Onerme: (yagmur yagiyorsa bahce islaniyordur) p: yagmur yagiyor, q: bahce islaniyor. p': yagmur yagmiyor. q':bahce islanmiyor . Onerme: Bir sonsuz seride dizinin genel terimi an Lim an ≠ 0 sartini saglarsa seri iraksakdir. n →∞ ( p: Lim an ≠ 0 q: seri iraksak p→q ) n →∞ p→q. (yagmur yagiyorsa bahce islaniyordur) Kesin olan sey yagmur yaginca bahcenin islanacagidir. Dogru kıyas: (q'→p')seri yakinsak ise Lim an = 0 dir. n →∞ Yanlis kıyas: (p'→q') Lim an = 0 ise seri yakinsakdir. p→q dogru olmasi p→q dogru olmasi q→p olmasini gerektirmez. p'→q' olmasini gerektirmez. p→q dogru olmasi q'→p' olmasini gerektirir. n →∞ (yakinsak da olabilir, iraksak da olabilir. Lim an = 0 n →∞ olmasi yakinsakligi garantilemez) Yanlis kıyas: (q→p)seri iraksak ise Lim a n ≠ 0 dir. n →∞ serinin iraksak olmasi Lim a n ≠ 0 olmasini Yanlis kıyas: q→p n →∞ bahce islaniyor → o halde kesin olarak yagmur yagiyor. garantilemez. seri iraksak oldugu halde Lim an = 0 n →∞ Bahce baska sebeblerde dolayi islaniyor olabilir. oldugu durumlar vardir. Bahcivan bahceyi suluyor olabilir. su borusu patlamis olabilir. vs Dogru kıyas. q'→p' Bahce islanmiyorsa kesin olarak yagmur yagmiyordur. Diziler Yanlis kıyas: p'→q' yagmur yagmiyor → bahce islanmiyor Bahcivan bahceyi suluyor olabilir. Yagmur yagmadigi halde bahce islaniyor olabuilir. ------------------------------ ------------------------ a1, a2, a3, ..... an 1,3,5,7,9,.....99,101,103,.... genel terimi an=2n-1 n 1 2 3 4 ... .. 50 51 ... ... 2n-1 1 3 5 7 .. .. 99 101 Onerme: A yakinsak ise B yakinsakdir. (p→q) (p:A yakinsak, q:B yakinsak) Yanlis kıyas: (q→p) B yakinsak ise A yakinsakdir. B nin yakinsak olmasi A nin yakinsak olmasini garantilemez, olabilir de olmayabilirde. Dogru kıyas: (q'→p') B iraksak ise A kesin olarak iraksakdir. Yanlis kıyas: (p'→q') A iraksak ise B kesin olarak iraksakdir. A nin iraksak olmasi B nin iraksak olmasini garantilemez. olabilir de olmayabilirde. 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , ..... , ,..... , ,.... 10 20 30 40 1990 2000 9990 10000 Genel terimi an = 1 10n 1, 3, 9, 27, 81, ..... 14348907, 43046721,....... Genel terimi an=3n Sonsuz Seriler: ∞ ∑a n =1 n =a1+a2+a3+....+an+....+... ∞ ∑ (2n + 1) =1+3+5+7+9+.....99+101+103,... n =1 ∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ 10n = 10 ,+ 20 ,+ 30 + ..... + 1990 + 2000 + ..... 