˙
Olasılık ve Istatistik
Ders Notları
Arzu Erdem
c 2013/2014 G¨
uz d¨
onemi Matematik B¨
ol¨
um¨
u notları1
Kaynaklar
•
Probabilty and Statistic, Morris H. DeGroot, 1986.
•
Applied Probabilty and Statistic, Mario Lefebvre, 2006.
•
A Modern Introduction to Probability and Statistics, Frederik Michel Dekking, Cornelis Kraaikamp, Hendrik Paul
Lopuha¨
a, Ludolf Erwin Meester, 2005.
•
A course in Probability and Statistics, Charles J. Stone, 1996.
•
INTRODUCTION TO PROBABILITY AND STATISTICS FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS, Sheldon M. Ross,
2004.
•
Probability & Statistics for Engineers & Scientists, Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying
Ye, 2012.
1
•
Theory and Problems of Probability and Statistics, Murray R. Spiegel, 1998.
•
Teori ve Problemlerle Olasılık, Seymour Lipschutz, Schaum Serisi, 1974.
email : erdem.arzu @ gmail.com ;
December 23, 2014
Contents
List of Figures
v
List of Tables
vii
Chapter 1. Olasılık
1
0Olasılı˘gın Tarihi
1
1Olasılı˘ga Giri¸s
1
2Sayma Y¨ontemleri
4
3Olasılık Aksiyomları
16
4Ko¸sullu Olasılık
22
5Ba˘gımsız Olaylar (Independent Events)
28
6Rasgele De˘gi¸skenler (Random Variables)
31
7Birle¸sik Olasılık Da˘gılımı (Joint Probability Distributions)
44
8Rasgele de˘gi¸skenlerinin beklenen de˘geri (Mathematical Expextation of random variable)
64
9Rasgele de˘gi¸skenlerinin varyansı ve kovaryansı (Variance and Covariance of Random Variables)
72
Rasgele de˘gi¸skenlerinin lineer kombinasyonlarının varyansı ve ortalaması (Means and Variances of Linear Combination
10
Moment ve Moment u
11
¨reten fonksiyonlar (Moments and Moment-Generating Functions)
94
12
Chebysev
E¸sitsizli˘gi ve B¨
uy¨
uk Sayılar Yasası (CHEBYSHEV’S INEQUALITY AND THE LAW OF LARGE NUMBE
¨
13
Onemli
Kesikli Da˘gılım Fonksiyonları
101
13.1
Binom Da˘gılımı (Binomial Distributions)
101
13.2
Hipergeometrik Da˘gılım (Hypergeometric Distribution)
106
13.3
Poisson Da˘gılımı (Poisson Distribution)
¨
14
Onemli
S¨
urekli Da˘gılım Fonksiyonları
108
14.1
D¨
uzg¨
un S¨
urekli Da˘gılım (Continuous Uniform Distribution)
110
14.2
Normal Da˘gılım (Normal Distribution)
111
˙
Chapter 2. Istatistik
¨
1Giri¸s - Orneklem
Teorisi (Sampling Theory)
110
121
121
2Veri D¨
uzenlemesi ve Analizi
¨
2.1
Giri¸s ve Onbilgiler
126
2.2
Veri D¨
uzenlemesi
127
2.3
Frenkans (Sıklık) Da˘gılımı
128
126
iii
iv
CONTENTS
3Grafiksel G¨osterimler
131
3.1
C
¸ izgisel Grafik
131
3.2
Dairesel Grafik
132
3.3
Poligon (Frekans C
¸ okgeni)
132
Eklemeli Frekans C
¸ okgeni
¨
4 erkezsel E˘gilim Ol¸cu
M
¨leri
133
4.1
Aritmetik Ortalama
135
4.2
Medyan (Orta de˘ger = Ortanca)
137
4.3
Mod (Tepe De˘ger)
140
4.4
Aritmetik Ortalama, Orta De˘ger ve Mod’un ¨ozellikleri
142
3.4
134
4.4.1
Aritmetik Ortalama
142
4.4.2
Orta De˘ger
142
4.4.3
Mod
142
4.5
Geometrik Ortalama
142
Harmonik Ortalama
¨
5Da˘gılım Ol¸cu
¨leri
¨ cu
5.1
C
¸ arpıklık Ol¸
¨t¨
u
143
5.2
Sivrilik (basıklık ) ¨ol¸cu
¨t¨
u
6¨
Ornekleme
Da˘gılımları ve Tahmin Etme
¨
¨
7
Orneklem
Ortlaması ve Varyansın Bazı Ozellikleri
150
4.6
143
149
150
151
List of Figures
2.1 Denklemin grafi˘gi
7
14.1(a)Normal da˘gılım e˘grisi, µ = 50, σ = 5, (b) σ1 = σ2 , µ1 < µ2 oldu˘gunda normal da˘gılım e˘
grisi
112
14.2(a)µ1 = µ2 , σ1 < σ2 oldu˘gunda normal da˘gılım e˘grisi, (b) µ1 < µ2 , σ1 < σ2 oldu˘gunda normal da˘
gılım e˘
grisi112
14.3P (x1 < X < x2 )
113
14.4Normal Dagilim Tablosu
119
1.1 Rasgele sayılar tablosu
124
v
List of Tables
vii
Chapter 1
Olasılık
0
Olasılı˘
gın Tarihi
˙
Belirsizlikler ve de˘gi¸sim kavramı insalık tarihi kadar eskidir. Insano˘
glu herzaman, hava durumundaki beliszi-
liklerle, yiycek ihtiya¸clarının belirsizli˘gilerle veya di˘ger ¸cevresel fakt¨orlerdeki belirsiliklerle ilgilenmi¸s ve burdaki
belirsizilikleri ve onların etkilerini indirgemek i¸cin u˘gra¸smı¸stır. Kumar oyunları da bu belirsizli˘
ge dahil ol¨ 3500 yılında kemikler ile oynanan oyunlar varken, M.O.
¨ 200 yılarında Mısırda zar oyunları
maktadır. M.O.
bulunmu¸stur. Zar ile oynanan kumar oyunları ¸cok populer olmasının yanı sıra olasılık teorisinin geli¸smesinde
de ¨onemli bir rol oynamaktadır.
Genel anlamda olasılık teorisi, Fransız matematik¸ciler Blaise Pascal (1623-1662) ve Pierre Fermat (16011665) tarafından ortaya ¸cıkmı¸stır ve zar ile oynanan kumar oyunlarındaki olasılılk teorisini in¸sa etmi¸slerdir.
Onların ¸c¨ozd¨
u˘gu
¨ problemlerin ge¸cerlili˘
gi 300 yıl kadar olsa da, zar kombinasyonlarının n¨
umeriksel olasılıkları ilk
defa Girolamo Cardano (1501-1576) ile Gelileo Galilei (1564-1642) tarafından verilmi¸stir.
O zamandan bu yana olduk¸ca hızlı bir geli¸sme g¨ostermi¸s olup m¨
uhendislik, fen bilimleri ve sosyal bilimler
alanlarında ¸cok fazla uygulaması vardır.
1
Olasılı˘
ga Giri¸s
Tanım 1.1. Sonu¸cları kesin olarak bilinemeyen y¨
ontemlere deney denir.
¨
Ornek
1.2. Bir deneyde, g¨
ozlemci, 10 kez sırayla atılan bir paranın en az 4 kez yazı gelmesini isteyebilir.
Bir deneyde, 90 g¨
un boyunca hava sıcaklı˘gı ortalama olarak belirtilen bir sıcaklı˘gın u
¨zt¨
unde olması istenebilir.
Bilimsel bir projede, projenin sonu¸clarının beliritilen bir zamanda ba¸sarı olasılı˘gının hesaplanması istenebilir.
Tanım 1.3. Rastgele bir deneyin, olası t¨
um sonu¸clarını i¸ceren k¨
umeye ¨
orneklem uzayı (sample space) denir
¨
ve S ile g¨
osterilir. Orneklem
uzayındaki herbir elemena ¨
orneklem noktası veya ¨
ornek (sample) denir.
¨
Ornek
1.4. Bir zarın atılmasını d¨
u¸su
¨nelim. Zarın u
¨zt¨
undeki rakamlar ile ilgileniyorsak ¨
orneklem uzayını
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olarak verebiliriz. Ancak sayıların tek veya ¸cift gelmesi ile ilgileniyorsak ¨
orneklem uzayını
S = {tek,¸cif t} olarak yazarız. Ancak g¨
or¨
uld¨
u˘gu
¨u
¨zere 2. yazdı˘gımız ¨
orenklem uzayı elemanların belirlenmesinde
bize ¸cok kesin bilgi verememektedir.
1
2
1. OLASILIK
¨
Ornek
1.5. Bir ba¸ska deneyde, bir para atılıyor. E˘ger para yazı geliyorsa bir daha atılıyor. Ancak tura geliy-
orsa bu seferde zar atılıyor. Bu durumda ¨
orneklem uzayını a¸sa˘gıdaki gibi verebiliriz. S = {Y Y, Y T, T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6}.
¨
Ornek
1.6. Di˘ger bir deney i¸cin, bir fabrikada u
¨retilen u
¨r¨
unlerden arızalı olanları D (defective) arızalı olmayanları da N (nondefective) ile g¨
osterelim. Bu u
¨r¨
unlerden 3 adet se¸cilece˘gine g¨
ore ¨
orneklem uzayını a¸sa˘gıdaki
gibi
¨
Ornek
1.7. Bir deneyde, pop¨
ulasyonu 1 m¨
ulyonun u
¨zt¨
unde ¸sehirler istenebilir ki bu durumda ¨
orneklem uzayını
S = {x : x, 1 milyon n¨
ufusu a¸san bir ¸sehir}
Tanım 1.8. Bir ¨
orneklem uzayının alt k¨
umelerine olay denir.
¨
Ornek
1.9. Yolda rastgele kar¸sıla¸stı˘gımız birinin hangi ayda do˘gdu˘gunu merak ediyorsak, bu deneyin ¨
orneklem
uzayı S = {Ocak, Subat, M art, N isan, M ayıs, Haziran, T emmuz, A˘
gustos, Eyl¨
ul, Ekim, Kasım, Aralık} dır.
Bu deneyde, ki¸sinin uzun ayda (31 g¨
unl¨
uk aylardan) do˘gma ihtimalini belirten olay
˘ GIRIS
1. OLASILIGA
¸
3
L = {Ocak, M art, M ayıs, T emmuz, A˘
gustos, Ekim, Aralık}. Veya ba¸ska bir olay olarak , i¸cinde ”i” harfi olan
aylardan birinde do˘gma ihtimali olarak belirtirsek, I = {N isan, Haziran, Ekim}.
Tanım 1.10. Bir olayın ger¸cekle¸smemesi durumuna olanaksız (impossible) denir ve ∅ ile g¨
osterilir. S ¨
orenklem
uzayın kendisine de kesin (certain) olay denir.
¨
Ornek
1.11. B = {x : x, 7 nin ¸cift b¨
olenleri} olayı imkansızdır yani B = ∅.
Tanım 1.12. S ¨
orneklem uzayında bir A olayının ger¸cekle¸smedi˘gi k¨
umeye Anın t¨
umleyeni (complement) denir
ve A′ ile g¨
osterilir. A′ = {x ∈ S : x ∈
/ A}.
¨
Ornek
1.13. Bir zar atma deneyinde, asal sayıların geldi˘gi olay A = {2, 3, 5} olmak u
¨zere asal sayıların
gelmedi˘gi olay A′ = {1, 4, 6}.
Tanım 1.14. A ve B olaylarında hem Anın hemde Bnin gere¸cekle¸sti˘gi olaya A ve Bnin arakesiti (intersection)
denir ve A ∩ B = {x ∈ S : x ∈ A ve x ∈ B}.
¨
Ornek
1.15. E olayı bir sınavda m¨
uhendisli˘gi se¸cen insanları g¨
ostermek u
¨zere, F olayıda sınavda tercihte
bulunan bayanları g¨
ostermek u
¨zere sınavda bayan ve m¨
uhendisli˘gi se¸cen ki¸sileri E ∩ F ile g¨
osteririz.
Tanım 1.16. A ve B olayları kesikli ise yani A ∩ B = ∅ ise A ve B olayları birbirinin dı¸sındadır denir.
¨
¨ c kez pe¸spe¸se zar atma deneyinde, A olayını 2.de yazı gelmesi, B olayını da hi¸c yazı gelmemesi
Ornek
1.17. U¸
olarak belirtirsek:A = {Y Y Y, Y Y T, T Y Y, T Y T }, B = {T T T } olma u
¨zere A ∩ B = ∅ oldu˘gundan A ve B olayları
birbirinin dı¸sındadır.
Tanım 1.18. A ve B olaylarında Anın veya Bnin gere¸cekle¸sti˘gi olaya A ve Bnin birle¸simi (union) denir ve
A ∪ B = {x ∈ S : x ∈ A veya x ∈ B}.
¨
Ornek
1.19. Bir zar atma deneyinde, asal sayıların geldi˘gi olay A = {2, 3, 5} olmak u
¨zere ¸cift sayıların geldi˘gi
olay B = {2, 4, 6} olmak u
¨zere ¸cift veya asal sayıların gelmesi olayı A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}
¨
Ornek
1.20. A, B, C olaylarının diyargaramını a¸sa˘gıdaki gibi verebiliriz.
A
B
A’BC’
AB’C’
ABC’
ABC
AB’C
A’BC
A’B’C
C
A’B’C’
4
1. OLASILIK
Alı¸stırmalar
(1) A¸sa˘gıdaki olaylardan hangileri e¸sittir?
(i) A = {1, 3}
(ii) B = {x : x,zarın u
¨st¨
undeki rakamlar}
(iii) C = {x : x2 − 4x + 3 = 0}
(2) 2 adet zarın atılmasındaki ¨orneklem uzayını veriniz.
(i) A = {x : x,zarların sayılarının toplamı 8 den b¨
uy¨
uk ve e¸sit}
(ii) B = {x : x,zarlardan en az birinde 2 gelmesi}
(iii) C = {x : x,zarların sayıları 4 ten b¨
uy¨
uk ve e¸sit}
(iv) V enn ¸seması ile bu olayları g¨osteriniz.
(3) Bir deneyde ¨once bir zar atılıyor. Zarın u
¨st¨
undeki rakam ¸cift oldu˘gunda 1 kez para atılıyor, tek
oldu˘gunda ise para 2 kez atılıyor. Buna g¨ore ¨orneklem uzayını yazınız.
(i) A = {Zarın u
¨st¨
undeki rakamlar 3 ten k¨
u¸cu
¨k ve e¸sit}
(ii) B = {Paranın 2 kez atılması}
(iii) A′ kar¸sılık gelen olay
(iv) A′ ∩ B olayı
(v) A ∪ B olayı
(4) 3 nehir sularından alınan ¨orneklerde, nehirde balık avlanan durumları E ile avlanamayan durumları
H ile g¨osterilecektir. Buna g¨ore ¨orneklem uzayı belirtiniz.
(i) A = {en az 2 nehirde balık avlanabilir}
(ii) {EEE, HEE, EEH, HEH} olayını s¨ozl¨
u olarak ifade ediniz. (2. nehirin avlanabilir oldu˘
gu durum)
(5) Bkz: D:\Work\lectures\2013 2014\probabilty&statistic\literaturs\Probability & Statistics for Engineers & Scientists (9th Edition) - Walpole.pdf (page 43)
2
Sayma Y¨
ontemleri
Pek ¸cok durumda bir olayın olasılı˘gını hesaplamak i¸cin ¨orneklem uzayını listelemeye gerek duymayız. Bunun
temel ilkesi ¸carpım kuralı diye adlandırılır. (multiplication rule)
Kural 1 (1). E˘ger bir etkinlik n1 yol ile, 2. bir etkinlik ise n2 yol ile hazırlanıyorsa toplamda bu etkinli˘gin
hazırlanması n1 .n2 kadar olur.
¨
Ornek
2.1. 2 adet zarın atılmasında ¨
orneklem uzayında toplam olarak ka¸c adet ¨
ornek vardır.
C
¸ ¨oz¨
um: 1. zarın atılması n1 = 6 ¸ce¸sit yolla yapılırken 1.zarın atılması da n2 = 6 yolla ger¸cekle¸smektedir.
Buna g¨ore 2 adet zar toplam olarak n1 .n2 = 36 yolla ger¸cekle¸sir.
¨
Ornek
2.2. 22 u
¨yesi olan bir kl¨
up, bir ba¸skan bir de veznedar se¸cimi yapacaktır. Ka¸c farklı yollu se¸cim
ger¸cekle¸sir.
¨
1. SAYMA YONTEMLERI
5
C
¸ ¨oz¨
um: 22 ki¸siden 1 ba¸skan se¸cilmesi n1 = 22 ¸ce¸sit yolla yapılırken, ba¸skan se¸cilminden sonra geriye kalan
21 ki¸sinin veznedar se¸cimi n2 = 21 yolla ger¸cekle¸smektedir. Buna g¨ore bir ba¸skan bir de veznedar se¸cimi toplam
olarak n1 .n2 = 21 ∗ 22 = 462 yolla ger¸cekle¸sir.
Kural 2 (2). (Genelle¸smi¸s ¸carpma kuralı) E˘ger bir etkinlik n1 yol ile, 2. bir etkinlik ise n2 yol ile, 3. bir
etkinlik ise nk yol ile ve bu ¸sekilde devam ederek k. bir etkinlik nk
yol ile hazırlanıyorsa toplamda bu etkinli˘gin
hazırlanması n1 .n2 .n3 . . . nk kadar olur.
¨
Ornek
2.3. Bir s¨
ur¨
uc¨
u kartında 2 farklı harf ve birincisi 0 olmayan 3 rakamdan olu¸smaktadır. Buna g¨
ore
ka¸c farklı ¸sekilde bir kart belirlemesi ger¸cekle¸sir.
C
¸ ¨oz¨
um: 29 harften 1 harfin se¸cilmesi n1 = 29 ¸ce¸sit yolla yapılırken, bir harfin se¸cilminden sonra geriye
kalan 28 harfin se¸cimi n2 = 28 yolla ger¸cekle¸smektedir. 1. rakamın 0 olmaması 3. se¸cimin n3 = 9, di˘
ger 2
rakamın se¸cimleri ise n4 = 10, n5 = 10 ¸sekilde ger¸cekle¸sir. Buna g¨ore 2 farklı harf ve birincisi 0 olmayan 3
rakamdan olu¸san s¨
ur¨
uc¨
u kartının se¸cimi toplam olarak n1 .n2 .n3 .n4 .n5 = 29 ∗ 28 ∗ 9 ∗ 10 ∗ 10 = 730 800 yolla
ger¸cekle¸sir.
¨
Ornek
2.4. Sedat bilgisayar par¸calarını kendisi toplayarak bir bilgsisayar almayı d¨
u¸su
¨nmektedir.Mikrodevre
se¸cimini 2 farklı markadan, hard drive se¸cimini 4 farklı markadan, aksesuarları ise 5 farklı markadan se¸cebilir.
Buna g¨
ore Sedat ka¸c farklı ¸sekilde bir bilgisayar belirler.
C
¸ ¨oz¨
um: Mikrodevre se¸cimi n1 = 2 ¸ce¸sit yolla yapılırken, hard drive se¸cimi n2 = 4 yolla, aksesuar se¸cimi
ise n3 = 9 ¸sekilde ger¸cekle¸sir. Buna g¨ore Sedat n1 .n2 .n3 = 2 ∗ 4 ∗ 5 = 40 yolla bir bilgisayar belirler.
¨
Ornek
2.5. {0, 1, 2, 5, 6, 9} rakamları kullanılarak 4 basamaklı ¸cift sayı ka¸c farklı yolla olu¸sturulur.
C
¸ ¨oz¨
um: Sayıyı abcd olara g¨osterelim. d rakamı, sayı ¸cift olaca˘gından dolayı {0, 2, 6} sayılarından biri
olmalıdır. Ancak 0 rakamı a da kullanılamayaca˘gından d nin 0 olması veya olmaması durumlarını 2 farklı yolla
incelemeliyiz.
1.yol:
d =
0 ⇒ n4 = 1
a
:
5 farklı sayı olabilir ⇒ n1 = 5
b
:
4 farklı sayı olabilir ⇒ n2 = 4
c
:
3 farklı sayı olabilir ⇒ n3 = 3
Buna g¨ore saymanın temel ilkesine g¨ore
n1 .n2 .n3 .n4 = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 1 = 60
2.yol:
d ∈
{2, 6} ⇒ n4 = 2
a
∈
{1, 2 ∨ 6, 5, 9} ⇒ 4 farklı sayı olabilir ⇒ n1 = 4
b
:
4 farklı sayı olabilir ⇒ n2 = 4
c
:
3 farklı sayı olabilir ⇒ n3 = 3
6
1. OLASILIK
Buna g¨ore saymanın temel ilkesine g¨ore
n1 .n2 .n3 .n4 = 4 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 = 96
Buna g¨ore toplamda 60 + 96 = 156 farklı yolla 4 basamaklı ¸cift sayı olu¸sturulur.
Tanım 2.6. Negatif olmayan n sayısı i¸cin n! g¨
osterimine n−f aktoriyel denir. 0! = 1, n! = n. (n − 1) . (n − 2) . . . 3.2.1
Tanım 2.7. n elemanın birbirinden farklı d¨
uzenlenmesine perm¨
utasyon denir.
¨
Ornek
2.8. a,b,c harflerinden olu¸san 3 farklı kombinasyon abc,acb,bac,bca,cab,cba olmak u
¨zere 6 farklı ¸sekildedir.
Veya kısaca 3! = 6 olarak hesaplanır.
Tanım 2.9. n elemandan r tane alınarak yapılan perm¨
utasyonu
Pn,r =
n!
(n − r)!
olarak tanımlarız.
¨
Ornek
2.10. a,b,c,d harfleri kullanılarak 2 harfli kombinasyonlar ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc
olmak u
¨zere 12 ¸sekildedir. Veya saymanın ilkesine g¨
ore
n1 n2 = 4 ∗ 3 = 12 veya perm¨
utasyon kullanılarak
P4,2 =
4!
= 12
(4 − 2)!
¨
Ornek
2.11. Matematik b¨
ol¨
um¨
unde, 25 ki¸silik bir sınıfta, ara¸stırma, ¨
o˘grenim ve geli¸stirme adlarında 3 adet
farklı ¨
od¨
ul verilmektedir. Her bir ¨
o˘grenci en fazla 1 ¨
od¨
ul alabildi˘gine g¨
ore, ka¸c olası se¸cim ger¸cekle¸sir?
¨ uller birbirinden ba˘gımsız oldu˘gundan, perm¨
C
¸ ¨oz¨
um: Od¨
utasyon problemidir:
P25,3 =
25!
= 25 ∗ 24 ∗ 23 = 13 800
(25 − 3)!
¨
Ornek
2.12. 50 ki¸silik bir ¨
o˘grenci kl¨
ub¨
unde bir ba¸skan ve birde basın sorumlusu se¸cilecektir.
(i) Hi¸c bir kısırlama olmadan,
(ii) Atakan ba¸skan se¸cilirse, se¸cimde oy kullanacaktır,
(iii) Sercan ve Ece birlikte se¸cilmesi veya se¸cilmemesi durumunda
(iv) Eslem veya Kubilayın birlite se¸cilmemesi durumunda
ka¸c farklı se¸cim ger¸cekle¸sir?
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
50!
= 50 ∗ 49 = 2450
(50 − 2)!
(ii) Atakan ba¸skan se¸cilirse, geriye 49 ki¸si kalmakatadır. B¨oylece 49 farklı olasılık vardır. Atakan ba¸skan
P50,2 =
se¸cilmezse oy kullanmayaca˘gından geriye 49 ki¸si kalmkatadır. Ve bu 49 ki¸siden 2 adet ki¸si
P49,2 =
49!
= 2352
47!
¨
1. SAYMA YONTEMLERI
7
farklı yolla se¸cilir.
(iii) Sercan ve Ece birlikte se¸cilmesi durumu 2 ¸sekildedir. Se¸cilmemesi durumunda ise se¸cim
P48,2 =
48!
= 2256
46!
farklı ¸sekilde yapılır.
(iv) 1.Y ol : Eslem ba¸skan oldu˘gunda, basından sorumlu aday se¸cimi Kubilay hari¸c 48 farklı yolla yapılır. Benzer
¸sekilde Eslem basın sorumlusu oldu˘gunda, ba¸skanlık aday se¸cimi Kubilay hari¸c 48 farklı yolla yapılır. Buna g¨
ore
Eslemin aday olması ve Kubilayın aday olmaması durumu 2 ∗ 48 = 96 farklı ¸sekilde ifade edilirken aynı yolla
Kubilayın aday olması ve Eslemin aday olmaması da 2 ∗ 48 = 96 farklı ¸sekilde ifade edilir. Bununla birlikte
ikisinin birlikte aday olmaması durumunda kalan 48 ki¸siden adaylık se¸cimleri
P48,2 =
48!
= 2256
46!
farklı ¸sekilde yapılır. Buna g¨ore toplamda 96 + 96 + 2256 = 2448 farklı se¸cimle yapılır.
2.yol : Eslem ve :Kubilayın se¸cilmesi durumu 2 t¨
url¨
ud¨
ur. (Eslem:ba¸skan, Kubilay:basın sorumlusu veya Eslem:basın sorumlusu, Kubilay:ba¸skan). Toplam se¸cim 2450 − 2 = 2448 t¨
urde olur.
Teorem 2.13. n elemanın dairesel olarak birbirinden farklı d¨
uzenlenmesi (n − 1)! ¸sekilde olur.
ˆ
Ispat:
A,B,C,D objelerinin yuvarlak bir masada a¸sa˘gıdaki gibi sıralandı˘gını s¨oyleyebiliriz.
Figure 2.1. Denklemin grafi˘gi
fakat her bir objenin birbirine g¨ore g¨oreceli pozisyonları aynıdır! B¨oylece n elemanın, n ¸sekilde pozisyonu
ayarlanabilir. K perm¨
utasyonu g¨osteremek u
¨zere, n farklı objenin dairesel olarak perm¨
utasyonunu
K.n = n!
olarak verebiliriz. Buna g¨ore
K=
n!
= (n − 1)!
n
¨
Ornek
2.14. 5 ¸cocuk, yuvarlak bir masa etrafında ka¸c farklı ¸sekilde oturur.
C
¸ ¨oz¨
um: Dairesel perm¨
utasyona g¨
ore (5 − 1)! = 24 farklı ¸sekilde.
˙
¨
Ornek
2.15. 3 Amerikalı, 4 Fransız, 4 Danimarkalı ve 2 Italyan
aynı uyruklular yan yana gelmemek ko¸sulu
ile yuvaralak bir masa etrafında ka¸c t¨
url¨
u oturabilir.
8
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um: 4 farklı uyruk yuvarlak masa etrafında (4 − 1)! = 6 farklı ¸sekilde sıralanırken, 3 Amerikalı 3!
˙
bi¸cimde, 4 Fransız 4! bi¸cimde, 4 Danimarkalı 4! bi¸cimde ve 2 Italyan
2! bi¸cimde sıralanırlar. Buna g¨
ore ¸carpmanın
temel ilkesine g¨ore 6 ∗ 3! ∗ 4! ∗ 4! ∗ 2! = 41 472 ¸sekilde farklu d¨
uzen olu¸sur.
Teorem 2.16. n1 benzer, n2 benzer,. . . ,nk benzer nesneleri olan n toplam nesnenin perm¨
utasyonu
n!
n1 !n2 ! . . . nk !
olarak hesaplanır.
ˆ
Ispat:
n1 benzer nesnenin perm¨
utasyonu n1 !, n2 benzer nesnenin perm¨
utasyonu n2 !, . . . , nk benzer nesnenin
perm¨
utasyonu nk ! olarak hesaplanırken n nesnenin perm¨
utasyonu ise n! olarak verilir. O halde sonu¸c permitasyonunu x ile g¨osterirsek:
n1 !n2 ! . . . nk !x = n! ⇒ x =
n!
n1 !n2 ! . . . nk !
¨
Ornek
2.17. DADDY harflerinden yararlanarak 5 harfli ka¸c t¨
url¨
u kelime t¨
uretilir?
C
¸ ¨oz¨
um: 3 adet D harfi oldu˘gundan D harfleri tekrarlanacaktır. Bu durumda perm¨
utasyon
5!
= 20
3!
¸sekilde kelime olu¸sturulabilir.
¨
Ornek
2.18. 28 farklı kitabı 6 ¨
o˘grenci kendi arasında ¸su ¸sekilde payla¸stırıyor. 2 ¨
o˘grenci, herbirine 4”er kitap
alıcak ¸sekilde se¸cerken geri kalan 4 ¨
o˘grenci herbirine 5”er kitap se¸cmektedir. Buna g¨
ore bu 28 kitap ka¸c farklı
yolda da˘gıtılır?
C
¸ ¨oz¨
um: 1. ve 2. ¨o˘grenci i¸cin 4!, 3., 4., 5. ¨o˘grenciler i¸cin ise 5! farklı yolla kitap da˘gıtılabilirken toplamda
de˘gi¸sik yolla kitap da˘gıtılabilir.
28!
= 306 319 469 171 683 968 000
4! ∗ 4! ∗ 5! ∗ 5! ∗ 5!
¨
Ornek
2.19. Bir futbol takımında, teknik direkt¨
or¨
un 10 oyuncuya istiyacı bulunmaktadır. Bunlardan 1′ i
1.sınıftan, 2′ si 2.sınıftan, 4′ u¨ 3.sınıftan, 3′ u¨ de 4.sınıftan se¸cilecektir. Ka¸c farklı ¸sekilde 10 oyuncu se¸cilebilir?
C
¸ ¨oz¨
um:
farklı yolda 10 oyuncu se¸cilebilir.
10!
= 12 600
1! ∗ 2! ∗ 4! ∗ 3!
¨
Ornek
2.20. 7 y¨
uksek lisans ¨
o˘grencisi, konferans boyunca 1 u
¨¸c ki¸silik odada ve 2 adet ¸cift ki¸silik odalarda ka¸c
farklı ¸sekilde kalabilir?
C
¸ ¨oz¨
um: 7 y¨
uksek lisans ¨o˘grencisi
farklı ¸sekilde kalabilir
7!
= 210
3! ∗ 2! ∗ 2!
¨
1. SAYMA YONTEMLERI
9
¨
Ornek
2.21. Bir bridge masasında 52 kart 4 masaya e¸sit olarak ka¸c farklı durumda da˘gıtılır?
C
¸ ¨oz¨
um: Her bir masaya 13 kart d¨
u¸smektedir. Buna g¨ore yinelemeli perm¨
utasyonu
olarak hesaplarız.
52!
= 53 644 737 765 488 792 839 237 440 000
13! ∗ 13! ∗ 13! ∗ 13!
Tanım 2.22. Birbirinden
n elemanın, r tanesi alınarak sıra g¨
ozetmeksizin yapılan se¸cimine kombi farklı

n
¨ gin pokerde elinizde A(karo − as), 5♥(kupa − 5), 7♣(sinek −
 ile g¨
nasyon denir ve Cn,r = 
osterilir.Orne˘
r
7), 10♠(maca − 10), K♠(papaz − maca) olması ile 5♥(kupa − 5), 10♠(maca − 10), 7♣(sinek − 7), K♠(papaz −
maca), A(karo − as) olması aynı anlama gelir.
¨
Ornek
2.23. a,b,c,d 4 harften 3 u
¨ alınarak elde edilen perm¨
utasyonlar
P4,3 =
4!
= 24
(4 − 3)!
adettir ve sırasıyla ¸s¨
oyledir: {abc, acb, bac, bca, cab, cba, abd, adb, bad, bda, dab, dba, acd, adc, cad, cda, dac, dca, bcd, bdc, cbd, cd
Halbuki bunlardan {abc, acb, bac, bca, cab, cba} a,b,c elemanlarının farklı sıralanmasıyla, {abd, adb, bad, bda, dab, dba}
a,b,d elemanlarının farklı sıralanmasıyla, {acd, adc, cad, cda, dac, dca}, a,c,d elemanlarının farklı sıralanmasıyla,
{bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcd} ise b,c,d elemanlarının farklı sıralanmasıyla elde edilmi¸stir. Kombinasyon ise bunların e¸sit oldu˘gu ve bunlardan birnin alınmasının yeterli oldu˘gu d¨
u¸su
¨n¨
ulmelidir. Buna g¨
ore 4 harften 3 l¨
u
kombinasyonların k¨
umesini {abc, abd, acd, bcd} olarak d¨
u¸su
¨nebiliriz.
Kombinasyonlar
Perm¨
utasyonlar
abc
abc,acb,bac,bca,cab,cba
abd
abd,adb,bad,bda,dab,dba
acd
acd,adc,cad,cda,dac,dca
bcd
bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcd
Buna g¨
ore kombinasyonu C4,3 ∗ 3! = P4,3 .olarak da verebiliriz.
Teorem 2.24.
Cn,r =
ˆ
Ispat:
n!
Pn,r
=
r!
(n − r)!r!
n elemanlı S ¨orneklem uzayında r farklı adet se¸cimi Cn,r kombinasyonu ile yapılır. Se¸cilen bu eleman-
ların sıralaması ise r! bi¸cimde gere¸cekle¸sir. Buna g¨ore r!Cn,r ¸carpımı, n elamanın r adet se¸cimine yani Pn,r ye
e¸sittir.
Pn,r = r!Cn,r ⇒ Cn,r
Pn,r
=
⇒ Cn,r =
r!
n!
(n−r)!
r!
=
n!
(n − r)!r!
¨
Ornek
2.25. Bir komitede, 9 ki¸silik bir gruptan 5 ki¸si ka¸c de˘gi¸sik yolla se¸cilir?
C
¸ ¨oz¨
um:
C9,5 =
9!
= 126
4! ∗ 5!
10
1. OLASILIK
¨
Ornek
2.26. 3 erkek ve 2 kızı i¸ceren bir kuruk, 7 erkek ve 5 kız arasından ka¸c t¨
url¨
u se¸cilebilir?
C
¸ ¨oz¨
um:
C7,5 ∗ C5,2 =
7!
5!
∗
= 210
2! ∗ 5! 3! ∗ 2!
¨
Ornek
2.27. Bir okulda ¨
o˘grenci birli˘gi i¸cin her sene 4 u
¨ye se¸ciliyor.
(i) 12 ¨
o˘grenci arasından birli˘ge ka¸c t¨
url¨
u¨
o˘grenci se¸cilebilir.
(ii) Uygun ¨
o˘grencilerden 2 si birlikte se¸cilmedi˘gi takdirde ka¸c t¨
url¨
uu
¨ye se¸cilebilir.
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
12!
= 495
8! ∗ 4!
(ii) 1.yol:2 ¨o˘grenciden birine A, di˘gerine B diyelim. A ve B nin se¸cime katılmadı˘gı durumda 10 o¨g˘renciden 4
C12,4 =
se¸cim yapılacak demektir:
10!
= 210
6! ∗ 4!
A nı se¸cildi˘gi B ninde se¸cime katılmadı˘gı durumda 10 ki¸siden 3 ki¸si se¸cim yapılacaktır:
C10,4 =
C10,3 =
10!
= 120
7! ∗ 3!
Benzer ¸sekilde B nı se¸cildi˘gi A ninde se¸cime katılmadı˘gı durumda 10 ki¸siden 3 ki¸si se¸cim yapılacaktır:
C10,3 =
10!
= 120
7! ∗ 3!
Toplamda 210 + 120 ∗ 2 = 450 farklı yolla se¸cim yapılır.
(ii) 2.yol : 12 ¨o˘grenciden 4 ki¸silik se¸cim 495 t¨
url¨
u yapılabilirken. Hem A nın hemde B nin se¸cild˘
gi durumda
C10,2 =
10!
= 45
8! ∗ 2!
t¨
url¨
u ger¸cekle¸sir. Buna g¨ore A veya B nin aynı anda se¸cilmedi˘gi durum 495 − 45 = 450 dir.
¨
Ornek
2.28. Bir ¨
o˘grenci sınavda 10 sorudan 8 ini yanıtlayacaktır. (i) Ka¸c t¨
url¨
u se¸cene˘gi vardır. (ii) ilk 3
soruyu yanıtlama ko¸sulu ile ka¸c t¨
url¨
u se¸cene˘gi ger¸cekle¸sir? (iii) ilk 5 sorudan en az 4 u
¨n¨
u yanıtlama ko¸sulu ile
ka¸c t¨
url¨
u se¸cene˘gi vardır?
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
10!
= 45
2! ∗ 8!
(ii) E˘ger ilk 3 soruya yanıt vermi¸sse geriye kalan 7 sorudan 5 soruyu cevaplamalıdır:
C10,8 =
C7,5 =
7!
= 21
2! ∗ 5!
˙ 5 sorudan 4 u
(iii) Ilk
¨n¨
u yanıtlarsa bu soruları yanıtlama t¨
ur¨
u
C5,4 =
5!
=5
1! ∗ 4!
¨
1. SAYMA YONTEMLERI
5!
1!∗4!
¸sekildedir. Geriye kalan 5 sorudan da 4 u
¨n¨
u yine C5,4 =
11
= 5 farklı yolla yapar b¨oylece 5 ∗ 5 = 25 yolla
se¸cimini yapabilir. Di˘ger yandan en az 4 dedi˘gi i¸cin ilk 5 sorudan 5 ini cevaplayabilir. Geriye kalan 5 sorudan
3u
¨n¨
u cevaplaması ise
5!
= 10
2! ∗ 3!
C5,3 =
¸sekilde ger¸cekle¸sir. Buna g¨ore toplamda 10 + 25 = 35 se¸cenekte soruları cevaplayabilir.
¨
Ornek
2.29. Bir ¨
o˘gretmen 6 ¨
o˘grenci arasından en az 1 ¨
o˘grenciyi ka¸c bi¸cimde se¸cebilir?
C
¸ ¨oz¨
um: 1.yol: 6 ¨o˘grenciden 1 i ¨og˘renci, C6,1 =
6!
4!∗2!
6!
5!∗1!
= 6 ¸sekilde se¸cilir. 6 ¨o˘grenciden 2 i o¨g˘renci, C6,2 =
= 15 ¸sekilde se¸cilir. 6 ¨o˘grenciden 3 i ¨o˘grenci, C6,3 =
C6,4 =
6!
2!∗4!
6!
3!∗3!
= 20 ¸sekilde se¸cilir. 6 ¨o˘grenciden 4 i o¨g˘renci,
= 15 ¸sekilde se¸cilir. 6 ¨o˘grenciden 5 i ¨o˘grenci, C6,5 =
¨o˘grenci, C6,6 =
6!
0!∗6!
6!
1!∗5!
= 6 ¸sekilde se¸cilir. 6 o¨g˘renciden 6 i
= 1 ¸sekilde se¸cilir. Buna g¨ore toplamda 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 ¸sekilde se¸cilir.
2.yol: 6 ¨o˘grencinin i¸ceren k¨
umenin toplam 26 = 64 alt k¨
umesi vardır. Buna g¨ore hi¸c se¸cilmemesi yani ∅ se¸cen˘
gi
1 adet oldu˘gundan 64 − 1 = 63 adet se¸cim yapılır.
Lemma 2.30. Her 1 ≤ r ≤ n i¸cin


n
r


+
n
r−1


=
n+1
r


ˆ
Ispat:


n
r


+
n
r−1


=
n!
n!
+
(n − r)!r! (n − r + 1)! (r − 1)!
=
n! (n − r + 1)! (r − 1)! + n! (n − r)!r!
(n − r)!r! (n − r + 1)! (r − 1)!
=
=
=
=
n! (n − r)! (r − 1)! [(n − r + 1) + r]
(n − r)!r! (n − r + 1)! (r − 1)!
n! [(n − r + 1) + r]
r! (n − r + 1)!
n! [n + 1]
(n + 1)!
=
r! (n − r + 1)!
r! (n − r + 1)!


n+1
(n + 1)!

=
r! (n + 1 − r)!
r
Teorem 2.31. (Binom Teoremi) ∀n ∈ N, x, a ∈ R i¸cin
n
(x + a) =
n
X
k=0


n
k

 an−k xk
12
1. OLASILIK
ˆ
Ispat:
¨
T¨
umevarım y¨ontemi ile ispatlayalım. Oncelikle
n = 0 ve n = 1 i¸cin do˘grulu˘gunu g¨osterelim:
(i) n = 0 olsun.
0
0
X
k=0


(x + a)

n
k
=
 an−k xk
=
n
=
0!
0! ∗ 0!
(x + a)
=
(ii) n = 1 olsun.
1
1
X
k=0


n
k
(x + a)

 an−k xk
(x + a)
n
1


0
0

 a0 x0
1⇒


n
X
n

 an−k xk , n = 0
k
k=0
= x+a
 


1
1
 a1 x0 +   a0 x1
= 
0
1
1!
1!
a+
x
1! ∗ 0!
0! ∗ 1!
= a+x⇒


n
X
n

 an−k xk , n = 1
=
k
k=0
=
(iii) keyfi n i¸cin sa˘glansın. (n + 1) i¸cinde do˘grulu˘gunu g¨ostermeliyiz.
(x + a)n+1
Pn
k=0


n
k
(x + a)

= (x + a)n (x + a)




n
X
n

 an−k xk  (x + a)
= 
k
k=0




n
n
X
X
n
n

 an−k xk+1 +

 an−k+1 xk
=
k
k
k=0
k=0
 an−k xk+1 ifadesinde k yerine k − 1 yazarsak
n+1
=
=
=
=
n+1
X


n

n
X

n

 an−k+1 xk +

 an−k+1 xk
k
−
1
k
k−1=0
k=0




n+1
n
X
X
n
n

 an−k+1 xk +

 an−k+1 xk
k−1
k
k=1
k=0







n
n
X
X
n
n
n
n

 a0 xn+1 +

 an−k+1 xk + 
 an+1 x0 +

n
k−1
0
k
k=1
k=1



 


n
X
n+1
n
n
n+1

 a0 xn+1 +

+
 an−k+1 xk + 
n+1
k−1
k
0
k=1

 an−k+1 xk

 an+1 x0
¨
1. SAYMA YONTEMLERI
13
Yukarıdaki lemmayı kullanırsak
n+1
(x + a)


n+1

n
X

n+1
 a0 xn+1 +

n+1
k=1


n+1
X
n+1

 an−k+1 xk
k
k=0
=
=
k


 an−k+1 xk + 
n+1
0

 an+1 x0
B¨oylece n + 1 i¸cinde sa˘glanmı¸s olur.
Sonu¸
c 2.32. ∀n ∈ N, a1 , a2 , . . . , ak ∈ R i¸cin
X
n
(a1 + a2 + · · · + ak ) =
n1 +n2 +···+nk
n!
an1 1 an2 2 . . . ank k
n
!
∗
n
!
∗
.
.
.
∗
n
!
1
2
k
=n
¨
Ornek
2.33. (2x − y)4 ifadesinin a¸cılımı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
4
(2x − y)
=
=
=
4
(2x + (−y))
 
 
 


 
4
4
4
4
4
  (2x)4 +   (2x)3 (−y) +   (2x)2 (−y)2 + 
 (2x) (−y)3 +   (−y)4
0
1
2
3
4
16x4 − 32x3 y + 24x2 y 2 − 8xy 3 + y 4
¨
Ornek
2.34. (2x − 3y)6 ifadesinin a¸cılımıdaki x3 y 3 teriminin katsayısı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: x3 y 3 teriminin katsayısı k = 3 durumudur.


6
3

 (2x)3 (−3y)3
=
6!
∗ 8x3 ∗ (−27) y 3
3! ∗ 3!
=
−4320x3y 3
Alı¸stırma 2.35. ∀n ∈ N, i¸cin


oldu˘gunu g¨
osteriniz.
2n
2


 = 2
n
2

 + n2
14
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um:


2n
2


(2n)!
(2n) (2n − 1)
=
(2n − 2)!2!
2!
=
= 2n2 − n = n (n − 1) + n2
n (n − 1)
+ n2
2!


n
 + n2
= 2
2
= 2
Alı¸stırma 2.36. ∀n ∈ N, i¸cin


2n
3


 = 2
n
3


 + 2n 
n
2


oldu˘gunu g¨
osteriniz.
C
¸ ¨oz¨
um:

2
n
3


 + 2n 
n
2


=
=
=
=
=
=
2
n (n − 1) (n − 2)
n (n − 1)
+ 2n
3!
2!
2
4 3
n − 2n2 + n
3
3
2
2n 2n − 3n + 1
3
2n (2n − 1) (n − 1)
3
2n (2n − 1) (2n − 2)
3!


