(pdf) indirmek için TIKLAYINIZ.

Önsöz
Değerli Öğrenciler,
Bu fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza
yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak şekilde hücrelere ayrılarak işlenmiştir.
Öğrenci ve öğretmenlere kolaylık olması için konu sırası ve kapsamı Milli Eğitim Bakanlığı müfredatı ile tam uyumludur. Fasikül baştan sona kazanım temelli hazırlanmıştır. Her hücre bir kazanımla ilişkilendirilmiştir.
Fasikül aşağıdaki bölümlerden oluşmaktadır,
Bilgi Kavrama Kutusu: Anlamlı en küçük hücredir. Önce kısa, temel bir bilgi verilir daha sonra da bu
bilginin kavranması için örnek çözümler yapılır.
Uygulama Kutusu: Bilgi kavrama kutusundaki bilginin uygulaması niteliğindedir. Bilgi dikkatle okunup,
çözümlü örnekler incelenirse bu bölümdeki sorular kolaylıkla çözülür.
Kontrol Testi: Birkaç hücrenin birleştirilerek anlamlı bir bütün oluşturduğu bölümdür. Birkaç bilgi kavrama kutusundan sonra verilen ve bu hücrelerdeki bilgilerin birleştirilmesi ile çözülebilecek sorulardan
oluşur.
Karma Test: Fasikülün sonundaki bölümdür. Sorular ilk 2-3 testte konu sırasına göre gelir. Diğer testlerde karma sorular vardır. Sorular giderek zorlaşır. Tüm bilgi- kavrama kutularını birleştiren bölümdür.
Fasikül Programlı Öğretim yöntemine ve Bloom ‘un “Eğitsel Hedeflerin Taksonomisi” ne göre hazırlanmıştır. Bireysel öğrenmeyi kolaylaştıran “Küçük Adımlar İlkesi”, “Bireysel Hız İlkesi”, “Aşamalı İlerleme
İlkesi” gibi ilkeler gözetilmiştir.
Programlı öğretim kendi kendine ve bir sınıf içinde aşamalı öğrenme yöntemidir. Bilginin özel parçalara veya temel öğelere ayrılarak belirli bir sıraya göre düzenlenip bireysel esasa göre öğrenilebileceği
varsayımına dayanmaktadır. Öğretimin bireyselleşmesi ve tam öğrenme ilkeleri temele alınmaktadır.
Programlı öğretim öğrencinin öğrenme sürecine etkin katılımını, bireysel öğrenme hızına göre
ilerleme kaydetmesini ve öğrenme sonucunun anında kontrol edilmesini sağlayan bir öğretim tekniğidir.
Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda
başarılar dilerim.
Üveys AKKAYA
[email protected]
5
Neden Öğreneceğiz?
Matematikçiler birinci yüzyıldan itibaren x2+1=0 denkleminin çözümünü aradılar. On altıncı
yüzyıla kadar matematikçilere negatif sayıların karekökleri anlamsız geliyordu. On yedinci yüzyılda ilk kez Rene Descartes negatif sayıların karekökleri için “sanal” tabirini kullandı. On yedinci
yüzyılın sonlarına doğru ünlü filozof Leibniz karmaşık sayıları felsefik bir manada tanımlayarak
“olmak ile olmamak arasında köprü” şeklinde tanımlamıştır. 1796 da Gauss’un doktora tezi
bu gün cebirin temel teoremi olarak bilinmektedir. Cebirsel bir denklemin kökünün a+bi şeklinde olduğunu Gauss göstermiştir. Böylece karmaşık sayıları oluşturmuş ve karmaşık düzlemde
göstermiştir. Bu düzleme Gauss düzlemi de denir.
Aslında karmaşık (kompleks) kelimesi anlaşılmazlığı, karmaşayı değil, örneğin spor kompleksindeki gibi, farklı şeylerin bir arada durmasını anlatmaktadır.
Karmaşık sayılar, kontrol mühendisliği, elektrik mühendisliği, kuantum mekaniği, görelilik kuramı, sinyal analizi gibi birçok alanda kullanılmaktadır. Bunların yanında dalgaların ortaya çıktığı
(su dalgası, yay dalgası, gece gündüzden dolayı sıcaklık dalgası) her alanda bir sarkacın hareketinin modellenmesinde kullanılır. Arabaların süspansiyonlarında da eğer yaylanan bir sistem
varsa bunun modellenmesinde kullanılır.
Ne Öğreneceğiz? (Kazanımlar)
1. Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle açıklar.
2. Sanal birimi (i sayısını) belirtir ve bu sayının kuvvetlerini hesaplar.
3. Karmaşık sayıyı, standart biçimini, gerçek kısmını, sanal kısmını açıklar ve iki karmaşık
sayının eşitliğini ifade eder.
4. Karmaşık düzlemi açıklar ve verilen bir karmaşık sayıyı karmaşık düzlemde gösterir.
5. Bir karmaşık sayının eşleniğini ve modülünü açıklar, karmaşık düzlemde gösterir.
6. Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini ve geometrik yorumlarını yapar, toplama işleminin özelliklerini gösterir.
7. Karmaşık sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini yapar, çarpma işleminin özelliklerini gösterir.
8. Eşlenik ve modül ile ilgili özellikleri gösterir.
9. Karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı açıklar ve karmaşık sayı ile çember ilişkisini belirtir.
10. Karmaşık sayılarda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.
11. Bir noktanın kartezyen koordinatları ile kutupsal koordinatları arasındaki bağıntıları bulur,
standart biçimde verilen bir karmaşık sayının kutupsal koordinatlarını belirler ve karmaşık
düzlemde gösterir
12. Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayı arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
işlemleri yapar.
13. Bir karmaşık sayının orijin etrafında pozitif yönde alfa açısı kadar döndürülmesi ile elde
edilen karmaşık sayıyı bulur.
14. De Moivre kuralını ifade eder ve kutupsal koordinatlarda verilen bir karmaşık sayının kuvvetlerini belirler.
15. Verilen bir karmaşık sayının n. dereceden köklerini belirler, karmaşık düzlemde gösterir ve
geometrik olarak yorumlar.
6
İçindekiler
Önsöz........................................................................................................................................................... 5
İçindekiler..................................................................................................................................................... 6
Ne Öğreneceğiz? (Kazanımlar)..................................................................................................................... 7
Bilgi Kutusu 1 (Kazanım No 1-2) ................................................................................................................. 8
Uygulama Kutusu 1...................................................................................................................................... 9
Bilgi Kutusu 2 (Kazanım No 3-4)................................................................................................................ 10
Uygulama Kutusu 2.................................................................................................................................... 11
Kontrol Testi 1......................................................................................................................................12-13
Bilgi Kutusu 3 (Kazanım No 5).................................................................................................................... 14
Uygulama Kutusu 3.................................................................................................................................... 15
Bilgi Kutusu 4 (Kazanım No 6).................................................................................................................... 16
Uygulama Kutusu 4.................................................................................................................................... 17
Bilgi Kutusu 5 (Kazanım No 7).................................................................................................................... 18
Uygulama Kutusu 5.................................................................................................................................... 19
Kontrol Testi 2......................................................................................................................................20-21
Bilgi Kutusu 6 (Kazanım No 8).................................................................................................................... 22
Uygulama Kutusu 6.................................................................................................................................... 23
Bilgi Kutusu 7 (Kazanım No 9)................................................................................................................... 24
Uygulama Kutusu 7.................................................................................................................................... 25
Bilgi Kutusu 8 (Kazanım No 10).................................................................................................................. 26
Uygulama Kutusu 8.................................................................................................................................... 27
Kontrol Testi 3......................................................................................................................................28-29
Bilgi Kutusu 9 (Kazanım No 11)................................................................................................................. 30
Uygulama Kutusu 9.................................................................................................................................... 31
Bilgi Kutusu 10 (Kazanım No 11)................................................................................................................ 32
Uygulama Kutusu 10.................................................................................................................................. 33
Bilgi Kutusu 11 (Kazanım No 12)................................................................................................................ 34
Uygulama Kutusu 11.................................................................................................................................. 35
Kontrol Testi 4......................................................................................................................................36-37
Bilgi Kutusu 12 (Kazanım No 13-14).......................................................................................................... 38
Uygulama Kutusu 12.................................................................................................................................. 39
Bilgi Kutusu 13 (Kazanım No 15)................................................................................................................ 40
Uygulama Kutusu 13.................................................................................................................................. 41
Kontrol Testi 5......................................................................................................................................42-43
Karma Test 1.........................................................................................................................................44-45
Karma Test 2.........................................................................................................................................46-47
Karma Test 3.........................................................................................................................................48-49
Karma Test 4.........................................................................................................................................50-51
Karma Test 5.........................................................................................................................................52-53
Karma Test 6.........................................................................................................................................54-55
2014-2015 Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği........................................................................................56
7
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 1: Sanal Birim ve Kuvvetleri
1. ax2 + bx + c = 0,
Δ = b2 – 4ac
4. • n ∈ N olmak üzere
• Δ > 0 iki gerçek kök vardır.
• Δ = 0 çakışık gerçek iki kök vardır.
• Δ < 0 gerçek kök yoktur.
2. - 1 = i veya i2 = –1 ifadesinde i sayısına sanal
(imajiner) birim denir.
1
i
–1
–i
, k = 4n
, k = 4n+1
, k = 4n+2
, k = 4n+3
• in + in+1 + in+2 + in+3 = 0
• i–3 = i–3+4 = i
• i–6= i–6+4+4 = i2 = –1
+
3. m∈R , - m = i m dir.
Örnek 1:
Örnek 4:
x2 – 4x + 7 = 0 denkleminin diskiriminantını
inceleyelim.
Δ = b2 – 4ac = (–4)2 – 4.1.7= –12 < 0
olduğundan gerçek (reel) sayılarda çözümü
yoktur.
i + i2 + ..... + i101 işleminin sonucunu bulalım.
i + i2 + i3 + i4 +....+ i100 + i101
0
0
101
= 0 + 0 + ... + i = i1 = i
Örnek 5:
Örnek 2:
• - 4 = 4 - 1 = 2i
i–1 + i–2 + i–3 + .... + i–34
• -8 = 8 -1 = 2 2 i
işleminin sonucunu bulalım.
• - 2 . - 8 = 2 i.2 2 i = 4i 2 =- 4
Örnek 3
Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
• i 24 = i 4.6 = i 0 = 1
• i 151 = i 3 =- i
• i -5 = i 3 =- i
• i -51 = i 1 = i
8
ik =
151 4
37
3
–51 4
–52 –13
1
i–1 + i–2 + i–3 + i–4 + .... + i–32 + i–33 + i–34
0
0
–33
–34
3
2
= i + i = i + i = –i–1
UYGULAMA KUTUSU 1
1.
4.
x2 – 6x + a = 0
denkleminin çakışık iki gerçek kökü varsa a
kaçtır?
