close

Enter

Log in using OpenID

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

embedDownload
+
T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
FİBONACCİ DİZİSİ ve ALTIN ORAN’IN
MÜZİKTE KULLANIMININ İNCELENMESİ
Sümeyye BAKIM
YÜKSEK LİSANS
Matematik Anabilim Dalı
Mayıs-2014
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
TEZ KABUL VE ONAYI
Sümeyye Bakım tarafından hazırlanan “Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın
Müzikte Kullanımın İncelenmesi” adlı tez çalışması …/…/… tarihinde aşağıdaki jüri
tarafından oy birliği / oy çokluğu ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Jüri Üyeleri
İmza
Başkan
Unvanı Adı SOYADI
…………………..
Danışman
Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
…………………..
Doç. Dr. Seyit YÖRE
…………………..
Üye
Unvanı Adı SOYADI
…………………..
Üye
Unvanı Adı SOYADI
…………………..
Üye
Unvanı Adı SOYADI
…………………..
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. Aşır Genç
FBE Müdürü
TEZ BİLDİRİMİ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait
olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and
presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as
required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and
results that are not original to this work.
Sümeyye BAKIM
Tarih:
ÖZET
YÜKSEK LİSANS
FİBONACCİ DİZİSİ ve ALTIN ORAN’IN MÜZİKTE KULLANIMININ
İNCELENMESİ
Sümeyye BAKIM
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Doç. Dr. Seyit YÖRE
2014, 47 Sayfa
Jüri
Danışman Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Doç. Dr. Seyit YÖRE
Prof. Dr. Hasan ŞENAY
Doç. Dr. Yıldıray KESKİN
Bu çalışmada kısaca matematiksel sayı dizileri tanımlandıktan sonra Fibonacci Dizisi ve Altın
Oran’ın özellikleri verilmiştir. Genel olarak matematik ve müzik arasındaki ilişki değerlendirilerek,
Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın müzikle ilişkisine geçilmiştir. Bazı Avrupa sanat müziği/çoksesli müzik
bestecilerinin eserlerinden seçilen örnekler üzerinde bu zamana kadar yapılmış olan çalışmalardaki ön
kabuller matematiksel ve müziksel doğrular çerçevesinde tartışılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Altın Oran, Fibonacci Dizisi, Fibonacci Sayıları, Lucas Sayıları, Matematik,
Müzik
iv
ABSTRACT
MS THESIS
EXAMINATION OF THE USE OF FIBONACCI SEQUENCE AND GOLDEN
PROPORTION IN MUSIC
Sümeyye BAKIM
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF
SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS
Advisor: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Assoc. Prof. Dr. Seyit YÖRE
2014, 47 Pages
Jury
Advisor Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Assoc. Prof. Dr. Seyit YÖRE
Prof. Dr. Hasan ŞENAY
Assoc. Prof. Dr. Yıldıray KESKİN
In this study, after defining mathematical number sequences, the properties of Fibonacci
Sequence and Golden Ratio have been presented. The relationship between mathematics and music has
generally been evaluated and then proceeded into the relationship of Fibocacci Sequence and Golden
Ratio with music. Pre acceptances on the studies applied to the chosen examples of some European art
music/multi-vocal composers up to now have been discussed within the framework of mathematical and
musical facts.
Keywords: Golden Proportion, Fibonacci Sequence, Fibonacci Numbers, Lucas Numbers,
Mathematics, Music
v
SİMGELER VE KISALTMALAR
Fn : n . Fibonacci sayısı.
Ln : n . Lucas sayısı.
 : Phi, Türkçe okunuşuyla ‘fi’, Altın Oran’ı ifade eden simge.
: : Reprise, yineleme, tekrar anlamına gelir.
Ö. : Ölçü.
AO: Altın Oran.
: Bemol, sesleri kalınlaştırmaya yarayan işaret.
: Diyez, sesleri inceltmeye yarayan işaret.
 : Orantı işareti.
vi
TANIMLAR
12 Ses sistemi (Twelve tone system): Do, Do♯, Re, Re♯, Mi, Fa, Fa♯, Sol, Sol♯, La,
La♯, Si notalarından oluşan ses sistemi ve 12 sesin 4 farklı çevrimine dayalı bir
matematiksel bestecilik tekniğidir.
Akor (chord): İngilizce bir kelimedir. İki veya daha fazla notanın dikey olarak
eşzamanlı bir şekilde seslendirilmesidir.
Akord (tuning): İngilizce bir kelimedir. Çalgılarda teller arasında belirlenmiş ses
aralıklarının ayarıdır.
Allegro: İtalyanca bir kelimedir. Bir müzik eserinin hızlı tempoda seslendirileceğini
ifade eder.
Aralık: Müzikte seslerin arasındaki çeşitli matematiksel oranlardır. Küçük üçlü, büyük
altılı, sekizli vb. gibi terimlerle ifade edilir.
Armoni (harmony): İngilizce bir kelimedir. Müzikte akorların uyumlu olarak kendi
arasında nasıl bağlanacağını belirleyen kurallardır.
Arya (aria): İtalyanca bir kelimedir. Opera ve Oratoryo gibi müzikli sahne eserlerinde
bir veya daha fazla solistin orkestra eşliğinde söylediği kendi içinde bütünlüğü olan bir
şarkı formudur.
Diyatonik dizi (diatonic): İngilizce bir kelimedir. Aynı anda tam, yarım, eksik ve artık
ses aralıklarından oluşan bir ses dizisi çeşitidir.
Doruk noktası (climax): İngilizce bir kelimedir. Bir müzik eserinde en yoğun ve
duygusal noktadır.
Forte: İtalyanca bir kelimedir. Müzik eserinin belirli bir yerinin kuvvetli bir şekilde
seslendirilmesi demektir.
Fortissimo: İtalyanca bir kelimedir. Forte’den daha kuvvetli bir seslendirme demektir.
Fugato: İtalyanca bir kelimedir. Bir füg formu çeşitidir.
Füg (Fugue): Fransızca bir kelimedir. Çoksesli müzikte bir formdur.
İkincil (Ara) Tema: Bir müzik eserinin birincil (ana) temasından sonra gelen
temalardır.
vii
Kantat (cantata): İtalyanca bir kelimedir. Orkestra, koro ve solistler için bestelenen bir
çoksesli müzik formudur.
Koda (coda): İtalyanca bir kelimedir. Bir bestenin sonuna konan bitiş bölümüdür.
Kodetta (codetta): İtalyanca bir kelimedir. Koda’nın daha kısa şeklidir.
Konçerto (concerto): İngilizce bir kelimedir. Orkestra ve solist olan bir müzik aleti için
bestelenen bir çoksesli müzik formudur.
Kromatik dizi (chromatic): İngilizce bir kelimedir. Yarım ses aralıklardan oluşan bir
ses dizisi çeşitidir. Kromatik dizide temelde on iki yarım ses aralığı vardır.
Motif (motif): Fransızca bir kelimedir. Bir müzik eserinin en küçük/kısa temel fikridir
ve eser bu fikir üzerine kurulur.
Nakarat (chorus): İngilizce bir kelimedir. Bir müzik eserinin/şarkının tekrar kısmıdır.
Oktav (octave): İngilizce bir kelimedir. Yedi sesten meydana gelen diziye (do, re, mi,
fa, sol, la, si) ve müzikte sekizli aralığa bu ad verilir.
Ostinato: İtalyanca bir kelimedir. Bir müzik eserinin tamamında veya bir kısmında aynı
şekilde tekrar eden kısa melodik veya ritmik yapıdır.
Ölçü (measure): İngilizce bir kelimedir. Bir müzik eserinin en küçük metrik kesitini
ifade eder. Ölçüler dikey çizgilerle birbirinden ayrılır. Bunlara ölçü çizgisi denir.
Pentatonik dizi (pentatonic): İngilizce bir kelimedir. Beş sesli (do, re, mi, sol, la) dizi
demektir.
Prelüd (prelude): İngilizce bir kelimedir. Giriş, başlangıç anlamına gelir ve müzik
eserlerinde giriş müziği olarak kullanılmasının yanı sıra kendi başına kısa bir formdur.
Resitatif (recitativo): İtalyanca bir kelimedir. Opera, oratoryo ve kantat gibi müzikli
sahne eserlerinde konuşma şeklindeki şarkı formudur.
Ritim (rhythm): İngilizce bir kelimedir. Müzik seslerinin belirli matematiksel (birlik,
