HEYBELİADA KÜTÜPHANE ŞENLİĞİ 27 Eylül 2014 http://navnirmitilearning.org/wp-content/uploads/2013/12/sun_earth_activity_cards_Navnirmiti-full-pages.pdf Gündüz Gözü İle Astronomi Ayşe Erzan, Fizik Mühendisliği Bölümü, İTÜ Ekin Dedeoğlu, Felsefe Bölümü, Mimar Sinan Üniversitesi Gündüz Gözü İle Astronomi, gündüzleyin güneşi gözlemleyerek yapabileceğimiz deneylerden oluşuyor. Bu notta, 12 deney anlatılıyor. Bunlar basitten daha zora doğru sıralanmış durumda, ama herkesin kendi küçük keşiflerini yapacağını ve iyi vakit geçireceğini umduğumuz etkinliklerden oluşuyor. Bu notların önemli bir kısmı benzer üçgenler hakkında bilgiler içeriyor, bunların yetmediği yerde trigonometrik fonksiyonlara giriyoruz. Trigonometrinin geçmişi çok eskilere, eski Mısır’a kadar gidiyor, sonra antik Yunan dünyasında ve 10 ila 13. Yüzyıllar arasında Arap dünyasında geliştirilmiş. Bu arada Ömer Hayyam’ın da (Iran) çok önemli katkıları var. Trigonometri geliştirilirken temel dürtüler bugün burada yapacağımız gözlemlerin anlaşılmasından çok faklı değil. Astronomi, seyir, jeodezi alanları, bugün de trigonometri – ve düzlem trigonometrinin küre yüzeyine genelleştirilmesi olan “küresel trigonometri”nin en önemli uygulama alanları. 1-5 Güneşin aynadan, “iğne deliğinden” ve mercekten yansımaları, camera obscura 6-8 Uzakları ölçmek 9 Güneşi gözleyerek kuzeyi bulma 10 Yükseklik ölçme 11 Güneşi kullanarak dünyanın çeperini nasıl ölçeriz? 12 Bir sekstant yapıyoruz – uzak denizlere açılıyoruz! EK NOT: Geceleyin enlem tayini 1 Güneşin aynadan, “iğne deliğinden” ve mercekten yansımaları 1. Güneşin aynadan yansımaları –Güneşin ışığını farklı şekillerde aynalardan, farklı uzaklıklarda yüzeylere yansıtınız. Yüzeyden uzaklaştıkça yansımanın hep yuvarlak bir biçim aldığını göreceksiniz. NEDEN? 2. İstediğiniz biçimde bir küçük delikten güneş ışığını bir yüzeye yansıttığınızda ne görüyorsunuz? Daha uzağa tutarsanız ne görüyorsunuz? Ayna deneyi ile bir benzerliği var mı? 3. İğne-deliğinden görüntü alma – ışıklı ama yuvarlak olmayan bir cismin görüntüsünü almak için, karanlık odacık, iğne deliği, ışıklı cisim ve hepsinin üzerine örtülecek ışık geçirmez bir örtü gerek. Görüntü, asıl nesne ile aynı mı? Farkı ne? 4. Güneş yansıtıcısı ile (top, ayna, simit ya da saksı ve yapışkan) uzak mesafeden güneşi gölgedeki bir yüzeye yansıt. 3, 4, 10 m mesafeye git. Güneşin kaç cm’lik bir görüntüsünü elde ediyoruz? (Bu alet bize sonra lazım olacak.) 5. Taşınabilir bir karanlık kutu aracılığı ile güneşin elde edebildiğimiz en büyük ve hala parlak görüntüsünü yakalayalım. Güneşi karanlık kutunun içindeki beyaz yüzeye ayna ile yansıtalım. Yandan bir küçük pencere açarak imajı netleştirelim. Aynı deneyi karşılıklı delikleri olan bir ikinci kara kutuyu birinciye ekleyerek de yapalım. Güneş olmadığı durumda, karanlık kutuyu (“camera obscura”) ışığın nasıl yayıldığını, nesneleri nasıl gördüğümüzü daha iyi anlamak için kullanalım 6. Uzakları ölçmek. İlk iş olarak bir mesafe ölçücü yapıyoruz! Üçgen (10-11 cm genişliğinde kenarları olan) kartondan, merceksiz bir “teleskop” yaptık ve kapalı ucuna 0,5 cm çapında bir delik açtık. “Teleskop”a bu delikten bakacağız. Bir de diğer