu gösterilebilir (Bak Örnek 3.4 ve Örnek 4.3).
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 13
Örnek 3. Yukarıdaki matematiksel modelde verilen üç değişkenli doğrusal denklem
sisteminin çözümünü yok etme yöntemi ile yapalım:
3x + y + z = 12
3x + y + z = 12
→
= −10
− 5 x
x + 2 y + 2z = 14
Birinci denklem -2 ile çarpılıp
ikinci denkleme toplandı
3x + y + z = 12
→
=2
x
İkinci denklem -1/5 ile
çarpıldı
y + z =6
→
=2
x
İkinci denklem -3 ile çarpılıp
birinci denkleme toplandı
=2
x
→
y + z =6
İki denklemin yerleri
değiştirildi
Son adımda elde edilen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır. Çözüm kümesi, y = t
alınıp ikinci denklemden z = 6 – y = 6 – t yazılarak
Ç = {(2,t,6-t) : t ∈ ℝ}
olarak elde edilir. ■
Önceki örnekte her bir çözümde x = 2 olduğunu görüyoruz. Örnek 1’de ifade edilen
probleme geri dönülüp orada sorulan soru anımsanırsa, bir kilogram elmanın satış
fiyatının 2 TL olduğu sonucu çıkar.
Örnek 4. 36 bin TL nin bir kısmı A-bank’a, bir kısmı B-bank’a, kalan kısmı da C-bank’a
yatırılıyor. A-bank ve B-bank’a yatırılan toplam miktar, C-bank’a yatırılan miktardan 6
bin TL fazla; A-bank ve C-bank’a yatırılan toplam miktar ise, B-bank’a yatırılan miktarın
iki katından 3 bin TL eksiktir. Her bir bankaya kaç TL yatırılmıştır?
Çözüm. A-bank’a yatırılan miktar x bin TL, B-bank’a yatırılan miktar y bin TL ve Cbank’a yatırılan miktar z bin TL olsun. Problemde verilenlerden
x + y + z = 36
,
x + y = z +6
,
x + z = 2y −3
denklemleri elde edilir. Dolayısıyla, problemimizin çözümü
x + y + z = 36
x + y − z = 6
x − 2 y + z = −3
denklem sisteminin çözümüne indirgenmiştir.
14 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
Bu sistemin yok etme yöntemi ile bir çözümü aşağıda gösterilmiştir.
x + y + z = 36
x + y − z = 6
x − 2 y + z = −3
x + y + z = 36
→
− 2z = −30
− 3 y = −39
x + y + z = 36
→
z = 15
y = 13
x
→
x
→
y
y
=8
z = 15
= 13
=8
= 13
z = 15
Birinci denklem -1 ile çarpılıp
önce ikinci denkleme sonra
da üçüncü denkleme toplandı
İkinci denklem -1/2 ile ve
üçüncü denklem -1/3 ile
çarpıldı.
İkinci denklem -1
ile ve
üçüncü denklem -1 ile çarpılıp
birinci denkleme toplandı.
İkinci ve üçüncü denklemlerin
yerleri değiştirildi.
Son sistemden doğrusal denklem sistemimizin çözüm kümesinin Ç = {(8,13,15)} olduğu
görülür. Bu çözüm asıl problem için yorumlandığında, A-bank’a 8 bin TL, B-bank’a 13
bin TL ve C-bank’a 15 bin TL yatırılmış olduğu görülür. ■
İki ve üç değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için çok elverişli olan yok
etme yöntemi değişken sayısı (ve denklem sayısı) arttıkça elverişsiz hale gelir.
Gerçekten, kendinizi on değişkenli sekiz denklemden oluşan bir doğrusal denklem
sistemini yok etme yöntemi ile çözerken düşününüz. İnsan bunalabilir, değil mi? Kaldı ki
değişken sayısı ve denklem sayısı yüzlerle ifade edilen doğrusal denklem sistemleri de
söz konusu olabilir.