ikilik, dörtlük, sekizlik vd.) sürelere bölünmesidir.
Senfoni (symphony): İngilizce bir kelimedir. Genellikle üç veya dört bölüm içeren ve
büyük orkestralar için bestelenen bir çoksesli müzik formudur.
Sonat (sonata): İtalyanca bir kelimedir. Bir veya birden fazla çalgı için bestelenen bir
çoksesli müzik formudur.
viii
Sonat-allegro (sonata-allegro): İngilizce bir kelimedir. Bir sonatın veya sonattan
oluşan konçerto ve senfoni gibi formların ilk bölümüdür.
Sonat-rondo (sonata-rondo): İngilizce bir kelimedir. Hem sonat hem de rondo
formlarının özelliklerini taşıyan formdur.
Tema ve çeşitleme (theme and variations): İngilizce bir kelimedir. İlk olarak ana
temayı gösteren ve sonrasında gelen ifadelerle değişen ve gelişen bir çoksesli müzik
formudur.
Tema (theme): İngilizce bir kelimedir. Bir müzik eserinin kurulduğu ana ezgidir.
Tokkata (toccata): İtalyanca bir kelimedir. Özellikle org ve diğer çalgılar için
bestelenen bir çoksesli müzik formudur.
Vivo: İtalyanca bir kelimedir. Bir müzik eserinin tamamının veya belirli bir kısmının
daha canlı ve hareketli bir şekilde çalınmasını ifade eder.
Vuruş (beat): İngilizce bir kelimedir. Müzikte belirli sürelere bölünmüş ritmik
birimlerin düzenli sayımıdır.
ix
İÇİNDEKİLER
ÖZET .......................................................................................................................... iv
ABSTRACT..................................................................................................................v
SİMGELER VE KISALTMALAR .............................................................................. vi
TANIMLAR .............................................................................................................. vii
İÇİNDEKİLER .............................................................................................................x
1. GİRİŞ ....................................................................................................................1
1.1. Tezin Amacı ....................................................................................................1
1.2. Tezin Önemi ....................................................................................................1
1.3. Matematiksel Diziler ve Fibonacci Dizisi ........................................................2
1.4. Fibonacci Dizisi ve Altın Oran ........................................................................3
1.5. Matematik ve Müzik İlişkisi ............................................................................9
1.6. Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın Müzikle İlişkisi ......................................... 12
2. KAYNAK ARAŞTIRMASI................................................................................. 17
3. MATERYAL VE YÖNTEM ............................................................................... 19
4. ARAŞTIRMA BULGULARI VE TARTIŞMA .................................................... 20
4.1. İki ve Üç Bölümlü Form ................................................................................ 20
4.2. Chopin’in Prelüdleri ...................................................................................... 21
4.3. Mozart’ın Piyano Sonatları ............................................................................ 22
4.5. Bartók’un İki Piyano ve Vurmalı Çalgı Sonatı ............................................... 27
4.6. Bach’ın Kromatik Fantezisi ........................................................................... 34
5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER.............................................................................. 37
5.1. Sonuçlar ........................................................................................................ 37
5.2. Öneriler ......................................................................................................... 38
KAYNAKLAR ........................................................................................................... 39
EKLER ....................................................................................................................... 40
x
ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................ 47
xi
1
1. GİRİŞ
1.1. Tezin Amacı
Ortaçağ’ın en önemli İtalyan matematikçilerinden biri olan Leonardo Fibonacci
(1170-1250) özgün bir teori geliştirmiştir ki Fibonacci Dizisi veya Sayıları olarak anılan
teorideki sayıların ve bunlara bağlı olarak oluşan Altın Oran’ın doğal bilimler ve
müzikte kullanıldığına dair dünyada birçok çalışma yapılmıştır. Fibonacci Dizisi ve
Altın Oran’ın müzikteki varlığına dair çalışmalar, Avrupa sanat müziği/çoksesli müzik
bestecilerinin eserlerinde bu sayıların kullanıldığının kanıtlanmaya çalışılması
şeklindedir. Ancak, bu çalışmaları yapanların çoğunlukla Fibonacci Dizisi ve Altın
Oran’ın müzikteki varlığını baştan kabul ettikleri, doğrudan bu sayıları bulmaya
yöneldikleri, ancak bu sayıların müzik kuramıyla örtüşüp örtüşmediğine bakmadıkları
ve incelenen bestecilerin bu sayıları bilinçli olarak kullanıp kullanmadıklarını
sorgulamadıkları görülmüştür. Bu durumlar, Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın
müzikteki varlığına ilişkin bir problem ortaya çıkarmış, ilgili sayıların uluslararası
müzik kuramına uymadığı, dolayısıyla yapılan çalışmalarda hatalar olduğu tespit
edilmiştir.
Bu çalışmada, Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın Avrupa sanat müziği
eserlerinde olup olmadığını çeşitli yöntemlerle ifade eden kaynakların incelenmesi ve
doğruluğunun tartışılması amaçlanmaktadır.
1.2. Tezin Önemi
Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın müzikteki varlığını baştan kabul eden,
doğrudan bu sayıları bulmaya yönelen, ancak bu sayıların müzik kuramıyla örtüşüp
örtüşmediğini ve ilgili bestecilerin bu sayıları bilinçli olarak kullanıp kullanmadığını
sorgulamayan çalışmaların doğrulunun tartışılmasıyla uluslararası alanda hatalı bir
yaklaşımın düzeltilmesi ve bundan sonra Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın müzikteki
varlığına ilişkin yapılacak çalışmaları doğru bir şekilde yönlendirmek bu çalışmanın
önemini oluşturur.
2
1.3. Matematiksel Diziler ve Fibonacci Dizisi
Tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise IR gerçel sayılar
kümesi olan bir fonksiyona dizi denir. x1, x 2 , x 3, ... sayılarına dizinin terimleri, n ye
bağlı bir ifade olan x n ye ise dizinin genel terimi denir. Diziler ya x1, x 2, x 3, ... gibi veya
x n genel terimi xn veya  xn  gibi gösterilebilir. Dizi sonlu ya da sonsuz olabilir.
Pozitif tam sayılar 1, 2, 3, 4,... sonsuz diziye örnek olarak verilebilir. 1, 2, 3, 4  dizisi
ise sonlu bir dizidir. Sonsuz dizilerin bazı türleri bir sınır değerine yaklaşabilir.
Sözgelimi 1,1/ 2,1/ 3,...,1/ n,... dizisinde n sonsuza yaklaştıkça sıfır sınırına ulaşılır. Bir
dizinin limiti önemli bir matematiksel kavramdır. Aritmetik diziler de sonsuz dizinin bir
örneğidir.
u1 , u2 , u3 ,........, un ,...
  