A) 2
B) 6
C) 9
D) 12
i15 + i24 + i41
işleminin sonucu kaçtır?
A) –i
E) 15
B) 1
C) 1–i
D) 2i
E) 2–i
2.
5.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –10i
B) –2i
C) i
D) 4i
E) 6i
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
- 2 . - 5 . –10
i–14 + i–25 + i–73
işleminin sonucu kaçtır?
A) i–2
B) 2i–1 C) –3+i D) –1–2i E) 2–i
3. a bir gerçek sayı olmak üzere
6.
72 - 3a = 3i
olduğuna göre a kaçtır?
A) 4
B) 9
C) 15
D) 21
E) 27
i0 + i1 + i2 + .... + i503
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B) –i
C) i–1
D) 1+i
E) i
1. C 2. A 3. E 4. B 5. D 6. A
9
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 2: Karmaşık Sayı ve Karmaşık Düzlem
1.a, b ∈R, i2 = –1 olmak üzere Z = a+b i şeklinde
tanımlanan sayılara karmaşık sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi “C” ile gösterilir.
2. x ekseni gerçek eksen
y ekseni sanal eksen karmaşık düzlem
Im
a: Gerçek (reel) kısım
b
b: Sanal (imajiner) kısım
0
Re(Z)=a ve Im (Z)=b
3. Z1 = a+b i Z=a+bi
Re
a
Z2=c+d i
Z1 = Z2 Z[ a = c ve b = d dir.
Örnek 1:
Örnek 3:
Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
Im
• Z = 4+i ise Re(Z) = 4
Im(Z) = 1 dir.
• Z = - 9 + 25 ise
2
Z4
0
–3
Z = 3i + 5
Re(Z) = 5
Im(Z) = 3
1
Z1
1
Z2
3
Re
Z3 –2
Yukarıda karmaşık düzlemde verilen sayıları
ifade edelim.
• Z1 = 1 + 0i = (1, 0)
• Z2 = 3 + 2i = (3, 2)
• Z3 = 0 – 2i = (0, –2)
• Z4 = –3 + i = (–3, 1)
Örnek 2:
Örnek 4:
Z1 = (a–2) + 3i
Z = (3 – a) + (b + 1) i
karmaşık sayısı karmaşık düzlemin ikinci bölge-
Z2 = 5 – b i
olmak üzere Z1 = Z2 ise a ve b’yi bulalım.
Z1 = Z2 ise
10
a–2 = 5 ve 3 = –b
a=7
b = –3
sinde ise a ve b’nin çözüm aralığını bulalım.
2. bölgede (– , +) dır.
3 – a < 0
3<a
b+1>0
b > –1
UYGULAMA KUTUSU 2
1.
4.
Z = i + i2 + .... + i67
Z
olduğuna göre Re(Z) + Im(Z) toplamı kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 0
D) 1
Yandaki çemberin merkezi m(3,0)
ve yarıçap
uzunluğu 5
Re
birimdir. Buna
göre Z karmaşık
sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Im
E) 3
m
A) 4
B) 4i
C) 1+4i D) 4+i
E) 5i
ve
b-1
Z2 = 2 – a + a 2 k i
olmak üzere Z1 = Z2 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
A) 17
B) 11
C) 4
D) –1
E) –2
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2. Z1 = 4! + a + 4i
5.
Z = a+4+(a–3) i
karmaşık sayısı gerçek (reel) eksen üzerinde
ise Re(Z) kaçtır?
A) –3
B) 3
C) 4
D) 7
E) 12
3. Z bir karmaşık sayı olmak üzere
Z2 - i2
Z + i = 2 + 6i
6.
olduğuna göre Re(Z) + Im(Z) toplamı kaçtır?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
Z = (2m–1) – (n+1)i
karmaşık sayısı dördüncü bölgede olduğuna
göre m+n’nin en küçük tamsayı değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
1. B 2. E 3. C 4. B 5. D 6. B
11
KONTROL TESTİ - 1
2.
B) –i
C) i
D) 2i
E) 3i
6.
işleminin sonucu kaçtır?
B) –i
C) 0
D) 1
E) i
D) 1
E) i
D) i
E) 2i
D) –1
E) 0
i2 + i3 + .... +i80
işleminin sonucu kaçtır?
A) –i
B) –10
C) 0
D) 10+10i
B) –1
C) 0
E) 10+24i
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
işleminin sonucu kaçtır?
A) –1
- 12 . 48 + 100
A) –14
i8n+1 + i12n+3
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2i
5. n bir doğal sayı olmak üzere
-1
4 . - 16 . - 1
1.
7.
3.
Z = -4 + 9 + -9
olduğuna göre Re(Z) + Im(Z) toplamı kaçtır?
A) 4
4.
B) 5
C) 6
D) 7
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
i1527
8.
B) 0
C) –i
D) 1
B) –1
C) 0
E) 8
sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) i
12
(–i) + (–i)2 + (–i)3 + (–i)99
E) –1
i–1 + i–2 + .... + i –99
işleminin sonucu kaçtır?
A) i
B) –i
C) 1
9. a ve b gerçek sayı olmak üzere
14.
Im
Z2
2a – b + (a – 2) i = 0
Z1 = 3+i
I0 Z2I = IZ1 Z2I
olduğuna göre b kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
Z1
D) 4
E) 5
Re
0
karmaşık düzlemde verilenlere göre Z2 aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5
10.a, b ∈ R olmak üzere
C) 4i
D) 5i
E) +4i
a + 1 + i + i2 + i3 + .... + i73 = 4 + (b–3)i
olduğuna göre ab kaçtır?
A) 27
B) 36
C) 64
11.
f: C ➞ C
f(x) = x3 + x2 + x
D) 81
E) 100
olarak tanımlanıyor. Buna göre (fof) (i) nin
değeri nedir?
A) –i
B) i
C) 1
D) –1
E) 0
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) 4
15.
I0Z1I = I0Z2I
Im
Z2
Z1
Re
0
[Z1 0] ⊥ [Z2 0] ve Z1 = 2i + 5
olduğuna göre Z2 aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5-2i
12.Z bir karmaşık sayı olmak üzere,
B) 2-5i C) 5+2i D) 2+i
E) 5i-2
3 = 3 (Z + 2) –6 i
olduğuna göre Re(Z) kaçtır?
A) –1
B) 1
C) 3
D) 4
E) 6
16.Bir pilot hedefin yerini karmaşık düzlemi esas
alarak şifreliyor. Bir dağı orijin olarak alıyor. He-
13.
def için “gerçek kısmı 2 ile 6 km arasında, sanal
kısmı 4 ile 5 km arasında olan karmaşık sayıların bulunduğu bölgededir” diyor.
-1 $ -2 $ -4
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2i
B) i
C)
2 i
E) - 5 2 i
D) - 2 2 i 1. A
2. E
3. E
4. C
5. C
6. A
7. B
Buna göre pilotun tarif ettiği hedef bölgesi
kaç km2 dir?
A) 2
8. D
9. D
10. D
B) 4
11. D
12. A
C) 6
13. D
D) 8
14. D
15. E
E) 9
16. B
13
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 3: Eşlenik ve Modül
1.Z = a+b i karmaşık sayısının eşleniği Z =a–b i
dir.
Im
Z
b
a
–b
2. Z = a+b i karmaşık sayısının uzunluğu (normu)
Z = a 2 + b 2 dır.
Im
Re
b
Z
Z
Z =a+b i
a
• Z = Z ise Im(Z) = 0 dır.
Re
• Z ile Z gerçek eksene göre simetriktir.
Örnek 1:
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
• Z1 = 3–4 i ise
Z 1 = 3+4i
• Z1 = 5i ise IZ1I =
02 + 52 = 5
• Z2 = 5+2i ise
Z 2= 5 – 2i
• Z2 = 6 ise IZ2I =
62 + 02 = 6
• Z3 = 4i+1 ise
Z 3= –4i+1
• Z3 = 1+i ise IZ3I =
12 + 12 = 2
• Z4 = 7i ise
Z 4= –7i
• Z4 = 3+4i ise IZ4I =
32 + 42 = 5
• Z5 = 4 ise
Z 5= 4
• Z6 = –3i–2 ise
Z 6= 3i–2
• Z7 = 1 -23i ise Z 7= 1 +2 3i
• Z8 =
3+i
ise Z 6=
5
3-i
5
• Z9 = 1– 5 ise Z 9= 1– 5
• Z10 = 0 ise
Z 10= 0
Örnek 3:
Z = 5 + mi ve IZI = 13 ise m’nin alabileceği
değerleri bulalım.
25 + m 2 = 13
25 + m2 = 169
m2 = 144
14
IZI = 13
m = 12 veya m = –12
UYGULAMA KUTUSU 3
1.
Z = (m–4) + 6i
4.
Z = 3– (n+4)i
olduğuna göre m–n farkı kaçtır?
A) –1
2.
ve
B) 1
C) 3
D) 5
5.
olduğuna göre Re(Z) + Im(Z) toplamı kaçtır?
B) 4
C) 6
D) 8
IZI = 2 5
ve
olduğuna göre m’nin pozitif değeri kaçtır?
A) 2 5 E) 7
2 Z –5 = 7–4 i
A) 2
Z = m – 4i
B) 2
Z2= 4i–2
C) 3
D) 3 2 E) 4
Im
Z1= 4+2i
E) 10
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
Re
verilenlere göre IZ1I+ IZ2I kaçtır?
A) 0
B) 6
E) 5 2
D) 4 5 C) 2 3 3. Z karmaşık sayısının eşleniği Z olmak üzere;
I. Z = Z dir.
II. Z ile Z gerçek (reel) eksene göre simetriktirler.
III.Z ile Z sanal eksene göre simetriktir.
ifadelerinden hangileri doğru olabilir?
A) I
B) I, II
D) I, III
C) II, III
E) I, II, III
6.
Z = cos x + i sin x
karmaşık sayısının uzunluğu kaç birimdir?
A) 1
B) 2
C) 2 3 D)
3
E) 3
1. D 2. D 3. E 4. B 5. D 6. A
15
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 4: Toplama ve Çarpma İşlemi
1.Z1 = a+b i ve Z2 = c+di
3.Z1 + Z2 ve Z1 – Z2 geometrik olarak vektörlerdeki gibi bulunur. Z1 ve Z2 paralelkenara
tamamlanır, bir köşegen Z1 + Z2, diğer köşegen Z1 – Z2 dir.
• Z1 + Z2 = (a+c) + (b+d) i
• Z1 – Z2 = (a–c) + (b–d) i
2.
Im
A
Z2
Z1+Z2
4.Z1 . Z2 = (a+b i) . (c+di) = (ac–bd) + (ad + bc) i
dir.