Yok etme yöntemi, değişken sayısı ve denklem sayısı çok olan doğrusal denklem
sistemlerinin çözümü için de elverişli olacak, hatta bilgisayara programlanabilecek
biçimde revize edilerek Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi olarak bilinen yöntem
geliştirilmiştir. Bu yöntemde kullanılan temel araç matris kavramıdır.
Gauss-Jordan yok etme yönteminde temel gözlem, n değişkenli m denklemden ibaret
olan
a11 x 1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1
a21 x 1 + a22 x 2 + + a2n x n = b2
am1 x 1 + am2 x 2 + + amn x n = bm
doğrusal denklem sisteminin, katsayıları ve sağ taraf sabitlerinden oluşan
a11 a12
a21 a22
am1 am2
a1n
a2 n
amn
b1
b2
bm
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 15
tablosu tarafından tamamen belirlenmiş olduğudur. Gerçekten, bu tablo bilindiği
takdirde, bu tabloya yol açan doğrusal denklem sistemini yeniden yazmak sorun
değildir. Bu tabloya söz konusu doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi denir.
Dikkat edilirse, n değişkenli m denklemden oluşan sistemin ilaveli matrisi denklem
sayısı kadar ( m tane ) satır ve değişken sayısının bir fazlası kadar ( n+1 tane ) sütundan
oluşmaktadır. Tabloda son sütundan önceki düşey çizgi, sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu sütunu katsayılardan oluşan diğer sütunlardan ayırmak için konmuştur.
Bu noktada, okuyucunun, ilaveli matrisi verilen bir denklem sistemini veya verilen bir
doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisini yazmak hususunda birkaç alıştırma
yapması yararlı olacaktır.
Örnek 5. Bu dersin ilk kesiminde ortaya çıkan
3x + y = 9
x + 2 y = 8
doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi
yukarıda ortaya çıkan
3 1 9
1 2 8 ,
3x + y + z = 12
x + 2 y + 2z = 14
doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi de
3 1 1 12
1 2 2 14
dir. Aşağıda, solda görülen matristen sağdaki dört değişkenli üç denklemden oluşan
doğrusal denklem sistemini yazabileceğinizi gözlemleyiniz:
3 4 − 1 2 5
2 − 3 7 1 4
1 2
0 4 3
,
3x 1 + 4 x 2 − x 3 + 2x 4 = 5
2x 1 − 3x 2 + 7 x 3 + x 4 = 4
x + 2x
+ 4x 4 = 3
2
1
■
16 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
1.6. Matrisler. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü ile bağlantılı olarak karşımıza çıkan matris kavramı matematiğin ve diğer bilim dallarının pek çok alanında
kullanılan bir kavramdır. Matrisler, üzerinde tanımlanan bazı işlemlerle cebirsel bir yapı
ile donatılmış başlı başına ilginç matematiksel nesnelerdir.
m tane satır ve n tane sütun oluşturacak biçimde dizilmiş mn tane sayının oluşturduğu
tabloya bir m × n matris denir. m × n ifadesine matrisin büyüklüğü, m ve n sayılarına
da matrisin boyutları denir.
Örnek 1. n değişkenli m denklemden oluşan bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli
matrisi bir m × (n+1) matristir. İlaveli matriste, denklem sistemindeki her denkleme bir
satır ve her bir değişkene de bir sütun karşılık gelir. ■
Örnek 2.
5
A=
− 2
3 − 1
4 1
,
3 − 1
5
− 2
4 1
B=
− 4 − 5 2
0 3
6
tablolarından ilki bir 2 × 3 matris A, diğeri de bir 4 × 3 matris B yi göstermektedir. ■
Bir matrisi oluşturan sayılardan her birine o matrisin bir girdisi denir.
Örnek 2’de, A matrisinin 6 adet girdisi 2 satır ve 3 sütun oluşturacak biçimde; B matrisinin 12 adet girdisi de 4 satır ve 3 sütun oluşturacak biçimde düzenlenmiştir.