2, 5, 8,........., 2  (n  1).3,...
dizisinde n . terimin formülü,
un  2  (n  1).3
şeklindedir. Bir diziyi belirtmenin diğer bir yolu da dizinin ilk terimini belirlemektir:
u1  2
ve formül, n  1 ve n   için
u n  u n 1  3
(1)
şeklindedir. Bu tanıma tekrarlı tanım ve formüle tekrar formülü veya tekrarlı formül
denir. İlk iki terimi,
u1  1,
u2  1
ve tekrar formülü, n  2 ve n   için
u n  u n1  u n 2
şeklinde belirlenirse,
1,1, 2,3,5,8,13,...
3
dizisi elde edilir. Bu diziye, on üçüncü yüzyıl İtalyan matematikçisi Leonardo
Fibonacci’nin soyadını alan, Fibonacci Dizisi ve terimlerine de Fibonacci Sayıları adı
verilir. n . Fibonacci Sayısı Fn ile gösterilirse,
F1  1, F2  1, F3  2, F4  3, F5  5, F6  8,...
olur. Bu dizi ile ilgili detaylı bilgi, bir sonraki bölümde verilecektir.
(1) formülü kullanılarak ve dizideki ilk iki terim için farklı sayılar seçilerek
birçok farklı dizi belirlenebilir. Mesela, u1  1 ve u 2  3 ve alınırsa aynı tekrar formülü
ile,
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,...
şeklinde, on dokuzuncu yüzyıl Fransız matematikçisi F. Édouard Lucas’ın (1842-1891)
soyadını alan, Lucas Dizisi elde edilir. Lucas dizisinin sayılarına, Lucas Sayıları denir
ve n . Lucas sayısı için Ln gösterimi kullanılır. Lucas sayıları, Fibonacci sayıları ile
yakından ilişkilidir (Hoggatt, 1969).
Genel olarak, (1) ile tanımlanan dizinin ilk iki terimi için rasgele tamsayılar olan
p ve q alınırsa, yani u1  p ve u 2  q için,
p, q, p  q, p  2q, 2 p  3q, 3 p  5q,...
Genelleştirilmiş Fibonacci Dizisi elde edilir (Hoggatt, 1969).
1.4. Fibonacci Dizisi ve Altın Oran
1.4.1. Tavşan problemi
Leonardo Pisano Bigollo veya Leonardo Bonacci olarak da anılan Leonardo
Fibonacci (1170-1250), Liberabaci (Hesaplama Kitabı) (1202) adlı eserinde, sonradan
gelecek olan matematikçilerin Altın Oran’ı anlaması için anahtar niteliğinde olan
matematiksel bir bulmaca kurmuştur (Marie, 2012). Bu bulmaca tavşan problemidir. Bu
problem, Ergin bir tavşan çiftinin her ay yeni bir yavru çifti verdiği ve yeni doğan bir
çiftin 1 ay zarfında tam ergenliğe eriştikleri varsayımıyla, bir tavşan çiftinden başlayıp 1
yılda oluşan toplam tavşan çifti sayısını sormaktadır.
Fibonacci’nin bu problemi aşağıdaki şekilde özetlenebilir:
1. Ocak ayının birinci günü, kapalı bir alanda bir çift tavşan vardır.
4
2. Bu çift Şubat ayının birinci günü ve sonrasında gelen her ayın birinci gününde
bir çift tavşan oluşturur.
3. Her yeni çift bir ayda olgunlaşır ve ömrünün üçüncü ayından itibaren her ayın
birinci günü bir çift oluşturur ve hiç tavşan ölmez.
Tavşan çiftlerini kolayca hesaplamak için bu oluşumu çizelge ile göstermek
daha yararlı olacaktır. Yetişkin çiftler A, yavru çiftler B, toplam tavşan sayısı T ile
gösterilirse:
Çizelge 1.1: Bir yıl içinde oluşan tavşan çiftlerinin sayısı
AYLAR
OLUŞAN TAVŞANLAR
OCAK
ŞUBAT
MART
NİSAN
MAYIS
.
.
.
ARALIK
.
.
.
A
B
T
1
1
2
3
5
0
1
1
2
3
1
2
3
5
8
.
.
.
144
.
.
.
89
.
.
.
233
Hem yetişkin, hem yavru hem de toplam çift sayısının bulunmasını sağlayan
çizelge elde edilir.
“A’ların sayısı” sütunundaki diziyi belirtmek için ilk iki terim,
u1  1 ve u 2  1
ve tekrar formülü, u  2 için
un  un 1  un 2
yazıldığında, beklenildiği gibi,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
dizisi bulunur. “B’lerin sayısı” sütunu için, u1  0 ve u 2  1 ve aynı tekrar formülü ile,
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
5
dizisi elde edilir. “Toplam çiftlerin sayısı” sütunu için, u1  1 ve
u 2  2 ve dizi,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
bulunur. Tavşan probleminden dolayı
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
dizisine Fibonacci Dizisi ve terimlerine Fibonacci Sayıları denir. n. Fibonacci sayısı
Fn şeklinde gösterilir. Dolayısıyla,
F1  1, F2  1
F3  2, F4  3
F5  5, F6  8
F1  F2  1 ,
Fn  Fn1  Fn  2 ,
n 2
F1  F2  1 ,
Fn1  Fn  Fn1 ,
n 1
F1  F2  1 ,
Fn 2  Fn1  Fn ,
n 1
yazılır. Dahası,
veya
veya
alternatif formları da yazılabilir.
Artık Fibonacci’nin tavşan probleminin daha biçimli ifadesi verilebilir. Bütün n pozitif
tamsayıları için, n . ayın ilk günü için;
An= A’ların sayısı (yetişkin tavşan çiftleri)
Bn= B’lerin sayısı (yavru tavşan çiftleri)
Tn= Toplam tavşan çiftlerinin sayısı = An+Bn
olsun. n. ayın ilk günü sadece A’lar (n+1). ayın ilk günü B’leri oluşturacağından, n  1
için
Bn 1  An
olur. Şekil 1’den de görülebileceği gibi A1  1 ve A2  1 dir. Dolayısıyla A1 , A2 , A3 , ....
dizisi bir Fibonacci dizisidir ve n 1 için
An  Fn ,
şeklindedir. n 1 için
6
Bn 1  An
olduğundan, n  2 için
Bn  An 1  Fn 1
bulunur. Son formül için n  1 alınırsa,
B1  F0
olur.
Fn1  Fn  Fn1 formülü için n  1 alınırsa,
F2  F1  F0
veya
F0  F2  F1  1  1  0
bulunur. Bu da Şekil 1’deki B1  0 değerini doğrular. Böylece F0 da tanımlanmış olur.
Sonuç olarak n. aydaki toplam çift sayısı 233 bulunur (Hoggatt, 1969).
1.4.2. Altın oran ve Fibonacci kuadratik denklemi
Bir AB doğru parçası alıp C noktasından iki bölüme ayrıldığında C noktasının
AB doğru parçasını,
AB
AC