Z1– Z2
0
Z1
Re
Örnek 1:
Örnek 2:
Z1 = 4–2i ve Z2 = 1+4 i ise
• Z1 + Z2 = 4–2 i + 1+4i = 5+2i
• Z1 – Z2 = 4–2 i – 1–4i = 3–6i
• Z1 . Z2 = (4–2 i) (1+4 i)
= 4 + 16 i – 2i – 8i
2
= 4 + 14i + 8 = 12 + 14i
IZ 1I = 6 , IZ 2I = 4 ve [0Z1] ile [0Z2]
arasındaki açı 60° ise IZ1+Z2I kaçtır?
Z2
6
0°
12
4
4
Z2
Z 1+
6
Z1
kosinüs teoreminden
IZ 1+Z 2I = 2 19
Not:
Not:
• C kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
Her Z1 ve Z2 için Z1 + Z2 ∈ C dir.
• Değişme ve birleşme özelliği vardır.
Z1 . Z2 ∈ C dir.
Z1 + Z2 = Z2 + Z1 (Z1+Z2) + Z3 = Z1 + (Z2+Z3)
• Değişme ve birleşme özelliği vardır.
• Etkisiz (birim) elemanı 0 + 0 i = 0 dır.
• Etkisiz (birim) elemanı 1 dir.
• Z = a+bi nin toplama işlemine göre ters elemanı –Z = –a–bi
16
• C kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
• Z = 0 haricindeki sayıların çarpma işlemine
göre tersleri vardır.
UYGULAMA KUTUSU 4
1.
Z1 = 4–mi , Z2 = n +2i olmak üzere
4.
Z1+ Z2 = –2 + i olduğuna göre m+n kaçtır?
A) –7
B) –5
C) –1
D) 3
E) 5
işleminin sonucu kaçtır?
A) –i
2.
Z+ Z =6
5.
Z – Z = 4i
A) 3
3.
D
B) 4
Im
C)
13 D) 5 2 E) 4
A, B, C, D
karmaşık
sayıları karenin
köşelerinde
bulunmaktadır.
A
Re
C
B) –1
C) 0
B
E) 1
işleminin sonucu kaçtır?
6.
D) i
^ - 1 + 9 h . ^ - 4 + 1h
A) 4– 2 i
olduğuna göre IZI kaçtır?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
(1+ i)2 + (1–i)2
B) 1+7i
D) 1+i
C) 7+3i
E) 5+2 i
(sin α+ i cos α) . (cos α + i sin α)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 sinα+ i cos α
B) sin 2 + i cos 2
C) sinα– cosα D) i
E) i sin α
IAI = 3 2
olduğuna göre A+B – C+D işleminin sonucu
kaçtır?
A) 4 + 2i
B) 6i + 4
D) 6– 6i
C) 4i + 6
E) 6+6i
1. B 2. C 3. E 4. C 5. B 6. D
17
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 5: Bölme İşlemi
1. • (1+i)2 = 2i
• (1–i)2 = –2i
(1+i)4 = –4
(1–i)4 = –4
(1+i)8 = 16
(1–i)8 = 16
2. Karmaşık sayılarda bölme işlemi yapılırken
paydanın eşleniği ile genişletilir.
Z1 Z1 .Z2
Z2 = Z2 .Z2
• Z = a+bi ise
Z . Z = IZI2 dir.
Örnek 1:
Z . Z = a2+b2
Örnek 4:
(1 + i)64 işleminin sonucunu bulalım
1+i
1-i
7^1 + ih2A
^ 1 + ih^1 + ih 2i
= 2 =i
^ 1 - ih^ 1 + ih
32
= 7^2ih32A = 2 32 .i 32 = 2 32
Örnek 2:
Örnek 5:
(1 – i)10 = (1 – i)8 . (1 – i)2
işlemini yapalım
= 16 . (–2 i) = –32 i
2i
Z = 1+i
Z=
olduğuna göre Z4 ü bulalım
2 i . ^1 - ih
2 i ^1 - ih
=
= i ^1 - ih
2
^ 1 + ih^ 1 - ih
= i - i2 = i + 1
Z = i+1
Örnek 3:
3
2 - i işlemini yapalım
3. ^2 + ih
6 + 3i
6 + 3i
= 2
= 5
^ 2 - ih (2 + i)
2 + 12
18
ise
Z 4 =- 4 tür.
UYGULAMA KUTUSU 5
1.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 225
2.
D) –225 i E) –i
5.
B) i–2410 C) 2205 +i D) –2410 E) 1
2
4
:1 + iD +: 1 - i D
1-i
1+i
B) 0
C) 4
D) 8
E) 16
C) 3–i
D) 2+i
E) 4–2i
1 - 2i
Z = 1+i
A) 4
B) 4+i
olduğuna göre Re( Z ) + Im(Z) toplamı kaçtır?
6.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
işleminin sonucu kaçtır?
A) i–4
işleminin sonucu kaçtır?
3.
B) –225 C) 225 i
(1 + i) . (1 + i)2 ......... (1 + i)40
A) 2205
400
- 4 + 16
4.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
(1–i)50 . i
B) 2
C) 1
D) –2
E) –4
(2 + i) . Z = 5–5 i
olduğuna göre Re(Z) + Im(Z) toplamı kaçtır?
A) –5
B) –2
C) 1
D) 4
E) 6
1. A 2. D 3. B 4. E 5. D 6. B
19
KONTROL TESTİ 2
1. 5.Z bir karmaşık sayı ve
Z = a + 1 + 4 i ve IZI = 5
olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler
çarpımı kaçtır?
A) –8
B) –6
C) –4
D) 6
E) 8
(Z – 1) . (i – 1)=1 + i
olduğuna göre Z aşağıdakilerden hangisidir?
A) i
2.Z bir karmaşık sayı ve
D)
Z1 = 2 + 3i
Z2 = 3–4i
E)
13 E) i+4
D) 2
E) 3
D) i + 1
E) i + 2
9
A) –i
B) i C) 1
21
kaçtır?
A) –5+12i
B) –5+15i
C) –5+18i
D) –5–12i
7.
2i +
2i +
1
1
1
2i + .. .
.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2i
B) –i C) i
E) –5–18i
C)
olduğuna göre 2 . Z1 – 3 . Z2 işleminin sonucu
4. D) i+3
işleminin sonucu kaçtır?
11 17 3. Z=
2 + i a 2i k-1
i + 2-i
olduğuna göre Re(Z) kaçtır?
1
A) 6 20
B)
10 C) i+2
a 11 +- ii k
6.
3 Z + Z = 12 – 2i
olduğuna göre IZI kaçtır?
A)
B) i +1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
1
B) 5 1
C) 4 1
D) 3 1
E) 2
8.
Z1 = sin x – i cos x
Z2 = cosx + i sin x
olduğuna göre IZ1–Z2I kaçtır?
A) 1
B)
2
C)
3
D) 2
E)
5
9.Z = x+yi olmak üzere
13.
1+i
Z = 1 - i olduğuna göre
Z2 + Z3 + .... + Z75
eşitliğini sağlayan Z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 1 – 2i
D) 2 + 2i
10.
B) 2 – i
A) –i
C) 3 – i
B) x = 2
D) y = –1
11.
I Z 1I = 4 br
I Z 2I = 6 br
C) i–1
1
E) y = 2
Z2
6
°
IZ1 – Z2I kaçtır?
60
0
D) 2 10 12.
i6
i8
Z = 1 + i + 1–i
E)
Z1
4
B) 2 13 A) 2 7 Re
D) –i –1 E) 1–i
2. A
B) 1
3. C
Z = x + yi olmak üzere
IZI = 3 br
olduğuna göre y’nin alabileceği kaç farklı
tamsayı değeri vardır?
A) 2
15.
Z = x + yi ve
Z2 = 7 – 5i
4. E
5. B
C) 5
D) 7
E) 9
D) 9
E) 12
1
D) 8 1
E) 16
olduğuna göre x2 – y2 kaçtır?
A) 2
B) 5
C) 7
65
16.
1
C) 2 B) 4
C) 4 2 olduğuna göre Re(Z) + Im(Z) kaçtır?
A) –1
14.
C) y = –2
Im
verilenlere göre
1. A
B) i
E) 3 – 3 i
eşitliğini sağlayan Z karmaşık sayısının analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden
hangisidir?
işleminin sonucu kaçtır?
I Z +1–iI = IZ + 1I
1
A) x = 2 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
I–2+ZI = I2i + ZI
1
D) 4 6. A
1
E) 8
7. C
8. B
-4
:1 + i - 1 - i D
1-i 1+i
işleminin sonucu kaçtır?
A) 16
9. E
10. E
B) 8
11. A
12. B
C) 8i
13. D
14. D
15. C
16. E
21
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 6: Eşlenik ve Modül ile İlgili Özellikler
1. Z = a + bi
ise
Z = a – bi
2. Z = a+b i
Z = a2 + b2
ise
• IZ1 . Z2I = IZ1I . IZ2I
• Z1 + Z2 = Z1 + Z2
• Z 1 .Z 2 = Z 1 . Z 2
Z1
1
• Z
Z =
• Z = Z
• Z . Z = a2 + b2 = IZI2
• IZI = I Z I = I–ZI = IiZI = Ii Z I
• IZ 1+Z2I ≤ IZ 1I + IZ 2I
1
k Z1
• aZ
Z =
2
Z2
• ^Zh = Z
• Z + Z = 2a, Z - Z = 2b i
Örnek 1:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
•
Z = ^1 + ih . ^2 - ih = ^1 + ih . ^2 - ih
= ^1 - ih . ^2 + ih = 3 - i
• Z = 4+5 i ise Z+ Z = 8 ve Z – Z = 10 i
2
n
Z2
n
Örnek 4:
Z=
^ 1 + 2ih . ^ 3 - 4ih
2 - 4i
olduğuna göre I ZI’ yi bulalım.
1 + 2i = 1 + 2 2 = 5
3 - 4i = 3 2 + 4 2 = 5
2 - 4i = 2 2 + 4 2 = 2 5
olduğundan
Z =
5 .5 5
= 2
2 5
Örnek 2:
Z = 4 – b i olmak üzere Z = Z
ise b kaçtır?
Z = 4 – bi = Z = 4 + bi
& 4 – bi = 4 + b i
& b = 0 dır.
Örnek 5:
Z=
Örnek 3:
22
6 + 8i
3-i
6 + 8i =
Z = 2 + 3 i ise I ZI2 kaçtır?
3 - i = 10
IZI2 = Z . Z = 22 + 32 = 13
Z =
ise I ZI kaçtır?
6 + 8i = 10
10
=1
10
UYGULAMA KUTUSU 6
1. 4. Z+ Z = 6 ve 3Z – Z = 6+4i
olduğuna göre IZI kaçtır?
A)
B) 2 5 10 D)
C) 3 2 E)
15 olduğuna göre Z aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) 1 - 2 3 i 21
C)
4
Z+Z
n
Z-Z
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 24
E) 32
2Z + Z - Z.Z -1
=i
1 - 3i
2
B) 5 C) 3
5 + i
D) 2 2 + i 3 + 2 i
E) 4
5
D) 3 E) 4
Z . Z + IZI = 6
olduğuna göre, a2 + b2 kaçtır?