Bir matrisin satırları yukarıdan aşağıya doğru, sütunları da soldan sağa doğru numaralandırılır. Örneğin, yukarıdaki B matrisinin üçüncü satırı, girdileri sırasıyla -4, -5, 2 olan
satır; ikinci sütunu da girdileri sırasıyla 3, 4, -5, 0 olan sütundur.
Bir matrisin girdileri, ait oldukları satır ve sütuna gönderme yapılarak belirtilir. Bir
matrisin i’inci satırında ve j’inci sütununda bulunan ortak girdiye o matrisin i-j girdisi
denir.
Örnek 2’de, A matrisinin 1-2 girdisi 3, B matrisinin 3-2 girdisi -5 tir.
Sadece bir satırdan oluşan bir matrise satır matrisi, sadece bir sütundan oluşan bir
matrise sütun matrisi denir.
Satır ve sütun matrislerinin girdilerine birinci, ikinci, üçüncü, … girdiler olarak
gönderme yapılır.
Örnek 3. A = [ 5 3 − 1 ] bir 1 × 3 satır matrisidir. A nın birinci (ya da ilk) girdisi 5,
5
ikinci girdisi 3, üçüncü girdisi -1 dir. B = bir 2 × 1 sütun matrisidir. B nin birinci
− 2
girdisi 5, ikinci girdisi -2 dir. ■
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 17
Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak
düşünülebilir. Dolayısıyla, matrisin i-j girdisi, i’inci satırının j’inci girdisi ve j’inci
sütununun i’inci girdisidir.
Denklem sistemlerini yok etme yöntemi ile çözerken kullandığımız A, B ve C temel
işlemlerinden her biri sistemin ilaveli matrisinin satırları üzerinde bazı işlemlere
karşılık gelir. Daha açık bir ifadeyle, bir doğrusal denklem sistemine temel işlemlerden
herhangi biri uygulanarak elde edilen sistemin ilaveli matrisi başlangıçtaki sistemin
ilaveli matrisinin satırlarına uygun bir işlem uygulanarak elde edilir. Satırlar üzerine
uygulanacak işlemler aşağıdaki tanımlarla ilişkili olacaktır.
Bundan böyle bir satırın bir c sayısı ile çarpılması denince o satırın her girdisinin c
sayısı ile çarpılması, bir satırın aynı büyüklükte diğer bir satıra toplanması denince o
satırın her girdisinin diğer satırda karşılık gelen girdiye toplanması anlaşılacaktır.
Örnek 4. [ 5 3 -1] satırı 2 ile çarpılırsa, [10 6 -2] satırı elde edilir. Aynı satır 2 ile
çarpılıp [ -3 1 4] satırına toplanırsa, [7 7 2 ] satırı elde edilir. ■
Yukarıda tanımlanan işlemler, çoğu zaman yalın satırlara değil verilmiş bir matrisin
satırlarına uygulanacaktır.
3 −6 3
1
matrisinin birinci satırının
ile çarpılmasıyla elde edilen
Örnek 5. A =
3
− 2 5 1
matris
1 − 2 1
B=
;
− 2 5 1
B matrisinin birinci satırının 2 ile çarpılmasıyla elde edilen satırın yine B nin ikinci
satırına toplanmasıyla elde edilen matris de
matrisidir. ■
1
C=
0
− 2 1
1 3
Denklem sistemlerine uygulanan A temel işlemi, yani iki denklemin yerlerinin değiştirilmesi, ilaveli matriste karşılık gelen satırların yerlerinin değiştirilmesine yol açar. B
temel işlemi, yani bir denklemin sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması, ilaveli matriste
karşılık gelen satırın her bir girdisinin o sayı ile çarpılması sonucunu verir. C temel
işlemi, yani bir denklemin bir sayı ile çarpılıp başka bir denkleme toplanması, ilaveli
matriste bir satırın her girdisinin o sayı ile çarpılıp başka bir satırın karşılık gelen
girdisine toplanması sonucunu verir.