AC
CB
orantısını verecek şekilde bölmesi halinde, C’ye AB ’nin ‘Altın Bölümü’, bu orantıyı
oluşturan AB / AC ve AB / CB oranlarına da Altın Oran denir.
Şekil 1.1: Altın bölüm
C noktasından bölünmüş olan AB doğru parçası üzerinde AC  x ve CB  1 olsun
(Şekil 1.1). Böylece söz konusu AB / AC  AC / CB orantısı,
7
x 1 x

x
1
şeklinde yazılabilir. Bu da,
x 1  x2
veya
x2  x 1  0
şeklinde ikinci dereceden bir denklem verir. Bu kuadratik denklemin köklerini bulmak
için ax 2  bx  c  0 biçimindeki denklemlerin çözümünde kullanılan
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
kuadratik formül kullanılırsa kökler,
x1 
1 5
 1, 61803...
2
x2 
1 5
 0, 61803...
2
olarak bulunur. x1  1,61803... değeri Altın Oran’ın beş basamaklı değeridir. Kısaca,
1,618 olarak kabul edilir. x 2  0,61803... ise Altın Oran’ın ters değeridir.
Altın Oran’ın 1,618 değeri ile 0,618 ters değeri karşılaştırıldığında, ilginç bir
özelliğin farkına varılır. 1,618 sayısı, kendisinden 1 çıkarıldığında kendi tersine eşit
olan yegâne sayıdır. Yani,
1,618  1 
1
 0,618
1,618
dir. Bir diğer özellik:
1,618  1 
1
1,618
olduğuna göre,
1,618 (1,618)  1,618  1
(1,618) 2  1,618  1
8
(1,618) 2  2,618
olup, demek ki Altın Oran, kendisine 1 eklendiğinde kendi karesini vermektedir. Bu da
aynı şekilde başka hiçbir sayıda olmayan bir niteliktir (Bergil, 1993). Aynı zamanda
dizideki herhangi bir sayının 2,618 katı, iki sonraki sayıyı ( 89 1, 618  223 ), herhangi
bir sayının 0,382 katı ise iki önceki sayıyı ( 89  0,382  34 ) verir. 0,382 değeri Fn / Fn  2
oranının, 2,618 değeri Fn 2 / Fn oranının limitidir (bkz Ek-4).
Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarının ( Fn1 / Fn veya Fn / Fn 1 ) dizisi ile ilgili
ne söylenebilir? Yakınsar mı? Öyle ise limiti nedir? Eğer limiti varsa geometrik anlamı
var mıdır? Bu soruların cevapları için öncelikle ilk 15 Fibonacci sayısının Fn1 / Fn ve
Fn / Fn 1 oranları incelenmelidir.
Çizelge 1.2: İlk 15 Fibonacci sayılarının oranları (Lehmann ve Posamentier, 2007)
Fn 1
Fn
1
 1.000000000
1
2
 2.000000000
1
3
 1.500000000
2
5
 1.666666667
3
8
 1.600000000
5
13
 1.625000000
8
21
 1.615384615
13
34
 1.619047619
21
55
 1.617647059
34
89
 1.618181818
55
144
 1.617977528
89
223
 1.618055556
144
Fn
Fn 1
1
 1.000000000
1
2
 0.500000000
1
2
 0.666666667
3
3
 0.600000000
5
5
 0.625000000
8
8
 0.615384615
13
13
 0.619047619
21
21
 0.617647059
34
34
 0.618181818
55
55
 0.617977528
89
89
 0.618055556
144
144
 0.618025751
233
9
377
 1.618025751
233
610
 1.618037135
377
987
 1.618032787
610
233
 0.618037135
377
377
 0.618032787
610
610
 0.618034448
987
n sayısı arttıkça Fn1 / Fn ve Fn / Fn 1 değerleri birer limite yaklaşır. Yaklaşık
olarak 0,61803 ve 1,61803 değerlerine. x 2  x  1  0 kuadratik denkleminin pozitif
kökü olan 1,61803 ve bunun tersi olan
1
 0, 61803 değerleriyle aynı olduğuna
1, 61803
dikkat edilir. Oranın limiti matematikte en meşhur sayılardan biridir. Bu oranı
göstermek için, eserlerinde Altın Oran’ı sıklıkla kullanması dolayısıyla ünlü Antik
Yunan heykeltraşı Phidios’un (MÖ 490-430) adının ilk harfi olan Yunan alfabesinin 21.
Harfi  (Phi: Türkçe okunuşuyla ‘fi’) kullanılmaya başlanmıştır (Bergil, 1993).
  1, 61803...
1
veya  1  1, 61803...