2n


3
Alı¸stırma 2.37. ∀n, r, k ∈ N, i¸cin


oldu˘gunu g¨
osteriniz.
n
r


r
k


=
n
k


n−k
r−k


¨
1. SAYMA YONTEMLERI
15
C
¸ ¨oz¨
um:


n
r

r

k

n!
r!
(n − r)!r! (r − k)!k!
 =
n!
(n − k)!
(n − r)! (n − k)! (r − k)!k!
=
n!
(n − k)!
(n − k)!k! (n − r)! (r − k)!



n
n−k



k
r−k
=
=
Alı¸stırma 2.38. ∀n, k ∈ N, i¸cin


oldu˘gunu g¨
osteriniz.
n
k


=

n−1

+
k−1
n−1
k


C
¸ ¨oz¨
um:


n−1
k−1


+
n−1
k


=
=
=
=
=
=
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(n − k)! (k − 1)! (n − 1 − k)!k!
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(n − k) (n − k − 1)! (k − 1)! (n − 1 − k)!k (k − 1)!
(n − 1)!
1
1
+
(n − k − 1)! (k − 1)! n − k k
n
(n − 1)!
(n − k − 1)! (k − 1)! (n − k) k
n!
(n − k)!k!


n


k
Alı¸stırma 2.39. ∀n, k ∈ N, i¸cin
n
X
k=0
oldu˘gunu g¨
osteriniz.


n
k
C
¸ ¨oz¨
um: Binom teoreminden
n
(x + a) =
n
X
k=0

 = 2n


n
k

 an−k xk
16
1. OLASILIK
oldu˘guna g¨ore x = a = 1 olarak alırsak
2n =

n
X

k=0
elde ederiz.
n
k


Alı¸stırma 2.40. Binom teorimini kullanarak 3n ifadesini 2nin kuvvetleri cinsinden yazınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
3n
=
=
n
(2 + 1) =
n
X
k=0
3


n
X
k=0
n
k



n
k

 1n−k 2k
 2k
Olasılık Aksiyomları
Tanım 3.1. Olasılık rastlantı veya kesin olmayan olaylarla u˘gra¸sır. Bir zar atma deneyinde zarın yere d¨
u¸sece˘gi
kesindir ancak zarın y¨
uzeyinde g¨
or¨
unen rakamın 6 gelmesi kesin de˘gildir. Olasılı˘gı aslında bir fonksiyon gibi
tanımlayabiliriz. S ¨
orneklem uzayı ve A ⊂ S ¨
orneklem uzayında bir olay olsun. A¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glayan
P : A → [0, 1] fonksiyonuna A olayının olasılı˘gı denir, P (A) ile g¨
osterilir ve P (A) =
′
n(A)
n(S)
ile tanımlanır..
′
Burada n (A) = A da ger¸cekle¸sen olayların sayısı, n (S) = S de ger¸cekle¸sen olayların sayısı
(i) ∀A olayı i¸cin 0 ≤ P (A) ≤ 1
(ii) P (S) = 1
(iii) E˘ger A ve B kesikli olaylar ise (A ∩ B = ∅) P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
(iv) E˘ger A1 , A2 , A3 , . . . kesikli olaylar ise (∩∞
i=1 Ai = ∅) P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . .) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · ·
¨
Ornek
3.2. Bir zar para iki kez atılıyor. En az bir yazı gelme olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: S = {Y Y, Y T, T Y, T T }, A = {Y Y, Y T, T Y } olmak u
¨zere P (A) =
3
4
= 75%
¨
Ornek
3.3. Bir zar atma deneyinde ¸cift rakamların gelme olasılı˘gı, tek rakamlarınkinin 2 katıdır olarak
tanımlarsak 4 ten d¨
u¸su
¨k rakamların gelem olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak u
¨zere olasılı˘gı x ile g¨osterelim. Buna g¨ore tek rakamlar {1, 3, 5} in
toplam olasılı˘gı 3x iken ¸cift rakamların {2, 4, 6} olasılı˘gı 3 ∗ 2x = 6x dir. Toplam olasılık 1 olması gerekti˘
gine
g¨ore
9x = 1 ⇒ x =
A = {1, 2, 3} ⇒ 1ve3 gelme olasılıkları
1
9
1
9
iken 2 gelme olasılı˘gı 29 . Olaslı˘gın (iii) kuralına g¨ore
P (A) =
=
P ({1}) + P ({2}) + P ({3})
1 2 1
4
+ + =
9 9 9
9
1. OLASILIK AKSIYOMLARI
17
¨
Ornek
3.4. Bir zar atma deneyinde, A olayını ¸cift rakamların gelmesi, B olayını da 3 e tam b¨
ol¨
unebilen
sayıların gelmesi olarak tanımlarsak P (A) , P (B) nedir. C
¸ ift rakam veya 3 e b¨
ol¨
unebilme olasılı˘gı ile ¸cift ve 3
e b¨
ol¨
unebilme olasılıkları nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak u
¨zere, A = {2, 4, 6} ,B = {3, 6} olmak u
¨zere
P (A) =
3
2
1
= 50%, P (B) = =
6
6
3
C
¸ ift rakam veya 3 e b¨ol¨
unebilme olayı A ∪ B = {2, 3, 4, 6}, ¸cift ve 3 e b¨ol¨
unebilme olayı A ∩ B = {6} olmak
u
¨zere
P (A ∪ B) =
4
1
, P (A ∩ B) =
6
6
¨
Ornek
3.5. 25 end¨
ustri muhendisi, 10 makine, 10 elektrik ve 8 in¸saat m¨
uhendisli˘gi ¨
o˘grencilerinin bulundu˘gu
istatistik sınıfında rastgele end¨
ustri muhendisli˘ginde birinin se¸cilmesi olasılı˘gı nedir? Elektrik veya in¸saat m¨
uhendisli˘gi
se¸cilmesi olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: n (S) = 53, E = {end¨
ustri − m¨
uh. − o¨g˘rencisi} ⇒ n (E) = 25
P (E) =
25
53
B = {in¸s¸sat veya elektirik m¨
uhendisli˘gi} ⇒ n (B) = 18
P (B) =
18
53
¨
Ornek
3.6. Bir poker oyununda 5 karttan 2 sinin as 3 u
¨n¨
un vale gelme olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: 4 renk astan 2 as ı
C4,2 =
4!
=6
2! ∗ 2!
de˘gi¸sik yolla belirleriz. Benzer ¸sekilde 4 valeden 3 u
¨n¨
u
C4,3 =
4!
=4
1! ∗ 3!
yolla se¸ceriz. 52 karttan 5 ini ise
C52,5 =
52!
= 2598 960
47! ∗ 5!
farklı yolla se¸cilir. Buna g¨ore 5 karttan 2 sinin as 3 u
¨n¨
un vale gelmesi ¸carpma ilkesine g¨ore 6 ∗ 4 = 24 farklı
yolla se¸cilir. C = {2-as, 3 − vale} olmak u
¨zere
P (C) =
6∗4
24
=
= 9. 234 5 × 10−6
2598 960
2598 960
¨
Onerme
3.7. P (A′ ) = 1 − P (A)
18
ˆ
Ispat:
1. OLASILIK
S = A ∪ A′ ve A ∩ A′ = ∅ oldu˘gundan olasılı˘gın (ii) & (iii) ¨ozelliklerinden
P (S) = P (A) + P (A′ )
1
P (A′ )
= P (A) + P (A′ ) ⇒
= 1 − P (A)
¨
Onerme
3.8. P (∅) = 0
ˆ
Ispat:
S ′ = ∅, yukarıdkai ¨onermeden
P (S ′ ) =
P (∅) = 1 − P (S)
=
1 − 1 ((ii) den)
=
0
¨
Onerme
3.9.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
ˆ
Ispat:
A∪B
=
∅ =
P (A ∪ B) =
(A ∩ B ′ ) ∪ (A ∩ B) ∪ (A′ ∩ B)
′
(A ∩ B ′ ) ∩ (A ∩ B) ∩ (A′ ∩ B) ⇒ (iii) ten
P (A ∩ B ′ ) + P (A ∩ B) + P (A′ ∩ B)
A =
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ′ ) ,
∅ =
(A ∩ B) ∩ (A ∩ B ′ ) ⇒
P (A) =
P (A ∩ B ′ ) =
B
=
∅ =
P (B) =
P (A′ ∩ B) =
P (A ∩ B) + P (A ∩ B ′ ) ⇒
P (A) − P (A ∩ B)
(3.2)
(A′ ∩ B) ∪ (A ∩ B)
(A′ ∩ B) ∩ (A ∩ B) ⇒
P (A′ ∩ B) + P (A ∩ B) ⇒
P (B) − P (A ∩ B)
(3.1) - (3.2) - (3.3)’ten
P (A ∪ B) =
(3.1)
P (A ∩ B ′ ) + P (A ∩ B) + P (A′ ∩ B)
=
P (A) − P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B)
=
P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
¨
Onerme
3.10.
P (A ∪ B ∪ C) =
P (A) + P (B) + P (C)
−P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
+P (A ∩ B ∩ C)
(3.3)
1. OLASILIK AKSIYOMLARI
ˆ
Ispat:
19
D = B ∪ C olarak yazarsak yukarıdaki ¨onerme’den
P (A ∪ D)
= P (A) + P (D) − P (A ∩ D)
P (D)
= P (B ∪ C) = P (B) + P (C) − P (B ∩ C)
A∩D
= A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
P (A ∩ D)
= P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C))
= P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − P ((A ∩ B) ∩ (A ∩ C))
= P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C) ⇒
P (A ∪ D)
= P (A) + P (D) − P (A ∩ D)
= P (A) + (P (B) + P (C) − P (B ∩ C))
− (P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C))
= P (A) + P (B) + P (C)
−P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
+P (A ∩ B ∩ C)
¨
Ornek
3.11. Serhat end¨
ustri m¨
uhendisli˘ginden bu d¨
onem sonu mezun olacaktır. Be˘gendi˘gi 2 ¸sirketle g¨
or¨
u¸st¨
ukten
sonra, A ¸sirketinden tekrar g¨
or¨
u¸smeye ¸ca˘grılma oranını %80, B ¸sirketinden ¸ca˘grılma oranını ise %60 olarak
d¨
u¸su
¨nmektedir. Her iki ¸sirketten g¨
or¨
u¸smeye ¸ca˘grılma olsaılı˘gını ise %50 olarak de˘gerlendirmektedir. Buna g¨
ore
en az bir ¸sirketten ¸ca˘grılma olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
A = {A ¸sirketinden ¸ca˘grılması} ⇒ P (A) = 0.8
B = {B ¸sirketinden ¸ca˘grılması} ⇒ P (B) = 0.6
P (A ∩ B) = 0.5 ⇒
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
= 0.8 + 0.6 − 0.5 = 0.9
¨
Ornek
3.12. Pe¸spe¸se atılan bir zarda gelen rakamların toplamının 7 veya 11 gelme olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: n (S) = 6 ∗ 6 = 36,
A = {rakamlar toplamı 7} = {(1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1)} ⇒ n (A) = 6 ⇒ P (A) =
B = {rakamlar toplamı 11} = {(5, 6) , (6, 5)} ⇒ n (B) = 2 ⇒ P (B) =
P (A ∪ B) =
2
36 , A
6
2
8
2
+
=
=
36 36
36
9
6
36
∩B =∅
¨
Ornek
3.13. Bir ki¸sinin ye¸sil, beyaz, kırmızı ve mavi araba se¸cme olasılı˘gı sırasıyla 0.09, 0.15, 0.21, 0.23
oldu˘guna g¨
ore, galericinin bu renklerden birinden araba satma olasılı˘gı nedir?
20
1. OLASILIK
ˆ
Ispat:
Y = {ye¸sil araba satılması} ⇒ P (Y ) = 0.09
B = {beyaz araba satılması} ⇒ P (B) = 0.15
K = {kırmızı araba satılması} ⇒ P (K) = 0.21
M = {mavi araba satılması} ⇒ P (M ) = 0.23
P (Y ∪ B ∪ K ∪ M ) =
P (Y ) + P (B) + P (K) + P (M )
=
0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23
=
0.68
¨
Ornek
3.14. Bir araba teknisyeninin g¨
unde 3,4,5,6,7, 8 ve daha fazlası araba tamir etme olasılı˘gı sırasıyla
0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10 ve 0.07 olmak u
¨zere g¨
unde en az 5 araba tamir etme olsaılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
P (3) + P (4) = 0.12 + 0.19 = 0.31
P ({ 5 ten az araba tamir etme}) = 1 − 0.31 = 0.69
¨
Ornek
3.15. 5 i yanmı¸s olan 15 amp¨
ulden 3 u
¨ rasgele se¸ciliyor. (i) Hi¸cbirinin yanmamı¸s olma (ii) yanlız
birinin yanmı¸s olma (iii) en az birinin yanmı¸s olma olasılıklarını bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um: (i) 15 amp¨
ulden 3 amp¨
ul C15,3 =
C10,3 =
10!
7!∗3!
15!
12!∗3!
= 455 yolla se¸cilirken 10 sa˘glam amp¨
ulden 3 u
¨n¨
un se¸cilmesi
= 120 yolla belirlenir. Buna g¨ore
P ({ Hi¸cbirinin yanmamı¸s olması }) =
120
24
=
455
91
(ii) 5 i yanmı¸s olan amp¨
ulden 1 ini 5 farklı yolla se¸cebiliriz. Geriye kalan 10 sa˘glam amp¨
ulden 2 si C10,2 =
10!
8!∗2!
= 45 t¨
url¨
u se¸cilir. Buna g¨ore
P ({ yanlız birinin yanmı¸s olması }) =
45
9
=
455
91
(iii) en az birinin yanmı¸s olması t¨
um olasılıktan hi¸c yanmamı¸s olmasının ¸cıkarılmasıdır.
P ({ en az birinin yanmı¸s olma }) = 1 − P ({ Hi¸cbirinin yanmamı¸s olması }) = 1 −
24
67
=
91
91
¨
Ornek
3.16. R reel sayılar d¨
uzelminde a ve b noktaları i¸cin −2 ≤ b ≤ 0, 0 ≤ a ≤ 3 ko¸sulu sa˘glanmaktadır.
Buna g¨
ore a ve b arasındaki uzaklı˘gın 3 ten b¨
uy¨
uk olma olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: a ve b noktalarının sa˘gladı˘gı alanı S ile g¨osterirsek n (S) = alan(S) = 3 ∗ 2 = 6, a − b ≥ 3 ko¸sulunu
sa˘glayan b¨olge ise A taralı u
¨¸cgeni ve x=1, y=2 noktasında kesi¸sir b¨oylece n (A) = alan(A) =
P ({ a − b ≥ 3, − 2 ≤ b ≤ 0, 0 ≤ a ≤ 3}) =
2
6
=
1
3
2∗2
2
= 2. O halde
1. OLASILIK AKSIYOMLARI
21
¨
Ornek
3.17. Bir zar 100 kez atılıyor.
A¸sa˘gıdaki ¸cizelgede 6 zar sayısının ve her gelen sayının sıklı˘gı
g¨
osteriliyor. Buna g¨
ore (i) 3 u
¨n gelme (ii) 5 in gelme (iii) ¸cift sayı gelme (iv) asal sayı gelme (v) ¸cift ve
asal sayı gelmemesi olasılıklarını bulunuz.
SAyı
1
2
3
4
5
Sıklık
14
17
20
18 15
6
16
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
P ({ 3 u
¨n gelmesi }) =
20
= 0.2
100
P ({ 5 in gelmesi }) =
15
= 0.15
100
(ii)
(iii)
P ({ ¸cift sayı gelmesi }) = P ({ 2 u
¨n gelmesi }) + P ({ 4 u
¨n gelmesi }) + P ({ 6 u
¨n gelmesi })
17 + 18 + 16
51
=
= 0.51
=
100
100
(iv)
P ({ asal sayı gelme }) =
=
P ({ 2 u
¨n gelmesi }) + P ({ 3 u
¨n gelmesi }) + P ({ 5 u
¨n gelmesi })
17 + 20 + 15
52
=
= 0.52
100
100
(v)
P ({ ¸cift ve asal sayı gelmemesi }) = P ({ 2 u
¨n gelmemesi })
= 1 − P ({ 2 u
¨n gelmesi })
17
83
= 1−
=
= 0.83
100
100
22
1. OLASILIK
¨
Ornek
3.18. 25 ki¸silik bir sınıfta (i) en az 2 ki¸sinin aynı do˘gum g¨
un¨
une sahip olma olasılı˘gı (ii) en az bir
ki¸sinin seninle aynı do˘gum g¨
un¨
une sahip olma olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: Saymanın temel ilkesine g¨ore 25 ki¸silik bir sınıftaki ki¸silerin do˘gum g¨
unlerini oldu˘
gu o¨renklem
uzayı i¸cin
25
n (S) = 365
| ∗ 365 ∗ 365
{z ∗ · · · ∗ 365} = 365
25−tane
25 ki¸sinin her birinin farklı g¨
unlerde do˘gma olayını A ile g¨osterirsek
n (A) = 365 ∗ 364 ∗ 363 ∗ . . . ∗ (365 − (25 − 1)) = 365 ∗ 364 ∗ 363 ∗ . . . ∗ 341
Buna g¨ore en az 2 ki¸sinin aynı do˘gum g¨
un¨
une sahip olma olasılı˘gı
P (A′ )
= 1 − P (A) = 1 −
365 ∗ 364 ∗ 363 ∗ . . . ∗ 341
36525
365!
(365 − 25)! ∗ 36525
= 1 − 0.431 3 = 0.568 7
= 1−
(ii) Sen hari¸c geri kalan 24 ki¸sinin seninle aynı g¨
unde do˘gmama olayını B ile g¨osterirsek
24
n (B) = 364
{z ∗ · · · ∗ 364} = 364
| ∗ 364 ∗ 364
24−tane
buna g¨ore en az bir ki¸sinin seninle aynı do˘gum g¨
un¨
une sahip olma olasılı˘gı
P (B ′ ) = 1 − P (B) = 1 −
36424
= 0.99743
36525
4
Ko¸sullu Olasılık
Tanım 4.1. Bir B olayı, A olayından sonra ger¸cekle¸siyorsa B olayının ger¸cekle¸smesi olasılı˘gına ko¸sullu olasılık
denir ve P (B|A) ile g¨
osterilir, A dan sonra B nin ger¸cekle¸smesi olasılı˘gı diye adlandırlır ve
P (B|A) =
P (B ∩ A)
, P (A) > 0
P (A)
ile tanımlanır. Buna g¨
ore
P (A ∩ B) = P (B|A) P (A)
ile de ifade edilir.
¨
Ornek
4.2. Hileli bir zar atma deneyinde ¸cift rakamların gelme olasılı˘gı, tek rakamlarınkinin 2 katıdır.
Rakamların 3 ten b¨
uy¨
uk geldi˘gi bilindi˘gine g¨
ore gelen sayının karek¨
ok¨
u tam sayı olması olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak u
¨zere olasılı˘gı x ile g¨osterelim. Buna g¨ore tek rakamlar {1, 3, 5} in
toplam olasılı˘gı 3x iken ¸cift rakamların {2, 4, 6} olasılı˘gı 3 ∗ 2x = 6x dir. Toplam olasılık 1 olması gerekti˘
gine
g¨ore
9x = 1 ⇒ x =
1
9
1. KOS
¸ ULLU OLASILIK
23
Rakamların 3 ten b¨
uy¨
uk gelmesi olayı A = {4, 5, 6},
P (A) =
=
P ({4}) + P ({5}) + P ({6})
2 1 2
5
+ + =
9 9 9
9
sayının karek¨ok¨
u tam sayı olması olayı ise B = {4} olmak u
¨zere A ∩ B = {4} ⇒
2
⇒
9
P (B ∩ A)
2/9
2
=
=
P (A)
5/9
5
P (A ∩ B) =
P (B|A)
P ({4}) =
=
¨
Onerme
4.3.
P (B|A) =
n (B ∩ A)
n (A)
ˆ
Ispat:
P (B|A)
=
P (B ∩ A)
P (A)
=
n(B∩A)
n(S)
n(A)
n(S)
=
n (B ∩ A)
n (A)
=
˙ hilesiz zar atılma deneyinde, e˘ger gelen iki sayının toplamı 6 ise, bir zarda gelen sayının 2
¨
Ornek
4.4. Iki
olma olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: A = { iki sayının toplamı 6 olması } = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1)}, A ∩ B = {(2, 4) , (4, 2)}
P (B|A) =
2
n (B ∩ A)
=
n (A)
5
¨
Ornek
4.5. D¨
uzenli sefer yapan bir u¸cu¸s i¸cin u¸ca˘gın zamanında kalkma olasılı˘gı 0.83, zamanında varma
olasılı˘gı ise 0.82 olup hem zamanında varması hemde zamanında kalkma olasılı˘gı 0.78 dir. Buna g¨
ore (i) u¸ca˘gın
kalkı¸s saati verildi˘gine g¨
ore zamanında varma (ii) varı¸s saati bilindi˘gine g¨
ore zamanında kalkma olasılıklarını
bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um: K = { u¸ca˘gın zamanında kalkması } ⇒ P (K) = 0.83, V = { u¸ca˘gın zamanında varması } ⇒
P (V ) = 0.82, P (K ∩ V ) = 0.78
(i) P (V |K) =
P (V ∩ K)
0.78
=
= 0.939 76
P (K)
0.83
(ii) P (K|V ) =
P (V ∩ K)
0.78
=
= 0.951 22
P (V )
0.82
24
1. OLASILIK
¨
Ornek
4.6. S
¸ eydanın ¸calı¸stı˘gı ¸sirketin Apple distrib¨
ut¨
orl¨
u˘gu
¨n¨
u yapma olasılı˘gı %30 olup, bunun ger¸cekle¸smesi
durumunda S
¸ eydanın ¸sirketin y¨
oneticisi olması ise %60 olaslıktadır.Buna g¨
ore S
¸ eydanın Apple distrib¨
ut¨
orl¨
u˘gu
¨
yapan ¸sirketin y¨
oneticisi olması olasılı˘g nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: A = { ¸sirketin Apple distrib¨
ut¨orl¨
u˘gu
¨n¨
u yapma } ⇒ P (A) = 0.30, B = { S
¸ eydanın ¸sirket y¨
oneticisi
olması } ⇒ P (B|A) = 0.60 ⇒ P (A ∩ B) =?
P (A ∩ B)
= P (A) P (B|A)
= 0.30 ∗ 0.60
= 0.18
¨
Onerme
4.7. Herhangi A1 , A2 , ..., An olayları i¸cin
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ) P (A2 |A1 ) P (A3 |A1 ∩ A2 ) ...P (An |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 )
ˆ
Ispat:
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) =
=
P (A1 )
P (A1 ∩ A2 ) P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An )
...
P (A1 )
P (A1 ∩ A2 )
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 )
P (A1 ) P (A2 |A1 ) P (A3 |A1 ∩ A2 ) ...P (An |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 )
¨
Ornek
4.8. Bir kutuda 4 u
¨ bozuk 12 nesne vardır. 3 nesne kutudan ard arda ¸cekiliyor. 3 nesnenin de bozuk
olmama olasılı˘gı neidr?
C
¸ ¨oz¨
um: A1 = {1.nesnenin se¸cilmesi},12 nesneden 8 i bozuk olmadı˘gı i¸cin P (A1 ) =
A2 = {2.nesnenin se¸cilmesi}, kalan 11 nesneden 7 i bozuk olmadı˘gı i¸cin P (A2 |A1 ) =
8
12 ,
7
11 ,
A3 = {3.nesnenin se¸cilmesi}, kalan 10 nesneden 6 i bozuk olmadı˘gı i¸cin P (A3 |A1 ∩ A2 ) =
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =
=
6
10
P (A1 ) P (A2 |A1 ) P (A3 |A1 ∩ A2 )
8
7
6
14
∗
∗
=
12 11 10
55
¨
Onerme
4.9. A ve B P (A) .P (B) > 0 ko¸sulunu sa˘glayan olaylar olmak u
¨zere
P (A|B) =
P (B|A) P (A)
P (B)
ˆ
Ispat:
P (A|B)
P (A ∩ B)
ifadesini yazdı˘gımızda istenilen sonucu elde ederiz.
=
P (A ∩ B)
,
P (B)
= P (B|A) P (A)
1. KOS
¸ ULLU OLASILIK
25
Tanım 4.10. A1 , A2 , ..., An olayları i¸cin S = ∪ni=1 Ai ve Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j ko¸sulunu sa˘glıyorsa Ai olaylarına
S ¨
orneklem uzayının par¸calanması denir.
¨
Onerme
4.11. A1 , A2 , ..., An olayları S nin par¸calanması ve B ⊂ S olmak u
¨zere
P (B) =
n
X
P (B|Ai ) P (Ai )
i=1
ˆ
Ispat:
B = (B ∩ A1 ) ∪ (B ∩ A2 ) ∪ ... ∪ (B ∩ An )
ve A1 , A2 , ..., An olayları S nin par¸calanması oldu˘gundan Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j ko¸sulunu sa˘glanır. O halde
(B ∩ A1 ) ∩ (B ∩ A2 ) ∩ ... ∩ (B ∩ An ) = ∅
oldu˘gundan olasılık aksiyomundan
P (B) = P (B ∩ A1 ) + P (B ∩ A2 ) + ... + P (B ∩ An )
ko¸sullu olaslık ¨onermesinden:
P (B ∩ Ai ) = P (B|Ai ) P (Ai ) , 1 ≤ i ≤ n
bu ifadeleri kullandı˘gımızda
P (B) =
n
X
P (B|Ai ) P (Ai )
i=1
sonucunu elde ederiz.
¨
Ornek
4.12. Bir torbada 4 beyaz 3 siyah top bulunmakta,2. torbada ise 3 beyaz 5 siyah top bulunmaktadır.
1. torbadan bir top se¸cildi˘ginde rengi g¨
or¨
ulmeden 2. torbaya atılıyor. Buna g¨
ore 2. torbadan siyah top ¸cekilme
olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: A1 = {1.torbadan beyaz ¸cekilmesi}, A2 = {1.torbadan siyah ¸cekilmesi}, A1 ∩ A2 = ∅, B1 =
{2.torbadan siyah ¸cekilmesi}
B1 = (A1 ∩ B1 ) ∪ (A2 ∩ B1 )
1.torbadan beyaz .¸cekilme olasılı˘gı 4/7 ve ¸cekilen beyaz 2. torbaya konuldu˘gunda toplam 9 top olmaktadır.
26
1. OLASILIK
buna g¨ore 5 siyahtan birinin se¸cilmesi 5/9 oranındadır. Benzer ¸sekilde 1.torbadan siyah ¸cekilme olasılı˘
gı 3/7
olup ¸cekilen siyah 2.tobaya atıldı˘gında siyahların sayısı 6 olup toplam top sayısı 9 dur. buna g¨
ore 2. torbadan
siyah se¸cilme olasılı˘gı 6/9 dur.
P (B1 ) =
=
P (A1 ) P (B1 |A1 ) + P (A2 ) P (B1 |A2 )
38
4 5 3 6
∗ + ∗ =
7 9 7 9
63
¨
Ornek
4.13. A,B ve C gibi u
¨¸c makine bir fabrikadaki u
¨r¨
unleri sırasıyla %50, %30 ve %20 sini u
¨retmektedir.
Bu makineler, %3, %4 ve %5 oranlarında bozuk u
¨r¨
un vermektedir. Buna g¨
ore rasgele se¸cilen bir u
¨r¨
un¨
un bozuk
olma olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: X = { se¸cilen bir u
¨r¨
un¨
un bozuk olması}, A={A makinesinin se¸cilmesi}, B={B makinesinin
se¸cilmesi}, C={C makinesinin se¸cilmesi}
P (X) = P (A) P (X|A) + P (B) P (X|B) + P (C) P (X|C)
= 0.50 ∗ 0.03 + 0.30 ∗ 0.04 + 0.20 ∗ 0.05
= 0.037
¨
Ornek
4.14. Bir metalurji m¨
uhendisi A b¨
olgesinde, ¸siddetli bir fırtına esnasında B1 kasabasının %60 oranında,
B2 kasabasının %30, B3 kasbasının ise %10 oranında zarar g¨
orebilece˘gini saptamı¸stır.Fırtına esnasında ¸siddetli
akım oranı B1 kasabasında yokken B2 kasabasında %20 oranında B3 kasabasında ise %60 oranında olması
tahmin ediliyor. Buna g¨
ore A b¨
olgesindeki ¸siddetli akım oranı tahmini olarak ka¸ctır?
1. KOS
¸ ULLU OLASILIK
27
C
¸ ¨oz¨
um: X={A b¨olgesindeki ¸siddetli akımı}
P (X) =
P (B1 ) P (X|B1 ) + P (B2 ) P (X|B2 ) + P (B3 ) P (X|B3 )
=
0.60 ∗ 0 + 0.30 ∗ 0.20 + 0.10 ∗ 0.60
=
0.12
Teorem 4.15. (Bayes Teoremi) A1 , A2 , ..., An olayları S nin par¸calanması, P (Ai ) > 0, 1 ≤ i ≤ n ve B ⊂ S
olmak u
¨zere
P (Ai ) P (B|Ai )
P (Ai |B) = Pn
i=1 P (Ai ) P (B|Ai )
ˆ
Ispat:
P (Ai |B)
P (Ai ∩ B)
=
P (Ai ∩ B)
P (B)
= P (Ai ) P (B|Ai )
ve yukarıdaki ¨onermeden
P (B) =
n
X
P (B|Ai ) P (Ai )
i=1
ifadelerini yerine yazdı˘gımızda
P (Ai ) P (B|Ai )
P (Ai |B) = Pn
i=1 P (Ai ) P (B|Ai )
sonucunu elde ederiz.
¨
Ornek
4.16. A,B ve C gibi u
¨¸c makine bir fabrikadaki u
¨r¨
unleri sırasıyla %50, %30 ve %20 sini u
¨retmektedir.
Bu makineler, %3, %4 ve %5 oranlarında bozuk u
¨r¨
un vermektedir. Buna g¨
ore rasgele se¸cilen bir u
¨r¨
un¨
un zouk
oldu˘gu bilindi˘gine g¨
ore A makinesinde u
¨retilme olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: X = { se¸cilen bir u
¨r¨
un¨
un bozuk olması}, A={A makinesinin se¸cilmesi}, B={B makinesinin
se¸cilmesi}, C={C makinesinin se¸cilmesi}
P (A|X) = ?
P (A)
= 0.50, P (X|A) = 0.03
P (B)
= 0.30, P (X|B) = 0.04
P (C)
= 0.20, P (X|C) = 0.05
Bayes form¨
ul¨
une g¨ore
P (A|X) =
=
=
P (A) P (X|A)
P (A) P (X|A) + P (B) P (X|B) + P (C) P (X|C)
0.50 ∗ 0.03
0.50 ∗ 0.03 + 0.30 ∗ 0.04 + 0.20 ∗ 0.05
0.405 41
28
1. OLASILIK
¨ grencilerden
¨
Ornek
4.17. Bir okuldaki ogrencilerden erkeklerin %4 u
¨, kızların %1 i180cm den uzundur. O˘
%60 ı kızdır. Rasgele se¸cilen bir ¨
o˘grenci 180 cm den uzun ise bu ¨
o˘grencinin kız olması olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: A={180cmden uzun olması}, K={kız ¨o˘grenci olması}
P (K|A) =
?
P (K) P (A|K)
P (K) P (A|K) + P (E) P (A|E)
0.60 ∗ 0.01
0.60 ∗ 0.01 + 0.40 ∗ 0.04
0.272 73
P (K|A) =
=
=
˙ sim sistemlerinde bir sinyalin g¨
¨
Ornek
4.18. Ileti¸
onderilmesi 1 ile g¨
onderilememesi ise 0 ile g¨
osterilmektedir.
E1 sinyal yayıcısının se¸cilme olasılı˘gı %60, E2 sinyal yayıcısının ise se¸cilme olasılı˘gı %40 tır. E1 sinyal
yayıcısının sinyali d¨
uzg¨
un g¨
onderme olasılı˘gı %70 iken E2 sinyal yayıcısının sinyali d¨
uzg¨
un g¨
onderme olasılı˘gı
˙
%80 dır. Ileti¸simde sinyalin varıldı˘gı bilindi˘gine g¨
ore E1 sinyal alıcısından olma olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: X={Sinyalin ba¸sarılı g¨onderilmesi}, E1 = { E1 sinyal yayıcısının sinyali }, E2 = { E2 sinyal
yayıcısının sinyali }
P (E1 |X) =
P (E1 |X) =
=
=
?
P (E1 ) P (X|E1 )
P (E1 ) P (X|E1 ) + P (E2 ) P (X|E2 )
0.60 ∗ 0.70
0.60 ∗ 0.70 + 0.40 ∗ 0.80
0.567 57
5
Ba˘
gımsız Olaylar (Independent Events)
Tanım 5.1. A ve B olayları P (B|A) = P (B) ko¸sulunu sa˘glıyorsa ba˘gımsız olaylardır denir.
¨
Onerme
5.2. A ve B ba˘gımsız olaylardır ⇔ P (A ∩ B) = P (A) P (B)
ˆ
Ispat:
A ve B ba˘gımsız olaylar⇔ P (B|A) = P (B) ⇔
P (A∩B)
P (A)
= P (B) ⇔ P (A ∩ B) = P (A) P (B)
¨
Onerme
5.3. A ve B ba˘gımsız olaylardır ⇔ P (A|B) = P (A)
ˆ
Ispat:
A ve B ba˘gımsız olaylar⇔ P (A ∩ B) = P (A) P (B) ⇔
P (A∩B)
P (B)
= P (A) ⇔ P (A|B) = P (A)
¨
Onerme
5.4. A ve B ba˘gımsız olaylar ise
P (A ∪ B) = P (B) + P (A) P (B ′ ) = P (A) + P (B) P (A′ )
oldu˘gunu g¨
osteriniz.
˘
1. BAGIMSIZ
OLAYLAR (INDEPENDENT EVENTS)
29
ˆ
Ispat:
P (A ∪ B) =
P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
=
P (A) + P (B) − P (A) P (B)
=
P (B) + P (A) (1 − P (B))
=
P (B) + P (A) P (B ′ )
¨
Onerme
5.5. A ve B olayları ba˘gımsız ve P (A) 6= 0, P (B) 6= 0 ko¸sullarını sa˘glıyorsa A ∩ B 6= ∅ oldu˘gunu
g¨
osteriniz.
ˆ
Ispat:
Varsayım: A ∩ B = ∅ olsun. O halde P (A ∩ B) = 0 dır. Ayrıca A ve B olayları ba˘
gımsız oldu˘
gundan
P (A ∩ B) = P (A) P (B) = 0. Bu ise P (A) = 0 veya P (B) = 0 demektir. Hipotezle ¸celi¸sir.
¨
Onerme
5.6. A ve B ba˘gımsız olaylar ise A′ ve B ′ de ba˘gımsız olaydır. G¨
osteriniz.
ˆ
Ispat:
= P (A ∪ B)′ = 1 − P (A ∪ B)
P (A′ ∩ B ′ )
= 1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B))
= 1 − P (A) − P (B) + P (A) P (B)
= (1 − P (A)) (1 − P (B))
= P (A′ ) P (B ′ )
¨
Ornek
5.7. P (E) = 1/3, P (F |E) = 1/2, P (E|F ) = 1/3 oldu˘guna g¨
ore E ve F olaylarının ba˘gımsız olaylar
oldu˘gunu g¨
osteriniz.
C
¸ ¨oz¨
um:
P (F |E) =
P (E|F ) =
P (F ∩ E)
=
P (F ∩ E)
1 1
1
⇒ P (F ∩ E) = ∗ =
P (E)
2 3
6
P (F ∩ E)
1/6
1
⇒ P (F ) =
=
P (F )
1/3
2
1
= P (F ) ∗ P (E)
6
oldu˘gundan E ve F olaylarının ba˘gımsız olaylardır.
¨
Ornek
5.8. Bir kasabada itfaiye aracının ula¸sılabilir olma olasılı˘gı 0.98, ambulans aracının ula¸sılabilir olması
da 0.92 olasılıktadır. Bir yangın olayında ambulans ve itfaiyenin ula¸sılabilir olması olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: I={itfaiye aracının ula¸sılabilir olması}, A={ambulans aracının ula¸sılabilir olması}
P (A ∩ I) =
P (A) P (I)
=
0.98 ∗ 0.92
=
0.901 6
30
1. OLASILIK
˙ kez de tura gelmesi olasılı˘gı nedir?
¨
Ornek
5.9. Bir para 2 kez atılsın. Iki
˙ atı¸sta tura gelmesi}, B = {Ikinci
˙
C
¸ ¨oz¨
um: A = {Ilk
atı¸sta tura gelmesi} olmak u
¨zere iki olay ba˘
gımsız
oldu˘gundan
P (A ∩ B) = P (A) P (B) =
1 1
1
∗ =
2 2
4
Di˘ger yandan S = {Y Y, Y T, T Y, T T } olmak u
¨zere P ({T T }) = 1/4 aynı sonucu elde ederiz.
˙ zarın tek bir atılı¸sında iki birli gelmesi olasılı˘gı nedir?
¨
Ornek
5.10. Iki
˙ zar u
˙
C
¸ ¨oz¨
um: A = {Ilk
¨zerinde 1 gelmesi}, B = {Ikinci
zar u
¨zerinde 1 gelmesi} olmak u
¨zere iki olay ba˘
gımsız
oldu˘gundan
P (A ∩ B) = P (A) P (B) =
1 1
1
∗ =
6 6
36
Di˘ger yandan S = {(1, 1) , (1, 2) , ..., (1, 6) , (2, 1) , (2, 2) , ..., (2, 6) , ..., (6, 1) , (6, 2) , ..., (6, 6)} olmak u
¨zere P ({(1, 1)}) =
1/36 aynı sonucu elde ederiz.
¨
Ornek
5.11. S
¸ ekildeki paralel devre sisteminde en az bir bile¸senin kapalı olması durumunda sistem ¸calı¸smaktadır.
Heri bile¸senin ¸calı¸sma olasılı˘gı pi oldu˘guna g¨
ore sistemin ¸calı¸sması olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
P (sistem ¸calı¸sması) =
1 − P (sistem ¸calı¸smıyor)
=
1 − P (t¨
um bile¸senler a¸cık)
=
1 − P (A′1 ∩ A′2 ∩ ... ∩ A′n )
=
1 − P (A′1 ) P (A′2 ) ...P (A′n )
=
1 − (1 − p1 ) (1 − p2 ) ... (1 − pn )
n
Y
1−
(1 − pi )
=
i=1
¨
Ornek
5.12. A kutusunda 3 u
¨ bozuk 8 nesne B kutusunda 2 si bozuk 5 nesne vardır. Her kutudan birer nesne
se¸ciliyor. (i) Her iki nesneninde bozuk olma olasılı˘gı (ii) birinin bozuk di˘gerinin sa˘glam olma olasılı˘gı neidr?
˘ ¸ KENLER (RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
31
C
¸ ¨oz¨
um: A={A kutusunda bozuk olması}, B={B kutusunda bozuk olması}
(i)
P (A ∩ B) =
P (A) P (B)
3 2
3
∗ =
8 5
20
=
(ii)
P (A ∩ B ′ ) + P (A′ ∩ B) =
=
=
P (A) P (B ′ ) + P (A′ ) P (B)
3 3 5 2
∗ + ∗
8 5 8 5
19
40
¨
Ornek
5.13. Aynı anda iki zar atalım. A olayı zarların u
¨st¨
unde gelen sayılar toplamının 11 olması, B olayı
ise ilk zarda 5 gelmemesi olmak u
¨zere A ve B olayları ba˘gımsız olaylar mıdır?
C
¸ ¨oz¨
um: A={zarların u
¨st¨
unde gelen sayılar toplamının 11}={(5, 6) , (6, 5)} ⇒ P (A) = 2/36
B={ilk zarda 5 gelmemesi}={(1, 1) , ..., (1, 6) , (2, 1) , ..., (2, 6) , (3, 1) , ..., (3, 6) , (4, 1) , ..., (4, 6) , (6, 1) , ..., (6, 6)} ⇒
P (B) = 30/36
A ∩ B = {(6, 5)} ⇒ P (A ∩ B) = 1/36
1
2 30
5
= P (A ∩ B) 6= P (A) P (B) =
∗
=
36
36 36
108
Tanım 5.14. A1 , A2 , ..., An olayları i¸cin
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ) P (A2 ) ...P (An )
ko¸sulları sa˘glanıyorsa bu olaylara ba˘gımsız olaylar denir.
6
Rasgele De˘
gi¸skenler (Random Variables)
¨
¨
Tanım 6.1. Orneklem
uzayında her bir olaya kar¸sılık bir sayının geldi˘gini varsayalım. Orne˘
gin ard-arda
atılan para deneyini ele alalım. Yazı gelmesi durumunu 1 ile tura gelmesi durmunu da 0 ile g¨
osterirsek
¨
Orneklem uzayı YY YT TY TT
2
1
1
0
sayısal de˘gerlerini elde edebiliriz. B¨
oylece X rasgele de˘gi¸skeninden s¨
oz ederken ¨
orneklem uzayındaki her bir
elemana, reel sayı kar¸sılık gelen bir fonksiyon anla¸sılır. E˘ger X : S → R reel de˘gerli fonksiyonu ve x ∈ R reel
sayısı i¸cin {s : X (s) ≤ x} bir olay tanımlıyorsa X (s) fonksiyonuna rasgele de˘gi¸skeni denir.
32
1. OLASILIK
T¨
um rasgele de˘gi¸skenleri X, Y, Z gibi b¨
uy¨
uk harfler ile g¨
osterilirken, onlara kar¸sılık gelen reel sayılar x, y, z
gibi k¨
u¸cu
¨k harfler ile g¨
osterilecektir.
¨
Ornek
6.2. Bir depo g¨
orevlisi 3 kaskı sırasıyla u
¨zerlerinde isimleri yazıcak ¸sekilde U˘gur, Murat ve Tarı˘ga
vermektedir. Bu ki¸silerin kasklarını do˘gru almaları durumundaki rasgele de˘gi¸skenleri belirleyiniz.
C
¸ ¨oz¨
um: Do˘gru e¸sleme durumunu 1 aksi durumu 0 ile g¨osterelim.
¨
Orneklem
uzayı(s)
UMT
UTM TUM
TMU MUT
MTU
Do˘gru e¸sleme(X (s))
3
1
1
0
0
1
¨
Orne˘
gin {s : X (s) ≤ 1} bir olay berlirler (en az bir do˘gru e¸slenmesi olayı)
¨
Ornek
6.3. Bir kargo ¸sirketinde u
¨r¨
unlerin hasarlı olup olmaması durumunu sırasıyla 1 ve 0 ile g¨
osterirsek
rasgele se¸cilen bir u
¨r¨
un¨
un rasgele de˘gi¸skenini belirleyiniz.
C
¸ ¨oz¨
um: X u
¨r¨
un¨
un rasgele se¸cilmesi olmak u
¨zere