ucuna 1 cm çapında bir delik açalım. Bu çapa d diyelim. (Bu uca farklı çaplara sahip deliği olan kapaklar takarak d’yi değiştirebiliriz.) NOT: Kanuni devrinde yaşamış ve Cihangir’deki rasathanesi donanma tarafından topa tutularak yıkılmış olan Takuyiddin Efendi’nin kullandığı da bu alet; “delikli boru” deniyor.) Bu “delikli boru”yu biraz uzakta (yolun ta ötesinde) bir yükseltinin üzerine koyduğumuz bir küçük topa doğrultalım. Delikli borunun iç içe geçen borularını öyle ayarlayalım ki, top tam borunun deliğini doldurur görünsün. Bu durumda delikli borunun toplam uzunluğunu (baktığımız delikle borunun diğer ucundaki deliğin arasındaki mesafeyi) ölçelim. Buna y diyelim. Topun çapını da ölçelim. Bu çapa D diyelim. Topu görmemizi sağlayan ışık borunun içinde nasıl yol alıyor? Işığın uzayda düz çizgiler takibederek yol aldığını unutmayınız. Bunun bir resmini yapalım! Yere bu şeklin bir çok örneğini çizerek inceleyelim. Topun çapının, teleskobun ucundaki deliğin çapına oranı D/d olsun. Top ile teleskobun bakış deliği arasındaki uzaklık ile, teleskobun iki ucu arasındaki uzaklığın oranı da, Y/y ise, yaptığımız inceleme sonucunda göreceğiz ki D/d = Y/ y (1) 2 olmak zorundadır! (Bu denkleme daha önce benzeşir üçgenlerde de rastlamış olabilirsiniz.) Öyleyse, D, d ve y’yi biliyorsak, Y’yi hesaplayabiliriz: Y = y X D / d. Yaptığımız hesabı mesafeyi ölçerek sınayalım. (Bu yaklaşık çıkacaktır.) 7. Eğer topumuz güneş ise ne olur? Belli ki bu durumda güneşi tutup çapını ölçmemiz mümkün değil! Ama yine (1) numaralı denklemi ve delikli borumuzu kullanarak, şunu ölçebiliriz: güneşin çapının, güneşten bize olan mesafeye oranını! Bunu yapmak için borunun uzak ucuna bu kez 0.5 cm çapında bir delik takalım, üstüne güneş filtresini takalım ve güneşin tam uzaktaki deliği doldurduğu konuma kadar boruyu uzatalım. (DİKKAT! ŞAFAK VAKTİ VE GÜNEŞ BATARKEN HARİÇ, HİÇ BİR ZAMAN GÜNEŞE ÇIPLAK GÖZLE BAKMAYIN!!) Şimdi yukarıdaki (1) numaralı denklemin biraz farklı biçimde yazılmasından ibaret olan şu denklemi kullanacağız: D/Y = d/y . Denklemin sağ tarafını ölçebildiğimiz için, sol tarafı da biliyoruz! D/Y’yi hesaplayalım! 8. Aynı deneyi şimdi üzerine küçük bir delik delinmiş bir kartla yapalım. Görüntünün karttan uzaklığını ve çapını ölçelim. Bunu farklı uzaklıklar için yapalım. Yine d/y, demin hesaplayıp bulduğumuz D/Y oranına eşit olacak! Aynı sayıyı buluyor muyuz? 9. Güneşi gözleyerek kuzey yönünü bulma Bu deney daha sonra yapacağımız bir deney için hazırlık mahiyetinde onun için ilk bununla başlayacağız – ve belli aralıklarla ölçüm yapacağız. Yere diktiğimiz bir kazığın yere düşen gölgesinin eriştiği noktayı işaretleyeceğiz ve bunu belli aralıklarla tekrar edeceğiz. Öğle vakti yaz saati ile 13:00. Öğleden evvel başladığımız bu işleme öğleyi geçtikten sonra da devam edeceğiz. İşaretlerimizi bir çizgi ile birleştireceğiz. Bu işlem bittikten sonra kazığın yerine bir pergel koyup kazığın bulunduğu yer etrafına bir daire çizelim (ya da kazığa bir ip, ucuna bir kalem bağlayarak aynı şeyi yapabiliriz). Daireyi yeterince küçük çizersek deminki çizgiyi iki yerde kestiğini görürüz. (Bu neden oldu?) Şimdi cetvelle bu iki noktanın tam ortasını bulalım ve kazığın dibinden bu orta noktaya bir çizgi çizelim. Bu çizgi kuzeyi gösterecektir! (Neden?) Kuzey doğrultusu aya ya da mevsimlere göre değişmez! Bu doğrultuya güneş saatimizi yaparken ihtiyaç duyacağız! 