MAL 201 MALZEME BİLİMİ Kristal Yapı, Doğrultu ve Düzlemlere ait Miller İndisler Metal ve Seramik Yapıları, Polimer yapıları, X Işını Difraksiyonu, Şubat 2014 Prof. Dr. Adnan DİKİCİOĞLU KRİSTAL YAPILAR Malzemeler atomların biraraya gelmesiyle oluşur. Yapı içinde atomlar, atomlar arası bağ kuvvetleri ile bir arada tutulur. Yapı içinde atomlar farklı şekillerde bulunabilir: 1.Kristal yapı 2.Amorf yapı Kristal yapı Burada atomlar üç boyutlu bir düzene göre dizilirler. Kristal yapı(Kristal kafes) olarak adlandırılan bu yapı, metallerde, seramiklerde, cam seramiklerde ve bazı polimerlerde görülür. Polimerlerin molekül yapıları karmaşık olduğundan, bu malzemelerde kristalleşme ancak yerel ve hacim olarak en fazla %50 oranında görülür. Kristal olmayan(Amorf) yapılar Burada atom veya moleküller rastgele dizilirler (Örn. Camlar). Bazı malzemelerde örneğin camlarda olduğu gibi kısa mesafede(örneğin moleküler mertebede) bir düzen mevcut olabilir. Kristallerde birim hücre (birim kafes) Üç boyutlu düzende sürekli olarak tekrar eden yapıya “birim hücre veya birim kafes” adı verilir. Birim hücre kristal içinde tekrar eden yapıların en basitidir. Birim hücrelerin kenar uzunluklarına ve kenarlar arasındaki açılara “kafes parametreleri” adı verilir. • Kristal kafes (lattice): Birim hücrelerin üç boyutta tekrarı ile meydana gelen düzendir. En genel haldeki birim hücre Birim hücre tanımı Sürekli tekrar eden yapılar En basiti Birim hücre Kafes sistemleri Doğadaki bütün kristal malzemeler 7 farklı kristal sisteminden birisine uyarlar. Bütün 3D hacmi dolduran kafes sistemi sadece 7 adet kafes sisteminden biri olabilir. 1. Kübik 2. Tetragonal (kare prizma) 3. Ortorombik (dikdörtgen prizma) 4. Rhomohedral 5. Hegzagonal 6. Monoklinik 7. Triklinik Bravis Kafes sistemleri Atomların bu kafes sistemleri içerisinde nasıl yerleştiklerini 14 adet “Bravis kafes sistemi” ifade eder. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Basit Kübik Hacim Merkezli Kübik Yüzey Merkezli Kübik Basit Tetragonal Hacim Merkezli Tetragonal Basit Ortorombik Hacim Merkezli Ortorombik Taban Merkezli Ortorombik Yüzey Merkezli Ortorombik Basit Rombohedral Basit Hegzagonal Basit Monoklinik Taban Merkezli Monoklinik Triklinik • Atomlar her bir birim hücrede kafes noktalarında bulunur. • Her bir birim kafes; kafes kenar ve eksenler arası açılarını içeren kafes parametreleri ile ifade edilir. Şekil 3.2: Birim hücre geometrisi Aşağıdaki 5 farklı hücrenin 2 boyuttaki gösterimi şekilde verilmektedir. •Basit kare •Basit dikdörtgen •Alan merkezli dikdörtgen (rhombus) •Paralel kenar •Alan merkezli altıgen Miller indisleri Kristal yapıdaki değişik nokta,doğrultu ve düzlemleri adlandırmak için kullanılır. -Kafes noktaları Eksen takımının başlangıcı olarak herhangi bir atom alınabilir.Kafes noktalarının konumları, birim hücrenin kenar uzunlukları bir birim kabul edilerek bunların katları veya kesirleri şeklinde verilir. Kafes noktalarının gösterilmesi Kafes Doğrultuları Kübik sistemde doğrultu ve düzlemleri Miller indisleri ile ifade edilir. Şu şekilde saptanır: • Birim hücrede başlangıç ve bitiş koordinatları belirlenir. • Başlangıç koordinatları, bitiş koordinatlarından aritmetik