1, u
¨r¨
un hatalı ise
X=
 0, u
¨r¨
un hatalı de˘gilise
rasgele de˘gi¸skeni 0 ve 1 olanlara Bernoulli rasgele de˘gi¸skeni denir.
¨
Ornek
6.4. 12 si hasarlı 100 par¸ca u
¨r¨
un i¸cinden 10 u
¨r¨
un se¸cilecektir. X hasarlı u
¨r¨
un se¸cilmesi durumunun
rasgele de˘gi¸skeni 0,1,2,3,...,9,10 sayılarından biridir.
¨
6.5. Bir ¸ca˘grı merkezi ki¸silerin taleplerini 0 ile 1 arasındaki saylar ile sıralayarak cevaplandırmaktadır.
Ornek
X, ki¸sinin talep oranı olmak u
¨zere rasgele de˘gi¸skeni [0, 1] kapalı aralı˘gıdır.
Tanım 6.6. Bir rasgele de˘gi¸skeni sayılabilir sayıda reel sayıya kar¸sılık geliyorsa kesikli rasgele de˘gi¸skeni
(discrete random variable) denir. E˘ger bir rasgele de˘gi¸skeni reel sayılarda bir aralı˘ga kar¸sılık geliyorsa s¨
urekli
rasgele de˘gi¸skeni (continuous random variable) denir.
¨
Ornek
6.7. 12 si hasarlı 100 par¸ca u
¨r¨
un i¸cinden 10 u
¨r¨
un se¸cilecektir. X hasarlı u
¨r¨
u se¸cilmesi durumunun rasgele
de˘gi¸skeni 0,1,2,3,...,9,10 sayılarından biridir. Buna g¨
ore X rasgele
de˘gi¸skeni kesikli rasgele
de˘gi¸skenidir. Bununla birlikte Bir ¸ca˘grı merkezi ki¸silerin taleplerini 0 ile 1 arasındaki saylar ile sıralayarak
cevaplandırmaktadır. X, ki¸sinin talep oranı olmak u
¨zere rasgele de˘gi¸skeni [0, 1] kapalı aralı˘gıdır. Buna g¨
ore X
rasgele de˘gi¸skeni s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenidir.
˘ ¸ KENLER (RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
33
Tanım 6.8. X kesikli rasgele de˘gi¸skenine kar¸sılık gelen sayısal de˘gerler a1 , a2 , ... olmak u
¨zere, X kesikli rasgele
de˘gi¸skeninin olasılık yo˘gunluk fonksiyonu (bazen sadece olasılık fonksiyonu veya olasılık da˘gılım fonksiyonu da
denir) (probability function- probability mass function - pmf- probability distribution function - pdf ) a¸sa˘gıdaki
ko¸sulları sa˘glayan f : R → [0, 1] , f (a) = P ({s ∈ S : X (s) = a}) fonksiyonudur.
(i) f (ai ) ≥ 0, i = 1, 2, 3, ...
(ii) f (a1 ) + f (a2 ) + · · · = 1
(iii) a 6= ai , f (ai ) = 0
¨
Ornek
6.9. Bir zarın olasılık yo˘gunluk fonksiyonunu bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
¨
Orneklem
uzayı 1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
, f (2) = P (X = 2) =
6
1
f (3) = P (X = 3) = , f (4) = P (X = 4) =
6
1
f (5) = P (X = 5) = , f (6) = P (X = 6) =
6
f (1) = P (X = 1) =
1
6
1
6
1
6
y
0.3
0.2
0.1
0.0
1
2
3
4
5
6
7
x
¨
Ornek
6.10. 3 kez ardardına atılan bir para atma deneyinde yazı gelmesi durumunu 1 ile tura gelmesi durmunu
da 0 ile g¨
osterirsek X kesikli rasgele de˘gi¸skenini ve bunların olasılık yo˘gunluk fonksiyonlarını bulunuz.
34
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um:
¨
Orneklem
uzayı YYY
3
YYT
YTY TYY
YTT
TYT
TTY TTT
2
2
1
1
1
2
0
1 1 1
1
∗ ∗ =
2 2 2
8
1 1 1
3
f (1) = P (X = 1) = P (Y T T ) + P (T Y T ) + P (T T Y ) = + + =
8 8 8
8
1 1 1
3
f (2) = P (X = 2) = P (Y Y T ) + P (Y T Y ) + P (T Y Y ) = + + =
8 8 8
8
1
f (3) = P (X = 3) = P (Y Y Y ) =
8
f (0) = P (X = 0) = P (T T T ) =
¨
6.11. 3 u
¨ bozuk 20 laptop i¸cinden rastgele 2 bilgisayar se¸cilecektir. Bozuk olma durumu i¸cin olasılık
Ornek
yo˘gunluk fonksiyonlarını bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
f (0) =
P (X = 0) =
C3,0 ∗ C17,2
=
C20,2
f (1) =
P (X = 1) =
C3,1 ∗ C17,1
=
C20,2
f (2) =
P (X = 2) =
C3,2 ∗ C17,0
=
C20,2
3!
3!∗0!
17!
15!∗2!
20!
18!∗2!
3!
17!
2!∗1! ∗ 16!∗1!
20!
18!∗2!
3!
17!
1!∗2! ∗ 17!∗0!
20!
18!∗2!
∗
=
68
95
=
51
190
=
3
190
˘ ¸ KENLER (RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
35
Tanım 6.12. X kesikli rasgele de˘gi¸skenine kar¸sılık gelen sayısal de˘gerler a1 , a2 , ... olmak u
¨zere, X kesikli
rasgele de˘gi¸skeninin birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonu (cumulative distribution function) a¸sa˘gıdaki ko¸sulları
sa˘glayan F : R → [0, 1] , F (a) = P ({s ∈ S : X (s) ≤ a}) fonksiyonudur.
(i) F (ai ) ≥ 0, i = 1, 2, 3, ...
(ii) F (a1 ) + F (a2 ) + · · · = 1
Olasılık da˘gılım fonksiyonu ile birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonu arasında a¸sa˘gıdaki e¸sitlik do˘grudur:
F (a) =
X
f (ai )
ai ≤a
Uyarı 6.13.
lim F (a) = 1
a→∞
lim F (a) = 0
a→−∞
a ≤ b ⇒ F (a) ≤ F (b)
F (a) = F a+ = lim F (a + ε)
ε→0
¨
Ornek
6.14. Bir zarın birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonunu bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
¨
Orneklem
uzayı 1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
F (1) =
P (X ≤ 1) =
F (2) =
P (X ≤ 2) =
F (3) =
P (X ≤ 3) =
F (4) =
P (X ≤ 4) =
F (5) =
P (X ≤ 5) =
F (6) =
P (X


0





 16




2


 6
F (x) =














3
6
4
6
5
6
6
6
≤ 6) =
1
,
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
=
+
+
+
+
if
x<1
if
1≤x<2
if
if
if
if
if
2≤x<3
2
6
1
3
= ,
6
6
1 1
4
+ =
6 6
6
1 1 1
5
+ + = ,
6 6 6
6
1 1 1 1
6
+ + + =
6 6 6 6
6
3≤x<4 =
4≤x<5
5≤x<6
6≤x



 0



if
x<1
i
6
if
1
if
i ≤ x < i + 1, i = 1, 2, 3, 4, 5
x≥6
36
1. OLASILIK
y 1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
¨
Ornek
6.15. 3 kez arıdardına atılan bir para atma deneyinde yazı gelmesi durumunu 1 ile tura gelmesi
durmunu da 0 ile g¨
osterirsek X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonlarını bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
¨
Orneklem
uzayı YYY
3
YYT
YTY TYY
YTT
TYT
TTY TTT
2
2
1
1
1
2
F (0) = P (X ≤ 0) = P (T T T ) =
0
1 1 1
1
∗ ∗ =
2 2 2
8
1 1 1 1
4
+ + + =
8 8 8 8
8
1 1 1 4
7
F (2) = P (X ≤ 2) = P (Y Y T ) + P (Y T Y ) + P (T Y Y ) + F (1) = + + + =
8 8 8 8
8
1 7
F (3) = P (X ≤ 3) = P (Y Y Y ) + F (2) = + = 1
8 8


x<0
 0 if



 1 if 0 ≤ x < 1


 8
4
F (x) =
if 1 ≤ x < 2
8



7

if 2 ≤ x < 3

8




1 if
x≥3
F (1) = P (X ≤ 1) = P (Y T T ) + P (T Y T ) + P (T T Y ) + P (T T T ) =
˘ ¸ KENLER (RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
37
¨
Ornek
6.16. X kesikli rasgele de˘gi¸skeni i¸cin olasılık da˘gılımı a¸sa˘gıdaki gibi verilmi¸stir.
X=x
-3
P(X=x) 0.2
0
2
3
0.1
0.4
c
Buna g¨
ore c de˘geri nedir? X in hangi de˘geri en b¨
uy¨
uk olasılı˘gı alır?P(X>0) olasılı˘gını bulunuz. P(X=-2)
olasılı˘gını bulunuz. X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık yo˘gunluk fonksiyonunu ve birikimli olasılık da˘gılım
fonksiyonunu bulunuz ve grafikle g¨
osteriniz.
C
¸ ¨oz¨
um:
0.2 + 0.1 + 0.4 + c
=
P (X = 0.2) =
P (X > 0) =
P (X = −2) =
f (x) =
1 ⇒ c = 0.3
0.4 oldu˘gundan X=0.2 de en b¨
uy¨
uk olasılık
P (X = 2) + P (X = 3) = 0.4 + 0.3 = 0.7
0


0.2 if




 0.1 if
 0.4 if




 0.3 if
x = −3
x=0
x=2
x=3
38
1. OLASILIK
y
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
F (−3) =
0
1
2
P (X ≤ −3) = 0.2
F (0) =
P (X ≤ 0) = 0.1 + 0.2 = 0.3
F (2) =
P (X ≤ 2) = 0.4 + 0.1 + 0.2 = 0.7
F (3) =
P (X ≤ 3) = 0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1


0 if
x < −3





 0.2 if −3 ≤ x < 0


0.3 if 0 ≤ x < 2




0.7 if 2 ≤ x < 3




 1 if
x≥3
F (x)
=
3
x
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
˘ ¸ KENLER (RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
39
¨
Ornek
6.17. X rasgele de˘gi¸skeni sırasıyla -1,1,2,3 de˘gerlerini almakta ve olasılıkları sırasıyla 1/4,1/8,1/8,1/2
de˘gerleridir. Buna g¨
ore X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonunu bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
f (−1) =
f (1) =
f (2) =
f (3) =
F (x)
=
1
1
⇒ F (−1) = P (X ≤ −1) =
4
4
1
1 1
3
P (X = 1) = ⇒ F (1) = P (X ≤ 1) = + =
8
4 8
8
1
1 3
4
P (X = 2) = ⇒ F (2) = P (X ≤ 2) = + =
8
8 8
8
1
1 4
P (X = 3) = ⇒ F (3) = P (X ≤ 3) = + = 1
2
2 8

 0 if
x < −1





1


 4 if −1 ≤ x < 1
3
if 1 < x ≤ 2
8



1

if 2 ≤ x < 3

2



 1 if
x≥3
P (X = −1) =
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
¨
Onerme
6.18.
P ({s ∈ S : a < X (s) ≤ b}) = F (b) − F (a)
40
1. OLASILIK
ˆ
Ispat:
{s ∈ S : X (s) ≤ b} = {s ∈ S : a < X (s) ≤ b} ∪ {s ∈ S : X (s) ≤ a}
∅ = {s ∈ S : a < X (s) ≤ b} ∩ {s ∈ S : X (s) ≤ a} ⇒
P ({s ∈ S : X (s) ≤ b}) = P ({s ∈ S : a < X (s) ≤ b}) + P ({s ∈ S : X (s) ≤ a})
F (b) = P ({s ∈ S : a < X (s) ≤ b}) + F (a) ⇒
P ({s ∈ S : a < X (s) ≤ b}) = F (b) − F (a)
Sonu¸
c 6.19.
f (a) = F (a) − F a− , F a− = lim F (a − ε)
ε→0
ˆ
Ispat:
Yukarıdaki ispatta a yerine a − ε b yerine de a se¸cersek:
P ({s ∈ S : a − ε < X (s) ≤ a}) = F (a) − F (a − ε) ,
ε → 0 i¸cin limit alırsak
f (a) = P ({s ∈ S : X (s) = a}) = F (a) − F a−
Tanım 6.20. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık yo˘gunluk fonksiyonu (probability density function) a¸sa˘gıdaki
Rb
ko¸sulları sa˘glayan f : R → [0, 1] , P ({s ∈ S : a ≤ X (s) ≤ b}) = a f (x) dx fonksiyonudur.
(i) f (x) ≥ 0,
R∞
(ii) −∞ f (x) dx = 1
¨
Ornek
6.21. Hava sıcaklı˘gı ¨
ol¸cu
¨m¨
undeki hataların s¨
urekli rastgele de˘gi¸skenler olarak belirtirsek bunların
olasılık yo˘gunluk fonksiyonu
f (x) =


x2
3
if
 0
if
−1 < x < 2
x∈
/ (−1, 2)
olarak veriliyor. Bu fonksiyonun olasılık yo˘gunlu fonksiyonu oldu˘gunu kanıtlayınız ve P (0 < X ≤ 1) olasılı˘gını
hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um: f (x) ≥ 0 oldu˘gu a¸cıktır.
x=2
x2
1 3 1
f (x) dx =
dx = x = (8 + 1) = 1
9 x=−1
9
−∞
−1 3
x=1
Z 1
Z 1 2
x
1 1
P (0 < X ≤ 1) =
f (x) dx =
dx = x3 =
9 x=0
9
0
0 3
Z
∞
Z
2
˘ ¸ KENLER (RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
41
f(x)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
¨
Ornek
6.22. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık yo˘gunluk fonksiyonu

 c 4x − 2x2 if 0 < x < 2
f (x) =

0
if x ∈
/ (−1, 2)
olarak veriliyor. c de˘gerini hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
1=
Z
∞
f (x) dx =
−∞
Z
0
2
2
c 4x − 2x
x=2
2 2
2c
3
= − (−4) ⇒ c =
dx = c − x (x − 3)
3
3
8
x=0
Tanım 6.23. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonu (cumulative distribution
Ra
function) F : R → [0, 1] , F (a) = P ({s ∈ S : X (s) ≤ a}) = −∞ f (t) dt fonksiyonudur. Olasılık yo˘gunluk
fonksiyonu ile birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonu arasında a¸sa˘gıdaki e¸sitlik do˘grudur:
dF (a)
= f (a)
da
Uyarı 6.24. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonu i¸cin de P ({s ∈ S : a < X (s) ≤ b}) =
F (b) − F (a) ¨
ozelli˘gi do˘grudur.
¨
Ornek
6.25. Hava sıcaklı˘gı ¨
ol¸cu
¨m¨
undeki hataların s¨
urekli rastgele de˘gi¸skenler olarak belirtirsek bunların
olasılık yo˘gunluk fonksiyonu
f (x) =


x2
3
if
 0
if
−1 < x < 2
x∈
/ (−1, 2)
olarak veriliyor. Bu fonksiyonun birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonunu hesaplayınız.
42
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um:
(i) a
(ii) − 1
(iii) a
F (x)
≤ −1 ⇒ F (a) =
Z
a
f (x) dx =
−∞
Z
a
0dx = 0
−∞
x=a
x2
1 3 1 3
dx = x =
a +1
< a < 2 ⇒ F (a) =
f (x) dx =
9 x=−1 9
−∞
−1 3
x=2
Z a
Z 2 2
1
x
1 dx = x3 = (8 + 1) = 1
≥ 2 ⇒ F (a) =
f (x) dx =
9 x=−1
9
−∞
−1 3


if x ≤ −1

 0
1
3
=
x + 1 if −1 < x < 2
 9


1
if x ≥ 2
Z
a
F(x)
Z
a
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
¨
Ornek
6.26. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık yo˘gunluk fonksiyonu
f (x) =


k
x
if
 0
if
1≤x≤4
x∈
/ [1, 4]
olarak veriliyor. Birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonunu hesaplayınız ve P (X ≤ 2.5) olasılı˘gını hesaplayınız.
˘ ¸ KENLER (RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
43
C
¸ ¨oz¨
um:
1
=
F (x)
=
Z
∞
f (x) dx =
−∞
Z x
Z
x
f (t) dt = F (x) =
−∞
Z
≤ x ≤ 4 ⇒ F (x) =
> 4 ⇒ F (x) =
(iii) x
F (x)
=



 0



1
k
x=4
dx = k ln x|x=1 = k (ln 4 − ln 1) ⇒ k =
x
ln 4
f (t) dt
< 1 ⇒ F (x) =
(ii) 1
4
1
−∞
(i) x
Z
1
ln 4
Z
x
x
f (t) dt =
−∞
f (t) dt =
Z
x
1
4
1
−∞
Z
Z
x
0dt = 0
−∞
dt
1
1
=
ln t|t=x
ln x
t=1 =
ln 4t
ln 4
ln 4
dt
=1
ln 4t
if x < 1
if 1 ≤ x ≤ 4
ln x
1
if x > 4
P (X ≤ 2.5) = F (2.5) =
1
ln (2.5) = 0.660 96
ln 4
f(x) 0.7
F(x)
1.0
0.9
0.6
0.8
0.5
0.7
0.6
0.4
0.5
0.3
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
¨
Ornek
6.27. S¨
urekli bir X rasgele de˘gi¸skeninin birikimli olasılık da˘gılım fonksiyonu a¸sa˘gıdaki ¸sekilde verilmi¸stir. f(x) olasılık yo˘gunluk fonksiyonunu bulunuz. P(X<1/2) ve P(X2 > 1) olasılıklarını bulunuz.
y
A
A.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
44
1. OLASILIK
¨
C
¸ ¨oz¨
um: Once
bilinmeyen A de˘gerini bulalım:−2 ≤ x ≤ 0 i¸cin do˘gru
x
y
x
+ =1⇒y =A 1+
−2 A
2
0 ≤ x ≤ 2 i¸cin do˘gru
Z
x
y
x
+ =1⇒y =A 1−
2 A
2

x


 A 1 + 2 if −2 ≤ x ≤ 0
f (x) =
if 0 ≤ x ≤ 2
A 1 − x2



0
if x ∈
/ [−2, 2]
Z ∞
Z 2
f (x) dx = 1 ⇒
f (x) dx = 1 ⇒
−∞
A 1+
x
Z
−2
x
A 1−
dx = 1 ⇒
2
2
−2
0
x=0
x=2
x2
x2
A x+
+A x+
=1⇒
4 x=−2
4 x=0
0
dx +
2
1
2A = 1 ⇒ A = ⇒
2

1
x


 2 1 + 2 if −2 ≤ x ≤ 0
1
x
f (x) =
if 0 ≤ x ≤ 2
2 1− 2



0
if x ∈
/ [−2, 2]
Z 1/2
Z 0
Z 1/2
P (X < 1/2) =
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
=
Z
0
−2
−∞
1
2
1+
x
2
dx +
Z
−2
1/2
0
1
2
1
7
23
= +
=
2 32
32
0
1−
x
2
dx,
{X : X 2 > 1} = {X : X > 1} ∪ {X : X < −1} ⇒
P X 2 > 1 = P (X > 1) ∪ P (X < −1)
Z ∞
Z 2 1
x
1
P (X > 1) =
f (x) dx =
1−
dx =
2
8
1
1 2
Z −1
Z −1 1
x
1
P (X < −1) =
f (x) dx =
1+
dx =
2
2
8
−∞
−2
1
2
P X >1 =
4
7
Birle¸sik Olasılık Da˘
gılımı (Joint Probability Distributions)
¨
S¸u ana kadar rasgele de˘gi¸skeni tek de˘gerliydi. Halbuki rasgele de˘gi¸skeni ¸cok de˘gerli de olabilir. Orne˘
gin
kimyasal bir deneyde, hacim ile ¸c¨okelti miktarını d¨
u¸su
¨n¨
ursek ¨orneklem uzayı ikililerden olu¸sur.
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
45
Tanım 7.1. X kesikli rasgele de˘gi¸skenine kar¸sılık gelen sayısal de˘gerler x1 , x2 , ... , Y kesikli rasgele de˘gi¸skenine
kar¸sılık gelen sayısal de˘gerler y1 , y2 , ... olmak u
¨zere X ve Y kesikli rasgele
de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık
yo˘gunluk fonksiyonu (joint probability mass function - pmf ) a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glayan f (x, y) = P (X = x, Y = y)
fonksiyonudur.
(i) f (x, y) ≥ 0
P P
(ii) x y f (x, y) = 1
A ⊂ R2 bir b¨
olge olmak u
¨zere P ((X, Y ) ∈ A) =
P
(x,y)∈A f
X/Y
y1
y2
x1
f (x1 , y1 )
x2
..
.
xm
f (xm , y1 )
f (xm , y2 )
...
Pm
Pm
i=1 f (xi , y1 )
i=1 f (xi , y2 ) . . .
Toplam
(x, y) olarak da verilir.
...
yn
f (x1 , y2 )
...
f (x1 , yn )
f (x2 , y1 )
f (x2 , y2 )
...
f (x2 , yn )
...
...
...
...
Toplam
Pn
j=1 f (x1 , yj )
Pn
j=1 f (x2 , yj )
...
Pn
f (xm , yn )
j=1 f (xm , yj )
Pm
i=1 f (xi , yn ) 1→ Genel − T oplam
¨
Ornek
7.2. 2 renkli kalem, 3 mavi, 2 kırmızı ve 3 ye¸sil kalemin oldu˘gu bir kutudan se¸cilecektir.E˘ger X rasgele
de˘gi¸skeni mavi kalem se¸cimini, Y ise kırmızı kalem se¸cimini g¨
osterirse f (x, y) birle¸sik olasılı˘gı tanımlayınız ve
A = {(x, y) : x + y < 1} olmak u
¨zere P ((X, Y ) ∈ A) olasılı˘gını bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um: olası (x, y) de˘gerleri (0, 0) ⇒ne kırmızı ne de mavi kalem se¸cimi,
f (0, 0) =
3!
C3,2
3
= 1!∗2! =
C8,2
28
28
(0, 1) ⇒ kırmızı kalem se¸cililirken mavi kalem se¸cilemez (yani 1 kırmızı 1 adet ye¸sil se¸cilir),
f (0, 1) =
C2,1 ∗ C3,1
3
=
C8,2
14
(1, 0) ⇒mavi kalem se¸cilirken kırmızı kalem se¸cilemez ,(yani 1 mavi 1 adet ye¸sil se¸cilir),
f (1, 0) =
C3,1 ∗ C3,1
9
=
C8,2
28
f (1, 1) =
C2,1 ∗ C3,1
3
=
C8,2
14
(1, 1) ⇒1 kırmızı 1 mavi kalem se¸cilir,
(2, 0) ⇒2 mavi kalem se¸cilir,
f (2, 0) =
C3,2
3
=
C8,2
28
f (0, 2) =
C2,2
1
=
C8,2
28
(0, 2) ⇒2 kırmızı kalem se¸cilir.
f (x, y) =
C3,x C2,y C3,2−(x+y)
, x = 0, 1, 2, y = 0, 1, 2, 0 ≤ x + y ≤ 2
C8,2
46
1. OLASILIK
olarak belirtebiliriz.
f (x, y)
Toplam
x-mavi
y-kırmızı 0
0
1
2
Toplam
1
3!
1!∗2!
28
=
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
2!
0!∗2!
28
3
28
+
=
1
28
3
14
+
2
3!
3!
2!∗1! ∗ 2!∗1!
3
28
=
28
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
3
14
=
=
3!
2!∗1!
9
28
3
14
28
=
5
14
9
28
3
28
0
0
1
28
=
0
+
3
14
+0=
15
28
3
28
+0+0=
3
28
9
3
15
3
28 + 28 + 28 = 28
3
3
3
14 + 14 + 0 = 7
1
1
28 + 0 + 0 = 28
15
3
1
28 + 7 + 28 = 1
5
15
3
14 + 28 + 28 = 1
0.3
z
0.2
0.1
0.0
0.0 0.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0
x
y
1.5
2.0
2.0
(ii) A = {(x, y) : x + y < 1} olmak u
¨zere P ((X, Y ) ∈ A) olasılı˘gı i¸cin
P ((X, Y ) ∈ A)
= f (0, 0) + f (0, 1) + f (1, 0)
3
9
3
9
=
+
+
=
= 0.642 86
28 28 14
14
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
47
¨
Ornek
7.3. D¨
uzg¨
un bir paranın 3 atılı¸sında gelen turaların sayısı X, ilk iki atı¸staki turaların sayısı Y olsun.
S¨
orneklem uzayı a¸sa˘gıdaki gibidir.
¨
Orneklem
Uzayı X
Y
TTT
3
2
TTY
2
2
TYT
2
1
YTT
2
1
TYY
1
1
YYT
1
0
YTY
1
1
YYY
0
0
Buna g¨
ore f (x, y) birle¸sik olasılı˘gı tanımlayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
X\Y
0
1
2
Toplam
0
0
0
1
(YYY) 81
(YYT) 18
2
0
(TYT + YTT) 18 +
3
0
0
(TTT) 18
1
8
3
8
3
8
1
8
Toplam
1
4
1
2
1
4
(TYY + YTY) 18 +
1
1
8 = 4
1
1
8 = 4
0
(TTY) 18
1
8
1
4
+
+
3
8
1
2
+
+
3
8
1
4
+
1
8
=1
=1
48
1. OLASILIK
0.2
z
0.1
0.0
0 0
1
1
x
y
2
2
3
¨
Ornek
7.4. X ve Y rasgele de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık da˘gılımı

 c (2x + y) if
f (x, y) =

0
if
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, x, y ∈ Z
x∈
/ [0, 2] ∩ Z, y ∈
/ [0, 3] ∩ Z
olarak verilmektedir. c de˘gerini bulup P (X = 2, Y = 1) , P (X ≥ 1, Y ≤ 2) , olasılıklarını bulunuz.
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
49
C
¸ ¨oz¨
um:
X/Y
0
1
2
3
T oplam
0
0
c
2c
3c
6c
1
2c 3c
4c
5c
14c
2
4c 5c
6c
7c
22c
T oplam 6c 9c
12c 15c 42c = 1 → Genel − T oplam
42c = 1 ⇒ c =
1
42
P (X = 2, Y = 1) = 5c =
2c 3c
4c
4c 5c
6c
5
42
⇒ P (X ≥ 1, Y ≤ 2) = (f (1, 0) + f (1, 1) + f (1, 2))
+ (f (2, 0) + f (2, 1) + f (2, 2)) = 24c =
24
4
= = 0.571 43
42
7
Tanım 7.5. X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin olasılık yo˘gunluk fonksiyonu (probability mass function pmf ) a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glayan f (x, y) = P (X = x, Y = y) fonksiyonudur.
(i) f (x, y) ≥ 0
R∞ R∞
(ii) −∞ −∞ f (x, y) dxdy = 1
A ⊂ R2 bir b¨
olge olmak u
¨zere P ((X, Y ) ∈ A) =
RR
A
f (x, y) olarak da verilir.
¨
¨
Ornek
7.6. Ozel
bir ¸sirket, m¨
u¸sterilerine y¨
ur¨
uy¨
u¸s gezisi ve araba gezisi imkanı sunmaktadır. Rasgele bir
g¨
un se¸cildi˘ginde X rasgele de˘gi¸skeni y¨
ur¨
uy¨
u¸s gezisini, Y rasgele de˘gi¸skeni de araba gezisinin g¨
ostermek u
¨zere
birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonu


f (x, y) =

2
5
(2x + 3y) if
0
if
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x, y ∈ R
x∈
/ [0, 1] , y ∈
/ [0, 1]
ile tanımlanmaktadır. Bu fonksiyonun olasılık yo˘gunluk fonksiyonu oldu˘gunu kanıtlayınız ve P 0 < X ≤ 21 , 14 < Y <
olasılı˘gını hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um: f (x, y) ≥ 0 oldugu a¸cıktır.
Z
∞
−∞
Z
∞
f (x, y) dxdy
=
Z
1
0
−∞
=
Z
=
=
=
1
0
1
0
Z
Z
1
2
(2x + 3y) dxdy
5
x=1
2 2
x + 3xy x=0 dy
5
2
(1 + 3y) dy
0 5
y=1
2
3 2 y+ y 5
2 y=0
25
=1
52
1
2
50
1. OLASILIK
O halde f (x, y) ≥ 0 olasılık yo˘gunluk fonksiyonudur.
1 1
1
P 0<X≤ , <Y <
=
2 4
2
=
=
=
=
=
=
Z
Z
Z
1
2
1
4
Z
1
2
f (x, y) dxdy
0
1
2
1
4
Z
1
2
0
2
(2x + 3y) dxdy
5
1
2
x=1/2
2 2
x + 3xy x=0 dy
1
5
4
Z 12 2 1 3y
+
dy
1
5 4
2
4
y= 1
2 y 3 2 2
+ y 5 4 4 y=1/4
1
1
1
1
1
∗
+3∗ 2 − −3∗ 2
10
2
2
4
4
13
= 0.081 25
160
¨
Ornek
7.7. X ve Y s¨
urekli de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık yo˘gunlu˘gu

 x2 +
f (x, y) =

0
xy
3
if
if
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, x, y ∈ R
x∈
/ [0, 1] , y ∈
/ [0, 2]
olmak u
¨zere bu fonksiyonun olasılık yo˘gunluk fonksiyonu oldu˘gunu kanıtlayınız ve P (X + Y ≥ 1) olasılı˘gını
bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um: f (x, y) ≥ 0 oldugu a¸cıktır.
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
f (x, y) dxdy
=
Z
Z
=
2
4
+
=1
3 12
xy dxdy
3
0
0
x=1
Z 2 3
x
x2 y =
+
dy
3
6 x=0
0
Z 2
1 y
=
+
dy
3 6
0
y=2
y
y 2 =
+
3 12 y=0
2
1
x2 +
¨
O halde f (x, y) ≥ 0 olasılık yo˘gunluk fonksiyonudur. Oncelikle
A = {X + Y ≥ 1 : 0 ≤ X ≤ 1, 0 ≤ Y ≤ 2}
b¨olgesini ¸cizelim:
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
y
51
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x
I.Yol:
P (X + Y ≥ 1) =
=
=
=
=
Z Z
Z
Z
Z
f (x, y) dxdy
A
Z
1
0
2
1−x
1
x2 y +
0
xy dydx
3
y=2
xy 2 dx
6 y=1−x
x (1 − x)2
2x
2x2 +
− x2 (1 − x) −
3
6
1
0
1
6
x2 +
Z
1
0
!
dx
65
5x3 + 8x2 + 3x dx =
72
2.Yol:
P (X + Y ≥ 1) =
=
=
=
=
=
1 − P (X + Y < 1)
Z 1 Z 1−x xy 1−
x2 +
dydx
3
0
0
y=1−x
Z 1
xy 2 2
1−
x y+
dx
6 y=0
0
!
Z 1
2
x (1 − x)
2
1−
x (1 − x) +
dx
6
0
Z
1 1
1−
−5x3 + 4x2 + x dx
6 0
1 7
65
1− ∗
=
6 12
72
52
1. OLASILIK
¨
Ornek
7.8. X ve Y s¨
urekli de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık yo˘gunlu˘gu

 2e−x−2y
f (x, y) =

0
if
if
x, y ∈ R+
x, y ∈
/ R+
olarak verilmektedir. Buna g¨
ore P (X > 1, Y < 1) , P (X < Y ) olasılıklarını bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
P (X > 1, Y < 1) =
Z
1
0
=
Z
=
∞
2e−x−2y dxdy
1
1
0
Z
Z
1
x=∞
−2 e−x−2y x=1 dy
2e−2y−1 dy
0
=
=
P (X < Y ) =
=
=
y=1
− e−2y−1 y=0
e−1 − e−3
Z ∞Z y
2e−x−2y dxdy
0
0
Z ∞
x=y
−2 e−x−2y x=0 dy
0
Z ∞
−2 e−3y − e−2y dy
0
=
=
y=∞
2 −3y y=∞
e
− e−2y y=0
y=0
3
2
1
− + 1 = = 0.333 33
3
3
Tanım 7.9. Rasgele de˘gi¸skenlerinden biri sabit tutulup sadece di˘geri u
¨zerinden hesaplanan olasılı˘ga marjinal
olasılık denir. X ve Y kesikli rasgele de˘gi¸skenlerinin marjinal olasılık fonksiyonu
g (x) =
X
f (x, y) ve h (y) =
y
X
f (x, y)
x
X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin marjinal olasılık fonksiyonu
g (x) =
Z
∞
−∞
f (x, y) dy ve h (y) =
Z
∞
−∞
f (x, y) dx
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
53
olarak tanımlanır.
X/Y
y1
y2
...
x1
f (x1 , y1 )
f (x1 , y2 )
. . . f (x1 , yn )
x2
..
.
f (x2 , y1 )
f (x2 , y2 )
. . . f (x2 , yn )
...
...
... ...
xm
f (xm , y1 )
f (xm , y2 )
m
m
X
X
T oplam
f (xi , y1 )
f (xi , y2 )
i=1
|
i=1
{z
} |
h(y1 )
{z
}
h(y2 )
yn
T oplam
Pn
j=1 f (x1 , yj ) = g (x1 )
Pn
j=1 f (x2 , yj ) = g (x2 )
...
Pn
. . . f (xm , yn )
j=1 f (xm , yj ) = g (xm )
m
X
...
f (xi , yn ) 1 → Genel − T oplam
i=1
|
{z
h(yn )
}
¨
Ornek
7.10. 2 renkli kalem, 3 mavi, 2 kırmızı ve 3 ye¸sil kalemin oldu˘gu bir kutudan se¸cilecektir.E˘ger X rasgele
de˘gi¸skeni mavi kalem se¸cimini, Y ise kırmızı kalem se¸cimini g¨
osterirse marjinal birle¸sik olasılı˘gı tanımlayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
f (x, y)
y − kırmızı
0
1
2
g (x)
x − mavi
h(y)
0
1
3!
1!∗2!
28
=
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
2!
0!∗2!
28
3
28
+
=
1
28
3
14
+
2
3!
3!
2!∗1! ∗ 2!∗1!
3
28
=
28
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
3
14
=
=
3!
2!∗1!
9
28
3
14
28
5
14
=
g (0)
3
28
0
0
1
28
=
0
9
28
+
3
14
+0=
g (1)
15
28
3
28
+0+0=
3
28
3
9
3
15
28 + 28 + 28 = 28 = h (0)
3
3
3
14 + 14 + 0 = 7 = h (1)
1
1
28 + 0 + 0 = 28 = h (2)
15
3
1
28 + 7 + 28 = 1
5
15
3
14 + 28 + 28 = 1
g (2)
g (0) =
f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2)
g (1) =
f (1, 0) + f (1, 1) + f (1, 2)
g (2) =
f (2, 0) + f (2, 1) + f (2, 2)
h (0) =
f (0, 0) + f (1, 0) + f (2, 0)
h (1) =
f (0, 1) + f (1, 1) + f (2, 1)
h (2) =
f (0, 2) + f (1, 2) + f (2, 2)
¨
¨
Ornek
7.11. Ozel
bir ¸sirket, m¨
u¸sterilerine y¨
ur¨
uy¨
u¸s gezisi ve araba gezisi imkanı sunmaktadır. Rasgele bir
g¨
un se¸cildi˘ginde X rasgele de˘gi¸skeni y¨
ur¨
uy¨
u¸s gezisini, Y rasgele de˘gi¸skeni de araba gezisinin g¨
ostermek u
¨zere
birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonu


f (x, y) =

2
5
(2x + 3y) if
0
if
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x, y ∈ R
x∈
/ [0, 1] , y ∈
/ [0, 1]
ile tanımlanmaktadır. X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin marjinal olasılık fonksiyonunu bulunuz.
54
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um:
g (x)
Z
=
∞
f (x, y) dy =
1
0
−∞
2
(2x + 3y) dy
5
y=1
2
3 2 2xy + y 5
2 y=0
2
3
2x +
,0 ≤ x ≤ 1 ⇒
5
2

 2 2x + 3 if 0 ≤ x ≤ 1, x ∈ R
5
2

0
if
x∈
/ [0, 1] ,
=
=
g (x)
Z
=
Z
h (y) =
∞
f (x, y) dx =
Z
0
−∞
1
2
(2x + 3y) dx
5
x=1
2
2 2
x + 3xy x=0 = (1 + 3y) , 0 ≤ y ≤ 1
5
5

 2 (1 + 3y) if 0 ≤ y ≤ 1, y ∈ R
5

0
if
y∈
/ [0, 1] ,
=
h (y) =
¨
Ornek
7.12. Bir m¨
uhendis ¸sehir merkezindeki bir d¨
ort yol a˘gzında sabahın erken saatlerinden ba¸slayarak
trafik modeli u
¨zerine ¸calı¸smaktadır. M¨
uhendis g¨
ozleme sabah 5:30 da ba¸slamaktadır. X, kuzey-g¨
uney y¨
on¨
unden
ilk aracın varı¸s zamanını g¨
ostersin. Y, do˘gu-batı y¨
on¨
unden ilk aracın varı¸s zamanını g¨
ostersin. Zaman saat
5:30 dan sonra saatin kesirleriyle ¨
ol¸cu
¨lmektedir. (X,Y) s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni i¸cin yo˘gunluk fonksiyonu
f (x, y) =
1
,0 < y < x < 1
x
ile verilsin. X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin marjinal olasılık fonksiyonunu bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
g (x)
=
Z
∞
f (x, y) dy =
h (y) =
∞
x
1
1
dy = y|y=x
=1
x
x y=0
1
1
x=1
dx = ln x|x=y = − ln y
x
0
−∞
Z
Z
f (x, y) dx =
−∞
Z
y
¨
Ornek
7.13. X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonu

 1 (6 − x − y) if 0 ≤ x ≤ 2, 2 < y ≤ 4, x, y ∈ R
8
f (x, y) =

0
if
x∈
/ [0, 2] , y ∈
/ (2, 4]
olmak u
¨zere
(i) P (X ≤ 1, Y ≤ 3) olasılı˘gını hesaplayınız
(ii) P (X + Y ≤ 3) olasılı˘gını hesaplayınız
(iii) X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin marjinal olasılık fonksiyonunu bulunuz.
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
Z
Z
1
3
Z
1
Z
3
1
(6 − x − y) dydx
−∞ −∞
0
2 8
y=3
Z
Z 1
1 1
y 2 7
1
6y − xy − dx =
− x dx
8 0
2 y=2
16 8
0
x=1
3
7
1 x − x2 =
16
16 x=0 8
P (X ≤ 1, Y ≤ 3) =
=
=
f (x, y) dydx =
¨
(ii) Oncelikle
A = {X + Y ≤ 3 : 0 ≤ X ≤ 2, 2 < Y ≤ 4} b¨olgesini belirleyelim:
y 3.4
3.2
3.0
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
0.0
0.1
0.2
P (X + Y ≤ 3) =
0.3
Z Z
0.5
0.6
f (x, y) dxdy =
A
=
1
8
Z
1
0
6y − xy −
Z
1
Z
0.7
3−x
0
2
2 y=3−x
y 2 y=2
0.8
0.9
Z
1
g (x)
=
Z
∞
−∞
=
h (y) =
=
f (x, y) dy =
Z
2
4
1.0
x
1
(6 − x − y) dydx
8
dx
!
2
(3 − x)
6 (3 − x) − x (3 − x) −
− 12 + 2x + 2 dx
2
0
x=1
Z 1 1 1 2
7
1 1 3
7 5
2
=
x − 4x +
dx =
x − 2x + =
8 0
2
2
8 6
2 x=0
24
1
=
8
(iii)
0.4
1
(6 − x − y) dy
8
y=4
1
y2 3 1
6y − xy − = − x
8
2 y=2 4 4
Z ∞
Z 2
1
f (x, y) dx =
(6 − x − y) dx
−∞
0 8
x=2
1
x2
5 1
6x −
− xy = − y
8
2
4 4
x=0
55
56
1. OLASILIK
Tanım 7.14. X ve Y kesikli veya s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenleri olmak u
¨zere X = x verildi˘gine Y rasgele
de˘gi¸skeninin ko¸sullu da˘gılım fonksiyonu
f (y|x) =
f (x, y)
, g (x) > 0
g (x)
ve Y = y verildi˘ginde X rasgele de˘gi¸skeninin ko¸sullu da˘gılım fonksiyonu
f (x|y) =
f (x, y)
, h (y) > 0
h (y)
ile tanımlanır. Buna g¨
ore X = x verildi˘ginde Y kesikli rasgele de˘gi¸skeninin c ≤ Y ≤ d ko¸sulunu sa˘glaması
olasılı˘gı
X
P (c ≤ Y ≤ d | X = x) =
f (y|x)
c≤y≤d
X = x verildi˘ginde Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin c ≤ Y ≤ d ko¸sulunu sa˘glaması olasılı˘gı
Z
P (c ≤ Y ≤ d | X = x) =
d
f (y|x) dy
c
¸seklinde tanımlanır. Benzer ¸sekilde Y = y verildi˘ginde X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin a ≤ X ≤ b ko¸sulunu
sa˘glaması olasılı˘gı
X
P (a ≤ X ≤ b | Y = y) =
f (x|y)
a≤x≤b
Y = y verildi˘ginde X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin a ≤ X ≤ b ko¸sulunu sa˘glaması olasılı˘gı
P (a ≤ X ≤ b | Y = y) =
Z
b
f (x|y) dx
a
olarak tanımlanır.
¨
Ornek
7.15. 2 renkli kalem, 3 mavi, 2 kırmızı ve 3 ye¸sil kalemin oldu˘gu bir kutudan se¸cilecektir.E˘ger X rasgele
de˘gi¸skeni mavi kalem se¸cimini, Y ise kırmızı kalem se¸cimini g¨
osterirse 1 kırmızı kalem se¸cildi˘gi bilindi˘gine g¨
ore
hi¸c mavi kalem se¸cilmeme olasılı˘gı ve 1 mavi kalem se¸cilme olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
f (x, y)
y − kırmızı
0
1
2
g (x)
x − mavi
h(y)
0
1
3!
1!∗2!
28
=
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
2!
0!∗2!
28
3
28
+
g (0)
=
1
28
3
14
+
2
3!
3!
2!∗1! ∗ 2!∗1!
3
28
=
28
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
3
14
=
=
3!
2!∗1!
9
28
3
14
28
=
5
14
9
28
3
28
0
0
1
28
=
0
+
g (1)
3
14
+0=
15
28
3
28
+0+0=
g (2)
3
28
3
9
3
15
28 + 28 + 28 = 28 = h (0)
3
3
3
14 + 14 + 0 = 7 = h (1)
1
1
28 + 0 + 0 = 28 = h (2)
15
3
1
28 + 7 + 28 = 1
5
15
3
14 + 28 + 28 = 1
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
57
P (X = 0|Y = 1) =?
P (X = 0|Y = 1) = f (0|1) =
P (X = 0|Y = 1) =
f (0, 1)
h (1)
3/14
1
= = 0.50
3/7
2
P (X = 1|Y = 1) =?
P (X = 1|Y = 1) = f (1|1) =
P (X = 1|Y = 1) =
f (1, 1)
h (1)
3/14
1
= = 0.50
3/7
2
x
0
1
2
f (x|1)
1
2
1
2
0
¨
Ornek
7.16. Bir atom ¸cekirde˘ginin par¸calanması deneyinde X rasgele de˘gi¸skeni de˘gi¸sen sıcaklı˘gı, Y rasgele
de˘gi¸skeni ise atom par¸cacı˘gındaki de˘gi¸sen spektrum oranını g¨
ostermek u
¨zere, (X, Y ) rasgele de˘gi¸skenleri i¸cin
birle¸sik olasılık da˘gılım

 10xy 2
f (x, y) =

0
if
otherwise
0 < x < y < 1, x, y ∈ R
olarak veriliyor.
(i) g (x) , h (y) marjinal olasılık fonksiyonunu bulup f (y|x) ko¸sullu da˘gılım fonksiyonunu hespalayınız.
(ii) Sıcaklı˘gın 0.25 birim oldu˘gu bilindi˘ginde atom par¸cacı˘gının de˘gi¸sen spektrum oranı yarıdan fazla olma
olasılı˘gı nedir?
58
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
g (x)
=
=
Z
Z
∞
f (x, y) dy
−∞
1
10xy 2 dy
x
y=1
10
x y 3 y=x
3
10
=
x 1 − x3 , 0 < x < 1
3

 10 x 1 − x3 if 0 < x < 1, x ∈ R
3
g (x) =

0
if
x∈
/ (0, 1) ,
Z ∞
Z y
h (y) =
f (x, y) dx =
10xy 2 dx
=
−∞
2
0
x=y
x2 x=0
= 5y

 5y 4
h (y) =
 0
f (y|x)
if
if
= 5y
2
y2 , 0 < y < 1
0 < y < 1, y ∈ R
y∈
/ (0, 1) ,
10xy 2
10
3
3 x (1 − x )
=
f (x, y)
=
g (x)
=
3y 2
, 0 < x < y < 1, x, y ∈ R
(1 − x3 )
(ii)
P (Y > 0.5 | X = 0.25) =
Z
1
f (y|x = 0.25) dy
0.5
Z 1
=
3y 2
dy
3
0.5 (1 − 0.25 )
y=1
0.984 38 ∗ y 3 y=0.5
=
0.861 33
=
=
0.984 38 ∗ 1 − 0.53
¨
Ornek
7.17. Birle¸sik olasılık da˘gılım fonksiyonu
f (x, y) =
olarak verildi˘gine g¨
ore



x(1+3y 2 )
4
if
0
otherwise
0 < x < 2, 0 < y < 1, x, y ∈ R
(i) g (x) , h (y) marjinal olasılık fonksiyonunu bulup f (x|y) ko¸sullu da˘gılım fonksiyonunu hespalayınız.
(ii) P 14 < X < 12 |Y = 13 olasılı˘gı nedir?
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
59
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
g (x)
=
Z
∞
f (x, y) dy
−∞
x 1 + 3y 2
=
dy
4
0
y=1
1
=
x y + y 3 y=0
4
1
=
x (2) , 0 < x < 2
4

 1 x if 0 < x < 2, x ∈ R
2
g (x) =
 0 if
x∈
/ (0, 2) ,
Z ∞
Z 2
x 1 + 3y 2
h (y) =
f (x, y) dx =
dx
4
−∞
0
1 + 3y 2 2 x=2
1 + 3y 2
=
x x=0 =
∗ 22 , 0 < y < 1
8
8