10. Yükseklik ölçüyoruz! Şimdi yine benzer üçgenleri kullanacağımız bir başka uygulama yapacağız. Ama bu kez üçgenin bir açısını elimizi değdirmeden, uzaktan ölçebilmek için bir açıölçer kullanacağız. 3 Bir açıölçerin düz kenarının tam ortasına bir sicim iliştirip ucuna ağırlık bağlayarak bir alet yapacağız. Yuvarlak kenarı aşağıya doğru tuttuğumuz vakit, sarkan ipin tam 90 derece gösterdiği durum, düz kenarın tamamen yatay olduğunu işaret ediyor. Açıölçeri omzumuza dayayarak ve düz kenarından bakarak bir ağacın ya da binanın tepesini “hedef” alırsak, baktığımız noktadan bu yüksekliğe çizeceğimiz çizginin yerle yapacağı açıyı ölçebiliriz. A C B D E Şekil 1 Ölçmek istediğimiz açı ABC açısıdır. B noktasından aşağıya sarkıttığımız sicimin, açıölçer üzerinde 900 gösteren çizgi ile yaptığı açı (yani DBE açısı) ABC açısına eşittir. Gösterin! (NOT: bir açının kenarları başka bir açının kenarlarına dik iseler, iki açı eşittir!) Şimdi bulunduğumuz noktadan yükseltinin yerle birleştiği nokta arasındaki uzaklığı ölçtüğümüzde bir dik üçgen elde ederiz. İki kenarını ve bir açısını bildiğimiz durumda bir üçgenin diğer kenarını hesaplayabiliriz! (Bunu yapmasını bilen var mı? ) A ağaç B C Şekil 2 İlk önce demin ölçtüğümüz ve hesaplamak istediğimiz büyüklükleri bu şekle bakarak isimlendirelim ve değerlerini yazalım: BC = ……………(cm); ABC=…………(derece); hesaplamak istediğimiz uzunluk = AC ……………(cm). Şimdi kendimize yukarıdaki üçgenin bir benzerini çizebiliriz. Bu üç açıya aynen sahip herhangi üçgen, büyük üçgenin bir benzeridir! Bir üçgenin iç açılarının toplamının mutlaka 180 derece olduğunu biliyorsunuzdur belki? Başka bir deyişle, bir dik üçgenin, dik olmayan açılarından birini biliyorsanız diğeri de otomatik olarak belirlenmiş oluyor. (Eğer üçgen dik değilse ne oluyor?) Ağacın tepesini hedef aldığımızda ölçtüğümüz açıyı (ABC) ve ACB açısını (bu kaç derece?) kullanarak ABC’nin bir “benzer üçgen”ini çizelim. (Şekil 3, abc üçgeni.) Bunu 4 yaparken bc uzunluğunu ölçmüş olduğumuz BC uzunluğunun onda biri olarak alalım: bc= BC/10. Sonra b köşesine açıölçer ile ölçerek bir ABC açısı çizer, c köşesine bir dikey indirir ve ba ve ca bacaklarını kesişene kadar uzatırsak ABC üçgeninin bir “benzer”ini elde etmiş oluruz! İşte şimdi ac uzunluğunu cetvelimizle ölçelim. Bizim aradığımız AC uzunluğu, ac uzunluğunun on katı olacaktır!! (Neden? Benzer üçgenler için - örneğin Şekil 2 ve Şekil 3 benzer kenarların birbirine oranı sabittir. Yani BC/bc = AB/ab= AC/ac! Gösteriniz.) a b c bc=BC/10 Şekil 3. DİKKAT! BU ŞEKLİN ÖLÇEĞİ Şekil 2’NİNKİNDEN SADECE 2 KAT DAHA UFAK. Sizin çizeceğiniz üçgenin ölçeği, gerçek hayattaki ABC üçgeninden 10 kat daha ufak olmalı ki defterinize çizebilesiniz! 