olarak çıkarılır. • Miller indisleri, kesirli olamaz, tam sayı olmalıdır. Gerekirse orantılı olarak en küçük tam sayıya çevrilir. • Köşeli parantez içine virgülsüz olarak konur. •Paralel doğrultular için aynı indis kullanılır. Negatif konumlar sayı üzerinde (-) işareti ile gösterilir; 1 gibi. Kafes doğrultularının gösterilmesi Aynı özellikteki doğrultular, örneğin bir kübün hacim köşegenleri bir doğrultu ailesini oluşturur. Böyle bir aile farklı bir parantezle , <111> şeklinde gösterilir. Doğrultular için önemli noktalar 1. Eksen takımının başlangıcı herhangi bir atom seçilebilir. 2. Paralel doğrultuların indisleri aynıdır. 3. Aynı indisli fakat negatif işaretli doğrultular aynı değildir.  100  [100] 4. Bir doğrultunun indislerinin aynı tam sayı ile çarpılarak bulunan indislere ait doğrultular aynıdır. 100x2  200 5. Birbirlerine paralel olmayan (farklı miller indisli) fakat atom dizilişleri benzer (kübik sistem) olan doğrultular “doğrultu ailesi” ni oluşturur.  100  100, 010, 001, [1 00].. <110> doğrultu ailesi kaç farklı doğrultuyu ifade eder? Aynı indisli fakat negatif işaretli doğrultular aynı değildir.  100  [100] vardır. Bu nedenle Ailede 2 x 6 = 12 adet üye Kafes Düzlemleri •Düzlemin eksen sisteminden geçmesi durumunda en yakın düzleme paralel olarak kaydırılır. •Düzlemin koordinat eksenini kestiği noktalar belirlenir. •Bu değerlerin tersi alınır. •İndisler tam sayı olamalıdır. Gerekiyorsa orantılı en küçük tam sayı ile çarpılır. •Bulunan sayılar normal parantezde virgülsüz olarak ifade edilir. •Negatif sayılar üzerinde (–) işareti ile gösterilir. Düzlemler için önemli noktalar 1. Doğrultuların tersine indisleri negatif olan düzlemler aynıdır. 2. Doğrultuların tersine indisleri tam sayı ile çarpılarak bulunan düzlemler birbirinden farklıdır. 3. Kübik sistemde birbirinin aynı indise sahip doğrultu ve düzlemler birbirine diktir. 4. Aynı özelliğe sahip düzlemler “düzlem ailesi” oluştururlar. Büyük parantez ile ifade edilirler. 100 100, 010, 001, (100) 110 düzlem ailesi kaç farklı düzlemi ifade eder? Doğrultuların tersine indisleri negatif olan düzlemler aynıdır. Bu nedenle Ailede 6 adet üye vardır. Kafes düzlemlerinin gösterilmesi HEGZAGONAL SİSTEMDE MİLLER İNDİSLERİ HEGZAGONAL YAPIDA DÜZLEM ve DOĞRULTU Yapının ADF = 0,74 olup KS = 12’dir. Önemli örnekleri: Ti, Zn, Mg, Be gibidir. Düzlem için 4 indisli sistem –Miller-Bravais- kullanılmaktadır. (h k i l) = a1, a2, a3, c eksenleri üzerindedir. KURAL : h + k = - i olmalıdır. Doğrultu için 3 indisli sistem kullanılmaktadır. [ h k i ] Düzlem A 1. a1 = a2 = a3 = , c = 1 2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 1 3. Kesir içermiyor 4. (0001) Düzlem B 1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c = 1 2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1 3. Kesir içermiyor 4.  (11 21) Doğrultu C 1. 2 nokta: 0, 0, 1 ve 1, 0, 0. 2. 0, 0, 1, -1, 0, 0 = 1, 0, 1 3. Kesir içermiyor. 4. veya  [1 01]  [2112] (c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™ Doğrultu D 1. 2 nokta 0, 1, 0 ve 1, 0, 0. 2. 0, 1, 0, -1, 0, 0 = -1, 1, 0 3. Kesir içermiyor. 4.   [110] [1100] Düzlem ailesi Aynı özelliğe sahip düzlemler bir düzlem ailesi teşkil eder.Aile {100} paranteziyle belirtilir. İki doğrultu arasındaki açı Doğrultularının Miller endisleri [uvw] ve [u’v’w’] olan iki doğrultu arasındaki açı δ şu ifadeyle verilir: cosδ = (uu’+vv’+ww’)/(√u2+v2+w2).(√(u’)2+(v’)2+(w’)2 Bir düzlemin normalinin Miller endisleri ,düzleminin Miller endisleriyle aynıdır. Örnek : (111) düzleminin normali [111] dir. Bir doğrultu bir düzlem içindeyse, doğrultu ve düzlemin Miller endislerinin çarpımının toplamı sıfırdır. Örnek [ uvw ] doğrultusu (u’v’w’) düzlemi içindeyse u.u’+v.v’+w.w’ = 0 dır. Atomsal dolgu faktörü (ADF) Birim hücre içinde bulunan atomların toplam hacmının(katı küreler farzediliyor) birim hücre hacmına oranıdır (Atomların hacmı/birim hücre hacmı).ADF malzemenin ne kadar sıkı istiflendiğini gösterir. Doğrusal atom yoğunluğu Merkezleri söz konusu doğrultu üzerinde bulunan atomların sayısı göz önüne alınarak atomların doğrusal dizilme sıklıkları hesaplanır(atom sayısı/doğrultu uzunluğu). Düzlemsel atom yoğunluğu Merkezleri söz konusu düzlem üzerinde bulunan atomlar göz önüne alınarak atomların düzlemsel dizilme sıklıkları hesaplanır(atom sayısı/düzlem alanı). • Birim hücrede bulunan atom sayısı: Birim hicrede bulunan tam atom sayısını ifade eder.(Atom sayısı/hücre) • Koordinasyon sayısı: her bir atoma temas eden komşu atom sayısıdır. Örnekler Yapı Basit kübik Hacım merkezli kübik Yüzey merkezli kübik Sıkı düzen hekzagonal KS ADF Örnek 6 0,52 - 8 0,68 α-Fe ,Ti, W 12 0,74 γ-Fe ,Cu ,Al 12 0,74 Zn,Be Doğrultu A 1. Başlangıç ve bitiş: 1, 0, 0, ve 0, 0, 0 2. 1, 0, 0, -0, 0, 0 = 1, 0, 0 3. Kesir veya büyük tam sayı yok. 4. [100] Doğrultu B 1. Başlangıç ve bitiş: 1, 1, 1 ve 0, 0, 0 2. 1, 1, 1, -0, 0, 0 = 1, 1, 1 3. Kesir veya büyük tam sayı yok. 4. [111] Doğrultu C 1. Başlangıç ve bitiş: 0, 0, 1 ve 1/2, 1, 0 2. 0, 0, 1 -1/2, 1, 0 = -1/2, -1, 1 3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2 4.  [1 2 2] Doğrultular arasındaki açı vektörel olarak hesaplanabilir.     D1  u1 a  v1 b  w1 c     D 2  u2 a  v2 b  w2 c İki doğrunun skaler çarpımı:   D1  D2  D1  D2  cos  D1  D2 u1  u2  v1  v2  w1  w2 cos    1 2 2 2 2 2 D1  D2 u1  v1  w1 u2  v2  w2 Düzlem A 1. x = 1, y = 1, z = 1 2. 1/x = 1, 1/y = 1,1 /z = 1 3. Kesir bulunmuyor. 4. (111) Düzlem B 1. Düzlem z eksenini kesmez, x = 1, y = 2, z = 2. 1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0 3. Tam sayı olmalı: 1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0 4. (210) Düzlem C 1. Düzlem 0, 0, 0 dan geçiyor. ydoğrultusunda kaydırırsak. Then, x = , y = -1, z = 2. 1/x = 0, 1/y = 1, 1/z = 0 3. Kesir  bulunmamakta. 4. (0 1 0) Aşağıda verilen doğrultuların indislerini bulunuz. (c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning Figure 3.49 Directions in a cubic unit cell for Problem 3.52. 34 Metaller • • • • • • • Kristal yapıdadırlar, Yüksek dayanım, Yüksek süneklik, Yüksek elektrik ve ısı iletkenlik, Yüksek tokluk, Şeffaf değil ve parlak görünüşe sahip, Fe, Al, Mg, Ti, Ni, Zn, Cu, ve alaşımları. Şekil 1.3: Periyodik tabloda metalik karakterde olan elementler Metaller kristal yapıdadır. 