9990 + 10000 ,.... ----------------4-------------------------n =1 ∞ ∑3 n = 3+ 9+ 27+ 81, ..... +14348907+43046721+...... n =1 Dizinin yakinsak olmasi sarti: Hic bir terimi sonsuz olmamasi. Dizi monoton artiyorsa ise dizi yakinsakdir. Lim an = 0 n →∞ SERILERIN YAKINSAKLIGI Serinin yakinsak olmasi sarti. Serinin yakinsakligi Lim S n = sayi( sonsuz deg il ) Serinin yakinsak olmasi sarti. Lim S n = sayi( sonsuz deg il ) n→∞ n→∞ Yakinsaklik test kriterleri: ---------------------------------------------------------- -- DIZILERIN LIMITLERI n→∞ icin dizinin aldigi degere dizinin limiti denir. 1,3,5,7,9,.....99,101,103,.... dizisinin limiti ∞ 1 1 1 1 , , , , .... 10 20 30 40 dizisinin limiti sifirdir. --------- ----------------------- ----------------------- -------------A=a1+a2+a3+....an+... B=b1+b2+b3+....bn+... a1<b1, a2<b2, a3<b3, .... an<bn, ....oluyorsa B yakinsak ise A yakinsakdir. (p→q) A iraksak ise B iraksakdir. (q'→p') B iraksak ise, A yakinsak veya iraksak olabilir. (p'→q' yanlis kıyas olur.) A yakinsak ise, B yakinsak veya iraksak olabilir. (q→p yanlis kıyas olur.) ------------------------- -------------------------- - Ornek P341: ∞ p>1 oldugu halde ϒ sonsuz degilse ∑a n =1 n yakinsakdir. n2, n3, vs ile carpildigi halde dizi hala yakinsak ise demekki carpilmadan once de yakinsakdir. ----------------- -------------------------- - 1 n =1 n Sn = ∑ serisini yakinsakligini bulun. a) Limit an testi. seride dizinin genel terim an = Lim an = Lim ∞ ∑a n =1 ∞ n pozitif terimli, Lim n →∞ an +1 =r, an r<1 ise seri yakinsak r>1 ise seri iraksak r=1 ise bu test calismaz. ---------------------------- -------------- n →∞ 1 1 = =0 n ∞ sifirdan farkli ciksa idi kesin iraksak derdik. sifir cikmasi yakinsakligi garantilemez. b) Oran testi Lim n→∞ Lim n an = r , n →∞ 1 dir. n an+1 an 1 n = Lim n + 1 = Lim =1 1 n→∞ n→∞ n + 1 n Bu test bir sonuc vermedi. n →∞ r<1 ise seri yakinsak r>1 ise seri iraksak r=1 ise bu test calismaz. c)kok testi 1/ n 1 ⎛1⎞ Lim n an = Lim n = Lim ⎜ ⎟ n →∞ n →∞ n n →∞ ⎝ n ⎠ Integral Testi Bu testi sonuclandirmak icin belirsizligi cozmemiz lazim. Diger metodlarideneyelim, sonuc vermez ise bu metodu tekrar deneyebiliriz. an=f(n) olsun. ∞ ∞ ∫ f ( x)dx sonsuz degilse x =1 ∑ f ( n) n =1 yakinsakdir d)Integral testi: an = f ( n) = integral sonsuz ise iraksakdir. ∞ ∫ f ( x)dx = Limit an Testi x =1 Lim an ≠ 0 ise seri iraksakdir. seri yakinsak ise n →∞ 1 n f(x) = 1 x ∞ 1 x =∞ dx = Ln ( x ) ∫x x =1 x =1 = Ln (∞ ) − Ln (1) = ∞ − 0 = ∞ n→∞ Lim an = 0 = 00 dir. . Lim an = 0 olmasi gereklidir fakat yeter degildir. n→∞ yani Lim an = 0 oldugu halde seri iraksak olabilir. n →∞ ------------------ -------------------------- ----------------- ∞ 1 1 1 1 1 1 = + + + ..... + ... + + ... = ∞ 999 99 1 2 3 n =1 n Sonuc S n = ∑ Ornek P345: Ornek P342: ∞ ∞ 1 Sn = ∑ 2 n =1 n 1 p n =1 n Sn = ∑ serisini yakinsakligini bulun. gosterin. Limit an testi. Oran testi, kok testi bu seri icinde sonuc vermez. Integral testini uygulayalim. 