  1   1
1.5. Matematik ve Müzik İlişkisi
Matematik ve müzik ilişkisinin kökeni Antik Yunan filozofu Pisagor
(Pythagoras) (MÖ 570-495) ile milattan önce altıncı yüzyıla kadar dayanır. Birçok kişi
onu geometri ve trigonometri ile ilişkili Pisagor Teoreminden bilmesine rağmen bu
onun ünlü olmasının tek sebebi değildir. Pisagor aynı zamanda müzikle ilgilenmiş ve
ses perdeleri arasındaki aritmetik ilişkileri ortaya çıkarmıştır. Onun sayı ve ses
arasındaki ilişkiyi keşfettiği söylenir. Pisagor, sayıların evrenin idari prensibi olduğuna
inanıyordu. İnsanların kulakları sesi sayısal olarak analiz edemediğinden, sesi titreşen
tellere dönüştürerek tellerin ve perdelerin uzunluklarını incelemiş ve notalarda bağdaşan
basit oranlar bulmuştur. Müziksel akord sistemi bu buluş üzerine temellenmiştir
(Hammond, 2011).
Bu güne kadar diyatonik ve kromatik dizi (standart ve standart olmayan),
aralıklar, ritim, ölçü, form, melodi, akorlar, dizi, oktav eşdeğerliği, doğuşkanlar, tını,
10
akustik, eşit aralıklı ses sistemi ve akordun alternatif yöntemleri gibi bazı müziksel
kavramların matematiksel olarak izahı yapılmıştır (Wright, 2009).
Matematik ve müzik ilişkisini incelemeye, iki alanın da tanımları ile başlamak
gerekirse, matematik için: sayılar, geometrik şekiller, fonksiyonlar, uzaylar gibi soyut
varlıkların özelliklerini ve birbirleri ile olan ilişkileri inceleyen bilim, müzik için:
birtakım duygu ve düşünceleri belli kurallar çerçevesinde uyumlu seslerle anlatma
sanatı denilebilir. Çizelge 1.3’te görülen sınıflandırma, günümüzden yaklaşık 26 yüzyıl
önceki Pisagor okulunun müfredatını gösteriyor. Burada, müzik göreceli olan
niceliklerle, geometri sabit duran, astronomi ise hareketli büyüklüklerle ilişkili olarak
sınıflandırılmıştır. Acaba müziği neden matematiğin dalı olarak sınıflandırmışlardı; bu
hiç yerinde olmayan bir sınıflandırma mıydı yoksa mantıklı yanları mı vardı? Bu
sorunun yanıtını düşünürken müziği en küçük, temel bileşeninden en üst düzeydeki
yapılarına kadar gözden geçirerek anımsamak matematik–müzik ilişkisini aydınlatmaya
yardımcı olacaktır (Bora, 2002).
Çizelge 1.3: Dört ilim (Quadrivium) ve bileşenleri
DÖRT İLİM
Matematik
(Değişmez'in Bilimi)
Aritmetik
(Mutlak)
Müzik
(Göreceli)
Geometri
(Sabit)
Astronomi
(Hareketli)
Müziksel sesleri gürültüden ayıran özellik, müziksel seslerin ayırt edilebilir bir
perde verebilme özelliğinin olmasıdır. Perde, sesin tizlik derecesine ilişkin bilgiyi
taşıyan parametresidir. Yani sesin temel frekansına bağlı bir tizlik (incelik) derecesi
(perde) algılanıyor. Bir sese ilişkin bir perdenin algılanabilmesinin ölçütü ise, o sesin
periyodik (süreli) olma derecesidir. Müziksel bir ses, zamana bağlı bir periyodik
fonksiyon olarak düşünülebilir. Yani,  t  ve m  Z için formül
g (t  mT0 )  g (t )
dir.
11
Şekil 1.2: Periyodik bir g(t) fonksiyonu
Şekil 1.3: Doğal bir müziksel ses zarfı örneği
Şekil 1.2’de periyodu T0 olan periyodik bir ses yer alıyor, dikey eksen de
şiddetini gösteriyor. Ancak doğal kaynaklı müziksel seslerin sınırlı bir süresi vardır ve
yarı periyodik özelliktedirler (Şekil 1.3). Müziksel seslerin belirleyici özellikleri
arasında ‘perde’, ‘şiddet’ ve ‘süre’nin yanı sıra bir de ‘tını’, yani örneğin keman, flüt ve
piyano seslerinin birbirinden ayrılmasını sağlayan özellik bulunmaktadır. Tını, ‘sesin
dokusu’ olarak adlandırılabilir. Doğal müziksel ses zarfı örneğini gösteren şekilde
(Şekil 1.3), sesin şiddetindeki yükselme ve alçalmalar, o sese ilişkin tınıyı belirleyen
özellikler arasındadır (Bora, 2002).
Bir efsaneye göre, Pisagor ellerinde çekiçlerle çalışan bazı demircilere rastlar.
Çekiçlerden çıkan sesler birbiriyle çok uyumlu tınlamaktadır. Pisagor çekiçleri
tarttığında ağırlıklarının (12:9:8:6) oranında olduğunu fark eder. Çekiç ağırlıklarıyla
seslerinin temel frekansları arasında matematiksel bir ilişki kurmak pek olası değil; ama
gergin bir telin boyu ile sesinin temel frekansı arasında kesin bir ilişki bulunuyor (Şekil
1.4). Pisagorcular (12:9:8:6) oranlarından Şekil 1.5’teki gibi türettikleri (2:1), (3:2),
(4:3) ve (9:8) oranlarını müzikteki esas aralıklar olarak kabul etmişlerdir. Bu oranlar,
tamsayı katlardaki frekansların tek bir oktav (başlangıç frekansı ile onun iki katı olan
frekans arasındaki oktav) içine aktarıldığında başlangıç frekansına oranlarını
12
belirtmektedir. Şekil 1.4’te görülen ‘monokord’ kullanılarak, telin boyunu değiştirmek
yoluyla bu ‘bağıl frekanslar’ kolayca hesaplanabilmektedir (Bora, 2002).
Şekil 1.4: Monokord
2:1→ oktav (sekizli)
3:2→ tam beşli
4:3→ tam dörtlü
9:8→ tam ses (büyük ikili)
Şekil 1.5: Pisagorculara göre ‘esas aralıklar’
1.6. Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın Müzikle İlişkisi
Fibonacci sayıları müzikle ilişkilidir. Bu ilişki matematik profesörü Tom Zerger
tarafından da incelenmiştir.