 (1+3y2 ) if 0 < y < 1, y ∈ R
2
h (y) =

0
if
y∈
/ (0, 1) ,
Z
f (x|y)
1
x(1+3y 2 )
4
(1+3y 2 )
2
=
f (x, y)
=
h (y)
=
x
, 0 < x < 2, 0 < y < 1, x, y ∈ R
2
(ii)
P
1
1
1
< X < |Y =
4
2
3
=
Z
1/2
1/4
=
Z
=
=
=
1
f x|y =
dx
3
1/2
x
dx
1/4 2
x=1/2
1
∗ x2 x=1/4
4
1
1
1
∗
− 2
4
22
4
3
= 4. 687 5 × 10−2
64
¨
Ornek
7.18. X ve Y kesikli rasgele de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonu
X/Y
1
3
5
1
0.05 0.05 0
2
0.05 0.1
3
0.1
0.2
0.35 0.1
60
1. OLASILIK
olarak verilsin.
(i) g (x) , h (y) marjinal olasılık fonksiyonunu bulunuz
(ii) P (Y = 3|X = 2) olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
g (1) =
f (1, 1) + f (1, 3) + f (1, 5) = 0.1
g (2) =
f (2, 1) + f (2, 3) + f (2, 5) = 0.35
g (3) =
f (3, 1) + f (3, 3) + f (3, 5) = 0.55
h (1) =
f (1, 1) + f (2, 1) + f (3, 1) = 0.2
h (3) =
f (1, 3) + f (2, 3) + f (3, 3) = 0.5
h (5) =
f (1, 5) + f (2, 5) + f (3, 5) = 0.3
(ii)
P (Y = 3|X = 2) = f (3|2) =
f (3, 2)
0.1
=
= 0.28571
g (2)
0.35
Tanım 7.19. X ve Y kesikli veya s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenler, f (x, y) birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonu,
g (x) , h (y) marjinal olasılık fonksiyonları olmak u
¨zere
f (x, y) = g (x) h (y)
ko¸sulu sa˘glanıyorsa, X ve Y rasgele de˘gi¸skenlerine istatiksel ba˘gımsızdır denir.
¨
7.20. 2 renkli kalem, 3 mavi, 2 kırmızı ve 3 ye¸sil kalemin oldu˘gu bir kutudan se¸cilecektir.E˘ger X
Ornek
rasgele de˘gi¸skeni mavi kalem se¸cimini, Y ise kırmızı kalem se¸cimini g¨
osterirse, X ve Y rasgele de˘gi¸skenlerinin
istatiksel ba˘gımsız olmadı˘gını g¨
osteriniz.
C
¸ ¨oz¨
um:
f (0, 1) =
3
14
5
14
3
h (1) = f (0, 1) + f (1, 1) + f (2, 1) =
7
5 3
15
3
g (0) ∗ h (1) =
∗ =
6=
= f (0, 1)
14 7
98
14
g (0) = f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2) =
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
61
¨
Ornek
7.21. X ve Y kesikli rasgele de˘gi¸skenleri ba˘gımsızdır ve marjinal olasılık fonksiyonları a¸sa˘gıdaki gibi
verilmi¸stir:
x
1
2
g (x) 0.6
0.4
y
10
15
0.5
0.3
5
h (y) 0.2
Buna g¨
ore X ve Y kesikli rasgele de˘gi¸skenlerinin f (x, y) birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonunu bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
f (x, y)
x
y
1
5
h(y)
2
h (5) ∗ g (1) =
h (5) = 0.2
h (10) ∗ g (2) =
h (10) = 0.5
h (15) ∗ g (2) =
h (15) = 0.3
0.2 ∗ 0.6 = 0.12
0.2 ∗ 0.4 = 0.08
0.5 ∗ 0.6 = 0.3
0.5 ∗ 0.4 = 0.2
10
h (10) ∗ g (1) =
15
h (15) ∗ g (1) =
g(x)
h (5) ∗ g (2) =
0.3 ∗ 0.6 = 0.18
g (1) = 0.6
0.3 ∗ 0.4 = 0.12
g (2) = 0.4
Tanım 7.22. X1 , X2 , ..., Xn kesikli rasgele de˘gi¸skenlerinin olasılık yo˘gunluk fonksiyonu (probability mass
function - pmf ) a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glayan f (x1 , x2 , ..., xn ) = P (X1 = x1 , X2 = x2 , ..., Xn = x2 ) fonksiyonudur.
(i) f (x1 , x2 , ..., xn ) ≥ 0
P P
P
(ii) x1 x2 ... xn f (x1 , x2 , ..., xn ) = 1
A ⊂ Rn bir b¨
olge olmak u
¨zere P ((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ A) =
P
(x,y)∈A
f (x1 , x2 , ..., xn ) olarak da verilir.
Tanım 7.23. X1 , X2 , ..., Xn s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin olasılık yo˘gunluk fonksiyonu (probability mass
function - pmf ) a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glayan f (x1 , x2 , ..., xn ) = P (X1 = x1 , X2 = x2 , ..., Xn = x2 ) fonksiyonudur.
(i) f (x1 , x2 , ..., xn ) ≥ 0
R∞ R∞
R∞
(ii) −∞ −∞ ... −∞ f (x1 , x2 , ..., xn ) dx1 dx2 ...dxn = 1
A ⊂ Rn bir b¨
olge olmak u
¨zere P ((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ A) =
ilir.
RR
...
R
A
f (x1 , x2 , ..., xn ) dx1 dx2 ...dxn olarak da ver-
62
1. OLASILIK
Tanım 7.24. rasgele de˘gi¸skenlerinden biri sabit tutulup sadece di˘geri u
¨zerinden hesaplanan olasılı˘ga marjinal
olasılık denir. X1 , X2 , ..., Xn kesikli rasgele de˘gi¸skenlerinin marjinal olasılık fonksiyonları
X
g (x1 ) =
...
x2
X
g (x1 , x2 ) =
X
f (x1 , x2 , ..., xn )
xn
...
x3
g (x1 , x2 , x3 ) =
X
X
f (x1 , x2 , ..., xn )
xn
...
x4
X
f (x1 , x2 , ..., xn )
xn
...
X1 , X2 , ..., Xn s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin marjinal olasılık fonksiyonları
g (x1 ) =
g (x1 , x2 ) =
g (x1 , x2 , x3 ) =
Z
∞
−∞
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Z
∞
−∞
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
...
...
...
Z
∞
−∞
Z ∞
−∞
Z ∞
f (x1 , x2 , ..., xn ) dx2 ...dxn
f (x1 , x2 , ..., xn ) dx3 ...dxn
f (x1 , x2 , ..., xn ) dx4 ...dxn
−∞
olarak tanımlanır.
Tanım 7.25. X1 , X2 , ..., Xn kesikli veya s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenleri olmak u
¨zere X4 = x4 , X5 = x5 , ..., Xn =
xn verildi˘gine X1 , X2 , X3 rasgele de˘gi¸skeninin ko¸sullu da˘gılım fonksiyonu
f (x1 x2 x3 |x4 , x5 , ..., xn ) =
f (x1 , x2 , ..., xn )
, g (x4 , x5 , ..., xn ) > 0
g (x4 , x5 , ..., xn )
olarak tanımlanır.
Tanım 7.26. X1 , X2 , ..., Xn kesikli veya s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenler, f (x1 , x2 , ..., xn ) birle¸sik olasılık yo˘gunluk
fonksiyonu, g1 (x1 ) , g2 (x2 ) , ..., gn (xn ) marjinal olasılık fonksiyonları olmak u
¨zere
f (x1 , x2 , ..., xn ) = g1 (x1 ) g2 (x2 ) ...gn (xn )
ko¸sulu sa˘glanıyorsa, X1 , X2 , ..., Xn rasgele de˘gi¸skenlerine istatiksel ba˘gımsızdır denir.
¨
Ornek
7.27. Bir u
¨r¨
un¨
un raf ¨
omr¨
u a¸sa˘gıdaki yo˘gunluk fonksiyonu ile verilir:

 e−x
f (x) =
 0
if
otherwise
x > 0, x ∈ R
Buna g¨
ore marketten se¸cilen 3 u
¨r¨
unden 1.sinin 2 aydan az, 2.sinin 1 ile 3 ay, 3. s¨
un¨
unde 2 aydan fazla olma
olasılı˘gı neidr? P (X1 < 2, 1 < X2 < 3, X3 > 2) =?
˘
1. BIRLES
¸ IK OLASILIK DAGILIMI
(JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS)
63
C
¸ ¨oz¨
um:
P (X1 < 2, 1 < X2 < 3, X3 > 2) =
Z
0
=
=
=
=
2
Z
3
1
Z
∞
e−x1 e−x2 e−x3 dx1 dx2 dx3
2
−x1 x1 =2
e
x1 =0
x2 =3
x3 =∞
e−x2 x2 =1 e−x3 x3 =2
− 1 − e−2 e−1 − e−3 −e−2
1 − e−2 ∗ e−1 − e−3 ∗ e−2
−
0.0372
64
8
1. OLASILIK
Rasgele de˘
gi¸skenlerinin beklenen de˘
geri (Mathematical Expextation of random variable)
Benzin ¸sirketi, benzinin varlı˘gı i¸cin belli b¨olgelerde sondaj ¸calı¸smaları yapmaktadır. C
¸ alı¸smada kullanılan
makineler 2,3 ve 4 er saate sondaj ¸calı¸smlarını bitirirken bunların i¸slemin sonucunda petrol bulma olasılıkları 0.1,
0.7 ve 0.2 olarak belirleniyor. S¸irket tek bir makineyle de ¸calı¸smadı˘gına g¨ore 10 makine ile ¸calı¸sılırsa ortalama
olarak ka¸c saatte petrol bulma i¸slemi ger¸cekle¸sir sorusunun cevabını nasıl veririz?
Bunun i¸cin 1 makinenin bu u
¨¸c makineden biri olması durumunda ortalama ka¸c saatte bitirece˘
gimiz hesaplarız:
2 ∗ 0.1 + 3 ∗ 0.7 + 4 ∗ 0.2 = 3. 1
Bu hesaba g¨ore 1 makine i¸cin (bu u
¨¸c makineden biri olması durumunda) ortalam sondaj ¸calı¸smasını bitirme
s¨
uresi 3.1 saattir.
10 makine i¸cin ise 10 ∗ 3.1 = 31 saatte i¸slmeleri bitimi¸s oluruz. Bu de˘gere beklenen de˘ger (ortalama de˘
ger
-mean value)
˙ atı¸slta 6 gelirse kazanıyorsunuz. Ilk
˙ atı¸slta 6 gelmezse bir daha atıp, gelen zarı daha
Zar atıyorsunuz. Ilk
¨once gelen zarla topluyorsunuz. E˘ger iki zarın toplamı 6 ya da daha fazlaysa, oyunu kazanıyorsunuz. Yoksa,
bir defa daha zar atıyorsunuz. Attı¸sınız zarların toplamı 6 ya da daha fazla oldu˘gunda oyunu kazanıyorsunuz.
E˘ger zarların toplamı 6’dan k¨
u¸cu
¨kse bir defa daha atıyorsunuz. Zarların toplamı 6 ya da daha fazla olana dek
bunu b¨oylece s¨
urd¨
ur¨
uyorsunuz. Zarların toplamı 6 ya da daha fazla oldu˘gunda - sizi candan kutlarım! - oyunu
kazandınız...
Bu oyunu ortalama ka¸c hamlede kazanırsınız?
Oyun en az 1 hamle s¨
ur¨
uyor (ilk zar 6 gelirse); en ¸cok da 6 hamle (6 defa u
¨st¨
uste 1 gelirse). Yani en fazla
6 hamlede oyunu kazanaca˘gınızdan eminsiniz. Ama ben ortalama hamle sayısını soruyorum.
Diyelim bu oyunu 1 milyar kez oynadınız ve her seferinde ka¸cıncı hamlede kazandınınızı bir kˆ
ag˘ıda yazdınız.
Sonra skorlarınızı toplayıp, toplam oyun sayısı olan 1 milyara b¨old¨
un¨
uz. Ka¸c civarında bir sayı bulmayı u
¨mit
edersiniz?
˘ ¸ KENLERININ BEKLENEN DEGERI
˘
1. RASGELE DEGIS
(MATHEMATICAL EXPEXTATION OF RANDOM VARIABLE)
65
¨
Onceden
bir tahminde bulunmak gerekirse 2-3 arasında bir tahmin olduk¸ca makuld¨
ur.
Bulmamız gereken bu sayıya beklenti denir; “kazanan hamle sayısının beklentisi”.
1/6 olasılıkla ilk zar 6 gelir ve oyunu 1 hamlede kazanırız. Bu olgu, beklentiye
1/6 × 1
kadar katkı sa˘glar.
1/6 olasılıkla ilk zar 5 gelir ve ikinci atı¸sta oyunu kesinkes kazanırız; bu durumda oyun 2 hamlede biter. Bu
olgu, beklentiye
1/6 × 2
kadar katkı sa˘glar.
Peki ilk zar 4 gelirse ne olur? O zaman ikinci zar 2, 3, 4, 5, 6 gelirse kazanırız. Bu olayın olasılı˘
gı da
1/6 × 5/6’dır. Bu durumda oyun gene 2 hamlede kazanılır. Bu olgu, beklentiye
1/6 × 5/6 × 2
kadar katkı sa˘glar.
¨
Buna benzer hesapları her t¨
url¨
u kombinasyonla yapmak gerekir. Orne˘
gin 3-2-4 zarlarının olasılı˘
gı 1/63’dir
ve bu durumda oyun 3 hamlede biter. Bu olayın beklentiye katkısı,
1/63 × 3
t¨
ur. B¨
ut¨
un bu sayıları toplarsak oyunun ortalama ka¸c hamlede bitece˘gini buluruz.
Tanım 8.1. X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere X kesikli rasgele
de˘gi¸skeninin beklenti de˘geri (ortalama de˘geri- mean of a random variable)
X
µX = E [X] =
xf (x)
x
olarak tanımlanırken, X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere X s¨
urekli
rasgele de˘gi¸skeninin beklenti de˘geri
µX = E [X] =
olarak tanımlanır.
Z
∞
−∞
xf (x) dx
66
1. OLASILIK
¨
Ornek
8.2. Hilesiz bir zar atı¸sında X rastgele gelen de˘geri g¨
ostermek u
¨zere E [X] beklenen de˘geri nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
1
,
6
1
P (X = 2) = f (2) = ,
6
1
P (X = 3) = f (3) = ,
6
1
P (X = 4) = f (4) = ,
6
1
P (X = 5) = f (5) =
6
1
P (X = 6) = f (6) =
6
P (X = 1) = f (1) =
E [X] =
6
X
x=1
xf (x) = 1 ∗
1
1
1
1
1
1
+2∗ +3∗ +4∗ +5∗ +6∗
6
6
6
6
6
6
7
2
=
Burdan anlıca˘gımız, bir X rastgele de˘
gi¸skeninin gelmesi olasılı˘gı ortalama 7/2 atı¸stan sonra gelmektedir.
¨
Ornek
8.3. Bir para 3 kez atılsın. Bulunan turaların sayısı i¸cin beklenen de˘ger nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
S
YYY
YYT
YTY
TYY YTT
TYT
TTY TTT
X
0
1
1
1
2
2
2
3
P(X = x)
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
3
, f (1) = P (X = 1) =
8
8
3
1
f (2) = P (X = 2) = , f (3) = P (X = 3) =
8
8
X
3
3
1
3
1
E [X] =
xf (x) = 0 ∗ + 1 ∗ + 2 ∗ + 3 ∗ =
8
8
8
8
2
x
f (0) = P (X = 0) =
¨
Ornek
8.4. Bir oyuncu bir zar atar. E˘ger asal sayı gelirse gelen sayı kadar dolar kazanır, e˘ger asal sayı
gelmezse gelen sayı kadar dolar kaybeder. Oyunun beklenen de˘geri neidr?
C
¸ ¨oz¨
um:
E [X] = −1 ∗
2
3
5
1
6
1
6
1
6
−1 −4 −6
1
6
1
6
1
6
1
1
1
1
1
1
1
+2∗ +3∗ −4∗ +5∗ −6∗ =−
6
6
6
6
6
6
6
Bu beklenen de˘ger ile bu oyunun oyuncu i¸cin uygun olmadı˘gı sonucunu veya her durumda oyuncunun kesin
para kaybedece˘gi sonucunu ¸cıkarabiliriz.
˘ ¸ KENLERININ BEKLENEN DEGERI
˘
1. RASGELE DEGIS
(MATHEMATICAL EXPEXTATION OF RANDOM VARIABLE)
67
˙cinde u
¨
Ornek
8.5. I¸
¨¸c beyaz ve iki siyah top bulunan bir kavanozdan yerine koyarak rasgele iki top ¸cekilmi¸stir.
C
¸ ekilen her beyaz top i¸cin 100 lira kazanılacak ve ¸cekilen her siyah top i¸cin 50 lira kaybedilecektir.Oyunda
beklenen kar nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: B ile ¸cekilen beyaz topu, S ile ¸cekilen siyah topu g¨osterelim:
P (BB)
3
5
3
5
2
5
2
5
=
P (BS) =
P (SB) =
P (SS) =
3
5
2
∗
5
3
∗
5
2
∗
5
∗
200 ∗
E [X] =
=
=
=
=
=
9
25
9
(100 + 100 = +200)
25
6
(100 − 50 = +50)
25
6
(−50 + 100 = +50)
25
4
(−50 − 50 = −100)
25
6
6
4
+ 50 ∗
+ 50 ∗
− 100 ∗
25
25
25
80
¨
Ornek
8.6. X rasgele de˘gi¸skeni ilk (6,6) gelinceye kadar bir ¸cift zarın atı¸slarının sayısı olsun. Buna g¨
ore
beklenen de˘geri bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
X. atı¸sta gelmesi 1 (ilk atısta (6, 6) gelmesi) 2
1
36
P(X)
=1∗
P∞
n=0
xn =
3
4
35
36
=
35
36
d
dx
2
35
36
∗
1
6
36
... n
∗
1
36
...
35 n−1
36
∗
1
36
x
3
n−1
1
35 1
35
1
35
1
35
1
+2∗
∗ +3∗
∗
+4∗
∗
+ ... + n ∗
∗
+ ...
36
36 6
36
36
36
36
36
36
n−1
n−1
∞
∞
X
35
1
1 X
35
=
n∗
∗
=
n∗
36
36
36
36
n=1
n=1
1
1−x , x
∗ 16 35
36 ∗
X
E [X] =
xf (x)
35 3
serisini ele alalım. Seri x < 1 oldu˘gundan d¨
uzg¨
un yakınsaktır. Buna g¨
ore
∞
X
n=0
n
x
!
=
∞
X
n=1
n−1
nx
d
⇒
dx
1
1−x
=
∞
X
n=1
nxn−1 =
1
2
(x − 1)
o halde
E [X] =
sonucunu elde ederiz.
1
∗
36
1
35
36
−1
2 = 36
¨
Ornek
8.7. 3 u
¨ arızalı 7 u
¨r¨
un i¸cerisinden 3 u
¨r¨
un se¸cilecektir. Arızalı olmayan bir u
¨r¨
un¨
un beklenti de˘geri
nedir?
68
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um: X kesikli rasgele de˘gi¸skeni arızasız u
¨r¨
un¨
un se¸cilmesini g¨ostermek u
¨zere X kesikli rasgele de˘
gi¸skeninin
olasılık da˘gılım fonksiyonu
f (x) =
C4,x ∗ C3,3−x
⇒
C7,3
f (0) =
C4,0 ∗ C3,3
=
C7,3
4!
4!∗0!
f (1) =
C4,1 ∗ C3,2
=
C7,3
4!
3!∗1!
f (2) =
C4,2 ∗ C3,1
=
C7,3
4!
2!∗2!
f (3) =
C4,3 ∗ C3,0
=
C7,3
4!
1!∗3!
µX
=
=
=
∗
3!
0!∗3!
∗
3!
1!∗2!
∗
3!
2!∗1!
∗
3!
3!∗0!
7!
4!∗3!
7!
4!∗3!
7!
4!∗3!
7!
4!∗3!
=
1
35
=
12
35
=
18
35
=
4
35
E [X] = 0 ∗ f (0) + 1 ∗ f (1) + 2 ∗ f (2) + 3 ∗ f (3)
1
12
18
4
0∗
+1∗
+2∗
+3∗
35
35
35
35
12
= 1. 714 3
7
yani 3 u
¨ arızalı 7 u
¨r¨
un i¸cerisinden ortalama 1.7 civarında se¸cimden sonra arızasız u
¨r¨
un se¸cilir.
˙ randevusunda %70 oranında anla¸sma ya¨
Ornek
8.8. Bir satı¸s temsilcisi aynı g¨
unde 2 randevusu vardır. Ilk
paca˘gını ve anla¸sması durumunde 1000TL komisyon alacaktır. Di˘ger yandan 2. ¸sirketle %40 oranında anla¸sma
yapma olasılı˘gını oldu˘gu ve anla¸sma yapması durumunda ise 1500TL komisyon alacaktır. Buna g¨
ore beklenen
komisyon de˘geri nedir? Her bir randevunun birbirinden ba˘gımsız oldu˘gunu varsayınız.
C
¸ ¨oz¨
um: 4 t¨
url¨
u olaslılık vardır. 0TL kazanması, 1000TL, 1500TL ve 2500TL kazanması durumlarına g¨
ore
olaslık da˘gılım fonksiyonları:
f (0T L) =
(1 − 0.70) ∗ (1 − 0.40) = 0.18
f (1000T L) =
0.70 ∗ (1 − 0.40) = 0.42
f (1500T L) =
(1 − 0.70) ∗ 0.40 = 0.12
f (2500T L) =
0.70 ∗ 0.40 = 0.28
Buna g¨ore beklene komisyon de˘geri
µX
=
E [X] = 0 ∗ f (0T L) + 1000 ∗ f (1000T L)
+1500 ∗ f (1500T L) + 2500 ∗ f (2500T L)
=
0 ∗ (0.18) + 1000 ∗ 0.42
+1500 ∗ 0.12 + 2500 ∗ 0.28
=
1300T L
˘ ¸ KENLERININ BEKLENEN DEGERI
˘
1. RASGELE DEGIS
(MATHEMATICAL EXPEXTATION OF RANDOM VARIABLE)
69
¨
Ornek
8.9. Olasılık da˘gılım fonksiyonu
f (x) =



 0 if



x≤0
1 if
0<x<1
0 if
x≥1
olarak verilen X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
µX
=
=
E [X] =
Z
¨
Ornek
8.10. Olasılık da˘gılım fonksiyonu


f (x) =

∞
xf (x) dx
−∞
1
x ∗ 1dx
0
=
Z
x=1
x2 1
=
2 x=0
2
20000
x3
if
0
otherwise
x > 100, x ∈ R
olarak verilen X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
µX
=
=
=
=
E [X] =
Z
∞
Z
∞
xf (x) dx
−∞
20000
dx
x3
100
Z ∞
20000
dx
x2
100
x=∞
1
−20000 x
x
x=100
=
200
Tanım 8.11. X kesikli rasgele
de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere g (X) rasgele
de˘gi¸skeninin beklenti de˘geri
µg(X) = E [g (X)] =
X
g (x) f (x)
x
olarak tanımlanırken, X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere g (X) rasgele
de˘gi¸skeninin beklenti de˘geri
µg(X) = E [g (X)] =
olarak tanımlanır.
Z
∞
−∞
g (x) f (x) dx
70
1. OLASILIK
¨
Ornek
8.12. X rasgele de˘gi¸skenin olasılık da˘gılımı a¸sa˘gıdaki gibi veriliyor.
x
1
2
3
4
5
6
f (x) = P (X = x)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Buna g¨
ore E X 2 , E [2X] , E [2X − 1] beklenti de˘gerlerini hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
E X2 =
X
E [2X] =
x
E [2X − 1] =
1
2
3
4
5
6
f (x) = P (X = x)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
g (X) = X 2
1
1
6
2
2 =4 9
16 25 36
h(X) = 2X
2
4
6
8
10 12
q(X) = 2X − 1
1
3
5
7
9
g (x) f (x) = 1 ∗
X
x
x
1
1
1
1
1
91
1
+ 4 ∗ + 9 ∗ + 16 ∗ + 25 ∗ + 36 ∗ =
6
6
6
6
6
6
6
h (x) f (x) = 2 ∗
X
x
11
1
1
1
1
1
1
+ 4 ∗ + 6 ∗ + 8 ∗ + 10 ∗ + 12 ∗ = 7
6
6
6
6
6
6
q (x) f (x) = 1 ∗
1
1
1
1
1
1
+ 3 ∗ + 5 ∗ + 7 ∗ + 9 ∗ + 11 ∗ = 6
6
6
6
6
6
6
¨
Ornek
8.13. G¨
une¸sli bir cuma g¨
un¨
u, saat 16:00-17:00 arası araba yıkamaya giden arabaların sayısı X olmak
u
¨zere olasılık da˘gılımı a¸sa˘gıdaki gibi veriliyor:
x
4
5
6
7
8
9
f (x) = P (X = x)
1
12
1
12
1
4
1
4
1
6
1
6
g (X) = 5 (2X − 1) ile arabaların odemi¸s oldukları u
¨cret verilmektedir.Verilen bu zaman diliminde kazanılması
beklenen para miktarı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
µg(X)
=
E [g (X)] =
9
X
g (x) f (x)
x=4
=
=
1
1
+ 5 ∗ (2 ∗ 5 − 1) ∗
12
12
1
1
+5 ∗ (2 ∗ 6 − 1) ∗ + 5 ∗ (2 ∗ 7 − 1) ∗
4
4
1
1
+5 ∗ (2 ∗ 8 − 1) ∗ + 5 ∗ (2 ∗ 9 − 1) ∗
6
6
190
= 63.333
3
5 ∗ (2 ∗ 4 − 1) ∗
˘ ¸ KENLERININ BEKLENEN DEGERI
˘
1. RASGELE DEGIS
(MATHEMATICAL EXPEXTATION OF RANDOM VARIABLE)
71
¨
Ornek
8.14. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılımı a¸sa˘gıdaki gibi veriliyor:
f (x) =


x2
3
−1 < x < 2
if
 0
otherwise
g (X) = 4X + 3 rasgele de˘gi¸skeninin beklentisi nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
µg(X)
=
E [g (X)] =
Z
=
Z
∞
g (x) f (x) dx
−∞
2
(4x + 3)
−1
x2
dx
3
x=2
1 3
x (x + 1)x=−1
3
1 3
∗ 2 ∗ 3 − (−1)3 (−1 + 1)
3
8
=
=
=
Tanım 8.15. X ve Y kesikli rasgele de˘gi¸skenler, f (x, y) birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonu olmak u
¨zere
g (X, Y ) rasgele de˘gi¸skeninin beklenti de˘geri
µg(X,Y ) = E [g (X, Y )] =
XX
x
g (x, y) f (x, y)
y
olarak tanımlanırken, X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenler, f (x, y) birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonu olmak
u
¨zere g (X, Y ) rasgele de˘gi¸skeninin beklenti de˘geri
µg(X,Y ) = E [g (X, Y )] =
Z
∞
−∞
Z
∞
g (x, y) f (x, y) dxdy
−∞
olarak tanımlanır.
¨
Ornek
8.16. X ve Y kesikli rasgele de˘gi¸skenlerin f (x, y) birle¸sik olasılık yo˘gunluk fonksiyonu a¸sa˘gıdaki gibi
verilsin:
f (x, y) x
y
0
1
2
0
3
28
3
14
1
28
9
28
3
14
3
28
0
0
0
1
2
Buna g¨
ore g (X, Y ) = XY rasgele de˘gi¸skeninin beklenti de˘gerini hesaplayınız.
72
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um:
µg(X,Y )
=
E [g (X, Y )] =
2 X
2
X
g (x, y) f (x, y)
x=0 y=0
=
(0) (0) f (0, 0) + (0) (1) f (0, 1) + (0) (2) f (0, 2)
+ (1) (0) f (1, 0) + (1) (1) f (1, 1) + (1) (2) f (1, 2)
=
=
+ (2) (0) f (2, 0) + (2) (1) f (2, 1) + (2) (2) f (0, 2)
3
3
1
+ (0) (1)
+ (0) (2)
(0) (0)
28
14
28
9
3
+ (1) (0)
+ (1) (1)
+ (1) (2) 0
28
14
3
+ (2) (1) 0 + (2) (2) 0
+ (2) (0)
28
3
= 0.214 29
14
¨
Ornek
8.17. X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılımı a¸sa˘gıdaki gibi veriliyor:

 x(1+3y2 )
if
0 < x < 2, 0 < y < 1, x, y ∈ R
4
f (x, y) =

0
otherwise
E Yx beklentisi nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
g(X,Y )
µg(X,Y )
=
Y
x
= E
=
=
=
=
g(X,Y )
=
Z
∞
−∞
Z
∞
g (x, y) f (x, y) dxdy
−∞
y x 1 + 3y 2
dydx
4
0
0 x
y=1
Z
1 2 y2
3y 4 +
dx
4 0 2
4 y=0
Z 1 2 1 3
+
dx
4 0
2 4
1
5
5
∗ 2 ∗ = = 0.625
4
4
8
Z
2
Z
1
9
Rasgele de˘
gi¸skenlerinin varyansı ve kovaryansı (Variance and Covariance of Random Variables)
X rasgele de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri (veya ortalama de˘geri) istatistikte ¸cok ¨onemlidir c¸u
¨nk¨
u olasılık
¨
da˘gılımının merkezini verir fakat da˘gılımın ¸sekli hakkında bize tam net bilgi vermemektedir. Orne˘
gin 1, 2, 3
˘ ¸ KENLERININ VARYANSI VE KOVARYANSI (VARIANCE AND COVARIANCE OF RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
73
numaralı makineler 1, 2, 3 saatte i¸si bitirme kapasitesine sahipken se¸cilme olasılı˘gı sırasıyla 0.25, 0.5, 0.25 iken
i¸sin bitme s¨
uresi ortalama olarak
E [X] = 1 ∗ 0.25 + 2 ∗ 0.5 + 3 ∗ 0.25 = 2
hesaplanırken ba¸ska bir deneyde 0, 1, 2, 3, 4 nolu makineler 0, 1, 2, 3, 4 saatte i¸si bitirme kapasitesine sahipken
se¸cilme olasılı˘gı sırasıyla 3/10, 3/20, 1/4, 1/4, 3/20 olarak verilirken i¸sin bitme s¨
uresi ortalama olarak
E [X] = 0 ∗
3
3
1
1
3
+1∗
+2∗ +3∗ +4∗
=2
10
20
4
4
20
olarak hesaplanmaktadır. Sonu¸cta her iki deneyde de ortalam i¸s bitirilme s¨
uresi 2 saattir. Ancak aynı ortalama
de˘geri bulmamıza ra˘gmen bu sonu¸c iki deneydeki de˘gerlerin de˘gi¸sme niteli˘gi veya da˘gılımı hakkında kesin bilgi
verememktedir.
y
y
0.5
0.3
0.4
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0.0
4.0
x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
x
Bir ba¸ska ¨ornek olarak ortalama 500$ lık gelir elde edice˘giniz bir i¸se yatırım yapıcaksınız. Buna g¨
ore 450$
yatırım yaptı˘gınızda %50 oranında , 550$ yatırım yaparkende %50 oranında bu geliri elde etme olasılı˘
gınız
var ki ortalama olarak 450 ∗
50
100
+ 550 ∗
50
100
= 500$ geliri elde etmi¸s oluyorsunuz. Bu durumda 50$ kazancı
%50 olasılıkla ve 50$ zarar i¸cinde %50 olasılı˘gınız vardır. O halde i¸se yatırım yapmada herhangi bir teredd¨
ut
ya¸samazsınız. Fakat ¸s¨oyle bir durum olsaydı : 0$ yatırım yaptı˘gınızda %50 oranında , 1000$ yatırım yaparkende
%50 oranında bu geliri elde etme olasılı˘gınız var ki ortalama olarak 0 ∗
50
100
+ 1000 ∗
50
100
= 500$ geliri elde etmi¸s
oluyorsunuz. Bu durumda 500$ kazancı %50 olasılıkla ve 500$ zarar i¸cinde %50 olasılı˘gınız vardır. O halde bu
i¸se yatırım yapmada pek ¸cok ki¸si teredd¨
ut ya¸sayabilir. Bunun i¸cin X rasgele de˘gi¸skeninin da˘gılım ¸sekline varyans
(de˘gi¸siklik) denilicek ve beklenen de˘ger ile standart sapmasının karesinin beklenen de˘geri olarak tanımlanıcak.
Tanım 9.1. X kesikli veya s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenler, f (x) olasılık yo˘gunluk fonksiyonu i¸cin, X in varyansı
(The variance of X)
2
σX
=
h
i X
2
2
V ar (X) = E (X − µx ) =
(x − µx ) f (x) , X kesikli ise,
x
2
σX
=
µx
=
h
i Z
2
V ar (X) = E (X − µx ) =
E [X] ,
∞
−∞
2
(x − µx ) f (x) dx, X s¨
urekli ise,
olarak tanımlanır. V ar (X) in pozitif karek¨
ok¨
une ise X in standart sapması (standard deviation of X) denir.
p
σX = V ar (X) → standart sapma
B¨
uy¨
uk standart sapma de˘gerleri X rastgele de˘gi¸skeninin µ ye g¨
ore daha geni¸s alana yayıldı˘gını, k¨
u¸cu
¨k olanlar
ise sa¸cılmanın daraldı˘gını g¨
osterir. Buradan da, bir ¨
ol¸cme uygulamasında standart sapmanın, sonu¸cların y¨
uksek
yada d¨
u¸su
¨n duyarlılık (precision) olarak yorumlanmasına sebep olmaktadır..
74
1. OLASILIK
¨
Ornek
9.2. Bir para u
¨¸c kez atıldı˘gında gelebilecek turaların sayısını X rasgele de˘gi¸skeni ile g¨
osterelim. Buna
g¨
ore Varyansı ve standart sapmayı hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
S
YYY
YYT
YTY
TYY YTT
TYT
TTY TTT
X
0
1
1
1
2
2
2
3
P(X = x)
1
8
1
8
1
8
3
8
1
8
1
8
1
8
3
8
1
8
1
8
1
8
1
8
f (x)
⇒ µx = E [X] = 0 ∗
X
0
f (x)
1
8
2
(x − µx )
(x − µx )2 f (x)
1
3 2
−2
9
4
1
3
3
1
3
+1∗ +2∗ +3∗ =
8
8
8
8
2
∗
1
8
2
σX
= V ar (X) =
2
3
8
9
4
9
32
1−
=
=
X
x
1
4
2
3
8
∗
3 2
=
3
8
=
1
4
σX =
2−
3
32
(x − µx )2 f (x) =
r
3
1
4
∗
3
8
3 2
2
=
1
8
=
3
32
1
4
3−
9
4
∗
1
8
3 2
2
=
=
9
4
9
32
9
3
3
9
3
+
+
+
=
32 32 32 32
4
√
3
3
=
4
2
¨
Ornek
9.3. X rasgele
de˘gi¸skeni, bir firmada i¸s-g¨
unlerinde ofis i¸sleri i¸cin kullanılan arabaların sayısını
g¨
ostermek u
¨zere A firması i¸cin olasılık da˘gılım fonksiyonu
x
1
2
3
f (x)
0.3 0.4 0.3
B firması i¸cin olasılık da˘gılım fonksiyonu
x
0
1
2
3
4
f (x)
0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
olarak verildi˘gine g¨
ore B ¸sirketi i¸cin olasılık da˘gılımın varyansının A ¸sirketinde b¨
uy¨
uk oldu˘gunu g¨
osteriniz.
˘ ¸ KENLERININ VARYANSI VE KOVARYANSI (VARIANCE AND COVARIANCE OF RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
75
C
¸ ¨oz¨
um: Aslında da˘gılım fonksiyonundan da g¨or¨
ulece˘gi u
¨zere B ¸sirketinde kullanılan otomobillerin ¸ce¸sitlili˘
gi
(varyansı) A ¸sirketinden daha fazladır ancak ¸simdi bunu formulune g¨ore g¨osterelim.
A ¸sirketi i¸cin ¨oncelikle µ = E [X] beklenen de˘gerini bulalım:
µ = E [X] = 1 ∗ 0.3 + 2 ∗ 0.4 + 3 ∗ 0.3 = 2
Buna g¨ore A ¸sirketi i¸cin varyans
3
h
i X
(x − µ)2 f (x)
E (X − µ)2 =
V ar (X) =
x=1
2
2
2
2
2
2
=
(1 − 2) f (1) + (2 − 2) f (2) + (3 − 2) f (3)
=
(1 − 2) ∗ 0.3 + (2 − 2) ∗ 0.4 + (3 − 2) ∗ 0.3
=
0.6
B ¸sirketi i¸cin ¨oncelikle µ = E [X] beklenen de˘gerini bulalım:
µ = E [X] = 0 ∗ 0.2 + 1 ∗ 0.1 + 2 ∗ 0.3 + 3 ∗ 0.3 + 4 ∗ 0.1 = 2
Buna g¨ore B ¸sirketi i¸cin varyans
4
h
i X
2
2
V ar (X) = E (X − µ) =
(x − µ) f (x)
x=0
= (0 − 2)2 f (0) + (1 − 2)2 f (1) + (2 − 2)2 f (2) + (3 − 2)2 f (3) + (4 − 2)2 f (4)
2
2
2
2
2
= (0 − 2) ∗ 0.2 + (1 − 2) ∗ 0.1 + (2 − 2) ∗ 0.3 + (3 − 2) ∗ 0.3 + (4 − 2) ∗ 0.1
= 1.6
Teorem 9.4. X kesikli veya s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenler, f (x) olasılık yo˘gunluk fonksiyonu i¸cin
V ar (X) = E X 2 − µ2
e¸sitli˘gi sa˘glanır.
ˆ
Ispat:
X kesikli ise
V ar (X) =
=
h
i X
E (X − µ)2 =
(x − µ)2 f (x) ,
X
x
=
X
x
=
x
x − 2µx + µ2 f (x) , µ − sabit
2
x2 f (x) − 2µ
E X
2
X
|
x
xf (x) + µ2
{z
}
=µ=E[X]
− 2µ2 + µ2 = E X
X
x
f (x) (f (x) − olasılık − yo˘
g unluk − f onksiyonu)
| {z }
=1
2
− µ2
76
1. OLASILIK
X s¨
urekli ise
h
i Z
2
V ar (X) = E (X − µ) =
Z
=
−∞
∞
=
−∞
∞
Z
−∞
∞
x2 − 2µx + µ2 f (x) dx, µ − sabit
x2 f (x) dx − 2µ
= E X
2
(x − µ) f (x) dx
2
Z
Z ∞
xf (x) dx + µ2
f (x) dx (f (x) − pdf )
−∞
−∞
|
{z
}
|
{z
}
∞
=1
=µ=E[X]
− 2µ + µ = E X 2 − µ2
2
2
¨
Ornek
9.5. X bir makinenin bozuk olan par¸calarını g¨
ostermek u
¨zere, a¸sa˘gıdaki olasılık yo˘gunluk fonksiyonuna
sahiptir. Buna g¨
ore V ar (X) de˘gerini hesaplayınız.
x
0
1
2
f (x)
0.51 0.38 0.1
3
0.01
C
¸ ¨oz¨
um: I.Yol:
x
0
1
2
3
f (x)
0.51
0.38
0.1
0.01
x ∗ f (x)
0 ∗ 0.51 = 0
1 ∗ 0.38 = 0.38
2 ∗ 0.1 = 0.2
3 ∗ 0.01 = 0.03
µx = E [X] = 0 + 0.38 + 0.2 + 0.03 = 0.61
2
(x − µx )
2
2
(0 − 0.61) = 0.3721
2
(1 − 0.61) = 0.1521
2
(2 − 0.61) = 1.932 1
2
(3 − 0.61) = 5. 712
(x − µx ) f (x) 0.51 ∗ 0.3721 = 0.189 77 0.38 ∗ 0.1521 = 5. 779 8 × 10−2 0.1 ∗ 1.932 1 = 0.193 21 0.01 ∗ 5. 7121 = 5. 7
h
i P
V ar (X) = E (X − µX )2 = 4x=0 (x − µx )2 f (x) = 0.189 77 + 5. 779 8 × 10−2 + 0.193 21 + 5. 7121 × 1
V ar (X) = 0.4979
II.Yol-Teorem 9.4 ı kullanarak :
x
0
1
2
3
f (x)
0.51
0.38
0.1
0.01
x ∗ f (x)
0 ∗ 0.51 = 0 1 ∗ 0.38 = 0.38 2 ∗ 0.1 = 0.2 3 ∗ 0.01 = 0.03
µx = E [X] = 0 + 0.38 + 0.2 + 0.03 = 0.61
2
0
2
0.51 ∗ 0 = 0 0.38 ∗ 1 = 0.38 0.1 ∗ 4 = 0.4 0.01 ∗ 9 = 0.09
E X 2 = 0 + 0.38 + 0.4 + 0.09=0.87
V ar (X) = E X 2 − µ2X = 0.87 − 0.612=0.497 9
x
x ∗f (x)
1
4
9
¨
Ornek
9.6. D¨
uzg¨
un 6 y¨
uzl¨
u bir zar atıldı˘gında u
¨st y¨
uzde g¨
or¨
un¨
ucek sayı X olmak u
¨zere Var(X) de˘gerini
hesaplayınız.
˘ ¸ KENLERININ VARYANSI VE KOVARYANSI (VARIANCE AND COVARIANCE OF RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
77
C
¸ ¨oz¨
um:
x
f (x) = P (X = x)
1
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
2
3
4
5
6
x2 ∗f (x)
x ∗ f (x)
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
12 ∗
22 ∗
32 ∗
2
4 ∗
2
5 ∗
T oplam : µx = E [X] =
21
6
62 ∗
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
4
6
9
6
16
6
25
6
36
6
=
=
=
=
=
=
T oplam : E X 2 =
91
6
91 21
35
2
σX
= V ar (X) = E X 2 − µ2X =
−
=
6
6
3
˙cinde 1 den N ye kadar numaranmı¸s N top bulunan bir kavanozdan rasgele bir top se¸ciliyor. X
¨
Ornek
9.7. I¸
rasgele de˘gi¸skeni top u
¨zerindeki sayı olsun. Buna g¨
ore E [X] , E X 2 ve Var(X) de˘gerlerini hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
x
f (x) = P (X = x)
1
1
N
1
N
x ∗ f (x)
x2 ∗f (x)
22 ∗
..
.
1
N
2
N
2
..
.
..
.
..
.
N
1
N
N
N
12 ∗
1
N
1
N
N2 ∗
1+2+...+N
N
N +1
2
T oplam : µx = E [X] =
=
N (N +1)
2N
=
1
N
T oplam : E X 2
12 +22 +...+N 2
N
+1)/6
= N (N +1)(2N
N
+1)
= (N +1)(2N
6
=
2
(N + 1) (2N + 1) (N + 1)
1 2
1
2
σX
= V ar (X) = E X 2 − µ2X =
−
=
N −
6
4
12
12
˙cme suyu u
˙
¨
Ornek
9.8. I¸
¨reten bir ¸sirketin Istanbul
¸subesindeki haftalık depo ihtiya¸cları X s¨
urekli rasgele
de˘gi¸skeni olarak g¨
osterirsek, olasılık da˘gılım fonksiyonu