A) 4
koşulunu sağlayan Z karmaşık sayısının orijine uzaklığı kaç birimdir?
1
A) 4 6. 3.Z bir karmaşık sayı olmak üzere
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
d
B)
5. Z = a + bi olmak üzere
2. Z = 2+i olduğuna göre,
IZ I + I Z I + 2 I i Z I = 12
Z=
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
^ 1 + ih . ^ 3 - 4ih3
^ 6 - 8ih2
olduğuna göre, I Z I kaçtır?
A)
2 5
4 B)
D)
4 2
5 4 5
2 C)
E)
5 3
2 5 2
4
1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. E
23
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 7: İki Karmaşık Sayı Arası Uzaklık - Çember İlişkisi
1. Z1 = a + b i
Z2 = c + d i olsun
Z2
d
b
2. I Z –Z0 I = r ifadesi Z0 merkezli r yarıçaplı
çember belirtir.
Z
Z1
a
ve
c
Z 1 - Z 2 = ^a - ch2 + ^b - dh2 dir.
Örnek 1:
Z
Z
I Z –Z0 I = r
I Z –Z0 I < r
I Z –Z0 I ≥ r
Örnek 3:
Z1 = 3 + i
ve
Z2 = –1 + 5 i
ise IZ1 – Z2I yi bulalım.
Z 1 - Z 2 = ^- 1 - 3h2 + ^5 - 1h2
= 16 + 16 = 4 2
Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
•Z0 = 2 + i sayısına uzaklığı 3 birim olan karmaşık sayılar
IZ – 2 – iI = 3 dır.
•Z0 = –3’e uzaklığı 5 birimden küçük olan karmaşık sayılar
IZ + 3I < 5 tir.
•Z0 = 3 i’e uzaklığı 4 ve daha büyük olan karmaşık sayılar
Örnek 2:
Örnek 4:
Z1 = 4 – i
Z2 = 1 + k i
IZ1 – Z2I = 5
ise k’yı bulalım.
IZ – i +1I = 4’e karşılık gelen karmaşık sayıları
çizelim.
Merkez: i – 1 = (–1, 1) r = 4
IZ1 – Z2I = 5
Im
3 2 + ^k + 1h2 = 5
& 9 + ^k + 1h2 = 25
1
& ^k + 1h2 = 16
24
IZ – 3 i I ≥ 4 tır.
k + 1 = 4
veya
k + 1 = –4
k=3
veya
k = –5
–1
Z
Re
UYGULAMA KUTUSU 7
1.
Z1 = 8 – 2i
ve
4.
Z2 = k + 2i
karmaşık sayıları arası uzaklık 5 birim olduğuna göre k’nın alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
A) 4
B) 8
C) 10
D) 16
E) 18
Z = x + yi
ve
olduğuna göre aşağıdaki bağıntılardan hangisi doğrudur?
A) x2 + y2 = 5
B) x2 + y2 = 15
C) 2x2 + 5y2 = 15
D) x2 + y2 = 25
E) x2 – y2 = 25
5.
1+i
Z1 = 1 - i
olduğuna göre IZ1 – Z2I kaçtır?
A) 2
B) 3
C)
D) 2 5 E) 5
5
Im
3.
Re
8
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yukarıdaki taralı bölgeye karşılık gelir?
A) IZ – 6 + 8 i I ≤ 5
B) I Z – 6I ≤ 5
C) IZ – 8 iI ≤ 10
D) IZ – 8 + 6i I ≤ 10
E) IZ – 4 – 3iI ≤ 5
Im
D
A
Re
6.Karmaşık düzlemde Z0 = 3 – 2i noktasına ko-
C
nuşlandırılan bir radar 6 km yarıçapındaki bir
alanı kontrol edebilmektedir.
B
A, B, C, D karmaşık sayıları bir karenin köşelerindedir ve C = 11 – 5 i dir.
6
ve Z2 = –2
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
IZI = 5
Buna göre A ile C arası uzaklık kaç birimdir?
A) 6 3 B) 5 5 D)
65 C) 7 2 E)
122
Buna göre radarın kontrol ettiği alanın ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) IZ + 3 – 2i I ≤ 6
B) I Z – 3 + 2 iI ≤ 6
C) IZ + 3 – 2iI = 6
D) IZ – i I ≥ 6
E) IZ – 3 + 2iI ≥ 6
1. D 2. C 3. E 4. D 5. E 6. B
25
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 8: En Yakın ve En Uzak Nokta - Sanal Kökler
1.A
0
B
A
C
m1
B
C
A ile çember arası uzaklığın
iki çember arası
en küçük değeri: IABI
en kısa uzaklık: IBCI
en büyük değeri: IACI
en büyük uzaklık: IADI dir.
m2
D
2. ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskiriminantı Δ = b2 – 4ac dir.
Δ < 0 ise denklemin sanal iki kökü vardır.
x1 =
-b + 9
2a
ve
x2 =
–b – 9
d ır .
2a
• İkinci dereceden gerçek katsayılı bir denklemin köklerinden biri Z ise diğeri Z dir.
Örnek 1:
Örnek 2:
IZ – 6 – 4iI = 4 ise IZ – 12iI
x2 + 4 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
nin en küçük ve en büyük değerini bulalım.
x2 + 4 = 0 ➠ x2 = –4
x = " –4
A 12
B
4
4
ise
x = " 2i dir.
C
4 4
6
D
pisagor bağıntısından IACI = 10 birim
en küçük: IABI = 10 – 4 = 6 br
en büyük: IADI = 10 + 4 = 14 br
Re
Örnek 3:
Köklerinden biri i + 1 olan gerçek katsayılı
ikinci dereceden denklemi yazalım.
x1 = i + 1
ise x2 = –i + 1 dir.
T = x1 + x2 = 2
Ç = x1 . x2 = (i + 1) (1 – i) = 2
deklem;
x2 – Tx + Ç = 0
x2 – 2x + 2 = 0 dır
26
UYGULAMA KUTUSU 8
1.
4.
I Z + 12 – 12iI = 2
IZ + 4iI nin en küçük değeri kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 16
D) 18
E) 20
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 + i
2.
I Z1 – 2 – 2iI = 2
I Z2 + 2 + 2iI = 2
B) i + 3
D) 1 – 3 i
C) 1 + 2 i
E) 3 – i
olduğuna göre Z1 ile Z2 arası uzaklık en çok
kaçtır?
A) 2 2 + 2 B) 4 2 + 4
E) 4
D) 2 2 + 4 3.
C) 4 2 + 2 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
x2 – 2x + 5 = 0
5.
(x2 – 1) . (x2 + 4) = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {2, " i}
B) {–1, " i}
D) {"2, "i}
C) {1, i}
E) {"1, " 2 i}
Im
5
34
Re
6
Şekildeki taralı bölgenin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
6. Köklerinden biri 3 – 4 i olan gerçek katsayılı
ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 4 < IZ – 6 – 5i I ≤ 6
B) 2 ≤ I Z – 6 – 5iI <3
A) x2 – 5x + 25 = 0
B) x2 + 6x + 20 = 0
C) 1 ≤ IZ + 6 + 5iI < 2
D) 3 ≤ IZ – 5 iI < 4
C) x2 – 6x + 20 = 0
D) x2 – 6x + 25 = 0
E) 2 ≤ IZ – 5i + 6I < 6
E) x2 + 3x + 15 = 0
1. D 2. B 3. B 4. C 5. E 6. D
27
KONTROL TESTİ 3
1. Z=
1
5 + 2i
5. Karmaşık düzlemde A(2, 3) noktasına 5 birim
uzaklıkta bulunan Z karmaşık sayıların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre Z –1 kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) IZ + 2 + 3iI = 5
B) IZ – 2 – 3iI = 5
C) IZ + 2i + 3I = 5
D) IZ – 3iI = I5 – iI
E) IZ – 5I – I2 – 3iI
2. 1
2
1
B) 2 3. Z1 = 3 + 4 i
Z2 = IZ1I + 10 i
C) 1
D)
4. B)
2
10
5
D) 2
E) 2 2
7. B) 14
C) 17
D) 21
E) 23
Z 1 ve Z2 karmaşık sayılar,
I Z1 – 2i I = 1 ve I Z2 + i – 4I = 1
C) 2 5 olduğuna göre Z1 ile Z2 arası uzaklık en çok
kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 2 10
denkleminin köklerinden biri 1 + i olduğuna
göre 2m + 3n toplamı kaçtır? (m, n ∈R)
B) 8
A) 10
x2 – mx + n = 0
A) 10
I Z I = 2 olduğuna göre
IZ – 7i + 24I ifadesinin alabileceği en küçük
değer kaçtır?
olduğuna göre IZ1 – Z2I kaçtır?
A)
6. olduğuna göre IZI kaçtır?
A)
28
^ 2 - 3ih2 . ^ 1 + ih4
^ 5 + ih2 . ^ 1 - ih2
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
Z=
C) 4
D) 2
E) –1
8. Z = x + y i olmak üzere
2 ≤ IZ – 7iI ≤ 5
koşulunu sağlayan bölgenin alanı kaç π br2
dir?
A) 15
B) 17
C) 19
D) 21
E) 25
3
12.
Im
Yanda merkezi sanal
eksen üzerinde olan
çember çizilmiştir.
2
Re
Verilenlere göre taralı bölgeyi ifade eden
eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
Im
B
0
C = –6 – 4 i A) IZ + 2iI ≤ 1
B) IZ – 2I ≤ 1
Im(Z) ≥ 0 Re(Z) ≤ 0
B, 0, C doğrusal
Re
C
Karmaşık düzlemde A, B, C sayıları verilmiştir. IABI = IBOI = IOCI olduğuna göre IACI kaç
birimdir?
B) 6 5
A) 2 6 C) 5 3 E) 4 2
D) 3 6 C) IZ – iI ≤ 2
D) IZ – 2iI ≤ 1
Im(Z) ≥ 1 Re(Z) ≤ 0
I Z1 I ≤ 4
I Z2 –9 – 12 i I ≤ 2
olduğuna göre IZ1 – Z2I nin en küçük değeri
kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
11.Gerçek katsayılı x – 2x + c = 0 denkleminin
köklerinden biri 1 + i olduğuna göre c kaçtır?
1. C
B) 1
2. C
C) 2
3. E
4. A
D) 3
B) IZ – 4 – 4iI > 4
C) IZ – 4I ≥ 16
D) IZ + 4iI ≥ 16
E) IZ – 2 – 2iI < 16
5. B
6. E
7. D
IZI ≤ IZ – iI
eşitsizliğini sağlayan Z karmaşık sayılarının
geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) x > 2 E) 4
8. D
B
A) IZ + 4 + 4iI ≥ 4
2
IABI = 4 2 br A ve
B teğet noktalarıdır.