11. Dünyanın çeperi! Yayların yarıçaplara oranları sadece açıya bağlı dedik. Bunu kendiniz denemek için, grafik kağıdına (milimetrik kağıda) yukarıdaki gibi bir şekil çizin. Şekilde A1, A2… farklı yarıçapları göstermektedir. Burada örneğin A1B uzunluğunu sonra da S1 yayının uzunluğunu ölçün ve birbirine bölün. Sonra aynı şeyi diğer yarıçaplar için de yapın. A1/S1 = ? A2/S2 = ? A3/S3 = ? Bunların hepsi 30olik bir açının kestiği yaylar olduğuna göre bize tüm bu oranlar aynı sonucu vermeli! Siz ne buldunuz? (0,52 gibi bir sayı mı?) Farklı yarıçaplara sahip daireler üzerinde aynı büyüklükte bir açının kestiği yay uzunluğu, dairenin yarıçapına bölündüğünde hep aynı oran bulunur. İşte bu orana “radyan” denir ve kullanışlı bir açı ölçüsüdür. Şekil 4. Aynı açının farklı yarıçaplarda (A1, A2, …) kestiği yay uzunlukları (S1, S2, …) http://navnirmitilearning.org/universal-active-science/day-time-astronomy/ Eğer açı 360o ise, yay çeperin tümü olacağından, R yarıçaplı bir daire için çeperin uzunluğunu ölçüp, R’ye böldüğümüzde, dairenin tam açısının radyan cinsinden değerini buluruz. Bu sayının matematikte çok özel bir yeri vardır. Bu sayının yarısı π (Yunan alfabesinde “pi” harfi) ile gösterilir. π = 3.1415926535897932384626433……sonsuz basamaklı bir sayıdır. Çoğu kez 3,1416 gibi yaklaşık bir değer kullanırız. 5 Bu tanıma göre 360olik bir açının radyan olarak karşılığı “2π radyan” olmalıdır. Böylece oranlayarak, 180o=π, 90o=π/2, 60o=2π/6 =π/3, 45o=π/4, 30o = π/6 vs buluruz. Bu hesapça 30o olan bir açının radyan olarak değerini π/6 diye yazabiliriz ama sayısal değeri nedir? Bunu hesaplayın. Bundan 2200 yıl önce Yunanlı bilgin Eratosthenes, dünyanın bir büyük çemberinin uzunluğunu hesaplamış. Yaz gündönümünde Atina’da güneş ışıklarının yere tam dik değil de 7o’lik bir açıyla geldiğini saptamış. Atina’dan 800 km güneyde Nil vadisinde Aswan yakınlarında olan Siene kentinde ise, yaz gündönümünde güneş ışıklarının bir kuyunun ta dibine vuracak şekilde dimdik geldiklerini biliyormuş. Dünyanın çeperini (360/7) X 800 km olarak bulmuş. Sizce hesabı nasıl yapmış? Bunu bir resim çizerek gösterin. (Güneş ışıklarının dünyamıza ulaştıklarında birbirlerine paralel olduklarını kabul edebiliriz.) Bu hesabı, derece yerine radyan kullanarak yapın. 7o kaç radyan eder? 12. BİR SEKSTANT YAPIYORUZ! Dünya üzerindeki yerimizi enlem ve boylamlar aracılığı ile belirliyoruz. Boylam dediğimiz, ekvator boyunca dünyanın çeperini 360 dilime bölecek biçimde kutup noktalarından geçirdiğimiz büyük çemberlerdir (ilk çember İngilterede Greenwich rasathanesinin bulunduğu yerden geçecek diye anlaşılmıştır). Enlemler ise ekvator düzlemine paralel olarak dünyayı kuzeye ve güneye doğru 90+90=180 dilime bölerler. Eğer kafamızı dünyanın eksenine paralel olarak eğip bakacak olursak (evet, dünyanın dönme ekseni yörünge düzlemine göre eğik, buna tekrar döneceğiz), Şekil 5’i çizebiliriz. Bir enlem, şekilde göründüğü gibi bir açı da tanımlar. Enlem O Ekvator düzlemi M L Şekil 5 Bir enlem çizgisinin kaç “derece” olduğunu, dünyanın merkezinden (M), yüzeyde o enlemin geçtiği yere (O) çizilen bir yarıçap doğrusu ile ekvator düzleminin yaptığı açı (OML açısı) olacağını anlarız. Bu açı ekvatorda 00, kuzey kutbunda 900 olacaktır. (Güney kutbunda kaç olur?) Bizim bulunduğumuz yerin (Heybeliada) enlemi 40.87o Kuzeydir. Sekstant, güneşin gökteki konumunu gözleyerek hangi enlemde olduğumuzu saptamak için kullanılan bir alettir. Sekstant ve pusula ile denizciler açık denizlerde yollarını bulurlardı (şimdi GPS kullanıyorlar, yani uydulardan gelen sinyaller aracılığı ile yerküre üzerindeki yerlerini belirliyorlar). 