İngilizce ‘Music’ kelimesi İngiliz alfabesinin on üçüncü ve yirmi birinci
harfleri ile başlamaktadır. Sekizinci, on üçüncü ve yirmi birinci harfler ile ‘Hum’ (şarkı)
kelimesi oluşturulabilir.

Amerika Kongre Kütüphanesi’nde (The Library of Congress) müzik için
sınıflandırma sayısı M, on üçüncü harftir.

Dewey Ondalık (Decimal) Sistem’de müzik için sınıflandırma sayısı
780’ dir. 780 = 2.2.3.5.13, Fibonacci sayılarının çarpımıdır.

Piyanolar saniyede 440 devir standardına göre akort edilir. 440 = 8.55. 8
ve 55 birer Fibonacci sayısıdır (Koshy, 2001).
Yukarıdaki ifadelerde müzikle Fibonacci sayıları ilişkilendirilmeye çalışılmış ve
rastlantı sonucu elde edilen sayılarla varsayım ispatlanmaya çalışılmıştır. Özellikle ilk
13
maddede İngilizce ‘music’ kelimesinden yola çıkılarak ve yine İngilizce ‘hum’ (şarkı)
kelimesi türetilerek Fibonacci sayıları ve müzik ilişkisine evrensellik dışı bir yaklaşımla
bakılmış olduğu ortaya çıkmaktadır. O halde aynı mantıkla şu sonuç çıkarılabilir:
Fibonacci sayılarından 13, 21, 34 ve 55 alınır ve bunların her biri asal çarpanlarına
ayrılırsa, (13), (7, 3), (2, 17) ve (5, 11), sırası ile yazıldığında: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 olur
ve bunlar ilk yedi asal sayıdır. Üstelik çarpımları olan 510 da Dewey Ondalık (Decimal)
sınıflandırmasında matematik için kullanılan sayıya tekabül eder. Bu ve buna benzer
ifadeler müzik ve Fibonacci sayıları arasında ilişki kurmaya çalışan yazarlar tarafından
birçok internet sitesinde ve kaynakta mevcut olmasına rağmen maalesef kurulmaya
çalışılan ilişki ile ilgili anlamlı bir hiçbir şey ifade etmemektedir (Lehmann ve
Posamentier, 2007).
Piyano tuşları da Fibonacci sayıları ve müzik arasındaki bağlantının büyüleyici
görsel açıklamasına olanak sağlar. Klavyedeki bir oktav, biri diğerinden daha yüksek
olan iki nota arasındaki müziksel aralığı temsil eder. Yüksek olan notanın frekansı,
düşük olanın iki katıdır. Klavyede bir oktav, 5 siyah ve 8 beyaz tuş olacak şekilde
bölünür, toplamda 13 tuş (Şekil 1.6) vardır. Beş siyah tuş biri ikili biri üçlü olmak üzere
iki gruba ayrılır. 2, 3, 5, 8 ve 13 birer Fibonacci Sayısıdır.
Şekil 1.6: Piyano tuşlarının bir oktavındaki Fibonacci sayıları
Oktav formundaki on üç nota Batı müziğindeki en popüler aralıklar olan
kromatik diziyi oluşturur. Kromatik dizi, 5 notalı pentatonik dizi ve 8 notalı diyatonik
diziden önce gelir. Mary Had a Little Lamb ve Amazing Grace gibi popüler şarkılarda
pentatonik dizi kullanılmışken, Row row your boat gibi melodilerde diyatonik dizi
vardır. Büyük altılı ve küçük altılı kulağa en hoş gelen müziksel aralıktır. Mesela,
büyük altılı, sırasıyla Do ve La notalarından oluşur, saniyede 264 ve 440 titreşim
yaparlar (Şekil 1.7). Dikkat edilmelidir ki 264/440 = 3/5 bir Fibonacci oranıdır (Koshy,
2001).
14
Küçük
Altılı
330 5