 2 (x − 1)
if
f (x) =

0
otherwise
1 < x < 2, x ∈ R
olarak verilir. Buna g¨
ore X rasgele de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri (ortalama olarak ihtiyacı) ve varyansını
bulunuz.
78
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um: 1.yol:
µ =
E [X] =
Z
∞
xf (x) dx =
V ar (X) =
=
=
=
2
x ∗ 2 (x − 1) dx
1
−∞
=
Z
x=2
1 2
4
1
5
x (2x − 3)
= − −
=
3
3
3
3
x=1
h
i Z ∞
E (X − µ)2 =
(x − µ)2 f (x) dx
−∞
2
5
x−
∗ 2 (x − 1) dx
3
1
x=2
1 4 26 3 55 2 50 x − x + x − x
2
9
9
9 x=1
16
11
1
− − −
=
9
6
18
Z
2
2.Yol
µ =
E [X] =
Z
∞
xf (x) dx =
1
−∞
=
E X2 =
=
V ar (X) =
Z
2
x ∗ 2 (x − 1) dx
x=2
1 2
4
1
5
= − −
x (2x − 3)
=
3
3
3
3
x=1
Z ∞
Z 2
x2 f (x) dx =
x2 ∗ 2 (x − 1) dx
1
−∞
x=2
8
1
17
1 3
= − −
x (3x − 4)
=
6
3
6
6
x=1
2
17
5
1
E X 2 − µ2 =
−
=
6
3
18
Tanım 9.9. X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere g (X) rasgele de˘gi¸skeninin
varyansı
V ar (g (X)) = E
h
g (X) − µg(X)
2 i
=
X
x
g (X) − µg(X)
2
f (x)
olarak tanımlanırken, X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere g (X) rasgele
de˘gi¸skeninin varyansı
V ar (g (X)) = E
h
g (X) − µg(X)
olarak tanımlanır. Burada µg(X) = E [g (X)] dır.
2 i
=
Z
∞
−∞
g (X) − µg(X)
2
f (x) dx
¨
Ornek
9.10. X rasgele de˘gi¸skeni olmak u
¨zere g (X) = 2X +3 ratlantı de˘gi¸skenin varyansını a¸sa˘gıdaki olasılık
da˘gılım fonksiyonu ile birlikte hespalayınız.
x
0
1
2
3
f (x)
1
4
1
8
1
2
1
8
˘ ¸ KENLERININ VARYANSI VE KOVARYANSI (VARIANCE AND COVARIANCE OF RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
79
C
¸ ¨oz¨
um:
x
0
1
2
3
f (x)
1
4
1
8
1
2
1
8
g (X) = 2X + 3
3
3∗
g (x) f (x)
5
1
4
7
1
8
5∗
P
µg(X) = E [g (X)] =
2
g (X) − µg(X)
2
g (x) − µg(x) f (x)
µg(X) = 3 ∗
2
1
4
+5∗
x
1
8
7∗
9
1
2
9∗
1
8
g (x) f (x)
+7∗
2
(3 − 6) = 9 (5 − 6) = 1
+9∗
1
8 =
2
6
2
(7 − 6) = 1 (9 − 6) = 9
1 ∗ 18
1 ∗ 21
9 ∗ 81
h
2 i P
2
V ar (g (X)) = E g (X) − µg(X)
= x g (X) − µg(X) f (x)
9∗
1
4
1
2
V ar (g (X)) = 9 ∗
1
4
+1∗
1
8
+1∗
1
2
+9∗
1
8
=4
¨
Ornek
9.11. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılımı a¸sa˘gıdaki gibi veriliyor:

 x2
if
−1 < x < 2
3
f (x) =
 0 otherwise
g (X) = 4X + 3 rasgele de˘gi¸skeninin varyansı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
µg(X)
=
=
E [g (X)] =
Z
=
=
V ar (g (X)) =
=
2
(4x + 3)
f (x)
=
g (x) f (x) dx
x2
dx
3
x=2
1 3
x (x + 1)x=−1
3
1 3
3
∗ 2 ∗ 3 − (−1) (−1 + 1)
3
8
Z ∞
h
2 i
2
E g (X) − µg(X)
=
g (X) − µg(X) f (x) dx
Z
2
−1
=
∞
−∞
−1
=
Z
−∞
(4x + 3 − 8)2
x=2
x
16 5 10 4 25 3 dx =
x − x + x 3
15
3
9
x=−1
2
136
323
51
− −
=
45
45
5
16 5 10 4 25 3
x − x + x
15
3
9
Tanım 9.12. X ve Y kesikli rasgele de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) olmak u
¨zere
X ve Y nin kovaryansı (covariance of X and Y)
Cov (X, Y ) = E [(X − µX ) (Y − µY )] =
XX
x
y
(x − µX ) (y − µY ) f (x, y)
80
1. OLASILIK
olarak tanımlanırken, X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) olmak
u
¨zere X ve Y nin kovaryansı
Cov (X, Y ) = E [(X − µX ) (Y − µY )] =
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
(x − µX ) (y − µY ) f (x, y) dxdy
olarak tanımlanır. Burada µX = E [X] , µY = E [Y ] dır.
˙ rasgele de˘gi¸skeninin kovaryansı, bu ikisi arasındaki do˘gal bir durumdur. E˘ger X in b¨
Iki
uy¨
uk de˘gerleri, Y
nin b¨
uy¨
uk de˘gerleri ile sonu¸clanıyorsa (x − µX ) farkının pozitifli˘gi (y − µY ) nin de pozitif olması sonucunu
vericektir ve (x − µX ) (y − µY ) ¸carpımı da pozitif olucaktır veya tersine X in k¨
u¸cu
¨k de˘gerleri, Y nin k¨
u¸cu
¨k
de˘gerleri ile sonu¸clanıyorsa (x − µX ) farkının negatifli˘gi (y − µY ) nin de negatif olması sonucunu vericektir ve
(x − µX ) (y − µY ) ¸carpımı yine de pozitif olucaktır. Di˘ger yandan X in b¨
uy¨
uk de˘gerleri, Y nin k¨
u¸cu
¨k de˘gerleri
ile sonu¸clanıyorsa (x − µX ) farkının pozitifli˘gi (y − µY ) nin de negatif olması sonucunu ile (x − µX ) (y − µY )
¸carpımı da negatif olucaktır. B¨
oylece covaryansın i¸sareti, iki ba˘gımsız rasgele de˘gi¸skeninin arasındaki ba˘gıntının
pozitif veya negatifli˘gini g¨
ostermektedir. De˘gi¸skenler istatistiksel ba˘gımsız oldu˘gunda ise kovaryans sıfır olucaktır. Bunun tersi her zaman do˘gru olmayabilir. Yani kovaryansı sıfır olan iki de˘gi¸sken istatistiksel olarak
lineer ba˘gımsız olmak zorunda de˘gildir.
Teorem 9.13. X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenlerinin beklenti de˘gerleri sırasıyla µX = E [X] , µY =
E [Y ] olmak u
¨zere
Cov (X, Y ) = E [XY ] − µX µY
ba˘gıntısı do˘grudur.
ˆ
Ispat:
X ve Y kesikli rasgele de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) olmak u
¨zere X ve
Y nin kovaryansı (covariance of X and Y)
Cov (X, Y ) = E [(X − µX ) (Y − µY )] =
=
XX
x
y
xyf (x, y) −
XX
x
y
µX yf (x, y) −
µX , µY − sabit, µY = E [Y ] =
=
XX
x
=
y
XX
x
y
xyf (x, y) − µX
XX
|
x
y
XX
x
{z
x
xyf (x, y) − 2µX µY + µX µY =
(x − µX ) (y − µY ) f (x, y)
y
µY xf (x, y) +
y
XX
x
yf (x, y) , µX = E [X] =
y
}
x
XX
yf (x, y) − µY
=µY
XX
XX
|
x
XX
x
y
y
XX
x
y
xf (x, y) + µX µY
{z
=µX
}
µX µY f (x, y) ,
y
xf (x, y) ,
XX
|
x
y
f (x, y)
{z
=1
}
xyf (x, y) − µX µY = E [XY ] − µX µY
˘ ¸ KENLERININ VARYANSI VE KOVARYANSI (VARIANCE AND COVARIANCE OF RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
81
olarak tanımlanırken, X ve Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skenlerinin birle¸sik olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) olmak
u
¨zere X ve Y nin kovaryansı
=
Z
∞
−∞
=
Z
Z
Cov (X, Y ) = E [(X − µX ) (Y − µY )] =
∞
−∞
xyf (x, y) dxdy −
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
µX , µY − sabit, µY = E [Y ] =
∞
−∞
=
Z
∞
−∞
Z
Z
∞
−∞
xyf (x, y) dxdy − µX
Z
∞
−∞
Z
|
Z
Z
−∞
∞ Z ∞
−∞
−∞
µX yf (x, y) dxdy −
∞
∞
Z
∞
∞
(x − µX ) (y − µY ) f (x, y) dxdy
−∞
Z ∞Z ∞
−∞
µY xf (x, y) dxdy +
−∞
yf (x, y) dydx, µX = E [X] =
−∞
Z
∞
yf (x, y) dxdy − µY
−∞
−∞
{z
}
|
=µY
xyf (x, y) dxdy − 2µX µY + µX µY =
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
Z
Z
∞
−∞
∞
Z
∞
Z
∞
−∞
Z
∞
µX µY f (x, y) dxdy
−∞
xf (x, y) dxdy,
−∞
Z
∞
xf (x, y) dxdy + µX µY
−∞
−∞
{z
}
|
Z
∞
−∞
=µY
f (x, y) dxdy
{z
}
=1
xyf (x, y) dxdy − µX µY = E [XY ] − µX µY
¨
Ornek
9.14. 2 renkli kalem, 3 mavi, 2 kırmızı ve 3 ye¸sil kalemin oldu˘gu bir kutudan se¸cilecektir.E˘ger X rasgele
de˘gi¸skeni mavi kalem se¸cimini, Y ise kırmızı kalem se¸cimini g¨
osterirse X ve Y nin kovaryansını hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
f (x, y)
h(y)
x-mavi
y-kırmızı 0
0
1
2
g(x)
1
3!
1!∗2!
28
=
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
2!
0!∗2!
28
3
28
+
=
1
28
3
14
+
28
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
3
14
=
1
28
=
5
14
9
28
=
3!
2!∗1!
28
2 X
2
X
+
xf (x, y) =
3
14
+0=
15
28
3
28
x=0 y=0
+0+0=
3
28
3
9
3
15
28 + 28 + 28 = 28 = h (0)
3
3
3
14 + 14 + 0 = 7 = h (1)
1
1
28 + 0 + 0 = 28 = h (2)
3
1
15
28 + 7 + 28 = 1
5
15
3
14 + 28 + 28 = 1
g(2)
2
2
X
X
x
f (x, y) = 0 ∗ g (0) + 1 ∗ g (1) + 2 ∗ g (2)
x=0
yf (x, y) =
3
28
0
=0∗
2 X
2
X
=
0
g(1)
x=0 y=0
µY =
=
9
28
3
14
0
g(0)
µX =
2
3!
3!
2!∗1! ∗ 2!∗1!
3
28
y=0
|
{z
=g(x)
}
5
15
3
3
+1∗
+2∗
=
14
28
28
4
2
2
X
X
y
f (x, y) = 0 ∗ h (0) + 1 ∗ h (1) + 2 ∗ h (2)
y=0 x=0
=0∗
|
{z
=h(y)
}
3
1
1
15
+1∗ +2∗
=
28
7
28
2
82
1. OLASILIK
E [XY ] =
2 X
2
X
x=0 y=0
xyf (x, y) = 0 ∗ 0 ∗ f (0, 0) + 0 ∗ 1 ∗ f (0, 1) + 0 ∗ 2 ∗ f (0, 2) + 1 ∗ 0 ∗ f (1, 0) + 1 ∗ 1 ∗ f (1, 1)
+1 ∗ 2 ∗ f (1, 2) + 2 ∗ 0 ∗ f (2, 0) + 2 ∗ 1 ∗ f (2, 1) + 2 ∗ 2 ∗ f (2, 2)
3
3
1
9
3
+0∗1∗
+0∗2∗
+1∗0∗
+1∗1∗
28
14
28
28
14
3
+1 ∗ 2 ∗ 0 + 2 ∗ 0 ∗
+2∗1∗0+2∗2∗0
28
3
=
14
3
3 1
9
− ∗ =−
Cov (X, Y ) = E [XY ] − µX µY =
14 4 2
56
=0∗0∗
¨
Ornek
9.15. Bir ko¸su maratonunda X ile yarı¸sı tamamlayan bayan ko¸sucuların oranını, Y ile de yarı¸sı
tamamlayan erkek ko¸sucuların oranını g¨
ostermek u
¨zere birle¸sik olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) a¸sa˘gıdaki
gibi veriliyor:

 8xy
f (x, y) =
 0
0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x, y ∈ R
if
otherwise
Buna g¨
ore X ve Y nin kovaryansını hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
µX =
Z
∞
−∞
g (x) =
Z
Z
∞
xf (x, y) dxdy =
−∞
∞
f (x, y) dy =
−∞

 4x3
g (x) =
 0
µX =
Z
∞
Z
Z
∞
−∞
h (y) =
Z
∞
Z
∞
Z ∞
x
f (x, y) dy dx
−∞
−∞
|
{z
}
∞
=g(x)
x
0
8xydy = 4x3 , 0 ≤ x ≤ 1 ⇒
0 ≤ x ≤ 1, x ∈ R
if
otherwise
xg (x) dx =
Z
1
x4x3 dx =
0
−∞
µY =
Z
yf (x, y) dxdy =
−∞
Z
∞
−∞
f (x, y) dx =
Z
y
−∞
1
y
Z
|
∞
−∞
⇒
4
5
f (x, y) dx dy
{z
}
=h(y)
x=1
8xydx = 4y x2 x=y = 4y 1 − y 2

 4y 1 − y 2 if
0 ≤ y ≤ 1, y ∈ R
h (y) =

0
otherwise
y=1
Z ∞
Z 1
4 3 4 5 2
µY =
yh (y) dy =
y4y 1 − y dy = y − y 3
5 y=0
−∞
0
=
8
8
−0=
15
15
˘ ¸ KENLERININ VARYANSI VE KOVARYANSI (VARIANCE AND COVARIANCE OF RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
83
E [XY ] =
=
Z
∞
−∞
Z 1
Z
∞
xyf (x, y) dydx =
−∞
Z x
2
y 2 dydx =
8x
0
0
=
8
3
Z
0
Z
1
8x2
0
Z
1
x5 dx =
0
1
Z
x
xy8xydydx
0
3 y=x
y dx
3 y=0
8 1
4
∗ =
3 6
9
Cov (X, Y ) = E [XY ] − µX µY
=
4 4 8
4
− ∗
=
9 5 15
225
Kovaryans iki rastgele de˘gi¸sken hakkında do˘gal bir ba˘gıntı versede Cov(X,Y) sayısı, bu ba˘
gıntının ge¸cerlili˘
gi
hakkında net bir bilgi vermez ¸cu
¨nk¨
u, Cov(X,Y) serbest bir ¨ol¸cek de˘gildir. Cov(X,Y) de˘geri hem X in hemde Y
nin ¨ol¸cu
¨mlerine ba˘glıdır. Kovaryansın serbest ¨ol¸cek ile verilen sabitine korelasyon katsayısı denir.
Tanım 9.16. X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenlerinin varyansı V ar (X) , V ar (Y ) ve bu iki de˘gi¸skenin
kovaryansı Cov(X,Y) olmak u
¨zere
Cov (X, Y )
p
Corr (X, Y ) = p
V ar (X) ∗ V ar (Y )
sayısına X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenlerinin korelasyon katsayısı denir. Ve korelasyon katsayısı X
ve Y nin ¨
ol¸cu
¨m¨
un¨
uden serbesttir.
¨
Ornek
9.17. 2 renkli kalem, 3 mavi, 2 kırmızı ve 3 ye¸sil kalemin oldu˘gu bir kutudan se¸cilecektir.E˘ger X
rasgele de˘gi¸skeni mavi kalem se¸cimini, Y ise kırmızı kalem se¸cimini g¨
osterirse X ve Y nin korelasyon katsayısını
hesaplayınız.
¨
C
¸ ¨oz¨
um: Bakınız Ornek
9.14
olası (x, y) de˘gerleri (0, 0) ⇒ne kırmızı ne de mavi kalem se¸cimi, (0, 1) ⇒ kırmızı kalem se¸cililirken mavi kalem
se¸cilemez (yani 1 kırmızı 1 adet ye¸sil se¸cilir), (1, 0) ⇒mavi kalem se¸cilirken kırmızı kalem se¸cilemez , (1, 1) ⇒1
kırmızı 1 mavi kalem se¸cilir, (2, 0) ⇒2 mavi kalem se¸cilir, (0, 2) ⇒2 kırmızı kalem se¸cilir.
f (x, y)
h(y)
x-mavi
y-kırmızı 0
0
1
2
g(x)
1
3!
1!∗2!
28
=
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
2!
0!∗2!
28
3
28
+
g(0)
=
1
28
3
14
+
2
3!
3!
2!∗1! ∗ 2!∗1!
3
28
=
28
2!
3!
1!∗1! ∗ 2!∗1!
28
3
14
=
=
3!
2!∗1!
9
28
3
14
28
=
5
14
9
28
3
28
0
0
1
28
=
0
+
g(1)
3
14
+0=
15
28
3
28
+0+0=
g(2)
3
28
3
9
3
15
28 + 28 + 28 = 28 = h (0)
3
3
3
14 + 14 + 0 = 7 = h (1)
1
1
28 + 0 + 0 = 28 = h (2)
15
3
1
28 + 7 + 28 = 1
5
15
3
14 + 28 + 28 = 1
84
1. OLASILIK
µX =
2 X
2
X
xf (x, y) =
x=0 y=0
2
2
X
X
x
f (x, y) = 0 ∗ g (0) + 1 ∗ g (1) + 2 ∗ g (2)
x=0
=0∗
µY =
2 X
2
X
yf (x, y) =
x=0 y=0
2 X
2
X
x=0 y=0
|
{z
=g(x)
}
5
15
3
3
+1∗
+2∗
=
14
28
28
4
2
2
X
X
y
f (x, y) = 0 ∗ h (0) + 1 ∗ h (1) + 2 ∗ h (2)
y=0 x=0
=0∗
E [XY ] =
y=0
|
{z
=h(y)
}
15
3
1
1
+1∗ +2∗
=
28
7
28
2
xyf (x, y) = 0 ∗ 0 ∗ f (0, 0) + 0 ∗ 1 ∗ f (0, 1) + 0 ∗ 2 ∗ f (0, 2) + 1 ∗ 0 ∗ f (1, 0) + 1 ∗ 1 ∗ f (1, 1)
+1 ∗ 2 ∗ f (1, 2) + 2 ∗ 0 ∗ f (2, 0) + 2 ∗ 1 ∗ f (2, 1) + 2 ∗ 2 ∗ f (2, 2)
=0∗0∗
3
3
1
9
3
+0∗1∗
+0∗2∗
+1∗0∗
+1∗1∗
28
14
28
28
14
3
+1 ∗ 2 ∗ 0 + 2 ∗ 0 ∗
+2∗1∗0+2∗2∗0
28
3
=
14
3 3 1
9
Cov (X, Y ) = E [XY ] −µX µY = − ∗ = −
14 4 2
56
h
i
2
2
V ar (X) = E (X − µX ) = E X 2 − (µX ) ,
2 X
2
2
2
X
X
X
E X2 =
x2 f (x, y) =
x2
f (x, y) = 02 ∗ g (0) + 12 ∗ g (1) + 22 ∗ g (2)
x=0 y=0
= 02 ∗
x=0
y=0
|
{z
=g(x)
}
5
15
3
27
27
2
+ 12 ∗
+ 22 ∗
=
⇒ Var (X) = E X 2 − (µX ) = −
14
28
28
28
28
2
3
45
=
4
112
h
i
V ar (Y ) = E (Y − µY )2 = E Y 2 − (µY )2 ,
2 X
2
2
2
X
X
X
E Y2 =
y 2 f (x, y) =
y2
f (x, y) = 02 ∗ h (0) + 12 ∗ h (1) + 22 ∗ h (2)
x=0 y=0
= 02 ∗
y=0
x=0
|
{z
=h(y)
}
15
3
1
4
4
2
+ 12 ∗ + 22 ∗
= ⇒ Var (Y ) = E Y 2 − (µY ) = −
28
7
28
7
7
2
1
9
=
2
28
9
− 56
Cov (X, Y )
1√
p
q =−
Corr (X, Y ) = p
=q
5 = −0.44721
5
45
9
V ar (X) ∗ V ar (Y )
∗
112
28
˘ ¸ KENLERININ VARYANSI VE KOVARYANSI (VARIANCE AND COVARIANCE OF RANDOM VARIABLES)
1. RASGELE DEGIS
85
¨
Ornek
9.18. Bir ko¸su maratonunda X ile yarı¸sı tamamlayan bayan ko¸sucuların oranını, Y ile de yarı¸sı
tamamlayan erkek ko¸sucuların oranını g¨
ostermek u
¨zere birle¸sik olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) a¸sa˘gıdaki
gibi veriliyor:

 8xy
f (x, y) =
 0
0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x, y ∈ R
if
otherwise
Buna g¨
ore X ve Y nin korelasyon katsayısını hesaplayınız.
¨
C
¸ ¨oz¨
um: Bakınız Ornek
9.15
µX =
Z
∞
−∞
g (x) =
Z
Z
∞
∞
f (x, y) dy =

 4x3
g (x) =
 0
µX =
Z
Z
0
8xydy = 4x3 , 0 ≤ x ≤ 1 ⇒
µY =
−∞
h (y) =
Z
∞
Z
∞
0 ≤ x ≤ 1, x ∈ R
if
otherwise
∞
∞
=g(x)
x
xg (x) dx =
Z
1
yf (x, y) dxdy =
−∞
Z
∞
y
−∞
Z
f (x, y) dx =
y
−∞
1
Z
|
∞
−∞
⇒
4
5
x4x3 dx =
0
−∞
∞
Z ∞
x
f (x, y) dy dx
−∞
−∞
|
{z
}
−∞
−∞
Z
Z
xf (x, y) dxdy =
f (x, y) dx dy
{z
}
=h(y)
x=1
8xydx = 4y x2 x=y = 4y 1 − y 2

 4y 1 − y 2 if
0 ≤ y ≤ 1, y ∈ R
h (y) =

0
otherwise
y=1
Z ∞
Z 1
4 3 4 5 2
µY =
yh (y) dy =
y4y 1 − y dy = y − y 3
5 y=0
−∞
0
8
8
−0=
15
15
=
E [XY ] =
=
Z
∞
−∞
Z 1
Z
∞
xyf (x, y) dydx =
−∞
Z x
2
2
8x
0
y dydx =
0
=
8
3
Z
0
Z
0
1
x5 dx =
Z
1
0
1
8x2
Z
x
xy8xydydx
0
3 y=x
y dx
3 y=0
8 1
4
∗ =
3 6
9
Cov (X, Y ) = E [XY ] − µX µY
4 4 8
4
⇒ Cov (X, Y ) = − ∗ =
9 5 15 225
86
1. OLASILIK
h
i
2
2
V ar (X) = E (X − µX ) = E X 2 − (µX )
Z ∞Z ∞
Z ∞
Z ∞
E X2 =
x2 f (x, y) dxdy =
x2
f (x, y) dy dx
−∞ −∞
−∞
−∞
|
{z
}
=g(x)
1
2
2 6 2
3
= ⇒
=
x 4x dx = x 3 x=0 3
0
2
2
4
2
=
Var (X) = −
3
5
75
Z
1
h
i
2
2
V ar (Y ) = E (Y − µY ) = E Y 2 − (µY ) ,
Z ∞Z ∞
Z ∞
Z ∞
2
2
2
E Y =
y f (x, y) dxdy =
y
f (x, y) dx dy
−∞ −∞
−∞
−∞
|
{z
}
=h(y)
y=1
1
2 6 2
2
4
= ⇒
=
y 4y 1 − y dy = y − y 3 y=0 3
0
2
1
8
11
Var (Y ) = −
=
⇒
3
15
225
4
2√
Cov (X, Y )
p
= q 225q
66 = 0.49237
Corr (X, Y ) = p
=
33
2
11
V ar (X) ∗ V ar (Y )
75 ∗
225
Z
1
10
Rasgele de˘
gi¸skenlerinin lineer kombinasyonlarının varyansı
ve ortalaması (Means and Variances of Linear Combinations of Random Variables)
Teorem 10.1. a ve b sabitler, X kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸sken olmak u
¨zere
E [aX + b] = aE [X] + b
ˆ
Ispat:
X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere aX + b kesikli rasgele
de˘gi¸skeninin beklenti de˘geri
E [aX + b] =
X
(ax + b) f (x)
x
= a
X
xf (x) + b
x
X
f (x)
x
| {z }
=1
= aE [X] + b
˘ ¸ KENLERININ LINEER KOMBINASYONLARININ VARYANSI VE ORTALAMASI (MEANS AND VARIANCES OF LINEAR
1. RASGELE DEGIS
X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere X s¨
urekli rasgele de˘
gi¸skeninin
beklenti de˘geri
E [aX + b] =
Z
= a
∞
(ax + b) f (x) dx
−∞
Z ∞
xf (x) dx + b
−∞
Z
|
= aE [X] + b
∞
−∞
f (x) dx
{z
}
=1
Sonu¸
c 10.2. b sabit olmak u
¨zere E [b] = b.
ˆ
Ispat:
Teorem 10.1’de a = 0 yazarak istenen sonucu elde ederiz.
Sonu¸
c 10.3. a sabit olmak u
¨zere E [aX] = aE [X]
ˆ
Ispat:
Teorem 10.1’de b = 0 yazarak istenen sonucu elde ederiz.
¨
Ornek
10.4. G¨
une¸sli bir cuma g¨
un¨
u, saat 16:00-17:00 arası araba yıkamaya giden arabaların sayısı X olmak
u
¨zere olasılık da˘gılımı a¸sa˘gıdaki gibi veriliyor:
x
4
5
6
7
8
9
f (x)
1
12
1
12
1
4
1
4
1
6
1
6
g (X) = 5 (2X − 1) ile arabaların odemi¸s oldukları u
¨cret verilmektedir.Verilen bu zaman diliminde kazanılması
beklenen para miktarını Teorem 10.1’i kullanarak bulunuz.
¨
C
¸ ¨oz¨
um: Bu ¨orne˘gi Ornek
8.13’te hesaplamı¸stık! ve E [5 (2X − 1)] =
E [5 (2X − 1)] =
E [X] =
=
E [5 (2X − 1)] =
190
3
sonucunu elde etmi¸stik.
10E [X] − 5
1
1
1
1
1
1
4∗
+5∗
+6∗ +7∗ +8∗ +9∗
12
12
4
4
6
6
41
6
41
190
10 ∗
−5=
6
3
¨
Ornek
10.5. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılımı a¸sa˘gıdaki gibi veriliyor:
f (x) =


x2
3
 0
if
otherwise
−1 < x < 2
g (X) = 4X + 3 rasgele de˘gi¸skeninin beklentisini Teorem 10.1’i kullanarak bulunuz.
88
1. OLASILIK
¨
C
¸ ¨oz¨
um: Bu ¨orne˘gi Ornek
8.14’te hesaplamı¸stık! ve E [g (X)] = 8 olarak elde edilmi¸stir.
E [g (X)] = 4E [X] + 3
Z 2
x2
E [X] =
x dx
3
−1
1 4 x=2
=
x x=−1
12
1 4
∗ 2 − (−1)4
=
12
5
=
4
E [g (X)] = 4E [X] + 3
= 5+3=8
Teorem 10.6. X kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸sken olmak u
¨zere
E [g (X) ± h (X)] = E [g (X)] ± E [h (X)]
ˆ
Ispat:
X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere
X
E [g (X) ± h (X)] =
x
X
=
x
(g (x) ± h (x)) f (x)
g (x) f (x) ±
X
h (x) f (x)
x
= E [g (X)] ± E [h (X)]
X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) olmak u
¨zere
E [g (X) ± h (X)] =
=
Z
∞
−∞
Z ∞
−∞
(g (x) ± h (x)) f (x) dx
g (x) f (x) dx ±
Z
= E [g (X)] ± E [h (X)]
∞
h (x) f (x) dx
−∞
¨
10.7. X kesikli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu
Ornek
x
0
1
2 3
f (x)
1
3
1
2
0
1
6
h
i
2
olarak veriliyor. Buna g¨
ore E (X − 1) beklentisini hesaplayınız.
˘ ¸ KENLERININ LINEER KOMBINASYONLARININ VARYANSI VE ORTALAMASI (MEANS AND VARIANCES OF LINEAR
1. RASGELE DEGIS
C
¸ ¨oz¨
um:
h
i
2
E (X − 1)
=
=
E X2 =
E [X] =
h
i
2
E (X − 1)
=
E X 2 − 2X + 1 = E X 2 − E [2X] + E [1]
E X 2 − 2E [X] + 1
3
X
x=0
3
X
x=0
x2 f (x) = 02 ∗
xf (x) = 0 ∗
1
1
1
+ 12 ∗ + 22 ∗ 0 + 32 ∗ = 2
3
2
6
1
1
1
+1∗ +2∗0+3∗ = 1
3
2
6
E X 2 − 2E [X] + 1 = 2 − 2 + 1 = 1
¨
Ornek
10.8. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu

 2 (x − 1)
if
f (x) =

0
otherwise
1<x<2
olarak veriliyor. Buna g¨
ore E X 2 + X − 2 beklentisini hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
E X 2 + X − 2 = E X 2 + E [X] − 2
Z 2
E X2 =
x2 2 (x − 1) dx
1
x=2
1 3
=
x (3x − 4)
6
x=1
8
1
17
=
− −
=
3
6
6
Z 2
E [X] =
x2 (x − 1) dx
1
=
=
E X2 + X − 2 =
x=2
1 2
x (2x − 3)
3
x=1
4
1
5
− −
=
3
3
3
17 5
5
+ −2=
6
3
2
Teorem 10.9. X, Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸sken olmak u
¨zere
E [g (X, Y ) ± h (X, Y )] = E [g (X, Y )] ± E [h (X, Y )] .
90
1. OLASILIK
ˆ
Ispat:
X, Y kesikli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) olmak u
¨zere
XX
E [g (X, Y ) ± h (X, Y )] =
x
y
XX
=
x
y
(g (x, y) ± h (x, y)) f (x, y)
g (x, y) f (x, y) ±
XX
x
h (x, y) f (x, y)
y
= E [g (X, Y )] ± E [h (X, Y )]
X, Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) olmak u
¨zere
E [g (X, Y ) ± h (X, Y )] =
=
=
Z
∞
−∞
Z ∞
−∞
Z
∞
−∞
Z ∞
−∞
(g (x, y) ± h (x, y)) f (x, y) dxdy
g (x, y) f (x, y) dxdy ±
E [g (X, Y )] ± E [h (X, Y )]
Z
∞
−∞
Z
∞
h (x, y) f (x, y) dxdy
−∞
Sonu¸
c 10.10. X, Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸sken olmak u
¨zere
E [g (X) ± h (Y )] = E [g (X)] ± E [h (Y )] .
ˆ
Ispat:
Teorem 10.9’de g (X, Y ) = g (X) , h (X, Y ) = h (Y ) olarak se¸cersek istenilen sonucu elde ederiz.
Sonu¸
c 10.11. X, Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸sken olmak u
¨zere
E [X ± Y ] = E [X] ± E [Y ] .
ˆ
Ispat:
Yukarıdaki sonu¸ctan g (X) = X, h (Y ) = Y yazarak istenilen sonucu elde ederiz.
¨
Ornek
10.12. Hilesiz bir ¸cift zar atı¸sında X rastgele gelen de˘gerlerin toplamını g¨
ostermek u
¨zere E (X) beklenen de˘geri nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: 1.yol: Bir zar atı¸sında Y rastgele gelen de˘gerini g¨osterirsek yukarıda E [Y ] =
Z 2.zarın rastgele gelen de˘gerini g¨osterirsek E [Z] =
7
2
olur. X = Y + Z ⇒ E [X] =
7
2
+
7
2
7
2
olarak bulmu¸stuk.
= 7.olarak elde ederiz.
˘ ¸ KENLERININ LINEER KOMBINASYONLARININ VARYANSI VE ORTALAMASI (MEANS AND VARIANCES OF LINEAR
1. RASGELE DEGIS
2.yol:
1 1
1
∗ =
6 6
36
1
1
2
f (3) = P ({(1, 2) , (2, 1)}) =
+
=
36 36
36
3
f (4) = P ({(1, 3) , (2, 2) , (3, 1)}) =
36
4
f (5) = P ({(1, 4) , (2, 3) , (3, 2) , (4, 1)}) =
36
f (2) = P ((1, 1)) =
f (6) = P ({(1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1)}) =
5
36
f (7) = P ({(1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1)}) =
f (8) = P ({(2, 6) , (3, 5) , (4, 4) , (5, 3) , (6, 2)}) =
f (9) = P ({(3, 6) , (4, 5) , (5, 4) , (6, 3)}) =
f (10) = P ({(4, 6) , (5, 5) , (6, 4)}) =
f (11) = P ({(5, 6) , (6, 5)}) =
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
⇒
36
2
3
4
5
+3∗
+4∗
+5∗
+6∗
+
36
36
36
36
5
4
3
2
1
+8∗
+9∗
+ 10 ∗
+ 11 ∗
+ 12 ∗
36
36
36
36
36
f (12) = P ((6, 6)) =
1
36
6
7∗
36
= 7
E [X] = 2 ∗
Teorem 10.13. X, Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri ba˘gımsız ise
E [XY ] = E [X] E [Y ]
ˆ
Ispat:
X, Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri ba˘gımsız ise, X, Y kesikli rasgele de˘
gi¸skeninin olasılık
da˘gılım fonksiyonu f (x, y) olmak u
¨zere
f (x, y) = g (x) h (y)
92
1. OLASILIK
olarak yazılır. Burada g (x) , h (y) marjinal olasılık da˘gılım fonksiyonlarıdır.
XX
E [XY ] =
x
XX
=
x
xyg (x) h (y) , g (x) =
y
X
=
xyf (x, y)
y
xg (x)
x
!
X
X
f (x, y) , h (y) =
f (x, y)
x
y
!
X
yh (y)
y
!
!
X X
X X
x
f (x, y)
y
f (x, y)
=
x
XX
=
x
=
y
y
xf (x, y) +
y
x
E [X] E [Y ]
x
XX
yf (x, y)
y
X, Y s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x, y) olmak u
¨zere
Z ∞Z ∞
E [XY ] =
xyf (x, y) dxdy
=
=
g (x) =
E [XY ] =
=
=
=
−∞
∞
Z
−∞
∞
Z
xyg (x) h (y) dxdy
−∞ −∞
Z ∞
Z
−∞
∞
∞
−∞
∞
−∞
Z ∞
Z
xg (x) dx
x
Z
∞
−∞
−∞
∞ Z ∞
−∞
yh (y) dy
−∞
f (x, y) dy, h (y) =
Z
Z
Z
xg (x) dx
∞
Z
∞
−∞
yh (y) dy
Z
f (x, y) dydx
xf (x, y) dxdy +
−∞
E [X] E [Y ]
f (x, y) dx ⇒
−∞
Z
∞
∞
y
−∞
Z ∞
−∞
Z
∞
f (x, y) dxdy
−∞
yf (x, y) dxdy
−∞
Sonu¸
c 10.14. X, Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri ba˘gımsız ise Cov(X, Y )=0
ˆ
Ispat:
Teorem 9.13’den
Cov (X, Y ) = E [XY ] − µX µY
Ayrıca Teorem 10.13’den X, Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri ba˘gımsız ise
E [XY ] = E [X] E [Y ] = µX µY
ifadesini yukarıdaki kovaryans form¨
ul¨
unde yazarsak istenilen sonucu elde ederiz.
Teorem 10.15. X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri, a, b, c sabitler olmak u
¨zere
V ar (aX + bY + c) = a2 V ar (X) + b2 V ar (Y ) + 2abCov (X, Y )
˘ ¸ KENLERININ LINEER KOMBINASYONLARININ VARYANSI VE ORTALAMASI (MEANS AND VARIANCES OF LINEAR
1. RASGELE DEGIS
ˆ
Ispat:
h
i
2
V ar (aX + bY + c) = E ((aX + bY + c) − µaX+bY +c )
µaX+bY +c = E [aX + bY + c]
= aE [X] + bE [Y ] + c
= aµX + bµY + c ⇒
(aX + bY + c) − µaX+bY +c = (aX + bY + c) − (aµX + bµY + c)
= a (X − µX ) + b (Y − µY ) ⇒
h
i
2
V ar (aX + bY + c) = E ((aX + bY + c) − µaX+bY +c )
h
i
2
= E (a (X − µX ) + b (Y − µY ))
h
i
= E a2 (X − µX )2 + b2 (Y − µY )2 + 2ab (X − µX ) (Y − µY )
h
i
h
i
2
2
= E a2 (X − µX ) + E b2 (Y − µY ) + E [2ab (X − µX ) (Y − µY )]
h
i
h
i
= a2 E (X − µX )2 + b2 E (Y − µY )2 + 2abE [(X − µX ) (Y − µY )]
= a2 V ar (X) + b2 V ar (Y ) + 2abCov (X, Y )
Sonu¸
c 10.16. X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri olmak u
¨zere
V ar (aX + c) = a2 V ar (X)
ˆ
Ispat:
Teorem 10.15’den b = 0 se¸cersek istenen sonucu elde ederiz.
Sonu¸
c 10.17. X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri olmak u
¨zere
V ar (X + c) = V ar (X)
ˆ
Ispat:
Teorem 10.15’den a = 1, b = 0 se¸cersek istenen sonucu elde ederiz.
Sonu¸
c 10.18. X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri olmak u
¨zere
V ar (aX) = a2 V ar (X)
ˆ
Ispat:
Teorem 10.15’den c = 0, b = 0 se¸cersek istenen sonucu elde ederiz.
¨
Ornek
10.19. X rasgele de˘gi¸skeninin varyansı 0.5 olsun. Buna g¨
ore 2X,X/2+3 de˘gi¸skenlerinin varyansını
bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
V ar (2X) =
X
V ar
+3
=
2
4V ar (X) = 4 ∗ 0.5 = 2
1
1
V ar (X) = ∗ 0.5 = 0.125
4
4
94
1. OLASILIK
Sonu¸
c 10.20. X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri ba˘gımsız olmak u
¨zere
V ar (aX + bY ) = a2 V ar (X) + b2 V ar (Y )
ˆ
Ispat:
Teorem 10.15’den c = 0 se¸cersek, ba˘gımsız de˘gi¸skenler i¸cin Sonu¸c 10.14’den Cov (X, Y ) = 0 oldu˘
gundan,
istenen sonucu elde ederiz.
Sonu¸
c 10.21. X ve Y kesikli (s¨
urekli) rasgele de˘gi¸skenleri ba˘gımsız olmak u
¨zere
V ar (aX − bY ) = a2 V ar (X) + b2 V ar (Y )
ˆ
Ispat:
Teorem 10.15’den c = 0 se¸cersek, ba˘gımsız de˘gi¸skenler i¸cin Sonu¸c 10.14’den Cov (X, Y ) = 0 oldu˘
gundan,
istenen sonucu elde ederiz.
11
Moment ve Moment u
¨ reten fonksiyonlar (Moments
and Moment-Generating Functions)
Moment kabaca konu¸sucak olursak, bir noktalar k¨
umesinin nasıl bir ¸sekil g¨osterdi˘gini anlatan sayısal bir
¨ol¸cu
¨tt¨
ur ve X rasgele de˘gi¸skeninin merkez etrafında (sıfır civarında) n. momenti g (X) = X n fonksiyonun
beklenen de˘geridir.
Tanım 11.1. X rasgele de˘gi¸skeninin n. momenti
n
mn = E [X ] =



P
R∞
x
−∞
xn f (x)
,
n
,
x f (x) dx
X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
olarak tanımlanır. Buna g¨
ore X rasgele de˘gi¸skeninin 1.momenti beklenen de˘gerine e¸sittir.
Tanım 11.2. X rasgele de˘gi¸skeni ve beklenti de˘geri µ = E [X] olmak u
¨zere n. merkezi momenti
n
E [(X − µ) ] =
olarak tanımlanır.



P
R∞
n
x
−∞
(x − µ) f (x)
n
(x − µ) f (x) dx
,
X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
, X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
2
¨
Ornek
11.3. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu f (x) = ce−(x−3) olarak tanımlandı˘gına
g¨
ore n−tek sayısı i¸cin n. merkezi momentini bulunuz.
¨
1. MOMENT VE MOMENT URETEN
FONKSIYONLAR (MOMENTS AND MOMENT-GENERATING FUNCTIONS)
¨
C
¸ ¨oz¨
um: Oncelikle
c sabitini belirleyelim:
Z ∞
Z
2
ce−(x−3) dx = 1 ⇒ 1 = c
95
∞
√
2
1
ce−u du = c π ⇒ c = √
π
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
2
1
xe−(x−3) dx
µ = E [X] =
xf (x) dx = √
π
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
2
2
1
3
(x−3)=u 1
−u
−u2
√
=
(u + 3) e
dx = √
ue
dx + √
e−u dx
π −∞
π −∞
π −∞
2 u=∞
1
+3=3
= − √ e−u 2 π
u=−∞
Z ∞
Z ∞
2
1
n
n
(x − 3) e−(x−3) dx
E [(X − 3) ] =
(x − 3) f (x) dx = √
π −∞
−∞
Z ∞
2
1
(x−3)=u
√
=
un e−u dx = 0, n − tek
π −∞
2
n−tek sayısı i¸cin un e−u fonksiyonu tek fonksiyondur ve tek fonksiyonunun simetrik aralıkta integrali sıfırdır.
Tanım 11.4. X rasgele de˘gi¸skeninin moment u
¨reten fonksiyonu E etX ile tanımlanıp MX (t) ile g¨
osterilir:

P tx
tX 
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x e f (x)
MX (t) = E e
=
R ∞ tx

e f (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
−∞
Teorem 11.5.
dMX (t) = mn
dt t=0
ˆ
Ispat:
dMX (t)
dt
dn MX (t) dtn
=
=
t=0






P
R∞
xetx f (x)
x
,
tx
, X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
−∞ xe f (x) dx
P
R∞
xn f (x)
x
−∞
X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
,
n
X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x f (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
⇒
= mn
¨
Ornek
11.6. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu

 e−x , x > 0
f (x) =
 0
, x≤0
olarak tanımlandı˘gına g¨
ore X rasgele de˘gi¸skeninin moment u
¨reten fonksiyonunu bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
MX (t) =
MX (t) =
E etX =
Z
1
,t < 1
1−t
∞
−∞
tx
e f (x) dx =
Z
0
∞
tx −x
e e
dx =
Z
0
∞
e(t−1)x dx =
x=∞
1
1
e(t−1)x =
,t − 1 < 0 ⇒
t−1
1−t
x=0
96
1. OLASILIK
Teorem 11.7. (i)
∀a ∈ R, MX+a (t) = eat MX (t)
(ii)
∀a ∈ R, MaX (t) = MX (at)
ˆ
Ispat:
(i)
MX+a (t)

h
i  P et(x+a) f (x)
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x
= E et(X+a) =
R ∞ t(x+a)

e
f (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
−∞

 P etx f (x)
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x
= eat
R ∞ tx

e f (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
−∞
at
= e MX (t)
(ii)
MaX (t) =
=

h
i  P et(ax) f (x)
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x
E et(aX) =
R
 ∞ et(ax) f (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
−∞

 P e(at)x f (x)
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x
R
 ∞ e(at)x f (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
−∞
=
MX (at)
¨
Ornek
11.8. X s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeninin olasılık da˘gılım fonksiyonu

 e−x
f (x) =
 0
, x>0
, x≤0
olarak tanımlandı˘gına g¨
ore 3 − 2X rasgele de˘gi¸skeninin moment u
¨reten fonksiyonunu bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
M3−2X (t) = e3t M−2X (t) = e3t MX (−2t)
¨
Ornek
11.6’da X rasgele de˘gi¸skeninin moment u
¨reten fonksiyonunu MX (t) =
Buna g¨ore MX (−2t) =
1
1+2t , −2t
< 1 ⇒ MX (−2t) =
1
1+2t , t
>
M3−2X (t) = e3t MX (−2t) =
olarak elde ederiz.
1
1−t , t
< 1 olarak elde etmi¸stik.
− 12 ,
e3t
1
,t > −
1 + 2t
2
˘ VE BUY
¨ UK
¨
1. CHEBYSEV ES
¸ ITSIZLIGI
SAYILAR YASASI (CHEBYSHEV’S INEQUALITY AND THE LAW OF LARGE NUMBERS)
97
12
Chebysev E¸sitsizli˘
gi ve B¨
uy¨
uk Sayılar Yasası (CHEBYSHEV’S INEQUALITY AND THE LAW OF LARGE
NUMBERS)
Bir A olayı p olasılı˘gı ile ger¸cekle¸siyorsa A’nın ortalama olarak ger¸cekle¸sme sayısı, ba˘
gımsız denemeler
arttık¸ca p olasılı˘gına yakınsar. Bu kavram b¨
uy¨
uk sayalar yasası ile ifade edilirken bu yasanın kanıtında Chebysev
e¸sitsizli˘gi kullanılmaktadır.
¨
Onerme
12.1. (Markov E¸sitszili˘gi) E˘ger X rasgele de˘gi¸skeni i¸cin X ≥ 0 ise ∀a > 0 i¸cin
P (X ≥ a) ≤
ˆ
Ispat:
E [X] =
=
≥
≥
=


E [X]
a
(12.1)
P
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x xf (x)
R
 ∞ xf (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
−∞

P
 P
X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
0≤x<a xf (x) +
x≥a xf (x) ,
Ra
R∞

xf (x) dx + a xf (x) dx
, X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
0