Re
Karmaşık düzlemde verilenlere göre taralı
bölgenin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
14.
A) –1
IIIIII
III
IIIIII
III
Im
A
IIIIII
Z 1 ve Z2 karmaşık sayılar olmak üzere
13.
I
IIII III
10.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
E) IZI < 1
Re(Z) ≥ 0
A
III
9. 9. D
B) x < 2
D) y > 2
10. C
11. C
1
C) y G 2 E) y ≥ 2
12. B
13. A
14. C
29
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 9: Kutupsal Gösterim
b
• 6OZ@ doğru parçasının gerçek eksenle yaptığı açıya esas argüment
denir. Arg (Z) = θ dir.
Re
• Z = r . (cos θ + i sin θ) ifadesine Z’nin kutupsal (trigonometrik) gös-
IZ
θ
a
• tan θ = b
a
• sin θ = b
Z
• cos θ = a
Z
• Z’nin modülü Z = r = a 2 + b 2
Z = a+bi
I
Im
terimi denir.
• (θ, r) ye Z’nin kutupsal (trigonometrik) koordinatları denir.
• Z = r (cos θ + i sin θ) = r cis θ
Örnek 1:
Aşağıda karmaşık düzlemde verilen sayıların kutupsal gösterimi verilmiştir. İnceleyiniz. Boşlukları
doldurunuz.
Z1
4 60°
2
Z1 = 4.cis150°
Z4
4
Z4 =
5 Z3
45°
Z2
Z2 = 2cis 315°
Z3 =
–3
Z5
Z6 –7
Z5 =
Z6 =
3
20°
Z8
5 50°
6
Z7
Z7 =
30
Z9
Z8 =
Z9 =
UYGULAMA KUTUSU 9
1.
kutupsal koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
r
A) ` 2 3 , 6 j 2.
B) –1
Z1 = 4
1
C) – 2 1
D) 2 E) 1
D) 180°
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10
C) 150°
E) 270°
Z = 6 cis 30°
olduğuna göre Im( Z ) kaçtır?
A) – 3
6.
olduğuna göre Arg (Z1) – Arg (Z2) kaçtır?
sayısına uzaklığı kaç birimdir?
5.
B) 120°
sayısının 2 + 4i
2r
E) a 6, 3 k
ve Z2 = –3i
A) 90°
Z1 = cis π
A) 3
r
C) ` 6, 0 j karmaşık sayısının esas argümenti θ olduğuna göre tan θ kaçtır?
3.
Z = 4 – 2i
A) –2
r
B) ` 6, 3 j
r
D) ` 2 3 , 3 j 4.
3 + 3i
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
Z=
3
D) 2 E)
1
B) 3 3 C) 2 3
Z = 3 + 4 i sayısının esas argümenti θ
olduğuna göre sin 2θ kaçtır?
24
A) 25 12
D) – 13 12
B) 13 3
C) 4 24
E) – 25
1. D 2. C 3. A 4. C 5. A 6. A
31
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 10: Geometrik Uygulamalar
1. Z = a + b i ve Arg(Z) = θ olsun
• tan θ = b
a dır
2.
• Arg( Z ) = 360°– θ
• Arg(–Z) = 180°+ θ
θ2
Z
3.Z0 = a + b i olsun
θ1
Arg(Z – Z0 ) = α
θ2
θ1
eşitliğini sağlayan Z karmaşık sayıların görüntüleri
Z
θ1: Arg(Z) en küçük
b
θ2: Arg(Z) en büyük
Z0
a
Örnek 1:
Z = –2 3 + 2 i ve
Örnek 4:
Arg(Z) = θ
sayıların esas argümentlerinin en büyük ve en
ise θ'yı bulalım.
b
2
1
tan θ = a =
=–
–2 3
3
IZ – 6iI = 3 koşulunu sağlayan Z karmaşık
ise θ = 150°
küçük değerini bulalım.
3
Örnek 2:
Arg(Z) = 50° ise;
Arg ^ Z h = 310°
6
3
30°
30°
Arg(Z) = 60° (en küçük)
Arg(Z) = 120° (en büyük)
Arg(–Z) = 230°
Arg(– Z ) = 130° dir.
Örnek 5:
Arg(Z – i) = 70° koşulunu sağlayan Z karmaşık
sayıları düzlemde gösterelim.
Örnek 3:
Z karmaşık sayı ve Arg(Z) = θ olsun
1
32
Z
70°
Re
tan θ tanımsız ise
θ = 90° veya θ = 270° dir.
Im
UYGULAMA KUTUSU 10
1. Z bir karmaşık sayı ve Arg(–Z) = 110° olduğu-
4.IZ + 8I = 4 eşitliğini sağlayan Z karmaşık sa-
na göre Arg(Z) kaç derecedir?
A) 70°
yılarından esas argümenti en büyük olanın
esas argümenti kaç derecedir?
B) 170° C) 200° D) 290° E) 320°
A) 120°
B) 150° C) 210° D) 240° E) 300°
2. Z bir karmaşık sayı olduğuna göre
Arg(Z) + Arg( Z ) toplamı kaçtır?
B) π
3r
C) 2 D) 2π
2r
E) 3
5.
B merkezli çember çizilmiştir.
olduğuna göre
B)
B) 220° C) 240° D) 300° E) 330°
B
C
Z
6. Karmaşık düzlemde 3 sayısına uzaklığı 4
0
birim olan karmaşık sayılardan esas argümenti en küçük olanının esas argümenti kaç
derecedir?
Z karmaşık sayısının
esas argümentinin kosinüsü kaçtır?
1
A) 2 A) 120°
A
3. Karmaşık düzlemde
IABI = IBCI = ICOI
IZ + 8 iI = 4 ve Arg(Z) = θ dır
θ’nın en küçük değeri kaç derecedir?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
r
A) 2 3
2
1
C) 2 D) 2 E)
3
3
A) 0°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 90°
1. D 2. D 3. A 4. C 5. C 6. A
33
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 11: Kutupsal Biçimde İşlemler
2. • Arg (Z1.Z2) = Arg(Z1) + Arg(Z2)
1. Z1 = r1 . cis θ1 ve Z2 = r2 . cisθ2
• Z1.Z2 = r1 . r2 cis (θ1+ θ2)
r1
1
• Z
Z 2 = r2 cis (θ1+ θ2)
Örnek 2:
1
k
• Arg a Z
Z = Arg(Z1) – Arg(Z2)
• Arg (Zn) = n.Arg(Z)
• Arg (Z –1) = 2π – Arg(Z)
2
Örnek 4:
Z1 = 4 cis70° ve Z2 = 2 cis20°
Arg(Z) = 70° ise
ise Z1 .Z2 yi bulalım.
• Arg(–Z) = 180°+70° = 250°
Z1 .Z2 = 4.2.cis(70°+20°)
• Arg( Z ) = 360°–70° = 290°
• Arg(Z–1) = 360°–70° = 290°
= 8 cis 90° = 8(0 + i) = 8 i
Örnek 2:
Örnek 5:
Z1 = 6 cis 65° ve Z2 = 2 cis 20° ise
Z = sin 20° – i cos 20° ise Arg (Z) = ?
Z1
Z 2 yi bulalım.
sin 20° = cos 70°
Z1 6
Z 2 = 2 cis (65° – 20°) = 3. cis 45°
–cos20° = –sin70° olduğundan
Z = cos70° – i sin 70
= cos (360°–70°) + i sin(360°–70°)
= cos290° + i sin 290° & Arg(Z) = 290°
Örnek 3:
Z1
3
2
20°
20°
Z2
Z1 . Z2 yi
bulalım.
Örnek 6:
Arg (Z1 .Z2) = 120°
Z
Arg Z 1 = 40°
2
ise Arg(Z1) ve Arg(Z2) yi bulalım.
IZ1I = 2, Arg(Z1) = 20°
IZ2I = 3, Arg(Z2) = 160°
Z1.Z2 = 2.3 cis (20°+160°)
34
= 6 cis180° = –6
Arg(Z1 .Z2) = Arg(Z1) + Arg(Z2) = 120
Z
Arg Z 1 = Arg(Z1) – Arg(Z2) = 40°
2
+
Arg(Z1) = 80°
Arg(Z2) = 40°
UYGULAMA KUTUSU 11
1.
4.
A) –6
B) –6i
C) 6
D) 6i
40°
Re
1 5°
Z2
Z
Yukarıda verilenlere göre Ιm a Z 2 k kaçtır?
1
2
A) 4 B)
D)
– 2
4 C) – 2 2
olduğuna göre Arg(Z10) kaç derecedir?
5.
Z1 = 3cis 65°
Z2 = 2cis 40°
Z3 = 4cis 70°
olduğuna göre Arg d
A) 100°
C) 120° D) 100° E) 240°
Z 12 .Z 23 n
kaç derecedir?
Z 32
B) 110° C) 120° D) 130° E) 140°
2
E) – 8
6.
Z = (1 – i)16
karmaşık sayısının esas argümenti kaç derecedir?
A) 180°
3.
B) 80°
E) 6+6i
Z1
4
Z = cos 40° + i sin 40°
A) 40°
Im
2.
olduğuna göre Z1 . Z2 aşağıdakilerden hangisidir?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
3r
r
Z 1 = ` 2, 8 j ve Z 2 = a 3, 8 k
B) 120° C) 90°
D) 45°
E) 0°
Z = 4 cis 40° olduğuna göre
Z . i nin kutupsal koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, 100°)
B) (4, 130°)
D) (4, 170°)
C) (4, 140°)
E) (4, 210°)
1. D 2. E 3. B 4. A 5. B 6. E
35
KONTROL TESTİ 4
1. A) –1– i
B) –1–2 i
D) –1 + i
2. Z1 = cis10°
Z2 = cis70°
B)
3 cis 40°
C)
sidir?
A) 8 cis 60°
3 cis 70°
5
5
20°
40°
Z2
Re
B) 6
D) 5 3 D) 8 cis 90°
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
D)
3
1
B) 2 + 2 i 7. Im
Z2
Z1
4
2
10°
40°
A) –5
B) –4
C) –3
Arg(Z2) = 8°
olduğuna göre Arg (Z 13 .Z 26) aşağıdakilerden
hangisidir?
r
C) 4 r
D) 6 Re
karmaşık düzlemde verilenlere göre
8. Karmaşık düzlemde
r
B) 3 C) 1 + i
E) 1 + 3 i
3 + 1
Arg(Z1) = 14°
r
A) 2 E) 8 cis 120°
Im(Z1.Z2) kaçtır?
E) 6 3
4. Z1 ve Z2 karmaşık sayılar ve
C) 8 cis 80°
cos 75° + i sin 75°
Z = cos 15° + i sin 15°
C) 8
B) 8 cis 70°
3 1
A) 2 + 2 i E) 3 cis 70°
kaçtır?