6 Gündüzleyin sekstant güneşin ufuk çizgisinden kaç derece yüksekte olduğunu ölçmek için kullanılır. Bu bilgi, dünyamızın güneş etrafındaki yörüngesinin neresinde olduğumuz bilgisi ile, yani gündönümünden itibaren yılın kaçıncı gününde olduğumuz bilgisi ile birleşince, hangi enlemde olduğumuzu hesaplama olanağı doğar. Bu atölyede ölçümümüzü yaptığımız 27 Eylül günü, güz ılımına çok yakın olduğu için, işimiz genelde olacağından çok daha kolay olacaktır. Yılın bu evresinde, dünyanın kendi etrafında dönme ekseni dünyanın güneş etrafındaki yörüngesine paraleldir. Ölçümümüzü öğle saatinde yapacağız, böylece güneş o mevsimde gökte bulunabileceği en yüksek noktada olacak. Yaptığımız gözlemin geometrisi aşağıdaki gibi: Sekstantla enlem tayini – ekinoks (ılım) Dünyanın dönme ekseni bu resimde sayfanın içine doğru eğik Ekvator düzlemi de sayfanın içine doğru eğik, ama öğle saatinin yaşandığı, güneşe bakan tarafta güneş ekvatora , yani 0o ye, tam dikine vuruyor . Böylece ekvatorun güneş ışınları doğrultusunda bir yarıçapı (MB) var. Yarıçap doğrultusu C O M G E A Güneş çok uzakta olduğu için, dünyanın üzerine düşen ışınlar paralel geliyorlar Şekil 6 Şemada ufuk düzlemi ile yarıçapın kesiştiği yer (O) gözlem noktamız. AOG açısı sekstantın ölçtüğü açı. Bize BMO açısı – ya da ona eşit olan – MOC açısı lazım.(Bu iki açı neden eşit? Yarıçap doğrusunu kesen iki paralel çizgi, MB ve CO tarafından oluşturuluyorlar da ondan!) Görüyoruz ki, AOG açısının bacaklarını O noktasının ötesine uzattığımızda COD açısını elde ediyoruz ve böylece COD = AOG. Öte yandan MOA açısının dik açı olduğunu biliyoruz: zira yarıçap doğrusu MO, O noktasından geçen ufuk düzlemine dik olmak zorunda. Demek ki EMO = MOC= MOA – AOG, ya da EMO = 90o – AOG. İşte size bulunduğumuz enlem! 7 Herhangi mevsimde skestantla yaptığımız açı ölçümünden enlemimizi nasıl buluruz? Bildiğiniz gibi dünyanın dönme ekseni yörünge düzlemine dik değil. Yörünge düzlemi ile sabit bir açı yapıyor. Dünyanın eğiklik açısı yani yörünge düzlemi ile yaptığı açı 66.6o büyüklüğünde. Yörünge düzlemine dik doğrultu ile yaptığı açı 90o-66.6o = 23.4o. Dünyanın aslında elips şeklindeki yörüngesini biraz basitleştirerek daire gibi çizelim ve güneşi de dairenin merkezine koyalım. Dünyanın dönme eksenini görünür kılmak için, kuzey kutbuna tutturulmuş birim uzunlukta çubuklarla temsil edelim (resimdeki düz çubuklar). Tepeden görünen, tabi ki, çubukların yörünge düzlemine izdüşümü ve tabi bu izdüşümlerin de hepsi aynı uzunlukta. (Şekil 7) Bahar ekinoksu (ılım) S kuzey yarıkürede yaz g.d. kuzey yarıkürede kış gündönümü U O P Z Şekil 7. “Paralel düzlem”in doğrultusu SZ, güneş ışınlarının doğrultusuna ve yine ona paralel olan yörünge yarıçapının doğrultusu ile aynı Şekil 7’de SZ oku, dünyanın yörünge üzerinde herhangi bir konumun için, sayfanın düzlemine dik ve güneş ışınlarına paralel düzlemin ne doğrultuda alınacağını gösteriyor. Bu “paralel düzlem,” Şekil 11’in düzlemini