 P
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x≥a xf (x)
, (xf (x) ≥ 0 − oldugundan)
R∞

xf (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
a

 P
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x≥a af (x)
R∞

af (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
a

 aP
, X − kesikli rasgele de˘gi¸skeni
x≥a f (x)
R
 a ∞ f (x) dx , X − s¨
urekli rasgele de˘gi¸skeni
a
=
aP (X ≥ a) ⇒ P (X ≥ a) ≤
E [x]
a
Teorem 12.2. (Chebysev E¸sitsizli˘gi) X rasgele de˘gi¸skeni i¸cin beklenti de˘geri µ = E [X] olmak u
¨zere ∀a > 0
i¸cin
P (|X − µ| ≥ a) ≤
ˆ
Ispat:
Ayrıca
V ar (X)
a2
|X − µ|2 ≥ 0 oldu˘gundan (12.1) Markov e¸sitszili˘gini kullanırsak
E |X − µ|2
V ar (X)
2
2
P |X − µ| ≥ a ≤
=
2
a
a2
|X − µ|2 ≥ a2 ⇔ |X − µ| ≥ a
oldu˘gundan
P |X − µ|2 ≥ a2
=
P (|X − µ| ≥ a) =
P (|X − µ| ≥ a) ⇒
V ar (X)
P |X − µ|2 ≥ a2 ≤
a2
98
1. OLASILIK
sonucunu elde ederiz.
¨
Ornek
12.3. µx = 7 ve σx = 2 alarak P(3 < X < 11) olasılı˘gının en k¨
u¸cu
¨k de˘gerini bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um:
P (3 < X < 11) = P (|X − 7| < 4) = 1 − P (|X − 7| ≥ 4)
V ar (X)
4
1
1
= 2 = ⇒ −P (|X − 7| ≥ 4) ≥ − ⇒
42
4
4
4
1
3
1 − P (|X − 7| ≥ 4) ≥ 1 − =
4
4
P (|X − 7| ≥ 4) ≤
¨
Ornek
12.4. Bir fabrikada bir hafta boyunca u
¨retilen u
¨r¨
unlerin sayısının ortalama de˘geri (beklenen de˘geri)
50 olarak veriliyor.
(i) Buna g¨
ore haftalık olarak u
¨retilen u
¨r¨
unlerin sayısının 75’i a¸sması olasılı˘gı hakkında ne s¨
oylenebilir?
(ii) Haftalık u
¨retimlerin varyansı 25 oldu˘guna g¨
ore haftalık u
¨retilen u
¨r¨
unlerin sayısının 40 ile 60 arasında
kalması olasılı˘gı hakkında ne s¨
oylenebilir?
C
¸ ¨oz¨
um: X →haftalık olarak u
¨retilen u
¨r¨
unler
(i) P (X ≥ 75) =?
P (X ≥ 75) ≤
E [X]
50
2
=
= = %0.666 67
75
75
3
(ii) P (|X − 50| ≥ 10) =?
P (|X − 50| ≥ 10) ≤
V ar (X)
25
1
=
= = %25
2
10
100
4
Teorem 12.5. (B¨
uy¨
uk sayılar Yasası - The Law of Large Numbers) Ortalaması (beklenen de˘geri) µ ve varyansı
σ 2 olan X1 , X2 , ... ba˘gımsız rasgele de˘gi¸skenleri olmak u
¨zere ∀ε > 0 i¸cin
X1 + X2 + · · · + Xn
lim P − µ ≥ ε = 0
n→∞
n
veya
lim P
n→∞
ˆ
Ispat:
Sonu¸c 10.14’den
X1 + X2 + · · · + Xn
n
X1 + X2 + · · · + Xn
V ar
n
E
X1 + X2 + · · · + Xn
<ε =1
−
µ
n
=
E [X1 ] + E [X2 ] + · · · + E [Xn ]
µ + µ+ ···+ µ
nµ
=
=
=µ
n
n
n
=
1
V ar (X1 ) + V ar (X2 ) + · · · + V ar (Xn )
V ar (X1 + X2 + · · · + Xn ) =
n2
n2
=
σ2 + σ2 + · · · + σ2
nσ 2
σ2
=
=
n2
n2
n
˘ VE BUY
¨ UK
¨
1. CHEBYSEV ES
¸ ITSIZLIGI
SAYILAR YASASI (CHEBYSHEV’S INEQUALITY AND THE LAW OF LARGE NUMBERS)
99
Chebysev e¸sitsizli˘ginden
σ2
X1 + X2 + · · · + Xn
V ar X1 +X2n+···+Xn
σ2
n
0≤P − µ ≥ ε ≤
=
=
⇒
n
ε2
ε2
nε2
X1 + X2 + · · · + Xn
σ2
0 ≤ lim P − µ ≥ ε ≤ lim
=0⇒
n→∞
n→∞ nε2
n
X1 + X2 + · · · + Xn
− µ ≥ ε
0 = lim P n→∞
n
X1 + X2 + · · · + Xn
X1 + X2 + · · · + Xn
− µ < ε = 1 − P − µ ≥ ε ⇒
P n
n
X1 + X2 + · · · + Xn
X1 + X2 + · · · + Xn
− µ < ε = 1 − lim P − µ ≥ ε
lim P n→∞
n→∞
n
n
=1
¨
B¨
uy¨
uk sayılar yasasını ¸su ¸sekilde de yorumlayabiliriz: Orne˘
gin hileli olmayan bir para atıyorsunuz. Varsayalım
ki 100 kez attınız ka¸c defa yazı ka¸c defa tura gelmesini beklersiniz. Genel beklenti aslında yarı yarıya ¸seklindedir.
Veya 48 tura ike 52 yazı ¸seklinde de olabilir kısaca yarı yarıya veya bu aralı˘ga yakın bir de˘ger beklenirken akla
¸su soru da elbette gelebilir. Ya 90 yazı ve 10 tura gelirse? Veya daha k¨ot¨
us¨
u ya hepsi birde yazı gelirse? Ki
b¨oyle bir durumda genelde ¸cok iyi d¨
u¸su
¨ncelere varmayız ve genelde de paranın hileli oldu˘gunu veya zar atanın
hile yaptı˘gını ¨one s¨
ureriz. Bu ise b¨
uy¨
uk yasalar kanunu ile a¸cıklanabilir. Bir olayı ne kadar ¸cok denerseniz teorik
olarak beklenen ortalama de˘gere o kadar ¸cok yakın bir sonu¸c elde ederiz.
¨
Ornek
12.6. X1 , X2 , ..., Xn olaylarını

 1
Xi =
 0
,
sonu¸c ba¸sarılı ise
, sonu¸c ba¸sarısız ise
¨
olarak verelim (Ornek
olarak para atma deneyinde e˘ger yazı gelirse 1 tura gelirse 0 gibi ve Xi bu durumda i.
atı¸s olarak d¨
u¸su
¨nebiliriz.) Ve olayın ba¸sarılı olması ihtimali %30, ba¸sarısız olması ihtimali ise %70 dir. Buna
g¨
ore
E [Xi ] = 1 ∗ 0.3 = 0.3
yani ba¸sarılı olmasının beklentisi %30 dur.
V ar (Xi ) =
X1 + X2 + · · · + Xn
E
=
n
X1 + X2 + · · · + Xn
V ar
=
n
=
h
i
2
E (Xi − µ) = (1 − 0.3) ∗ 0.3 = 0.21
E [X1 ] + E [X2 ] + · · · + E [Xn ]
n0.3
=
= 0.3
n
n
V ar (X1 ) + V ar (X2 ) + · · · + V ar (Xn )
n2
n0.21
0.21
=
n2
n
Chebysev e¸sitsizli˘ginden ε = 0.1
X1 + X2 + · · · + Xn
V ar
0 ≤ P − 0.3 ≥ 0.1 ≤
n
X1 +X2 +···+Xn
n
ε2
=
0.21
n
0.01
=
21
n
100
1. OLASILIK
E˘ger n = 100 olarak alırsak (yani 100 kez para attı˘gımzda d¨
u¸su
¨nebiliriz!)
X1 + X2 + · · · + X100
21
0 ≤ P − 0.3 ≥ 0.1 ≤
= 0.21 ⇒
100
100
X1 + X2 + · · · + X100
P − 0.3 < 0.1 ≥ 0.79 ⇒
100
X1 + X2 + · · · + X100
< 0.4 ≥ 0.79
P 0.2 <
100
(Yani 100 denemeden sonra yazı gelme olasılı˘gı %79 dan fazladır). Veya n = 1000 olarak alırsak
X1 + X2 + · · · + X1000
21
0≤P − 0.3 ≥ 0.1 ≤
= 0.021 ⇒
1000
1000
X1 + X2 + · · · + X1000
P − 0.3 < 0.1 ≥ 0.979 ⇒
1000
X1 + X2 + · · · + X1000
< 0.4 ≥ 0.979
P 0.2 <
1000
(Yani 1000 denemeden sonra yazı gelme olasılı˘gı %97 dan fazladır.)
¨
˘
1. ONEMLI
KESIKLI DAGILIM
FONKSIYONLARI
13
101
¨
Onemli
Kesikli Da˘
gılım Fonksiyonları
13.1
Binom Da˘
gılımı (Binomial Distributions)
Tanım 13.1. Bir deneyde ba¸sarı sa˘glanması durumunda X raslantı de˘gi¸skeni i¸cin X = 1 veya ba¸sarısızlık
sa˘glanıyorsa X = 0 de˘gerini alıyorsa bu raslantı de˘gi¸skenine Bernoulli1 raslantı de˘gi¸skeni denir. Buna g¨
ore
olasılık da˘gılım fonksiyonu
f (0) =
P (X = 0) = 1 − p, p ∈ (0, 1)
f (1) =
P (X = 1) = p
Ve beklenti ise
E [X] = 1 ∗ f (1) + 0 ∗ f (0) = p
¨
¨
Ornek
13.2. Orne˘
gin bir para havaya atıldı˘gında yazı, tura gelmesi, herhangi bir se¸cimi kazanma, kayıp
etme, u
¨r¨
un¨
un defolu olması ya da, defolu olmaması, begenmek yada be˘genmemek. Buna g¨
ore bunların hepsi
birer Bernoulli raslantı de˘gi¸skeni olarak adlandırlıabilir.
Tanım 13.3. X Bernoulli raslantı de˘gi¸skeninin ba¸sarılı olması olasılı˘gı p, ba¸sarısız olması durumu ise 1 − p
olmak u
¨zere X raslantı de˘gi¸skeninin, n lineer ba˘gımsız denemesinin binom da˘gılım fonksiyonu
P (X = x) = b (x; n, p) = Cn,x px (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2, ..., n
ile tanımlanır.
¨
Ornek
13.4. Bir fabrikada u
¨retilen u
¨r¨
unlerden arızalı olanların (D) se¸cilmesi durumunu 1 ile arızalı olmayanlarında (N ) se¸cilmemesini 0 ile g¨
osterirsek, arızalı gelmesi olasılı˘gı %25 oldu˘guna g¨
ore 3 u
¨r¨
un se¸cilmesi
1James Bernoulli - Isvi¸
˙ creli Matematik¸ci - 27 Aralık 1654/6 Ocak 1655 – 16 A˘
gustos 1705
102
1. OLASILIK
durumunda binom da˘gılım fonksiyonunu belirleyiniz.
S
DDD
DDN
DN D
N DD
DN N
N DN
NND
NNN
X
3
2
2
2
1
1
1
0
3 3 3
27
∗ ∗ =
4 4 4
64
3 3 1
27
f (1) = P (X = 1) = P (N N D) + P (N DN ) + P (DN N ) = 3 ∗ ∗ ∗ =
4 4 4
64
3 1 1
9
f (2) = P (X = 2) = P (N DD) + P (DN D) + P (DDN ) = 3 ∗ ∗ ∗ =
4 4 4
64
1 1 1
1
f (3) = P (X = 3) = P (DDD) = ∗ ∗ =
4 4 4
64
x 3−x
1
1
1
3
n = 3, p = ⇒ b x; 3,
= C3,x
, x = 0, 1, 2, 3 ⇒
4
4
4
4
0 3
1
1
3
27
P (X = 0) = b 0; 3,
= C3,0
=
4
4
4
64
1 2
1
1
3
27
P (X = 1) = b 1; 3,
= C3,1
=
4
4
4
64
2 1
1
1
3
9
P (X = 2) = b 2; 3,
= C3,2
=
4
4
4
64
3 0
1
1
3
1
P (X = 3) = b 3; 3,
= C3,3
=
4
4
4
64
f (0) = P (X = 0) = P (N N N ) =
¨
˘
1. ONEMLI
KESIKLI DAGILIM
FONKSIYONLARI
103
¨
Onerme
13.5.
n
X
b (x; n, p) = 1
x=0
ˆ
Ispat:
1 = 1n = (p + (1 − p))n =
n
X
x=0
Cn,x px (1 − p)n−x =
n
X
b (x; n, p)
x=0
Tanım 13.6.
P (X ≤ d) =
toplamına Binom toplamı denir. Buna g¨
ore
P (X > d)
P (c ≤ X ≤ d)
d
X
b (x; n, p)
x=0
= 1 − P (X ≤ d) = 1 −
d
X
b (x; n, p)
x=0
= P (X ≤ d) − P (X ≤ c − 1)
=
d
X
x=0
=
d
X
b (x; n, p) −
c−1
X
b (x; n, p)
x=0
b (x; n, p)
x=c
¨
Ornek
13.7. Bir A b¨
olgesinde ya¸sayan insanların ¨
ol¨
umc¨
ul bir hastalı˘ga yakalanarak ¨
olme riski %60 olup bu
b¨
olgede rasgele se¸cilen 15 ki¸siden
(i) en az 10 ki¸sinin bu hastalıktan dolayı ¨
olmemesi olasılı˘gı nedir?
(ii) 3 ile ki¸sinin bu hastalıktan ¨
olmemesi olasılı˘gı netir?
(iii) 5 ki¸sinin bu hastalıktan ¨
olmeme olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: X raslantı de˘gi¸skeni ile hastalıktan dolayı ¨olmeyen insanlari g¨osterisek:
(i)
P (X ≥ 10) =
15
X
b (x, 15, 0.4) = C15,10 0.410 0.65 + C15,11 0.411 0.64 + C15,12 0.412 0.63 + C15,13 0.413 0.62
x=10
+C15,14 0.414 0.61 + C15,15 0.415 0.60 = 0.0338
(ii)
P (3 ≤ X ≤ 8) =
8
X
b (x, 15, 0.4)
x=3
= C15,3 0.43 0.612 + C15,4 0.44 0.611 + C15,5 0.45 0.610 + C15,6 0.46 0.69 + C15,7 0.47 0.68 + C15,8 0.48 0.67
=
15!
15!
15!
15!
15!
15!
0.43 0.612 +
0.44 0.611 +
0.45 0.610 +
0.46 0.69 +
0.47 0.68 +
0.48 0.67
3!12!
4!11!
5!10!
6!9!
7!8!
8!7!
= 0.877 84
(iii)
P (X = 5) = b (5, 15, 0.4) = C15,5 0.45 0.610 =
15!
0.45 0.610 = 0.185 94
5!10!
104
1. OLASILIK
¨
Ornek
13.8. Bir ma˘gazada elektronik u
¨r¨
unlerin arızalı olması ihitimali %3 oldu˘gu bilindi˘gine g¨
ore kargo ile
g¨
onderilmek u
¨zere rasgele se¸cilen 20 u
¨r¨
unden en az birininin arızalı olması olasılı˘gı nedir? Ayda 10 defa kargo
ile g¨
onderilmek u
¨zere 20 u
¨r¨
un se¸cilmesi durumunda 3 g¨
onderimde en az bir arızalı u
¨r¨
un se¸cilmesi olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: X arızalı u
¨r¨
un se¸cimini g¨
ostermek u
¨zere
P (X ≥ 1) =
1 − P (X = 0) = 1 − b (0, 20, 0.03)
1 − (0.97)20 = 0.456 21
=
Her bir kargo ile g¨onderimdeki en az bir arızalı u
¨r¨
un se¸cilmesi olasılı˘gı 0.456 21 oldu˘guna g¨
ore 3 g¨
osderimde
bunun bulunması, Y ile kargo se¸cimini g¨ostermek u
¨zere
P (Y = 3) = b (3, 10, 0.456 21)
7
= C10,3 0.456 213 (1 − 0.456 21)
10!
0.456 213 (1 − 0.456 21)7
=
3!7!
= 0.160 21
Teorem 13.9. X Bernoulli raslantı de˘gi¸skeninin ba¸sarılı olması olasılı˘gı p ve olasılık da˘gılım fonksiyonu
b (x, n, p) Binom da˘gılımı olsun. Buna g¨
ore
E [X] =
V ar (X) =
ˆ
Ispat:
np
np (1 − p)
i. denemeyi Ii ile g¨osterelim. Ii de ba¸sarılı olan sonu¸cları 1 veya ba¸sarısızlıkları da 0 ile ve bunların
olasılıklarını da p ve 1-p g¨ostermek u
¨zere n ba˘gımsız denemenin sonucundaki X raslantı de˘gi¸skeninin,
X = I1 + I2 + ... + In
olarak yazabiliriz. Ayrıca,
E [Ii ] =
1 ∗ p + 0 ∗ (1 − p) = p ⇒
E [X] =
E [I1 + I2 + ... + In ]
=
E [I1 ] + E [I2 ] + ... + E [In ]
=
np
¨
˘
1. ONEMLI
KESIKLI DAGILIM
FONKSIYONLARI
105
olarak elde ederiz. Teorem 9.4’dan
V ar (X) =
=
V ar (Ii ) =
V ar (I1 + I2 + ... + In )
V ar (I1 ) + V ar (I2 ) + ... + V ar (In )
E Ii2 − p2
=
02 ∗ (1 − p) + 12 ∗ p − p2
=
p − p2 = p (1 − p) ⇒
V ar (X) =
=
p (1 − p) + p (1 − p) + ... + p (1 − p)
np (1 − p)
¨
Ornek
13.10. Bir i¸cme suyu kuyusunda %30 oranında suda kirlilik tespit edilmi¸stir. Rasgele se¸cilen 10 i¸ce
suyu kuyusundan 3 u
¨nde kirlilik rastlanması olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
b (3, 10, 0.3) = C10,3 0.33 0.77 =
10!
0.33 0.77 = 0.266 83
3!7!
¨
Ornek
13.11. Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. 5 yada 6 nın 3 defa gelmesi olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
P ({5, 6}) =
1
b 3, 7,
=
3
1 1
1
P (5) + P (6) = + =
6 6
3
3 4
3 4
1
2
7!
1
2
560
C7,3
=
=
3
3
3!4! 3
3
2187
¨
Ornek
13.12. Bir A b¨
olgesinde ya¸sayan insanların ¨
ol¨
umc¨
ul bir hastalı˘ga yakalanarak ¨
olme riski %60 olup
bu b¨
olgede rasgele se¸cilen 15 ki¸siden hastaların bu hastalı˘ga yakalanmayanların 2.206 ile 9.794.arasında olması
olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
E [X] = np = 15 ∗ 0.4 = 6 ⇒
6 − 2.206 = 3. 794
9.794 − 6 = 3. 794 ⇒
P (|X − 6| < 3. 794) = 1 − P (|X − 6| ≥ 3. 794)
V ar (X) = np (1 − p) = 15 ∗ 0.4 ∗ 0.6 = 3.6
106
1. OLASILIK
Cehebysev e¸sitsizli˘ginden
P (|X − µ| ≥ a) ≤
P (|X − 6| ≥ 3. 794) ≤
P (|X − 6| ≥ 3. 794) ≤
1 − P (|X − 6| ≥ 3. 794) ≥
P (|X − 6| < 3. 794) =
V ar (X)
⇒
a2
V ar (X)
2 ⇒
(3. 794)
3.6
2 = 0.250 10 ⇒
(3. 794)
1 − 0.250 10 = 0.749 9 ⇒
P (2.206 < X < 9.794) ≥ 0.749 9
13.2
Hipergeometrik Da˘
gılım (Hypergeometric Distribution)
Hipergeometrik olasılık da˘gılımı binom olasılık da˘gılımı ile yakından ili¸skilidir. S¨oz konusu iki olasılık
da˘gılımı arasındaki fark hipergeometrik olasılık da˘gılımında denemelerin ba˘gımsız olmamasıdır.Bu durum ba¸sarı
sonucu elde etme olasılı˘gının her deneme i¸cin farklı olmasına neden olmaktadır. Hipergeometrik da˘
gılımda da
iki adet olası sonu¸c vardır: Ba¸sarı ve ba¸sarısızlık ve denemeler birbirine ba˘gımlıdır.
˙
¨
Ornek
13.13. Bir kavanozda 5’i beyaz ve 8’i siyah renkli olmak u
¨zere 13bilye vardır. Iade
edilmeksizin 3bilye
¸cekiliyor. Bu durumda “X hipergeometrik rassal de˘gi¸skeni” ¸cekilen beyaz (siyah) renkli bilyelerin sayısıdır.
Tanım 13.14. X, raslantı de˘gi¸skeninin hipergeomterik da˘gılım fonksiyonu, N ¸ce¸sitten, n adet se¸cilenlerin
i¸cinden k tane ba¸sarılı olması ve (n − k) tane ba¸sarılı olmaması durumunda



k
N −k



x
n
−
x
Ck,x CN −k,n−x


h (x, N, n, k) =
=
CN,n
N


n
olarak tanımlanır.
¨
Ornek
13.15. 12 ki¸silik bir y¨
onetim kurulunun 7¨
uyesi belirli bir konuda alınacak karar tasarısının lehinde, 5’i
ise aleyhinde d¨
u¸su
¨nmektedir. Bu kuruldan rassal olarak se¸cilen 4 ki¸silik komisyonda karar tasarısının lehinde
d¨
u¸su
¨nen u
¨ye sayısının,
˙
a) Iki olması
b) En az u
¨¸c olması
c) En fazla iki olması
C
¸ ¨oz¨
um: X=tasarısının lehinde d¨
u¸su
¨nen u
¨ye sayısı
N
=
12
n
=
4
k
=
7
¨
˘
1. ONEMLI
KESIKLI DAGILIM
FONKSIYONLARI
107
a)
P (X = 2) = h (2, N, n, k) =
C7,2 C5,2
7! 5! 4!8!
14
=
=
= 0.424 24
C12,4
2!5! 2!3! 12!
33
b)
P (X ≥ 3) =
=
=
=
h (3, N, n, k) + h (4, N, n, k)
C7,3 C5,1
C7,4 C5,0
+
C12,4
C12,4
7! 5! 4!8!
7! 5! 4!8!
+
3!4! 1!4! 12!
4!3! 0!5! 12!
14
= 0.424 24
33
c)
P (X ≤ 2) = h (0, N, n, k) + h (1, N, n, k) + h (2, N, n, k)
C7,0 C5,4
C7,1 C5,3
C7,2 C5,2
=
+
+
C12,4
C12,4
C12,4
7! 5! 4!8!
7! 5! 4!8!
7! 5! 4!8!
+
+
=
0!7! 1!4! 12!
1!6! 2!3! 12!
2!5! 2!3! 12!
19
=
= 0.575 76
33
Teorem 13.16. X raslantı de˘gi¸skeninin da˘gılım fonksiyonu h (x, N, n, k) kipergeometrik da˘gılımı olsun. Buna
g¨
ore
E [X] =
V ar (X) =
ˆ
Ispat:
nk
N
N −n k
k
n
1−
N −1 N
N
i. denemeyi Ii ile g¨osterelim. Ii de ba¸sarılı olan sonu¸cları 1 veya ba¸sarısızlıkları da 0 ile ve n ba˘
gımsız
denemenin sonucundaki X raslantı de˘gi¸skeninin,
X = I1 + I2 + ... + In
olarak yazabiliriz. Ayrıca, N ¸ce¸sitten, n adet se¸cilenlerin i¸cinden k tane ba¸sarılı olması
P (Ii = 1) =
k
N
k
k
k
E [Ii ] = 1 ∗
+0∗ 1−
=
⇒
N
N
N
E [X] = E [I1 + I2 + ... + In ]
= E [I1 ] + E [I2 ] + ... + E [In ]
k
= n
N
108
1. OLASILIK
olarak elde ederiz. Teorem 10.15’dan
V ar (aX + bY + c) = a2 V ar (X) + b2 V ar (Y ) + 2abCov (X, Y )
V ar (X) = V ar (I1 + I2 + ... + In )
=
n
X
V ar (Ii ) +
i=1
n
X
Cov (Ii , Ij )
i+j=1
V ar (Ii ) = E Ii2 −
k
N
2
2
k
k
k
= 02 ∗ 1 −
+ 12 ∗
−
N
N
N
2
k
k
k
k
=
−
=
1−
N
N
N
N
Cov (X, Y ) = E [XY ] − µX µY
Cov (Ii , Ij ) = E [Ii Ij ] − µIi µIj
k
k−1
∗
⇒
N N −1
2
k
k−1
k
Cov (Ii , Ij ) =
∗
−
N N −1
N
k
k−1
k
1 N −k
=
−
= − 2k
N N −1 N
N N −1
k
1
=−
k 1−
N (N − 1)
N
k
k
1
k
V ar (X) = n
k 1−
1−
− n (n − 1) −
N
N
N (N − 1)
N
k
n−1
k
=n
1−
1+
N
N
N −1
k
k N −n
=n
1−
N
N N −1
E [Ii Ij ] = P (Xi = 1, Xj = 1) =
13.3
Poisson Da˘
gılımı (Poisson Distribution)
Poisson olasılık da˘gılımı kesikli olasılık da˘gılımlarından bir di˘geridir. Poisson olasılık da˘
gılımı, belli bir
zaman diliminde ya da belli bir fiziksel mekanda olu¸san olay sayısı ile ilgili olasılıkları tanımlamakta kullanılmaktadır.
¨
Ornek
13.17. Ankara’da bir hafta i¸cinde meydana gelen trafik kazası sayısı, Bir s¨
uper markette belirli bir
kasiyere bir saatte gelen m¨
u¸steri sayısı, Bir hafta i¸cerisinde herhangi bir fabrika da u
¨retim s¨
urecinde kullanılan
bir makinanın bozulma sayısı, Maden i¸s¸cilerinin bir yıl i¸cerisinde yaptıkları grev sayısı, Bo˘gaz K¨
opr¨
us¨
u’ndeki
herhangi bir gi¸seden 12 saatte ge¸cen ara¸c sayısı
Tanım 13.18. X raslantı de˘gi¸skeninin Poisson da˘gılım fonksiyonu
P (X = i) = p (i, λ) = e−λ
λi
, i = 0, 1, 2, 3, ...
i!
¨
˘
1. ONEMLI
KESIKLI DAGILIM
FONKSIYONLARI
109
Burada λ belirli bir zaman diliminde x’in ger¸cekle¸sme olasılıklarının beklenen de˘geridir. Ve Poisson da˘gılımı
ger¸cekten bir olasılık da˘gılım fonksiyonudur, ¸cu
¨nk¨
u:
∞
X
p (i, λ) = e−λ
i=0
∞
X
λi
i=0
i!
= e−λ eλ = 1
¨
Ornek
13.19. Bir laboratuvar deneyinde radyoaktif elementlerin 1 milisaniyede tepki vermesi ortalama olarak
4 t¨
ur (1 milisaniyede ortalama 4 element tepki veriyor.) Buna g¨
ore 1 milisaniyede 6 elementin tepki vermesi
olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
λ =
P (X = 6) =
4
p (6, 4) = e−4
46
= 0.104 20
6!
¨
Ornek
13.20. Belli bir b¨
olgedeki otobanda ortalama kaza sayısı haftada 3 olarak belirlenmi¸stir. Buna g¨
ore
haftada en az 1 kaza yapma olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
λ =
P (X ≥ 1) =
3
1 − P (X = 0)
=
1 − p (0, 3)
=
1 − e−3
=
30
0!
0.950 21
110
1. OLASILIK
¨
Ornek
13.21. Bir sigorta ¸sirketinin g¨
unl¨
uk olarak sigortaladı˘gı m¨
u¸sterilerinin sayısı 5 tir. Buna g¨
ore g¨
ore en
¸cok 3 m¨
u¸sterinin sigortalanması olasılı˘gı nedir? Gelecek 5 g¨
unden herhangi 3 u
¨nde 4 m¨
u¸sterinin sigortalanması
olasılı˘gı neidr?
C
¸ ¨oz¨
um:
λ
= 5
P (X ≤ 3) = p (0, 5) + p (1, 5) + p (2, 5)
50
51
52
+ e−5 + e−5
0!
1!
2!
= 0.124 65
= e−5
1 − gunde
P (X = 4) = p (4, 5)
54
= 0.175 475
4!
Y − gun
 
5
3
2
P (Y = 3) =   (0.175 475) (1 − 0.175 475)
3
= e−5
5!
(0.175 475)3 (1 − 0.175 475)2
2!3!
= 0.03673 3
=
14
¨
Onemli
S¨
urekli Da˘
gılım Fonksiyonları
14.1
D¨
uzg¨
un S¨
urekli Da˘
gılım (Continuous Uniform Distribution)
Tanım 14.1. [A, B] aralı˘gında X s¨
urekli raslantı de˘gi¸skeninin d¨
uzg¨
un s¨
urekli olasılık da˘gılım fonksiyonu
f (x; A, B) =
ile tanımlanır.



1
B−A
0
,
A≤x≤B
, Aksi durum
¨
¨
˘
1. ONEMLI
SUREKLI
DAGILIM
FONKSIYONLARI
111
¨
Ornek
14.2. Bir ¸sirket, konferans salonunu, 4 saatten fazla kiralamamaktadır. X raslantı de˘gi¸skeni, bir
konferansın s¨
uresini vermek u
¨zere s¨
urekli olasılık da˘gılım fonksiyonunu tanımlayıp, herhangi bir konferansın en
az 3 saat olması olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: X raslantı de˘gi¸skeninin s¨
urekli olasılık da˘gılım fonksiyonunu