36
olduğuna göre Z1 . Z2 aşağıdakilerden hangi-
6. Karmaşık düzlemde verilenlere göre IZ1– Z2I
Z2 = 2(–cos75° + i sin75°)
3. A) 5
E) 1+2 i
D) 3 cis 40°
Z1
Z1 = 4(sin 65° – i cos 65°)
C) 1 + i
olduğuna göre Z1 + Z2 aşağıdakilerden hangisidir?
A) cis 40°
5. olduğuna göre Z1 + Z2 aşağıdakilerden hangisidir?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
3r
Z1 = 2 2 sin 4
3r
Z2 = 2 cis 4
r
E) 12
D) –2
E) –1
(cosx + i sinx)2 = cos2 x + i sin2 x
olduğuna göre x’in değerlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
r
A) 6 r
B) 4 r
C) 3 r
D) 2 E) π
9. 1
Z = cos 50° + i sin 50°
olduğuna göre z nin esas argümenti kaç derecedir?
A) 20°
B) 40°
13.
Arg(Z – 2) = 135°
Arg(Z + 3) = 90°
C) 170° D) 230° E) 310°
şartını sağlayan Z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5 – 3 i
D) 3 i + 5
m _\
ABC i = 40°
A ^ 2, 3 h
B Im
3
A
C
40°
14.
Re
2
karmaşık düzlemde verilen ]AB yarıdoğrusuna karşılık gelen ifade aşağıdakilerden
hangisidir?
A) Arg(Z) = 140°
B) Arg(Z – 2) = 140°
C) Arg(Z – 3 i) = 40°
D) Arg(Z– 2–3i) = 140°
E) Arg(Z–2–3i) = 40°
1 + 3i
2
D)
15.
11.
IZ – 6 iI = 3
A) 15°
B) 30°
C) 45°
1
B) 2 3 i E)
3 + 2 i
C) 1 + 3 i 3+i
Z = i + cis 70°
karmaşık sayısının esas argümenti kaç derecedir?
A) 20°
olduğuna göre Arg(Z) aşağıdakilerden hangisi olabilir?
E) –3 + 5 i
şartını sağlayan Z karmaşık sayılarından (2, 0) noktasına en yakın olan aşağıdakilerden hangisidir?
C) 3 – 5 i
Z–2 3 i = 2
A)
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
10.
B) –5 + 3 i
B) 40°
C) 50°
D) 70°
E) 80°
D) 70° E) 135°
16.Z bir karmaşık sayı olmak üzere
12.
Z = 1 + cis 70°
olduğuna göre Arg(Z) kaçtır?
A) 20°
1. C
2. B
B) 35°
3. D
C) 40°
4. A
5. C
7. B
8. E
olduğuna göre Z16’nın eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) i
D) 50° E) 70°
6. B
Z2 + Z + 1 = 0
9. E
10. D
B) i + 1 C) Z
11. D
12. B
13. E
D) Z + 1 E) Z – i
14. C
15. E
16. C
37
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 12: De Moivre Formülü - Döndürme
1. De Moivre Formülü
2. Bir Karmaşık Sayının n. Dereceden Kökleri
Z = r . cis θ ise
Zn = r n . cis (n . θ) dır.
• Z = r . cis θ inin n. dereceden kökleri,
w k = n Z = n r a cos
θ + 2kπ
θ + 2kπ k
+ i. sin
n
n
(k = 0, 1, 2, ..... , n – 1)
• Z’nin kare kökleri;
θ
θ
w k = r .cis 2 ve w 1 = r .cis a 2 + 180° k
• Z’nin küp kökleri;
θ
θ
θ
w 0 = 3 r cis 3 , w 1 = 3 r cis a 3 + 120° k, w 2 = 3 r cis a 3 + 240° k
Örnek 1:
Örnek 4:
Z = 2 cis 10° ise Z2, Z3 ve Z4’ü bulalım.
Z = i’nin kareköklerini bulalım.
Z2 = 22 cis 20° = 4 cis 20°
IZI = 1 ve Arg(Z) = 90° dır.
Z3 = 23 cis 30° = 8 cis 30°
2
2
90 °
w 0 = cis c 2 m = cis 45° = 2 + i 2
Z4 = 24 cis 40° = 16 cis 40°
w 1 = cis ^45° + 180°h = cis 225°
2
2 dır.
= – 2 –i 2
Örnek 2:
Z = –1–
3 i ise Z16 yı bulalım.
– 3
tan θ = –1 = 3 olduğundan θ = 240°
Z = 2 cis 240° ise Z16 = 216 cis (16.240)
= 216 . cis 240°
Örnek 5:
Örnek 3:
Z=1+i
Z=
38
ise Arg(Z20) kaçtır?
2 cis 45° dir.
Z = 8 cis150° ise Z’nin küpköklerini bulalım.
w 0 = 3 8 cis
150°
3 = 2 cis 50°
Arg(Z20) = 20Arg(Z) = 20.45° = 900°
w 1 = 2.cis ^50° + 120°h = 2 cis 170°
w 2 = 2.cis ^50° + 240°h = 2 cis 290°
= 180° dir.
UYGULAMA KUTUSU 12
1. olduğuna göre Z16 aşağıdakilerden hangisidir?
A) 216cis160°
B) 28 cis 160°
C) 24cis160°
D)
2. 4. Z = 4 i karmaşık sayısının kareköklerinden
biri aşağıdakilerden hangisidir?
2 cis 10°
A)
B)
2 + 2 i
D) – 2 + 2 i 2i
Z = cis 70°
A) 1
B) cos 20°
D) cos 80°
C) cos 40°
E) sin 120°
5. Z bir karmaşık sayıdır.
Z2 + 9 i = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) 3 ^1 + ih C)
E)
C) 2– 2 i E) 8 cis 320°
olduğuna göre Re (Z–4) kaçtır?
3. 2 – 2 i
2 cis 160°
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
Z=
3
B) 2 ^i –1h 3 3
^ h
2 1–i D)
E)
2 2
^
h
3 1+i 3 2
^
h
2 –1 + i
Z=1–i
olduğuna göre Re(Z12) kaçtır?
A) –28
B) –26
C) 26
D) 28
E) 212
1. B 2. D 3. B 4. A 5. E
39
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 13: n-inci Dereceden Kökler
1. • Bir karmaşık sayı n. dereceden kökleri düzlemde düzgün n-gen’in köşelerine karşılık
gelir.
2. • Z = r cis θ sayısının orijin etrafında pozitif
(saat yönünün tersi) yönde α kadar döndürülmesi ile elde edilen sayı w olsun.
• Bir karmaşık sayının n. dereceden tüm kök-
lerinin toplamı sıfırdır.
w0 + w1 ..... + wn–1 = 0 dır.
Örnek 1:
w = r cis θ. cis α = r . cis (α + θ)
• Negatif yönde döndürülürse α yerine 2π– α
alınır.
Örnek 3:
Z = 16 cis170° sayısının karekökleri arası
uzaklığı bulalım.
w0 = 4 cis
Z4 – 1 = 4i denkleminin kökler toplamı sıfırdır.
170
2 yani Iw0I = 4 birim
olduğundan Iw0 – w1I = 4 + 4 = 8 birim
Örnek 4:
Örnek 2:
Z = 8 cis 70° sayısının küpköklerinin birleştirilmesiyle oluşan şeklin çevresini bulalım.
Z = 2 cis 70° sayısının
70
Z = 8 cis 70° ise w0 = 2 cis 3
b) negatif yönde 110°
a) pozitif yönde 20°
döndürülmesi ile oluşan sayıları bulalım.
Yani Iw0I = 2 birimdir.
w0, w1, w2 eşkenar üçgene karşılık gelir.
a) 2 cis 70° . cis 20° = 2 cis 90°
w1
2
2
w0
b) 2 cis 70 . cis(–110°)
= cis (70 –110°) = 2cis (–40°)
120
2
2
w2
olduğundan Çevre: 6 3 birimdir.
40
= 2(0 + i) = 2 i
120
2 3
2
= 2 cis (– 40° + 360°)
= 2 cis 320° dir.
UYGULAMA KUTUSU 13
1. 4. 3
Z = 1– 3 + 2 i
karmaşık sayısının eşleniğinin kare kökleri
toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) i
D) 1+ i E) 2i
Z=i–1
karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde 135° döndürülürse aşağıdaki sayılardan
hangisi elde edilir?
A) 1– 2 i B) – 2 i 2 – 2 i
E) 1 + i
D) i– 2 C)
2. 5. denkleminin köklerinin birleştirilmesi ile oluşan şeklin çevresi kaç br dir?
A) 6
B) 6 3 D) 12 3 C) 12
E) 18
3. Z karmaşık sayısının küpköklerinin birleştirilmesi ile oluşan şeklin alanı 12 3 br2 olduğuna göre IZI kaçtır?
A) 2
B) 4
D) 4 3 C) 2 3 E) 3 2
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
Z6 = 64 cis 64°
Z = 3 + 5i
karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde
90° döndürülürse hangi sayı elde edilir?
A) 3 – 5 i
D) 5 – 3 i
6. B) 3 – 6 i C) – 5 + 3 i
E) 5 + 3i
Z = 6 + 2i
karmaşık sayısı orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülürse aşağıdaki sayılardan
hangisi elde edilir?
A) i + 6
B) 6 + 2 i
D) 6 – 2 i
C) 2 + 6 i
E) 2 – 6i
1. A 2. C 3. B 4. B 5. C 6. E
41
KONTROL TESTİ 5
1. karmaşık sayısının karekökleri toplamı kaçtır?
3
A) – 2 B) –1
C) 0
D) 1
E)
B) 5 cis 150° C) 5 cis 160°
D) 5 cis 180°
3. 20
°
2
w1
80°
Re
B) 8 cis 70°
C) 2 cis 70°
E) 8 cis 140°
C) 6
D) 9
E) 12
Z = 2 – 2i
karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde
135° döndürülürse elde edilen sayının gerçek kısmı ile sanal kısmının çarpımı kaçtır?
A) 0
B) 1
C)
2
1
D) 2 2 E) 2
Z = 2 + 2i
karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde
en az kaç derece döndürülmeli ki 2 – 2 i karmaşık sayısı elde edilsin?
A) 90°
w2
D) 2 cis 210°
2
50°
2
5. 6. w0
Karmaşık düzlemde verilen w0 , w1 ve w2 karmaşık sayıları aşağıda verilen karmaşık sayılardan hangisinin küpkökleridir?
A) 8 cis 210°
42
E) 5 cis 200°
Im
B) 3
3
2. Z karmaşık sayısının kareköklerinden biri
5 . cis 20° ise diğer kök aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5 cis 110°
A) 2
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4. Z karmaşık sayısının karekökleri arası uzaklık 6 birim ise IZI kaçtır?
Z = 5 + 12 i
B) 135° C) 180° D) 270° E) 310°
7. Z=
4i
10.