14 Bravis sisteminin sadece 3 tanesine en çok rastlanır. – Hacim merkezli kübik (Body centered cubic) yapı HMK. – Yüzey merkezli kübik (Face centered cubic) yapı YMK. – Sıkı düzen hegzagonal (Hexagonal closed packed) yapı SDH. Metallerin kristal yapıları Metallerde üç tür kristal yapıya rastlanır. HMK, YMK ve SDH Hacım Merkezli Kübik (HMK) yapı -Küpün her köşesinde bir atom ve hacım merkezinde bir atom bulunur. -Köşe atomları merkez atoma temas ederler -Her köşedeki bir atom 8 adet komşu birim hücre tarafından paylaşılır.Bu durumda birim hücredeki köşe atomu sayısı 8x(1/8) = 1 dir. -Küpün merkezinde bulunan bir atomla birlikte birim hücredeki atom sayısı 2 dir. -Koordinasyon sayısı 8 dir. Hacım merkezli kübik(HMK) yapı Figure 3.4 Hacim merkezli yapıkübik (a) Kafes noktaları; (b)atomların gerçekteki istifi, (c) bir çok kafesin 3 boyutta istifi. a R a= 4R/√3 ADF = [(Atom sayısı/hücre).(Bir atomun hacmı)] / (Birim hücrenin hacmı) ADF = 2x(4πR3/3)/a3 = 2x(4πR3/3)/(4R/√3)3 = 0,68 •Köşelerde ve merkezde birer atom bulunmaktadır. •Bu yapıdaki metallerden bazıları; Fe (α-ferrit), V, Cr, Mo, W. Birim kafesin %68 ‘i atomla doludur, % 32’si boştur. Atom yarıçapı ve Kafes parametresi arasındaki ilişki Birim Hücrede atom sayısı Her köşede = 1/8 Merkezde 1 atom Toplam = 8 x (1/8) +1 = 2 atom / hücre Koordinasyon sayısı ao 3  4r 4r a0  3 Her bir atoma temas eden komşu atom sayısı. KS = 8 Atomsal dolgu faktörü (2atom )( 4 r 3 ) 3 ADF   0,68 3 ao Yüzey Merkezli Kübik (YMK) yapı -Birim hücrenin köşelerinde birer, yüzey merkezlerinde de birer atom vardır. Yüzey merkezlerindeki atomların yarısı komşu hücreye aittir.Dolayısıyla birim hücrede (1/2) x 6 = 3 atom vardır.Köşelerden gelen atom sayısı 1 olduğundan YMK kristalde birim hücrede 3+1=4 atom bulunur. -Yüzey merkezinde bulunan atomlar köşedekilerle temas eder. -Koordinasyon sayısı = 12 dir. Yüzey merkezli kübik (YMK)yapı •Köşelerde ve yüzey merkezlerinde birer atom bulunmaktadır. •Bu yapıda metallerin bazıları; Fe (-ostenit), Al, Cu, Ni, vs. a R 2R R a= 4R/√2 ADF = 4x(4πR3/3)/a3 = 0,74 Hacmin % 74’ü dolu, % 26’sı boştur. En yüksek doluluk oranı. 3.4 Yüzey merkezli kübik yapı (a) Kafes noktaları; (b) atomların gerçekteki istifi, (c) bir çok kafesin 3 boyutta istifi. Atom yarıçapı ve Kafes parametresi arasındaki ilişki Birim Hücrede atom sayısı Her köşede = 1/8 Yüzey merkezlerde = 1/2 atom Toplam = 8 x (1/8) + 6 x 1/2 = 4 atom / hücre Koordinasyon sayısı ao 2  4r 4r a0  2 Her bir atoma temas eden komşu atom sayısı. KS = 12 Atomsal dolgu faktörü (4atom )( 4 r 3 ) 3 ADF   0,74 3 ao Sıkı düzen hekzagonal (SDH) yapı -Köşelerde : 4x(1/12) = 1/3 ve 4x(1/6)= 2/3 Merkezde . 1 atom olmak üzere , birim hücrede toplam 2 atom bulunur. -Sıkı düzen hegzagonal kafeste ADF= 0,74 tür. -Bu değer YMK ile aynıdır. -YMK de en yoğun düzlem (111), SDH de ise (0002) dir. Sıkı düzen hekzagonal yapı Figure 3.4 Yüzey merkezli kübik yapı (a) Kafes; (b) atomların gerçekteki istifi, (c) bir çok kafesin 3 boyutta istifi. (Bir atom sayılıyor) Merkezi komşu hücrede olan atom (Sayılmıyor) a = 2R Hegzagon kristal yapının üç adedinin yan yana gelmesi ile oluşur. Bu yapıda metallerin bazıları; -Ti, Zn, Mg, Be, Zr, vs. Atom yarıçapı ve Kafes parametresi arasındaki ilişki Birim Hücrede atom sayısı 4 köşede = 1/6 4 köşede = 1/12 Merkezde = 1 atom Toplam = 4 x (1/6) + 4 x 1/12 + 1 = 2 atom / hücre Koordinasyon sayısı a = 2R  4  c  ao  ao  1.633ao  3.266r  6 3 2 Vuc  a0 c 2 Her bir atoma temas eden komşu atom sayısı. KS = 12 Atomsal dolgu faktörü (2atom)( 4 r 3 ) 3 ADF   0,74 Vuc Sıkı paket düzlemlerin dizilişleri (111) [ 111] [ 0002] (0002) Seramikler  Metal ve metal dışı elementlerin yaptığı bağlarla oluşur.  