oluşturuyor. Kırmızı çubuk ise, dönme ekseninin yörünge düzlemine olan sabit izdüşümünün, paralel düzleme izdüşümü. Gördüğünüz gibi, kırmızı çubuk, siyah çubuktan daha kısa. Bu iz düşümü kuzey yarıkürede yaz gündönümünde siyah çubuğun uzunluğuna eşit, güz ılımında boyu sıfıra düşecek! Sonra okun doğrultusuna doğru dönecek, kış gündönümünde tekrar siyah çubuğun boyuna gelecek ve bahar ekinoksuna doğru tekrar ufalacak vs. İzdüşümü üzerine bir gezinti. Şekil 7’de ki POU üçgenini tekrar çizerek, izdüşümünün nasıl alacağımızı gösteriyorum: OP siyah çizgisinin “paralel düzlem” doğrultusuna izdüşümünü bulmak için, P noktasından SZ okuna dik bir çizgi çekeriz. Sekil 8’deki U noktası böyle bulunur. Şimdi kırmızı ile renklendirdiğimiz OU doğrusunun uzunluğunu bulmak gerekiyor.. S U O P Z Şekil 8 Kırmızı OU doğrusunun uzunluğu, OP kenarının uzunluğuna ve POU açısının büyüklüğüne bağlı olacaktır. Görelim: Araba tekerleği gibi bu şekilde, ortadan (O) kenara doğru çekilmiş 8 her bir çizginin, yataya olan izdüşümünü kaleminizle boyayarak gösterebilirsiniz. Her birinin ucundan, resimde görüldüğü gibi bir düz çizgiyi yataya indirmeniz (ya da çıkarmanız!) yeterlidir. Bu resimde OP doğrusunun yataya izdüşümü kırmızı boyanmıştır. P O U Şekil 9. Yarıçapın farklı açılarda izdüşümü Şimdi POU açısını ve OP doğrusunun (yukarıdaki resimde tekerleğin yarıçapının) uzunluğunu biliyorsak, OU doğrusunun uzunluğunun tamamen belirlenmiş olduğunu görüyorsunuz! Oturup OP=1 için, farklı açılarda OU’nun uzunluğunu ölçüp bir tablo haline getirebiliriz. Bu tablonun adını Kosinus (cos) Tablosu koyalım. Her verdiğimiz açı için bize birim yarıçapın yataya izdüşümünü versin. Örneğin 30, 45, 60 derecelerde bu tablonun vereceği değerleri cos(30o)= 0,8660, cos(45o)=0,707, cos(60o)= 0,5 ….gibi de ifade edebiliriz. Benzer üçgenler kuralını kullanarak, bu tablodan keyfi yarıçaplar için OU uzunluklarını bulabiliriz! Nasıl mı? Tablonun bize 1 yarıçap için verdiği değeri, ölçtüğümüz OP değeri ile çarparak! Öyleyse keyfi bir yarıçap için OU = OP cos (POU) olacaktır. Bu denklemi, kosinus (cos) “fonksiyonunun” tanımı olarak da kabul edebilirsiniz. (Bu fonksiyonun değeri POU= 0o olduğunda kaç olmalıdır? POU= 90o olduğunda kaç olmalıdır?) Aşağıda Kosinus Tablosunun farklı açılara göre çizilmiş grafiği var – her bir açı değeri için tabloda gösterilen değer, y ekseninde gösterilmiş. Bu şekilde açılar derece ile değil de “radyan” birimi ile verilmiş. Derece ile radyan arasındaki ilişkiyi daha önce de gördük. 1 radyan= (2 X 3,1416) /360. Buradaki 3,1416 sayısının özel bir adı var, Yunan alfabesinin π (pi) harfi ile gösteriliyor dedik. Şekil 10 9 Enlem hesabına geri dönersek! Şekil 7’de göstermeye çalıştığımız şey şu: her ne kadar dünyanın eğiklik doğrultusu hep aynı yönde ise de, bu doğrultu, yıl boyunca yörüngenin yarıçapı ile, böylece de Güneşten gelen ışınların doğrultusu ile, farklı açılar yapıyor. Aşağıda Şekil 10’da verdiğimiz çizim, “paralel düzlem”de, güneşten gelen ışınlar ile, dünyanın eğikliğinin bu düzleme izdüşümünü gösteriyor. PMD açısı, dünyanın eğiklik açısı değil, o açının bu düzleme izdüşümü. Şimdi göstereceğiz ki, EMO açısının hesabında bizim