1 n2 an = f ( n ) = ∞ f(x) = 1 x2 ∞ ∞ x − 2 +1 1 ∫x =1f ( x)dx = x∫=1 x 2 dx = − 2 + 1 x =1 ∞ 1 ⎛ 1 1⎞ = = −⎜ − ⎟ = 1 − x x =1 ⎝ ∞ 1⎠ integralin degeri ∞ olmadigi icin seri yakinsakdir. ∞ Sonuc S n = ∑ 1 = 1 + 1 + 1 + ..... 1 + ... + 1 + ... < ∞ 2 2 2 2 2 2 n =1 n 1 2 99 3 999 seri yakinsakdir. ∞ 1 1 iraksak S n = ∑ 2 yakinsak n =1 n n =1 n ∞ NOT: S n = ∑ 1 k =1 k n 1 2 3 4 5 8 9 10 50 100 1000 10000 100000 1000000 1 n 1 0.5 0.33333 0.25 0.2 0.125 0.11111 0.1 1 1.5 1.83333 2.08333 2.28333 2.71786 2.82897 2.92897 4.499205 5.187378 7.485471 9.787606 12.09015 14.39273 1 2 k =1 k n n Sn = ∑ 1 n2 1 0.25 0.11111 0.0625 0.04 0.01562 0.01234 0.01 Sn = ∑ 1 1.25 1.36111 1.42361 1.46361 1.52742 1.53977 1.54977 1.625133 1.634984 1.643935 1.644834 1.644924 1.644933 ----------------------------------- ---------------------------------- p>1 icin serisini yakinsak oldugunu Taylor Serisi f ' ' (x 0 ) (x − x 0 ) 2 2! (4) f ' ' ' (x 0 ) f (x 0 ) + (x − x 0 ) 3 + (x − x 0 ) 4 + ......... 3! 4! f(x) = f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) + turevine esit olan ve x0 noktasindan gecen dogru denklemini elde ettik. Elde ettigimiz bu dogru denklemi fonksiyona esittir dedik. Tabi ki bu esitligin gecerli olacagi yerler x=x0 noktasi civarindaki yerlerdir. x=x0 noktasindan uzaklasildikca bu esitlik bozulacaktir. eger ilk iki terim alinirsa dogrusal yaklasim gercek fonksiyon e0.5x f(x) ≈ f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) eger ilk uc terim alinirsa parabolik yaklasim f(x) ≈ f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) + yb f ' ' (x 0 ) (x − x 0 ) 2 2! 2.2408x-2.2408 yapilmis olur. ilk iki terimin alindigi duruma fonksiyonun x=x0 civarinda lineerlestirilmesi (dogrusallastirilmasi) denir. P221) f(x)= e0.5X fonksiyonunu x=3 civarinda Taylor serisine aciniz. Cozum: f '(x)= 0.5 e0.5X f ''(x)= 0.5x0.5 e0.5X =0.25 e0.5X f '''(x)= 0.5x0.5 x0.5 e0.5X =0.125 e0.5X f (4)(x)= 0.5 x0.5 x0.5x0.5 e0.5X =0625 e0.5X yaklasik fonk ya xa e0.5X ≈ 4.48+2.24(x-3) (for x=3 civarinda) ---------------------------------- ----------------------Parabolik yaklasim f ' ' (x 0 ) (x − x 0 ) 2 2! 