^ cis30°h6
Im
Z1
olduğuna göre Arg(Z) kaçtır?
A) 90°
B) 135° C) 180° D) 225° E) 270°
Re
0
Z2
Karmaşık düzlemde Z2 , 0, Z1 doğrusaldır.
[Z2 Z1] doğru parçası orijine karşılık gelen
noktanın yeri değiştirilmeden pozitif yönde
α kadar döndürülüyor. [0 Z2] doğru parçasının üzerinden geçtiği alan, [0 Z1] doğru parçasının üzerinden geçtiği alanın 4 katı olduğuna göre IZ2I , IZ1I in kaç katıdır?
8. B) 4
(reel) kısmı kaçtır?
2
A) – 2 1
B) – 2 C) –1
2
E) 2
1
D) 2 D) 16 E) 8 2
11.m ve n tamsayılar ve Z = m + n i dir.
Orijin merkezli 4 birim yarıçaplı çember çiziliyor. Kaç tane Z karmaşık sayısı bu çemberin iç bölgesindedir?
A) 24
9. C) 8
olduğuna göre Z6 karmaşık sayısının gerçek
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 2
Z = cis 20°
Z = 3 8i
karmaşık sayılarının birleştirilmesiyle oluşan
şeklin alanı kaç br2 dir?
A) 3 3 B) 6 3 1. C
x, y ∈ R ve Z = x + yi dir.
Z2 – Z = 0
2. E
3. A
4. D
5. A
6. D
7. E
D) 45
E) 64
olduğuna göre y kaçtır?
1
A) 4 E) 6 2
D) 4 2 C) 40
12.
C) 8
B) 33
8. B
1
B) 2 C) 1
9. A
10. A
11. D
3
3
D) 4 E) 2
12. E
43
KARMA TEST - 1
-1
4
1. 1
A) - 2 2.
i
C) 2 D) i
E) 2i
olduğuna göre, Re ^Zh .I m ^Zh kaçtır?
B) -3
C) 3
3.
m < 0 bir gerçek sayıdır.
Z = m 2 – –9m 2
D) 9
E) 3i
olduğuna göre Im ^Zh kaçtır?
A) 3
44
i
B) - 2 B) 3i
C) m
x 2 + 3x + m = 0
denkleminin kökleri karmaşık sayı olduğuna
göre m’nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 1
Z = 9 + -9
A) -6
sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4. 5. B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x 2 - 2x + 2 = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 + i
B) 2 – i C) i – 3 D) i + 2 E) i – 2
6.i54 sayısının eşiti kaçtır?
D) 3m
E) 9m
A) –i
B) –1
C) 1
D) i
E) 2 i
7. P ^ z h = 2z 3 + 2z 2 - z + 1
10.n bir doğal sayıdır.
olduğuna göre P ^ i h kaçtır?
A) 2 i – 3
B) 3 i – 3
D) 3 – 2 i
i 4n–3 + i 12n + 3
i 10n + 2
C) 2i + 1
E) –3 i – 1
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2 i
8. i + i 2 + i3 + .... i33
toplamının eşiti kaçtır?
A) 2 – i
B) i
C) i – 1 D) 1
E) – i
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
11.
B) 1 – i C) i
olduğuna göre Z sayısı,
I. Gerçek eksen üzerindedir.
II. Sanal eksen üzerindedir.
III.Birinci açıortay doğrusu üzerindedir.
ifadelerinden hangileri doğru olabilir?
B) II
D) II, III
olduğuna göre Im ^Zh kaçtır?
A) –2
B) –1
1. C
C) 1
2. D
3. D
D) 2
4. C
5. A
6. B
7. E
E) I, II, III
olduğuna göre a ve b gerçek sayılarının çarpımı kaçtır?
A) –12
E) 4
C) I, II
2a - 3i = a + 4 + bi
12.
Z = ^ 4 - 2 i h - ^- 3 - 4 i h
E) 0
Z = x + y i ve Z + Z = 0
A) I
9.
D) –i
8. B
B) –4
9. D
10. E
C) 2
11. E
D) 4
E) 8
12. A
45
KARMA TEST - 2
1. i-40 + i-101
i14 + i-14
2.
B) –1
1
D) 2 C) 1
B) –2 i + 6
D) –2 i – 6
3.
C) 2 i – 6
E) 2 – 6 i
^4–2ih2 + ^2 + 4ih2
B) 4
C) 9
D) 16
E) 24
D) – 1 E) – 1
4
8
B) 1 + i C) i + 3 D) 3 – i E) 1 – i
Z = ^ 3 – ih . ^ 3 + i 2 h
karmaşık sayısının modülü kaçtır?
A) 2 3 46
C) – 1 2
^ Z– 3 h . ^ 1– i h = 1 + i
A) i – 3
1
B) 2 olduğuna göre Z aşağıdakilerden hangisidir?
6.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
olduğuna göre Re ^ Zh kaçtır?
5.
olduğuna göre, – Z aşağıdakilerden hangisidir?
1 = +
Z 2i 2
1
A) 4 1
E) 4
2
Z =- - 4 + ^- 6h
A) 2 i + 6
sayısının sanal kısmı kaçtır?
1
A) - 2 4.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
Z=
B) 2 5 D) 4 3 C) 3 5 E) 5 2
7.
Z 1 = 9 cis 50°
Z 2 = 12 cis140°
10.
karmaşık sayıları arası uzaklık kaç birimdir?
A) 10
B) 13
C) 15
D) 20
E) 25
Z = sin 40° + i cos 320°
karmaşık sayısının kutupsal gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) cis 30°
D) cis140°
8. a bir gerçek sayı olmak üzere
a 2 + 2ai + 3
a i
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden
hangisidir?
A) a + i
D) a + 4i
9.
B) a + 2i
C) a + 3i
E) a + 5i
eşitliğini sağlayan Z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 3 – i C) 2 + i D) 2 – i E) 1 + i
1. D
2. D
3. A
E) cis 310°
Buna göre | Z – 6 – 8 i | ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
4. A
5. C
6. B
B) 4
D) 6
E) 7
olduğuna göre Arg ^ Z 1 Z 2h kaç radyandır?
3r
A) 4 7. C
C) 5
Z 1 = 3 2i
Z 2 = –1 + 2i
12.
Z . Z + 2i Z = 3 + 4i
A) 3 + i
C) cis50°
11. Z bir karmaşık sayı ve | Z | = 4 tür.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) cis 40° 8. C
B) π
9. C
10. C
5r
2r
7r
C) 3 D) 3 E) 4
11. D
12. E
47
KARMA TEST - 3
1.Z = x + y i olmak üzere,
Im
4.
IZ + iI ≤ IZ – 1I
eşitsizliğini sağlayan Z karmaşık sayıların
karmaşık düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
2α
Z2
–16
A) 25 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
–1
2. Z = x + y i olmak üzere
IZ + 1– iI = IZ + 1I
B) y = 2x
D) x = 2
3. Z = –4 + 4 3 i r
D) 2 Z2 = 2 + 2 3 i
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1– 2 i D)
B) 1 + 2 i 3 + i
C) 1– 3 i E) 1 + 2 3 i
C) y = 4
karmaşık sayısının esas argümenti kaç radyandır?
E) i
5
C) 16 1
E) y = 2
r
A) 3 48
5.
eşitliğini sağlayan bağıntı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y = –x
–5
D) 16 –16
B) 25 i
E)
–1
Z2
eşiti nedir?
Z 12
Re
Yukarıda verilenlere göre,
D)
Z1
5
C)
4
α
r
B) 4 r
C) 6 2r
E) 3
6.
Z3 + 8 = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
2 i
D)
3 + i
2 + i
C)
E) 1– 3 i
3 i
7.
10.
Z = 1 + cos70° + i sin70°
karmaşık sayısının modülü kaçtır?
A) 2cos20°
B) 2cos 30° C) 2cos35°
D) 2 cos 40°
(Z – i)81 = i
olduğuna göre Z aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) i + 1
9.
B) 2i
C) 1 – 2 i
D) 3 i
E) 1 – 3 i
1. D
C) 3
2. E
3. E
Z = 1 + 2 i olduğuna göre
d
D) –2
E) –4
D) 1 8
E) 1
16
D) 1 2
4. D
E) 1
4
5. D
6. E
4
Z+Z
n
Z– Z
işleminin sonucu kaçtır?
B) 1 2
A) 1
ise IZI kaçtır?
B) 2
C) 0
11.
12.
1 + mi
m d R ve Z = 1–m i
A) 1
B) 2
E) 2 cos 45°
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
8. Z bir karmaşık sayı ve
(1 + i) . (1 + i3) . (1 + i6) . (1+i9)
A (–1 + 4 i) , B (–3 –7 i) . C(11 –9 i)
noktaları veriliyor.
Buna göre A’nın [BC] nin orta noktasına
uzaklığı kaç birimdir?
A) 2 3 7. C
C) 1 4
8. B
9. A
B) 5 5 C) 13
10. C
11. E
D) 15
E) 20
12. C
49
KARMA TEST - 4
1. olduğuna göre IZ–1I kaçtır?
5
A) 7 2. 5
D) 10 2
B) 5 E)
2
C) 5 10
5
Z = x + y i ve I Z I = IZ–1I
olduğuna göre Z’nin karmaşık düzlemdeki
geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) Gerçek eksene dik bir doğru
B) Sanal eksene dik bir doğru
C) 1 birim yarıçaplı çember
D) Birinci açıortay doğrusu
Buna göre w0 ile w1 arası uzaklık kaç birimdir?
A) 1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4. w0 ve w1 karmaşık sayıları Z2 = 4 i denkleminin kökleridir.
Z = 4 – 2i
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5. Baş katsayısı 1 olan, i ve 3 i karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden
gerçek katsayılı P(x) polinomu için P(O) kaçtır?
A) –9
B) –3
C) i
D) 3
E) 9
E) İkinci açıortay doğrusu
6. U ve V sanal kısımları sıfırdan farklı olan karmaşık sayılardır.
3. Z–6+i=2
eşitliğini sağlayan Z karmaşık sayısının esas
argümenti θ ise tan θ kaçtır?
1
A) 4 50
1
D) – 4 1
B) 2 1
C) – 2 1
E) – 8
U . V ∈ R ve U + V ∈ R
olduğuna göre;
I.
II. U – V ∈ R
III.U2 + V2 ∈ R
ifadelerinden hangileri doğrudur?
U=V
A) I
B) II
D) II, III
C) I, III
E) I, II, III
7. 10.
(IZI + Z) . (IZI – Z ) = 2 i
Im
denklemini sağlayan Z karmaşık sayıların
sanal kısmı aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) IZI IZI
D) 4 1
B) IZI Z2
Z1
IZI
C) 2 Re
E) –IZI
Z1 = 2 + 4 i
Z2 = 18 + 8 i
Z1 de bulunan bir hareketli gerçek eksende bir
noktaya uğrayıp Z2 noktasına gidecektir.