ölçtüğümüz “güneşin ufuk çizgisinden yüksekliği”nin (AOG açısının) 90oden çıkartılması ve bu açıya EMG’=PMD açısının eklenmesi gerekiyor. Sekstantla enlem tayini – yaz mevsiminde Yörünge düzlemine dikey D Eğiklik açısının paralel düzleme izdüşümü U Yarıçap doğrultusu Y G O G’ M E A F Şekil 11. Bu şekil dönme ekseninin “paralel düzleme” izdüşümünü ve bu düzlemde gelen güneş ışınlarını gösteriyor. ME doğrusu (noktalı çizgi) dünyanın merkezinden, öğle vaktinde ekvatorun geçtiği noktaya çizilmiş. (Dikkat! Noktalı çizgi ekvatoru izlemiyor!) Rasgele bir yaz gününde öğle vakti güneş ışınları ekvatorun üzerine dik vurmuyorlar. Ekvatorun öğle vaktinde güneşe en yakın olan noktası, yörünge düzleminden EMG’ açısı kadar sapmış bulunuyor. Dikkat edilirse, EMG’ dünyanın eğikliğinin bu paralel düzleme izdüşümü olan PMD açısına eşit. Bizim sekstantla yaptığımız ölçüm sonucu elde edeceğimiz açı, AOG açısı. Hesaplamak istediğimiz açı enlemimizi bildiren EMO açısı. Şekil 10’da ekvatoru göstermiyorum. ME doğrusu, sadece dünyanın merkezinden, öğle vakti ekvatora güneşin en dik geldiği noktaya çizilmiş bulunuyor. MOA açısı yine bir dik açı, ve YOG = 90o – AOG. Ayrıca EMO=YMG’+EMG’. Ancak YMG’=YOG. Böylece EMO = 90o – AOG +EMG’. Şimdi UMD açısının bacaklarının EMG’ açısına dik olduklarına ve böylece bu iki açının birbirlerine eşit olduğuna dikkat ediniz. Nihayet, hesaplamak istediğimiz enlem EMO = 90o – AOG +UMD. 10 olur. (2) Paralel düzlem içindeki eğiklik açısı ve zamanla değişimi Şimdi, EMG’ = UMD açısını incelememiz gerekiyor. Bu açı, eksenin eğikliğinin, paralel düzleme izdüşümü dedik. Eksenin eğikliği (şimdilik!) 23.4o . D P O R M Şekil 12. Dünyanın eğiklik düzleminde PM eğik dönme eksenini, DMP açısı, eğiklik açısını, DP bu açının kestiği yörünge düzlemine dik çizgi (DM) ile dönme ekseni arasındaki yayı, OP ise bu yayın yörünge düzlemine izdüşümünü gösteriyor. Açının kestiği yay (DP) yerine (yeterince küçük açılar için, yaklaşık olarak) OP doğrusunu da koyabileceğimizi görüyoruz. Şekil 7’de uzunluklarını abartarak siyah çizgiler olarak gösterdiğimiz doğrular, OP doğrularına karşı geliyorlar. Şimdi Şekil 12’de ve Şekil 7’de gösterdiğimiz OP doğrularının, paralel düzleme izdüşümleri olan UP doğrularından (Şekil 7), bu kez paralel düzlemdeki eğiklik açısına gidebiliriz! Bu düzlemde bulacağımız şekil aşağıdadır (Şekil 13). D O U R M Şekil 13. Şekil 13’te, UO doğrusunun uzunluğu, Şekil 7 ve altında anlatıldığı gibi UO= PO cos(POU) ile verilmektedir ve yaklaşık olarak UD yayının uzunluğuna eşittir. Her iki Şekilde (Şekil 12 ve Şekil 13) dünyanın yarıçapı R aynı olduğuna göre, UD = R X DMU = PS cos(POU) = [R X DMP] cos(POU) . 11 Basitleştirirsek, eğiklik açısının paralel düzlem içindeki değeri (ya da paralel düzleme izdüşümü), eğiklik düzlemi içindeki değeri kere, iki düzlem arasındaki açının kosinusu ile verilir: DMU = DMP cos (POU). İki düzlem arasındaki açının (POU) değişimi basitçe bulunuyor, zira eğiklik düzlemi sabit, diğer düzlem ise bir yıl içinde sabit bir hızla 360 derece dönüyor. Öyleyse, 21 Aralıktaki gündönümünden itibaren günleri saymaya başlar ve bu sayıyı t ile gösterirsek, açıları da radyan ile