1.12 = 4.4817 + 2.2408 (x - 3) + (x - 3) 2 2! f (3)= e0.5 3=e1.5 =4.4817 f '(3)= 0.5 e0.5 3=0.5 e1.5 =2.24 f ''(3)= 0.25 e0.5 3=1.12 f ''' (3)= 0.125 e0.5 3=0.56 f (4)(3)= 0.28 f(x) ≈ f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) + Dogrusal yaklasim x 2 2.5 2.9 2.99 2.7183 3.4903 4.2631 4.45933 3 4.4817 4.4817 3.01 3.1 3.5 4 4.5042 4.7115 5.7546 7.3891 f(x) ≈ f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) =4.4817+2.2408 (x-3)= 2.2408x-2.2408 Ilk iki terimi alara yaklasim yaparsak. x=3 civarinda e0.5X fonksiyonu 2.2408x-2.2408 fonksiyonuna yaklasik olarak esittir demis oluruz. 2.2408x-2.2408 x e0.5X 2 2.5 2.9 2.99 2.7183 3.4903 4.2631 4.45933 2.2408 3.3613 4.2576 4.45936 3 4.4817 4.4817 3.01 3.1 3.5 4 4.5042 4.7115 5.7546 7.3891 4.5041 4.7058 5.6021 6.7225 x=3 noktasinda elde ettigimiz yaklasik deger fonksiyonun gercek degerine tam olarak esittir. Bu noktadan uzaklasildikca yaklasik fonksiyonun degeri fonksiyonun gercek degerinden uzalasir. Yaptigimiz islem x=x0 noktasinda fonksiyona bir teget cizmektir. Yani egimi fonksiyonun x0 noktasindaki x0 xb =4.4817+2.2408 (x-3)+0.56 (x-3)2 = 0.56x2 - 1.12x + 2.8 e0.5X 0.56x2-1.12x+2.8 2.8011 3.5013 4.2632 4.4593 4.5042 4.7114 5.7422 7.2827 Kubik Yaklasim f ' (3) f ' ' (3) f ' ' ' (3) ( x − 3) + ( x − 3) 2 + ( x − 3) 3 2! 3! 1! 1.12 2 0.56 f(x)=4.48+2.24(x-3)+ (x-3) + (x-3)3+.. 2 6 f(x) = f(3) + Example CT13- Obtain a linear approximation for the function f(x)=sin(x) around x0=0.8. Solution f(x)= sin(x) f (x0)= sin(0.8) =0.71735 f '(x)=cos(x) f '(x0)= cos(0.8)=0.69670 f ''(x)=-sin(x) f ''(x0)=-sin(0.8)=-0.7173 f '''(x)=cos(x) f '''(x0)=-cos(0.8)=-0.69670 (4) f (x)=sin(x) f (4)(x0)=sin(0.8)=0.7173 f(x) = f(x 0 ) + f' (x 0 )(x − x 0 ) + + f' ' (x 0 ) (x − x 0 ) 2 2! f' ' ' (x 0 ) (x − x 0 )3 + 3! f(x)=0.717+0.696(x-0.8)+(-0.717/2) (x-0.8)2 + (0.696/6)(x-0.8)3+(0.717/24)(x-0.8)4 Maclauren Serisi x0=0 alinirsa Taylor serisi Maclauren serisi olarak adlandirilir ve fonksiyonlarin hesabinda kullanilir. f(x) = f(0) + f ' (0)(x) + f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 f (4) (0) 4 x + x + x + ... 2! 3! 4! P321) f(x)= ex fonksiyonunu Maclauren serisine acin. Cozum f(x)= ex, f '(x)=ex, f ''(x)= ex, f '''(x)= ex .............. f (0) = e0=1 f '(0)= e0=1 f ''(0)= e0 =1 f '''(0)= 1 f (n)(x)= 1 f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 f (4) (0) 4 x + x + x + ... 2! 3! 4! x2 x3 x4 x5 f(x) = e x = 1 + x + + + + + ...... 2! 3! 4! 5! f(x) = f(0) + f ' (0)(x) + P321) f(x)=sin(x) fonksiyonunu Maclauren serisine acin. Cozum f(x)=sin(x), f '(x)=cos(x), f ''(x)=-sin(x), f '''(x)=-cos(x) .............. f (0) = sin(0)=0 f '(0)= cos(0)=1 f ''(0)= -sin(0)=0 f '''(0)= -cos(0)=-1 .... x3 x5 x7 +0+ +0− + ...... 3! 5! 7! x 3 x 5 x 7 x 9 x11 f(x) = sin(x) = x − + − + − + ...... 3! 5! 7! 9! 11! f(x) = sin(x) = 0 + x + 0 −