18 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
Şimdi, bundan önceki kesimin üçüncü örneğinde ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözerken uyguladığımız işlemlerin ilaveli matrise nasıl yansıdığını görelim.
x + y + z = 36
x + y − z = 6
x − 2 y + z = −3
x + y + z = 36
→ − 2z = −30
− 3 y = −39
x + y + z = 36
→
z = 15
y = 13
x
→
=8
z = 15
y = 13
x
→
=8
y = 13
z = 15
:
1 36
1 1
1 1 − 1 6
1 − 2 1 − 3
:
1
36
1 1
0 0 − 2 − 30
0 − 3 0 − 39
:
1 1 1 36
0 0 1 15
0 1 0 13
:
1 0 0 8
0 0 1 15
0 1 0 13
:
1 0 0 8
0 1 0 13
0 0 1 15
İlaveli matris
Birinci satır -1 ile çarpılıp
önce ikinci satıra sonra da
üçüncü satıra toplandı
İkinci satır -1/2 ile ve üçüncü
satır -1/3 ile çarpıldı.
İkinci satır -1 ile ve üçüncü
satır -1 ile çarpılıp birinci
satıra toplandı.
İkinci ve üçüncü satırın yerleri
değiştirildi.
Denklem sistemini çözerken denklemler üzerinde işlemler yapmak yerine ilaveli
matrisin satırları üzerinde işlem yapmayı düşünür veya tercih eder misiniz? Yanıtınız
“evet” ise, bu yanıtın ne kadar isabetli olduğu bir sonraki dersimizde daha iyi
anlaşılacaktır.
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………..………………………………………. 19
ALIŞTIRMALAR - 1
1. Aşağıda, ilk iki denklem sistemini grafik yöntemi ile, sonraki ikisini yerine koyma ve
diğer ikisini de yok etme yöntemi ile çözünüz.
x + y = 5
x − y = 1
a)
2x + y = 6
x − y = −3
ç)
3x − y = 2
x + 2 y = 10
b)
3u − 2v = 4
4u + 4v = 12
d)
x − y = 4
x + 3 y = 12
c)
2x + 3 y = 1
3x − y = 7
e)
2. Aşağıdaki denklem sistemlerini yerine koyma veya yok etme yöntemi ile çözünüz.
2x + 5 y = −23
11x + 2 y = 1
a)
0.2x − 0.5 y = 0.07
0.6 x + 0.2 y = 0.72
ç)
3.
3x − 6 y = −9
− 2x + 4 y = 12
b)
25
5
2 x − 6 y = −5
d)
2 x + 4 y = 6
5
3
0.8 x − y = 0
0.4 x + y = 0.72
c)
y =1
x+
0.3x − 0.4 y = 0
e)
x − 2 y = −6, 2x + y = 8, x + 2 y = −2 ve x − y = −5 denklemleri ile verilen doğruları aynı
koordinat düzleminde çiziniz ve bu doğrulardan iki veya daha fazlasının kesiştiği noktaların
koordinatlarını bulunuz.
4. Bir tatil beldesinde satışa sunulan mayolar için, tanesi p TL den x tane mayonun satışa
sunulması durumunda, haftalık fiyat-arz denklemi p = 0.1x + 3 ve fiyat-talep denklemi
p = −2x + 87 TL olarak veriliyor. Pazar denge fiyatını ve denge satış miktarını bulunuz.
5. 30000 adet dinleyici kapasiteli konser salonuna, fiyatları 4 TL ve 8 TL olan biletler satılmaktadır. Tüm biletlerin alıcı bulacağı varsayıldığına göre, bilet satışından
a) 220000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir?
b) 200000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir?
c) 150000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir?
ç) 250000 TL gelir elde etmek mümkün müdür? 100000 TL gelir elde etmek mümkün
müdür?