gösterirsek, elde ettiğimiz sonuç, DMU = DMP cos [ (2π/365) t ] olur. Nihayet Denklem (2)’den, EMO = (π/2) – AOG + DMP X cos[ (2π/365) t ] bulunur. Meraklıları için: Aslında burada yaklaşık olarak yapmak zorunda kaldığımız hesap, küresel trigonometrinin alanına giriyor. Düzlemde değil de bir küre üzerinde büyük çemberlerin kesişmesi ile oluşan açılar ve “üçgenler” küresel trigonometrinin konusu. ODTÜ kaynaklı şu özette, küresel trigonometrinin tüm temel teoremlerini bulabilirsiniz: http://www.metu.edu.tr/~aldoks/trig-kure.pdf . Kürenin yarıçapı sonsuza gittiğinde, ya da başka bir deyişle yaylarınızın uzunluğu kürenizin çeperine kıyasla çok çok küçük iseler, düzlem trigonometri yapacağınız hesaplar için yeterli oluyor. Beklenileceği gibi, jeodezi, seyir ve astronomi alanlarında, düzlem trigonometri yeterli değil ve küresel trigonometri çok önemli bir yer tutuyor. KAYNAKÇA Gündüz Gözü ile Astronomi (Daytime Astronomy) etkinlikleri için http://navnirmitilearning.org/universal-active-science/day-time-astronomy/ sitesinden yararlanılmıştır. Bu sitedeki metin ve görüntüler “copyleft” usulünce ticari olmayan her türlü kullanıma, kaynak gösterilme koşuluyla, açıktır. Yazarlar Vivek Monteiro, Geeta Mahashabde ve Priyanvada Barbhai’ye teşekkür ederiz. Ayrıca, Cem Sinan Deliduman’a Takiyuddin Efendi’nin “delikli boru”yu kullandığı bilgisi için teşekkür ederiz. 12 EK NOT : Geceleyin enlem tayini Eğer gözlemimizi gece karanlığında yapıyorsak, enlemimizi belirlemek çok daha kolaydır! Sekstantı kutup yıldızına doğrultup ufuk çizgisi ile yaptığı açıyı ölçebiliriz. Bu bilgiden enlemi daha kestirme bir biçimde bulabiliriz! Bu gözlemin doğrultusu her vakit (yılın hangi günü olursa olsun) dünyanın kendi etrafında dönme eksenine paralel olacaktır, çünkü kutup yıldız, adını tam da bu özelliğinden almaktadır: dünyanın kendi etrafında dönme ekseninin yönü uzayda sabittir ve tam da kutup yıldızı dediğimiz yıldızı göstermektedir! Bu durumda, dünyanın ekseni, sekstantın ölçtüğü açı ve enlem arasındaki bağıntıyı şu resimden anlayabiliriz: P eksen A O B L Ekvator M K Şekil 14 AOP açısı, O noktasında dururken, sekstantı kutup yıldızına doğrulttuğunuzda ufuk çizgisi (AB) ile ölçtüğünüz açıdır. Bu açının kenarlarını O noktasından öteye doğru uzattığınızda elde ettiğiniz KOL açısı, AOP açısına eşittir. Şimdi KOB açısının OML açısına eşit olduğunu göstermek için KOB açısının OK kenarı ML doğrusuna, OB kenarı ise MO doğrusuna dik olduklarını göstermemiz yeterlidir (zira bir açının kenarları başka bir açının kenarlarına dik iseler, iki açı eşittir). Şimdi M eğer dünyanın merkezini gösteriyorsa, MO doğrusu dünyanın O noktasından geçen yarıçapıdır ve O noktasında yere, yani dünyanın yüzeyine, böylece ufuk çizgisi ile belirlenen düzleme diktir. PK doğrusu ise, eksene paralel olduğundan ekvatora, böylece burada MO doğrusuna diktir! İşte bu kadar. Böylece, sekstantı kutup yıldızına doğrultarak ufuk çizgisi ile yaptığımız açıyı ölçtüğümüzde doğrudan doğruya OML açısını, yani O noktasına çizilen yarıçapın ekvatorla yaptığı açıyı ölçmüş oluruz ki, buna “enlem” deniyor! Sağlama: Bu hesapça enlem ekvatorda kaç olacaktır? Kutupta kaç olacaktır? 13