Buna göre hareketlinin aldığı en kısa yol kaç
birimdir?
A) 5
B) 10
C) 12
D) 16
E) 20
Z2 – Z + 1 = 0
olduğuna göre (Z – 1)10 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) Z – 1
B) Z + 1 C) –Z
D) Z
E) –Z–1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
8. Z bir karmaşık sayı ve
11.
(Z – 4)4 = i + 1
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) 4
9. B) 4 i
C) 4 – 4 i D) 12 i
E) 16
Z 2 + 2Z
= Z + 2i Z
eşitliğini sağlayan Z karmaşık sayıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {x–xiI x ∈ R, x ≠ 0}
B) {x+ 2x i I x ∈ R, x ≠ 0}
12.
C) {x–2xiI x ∈ R, x ≠ 0}
D) {x+xiI x ∈ R, x ≠ 0}
2. A
karmaşık sayısı orijin etrafında negatif yönde 130° döndürülürse aşağıdaki sayılardan
hangisi elde edilir?
E) {2x+xiI x ∈ R, x ≠ 0}
1. D
Z = sin 40° – i cos 40°
A) –1
3. E
4. D
5. E
6. C
7. B
8. A
B) –i
9. D
10. E
C) i
11. E
D) 1
E)
2
12. A
51
KARMA TEST - 5
1. olan karmaşık sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2–3 3 i B) 3 + 3 3 i C) –3 + 3 3 i D) 3–3 3 i olduğuna göre iZ+2 kaçtır?
A) –i
B) i
C) 0
2.
E) 5
Im
0
Re
A
B
OAB eşkenar üçgen ve OA = 6 3 birim olduğuna göre Re(A) kaçtır?
A) 6
B) 3
C)
2
5.
Z + IZI = 8 – 4 i
eşitliğini sağlayan Z karmaşık sayısının eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3–4 i
B) 4–3 i C) 3+4 i D) –3+i E) 4i+4
D) –9
3. m, n ∈ R ve
6.
Z1 = 7 + n i
denkleminin kökleri U ve V dir.
Z2 = m + 3i
D) 1
E) –3–3 3 i
E) –3 3
karmaşık sayıları gerçek eksene göre simetrik olduklarına göre m.n çarpımı kaçtır?
A) –21
52
Z = Z ve Re (Z) = 3
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4. Z bir karmaşık sayı
IZI = 6 birim ve Arg(Z) = 240°
B) –10
C) 4
D) 10
E) 21
x2 – x + 4 = 0
d
U+V
n
U.V
işleminin sonucu kaçtır?
2
A) 5 1
B) 4 1
C) 6 2
D) 7 E) 2
7.
8.
Z= i
B) 1– i
–2
+ i
–4
C) 0
+ ..... + i
B) 1
C) 5
–100
D) 25 9.
1 1
1
Z 1 = i + 2 + ..... + 70
i
i
Z 2 = i –2 + i –4 + ..... + i –140
E) 50
B) –i
1. E
C) 0
2. D
3. A
ise Arg(Z) kaç derecedir?
A) 15°
11.
B) 75°
C) 195°
D) 285° E) 345°
4. B
A) (cosec40°, 215°)
B) (sec50°, 320°)
C) (tan40°, 125°)
D) (1, 290°)
6. B
Z = i + cis 72°
olduğuna göre Arg(Z) kaç derecedir?
A) 36°
E) 35
5. C
E) (sin50°, 195°)
D) i Z = tan 50° – i
olduğuna göre Z’nin kutupsal koordinatları
aşağıdakilerden hangisidir?
12.
Z
olduğuna göre Z 2 kaçtır?
1
A) –35
Z = sin 15° – i cos15°
D) 1+ i E) i
olduğuna göre Im(Z) kaçtır?
A) 0
olduğuna göre Z aşağıdakilerden hangisidir?
A) – i
10.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
1 1 1
1
Z = i + 2 + 3 + ..... + 100
i
i
i
7. C
8. D
B) 48°
9. A
10. D
C) 64°
11. B
D) 81° E) 99°
12. D
53
KARMA TEST - 6
1. Gerçek (reel) eksen üzerinde olan ve
19
IZ – 17 – 7iI = 2
B) 19
C) 21
D) 27
IZ + 4 i I = 2
IZ – 3I = α
koşulunu sağlayan karmaşık sayıların toplamı kaçtır?
A) 17
5.
E) 34
ve
eşitliklerini sağlayan yalnız bir tane karmaşık sayı varsa α aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6. Z1 ve Z2 karmaşık sayılar ve
2. Sanal eksen üzerinde olan ve
A) 42 i
3.
7.
r
C) 4 r
D) 2 2r
E) 3
Z = (99 + 100 i)14
karmaşık sayısı karmaşık düzlemde kaçıncı
bölgededir?
B) II
D) IV
C) III
E) orijin
B) 120° C) 230° D) 300° E) 330°
(Z – 1)5 = i
denklemini sağlayan karmaşık sayıların toplamı kaçtır?
A) 2
r
B) 6 A) I
karmaşık sayısının esas argümenti kaç derecedir?
4.
54
10 i
C) 3 D) –21i E) –42i
Z = cot 60° – i
A) 60°
B) 21i
olduğuna göre Arg(Z1 . Z2–1) kaçtır?
A) 0
eşitliğini sağlayan karmaşık sayıların toplamı kaçtır?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
IZ + 5 + 21iI = 3 π
IZ1 +Z2I = IZ1I + IZ2I
B) 5
D) 5 i
C) i
E) 5 – 5i
8. Z = a + b i ve b ≠ 0 dır.
Z3 – 1 = 0 olduğuna göre;
I.
Z2 = Z + 1
II. Z2 = –Z–1
III.Z4 = Z
IV.Z4 = 3Z + 2
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) I, II
B) II, III
D) II, IV
C) I, IV
E) II, III, IV
1 + i . tan 70°
i
9. Z ∈ C ve Im(Z) ≠ 0 dır.
13.
Z3 – 3Z2 i – Z + 3 i = 0
olduğuna göre Arg (Z) kaç derecedir?
olduğuna göre Z aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
B) i
C) 1 – i
D) 3 i
A) 35°
Z sayılarının birleştirilmesiyle oluşan şeklin alanı A1, 3 8 Z sayılarının
birleştirilmesiyle oluşan şeklin alanı A2 dir.
A
Buna göre A 2 oranı kaçtır?
1
1
A) 4 1
B) 2 C) 1
D) 2
E) 4
olduğuna göre Z’nin eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 + 2i
B) 4 + 2 i
D) 2 + i
1. E
2. E
3. D
C) 3
4.B
5. C
D) 4
6. A
7. D
B) 2 + i
D) 1 + i
karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde
75° döndürülürse karmaşık düzlemde aşağıdaki noktalardan hangisine karşılık gelir?
B) ^–2 2 , 2 6 h C) ^2 2 , –2 6 h 9. D
3– 2i
Z = –4 – 4 i
D) ^2 6 , –2 2 h E) ^ 6 , – 2 h
8. B
E) 55°
C) –2 + i
E)
A) ^ 2 , – 6 h E) 5
D) 60°
karmaşık sayısının kareköklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
16.
C) 65°
Z = 3 – 4i
E) 4 – 2i
koşulunu sağlayan Z karmaşık sayısının
argümenti θ olduğuna göre tan θ kaç farklı
tamsayı değeri alabilir?
B) 2
B) 70°
A) –1 + i
Z – a – 4i = 1 – ai
A) 1
olduğuna göre θ aşağıdakilerden hangisidir?
15.
C) 2 – i
12.a bir tamsayı olmak üzere
E) 340°
Arg(Z) = θ ve Z . Z = 4xy
A) 75°
Z2 + 4 Z2 + 1
Z + 2i + Z– i = 4 + i
11.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
D) 250°
C) 160°
14.90° < 2θ < 180° olmak üzere, Z = x + y i karmaşık sayısı veriliyor.
3
Karmaşık düzlemde
B) 70°
E) 1–2i
10.Z bir karmaşık sayıdır.
Z=
10. E
11. C
12. D
13. E
14. A
15. B
16. C
55
Süre
AY
EYLÜL
EKİM
HAFTA
15-19
22-26
29-03
08-10
13-17
20-24
4
4
4
4
4
4
SAAT
5. Verilen bir karmaşık sayının(n ∈ N) n. dereceden köklerini belirler, karmaşık düzlemde gösterir ve geometrik olarak yorumlar.
4. De Moivre kuralını ifade eder ve kutupsal koordinatlarda verilen bir karmaşık sayının kuvvetlerini belirler.
3. Bir karmaşık sayının orijin etrafında pozitif yönde α açısı kadar döndürülmesi ile
elde edilen karmaşık sayıyı bulur.
2. Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayı arasında toplama,çıkarma, çarpma ve
bölme işlemleri yapar.
standart biçimde verilen bir karmaşık sayının kutupsal koordinatlarını belirler ve
karmaşık düzlemde gösterir.
1. Bir noktanın Kartezyen koordinatları ile kutupsal koordinatları arasındaki bağıntıları
bulur,
KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ
Kurban Bayramı
Kurban Bayramı
10.Karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı açıklar ve karmaşık sayı
ile çember ilişkisini belirtir.
9.Karmaşık sayılarda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.
8.Eşlenik ve modül ile ilgili özelikleri gösterir.
7. Karmaşık sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini yapar, çarpma işleminin özeliklerini gösterir
6. Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini ve geometrik yorumlarını yapar.
Toplama işleminin özeliklerini gösterir.
5.Bir karmaşık sayının eşleniğini ve modülünü açıklar, karmaşık düzlemde gösterir.
4.Karmaşık düzlemi açıklar ve verilen bir karmaşık sayıyı karmaşık düzlemde gösterir.
3.Karmaşık sayıyı , standart biçimini, gerçek kısmını, sanal kısmını açıklar ve iki karmaşık sayının eşitliğini ifade eder.
2.Sanal birimi (i sayısını)belirtir ve bu sayının kuvvetlerini hesaplar.
1.Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle açıklar
KARMAŞIK SAYILAR
ALT ÖĞRENME ALANLARI VE KAZANIMLAR
1. Ünite 1. Bölüm: Karmaşık Sayılar (24 Saat)
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayıların
Kutupsal Biçimi
Karmaşık Sayıların
Kutupsal Biçimi
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar
(CEBİR)
ÖĞRENME ALANI
Düz Anlatım
Soru-cevap
Problem çözme,
Analiz etme,
Gösterip Yaptırma,
Grup Çalışması
ÖĞRENMEÖĞRETME YÖNTEM VE TEKNİKLERİ
Ders kitabı
Etkileşimli Tahta Eba
KULLANILAN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ VE TEKNİKLERİ
2014-2015 Eğitim Öğretim Yılı 11. Sınıf Matematik Dersi Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği
1. YAZILI
DEĞERLENDİRME

Download Report