6. Beslenme rejimi uygulayan bir kişi, günlük diyetindeki kalsiyum ve protein miktarını artırmak
için beyaz peynir ve yoğurt kullanıyor. Kullandığı ölçeğe göre, bir ölçek beyaz peynirde 6
gram kalsiyum ve 30 miligram protein; bir ölçek yoğurtta da 1 gram kalsiyum ve 41 miligram
protein bulunmaktadır. Bu diyetten günde 63 gram kalsiyum ve 747 miligram protein
kazanabilmesi için bu kişi günde kaç ölçek beyaz peynir ve kaç ölçek yoğurt tüketmelidir?
20 ………………………………………………………………………………………………………………… Ders 1
7. Bir şirket, Seylan’dan ithal ettiği çay ile Rize çayından harman yaparak Buruk A ve Buruk B
markalarıyla satışa sunmak istiyor. Bir kg Buruk A, 300 gr Seylan ve 700 gr Rize çayı
karıştırılarak elde ediliyor. Bir kg Buruk B, 600 gr Seylan ve 400 gr Rize çayı karıştırılarak
elde ediliyor. Firmanın elinde, her birinin ağırlığı 60 kg olan 40 çuval Seylan çayı ve 50 çuval
Rize çayı bulunmaktadır. Şirketin elindeki çayın tamamını piyasaya sürebilmesi için kaç kg
Buruk A ve kaç kg Buruk B marka çay üretmesi gerekir?
8. Türkiye genelinde dağıtım yapan bir kargo şirketi, yirmi dört saat içinde adresine teslim
edilmek üzere paket kabul etmekte; her paketin 500 grama kadar olan (500 gram dahil)
ağırlığı için sabit bir ücret alıyor ve ilk 500 gramdan sonraki her 500 gram için de başka bir
sabit ücret uyguluyor. 4.5 kg lık bir paket gönderen bir müşteri 15 TL, 12.5 kg lık paket
gönderen bir müşteri de 39 TL ödediğine göre, ilk 500 gram için ve ondan sonraki her 500
gram için uygulanan ücreti belirleyiniz.
9. İkinci alıştırmadaki her denklem sisteminin ilaveli matrisini yazınız.
10. Aşağıdaki ilaveli matrislerin her birinin ait olduğu doğrusal denklem sistemini yazınız.
Değişkenleri x 1 , x 2 , x 3 , x 4 gibi numaralayarak gösteriniz.
2
3
1
a) − 3 1
4
2 − 3 − 7
3 4 3
1 2
b) 3 − 1 2 1 4
2 2 − 3 5 7
3 2 1 4
0 2 1 4
c)
ç) 2 − 1 5 4
2 0 1 5
0 3 6 8
11. İlaveli matrisi aşağıda verilmiş olan denklem sistemlerini yazınız ve çözüm kümelerini
bulunuz.
1 0 − 2
0 1 1
1 − 1 1
0 0 0
a)
b)
1 − 2 0 3
ç)
0 0 1 − 1
1 0 1 − 2
d)
0 1 2 1
c)
1 − 1 0
0 0 1
1 0 0 − 3
e) 0 1 0 2
0 0 1 1
1 2 − 2 1
12. A = 3 2 3 8 matrisi veriliyor.
− 2 4 4 6
a) A nın 2-3 girdisi kaçtır? 3-2 girdisi kaçtır? 1-4 girdisi kaçtır?
b) A nın birinci satırındaki girdileri sırasıyla yazınız.
c) A nın ikinci sütunundaki girdileri sırasıyla yazınız.
ç) A nın birinci ve üçüncü satırlarının yerleri değiştirilince elde edilen matrisi yazınız.
d) A nın birinci satırı -3 ile çarpılınca elde edilen matrisi yazınız.
e) A nın birinci satırı 2 ile çarpılıp üçüncü satırına toplanınca(birinci satırı değiştirmeden) elde edilen matrisi yazınız.
© Copyright 2024 Paperzz