Dolayısıyla iyonik ve/veya kovalent bağlara sahiptirler.  Yüksek erime sıcaklığı - refraktörlük  Kimyasal ve yüksek sıcaklıkta kararlılık  Kırılganlık (Düşük kırılma tokluğu) Şekil 1.5: Periyodik tabloda seramik malzemeleri oluşturan metalik karakterde olan elementler (açık mavi) ve metal dışı elementler (koyu mavi) Seramik Malzemeler • İki grupta incelenebilir: – Kristal yapılı – Amorf yapılı • Seramikler metal ve metal olmayan elementlerin oluşturduğu kimyasal bileşiklerdir. • Farklı türleri mevcuttur: MX MX2 M2X3 M`M”X3 M`M”2X4 M: Metal element X: Metal olmayan element Seramiklerin kristal yapıları Kimyasal bileşimleri ve yapıları metallerden çok farklı olup inceleme bunlara göre yapılır. Birim hücredeki iyon dizilişi elektriksel olarak nötr olacak şekildedir. 1-MX formüllü seramikler -CsCl yapısı:Basit kübik yapıya sahiptirler.Birim hücre başına 1 adet Cs+ ve 1 adet Cl- iyonu bulunmaktadır. -NaCl yapısı Her kafes noktasında iki iyon( Sodyum ve Klor) bulunan bir YMK yapı söz konusudur. Klor iyonları YMK kafesin normal kafes noktalarına yerleşmiştir.Sodyum iyonları ise küpün kenarlarına ve hacım merkezine yerleşir. Na Cl 2- MX2 formüllü seramikler CaF2, SiO2 ,UO2, ThO2 ve TeO2 bu tür yapıya sahip seramiklerdir. -SiO2 nin yapısı Silika mühendislikte yaygın olarak kullanılan Bir malzemedir.Yeryüzünde bolca mevcuttur. Karmaşık bir YMK yapıya sahiptir (SiO4)-4 dört yüzlüsü SiO2 3-M2X3 formüllü seramikler Al2O3 (Alumina) nın yapısı Yaklaşık olarak hekzagonal bir yapıya sahiptir. 4- M’M’’X3 formüllü seramikler CaTiO3 yapısı Basit kübik, yüzey merkezli kübik ve hacım merkezli kübik yapılarının kombinasyonundan oluşmaktadır. Perovskit olarakta bilinen bu yapıya bir tür elektroseramik olan CaTiO3, ve elektro seramik ve piezo elektrik özelliklere sahip BaTiO3 örnek olarak verilebilir (Basit kübik, YMK ve HMK kombinasyonu). (Köşelerde Ca+2; Ymerkezlerinde O-2 ve Hacim merkezlerinde Ti+4 böylece her kafes noktasında ve birim hücre başına 5’er iyon bulunur). MıMıı2X3 Yapı Spinel olarakta bilinen bu yapıya MgAl2O4, MgFe2O4 gibi bir çok manyetik seramikler dahildir. Grafit yapısı Seramiklerin tanımına uymamakla birlikte (Bileşik teşkil etmek) C nun bir kristal yapı hali olan grafit (Diğeri elmas) de seramiklerin başlığı altında incelenir. Levhalı bir yapıya sahip olan grafitin levha düzlemleri içinde C atomları kovalent bağlarla bağlıdır.Buna karşılık levhalar arası zayıf Van der Waal bağları mevcuttur. Bu zayıf bağlar nedeniyle levhalar birbiri üzerinde kolayca kayar.Grafit bu nedenle katı yağlayıcı olarak kullanılır. Kovalent bağlarda 3 elektron kullanıldığından (Her karbon atomu 3 karbon atomuyla kovalant bağ yapar), 4. elektron levhalar arasında serbest kalmıştır.Bu serbest elektronlar sayesinde grafit elektrik iletir (grafit elektrod). Grafit’in kristal yapısı Kuvvetli kovalent bağlar Zayıf Van