 1 , 0≤x≤4
4
f (x; 0, 4) =
 0 , Aksi durum
ile tanımlayabiliriz. Buna g¨ore
P (X ≥ 3) =
Z
∞
f (x; 0, 4) dx =
3
Z
4
3
1
1
dx =
4
4
Teorem 14.3. [A, B] aralı˘gında X s¨
urekli raslantı de˘gi¸skeninin d¨
uzg¨
un s¨
urekli olasılık da˘gılım fonksiyonu
f (x; A, B) olmak u
¨zere X in beklenen de˘geri ve varyansını a¸sa˘gıdaki ¸sekilde veririz:
µX
A+B
2
=
E [X] =
V ar (X) =
(B − A)
12
2
ˆ
Ispat:
µX = E [X] =
Z
∞
xf (x; A, B) dx =
Z
B
A
−∞
x
dx =
B−A
x=B
1
x2 B 2 − A2
A+B
=
=
B − A 2 x=A
2 (B − A)
2
h
i Z ∞
2
2
V ar (X) = E (X − µX ) =
(x − µX ) f (x; A, B) dx
Z
−∞
B
A+B 2
2
x−
dx
B−A
A
2
Z B
1
A+B
A+B
=
x−
dx, x −
=u
B−A A
2
2
Z (B−A)/2
1
u2 du
=
B − A −(B−A)/2
u=(B−A)/2
1
u3 =
B − A 3 u=−(B−A)/2
=
=
14.2
1
(B − A)3
(B − A)2
∗2∗
=
B−A
3∗8
12
Normal Da˘
gılım (Normal Distribution)
˙
¨
Istatistikte
¸cok ¨onemli bir yeri olan da˘gılımdır. Grafi˘gine normal e˘gri (normal curve) denir. Orne˘
gin, ya˘
gmur
ya˘gı¸s miktararının modellenmesi gibi meteolorjik deneyler normal da˘gılım ile ifade edilir. 1733 yılında Abraham DeMoivre normal e˘grilerin denklemlerini geli¸stirmi¸stir. Pek ¸cok istatistik kaynaklarında normal da˘
gılıma,
112
1. OLASILIK
Karl Friedrich Gauss (1777–1855) anısına, Gauss da˘gılımı (the Gaussian distribution) da denir. Gauss, aynı
b¨
uy¨
ukl¨
uklerin tekrarlanması hatasını normal e˘griler ile ili¸skilendirmi¸stir.
Tanım 14.4. X s¨
urekli raslantı de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri E [X] = µX , σ 2 = V ar (X) olmak u
¨zere normal
da˘gılımı n (x; µ, σ) ile g¨
osterilir ve
n (x; µ, σ) =
(x−µX )2
1
√ e− 2σ2 , −∞ < x < ∞
σ 2π
ile tanımlanır. Ve a¸sa˘gıdaki ¨
ozelliklere sahiptir:
(1) n (x; µ, σ) normal da˘gılımı maksimum de˘gerini x = µ noktasında alır.
(2) n (x; µ, σ) normal da˘gılımı x = µ n do˘grusuna g¨
ore simetriktir.
(3) n (x; µ, σ) normal da˘gılımının yatay asimptotu x-eksenidir.
(4) n (x; µ, σ) normal da˘gılımı ve x−ekseni arasında kalan b¨
olgenin alanın 1 dir.
n(x;50,5)
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
20
30
40
50
60
70
80
x
Figure 14.1. (a)Normal da˘gılım e˘grisi, µ = 50, σ = 5, (b) σ1 = σ2 , µ1 < µ2 oldu˘gunda normal
da˘gılım e˘grisi
Figure 14.2. (a)µ1 = µ2 , σ1 < σ2 oldu˘gunda normal da˘gılım e˘grisi, (b) µ1 < µ2 , σ1 < σ2
oldu˘gunda normal da˘gılım e˘grisi
¨
¨
˘
1. ONEMLI
SUREKLI
DAGILIM
FONKSIYONLARI
113
Tanım 14.5. X s¨
urekli raslantı de˘gi¸skeninin normal da˘gılımı n (x; µ, σ) olmak u
¨zere
P (x1 < X < x2 ) =
Z
x2
x1
1
n (x; µ, σ) dx = √
σ 2π
Z
x2
e−
(x−µX )2
2σ2
dx
x1
ile tanımlanır.
Figure 14.3. P (x1 < X < x2 )
Tanım 14.6. X s¨
urekli raslantı de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri E [X] = 0, V ar (X) = 1 ise n (x; 0, 1) normal
da˘gılımına standart normal da˘gılım denir.
1
x2
n (x; 0, 1) = √ e− 2
2π
Lemma 14.7.
P (x1 < X < x2 ) =
=
Z
x2
x1
Z z2
n (x; µ, σ) dx
n (z; 0, 1) dz,
z1
z1
=
z2
=
x1 − µX
,
σ
x2 − µX
σ
114
1. OLASILIK
ˆ
Ispat:
P (x1 < X < x2 ) =
Z
x2
n (x; µ, σ) dx
x1
Z x2
(x−µX )2
1
√
e− 2σ2 dx,
σ 2π x1
x − µX
z=
⇒ σdz = dx
σ
Z z2
z2
1
√
e− 2 σdz
P (x1 < X < x2 ) =
σ 2π z1
Z z2
Z z2
2
1
− z2
e
dz =
n (z; 0, 1) dz
=√
2π z1
z1
=
= P (z1 < Z < z2 )
¨
Ornek
14.8. Standart normal da˘gılım i¸cin P (Z > 1.84) , P (−1.97 < Z < 0.86) olasılıklarını hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um: P (Z ≤ 1.84) de˘geri i¸cin (1.84 = 1.8 + 0.04) tabloda dikey s¨
utunda z = 1.8 de˘
gerini bulduktan
sonra yatay s¨
utunda z = 0.04 de˘gerininin kesi¸sti˘gi de˘geri bulmaktır. Buna g¨ore P (Z ≤ 1.84) = 0.9671 dir.
P (Z > 1.84) =
=
P (−1.97 < Z < 0.86) =
1 − P (Z ≤ 1.84)
1 − 0.9671
P (Z < 0.86) − P (Z ≤ −1.97)
P (Z < 0.86) de˘geri i¸cin (0.86 = 0.8 + 0.06) tabloda dikey s¨
utunda z = 0.8 de˘gerini bulduktan sonra yatay
s¨
utunda z = 0.06 de˘gerininin kesi¸sti˘gi de˘geri bulmaktır. Buna g¨ore P (Z ≤ 0.86) = 0.8051 dir. P (Z ≤ −1.97)
de˘geri i¸cin (−1.97 = −1.9 − .07) tabloda dikey s¨
utunda z = −1.9 de˘gerini bulduktan sonra yatay s¨
utunda
z = 0.07 de˘gerininin kesi¸sti˘gi de˘geri bulmaktır. Buna g¨ore P (Z ≤ −1.97) = 0.0244 dir. Buna g¨
ore
P (−1.97 < Z < 0.86) =
=
P (Z < 0.86) − P (Z ≤ −1.97)
0.8051 − 0.0244 = 0.7807
¨
Ornek
14.9. Standart normal da˘gılım i¸cin
(i) P (Z > k) = 0.3015
(ii)P (k < Z < −0.18) = 0.4197 de˘gerlerini veren k nedir?
¨
¨
˘
1. ONEMLI
SUREKLI
DAGILIM
FONKSIYONLARI
115
C
¸ ¨oz¨
um: (i)
P (Z > k) =
0.3015 = 1 − P (Z ≤ k) ⇒
P (Z ≤ k) =
1 − 0.3015 = 0.6985
0.69 de˘gerinde olan z=0.5 ve satırlarını takip edersek z=0.52 sonucunu elde ederiz. B¨oylece k = 0.52 de˘
gerini
buluruz.
(ii)
0.4197 =
P (k < Z < −0.18) = P (Z < −0.18) − P (Z ≤ k)
=
0.4286 − P (Z ≤ k) ⇒ P (Z ≤ k) = 0.4286 − 0.4197
=
0.0089
de˘gerini alan tabloda z = −2.37 de˘geridir. O halde k = −2.37.
¨
Ornek
14.10. X s¨
urekli raslantı de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri µX = 50, σ = 10 olmak u
¨zere P (45 < X < 62)
olasılı˘gını bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um: x1 = 45, x2 = 62,
P (45 < X < 62) =
=
Z
x2
x1
Z z2
n (x; 50, 10) dx
n (z; 0, 1) dz
z1
=
P (z1 < Z < z2 )
x1 − µX
45 − 50
=
= −0.5,
σ
10
x2 − µX
62 − 50
z2 =
=
= 1.2
σ
10
z1 =
P (45 < X < 62) = P (−0.5 < Z < 1.2)
= P (Z < 1.2) − P (Z ≤ −0.5)
= 0.8849 − 0.3085
= 0.5764
¨
Ornek
14.11. X s¨
urekli raslantı de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri µX = 300, σ = 50 olmak u
¨zere X raslantı
de˘gi¸skeninin 362 den b¨
uy¨
uk olması olasılı˘gı nedir?
116
1. OLASILIK
C
¸ ¨oz¨
um:
z2 =
362 − 300
= 1.24
50
P (X > 362) =
P (Z > 1.24)
=
1 − P (Z ≤ 1.24)
=
1 − 0.8925
=
0.1075
¨
Ornek
14.12. X s¨
urekli raslantı de˘gi¸skeninin beklenen de˘geri µX = 40, σ = 6 olmak u
¨zere ¸sekildeki alanların
%45 olması ve %14 olması i¸cin x de˘geri ne olmalıdır?
C
¸ ¨oz¨
um:
P (X < x)
P (X < x)
z
= 0.45 ⇒ x =?
Z x
(t−µX )2
1
√
=
e− 2σ2 dt
σ 2π −∞
Z x
(t−40)2
1
√
=
e− 2∗62 dt
6 2π −∞
t − 40
=
⇒ 6dz = dt
6
Z x−40
6
1
z2
√
=
e− 2 6dz
6 2π −∞
Z x−40
6
z2
1
= √
e− 2 dz
2π −∞
x − 40
= P Z<
= 0.45
6
Bu ise tabloda baktigimzda P(Z¡-0.13)=0.4483 de˘geriyle birlikte
x − 40
≃ −0.13 ⇒ x ≃ 6 ∗ (−0.13) + 40 = 39.22
6
¨
¨
˘
1. ONEMLI
SUREKLI
DAGILIM
FONKSIYONLARI
117
olmalıdır. Benzer ¸sekilde
P (X > x)
=
P (X > x)
=
0.14 =
P
x − 40
=
Z≤
6
0.14 ⇒ x =?
x − 40
P Z>
= 0.14 ⇒
6
x − 40
⇒
1−P Z ≤
6
1 − 0.14 = 0.86 ⇒
tabloda P(Z¡1.08)=0.8599 olması ile birlikte
x − 40
≃ 1.08 ⇒ x ≃ 6 ∗ 1.08 + 40 = 46.48
6
¨
Ornek
14.13. 3 yıllık ortalama pil ¨
omr¨
une sahip bir bataryanın standart sapması 0.5 olarak veriliyor.
Bataryanın ¨
omr¨
un¨
un normal da˘gılıma sahip oldu˘gu bilindi˘gine g¨
ore bir bataryanın ¨
omr¨
un¨
un 2.3 yıldan az olması
olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: µX = 3, σ = 0.5 ⇒ P (X < 2.3)
P (X < 2.3) =
z
=
=
=
=
Z 2.3
(t−3)2
1
√
e− 2∗0.52 dt
0.5 2π −∞
t−3
t − µX
=
σ
0.5
Z 2.3−3
0.5
z2
1
√
e− 2 0.5dz
0.5 2π −∞
2.3 − 3
P Z<
= −1.4
0.5
0.0808
¨
Ornek
14.14. Bir elektrik fabrikasi, bir lambanın ı¸sık vermesini normal da˘gılımlı olarak verip, ortalama
omr¨
¨
un¨
un 800 saat ve standart sapmasının 40 oldu˘gunu belirtmi¸stir. Buna g¨
ore bir lambanın 778 ile 834 saatleri
arasında ı¸sık vermesi olasılı˘gı nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
µx
=
P (778 < X < 834) =
=
800, σ = 40
778 − 800
834 − 800
P
<Z<
40
40
P (−0.55 < Z < 0.85)
=
P (Z < 0.85) − P (Z < −0.55)
=
0.8023 − 0.2912 = 0.5111
118
1. OLASILIK
¨
Ornek
14.15. Bir sınıfta not ortalaması 74 ve standart sapması 7 olarak veriliyor. Sınıftaki A alanların
y¨
uzdesi %12, ve sınıftaki not da˘gılımı normal da˘gılım ile verildi˘gine g¨
ore sınıftaki en d¨
u¸su
¨k A notu ve en y¨
uksek
B notu nedir?
C
¸ ¨oz¨
um:
µX
k − 74
P Z>
7
k − 74
P Z≤
7
k − 74
7
= 74, σ = 7 ⇒ P (X > k) = 0.12 ⇒
k − 74
= 0.12 ⇒ 1 − P Z ≤
= 0.12 ⇒
7
= 1 − 0.12 = 0.88 ⇒ P (Z ≤ 1.17) = 0.8790 ⇒
≃ 1.17 ⇒ k = 7 ∗ 1.17 + 74 = 82.19
O halde en d¨
u¸su
¨k A notu 83 olup en y¨
uksek B notu da 82 dir.
¨
¨
˘
1. ONEMLI
SUREKLI
DAGILIM
FONKSIYONLARI
Figure 14.4. Normal Dagilim Tablosu
119
Chapter 2
˙
Istatistik
1
¨
Giri¸s - Orneklem
Teorisi (Sampling Theory)
˙
Istatistik,
• verilerin toplanması,
• organize edilmesi,
• ¨ozetlenmesi,
• sunulması,
• tahlil edilmesi ve
• bu verilerden bir sonuca varılabilmesi i¸cin
kullanılan bilimsel metotlar toplulu˘gudur.
¨
Tanım 1.1. Uzerinde
¸calı¸sılan t¨
um gruba ya da istatistiksel sonu¸cların genelle¸stirileceg˘gi gruba kitle denir.
Ya da u
¨zerinde ¸calı¸stı˘gımız birimlerin (insanlar, nesneler, olaylar, kayıtlar) olusturdu˘gu k¨
umeye kitle denir.
Tanım 1.2. Bir kitlenin her u
¨yesi i¸cin ¨
ol¸cu
¨lebilir olan bir de˘gi¸skene, bu kitlenin bir karakteristi˘gi denir.
Tanım 1.3. Bir kitlenin tamamlayici sayısal ¨
ol¸cu
¨s¨
une parametre denir. Kitledeki g¨
ozlemlere dayandı˘gından
de˘geri genellikle bilinmemektedir.
¨
Ornek
1.4. Bir incelemede T¨
urkiye’de ya¸sayan yeti¸skinlerin boy uzunlukları ile ilgileniliyorsa kitle, T¨
urkiye’deki
t¨
um yeti¸skinler; karakteristik, her bir sahsın boy uzunlu˘gu olacaktrr. Parametre, kitlenin ortalama boy uzunlu˘gu
olabilir veya en uzun boy uzunlu˘gu veya en kısa boy uzunlu˘gu olabilir.
¨
Ornek
1.5. 1999 yılında u
¨retilen arabaların hızları ile ilgileniyorsak, kitle 1999 de u
¨retilen arabalann t¨
um¨
u,
karakteristik her bir arabanın hızı olacaktır. Parametre kitledeki en ¸cok hız yapan arabanın hızı olabilir. Ortalama
hız olabilir.
• Herhangi deneysel bir ¸calı¸smaya ba¸slamadan once kitlenin ve ¨ol¸cu
¨lcek karakteristiklerin a¸cık¸ca tanımlanmi¸s
¨
olması gerekir. Uygulamada, ara¸stırmaci kar¸sılastı˘gı kitlenin t¨
um u
¨yelerini inceleyemez. Orne˘
gin, bir
b¨olgenin t¨
um y¨
uksek tansiyonlu hastalari kontrol edilemedi˘gi gibi her birine deneysel ila¸cta verilemez.
121
˙
2. ISTATISTIK
122
Buradaki gibi arastirmaci kitlenin sonlu sayıdaki u
¨yelerinin karakteristiklerinin ¨ol¸cu
¨mleriyle yetinmek
zorunda kalacaktir.
Tanım 1.6. Bir kitlenin belli bir ¨
ozelli˘gini incelemek u
¨zere, kitlede belirli kurallara g¨
ore se¸cilen birimler
¨
toplulu˘guna ¨
orneklem (ya da ¨
ornek) denir. Orneklem
kitle birimlerinin g¨
ozlenen bir alt k¨
umesidir.
Tanım 1.7. Bir ¨
orneklemin tamamlayici sayısal olgusuna ¨
orneklem istatisti˘gi denir.
¨
Ornek
1.8. Kitle Ankara ili sınırları i¸cindeki t¨
um y¨
uksek tansiyonlu hastalar ise ¨
ol¸cu
¨mlerin yapildi˘gi 200
˙
ki¸silik bir grup bir ¨
orneklem olu¸sturur. Istatistik; ¨
orneklemin kan basıncı ortalaması olabilir.
Tanım 1.9. Bir o
¨rneklemden bulunacak degerleri x ile gosterecegiz, x1 , ilk de˘gere kar¸sılık; x2 , ikinci de˘gere
¨
kar¸sılık, v.s. gelir. Orneklemde
n g¨
ozlem varsa, onların de˘gerleri x1 ; x2 , ..., xn dir.
<>: T¨
um kitle yerine neden ¨once ¨orneklem se¸ceriz?
¨
1.: Orneklem
se¸cmek i¸cin zaman fakt¨or¨
u, kaynaklar ve uygulama amacıyla ara¸stırmacının sabrı kitleyi
¨ol¸cmeyi olanaksız yapabilir.
¨
¨
Ornek
1.10. Ozel
bir televizyon programının be˘genilip be˘genilmedi˘gi konusunda yargıya varmak i¸cin u
¨lkedeki
her bir televizyon seyircisinin d¨
u¸su
¨ncesini ¨
o˘grenmek uzun zaman alacak ve pahalı olacaktır. O halde ¨
ornekleme
dayanarak yargıya varmamız gerekecektir.
¨
Ornek
1.11. Kar¸sıla¸sılan bir ¨
ornek olarak n¨
ufus sayımını verebiliriz. Burada kitlenin t¨
um¨
u ¨
ol¸cu
¨lmektedir.
C
¸u
¨nk¨
u, zaman ve kaynaklar bunu yapmak i¸cin uygundur.
¨
2.: Orneklemenin
tek se¸cenek olmasıdır.
˙
¨
Ornek
1.12. Insanlıkla
ilgili tıbbi deneylerde ahlaki d¨
u¸su
¨celere dayanan u
¨¸cu
¨nc¨
u bir neden vardir. S
¸¨
oyle ki bir
hastanın tedavisinde yeni bir y¨
ontem geli¸stirmede, bir operasyonun etkilerinin hastaya acı ve zarar vermeden
bulunması gerekmektedir. Yeni y¨
ontemler i¸cin dikkatle se¸cilmi¸s bir ¨
orneklem kullanılması en iyi yoldur.
¨
¨
<>: Orneklemin
istenilen oranın altında olmamasını sa˘glamak gerekmektedir. Orneklem
k¨
ot¨
u bir ¸sekilde
¨
se¸cilmi¸sse, matematiksel ve istatistiksel y¨ontemler bizi istenilen sonuca g¨ot¨
urmemektedir. Ornekleme
¨
tekni˘gi ¸ca˘gimizin bilimsel ara¸stırmalarında ¸cok ¨onemli yer tutmaktadır. Orneklem
se¸ciminde en ¸cok
¨
dikkat edilmesi gereken nokta ¨orneklemin kitle i¸cin temsil edici olmasıdır. Ornegin, u
¨lkemizdeki
yeti¸skinlerin boy uzunlukları ortalaması hesaplanmak isteniyorsa ve biz basketbol oyuncularından
olu¸san bir ¨orneklem se¸cmi¸ssek, ¨orneklem kitleyi temsil edici olmayacak, bulunan sonu¸clar kitle i¸cin
uygulanamayacaktir.
Tanım 1.13. Bir kitle sonlu sayıda ya da sayılabilir sayıdaki birimlerden ya da elemanlardan olu¸smu¸ssa kitleye
kesikli kitle denir. Kitle kesikli de˘gilse s¨
urekli kitle denir.
¨
Ornek
1.14. Belli bir A tipinde sigara i¸cenlerin sayısı kesikli olmakla beraber, A tipinde sigara i¸cme zamanının
uzunlu˘gu s¨
ureklidir.
¨
2. GIRIS
¸ - ORNEKLEM
TEORISI (SAMPLING THEORY)
123
˙
<>: Istatistiksel
¨ornekleme kuramı uygulamalı problemleri ¸c¨ozmek i¸cin kullanılan y¨
ontemleri vermektedir. Kuram rasgele se¸cilmis ¨orneklemlere dayanır. Rasgele ¨orneklem olasılık ¨orneklemi olarak ta
d¨
u¸su
¨n¨
ul¨
ur. Yani, kitledeki her bir ¨o˘genin ¨ornekleme se¸cilme ¸sansı bilinmektedir. Rasgele o¨rneklemin
tanımı ger¸cekten se¸cim y¨onteminin tanımıdır.
Tanım 1.15. Bir kitlenin her bir ¨
o˘gesinin se¸cilme ¸sansı e¸sit ise ¨
ornekleme rasgele se¸cilmi¸s ¨
orneklem denir.
Aynı nedenle, ¨
orneklem rasgele se¸cilmis ve n birimden olusuyorsa n ¨
o˘geli t¨
um olanaklı ¨
orneklemler e¸sit se¸cilme
¸sansına sahiptirler. N kitle b¨
uy¨
ukl¨
u˘gu
¨, n bu kitleden se¸cilecek basit rasgele ¨
orneklemdeki birim sayisını g¨
ostermek
u
¨zere bu kitleden
CN,n =
N!
n! (N − n)!
sayıda ¨
orneklem se¸ceriz. Kitle homojen yapıda ise genellikle basit rasgele ¨
orneklem se¸cilir.
¨
Ornek
1.16. B, C, D, E harflerinin olusturdugu bir kitleden n = 2 birimlik t¨
um ¨
orneklemler C4,2 = 4!/2!∗2! =
6 olup
BC, BD, BE, CD, CE, DE
dir. . B, 3 ¨
orneklemin icinde yer alır. Boylece B nin ¨
ornekleme girme ¸sansi
P (B) =
3
1
=
6
2
bulunur. Benzer ¸sekilde P (C) = P (D) = P (E) = 1/2 olup kitlenin herbir ¨
o˘gesinin se¸cilme ¸sansı e¸sittir.
Aynca 6 ¨
orneklemin her biri ayni ¸sansa sahiptir. (Yani P (BC) = ... = P (DE) = 1/6 dir. B¨
oylece basit rasgele
orneklemin se¸cimine ili¸skin ¨
¨
ozelliklerinin sa˘glandı˘gı g¨
or¨
ulmektedir.
¨
• Orneklem
se¸ciminde a¸sa˘gıdaki rasgele sayılar tablosundan da yararlanılır.
124
˙
2. ISTATISTIK
¨
2. GIRIS
¸ - ORNEKLEM
TEORISI (SAMPLING THEORY)
125
¨
Ornek
1.17. 100 fare arasından kontrol ve ila¸c grubu olarak d¨
u¸su
¨n¨
ulen 5 er deneklik iki gruba fareler nasıl
se¸cilir?
¨
C
¸ ¨oz¨
um: Once
hayvanlar 1 den 100 e kadar numaralanır. Sonra rasgele sayılar tablosu 1.1 den faydalanarak
¨
herhangi bir yer ba¸slangı¸c noktası olarak belirlenir. Orne˘
gin 3.s¨
utunu se¸celim. Tablodaki 5 basamaklı sayıların
ilk iki rakam se¸cilerek kontrol gurubundaki fareyi temsil etmi¸s olur. Sonraki satırdaki ilk iki basamak ise ila¸c
gurubundaki fareyi temsil edicektir. Bu y¨ontemle 10 fare se¸cilene kadar devam ederiz. E˘ger 00 ¸cekilmi¸sse 100 u
¨
temsil edicektir ve aynı sayıya rastlarsak bir sonrakine ge¸ceriz. Bu y¨ontemle se¸cilen 10 fare a¸sa˘
gıdaki gibi olur:
Kontrol Grubu 68 11 02
˙ c Grubu
Ila¸
83 19 03
20 34
21 71
Tanım 1.18. Bir ba¸ska ¨
orneklem se¸cimi de sistematik ¨
orneklem se¸cimidir. Bir sistematik rasgele ¨
orneklem
bir kitlenin her i nci elemanını i¸ceren bir ¨
orneklemdir
¨
¨
Ornek
1.19. Orne˘
gin a¸sa˘gıdaki gibi 20 elemanlı bir kitle olsun:
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U.
˙ 5 elemandan biri ile ba¸slarız ve bunları 1,2,3,4,5 ile numaraHer i = 5. elaman ¨
orneklemde yer alsın. Ilk
¨
landırırız. Rasgele sayılar tablosu 1.1 dan bir ba¸slangı¸c noktası se¸ceriz. Orne˘
gin 1.satır ve 1.s¨
utundaki 93108
sayısı ile ba¸slayalım. Bu sayıdaki ilk rakam 9, numaralandırdı˘gımız 1,2,3,4,5 den biri olmadı˘gından kullanamayız. Sonraki rakama ge¸ceriz yani 3. 3 sayısı uygundur ve harf olarak C ye kar¸sılık gelir. C den sonra 5. harf
olan H, ve sonraki 5.harf olan M, ve sonraki 5. harf olan S ¨
ornekleme girer.
• G¨or¨
uld¨
u˘gu
¨ gibi basit ve sistematik rasgele ¨orneklem se¸cimi y¨ontemleri birbirinden farklıdır.
• Kitleler bir liste halinde ya da dosyada kayıtlı olarak verilmi¸sse bu kitlelerden sistematik rasgele
¨orneklem secilir.
¨
Tanım 1.20. Bir ba¸ska ¨
orneklem se¸cimi de Tabakalı Rasgele Orneklem
Se¸cimi dir. Kitle ¨
oncelikle tabakalandırılır ve her bir tabakadan rasgele o
¨rneklem se¸cilir. T¨
um kitleden do˘grudan se¸cim yerine, her bir tabakadan
se¸cilecek ¨
orneklem b¨
uy¨
ukl¨
u˘gu
¨ne ¨
onceden karar verilir ve her birinden eleman alınması sa˘glanır. Genel bir kural
olarak, tabakalı ¨
orneklemenin rasgele ¨
orneklemeden daha iyi sonu¸c verdi˘gi s¨
oylenir. Tabakalar arasındaki farklar
tabakalar i¸cindeki farklardan b¨
uy¨
uk ise tabakalı ¨
ornekleme basit rasgele ¨
orneklemeye g¨
ore daha iyi sonu¸c verecek¨
tir. Tabakalı rasgele ¨
ornekleme insan kitlelerine ili¸skin ¨
orneklem alırken yaygın olarak kullanılır. Orneklemler;
ya¸s, e˘gitim d¨
uzeyi, cinsiyet, gelir d¨
uzeyi, co˘grafi b¨
olge vs. gibi karakteristiklere gore tabakalandırılır.
¨
Tanım 1.21. Bir ba¸ska ¨
orneklem se¸cimi de Rasgele K¨
ume Orneklemleri
dir. Burada ¨
once k¨
umeler se¸cilir,
¨
sonra her bir k¨
umenin elemanlarının t¨
um¨
u ya da bir kısmı ¨
ornekleme alınır. Orne˘gin: Geni¸s bir sanayi
b¨
olgesinde fabrikalarda ¸calı¸san i¸s¸cilerin ¸calı¸sma ko¸sullarma ili¸skin davranı¸sları hakkında bilgi sahibi olmak istediginizi kabul edelim. Her bir fabrika, i¸s¸cilerin bir k¨
umesini olu¸sturur. B¨
oylece fabrikaların bir basit rasgele
orneklemini segeriz. Sonra bu fabrikalarda ¸calı¸sanlardan rasgele ¨
¨
orneklemler se¸cer ve onlarla g¨
or¨
u¸sme yaparız.
Bu y¨
onteme iki asamalı (adımlı) ¨
ornekleme denir. Ilk a¸sama k¨
umelerin bir ¨
ornekleminin se¸cilmesidir, ikinci
˙
2. ISTATISTIK
126
a¸sama ise se¸cilen her bir k¨
umedeki elemanların bir ¨
ornekleminin se¸cimidir.
Ekonomik olmasi nedeni ile sık sık kullanılan bir ¨
ornekleme y¨
ontemidir. K¨
ume ¨
orneklemeleri homojen yapıdaki
kitlelerde ¸cok iyi ¸calı¸sır. Fakat, kitleler ¸co˘gu zaman homojen de˘gildir. Bununla birlikte ¨
once tabakalama yapılırsa
tabakalar nispeten homojen yapıda olur Sonu¸c olarak farklı tabakalara sahip bir kitleden k¨
ume o
¨rneklemesi
¨
yapılacaksa, ¨
once tabakalama yapılmalı sonra her bir tabakadan k¨
ume ¨
orneklemleri se¸cilmelidir. Ornegin, bir
sehir i¸cin gelir da˘gilim hakkında bilgi sahibi olmak istiyorsak, ¨
once d¨
u¸su
¨k, orta ve y¨
uksel gelir gruplarına gore
tabakalama yapılır. Sonra k¨
ume ¨
orneklemesine ge¸cilir.
2
Veri D¨
uzenlemesi ve Analizi
2.1
¨
Giri¸s ve Onbilgiler
Tanım 2.1. Bir ara¸stırmacı tarafından g¨
ozlemlerden elde edilen sonu¸clara veri denir.
Veri genellikle d¨ort farklı yolla toplanır.
(1) Yayınlanmı¸s kaynaklardan,
(2) Tasarlanmı¸s bir denemeden
(3) Anket sonu¸clarından
(4) G¨ozlem sonu¸clarının toplanmasından
˙
Tanım 2.2. Istatistiksel
ara¸stırma yapılırken, belli bir toplulu˘ga ya da toplulu˘gu olu¸sturan birimlere ili¸skin bilgi
toplamaya ”derleme (veri toplaması)” denir. Ba¸ska bir deyi¸sle derleme ele alinan ¨
ozelli˘gin (ya da ¨
ozelliklerin)
¨
toplulu˘gu olu¸sturan birimlerdeki t¨
url¨
u g¨
or¨
un¨
umlerinin saptanmasıdır. Orne˘gin, belirli bir zamanda, belli bir
okulun, belli bir sınıfındaki ¨
o˘grencilerin boyları, a˘gırlıkları, cinsiyetleri, karde¸s sayısı, baba mesle˘gi u
¨zerinde
ara¸stırma yapılacaksa ele alınan ¨
ozelliklere ”boy, a˘gırlık, karde¸s sayısı, baba mesle˘gi” ili¸skin bilgi toplandı˘gında
derleme yapılmı¸s olur.
Veri toplama bir istatistiksel ara¸stırmanın en ¨onemli a¸samasından biridir. Bu nedenle en uygun veri toplama
tekni˘ginin se¸cimi de ¨onemlidir. Veri toplama kapsamı bakımından ”tamsayim” ve ”¨ornekleme” olmak u
¨zere ikiye
ayrılır.
¨
Tanım 2.3. Kitleyi olusturan t¨
um birimlerden veri elde etmek demektir. Ornegin,
n¨
ufus sayımı bir tamsayımdır.
Tanım 2.4. Bir kitleden ¨
orneklem se¸cme s¨
urecine ¨
ornekleme denir.
Tanım 2.5. Toplanan verilerin yararlılık derecesi u
¨¸c fakt¨
ore ba˘glıdır
(1) Maliyet: Bir verinin yararlı olması i¸cin oncelikle sa˘glayaca˘gı fayda, verinin elde edilmesi i¸cin yapılan harcamadan b¨
uy¨
uk olmalıdır
(2) Do˘gruluk ta¸sımalıdır
(3) Hızlıdır.
Tanım 2.6. (Betimsel ama¸clı istatistik) Kitledeki t¨
um birimlerden ilgili de˘gi¸sken ya da de˘gi¸skenler i¸cin veri
toplandı˘gında bunları kullanarak kitleyi ¨
ozetlemeyi (betimlemeyi) ama¸clar. Bu ise frekans da˘gılımı olu¸sturularak,
grafikler c¸izilerek ya da parametreler (kitle ortalaması ve varyansı) hesaplanarak yapılır.
¨
2. VERI DUZENLEMESI
VE ANALIZI
127
Tanım 2.7. (T¨
umevarımsal amaclı istatistik) Kitle(ler) den rastgele se¸cilen ¨
orneklem(ler) den toplanan verileri kullanarak kitle(ler) nin parametrelerini tahmin etmeyi veya parametrelerle ilgili olan savların do˘gru olup
olmadı˘gının ara¸stırılmasını ama¸clar. Yalnız ¨
orneklem g¨
ozlendi˘ginde belirsizlikler i¸ceren kitle hakkiında sonu¸clar
¨
¸cıkarlmak istenebilir. Orneklemdeki g¨
ozlemlerden kitle hakkındaki ¨
onermelere ge¸cmek i¸cin geli¸stirilen s¨
ure¸cle
istatistiksel sonu¸c ¸cıkarılır.
2.2
Veri D¨
uzenlemesi
Veri organizasyonu, ¨ozetlenmesi ve istatistiksel analizi icin y¨ontemler d¨
u¸su
¨n¨
uld¨
u˘gu
¨nde, iki tip veri ele almamız gerekecektir.
A˘gırlık, uzaklık, zaman veya bireylerin veya kusurların sayısı gibi de˘gerlerden olu¸san n¨
umerik o¨l¸cu
¨mlere
sayısal (nicel) veri denir. Bunlar do˘gal sayısal ¨ol¸cek u
¨zerinde kaydedilen ¨ol¸cu
¨mlerdir. Nitelik belirleme amacina
y¨onelik g¨
ozlemlerin sonucunda ise kategorik (nitel) veri elde edilir. Bunlar dogal sayısal ¨ol¸cek u
¨zerinde o¨l¸cu
¨lemeyen
¨
ve kategorilerin bir grubu i¸cine sınıflandırılan ¨ol¸cu
¨mlerdir. Orne˘
gin Jeoloji ile ilgili bir ara¸stırmada kaya t¨
urleri
˙
inceleniyorsa, nitelikler g¨oz ¨on¨
une alınarak sınıflandırma yapılır. Inceleme
konusu kitlenin bir bireyden di˘
gerine
de˘gi¸skenlik g¨osteren ¨ozellikler bize niteliksel veri verecektir.
Birimlerin farklı de˘gerler alabildikleri nitelik veya niceliklerine de˘gi¸sken denir.
De˘gi¸skenleri a¸sa˘gıdaki gibi sınıflandırabiliriz.
¨ cme ve sayma de˘gi¸skenleri: (N¨
(1) Ol¸
umerik de˘gi¸skenler)
• S¨
urekli de˘gerler alan de˘
gi¸skenler (Y¨
ukseklik, a˘gırlık, uzunluk, zaman, sıcaklık, hacim vs.). Belli
bir aralıktaki her de˘geri alabilen de˘gi¸skenler.
• Kesikli de˘ger alan de˘gi¸skenler (Satılan birimlerin sayısı, giri¸s hatalarının sayısı, reddetme sayısı,
u
¨retilen mal sayısı, ailedeki ¸cocuk sayısı, farklı g¨
unlerde bir fabrikadaki kaza sayısı). Tam de˘
gerler
alabilen de˘gi¸skenler.
(2) Sıralama de˘gi¸skenleri: Bazi de˘gi¸skenlere ait de˘gerler ¨ol¸cu
¨mle belirlenmemekle beraber b¨
uy¨
ukl¨
ukleri
itibariyle siralanabilirler (1., 2., 3., ...vs. sıralama i¸slemi yapılır.)
¨
¨
(3) Ozellik
belirten de˘gi¸skenler: Ozellikle
kalite ve durum gibi nitel ¨ozellik belirten de˘gi¸skenleri bu sınıfa
koyabiliriz. Ornegin, siyah-beyaz, ¨ol¨
u-canlı, erkek-di¸si, evli-bekar, ¨o˘grenim durumu-meslek gibi nitel
bir ¨ozellik s¨oz konusu oldu˘gunda g¨ozlenen durumlara dayanarak da˘gılım d¨
uzenlenir.
¨
2.8. 100 ¨
o˘grencinin cinsiyetine gore da˘gılımı
Ornek
Cinsiyet
G¨
ozlem Sayısı
Oran
Kız
48
48/100
Erkek
52
52/100
Toplam
100
1
˙
2. ISTATISTIK
128
¨
Ornek
2.9. 60 kobay renkleri itibari ile siyah, alaca ve gri olarak ayrılıyorsa a¸sa˘gidaki gibi bir da˘gılım elde
ederiz.
2.3
Renk
G¨
ozlem Sayısı
Siyah
4
Alaca
2
Gri
54
Toplam
60
Frenkans (Sıklık) Da˘
gılımı
Derlenen veri u
¨zerinde herhangi bir i¸slem yapılmamı¸ssa, bunlara ”ham veri” ya da sınıflandırılmanı¸s (gruplandırılmamı¸s) veri denir. Birim sayısı az olan yı˘gınların ¸ce¸sitli ¨ozellikleri ham veriye dayanarak kolaylıkla
belirtilir. Yı˘gın ¸cok sayıda birimden olu¸suyorsa, bunları sınıflandırmakla yı˘gının ¸ce¸sitli ¨ozelliklerini belirlemek
kolayla¸sacaktır. Sınıflandırmanın en do˘gru yolu frekans tablosudur. Burada, g¨ozlenen veri sınıflara ayrılır.
Sonu¸clanan tablo her bir sınıftaki g¨ozlem sayısını verecektir.
Frekans tablosunu hazırlamak i¸cin a¸sa˘gıdaki adımlar izlenir:
• I. Adım: G¨ozlemlerin sayısı belirlenir. n = G¨ozlem sayısını g¨osterir (50≤n tercih edilir).
• II. Adım: En b¨
uy¨
uk de˘ger (L) ve en k¨
u¸cu
¨k de˘ger (S) bulunur. (L-S) farkı hesaplanır. R ile g¨
osterilen
bu farka de˘gi¸sim geni¸sli˘gi (range) denir.
√
• III. Adım: Sınıf sayısı bulunur. n < k (k=tamsayı), sınıf sayisi k ile g¨osterilir. Kesin bir yakla¸sım
olmamakla birlikte sınıf sayisi i¸cin k = 1 + 3.3 ∗ log n form¨
ul¨
u de kullanılabilir. Genel olarak 5 ≤ k ≤ 20
se¸cilmesi benimsenir.
• IV. Adım: Sınıf geni¸sli˘gi: Ardı¸sık iki sınıfın alt (ya da u
¨st) sınıf limitleri arasındaki farka da˘
gılım i¸cin
sınıf geni¸sli˘gi denir. Baska bir sınıflamaya gerek duyulmadık¸ca sınıf geni¸sliklerini e¸sit alma yoluna
¨
gidilir. Sınıf geni¸sli˘gi = h olmak u
¨zere R = L−S ≤ h alınır. Ozellikle
tamsayı olan g¨
ozlemler i¸cin h
k
k
nin tamsayı olması istenir.
• V. Adım: Sınıf limitleri: Frekans da˘gılımında sınıfları belirlemek i¸cin kullanılan sayılardır. En k¨
u¸cu
¨k
g¨ozlem de˘gerine e¸sit ya da daha k¨
u¸cu
¨k olarak ilk sınıfın alt limiti se¸cilir. Bu de˘gere ardı¸sık olarak sınıf
geni¸sli˘ginin eklenmesiyle di˘ger sınıfların alt limitleri bulunur. Verinin s¨
urekli ya da kesikli olmasına
g¨ore ilk sınıftan ba¸slayarak u
¨st limitler de aynı yolla bulunur.
• VI. Adım: Sınıf sınırları belirlenir.
i. sınıfın u
¨ st limiti + bir sonraki sınıfın alt limiti
2
= i. sınıfın u
¨st sınıf sınırı
• VII. Adım: Sınıf frekansı: Her sınıf i¸cin -sınıf limitleri dahil -o sınıfa d¨
u¸sen g¨ozlem sayısı (sınıf frekansı)
saptanır. Frekanslan f1 , f2 , f3 , ..., fk ile g¨osteririz.
• VIII. Adım: Sınıf orta noktası: Sınıf limitlerinin ya da sınıf sınırlarının ortalaması alnarak her sınıf
˙ sınıfın
i¸cin sınıf orta noktaları (SINIF ORTASI) bulunur. Sınıf ortalarını y1 , y2 , ..., yk ile g¨osteririz. Ilk
sınıf ortası bulunduktan sonra ardı¸sık olarak sınıf geni¸sli˘ginin eklenmesiyle di˘ger sınıfların sınıf ortaları
bulunur.
• IX. Adım: Frekanslan s¨
utun olarak yazdıktan sonra toplamları alınarak kontrol edilir. f1 + f2 + f3 +
... + fk = n olmalıdır.
¨
2. VERI DUZENLEMESI
VE ANALIZI
129
• X. Adım: Eklemeli frekans: Ardı¸sık olarak frekanslan f1 , f1 + f2 , f1 + f2 + f3 ,... bi¸ciminde toplayarak
eklemeli frekans s¨
utunu olu¸sturulur.
¨
Unutulmaması Gerekn Onemli
Notlar:
(1) Sınıflar ayrık olmalıdır. Yani her veri yalnız bir sınıfta yer almalıdır.
4, 00 − 4, 50
4, 50 − 5, 00
gibi sınıflar varsa I. aralı˘gın u
¨st limiti, Il.nin alt limiti aynı sayıdır. Bu iki sınıf ayrık de˘
gildir. O halde
aralıklar:
4, 00 − 4, 49
4, 50 − 4, 99
ya da
4, 00 − 4, 50 den az
4.50 − 5, 00 den az
bi¸ciminde yazılmalıdır.
(2) Sınıflar (aralıklar) veri k¨
umesinde yer alan her de˘geri i¸cine almalıdır.
(3) Sınıf limitleri ve sınıf sayısı hi¸c bir sınıf bo¸s kalmayacak sekilde (0 frekanslı sınıf olmayacak) se¸cilmelidir
˙
2. ISTATISTIK
130
¨
Ornek
2.10. B¨
uy¨
uk bir ¸sirketin 100 sati¸s. elemanı vardır. Her bir satı¸s elemanı tarafından ger¸cekle¸stirilen
aylık satı¸slar a¸sa˘gıda verilmi¸stir. Bu veriler i¸cin frekans tablosu d¨
uzenleyiniz.
Milyon Lira
23
16
14 20
27
19
17
17 16
17
26
14
9
11
14
11
17
13 19
17
20
17
20 16
16
11
24
21 27
5
17
20
8
16
17
16
16
14 22
13
14
27
19 16
20
16
15
9
17
8
19
14
8
19
27
22
21
0
9
3
20
14
6
11
12
7
20
9
13
20
10
16
10 19
13
15
15
14 13
25
14
9
16
8
16
7
8
13
5
13
9
16
19 14
29
18
14
18 13
10
C
¸ ¨oz¨
um: 1.Adım: n = 20 ∗ 5 = 100
2. Adım: (En b¨
uy¨
uk de˘ger) L = 29, (En k¨
u¸cu
¨k de˘ger ) S = 0, (range) R = L − S = 29
√
√
3. Adım: k ≥ n = 100 ⇒ k ≥ 10, k = 10 alınabilinir.
4.Adım: h ≥
R
k
=
29
10
= 2.9 tamsayı tercih edildi˘gi i¸cin h = 3 alınabilinir.
¨
2. GRAFIKSEL GOSTERIMLER
131
V.VI, VII, VIII, IX, ve X. adımlar; uygulandı˘gında a¸sa˘gıdaki tablo elde edilir.
Sınıf
Sınıf
Sınıf
G¨ozlem
Sınıf Orta
Eklemeli
No
Limitleri
Sınırları
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
Frekanslar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0−2
3−5
6−8
9 − 11
12 − 14
15 − 17
18 − 20
21 − 23
24 − 26
27 − 29
−0.5 ∼ 2.5
1
2.5 ∼ 5.5
3
5.5 ∼ 8.5
8
0+2
2
3+5
2
6+8
2
=1
1
=4
1+3=4
=7
1 + 3 + 8 = 12
| {z }
=4
8.5 ∼ 11.5
13
11.5 ∼ 14.5
20
14.5 ∼ 17.5
25
17.5 ∼ 20.5
17
20.5 ∼ 23.5
5
23.5 ∼ 26.5
3
26.5 ∼ 29.5
5
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
12 + 13 = 25
25 + 20 = 45
45 + 25 = 70
70 + 17 = 87
87 + 5 = 92
92 + 3 = 95
95 + 5 = 100
Uyarılar:
(1) C
¸ ok sayıda sınıfın seriyi gereksiz yere uzatabilece˘gi, az sayıda sınıfın bilgi yitirilmesine yol a¸cabilece˘
gi
d¨
u¸su
¨n¨
ulerek uygun sayıda sınıf se¸cilmesine ¨ozen g¨osterilmelidir.
(2) G¨ozlenen de˘gerler b¨
uy¨
ukl¨
uk sırasına g¨ore d¨
uzenlendi˘ginde bazen k¨
uc¨
uk de˘gerler veya b¨
uy¨
uk de˘
gerlerin
¸cok seyrek oldukları ve aralarındaki farkların b¨
uy¨
uk olmaları nedeniyle e¸sit sınıf aralıkları yerine
zorunlu olarak de˘gi¸sik geni¸sli˘ge sahip sınıflar d¨
uzenlenebilir. Bazı durumlarda da ilk ve/veya son
sınıflar i¸cin a¸cık u¸clu aralıklar d¨
u¸su
¨n¨
ulebilir.
3
Grafiksel G¨
osterimler
3.1
C
¸ izgisel Grafik
Tanım 3.1. Sınıflandırılmamı¸s g¨
ozlemlerin da˘gılımının dik koordinat sistemindeki g¨
osterimine ”C
¸ izgisel grafik”
denir.
¨
Ornek
3.2. Bir sınavda 39 ¨
o˘grencinin aldı˘gı notlar a¸sa˘gıdaki gibi olsun. Bu notlar i¸cin ¸cizgisel grafik ¸ciziniz.
Notlar (Xi )
¨ grenci Sayısı (Yi )
O˘
2
2
3
2
4
8
5
13
6
11
7
1
8
2
˙
2. ISTATISTIK
132
Öğrenci Sayısı
14
12
10
8
6
4
2
0
2
3
4
5
6
7
8
Öğrenci Sayısı
3.2
Dairesel Grafik
¨
Ornek
3.3. A¸sa˘gıda T¨
urkoloji Ara¸stırma merkezlerinin u
¨lkelere g¨
ore da˘gılımları verilmektedir. Bu da˘gılım
i¸cin dairesel grafi˘gi ¸ciziniz.
¨
Ulkeler
Merkezlerin Y¨
uzdesi (%)
T¨
urkiye
96
ABD
1
Almanya
1
Di˘ger
2
Türkoloji Araştırma merkezlerinin
ülkelere göre dağılımları
112
96
Türkiye
3.3
ABD
Almanya
Diğer
Poligon (Frekans C
¸ okgeni)
Tanım 3.4. Bir dik koordinat sisteminde yatay eksende sınıf orta noktaları, dikey eksende sınıf frekansları
i¸saretlenir. Bu sayı ¸ciftlerine kar¸sılık gelen noktaların dogru par¸calarıyla birle¸stirilmesiyle olu¸san grafiksel
g¨
osterime ”Poligon ya da frekans ¸cokgeni” denir.
¨
2. GRAFIKSEL GOSTERIMLER
133
¨
Ornek
3.5.
Sınıf
Sınıf
Sınıf
G¨
ozlem
Sınıf Orta
Eklemeli
No
Limitleri
Sınırları
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
Frekanslar
1
0+2
2 =1
3+5
2 =4
6+8
2 =7
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0−2
−0.5 ∼ 2.5
3−5
2.5 ∼ 5.5
6−8
3
5.5 ∼ 8.5
9 − 11
8
8.5 ∼ 11.5
12 − 14
13
11.5 ∼ 14.5
15 − 17
20
14.5 ∼ 17.5
18 − 20
25
17.5 ∼ 20.5
21 − 23
17
20.5 ∼ 23.5
24 − 26
5
23.5 ∼ 26.5
27 − 29
3
26.5 ∼ 29.5
5
4
12
25
45
70
87
92
95
100
Gözlem Sayısı
30
25
20
15
10
5
0
-0.5
2.5
5.5
8.5
11.5
14.5
17.5
20.5
23.5
26.5
Gözlem Sayısı
3.4
Eklemeli Frekans C
¸ okgeni
Tanım 3.6. Bir dik koordinat sisteminde yatay eksende sınıf sınırları ve d¨
u¸sey eksende eklemeli frekanslar
i¸saretlenir. Her bir sınıftaki eklemeli frekanslara kar¸sılık gelen noktaların birle¸stirilmesiyle olu¸san grafiksel
g¨
osterime ”Eklemeli frekans ¸cokgeni” denir.
˙
2. ISTATISTIK
134
¨
Ornek
3.7.
Sınıf
Sınıf
Sınıf
G¨
ozlem
Sınıf Orta
Eklemeli
No
Limitleri
Sınırları
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
Frekanslar
1
0−2
−0.5 ∼ 2.5
1
0+2
2 =1
3+5
2 =4
6+8
2 =7
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3−5
2.5 ∼ 5.5
6−8
3
5.5 ∼ 8.5
9 − 11
8
8.5 ∼ 11.5
12 − 14
13
11.5 ∼ 14.5
15 − 17
20
14.5 ∼ 17.5
18 − 20
25
17.5 ∼ 20.5
21 − 23
17
20.5 ∼ 23.5
24 − 26
5
23.5 ∼ 26.5
27 − 29
3
26.5 ∼ 29.5
5
4
12
25
45
70
87
92
95
100
Eklemeli Frekans
120
100
87
80
92
95
23.5
26.5
100
70
60
45
40
25
20
12
0
0
-0.5
1
2.5
4
5.5
8.5
11.5
14.5
17.5
20.5
29.5
Eklemeli Frekans
4
¨ cu
Merkezsel E˘
gilim Ol¸
¨ leri
G¸czlenen verinin d¨
uzenlenerek ¸cizelgelerle, grafiklerle sunulması ¸co˘gu kez yeterli olmaz. Genel durumu
¨
yansıtacak bir takım ¨ol¸cu
¨lere gereksinim vardır. Oyle
¨ol¸cu
¨ler ki, yalnızca verileri ¨ozl¨
u bir bi¸cimde belirtmekle
kalmasınlar, yapılacak kar¸sıla¸stırmalara genellemelere, yorumlara olanak sa˘glasınlar. Bu baslık altında nicel
de˘gi¸skenlere ili¸skin ¨ol¸cu
¨leri inceleyecegiz. Nicel da˘gılımlarda kullanılacak ¨ol¸cu
¨ler da˘gılımın odakla¸sma noktasını
¨ozetlemelidir. Bu t¨
ur ¨ol¸cu
¨lere merkezi (merkezsel) e˘gilim ¨ol¸cu
¨leri denir. Bunlar sira ile ¸s¨oyledir:
• Aritmetik ortalama
• Medyan (Orta Deger)
• Mod (Tepe Deger)
• Geometrik Ortalama
• Harmonik Ortalama
˘
¨ ¸ ULERI
¨
2. MERKEZSEL EGILIM
OLC
4.1
135
Aritmetik Ortalama
¨
Ornek
4.1. G¨
ozlenen de˘gerlerin t¨
um¨
u toplanarak g¨
ozlem sayısına b¨
ol¨
und¨
u˘gu
¨nde elde edilen de˘gere aritmetik
ortalama denir. De˘gi¸skeni X diye adlandırılıp, aldı˘gı de˘gerleri x1 , x2 , ..., xn ile g¨
osterirsek aritmetik ortalama:
x=
Ya da
P
x1 + x2 + ... + xn
n
”toplam” g¨
osterimi ile;
x=
Pn
i=1
xi
n
dir. Sonlu kitledeki eleman sayısı genellikle N ile ¨
orneklemdeki eleman sayısı n ile g¨
osterilir. O halde kitle icin
aritmetik ortalama
µ=
PN
i=1
xi
N
Bir de˘gi¸skenin aldıgı de˘gerler x1 , x2 , ..., xk ve bu de˘gerlerin her birinin tekrarlanma sayısı da f1 , f2 , ..., fk ise
aritmetik ortalama :
k
x=
X
x1 f1 + x2 f2 + ... + xk fk
x1 f1 + x2 f2 + ... + xk fk
=
,n =
fi
f1 + f2 + ... + fk
n
i=1
i-inci de˘gerin a˘gırlı˘gı wi olmak u
¨zere, aritmetik ortalama;
k
x=
X
x1 w1 + x2 w2 + ... + xk wk
,n =
wi
w1 + w2 + ... + wk
i=1
Sınıflara ayrılmı¸s aritmetik ortalamayı hesaplamak i¸cin
n
=
toplam g¨
ozlemlerin sayısı
yi
=
i. sınıfın orta de˘geri
k
=
sınıf sayısı
fi
=
i. sınıfın frekansı
y1 f1 + y2 f2 + ... + yk fk
y1 f1 + y2 f2 + ... + yk fk
=
f1 + f2 + ... + fk
n
x =
¨
Ornek
4.2. Bir ¨
o˘grencinin sınavına girdi˘gi derslerin ¨
onem dereceleri (a˘gırlıklar) farklı ise not ortalaması
hesabında derslerin ¨
onem derecelerinin g¨
oz ¨
on¨
une alınması gerekir. Kabul edelim ki bir ¨
o˘grenci i¸cin a¸sa˘gıdaki
˙
2. ISTATISTIK
136
veriler vardir. Buna g¨
ore aritmetik ortalamayı hesaplayınız.
Not
A˘gırlık
Puan
A˘gırlıklı Puan
A
3
30
3 ∗ 30 = 90
B
2
45
C
2
25
D
1
40
E
4
15
F
2
6
G
2
55
2 ∗ 45 = 90
2 ∗ 25 = 50
1 ∗ 40 = 40
4 ∗ 15 = 60
2 ∗ 6 = 12
2 ∗ 55 = 110
Toplam:
x=
452
452
= 28.25
3+2+2+1+4+2+2
¨
Ornek
4.3. A¸sa˘gıda verilen tablo i¸cin ayrılmı¸s aritmetik ortlamayı hesaplayınız.
Sınıf
Sınıf
Sınıf
G¨
ozlem
Sınıf Orta
Eklemeli
No
Limitleri
Sınırları
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
Frekanslar
1
0+2
2 =1
3+5
2 =4
6+8
2 =7
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0−2
3−5
6−8
9 − 11
12 − 14
15 − 17
18 − 20
21 − 23
24 − 26
27 − 29
−0.5 ∼ 2.5
2.5 ∼ 5.5
5.5 ∼ 8.5
8.5 ∼ 11.5
11.5 ∼ 14.5
14.5 ∼ 17.5
17.5 ∼ 20.5
20.5 ∼ 23.5
23.5 ∼ 26.5
26.5 ∼ 29.5
3
8
13
20
25
17
5
3
5
4
12
25
45
70
87
92
95
100
C
¸ ¨oz¨
um:
x =
=
=
y1 f1 + y2 f2 + ... + yk fk
f1 + f2 + ... + fk


1 ∗ 1 + 4 ∗ 3 + 7 ∗ 8 + 10 ∗ 13 + 13 ∗ 20


+16 ∗ 25 + 19 ∗ 17 + 22 ∗ 5 + 25 ∗ 3 + 28 ∗ 5
100
1507
= 15.07
100
• Ortalamalar genellikle iki veri grubu arasindaki farkı belirlemek icin kullanılır. Ayrıca standart belir-
lemek amacıyla da kullanılır. Nasıl kullanılırlarsa kullanılsınlar sapan de˘gerlerin etkisini g¨
ozleyebiliriz.
¨
Orne˘
gin,
5.30, 0.10, 5.60, 5.80, 5.50
˘
¨ ¸ ULERI
¨
2. MERKEZSEL EGILIM
OLC
137
sayıları verilsin. Ortalama 4.46 dir. Burada 0.10 sapan de˘gerdir. Bu de˘ger ortalamayı a¸sa˘
gı ¸cekmektedir.
Bir norm/standart belirlemede ya da kar¸sıla¸stırmada sapan de˘ger ¸cıkarıldıktan sonra bulunan ortalama
daha anlamlı olacaktır, Sapan de˘ger olmasaydı ortlama 5.55 olurdu. E˘ger bir sapan de˘
ger hesaplama
hatasından meydana geliyorsa ortalamayı hespalmadan ¨once bu de˘ger d¨
uzeltilmelidir.
˙ grup g¨
Teorem 4.4. Iki
ozleme sahip olalım. 1. grupta ¨
orneklemdeki eleman sayısı n ve g¨
ozlemsel de˘gerler
x11 , x12 , ..., x1n olmak u
¨zere aritmetik ortalaması
x1 =
x11 + x12 + ... + x1n
n
1. grupta ¨
orneklemdeki eleman sayısı m ve g¨
ozlemsel de˘gerler x21 , x22 , ..., x2m olmak u
¨zere aritmetik ortalaması
x2 =
x21 + x22 + ... + x2m
m
olmak u
¨zere n + m g¨
ozlemin ortlaması
x=
nx1 + mx2
n+m
ile verilir. Bu sonu¸c ortalamaların a˘gırlıklı aritmetik ortalamasıdır. Bunu genle¸stirirsek, her birinde n1 , n2 , ..., nk
g¨
ozlem bulunun k grubun aritmetik ortlamaları sırasıyla x1 , x2 , ..., xk olmak u
¨zere ortalamaların a˘gırlıklı aritmetik ortalaması
x=
n1 x1 + n2 x2 + ... + nk xk
n1 + n2 + ... + nk
ile hesaplanır.
¨
Ornek
4.5. Bir firma tarafından alınan 200 k¨
u¸cu
¨k sipari¸sin her birinde ortalama k¯
ar 2 birim lira, 50 b¨
uy¨
uk
sipari¸sin her birinde ortalama k¯
ar 4.5 birim liradır.
a) 250 sipari¸sin t¨
um¨
u i¸cin her bir sipari¸steki ortalama k¯
arı bulunuz.
b) B¨
uy¨
uk sipari¸slerin ortlama k¯
arı sabit tutularak 250 sipari¸s i¸cin ortalam k¯
arın 3 birim lira olması istenirse
k¨
u¸cu
¨k sipari¸slerdeki ortlama k¯
ar ne olmalıdır?
C
¸ ¨oz¨
um: a)
x=
200 ∗ 2 + 50 ∗ 4.5
= 2.5
250
b)
3=x=
200 ∗ x1 + 50 ∗ 4.5
3 ∗ 250 − 50 ∗ 4.5
⇒ x1 =
= 2.625
250
200
4.2
Medyan (Orta de˘
ger = Ortanca)
Bazı durumlarda bir yarısı kendisinden b¨
uy¨
uk di˘ger yarısı daha k¨
u¸cu
¨k olan de˘ger g¨ozlemler grubunun
merkezi olarak uygun olabilir.
Tanım 4.6. B¨
uy¨
ukl¨
uklerine gore sınırlanmı¸s g¨
ozlemler grubunun merkezi de˘gerine medyan denir. C
¸ ift sayıda
g¨
ozlem varsa orta deger (medyan) iki merkezi de˘gerin aritmetik ortalamasıdır. Matematiksel olarak x1 , x2 , ..., xn
˙
2. ISTATISTIK
138
g¨
ozlem de˘gerleri b¨
uy¨
ukl¨
uklerine gore artan sırada d¨
uzenlenmi¸sse, M ile g¨
osterilen medyan a¸sa˘gıdaki gibi hesaplanır.
M=