528 8
Büyük
Altılı
264 3

440 5
Şekil 1.7: Müziksel aralıklardaki Fibonacci oranları
Bir küçük altılı aralığı, bir örnek olarak sırasıyla Mi ve Do notalarından oluşur
ve saniyede 330 ve 528 titreşim yaparlar. Bunların oranı da Fibonacci oranıdır: 330/528
= 5/8 (Koshy, 2001).
Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi Fibonacci sayılarının varlığını ortaya koymak
üzere verilen 8 notalı dizilerle ilgili yazılanlar tamamen hatalıdır. Diyatonik diziler
sekiz değil yedi notaya sahiptir. Çünkü sekizinci nota, birinci notanın tekrarıdır ve
sayısal olarak bir sonraki oktava hareket eder. Bu durumda tuşlarla ilgili bir dizi
yazılacaksa 2, 3, 5, 7, 12 yazılmalıdır ki bu da Fibonacci Dizisi değildir. Gerçek şu ki
piyanodaki siyah tuşların ikili ve üçlü ayrılmış olmasının Fibonacci dizisi ile hiçbir
ilgisi yoktur. Zaten iki ya da üç, hangisinin önce geldiğini söylemek imkansızdır. Çünkü
kendilerini ayıran beyaz tuşlardan başka hiçbir şeyle bağı yoktur. Fibonacci sayıları ile
müzik ilişkisi kurmak adına büyük altılı ve küçük altılının örnek verilmesi de
yanıltıcıdır ki bunların da Fibonacci dizisi ile ilgisi yoktur. Çünkü bunlar, büyük üçlü
(5:4) ve küçük üçlü (6:5) gibi müziğin zengin armonik özüne katkı sağlayan bir yığın
orandan birkaçıdır (Lehmann ve Posamentier, 2007).
Müzikteki birçok yapı, malzeme ve eserde bilinçli olarak yapılanlar dışında çoğunlukla
tesadüfi olarak Fibonacci Dizisinde yer alan sayılara rastlanabilir. Ancak bunların
hepsinin Fibonacci Dizisi ile ilişkilendirilmenin herhangi bir anlamı, mantığı ve önemi
yoktur. Asıl olan doğrudan Fibonacci Dizisi kullanılarak oluşturulmuş müziksel yapılar
veya eserlerdir. Aşağıda verilen örneklerde olduğu gibi Fibonacci Dizisindeki bazı
rakamlar, birlikte veya ayrı ayrı çeşitli müziksel yapılar içerisinde varolabilir.
15
Fibonacci dizisindeki bazı rakamlar ses aralıklarının oranlarını oluştursa da bu oranlar
ortaya çıktığında Fibonacci dizisi bilinmemekteydi.
1:1 Birli
2:1 Sekizli
2:3 Dörtlü
2:5 Artık Beşli
3:2 Tam Beşli
3:5 Küçük Üçlü
3:8 Tam Beşli
5:2 Üçlü
5:3 Büyük Altılı
5:8 Üçlü
8:3 Dörtlü
8:5 Küçük Altılı
21:13 Küçük Altılı
13:8 Küçük Altılı
Müzik aletleri de çoğunlukla 
sayısı temel alınarak yapılır. Keman
tasarımında olduğu gibi yüksek kalitedeki ses telinin tasarımında da Fibonacci Sayıları
ve  kullanılmıştır. Şekil 1.8’de müzik aletlerinden biri olan keman üzerindeki Altın
Oran’lar görülmektedir.
16
Şekil 1.8: Kemandaki Altın Oran
AB / BC  
ve
AC / CD  
olmasının
dışında
AD / AC  AC / AB  CD / BC   'dir.
Antonio Stradivarius (1644-1737) şüphesiz en meşhur keman yapımcısıdır.
Yaptığı çalgılar günümüzde hala kullanılan standartlara sahiptir. Çalgılarının oranları,
bileşenleri ve kurulumu, rahatça çalınan ve konser salonunun tamamına ulaşabilecek
benzer bir alet yapmak isteyenler tarafından taklit edilmiştir (Lehmann ve Posamentier,
2007).
Birçok ünlü bestecinin (Mozart, Beethoven, Bach, Chopin, Béla Bartók, ... )
eserlerinde Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ı kullandığı varsayılmış ve ispat edilmeye
çalışılmıştır. Bunun yanında, Fibonacci dizisini bilinçli olarak kullanan ve bunu
belirten besteciler de bulunmaktadır.
17
2. KAYNAK ARAŞTIRMASI
Bu bölümde bu tez çalışmasına ışık tutan kaynaklar hakkında kısa bir bilgi
verilecektir.
A. Yıldırım ve H. Şimşek, “Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri” adlı
bu alanda etraflıca yazılmış ve örneklerle somutlaştırılmış çalışmalarında, okuyucuda iz
bırakan ve nitel araştırma nedir? Nasıl yapılır? Nereden başlanır ve geliştirilir? Nasıl
raporlaştırılır? sorularına açık cevaplar vermişlerdir. Kitabın başlığında her ne kadar
Sosyal Bilimler ifadesi bulunsa da kitapta yer alan örneklerin hemen tamamının eğitimöğretim faaliyetlerine, ilişkilerine ve durumlarına değin örnekler olduğu göz önüne
alındığında, bu kitabın eğitim-öğretim alanında yer alan öğrenciler ile bu alanda ürün
verme gayretinde olan araştırmacıların çok daha fazla ilgisini çekeceği rahatlıkla
söylenebilir.
D. Wright, “Mathematics and Music” adlı çalışmasında, matematik ve müzik
arasındaki karşılıklı ilişkiyi araştırmıştır. Her iki alanda da bazı temel kavramları
gözden geçirmiş ve karşılaştırmıştır.
H. A. Simons, “Béla Bartók’s Sonata for Two Pianos and Percussion” adlı
çalışmasında, Bartók’un 1937’de bestelediği Sonata for Two Pianos and Percussion (İki
Piyano ve Vurmalı Çalgı Sonatı) adlı eserini kapsamlı birşekilde incelemiştir. Çalışma,
müzik araştırmasının tarihsel, analitik ve estetik üç alanı ile bestecinin tarihsel profili,
ortaya çıkardığı çeşitli ve seçmeli düzensel etkilerin kronolojik tartışmasının yanı sıra
biyografik bilgi de içermektedir. Adı geçen çalışmada, sayısız düzensel etkilerin genel
olarak Bartók’un olgun stiline ve özel olarak da Sonata for Two Pianos and Percussion
eserine nasıl etki ettiği tartışılmıştır.Çalışmanın detaylı analizi, kendine özgü müziksel
örnekler verilerek her ayrı bölümün yanı sıra, eserin tamamının incelenmesini de
içermektedir. Şekilsel tasarım, Altın Oran’ın baz alındığı önceden tasarlanmış Batı
modellerinin yapısal karışımı açısından tartışılmıştır. Düzensel sistemin kullanımı, özel
olarak Altın Oran, Fibonacci Dizisi ve akustik sistem üzerinde durularak tarif edilmiştir.
J. K. Hammond, “Mathematics of Music” adlı çalışmasında, matematik tarihinin
müzik ve temel ses fiziği ile bağlantılar içerdiğini ve şu anda müzikte ve modern akord
sisteminde bulunan oran ve aralıkların bunun doğal oluşumu olduğunu ifade ederek
matematik ve müzik ilişkisini bu fikirler çerçevesinde incelemiştir.
18
M. S. Bergil, “Doğada/ Bilimde/ Sanatta Altın Oran” adlı çalışmasında, Altın
Oran’ın ne olduğuna ve doğada, sanatta ve bilimde nasıl kullanıldığına dair bilgilerin
geniş kapsamlı bir derlemesini yapmıştır. Geçmişe Altın Oran gözlüğüyle nasıl
bakılabileceğini örnekleyen bir çalışma ile Altın Oran’ın görsel yaratım alanında
günümüze de kazandırılabileceğine işaret eden yorumlarda bulunmuştur.
N. Karasar, “Bilimsel Araştırma Yöntemi” adlı çalışmasında, araştırma eğitimi
konusunda
uygun
bir
bakış
açısı
geliştimek
amacıyla,
aşağıdaki
soruları
cevaplandırmaya çalışmıştır;

Araştırma eğitimi nedir? Hangi düzeyde yapılır? Araştırma
bilimcisi eğitimi ile farkı nedir?