der Waals bağları C atomları Kristal olmayan yapılar: Camlar Camlar: network yani ağ yapıya sahiptirler. • Seramik camlar (Camlar): Amorf yapıdadırlar –kısa mesafede düzenli yapıları vardır (short range ordered (SRO) structure) (random network). • Cam seramikler: Kristal camlardır – uzun mesafede düzenli yapıları (long range order (LRO) structures) vardır. Polimerler •Hafiflik, •Korozona ve kimyasallara karşı direnç, •Düşük dayanım ve tokluk, •Düşük rijitlik, yüksek elastiklik, •Tekrar kullanılabilirlik (Recyclable), •Elektrik yalıtkanlık. Şekil 1.12: Periyodik tabloda polimer malzemeleri oluşturan elementler. Polimer Malzemeler PoliEtilen: -(C2H4)- yapısı • C atomlarının oluşturduğu omurga: •her C atomuna 2 H atomu bağlı . • Bütün bağlar kovalent. (b) (a) (d) (c) (a) (b) (c) (d) Lineer dallanmamış, Lineer dallanmış, Dallanmamış Termoset Dallanmış Termoset Polimer Malzemeler • Polimer yapılarda: uzun zincirler • Belirli bir düzen oluşturmaları zor. • Genelde kristal değillerdir. • Bazı durumlarda zincirlerin belirli bir düzen oluşturması ile kristal yapı oluşabilir. • Ayrıca, çapraz bağ oluşumu ve dallanmalar da olabilir. Bütün bunlar özellikleri etkiler. The unit cell of crystalline polyethylene. Polimerlerin kristal yapıları Polimerlerin yapıları metal ve seramiklere nazaran daha karmaşıktır.Burada uzun zincir molekülleri olduğundan polimerlerin düzenli bir yapı oluşturması zordur. Kristalleşme ancak bu zincirlerin uygun düzenlenmeleri ile , yerel olarak ve en fazla % 50 oranında gerçekleşebilir. X - Işını Difraksiyonu • Ölçmede kullanılan teknik veya ekipman ne kadar hassas ise o kadar küçük boyut ölçülebilir. • Hassasiyeti kaba olan ölçü aletiyle küçük ve hassas skalada ölçüm yapılamaz. • X-ışın difraksiyonu kristal yapıları ve dolayısı ile malzemeleri tanımada kullanılabilir. X-ışını difraksiyonu •X-ışını tüpünden gelen ışın parça yüzeyine düşürülür. Yansıyan ışın gelme ve yansıma açıları dikkate alınarak ganiometre ile ölçülür. • X ışınlarının rastladığı her atomdan, aynı dalga boyunda fakat düşük şiddette ikincil dalgalar saçılır. Küresel olarak yayılan bu dalgalar, aralarındaki girişim sonucu belirli açılarda birbirini yok eder veya faz farkı dalga boyunun tam katı ise kuvvetlendirirler. •Bu pikler oluşumu diğer bir değişle yansıyan ışın demetlerinin aynı fazda olması durumu “Bragg kuralı” nı sağlar. • : gelen ışının dalga boyu. • d: düzlemler arası mesafe. • : gelen ışın – düzlem arası açı. • : brag açısı. • h, k, l: düzlemin miller indisleri. Bragg Kanunu Yani piklerin oluştuğu brag açıları ölçüm yapılan kristal malzemenin belli atom düzlemelerini “d” düzlemler arası mesafe parametresi yardımı ile ifade eder. nλ = 2dsinθ nλ = 2d sinθ Bragg kanunu d hkl  ao h2  k 2  l 2 n: 1., 2. , 3. , n. mertebeden difraksiyon dalgalarını tanımlar. Brag kuralından d saptandıktan sonra yukarıdaki formülden kafes parametresi saptanabilir. θ açısına Brag açısı 2θ açısına difraksiyon açısı adı verilir. •X-ışın difraksiyonu ile kristal yapıları, kafes parametresi ve atom çapı bulunabilir. •Bu parametreler, malzemenin özelliği olduğu ve her bir malzemede farklı değer aldığı için ilgi element veya bileşikleri saptamada kullanılmaktadır.