x n+1
, n tek ise
2
 (x n + x n +1 )/2 , n ¸cift ise
2
2
Gruplandırılmı¸s (sınıflara ayrılmı¸s) g¨
ozlemler i¸cin medyan
n = G¨
ozlem sayısı
Lm = Medyan sınıfın alt sınıf sınırı
h = Medyan Sınıfının geni¸sli˘gi
fm = Medyan sınıfının frekansı
nm = Medyan sınıfından ¨
onceki sınıfların frekansları toplamı
n
2 − nm ∗ h
M = Lm +
fm
ile hesaplanır. f1 + f2 + ... + fi ≥
n
2
olan ilk sınıfa medyan sınıfı denir
¨
Ornek
4.7. 2, 3, 2, 4, 4, 6, 6, 5, 8, 8, 9 sayıları i¸cin orta de˘geri bulunuz.
¨
C
¸ ¨oz¨
um: Oncelikle
sayıları k¨
u¸cu
¨kten b¨
uy¨
u˘ge do˘gru sıralayaca˘gız. n = 11 tek sayıdır. Buna g¨
ore
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
2
2
3
4
4
5
6
6
8
8
9
M = x 11+1 = x6 = 5
2
¨
Ornek
4.8. 1, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9 bi¸ciminde sıralanmis veriler i¸cin orta de˘geri bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um: n = 14 ¸cift sayıdır. Buna g¨ore
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
1
2
3
3
5
5
5
6
7
7
7
8
9
9
14 + x 14
M = x 12
= x7 + x8 =
12 +1
5+6
= 5.5
2
˘
¨ ¸ ULERI
¨
2. MERKEZSEL EGILIM
OLC
139
¨
Ornek
4.9. A¸sa˘gıdaki tablo i¸cin medyanı hesaplayınız.
Sınıf
Sınıf
Sınıf
G¨
ozlem
Sınıf Orta
Eklemeli
No
Limitleri
Sınırları
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
Frekanslar
1
0+2
2 =1
3+5
2 =4
6+8
2 =7
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0−2
3−5
6−8
9 − 11
12 − 14
15 − 17
18 − 20
21 − 23
24 − 26
27 − 29
−0.5 ∼ 2.5
2.5 ∼ 5.5
3
5.5 ∼ 8.5
8
8.5 ∼ 11.5
13
11.5 ∼ 14.5
20
14.5 ∼ 17.5
25
17.5 ∼ 20.5
17
20.5 ∼ 23.5
5
23.5 ∼ 26.5
3
26.5 ∼ 29.5
5
4
12
25
45
70
87
92
95
100
C
¸ ¨oz¨
um:
n = 100,
n
= 50
2
f1 + f2 + ... + f5 = 45 ≤ 50
f1 + f2 + ... + f6 = 70 ≥ 50
oldu˘gundan 6. sınıf medyan sınıfıdır. L6 = 14.5, n6 = f1 + f2 + ... + f5 = 45, f6 = 25, h = 3 oldu˘
gundan
M
=
=
=
− nm ∗ h
Lm +
fm
(50 − 45) ∗ 3
14.5 +
25
15.1
n
2
¨
Ornek
4.10. Bir magazada bir aylık s¨
ure i¸cinde sati¸s tutarları ve alı¸s veri¸s yapan m¨
u¸steri sayısı a¸sa˘gıdaki
gibi sınıflandırılmı¸stır. Sınıflara ayrılmı¸s verileri kullanarak;
a) Satı¸s turarlarının aritmetik ortalamasını bulunuz.
˙
2. ISTATISTIK
140
b) Satı¸s tutarlarının orta de˘gerini bulunuz.
Satı¸s Tutarı M¨
u¸steri Sayısı
Sınıf Ortaları
0 − 99
200
49.5
75
149.5
40
249.5
25
349.5
10
449.5
5
749.5
100 − 199
200 − 299
300 − 399
400 − 499
500 − 999
1000 − 4999 15
Toplam
2999.5
370
C
¸ ¨oz¨
um: a)
x =
=
200 ∗ 49.5 + 75 ∗ 149.5 + 40 ∗ 249.5 + 25 ∗ 349.5 + 10 ∗ 449.5 + 5 ∗ 749.5 + 15 ∗ 2999.5
370
251. 53
b)
sınırlar
Satı¸s Tutarı
M¨
u¸steri Sayısı Sınıf Ortaları
−0.5 − 99.5
0 − 99
200
49.5
75
149.5
40
249.5
25
349.5
10
449.5
5
749.5
99.5 − 199.5
199.5 − 299.5
299.5 − 399.5
399.5 − 499.5
499.5 − 999.5
100 − 199
200 − 299
300 − 399
400 − 499
500 − 999
999.5 − 4999.5 1000 − 4999 15
Toplam
2999.5
370
n = 370,
n
2
=
370
2
˙ sınıf i¸cin alt sınır L1 =
= 185 oldu˘gundan ilk satırdaki (200 m¨
u¸ster sayılı) sınıfa d¨
u¸secektir.Ilk
−0.5, n1 = 0, h = 100, f1 = 200 oldu˘gundan
M
=
=
=
− nm ∗ h
Lm +
fm
(185 − 0) ∗ 100
−0.5 +
200
92.0
n
2
4.3
Mod (Tepe De˘
ger)
Tanım 4.11. Bir veri grubunda en ¸cok tekrarlanan de˘gere mod denir. Her de˘ger yalnız bir kez elde edilmi¸sse
mod yoktur. Sınıflara ayrılmı¸s g¨
ozlemlerde mod un hesaplanabilmesi i¸cin mod sınıfını saptamak gerekir. Mod
˘
¨ ¸ ULERI
¨
2. MERKEZSEL EGILIM
OLC
141
sınıfı ise en ¸cok g¨
ozlem sayısına sahip olan sınıftır.
Lm = Mod sınıfın alt sınıf sınırı
∆1 = Mod sınıfın frekansı ile bir ¨
onceki sınıfın frekansı
∆2 = Mod sınıfın frekansı ile bir sonraki sınıfın frekansı
h = Mod Sınıfının geni¸sli˘gi
M od = Lm +
∆1 ∗ h
∆1 + ∆2
¨
Ornek
4.12. 3, 5, 6, 9, 9, 9, 10, 12 degerleri i¸cin mod 9 dur.
¨
Ornek
4.13. 1, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10, 12 degerleri i¸cin 4 ve 8 gibi iki mod de˘geri vardır.
¨
Ornek
4.14. A¸sa˘gıdaki tablo i¸cin mod de˘gerini hesaplayınız.
Sınıf
Sınıf
Sınıf
G¨
ozlem
Sınıf Orta
Eklemeli
No
Limitleri
Sınırları
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
Frekanslar
1
0+2
2 =1
3+5
2 =4
6+8
2 =7
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0−2
3−5
6−8
9 − 11
12 − 14
15 − 17
18 − 20
21 − 23
24 − 26
27 − 29
−0.5 ∼ 2.5
2.5 ∼ 5.5
3
5.5 ∼ 8.5
8
8.5 ∼ 11.5
13
11.5 ∼ 14.5
20
14.5 ∼ 17.5
25
17.5 ∼ 20.5
17
20.5 ∼ 23.5
5
23.5 ∼ 26.5
3
26.5 ∼ 29.5
5
4
12
25
45
70
87
92
95
100
C
¸ ¨oz¨
um: Mod sınıfı 25 g¨ozleme sahip 6.sınıftır.
L6 = 14.5
∆1 = 25 − 20 = 5
∆2 = 25 − 17 = 8
h=3
∆1 ∗ h
∆1 + ∆2
5∗3
= 14.5 +
5+8
M od = Lm +
= 15. 654
Not:
Frekans da˘gılımında mod hesaplanırken sınıf aralıkları e¸sit tutulmalıdır. Sınıf geni¸slikleri e¸sit de˘
gilse
mod sınıfının hesaplanmasında dikkatli davranmak gereklidir. C
¸u
¨nk¨
u en b¨
uy¨
uk frekans geni¸s aralıklı bir sınıfa
˙
2. ISTATISTIK
142
ait olabilir. E˘ger sınıf geni¸slikleri e¸sitlenirse mod sınıfı de˘gi¸sebilir. Sınıf aralıkları e¸sit iken en b¨
uy¨
uk frekansa
sahip sınıf mod sınıfıdır.
4.4
Aritmetik Ortalama, Orta De˘
ger ve Mod’un ¨
ozellikleri
4.4.1
Aritmetik Ortalama
(1) Anormal de˘gerler (u¸c de˘gerler) aritmetik ortalamayi b¨
uy¨
uk ¨ol¸cu
¨de etkiler. Ara¸stırmacıyı yanlı¸s yargıya
g¨ot¨
urebilir.
(2) x1 , x2 , ..., xn de˘gerlerinin aritmetik ortalaması x, herhangi bir de˘ger x∗ olmak u
¨zere
n
X
i=1
4.4.2
2
(xi − x) ≤
n
X
i=1
(xi − x∗ )
2
Orta De˘
ger
(1) B¨
uy¨
ukl¨
uk sırasında kar¸sılık gelen yer y¨on¨
unden bir ortalamadır.
(2) Birey sayısı ile etkilenir, anormal de˘gerler tarafından etkilenmez.
(3) x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn de˘gerlerinin orta de˘geri x
b, herhangi bir de˘ger x∗ olmak u
¨zere
n
X
i=1
2
(xi − x
b) ≤
n
X
i=1
(xi − x∗ )
2
(4) B¨
uy¨
ukl¨
uklerine gore sıralanmı¸s de˘gerlerin ¸co˘gunlu˘gu merkeze yakın ise orta de˘ger iyi bir merkezi e˘
gilim
ol¸cu
¨
¨s¨
ud¨
ur.
(5) Rasgele se¸cilen bir de˘gerin dizi i¸cinde orta de˘gerden b¨
uy¨
uk ya da k¨
u¸cu
¨k olması olasılı˘
gı 1/2 dır.
4.4.3
Mod
(1) Anormal de˘gerlerin etkisinden ba˘gımsızdır.
(2) G¨ozlem sayısının az olması halinde de˘gerler tekrarlanmayabilir. Bu nedenle tepe de˘
ger belirlenemeyebilir.
4.5
Geometrik Ortalama
Tanım 4.15. n tane x1 , x2 , ..., xn de˘gerlerinin ¸carpımının n. k¨
ok¨
u geometrik ortalama olarak tanımlanır.
G.O =
√
n
x1 ∗ x2 ∗ ... ∗ xn
Ayrıca her iki yanın logaritması da alınırsa
log (G.O)
=
=
1
log (x1 ∗ x2 ∗ ... ∗ xn )
n
1
(log x1 + log x2 + log xn )
n
elde edilir. Sınıflandırılmı¸s frekans da˘gılımında
q
n
G.O = xf11 ∗ xf22 ∗ ... ∗ xfnn
Sınıflandırılmı¸s frekans da˘gılımında y1 , y2 , ..., yn sınıf ortaları olmak u
¨zere
q
n
G.O = y1f1 ∗ y2f2 ∗ ... ∗ ynfn
˘
¨ ¸ ULERI
¨
2. DAGILIM
OLC
143
ile hesaplanır.
4.6
Harmonik Ortalama
Tanım 4.16. n tane x1 , x2 , ..., xn de˘gerlerinin harmonik ortlaması
H.O =
Not:
1
n
1
1
x1
+
1
x2
+ ... +
1
xn
n
= Pn
1
i=1 xi
Hortalama en az yararlı olandır. Tepe de˘ger ise, ¨orne˘gin bir gazeteden alınan halkın g¨
or¨
u¸slerine
dayanan veriler kullanıldı˘gı zaman, ger¸cekten yararlı bir istatistik, bununla birlikte bilimsel verilerin analizinde
her zaman i¸cin ihmal edilebilmektedir. Geometrik ortalamanın yararlı olabildi˘gi bir ka¸c durum vardir. En ¸cok
g¨oze ¸carpan rasgele de˘gi¸skenlerin analizinde onların ortalama ve varyansı ile ilgili olanıdır. Yalnız orta de˘
ger
ve aritmetik ortalamayı ”iyi” merkezi egilim ¨ol¸cu
¨s¨
u olarak d¨
u¸su
¨ necegiz. Orta de˘ger kolayca hesaplanabilir ve
bazı durumlarda aritmetik ortalamadan daha ger¸cek¸ci ve durumu daha iyi yansıtır. Fakat, matematiksel olarak
kontrol etmek (ele almak) daha g¨
u¸ct¨
ur ve bu nedenle yargıya varmada daha az istenir. Aritmetik ortalama
kolaylıkla hesaplanır ve matematiksel olarak ¸calismamıza daha uygundur. Bu nedenlerle aritmetik ortalama
pek ¸cok durumlarda konum ya da ”merkezi e˘gilim” ol¸cu
¨s¨
u olarak kullanılır.
5
¨ cu
Da˘
gılım Ol¸
¨ leri
Merkezsel e˘gilim ¨ol¸cu
¨leri birimlerin ilgili de˘gi¸sken bakımından aldıklan de˘gerler hakkında genel bir bilgi ver-
mekle beraber, birimlerin ne ol¸cu
¨de, ¸cok ya da az farklı de˘gerlere sahip olup olmadı˘gını g¨ostermezler. Birimlerin
ilgili de˘gi¸sken bakımından ne ol¸cu
¨de farklı olduklarını ifade etmek i¸cin da˘gılım ¨ol¸cu
¨leri kullanılır.
Tanım 5.1. x1 , x2 , ..., xN sonlu sayıdaki g¨
ozlem de˘gerlerinin aritmetik ortlaması
PN
xi
µ = i=1
N
kitle varyansı σ 2 ise
σ
2
=
=
PN
(xi − µ)2
N
PN 2
i=1 xi
− µ2
N
i=1
olarak hesaplanır. Kitle standart sapması σ, varyansın (pozitif ) karek¨
ok¨
ud¨
ur. N g¨
ozlemden olu¸san bir kitlede
Pk
x1 , x2 , ..., xk g¨
ozlem de˘gerleri, f1 , f2 , ..., fk frekansları olmak u
¨zere N = i=1 fi olmak u
¨zere ortalama
Pk
xi fi
µ = i=1
N
kitle varyansı σ 2 ise
σ
2
=
=
Pk
i=1
PN
i=1
N
(xi − µ)2 fi
N
x2i fi
− µ2
˙
2. ISTATISTIK
144
Tanım 5.2. n g¨
ozlemden olu¸san bir o
¨rneklemin ortalamasi x olmak uzere S 2 ile g¨
osterilen ¨
orneklem varyansı
gruplandırılmamı¸s veriler i¸cin
n
S2 =
1 X
2
(xi − x)
n − 1 i=1
gruplandırılmı¸s veriler i¸cin, y1 , y2 , ..., yn sınıf ortaları f1 , f2 , ..., fk frekansları olmak u
¨zere
n
S2 =
1 X
fi (yi − x)2
n − 1 i=1
¨
Tanım 5.3. Orneklem
varyansının (pozitif ) karek¨
ok¨
une ¨
orneklem standart sapması denir ve S ile gosterilir
¨
Ornek
5.4. 1, 2, 3, 4, 5 sayılarından ¨
orneklem varyansını ve standart sapmayı hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
x =
S2
=
=
S
=
1+2+3+4+5
5∗6
=
=3
5
5∗2
2
2
2
2
2
(1 − 3) + (2 − 3) + (3 − 3) + (4 − 3) + (5 − 3)
4
2.5
√
2.5 = 1. 581 1
Teorem 5.5. n g¨
ozlemin varyansı gruplandırılmamı¸s g¨
ozlemler i¸cin
S
2
=
=
1
n−1
1
n−1
n
X
i=1
x2i
−n∗x
2
!
!
Pn
2
(
x
)
i
i=1
x2i −
n
i=1
n
X
gruplandırılmı¸s g¨
ozlemler i¸cin
S2
=
=
1
n−1
k
X
i=1
fi ∗ yi2 − n ∗ x2
!

P
2 
k
k
f
∗
y
i
i=1 i
1 X

fi ∗ yi2 −


n − 1 i=1
n
˘
¨ ¸ ULERI
¨
2. DAGILIM
OLC
ˆ
Ispat:
145
ilk form¨
ulleri ispatlayaca˘gız: gruplandırılmamı¸s g¨ozlemler i¸cin
n
S2
=
1 X
(xi − x)2
n − 1 i=1
n
=
=
1 X 2
xi − 2xi x + x2
n − 1 i=1
n
X
i=1
=
n
X
1
n−1
x2i
i=1
− 2x
!
n
X
2
xi + x
i=1
n
X
1
i=1
!
xi = n ∗ x
n
X
1
n−1
x2i
i=1
2
−n∗x
!
gruplandırılmı¸s g¨ozlemler i¸cin
n
S2
=
1 X
2
fi (yi − x)
n − 1 i=1
n
=
=
1 X
fi yi2 − 2fi x + x2
n − 1 i=1
1
n−1
n
X
n
X
i=1
− 2x
!
n
X
fi2
+x
i=1
2
n
X
i=1
fi
!
fi yi = nx
i=1
=
fi yi2
1
n−1
k
X
i=1
fi ∗
yi2
−n∗x
2
!
¨
Ornek
5.6. A¸sa˘gıdaki tablo i¸cin standart sapmayı bulunuz.
Sınıf
Sınıf
Sınıf
G¨
ozlem
Sınıf Orta
Eklemeli
No
Limitleri
Sınırları
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
Frekanslar
1
0−2
−0.5 ∼ 2.5
1
0+2
2 =1
3+5
2 =4
6+8
2 =7
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3−5
6−8
9 − 11
12 − 14
15 − 17
18 − 20
21 − 23
24 − 26
27 − 29
2.5 ∼ 5.5
5.5 ∼ 8.5
8.5 ∼ 11.5
11.5 ∼ 14.5
14.5 ∼ 17.5
17.5 ∼ 20.5
20.5 ∼ 23.5
23.5 ∼ 26.5
26.5 ∼ 29.5
3
8
13
20
25
17
5
3
5
4
12
25
45
70
87
92
95
100
˙
2. ISTATISTIK
146
C
¸ ¨oz¨
um:

P
2 
k
k
i=1 fi ∗ yi
1 X

fi ∗ yi2 −
S2 =


n − 1 i=1
n
G¨ozlem
Sınıf Orta
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
1
0+2
2 = 1
3+5
2 = 4
6+8
2 = 7
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
3
8
13
20
25
17
5
3
5
yi2
fi ∗ yi
fi ∗ yi2
1
1∗1=1
1∗1=1
1∗4=4
16
8 ∗ 7 = 56
49
100
169
256
361
8 ∗ 49 = 392
13 ∗ 10 = 130
13 ∗ 100 = 1300
25 ∗ 16 = 400
25 ∗ 256 = 6400
20 ∗ 13 = 260
20 ∗ 169 = 3380
17 ∗ 19 = 323
17 ∗ 361 = 6137
5 ∗ 22 = 110
484
5 ∗ 484 = 2420
3 ∗ 25 = 75
625
784
3 ∗ 16 = 48
Pk
3 ∗ 625 = 1875
5 ∗ 28 = 140
5 ∗ 784 = 3920
Toplam: 25873
i=1 fi ∗ yi = 1507

P
2 
k
k
i=1 fi ∗ yi
1 X

2
2
S =
fi ∗ yi −


n − 1 i=1
n
=
15072
25873 −
100
1
100 − 1
Teorem 5.7. (1) a ve b sabitler x1 , x2 , ..., xn gruplandırılmamı¸s g¨
ozlem de˘gerleri zi = axi + b olmak u
¨zere
Sz2 = a2 Sx2
(2) a ve b sabitler y1 , y2 , ..., yn gruplandırılmı¸s g¨
ozlem de˘gerlerinin orta de˘geri zi = ayi +b olmak u
¨zere Sz2 = a2 Sx2
ˆ
Ispat:
(1)
n
Sz2
=
1 X
2
(zi − z)
n − 1 i=1
n
zi
= axi + b ⇒ z =
n
Sz2
=
n
1X
1X
zi =
(axi + b) = ax + b
n i=1
n i=1
n
1 X
a2 X
2
2
(axi + bi − (ax + b)) =
(xi − x)
n − 1 i=1
n − 1 i=1
= a2 Sx2
˘
¨ ¸ ULERI
¨
2. DAGILIM
OLC
147
(2)
n
Sz2
=
1 X
fi (zi − z)2
n − 1 i=1
n
=
1 X
2
fi (axi + bi − (ax + b))
n − 1 i=1
n
=
a2 X
fi (xi − x)2 = a2 Sx2
n − 1 i=1
¨
Ornek
5.8. 1, 2, 3, 4, 5 sayılarından ¨
orneklem varyansı 2.5 oldu˘guna g¨
ore 5,7,9,11,13 sayılarının varyansı
nedir?
C
¸ ¨oz¨
um: 5=1*2+3,7=2*2+3,9=3*2+3,11=4*2+3,13=2*5+3 oldu˘gundan a=2, b=3 ve yukarıdaki teoremi
uygularsak
Sz2 = 4 ∗ Sx2 = 4 ∗ 2.5 = 10
Teorem 5.9. n ve m birikimli ¨
orneklerden hesaplanan iki ba˘gımsız varyans sırasıyla S12 , S22 olmak u
¨zere n+m
orneklemin birle¸smi¸s varyansı
¨
S2 =
(n − 1) S12 + (m − 1) S22
n+m−2
Tanım 5.10. n g¨
ozlemden olu¸san bir ¨
orneklemin ortalaması x olmak u
¨zere gruplandırılmamı¸s veriler i¸cin
ortalama mutlak sapma
n
OM S =
1X
|xi − x|
n i=1
gruplandırılmı¸s veriler i¸cin, y1 , y2 , ..., yn sınıf ortaları f1 , f2 , ..., fk frekansları olmak u
¨zere ortalama mutlak
sapma
n
S2 =
ile hesaplanır.
1X
fi |yi − x|
n i=1
¨
Ornek
5.11. 1, 2, 3, 4, 5 sayılarının ortalama mutlak sapmasını hesaplayınız.
ˆ
Ispat:
x
OM S
1+2+3+4+5
5∗6
=
=3
5
5∗2
|1 − 3| + |2 − 3| + |3 − 3| + |4 − 3| + |5 − 3|
=
5
= 1. 2
=
Tanım 5.12. Orta deger fikrinin geni¸sletilmisi olarak, g¨
ozlemler tekrar e¸sit frekanslı iki gruba b¨
ol¨
unebilir.
B¨
oylece g¨
ozlemlerin %25 i Q1 altında, %25 i Q3 u
¨n u
¨zerinde olmak u
¨zere iki yeni Q1 ve Q3 de˘gerleri tanımlanabilir.
Q1 ve Q3 sayılarına d¨
ortte birlikler (¸ceyrekler) denir d = Q3 − Q1 farkına verilerin i¸c ¸ceyrekler arası de˘gi¸sim
geni¸sli˘gi denir.Bir grup g¨
ozlemde Q1 ve Q3 ¨
oyle sayılardır ki g¨
ozlemlerin %25 i Q1 in altında, %25 i Q3 u
¨n
u
¨zerindedir. Orta deger Q1 ve Q3 ile birlikte g¨
ozlemleri e¸sit frekanslı d¨
ort gruba b¨
olerler. Frekans da˘gılımı i¸cin
˙
2. ISTATISTIK
148
¸cizilen e˘grinin altında, veri k¨
umesi 4 adet %25 lik gruba ayrılmı¸stır. Gruplandırılmı¸s g¨
ozlemler i¸cin Q1 ve Q3
sayıları a¸sa˘gıdaki gibi bulunur:
n1
=
J1
=
fQ1
=
Ilk d¨
ortte birli˘gin bulundu˘gu sınıftan ¨
onceki sınıfların toplam frekansı
n
− n1
4
Ilk d¨
ortte birli˘gin bulundu˘gu sınıfın frekansı
h
=
Sınıf geni¸sli˘gi
L1
=
Q1
=
n3
=
Ilk d¨
ortte birli˘gin bulundu˘gu sınıfın alt sınıf sınırı
J1 ∗ h
L1 +
fQ1
¨
Ust ¸ceyre˘gin bulundu˘gu sınıftan ¨
onceki sınıfların toplam frekansı
L3
=
¨ ¸ceyre˘gin bulundu˘gu sınıfın alt sınıf sınırı
Ust
fQ3
=
J3
=
Q3
=
¨ ¸ceyre˘gin bulundu˘gu sınıfın frekansı
Ust
3n
− n3
4
J3 ∗ h
L3 +
fQ3
¨
Ornek
5.13. 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 10 sayıları i¸cin Q1 ve Q3 sayılarını bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um: Orta de˘ger 6 dır. Toplam olarak 11 sayı mevcuttur. 11*25/100= 2. 75 u
¨ste yuvarlandı˘
gında 3.
sayı 3 Q1 sayısıdır. 11*75/100= 8. 25 u
¨ste yuvarlandı˘gında 9.sayı olan 9 Q3 sayısıdır.
¨
Ornek
5.14. A¸sa˘gıdaki tablo i¸cin Q1 ve Q3 sayılarını bulunuz.
Sınıf
Sınıf
Sınıf
G¨
ozlem
Sınıf Orta
Eklemeli
No
Limitleri
Sınırları
Sayısı (fi )
Noktası(yi )
Frekanslar
1
0+2
2 =1
3+5
2 =4
6+8
2 =7
9+11
= 10
2
12+14
= 13
2
15+17
= 16
2
18+20
= 19
2
21+23
= 22
2
24+26
= 25
2
27+29
= 28
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0−2
3−5
6−8
9 − 11
12 − 14
15 − 17
18 − 20
21 − 23
24 − 26
27 − 29
−0.5 ∼ 2.5
2.5 ∼ 5.5
5.5 ∼ 8.5
8.5 ∼ 11.5
11.5 ∼ 14.5
14.5 ∼ 17.5
17.5 ∼ 20.5
20.5 ∼ 23.5
23.5 ∼ 26.5
26.5 ∼ 29.5
3
8
13
20
25
17
5
3
5
C
¸ ¨oz¨
um: n = 100, n/4 = 25
f1 + f2 + f3 + f4 = 25 ≥ 25
4
12
25
45
70
87
92
95
100
˘
¨ ¸ ULERI
¨
2. DAGILIM
OLC
149
oldu˘gundan 4.sınıf Q1 in oldu˘gu sınıftır.
L1
=
8.5,
n1
=
1 + 3 + 8 = 12
fQ1
=
13
h =
J1
=
Q1
=
3
n
− n1 = 25 − 12 = 13
4
13 ∗ 3
J1 ∗ h
= 8.5 +
= 11. 5
L1 +
fQ1
13
3n/4 = 75
f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 = 87 ≥ 75
oldu˘gundan 7.sınıf Q3 in oldu˘gu sınıftır.
L3
=
17.5,
n3
=
f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 70
fQ3
=
17
h
=
J3
=
Q3
=
3
3n
− n3 = 75 − 70 = 5
4
J3 ∗ h
5∗3
L3 +
= 17.5 +
= 18. 382
fQ3
17
5.1
¨ cu
C
¸ arpıklık Ol¸
¨ t¨
u
3
Tanım 5.15. Veri k¨
umesi icin kar¸sılık gelen ¸carpıklık ¨
ol¸cu
¨t¨
u (xi − x) k¨
ubik sapmaların ortalaması ile hesa-
planır ve m3 ile g¨
osterilir x g¨
ozlem de˘gerlerinin ortalama de˘geri olmak u
¨zere ¸carpıklık ¨
ol¸cu
¨t¨
u
n
m3 =
1 X
3
(xi − x)
n − 1 i=1
form¨
ul¨
u ile hesaplanır.
¨
5.16. -3,5,40 de˘gerleri i¸cin ¸carpıklık ¨
ol¸cu
¨t¨
un¨
u bulunuz.
Ornek
C
¸ ¨oz¨
um:
x =
m3
=
−3 + 5 + 40
= 14
3
3
3
3
(−3 − 14) + (5 − 14) + (40 − 14)
= 5967
2
˙
2. ISTATISTIK
150
Tanım 5.17. x1 , x2 , ..., xn g¨
ozlem de˘gerleri i¸cin x g¨
ozlem de˘gerlerinin ortalama de˘geri ve S standart sapması
olsun. xi lere kar¸sılık gelen
yi =
xi − x
S
de˘gerine standartla¸stırılmı¸s g¨
ozlem de˘geri
m
e3 =
m3
S3
de˘gerine de standartla¸stırılmı¸s ¸carpıklık ¨
ol¸cu
¨t¨
u denir.
5.2
Sivrilik (basıklık ) ¨
ol¸
cu
¨ t¨
u
Tanım 5.18. Veri k¨
umesi icin sivrilik ¨
ol¸cu
¨t¨
u m4 ile g¨
osterilir x g¨
ozlem de˘gerlerinin ortalama de˘geri olmak
u
¨zere sivrilik ¨
ol¸cu
¨t¨
u
n
m4 =
1 X
4
(xi − x)
n − 1 i=1
form¨
ul¨
u ile hesaplanır. x1 , x2 , ..., xn g¨
ozlem de˘gerleri i¸cin x g¨
ozlem de˘gerlerinin ortalama de˘geri ve S standart
sapması olsun.
m
e4 =
m4
S4
de˘gerine de standartla¸stırılmı¸s sivrilik ¨
ol¸cu
¨t¨
u denir.
6
¨
Ornekleme
Da˘
gılımları ve Tahmin Etme
˙
Istatisti˘
gin en ¨onemli problemlerinden biri ¨orneklemden bulunan sonu¸cları kitleye genelle¸stirmektir. Bu
b¨ol¨
umde bu genelle¸stirmenin nasıl yapıldı˘gını g¨orece˘giz.
Tanım 6.1. Bir istatisti˘gin olasılık da˘gılımına ¨
ornekleme da˘gılımı denir.
¨
Ornek
6.2. Bir rasgele de˘gi¸sken ortalamasi µ ve varyansi σ 2 olan bir normal da˘gılıma sahipse , bu da˘gılımdan
alınmı¸s bir x1 , x2 , ..., xn rasgele ¨
orneklemini kullanarak µ ve σ 2 ,yi tahmin etmeyi isteyebiliriz.
¨
Ornek
6.3. Belli bir ¸sehirdeki do˘gum kayıtları do˘gmu¸s 1000 bebe˘gin 510’unun erkek oldu˘gunu g¨
osterirse, p
nin tahmini de˘geri yani do˘gacak bir ¸cocugun erkek olma olasılı˘gi 0.510’dur.
¨
Tanım 6.4. Orneklem
ortalaması X, kitle ortalaması µ olmak u
¨zere kitle parametresini tahmin etmek i¸cin
¨
kitle yerine ¨
orneklemin kullanılmasından olu¸san hataya, yani X − µ farkına ¨
ornekleme hatası denir. Orneklem
kitlenin t¨
um¨
un¨
u kapsadı˘gında X = µ
¨
Istatistiksel y¨ontemleri kullanarak kitle hakkında sonu¸c ¸cıkarmak i¸cin rasgele ¨orneklem se¸cilecektir. Orne˘
gin
belli tipte bir k¨
u¸cu
¨k hesap makinesi i¸cin u
¨retilmi¸s lityum pillerin olu¸sturdu˘gu b¨
uy¨
uk bir kitleyi d¨
u¸su
¨nelim. Bu
kitlenin ne olasılık da˘gılımı nede ortalama ve varyansı hakkında bilgi sahibiyiz. Bu kitleden n birimlik pilden
olu¸san rasgele ¨orneklem se¸cmek istiyoruz. Herhangi bir pilin se¸cimi di˘gerinden ba˘gımsızdır.
Kitledeki pillerin dayanma suresi X rasgele de˘gi¸skeni olsun. i = 1, 2, ..., n olmak u
¨zere inceleme yapmak i¸cin se¸cilecek i-inci pilin dayanma suresi Xi bir rasgele de˘gi¸skendir. Aynca rasgele de˘
gi¸skenler birbirlerinden bagımsızdırlar ve ¨ozde¸s da˘gılıma sahiptirler. Se¸cim sonrasmda n pilin dayanma sureleri gozlendiginde
x1 , x2 , ..., xn sayilan elde edilecektir. Bu sayilar X1 , X2 , ..., Xn rasgele de˘gi¸skenlerinin g¨ozlenen de˘
gerleri olur.
¨
¨
2. ORNEKLEM
ORTLAMASI VE VARYANSIN BAZI OZELLIKLERI
151
O halde ”rasgele omeklem” ifadesini inceleme yapmak u
¨zere se¸cilen n nesne, se¸cilecek nesnelerle ilgili rasgele
de˘gi¸skenler veya de˘gi¸skenlerin sayısal de˘gerleri i¸cin kullanaca˘gız.
Ger¸cek ¨orneklem s¨
urecinde verilerin bir tek ¨orneklemini se¸cip ortalamayı hesaplarız.
Karma¸sık ¨ornekleme s¨
urecinde ise µ ortalamalı bir kitleden n birimlik k adet ¨orneklem se¸cilerek ortalmaları
hesaplanır.
7
¨
¨
Orneklem
Ortlaması ve Varyansın Bazı Ozellikleri
Teorem 7.1. X1 , X2 , ..., Xn rasgele de˘gi¸skenler ve X =
E X =µ
X1 +X2 +...+Xn
,
n
ve her birinin beklenen de˘geri µ ise
ˆ
Ispat:
E X
=
=
=
X1 + X2 + ... + Xn
E
n
1
(E [X1 ] + E [X2 ] + ... + E [Xn ])
n
1
1
(µ + µ + ... + µ) = nµ = µ
n
n
˙ zar atıldı˘gında u
¨
Ornek
7.2. Iki
¨stte gelen y¨
uzlerdeki noktaların sayısı sırasıyla X1 ve X2 ise E X = 7/2
oldu˘gunu g¨
osteriniz.
˙
2. ISTATISTIK
152
C
¸ ¨oz¨
um:
7
E [X2 ] =
2
X1 + X2
E
2
1
(E [X1 ] + E [X2 ])
2
1 7 7
7
+
=
2 2 2
2
E [X1 ] =
E X
=
=
=
¨
Ornek
7.3. Kitle 2, 4, 6, 8, 10 olarak verilsin. Yerine koymaksızın bu kitleden 2 birimlik ¨
orneklem se¸celim.
¨
Orneklem
ortalamasının beklenen de˘gerini bulunuz.
C
¸ ¨oz¨
um: Kitle ortalaması
µ=
5 kitleden 2 li se¸cim C5,2 =
5!
2!∗3!
1
(2 + 4 + 6 + 8 + 10) = 6
5
= 10 farklı bi¸cimde ger¸cekle¸sir.
¨
Orneklem
Ortalaması
Olasılı˘gı
2, 4
(2 + 4)/2 = 3
2, 6
(2 + 6)/2 = 4
2, 8
(2 + 8)/2 = 5
2, 10
(2 + 10)/2 = 6
4, 6
(4 + 6)/2 = 5
4, 8
(4 + 8)/2 = 6
4, 10
(4 + 10)/2 = 7
6, 8
(6 + 8)/2 = 7
6, 10
(6 + 10)/2 = 8
8, 10
(8 + 10)/2 = 9
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
X=x
f (x))P X = x
3
4
5
6
7
8
9
1
10
1
10
2
10
2
10
2
10
1
10
1
10
1
1
2
2
2
1
1
E X =3∗
+4∗
+5∗
+6∗
+7∗
+8∗
+9∗
10
10
10
10
10
10
10
=6
Teorem 7.4. X1 , X2 , ..., Xn rasgele de˘gi¸skenler ve E [Xi ] = µ, V ar (Xi ) = σ 2 ise V ar X =
σ2
n
dır.
¨
¨
2. ORNEKLEM
ORTLAMASI VE VARYANSIN BAZI OZELLIKLERI
153
ˆ
Ispat:
V ar X
=
=
=
=
=
=
E
E
E
h
X −µ
"
"
2 i
X1 + X2 + ... + Xn
−µ
n
2 #
nµ
X1 + X2 + ... + Xn
−
n
n
"
2 #
2 #
(X1 − µ) + (X2 − µ) + ... + (Xn − µ)
E
n
"
#
2
2
(X1 − µ)
(Xn − µ)
(X1 − µ) (X2 − µ)
(Xn−1 − µ) (Xn − µ)
+ ... +
+2
+ ... +
E
n2
n2
n2
n2
i
h
i
1 h
2
2
E
(X
−
µ)
+
...
+
E
(X
−
µ)
1
n
n2


+
2 

E [(X1 − µ) (X2 − µ)] + ... + E [(Xn−1 − µ) (Xn − µ)]
2
|
{z
}
|
{z
}
n
=0, (Ba˘
g ımsız)
=
=0, (Ba˘
gımsız)
σ2
1
1
2
2
(V
ar
(X
)
+
...
+
V
ar
(X
))
=
σ
+
...
+
σ
=
1
n
n2
n2
n
˙ zar atıldı˘gında u
¨
Ornek
7.5. Iki
¨stte gelen y¨
uzlerdeki noktaların sayısı sırasıyla X1 ve X2 ise V ar X de˘gerini
hesaplayınız.
C
¸ ¨oz¨
um:
x f (x) = P (X = x)
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
x2 ∗f (x)
x ∗ f (x)
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
12 ∗
22 ∗
2
3 ∗
2
4 ∗
52 ∗
2
6 ∗
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
=
=
=
=
=
=
1
6
4
6
9
6
16
6
25
6
36
6
T oplam : E X 2 =
2
2
91
7
35
2
2
σX = V ar (X) = E X − µX =
−
=
6
2
12
35
V ar (X1 ) = V ar (X2 ) = σ 2 =
12
35
X1 + X2
σ2
35
V ar X = V ar
=
= 12 =
2
2
2
24
T oplam : µx = E [X] =
7
2
91
6
˙ para 3 kez atılsın. Turaların ortalaması X ise E X ve V ar X de˘gerlerini hesaplayınız.
¨
Ornek
7.6. Iki
˙
2. ISTATISTIK
154
1 para i¸cin ebeklenen de˘ger
S
YYY
YYT
YTY
TYY YTT
TYT
TTY TTT
X
0
1
1
1
2
2
2
3
P(X = x)
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
3
, f (1) = P (X = 1) =
8
8
3
1
f (2) = P (X = 2) = , f (3) = P (X = 3) =
8
8
X
1
3
3
1
3
E [X] =
xf (x) = 0 ∗ + 1 ∗ + 2 ∗ + 3 ∗ =
8
8
8
8
2
x
f (0) = P (X = 0) =
E [X1 ] = E [X2 ] =
bir para i¸cin varyans
3
3
⇒E X =
2
2
X
0
1
2
f (x)
1
8
3
8
3
8
2
(x − µx )
2
(x − µx ) f (x)
3 2
−2
9
4
∗
1
8
2
σX
= V ar (X) =
9
4
9
32
1−
=
=
X
x
1
4
∗
3 2
2
3
8
=
=
1
4
3
32
2
V ar X = V ar
X1 + X2
2
2−
1
4
(x − µx ) f (x) =
3
∗
3
8
3 2
2
=
1
8
=
1
4
3
32
3−
9
4
∗
1
8
3 2
2
=
=
9
4
9
32
9
3
3
9
3
+
+
+
=
32 32 32 32
4
=
3
σ2
3
= 4 =
2
2
8
Teorem 7.7. N herhangi sonlu sayıda kitleden olu¸san bir kitlenin b¨
uy¨
ukl¨
u˘gu
¨n¨
u. n bu kitleden yerine koymaksızın se¸cilen bir ¨
orneklemin b¨
uy¨
ukl¨
u˘gu
¨n¨
u g¨
osterirse, n birimlik t¨
um olanaklı ¨
orneklemler i¸cin ortalamaların
ortalaması µx . . ortalamaların varyansı σx2 olmak u
¨zere
µx
V ar X
ile hesaplanır.
=
=
E X =µ
σx2 =
σ2 N − n
n N −1
Teorem 7.8. N herhangi sonlu sayıda kitleden olu¸san bir kitlenin b¨
uy¨
ukl¨
u˘gu
¨n¨
u. n bu kitleden yerine koyma
yolu ile se¸cilen bir ¨
orneklemin b¨
uy¨
ukl¨
u˘gu
¨n¨
u g¨
osterirse, n birimlik t¨
um olanaklı ¨
orneklemler i¸cin ortalamaların
ortalaması µx . . ortalamaların varyansı σx2 olmak u
¨zere
µx
V ar X
ile hesaplanır.
=
=
E X =µ
σx2 =
σ2
n
¨
Ornek
7.9. 7, 10, 9, 11, 13, 12, 15 kitlesinden n = 2 olan rasgele ¨
orneklemleri yerine koymaksızın se¸cti˘gimizde,
E X ve V ar X de˘gerlerini hesaplayınız.
¨
¨
2. ORNEKLEM
ORTLAMASI VE VARYANSIN BAZI OZELLIKLERI
C
¸ ¨oz¨
um: 1.Yol: 7 kitleden 2 li se¸cim C7,2 =
7!
2!∗5!
= 21 farklı bi¸cimde ger¸cekle¸sir.
¨
Orneklem
Ortalaması Olasılı˘gı
7, 10
8.5
7, 9
8
7, 11
9
7, 13
10
7, 12
9.5
7, 15
11
10, 9
9.5
10, 11
10.5
10, 13
11.5
10, 12
11
10,15
12.5
9,11
10
9,13
11
9,12
10.5
9,15
12
11,13
12
11,12
11.5
11,15
13
13,12
12.5
13,15
14
12,15
13.5
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
X=x P X=x
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
1
21
1
21
1
21
2
21
2
21
2
21
3
21
2
21
2
21
2
21
1
21
1
21
1
21
155
˙
2. ISTATISTIK
156
1
1
1
2
2
E X =
∗8+
∗ 8.5 +
∗9+
∗ 9.5 +
∗ 10
21
21
21
21
21
2
3
2
2
2
+ ∗ 10.5 +
∗ 11 +
∗ 11.5 +
∗ 12 +
∗ 12.5
21
21
21
21
21
1
1
1
+ ∗ 13 +
∗ 13.5 +
∗ 14 = 11
21
21
21
2
X =x P X =x
X −E X
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
1
21
1
21
1
21
2
21
2
21
2
21
3
21
2
21
2
21
2
21
1
21
1
21
1
21
2
(8 − 11) = 9
2
(8.5 − 11) = 6. 25
(9 − 11)2 = 4
2
(9.5 − 11) = 2. 25
2
(10 − 11) = 1
2
(10.5 − 11) = 0.25
2
(11 − 11) = 0
(11.5 − 11)2 = 0.25
2
(12 − 11) = 1
2
(12.5 − 11) = 2. 25
2
(13 − 11) = 4
2
(13.5 − 11) = 6. 25
(14 − 11)2 = 9
1
1
1
2
2
V ar X =
∗9+
∗ 6.25 +
∗4+
∗ 2.25 +
∗1
21
21
21
21
21
2
3
2
2
2
+ ∗ 0.25 +
∗0+
∗ 0.25 +
∗1+
∗ 2.25
21
21
21
21
21
1
1
1
+ ∗4+
∗ 6.25 +
∗ 9 = 2.5
21
21
21
2. Yol (Yukarıdaki Teoremi kullanarak)
1
µ =
(7 + 10 + 9 + 11 + 13 + 12 + 15) = 11
7
E X = µ = 11
1
2
2
2
2
2
2
2
σ2 =
(7 − 11) + (10 − 11) + (9 − 11) + (11 − 11) + (13 − 11) + (12 − 11) + (15 − 11)
7
= 6
σ2 N − n
V ar X
= σx2 =
n N −1
6 7−2
=
∗
= 2.5
2 7−1
¨
Tanım 7.10. Orneklem
ortalamasının standart sapması σx ye ortalamanın standart hatası denir.
Yukarıdaki ¨ornekte g¨or¨
uld¨
u˘gu
¨ u
¨zere σ 2 = 6, σx2 = 2.5 olup σ =
masının standart sapması dah k¨
u¸cu
¨kt¨
ur. Buna g¨ore
√
√
6, σx = 2.5 dır yani o¨rneklem ortala-
¨
¨
2. ORNEKLEM
ORTLAMASI VE VARYANSIN BAZI OZELLIKLERI
157
(1) σx < σ
(2) Daha b¨
uy¨
uk n de˘gerleri i¸cin daha k¨
u¸cu
¨k σx de˘gerleri elde edilir.
q
q
−n
−n
(3) σx = √σn N
ul¨
unde N
gerine sonlu kitle ¸carpanı denir.
N −1 form¨
N −1 de˘
(4) N olduk¸ca b¨
uy¨
uk ve n olduk¸ca k¨
u¸cu
¨k bir de˘ger ise σx ≃
√σ
n
olarak alınabilir.
Teorem 7.11. X1 , X2 , ..., Xn rasgele de˘gi¸skenler ve E [Xi ] = µ, V ar (Xi ) = σ 2 olan bir normal da˘gılıma sahip
2
ise E X = µx = µ, V ar X = σx2 = σn dir.
Teorem 7.12. X1 , X2 , ..., Xn rasgele de˘gi¸skenler ve E [Xi ] = µ, V ar (Xi ) = σ 2 olan bir normal da˘gılıma sahip
olmak u
¨zere
Z=
X −µ
X −µ
=
√σ
σx
n
ile tanımlanan Z de˘gi¸skeni n nin b¨
uy¨
uk de˘gerleri i¸cin (n>30) yakla¸sık olarak standart normal da˘gılıma sahiptir.
¨
Ornek
7.13. Bir sanayi kurulu¸sunda calı¸sanların g¨
undelikleri ortalama µ = 800.000 TL ve σ = 90.000
TL standart sapmalıdır. Rasgele se¸cilen 81 i¸s¸cinin g¨
undeliklerinin ortalamasının 810.000 TL ve 825.000 TL
arasında bulunması olasılı˘gı nedir? P 810.000 < X < 825.000 =?
¨
C
¸ ¨oz¨
um: n=81>30 oldu˘gundan normal da˘gılım d¨
u¸su
¨nece˘giz. Oncelikle
kitlenin varyansının hesaplayalım:
σx
=
σ
90000
√ = √
= 10 000
n
81
Z
=
X −µ
σx
de˘gi¸skenini kullanarak
810000 − 800000
=1
10 000
825000 − 800000
z2 =
= 2.5
10 000
P 810.000 < X < 825.000 = P 1 < Z < 2.5
= P Z < 2.5 − P Z ≤ 1
z1 =
= 0.9938 − 0.8413 = 0.152 5

Python 3 KT1i lavuzu

Makale İndir

Konular ve haftalar

ALB 2015 BİST DEĞERLEME TABLOSU

Windows Phone 8.1 işletim sistemli Lumia

BM516 ˙ILER˙I OLASILIK TEOR˙IS˙I ve RASSAL SÜREÇLER -ÖDEV-I

Kocaeli İli Kamu Hastaneleri Birliği

Prostat Kanseri˙Ilintili MikroRNA Kümelerinin Tespiti Detection of

Document 5050517

tobb-et¨u, matemat˙ık b¨ol¨um¨u, g¨uz d¨onem˙ı 2013

C¸alısma Soruları

(mutluluk) kavramı

¨Odev 7: Fourier Serileri - E

MT 131 ANAL˙IZ (2014) ARA SINAV C¸ ¨OZ¨UMLER 1. (a) f(x) = için

Prof.Dr. Ayşe Can BAYSAL - İstanbul Bilim Üniversitesi

1. Topolojik Uzaylar

MUS VALiLiCi

1.7 Dizisel Kompakt Uzaylar

Python2.x - Parent Directory

Jensen Eşitsizliğinin Bir Uygulaması