Ödev

Bölüm 4
Bazı Özel Devirli Kodlar
4.1
BCH Kodları
Açık halde Bose-Chaudhuri-Hocquenghem olan BCH kodları Hamming kodlarının
bir genellemesi olarak daha fazla hata düzeltebilme özelliği ile ilk defa 1959 yılında
A. Hocquenghem, 1960 yılında birbirlerinden bağımsız olarak R. C. Bose ve D. K.
Ray–Chaudhuri tarafından ortaya atılmıştır.
4.1.1
Temel Tanımlar
α, Fqm cisminin bir ilkel elemanı, M(i) (x), αi elemanının Fq üzerindeki minimal polinomu ve {s1 , . . . , st }, q’nun q m − 1 modülüne göre bir tam temsilci kümesi ise
xq
m −1
− 1 = M(s1 ) (x) . . . M(st ) (x)
olacağını daha önce göstermiştik. Dolayısıyla I ⊆ Zqm −1 ise her i ∈ I için M(i) (x) |
m
m
xq −1 − 1 olur. Böylece ekok(M(i) (x))i∈I | xq −1 − 1 bulunur. Bu gözlemi de dikkate
alarak aşağıdaki tanımı verebiliriz:
Tanım. α, Fqm cisminin bir ilkel elemanı olmak üzere αi elemanının Fq üzerindeki
minimal polinomu M(i) (x) ve δ ≥ 2 bir tamsayı olsun. Bir a ∈ Z için
g(x) = ekok(M(a) (x), M(a+1) (x), . . . , M(a+δ−2) (x))
(4.1)
polinomu tarafından üretilen q–lu devirli koda uzunluğu n = q m − 1 ve tasarlanmış
uzaklığı δ olan Fq üzerinde bir BCH kodu denir. Eğer a = 1 ise BCH koduna dar
anlamlı denir.
4.1.2
BCH Kodlarının Parametreleri
Teorem 4.1. (i) g(x), (4.1) eşitliğindeki gibi olsun. Buna göre g(x) tarafından üretilen
ve uzunluğu q m − 1 olan bir q-lu BCH kodunun boyutu α ilkel elemanının seçiminden
bağımsızdır.
(ii) Tasarlanmış uzaklığı δ olan q m − 1 uzunluklu bir q–lu BCH kodunun boyutu en
az q m − 1 − m(δ − 1) dir.
3
4.1. BCH KODLARI
BÖLÜM 4. BAZI ÖZEL DEVIRLI KODLAR
n
7
15
15
15
31
31
31
31
31
63
k
4
11
7
5
26
21
16
11
6
57
t
1
1
2
3
1
2
3
5
7
1
n
63
63
63
63
63
63
63
63
63
63
k
51
45
39
36
30
24
18
16
10
7
t
2
3
4
5
6
7
10
11
13
15
Tablo 4.1: Bazı ikili BCH kodlarının boyutları
Örnek 4.2. t ≥ 1 olmak üzere t ve 2t, 2’nin 2m −1 modülüne göre aynı ç.e.b. kümelerine
düşerler. Bu ise
M(t) (x) = M(2t) (x)
olması demektir. Dolayısıyla
ekok(M(1) (x), . . . , M(2t−1) (x)) = ekok(M(1) (x), . . . , M(2t) (x))
olur. Yani uzunluğu 2m − 1 ve tasarlanmış uzaklığı 2t + 1 olan dar anlamlı ikili BCH
kodu ile uzunluğu 2m − 1 ve tasarlanmış uzaklığı 2t olan dar anlamlı ikili BCH kodu
aynıdır.
Tablo 4.1’de uzunluğu 2m − 1 ve tasarlanmış uzaklığı 2t + 1 olan bazı dar anlamlı
ikili BCH kodlarının boyutları görülebilir.
Teorem 4.3. Tasarlanmış uzaklığı δ olan bir BCH kodunun uzaklığı en az δ dır.
4.1.3
BCH Kodları ile Kod Çözme
α, F2m cisminin bir ilkel elemanı ve M(i) (x), αi elemanının F2 üzerindeki minimal
polinomu olsun.
C , uzunluğu n = 2m−1 ve tasarlanmış uzaklığı δ = 2t + 1 olan ve
g(x) = ekok(M(1) (x), M(2) (x), . . . , M(δ−1) (x))
tarafından üretilen dar anlamlı ikili BCH kodu olsun.

H=








1
1
1
..
.
α
α2
α3
..
.
(α)2
(α2 )2
(α3 )2
..
.
···
···
···
1 αδ−1 (αδ−1 )2 · · ·
(α)n−1
(α2 )n−1
(α3 )n−1
..
.
(αδ−1 )n−1









olsun. Dikkat edilirse α, α2 , . . . , αδ−1 elemanlarının hepsi g(x)’in köküdür. Her c ∈ Fqn−1
için c’nin sendromunu S(c) = cH T olarak tanımlayacağız.
4
BÖLÜM 4. BAZI ÖZEL DEVIRLI KODLAR
4.1. BCH KODLARI
Kabul edelim ki w(x) = w0 + w1 x + · · · + wn−1 xn−1 alnına sözcük olsun. Ayrıca
kabul edelim ki hata polinomu e(x)’in ağırlığı wt(e(x)) ≤ 1 olsun. c(x) = w(x) − e(x)
yazalım. w(x)’in sendromu (s0 , s1 , . . . , sδ−2 ) denirse her i = 0, 1, . . . , δ − 2 için
si = w(αi+1 ) = e(αi+1 )
olur. Kabul edelim ki ` ≤ t olmak üzere hatalar i0 , i1 , . . . , i`−1 basamaklarında meydana
gelmiş olsun; yani
e(x) = xi0 + xi1 + · · · + xi`−1
olsun.
σ(z) :=
`−1
Y
(1 − αij z)
(4.2)
j=0
polinomunu tanımlayalım. σ(z)’nin köklerini bilirsek ij hata yerlerini de bulabiliriz.
Bunun için önce σ(z) polinomunun bulunması gerekiyor.
i
Teorem 4.4. σ(z), (4.2) eşitliğindeki gibi olsun. Kabul edelim ki s(x) = δ−2
i=0 si z
sendrom polinomu sıfırdan farklı olsun. O zaman
(i) r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod z)δ−1 ,
(ii) der(r(z)) ≤ t − 1 ve
(iii) ebob(r(z), σ(z)) = 1 olacak şekilde sıfırdan farklı r(z) ∈ F2m [z] polinomu
vardır.
P
5

Download Report