Araştırma eğitiminin amaçları nelerdir?

Araştırma eğitiminin içeriğini oluşturan temel bilgi alanları
nelerdir?

Araştırma eğitiminin öğretim yöntemi nasıl olmalıdır?

Lisans-üstü eğitimde araştırma eğitiminin yeri, önemi ve amaçları
nedir? Bu tür yaralanabilme koşulları nelerdir?

Tabii ve sosyal bilim dalları arasında, araştırma eğitimine ilişkin
sorular bakımından ayrılıklar var mıdır? Varsa, nelerdir?
T. Power, “J. S. Bach and the Divine Proportion” adlı çalışmasında, Johann
Sebastian Bach’ın Altın Oran’ı bildiğini ve eserlerinin ölçü ve formlarını tasarlarken
bunu kullandığını düşünerek inceleme yapmıştır. Çalışmada, orantılı yapıların
bütünleşmiş yapısı ve uyumu dolayısıyla bestecinin büyük olasılıkla Altın Oran’ı
bilerek eserini tasarladığı sonucuna ulaşılmaktadır.
U. Bora, “Bilim ve Sanatın Kesiştiği Temel Bir Nokta: Matematik ve Müzik
İlişkisi” adlı çalışmasında, sesin yapısından diziler, melodi, ritim, armoni gibi konulara
uzanan müzik öğeleriyle matematiğin ilişkisini incelemiştir. Perde, tını, aralıklar,
Pisagor koması, eşit aralıklı ses sistemi gibi kavramların matematiksel açıklamaları,
ayrıca tematik dönüşümler ve armonik uzaklık hesaplamaları ile ilgili çalışmalara
örnekler vermiştir.
19
V. E. Hoggatt, “Fibonacci and Lucas Numbers” adlı çalışmasında, Fibonacci ve
Lucas sayılarının bazı ilginç özelliklerine bir giriş sunmaktadır. Burada matematiksel
genellemelerin bazı basit kavramlarla türemesi incenlenmiştir.
3. MATERYAL VE YÖNTEM
Bu tez çalışması, nitel araştırma yöntemine dayalı betimsel düzende durum
saptamaya yönelik olarak “durum/örnek olay tarama modeli” ve bu modelde yer alan
“bütüncül tek durum deseni” ile gerçekleştirilecektir. Örnek olay tarama modelleri,
evrendeki belli bir ünitenin (birey, aile, okul, dernek vb. nin), derinliğine ve
genişliğine, kendisini ve çevresi ile olan ilişkilerini belirleyerek, o ünite hakkında bir
yargıya varmayı amaçlayan tarama düzenlemeleridir. Bunlara ‘monografi’ çalışmaları
da denir (Tütengil, 1975; Aktaran: Karasar, 2002). “Tarama modellerinde amaçların
ifade edilişi genellikle soru cümleleri ile olur. Bunlar: Ne idi? Nedir?, Ne ile ilgilidir?
ve Nelerden oluşmaktadır gibi sorulardır” (Karasar, 2002). “Var olan kaynak ve
belgeleri inceleyerek veri toplamaya belgesel/literatür tarama denir. Belgesel/literatür
taraması, araştırma probleminin seçilerek anlaşılmasına ve araştırmanın tarihsel bir
perspektife oturtulmasına yardımcı olur” (Karasar, 2002). Bütüncül tek durum
deseninin kullanılma durumları şöyledir: “Eğer ortada iyi formüle edilmiş bir kuram
varsa, bunun teyit edilmesi veya çürütülmesi amacıyla, genel standartlara pek uymayan
aşırı, aykırı veya kendine özgü durumların çalışılmasında, daha önce hiç kimsenin
çalışmadığı veya ulaşamadığı durumlar, bütüncül tek durum deseni kullanılarak
çalışılabilir” (Yıldırım ve Şimşek, 2005).
Konuyla ilgili bu zamana dek hazırlanmış yüksek lisans ve doktora tezleri,
basılı kitaplar, bitirme ödevleri ve hakemli dergilerde yayınlanmış olan çalışmalar
araştırmanın temel materyallerini oluşturur. Bu materyaller tezin amacı doğrultusunda
matematiksel ve müziksel doğrulara göre değerlendirilerek Fibonacci Dizisi ve Altın
Oran’ın müzikteki varlığı tartışılmıştır.
20
4. ARAŞTIRMA BULGULARI VE TARTIŞMA
4.1. İki ve Üç Bölümlü Form
Bünyesinde iki bölüm içeren müziğe ikili veya iki bölümlü (AB) form adı
verilir. ‘Eşit ve eşit olmayan’ iki çeşit ikili form vardır: Müziksel ölçü sayıları
bakımından eşit olan ikili formda eser, birbirine eşit iki parçaya bölünür. Eşit olmayan
ikili formda genellikle ikinci bölüm, birinci bölümden belirgin şekilde daha büyüktür,
yani daha fazla ölçü sayısına sahiptir. İki bölüm birbirini dengelediğinden dolayı
besteciler eşit ikili formu kullanmanın sonuçlarından oldukça memnun olmuşlardır.
Çünkü, iki yarımın da birbirini dengelediği görülmüştür. Aynı şekilde başarılı olabilen
eşit olmayan ikili formu kullandıklarında ise her iki tarafın birbirine oranı sorusu ortaya
çıkmıştır. Büyük bestecilerin genellikle çatı katında yalnız başına oturup mum ışığında
uzak esintilerden gelen ilhamlarını dillendirdiği düşünülür. Eserlerinin, düşlerinin
sonucu olduğu hayal edilir. Ancak birçoğunun yaptığı gayet akılcı ve planlı bir iştir.
Besteleme sürecinde içlerindeki sesleri dinlediklerinde bu ses kendilerine olağan dışı
birşey yapmalarını söyler. Çoğu zaman onlar, kendilerini geliştiren ve ‘dinlenilebilen’
müziği yapmalarını sağlayan yılların getirdiği eğitim ve tecrübe ile hüner sahibi olurlar.
Besteciyi zorlayan şey, eserin unsurlarını kontrol etmektir ki mantığı sürdürmenin yanı
sıra, hala eserin anın dürtüsü üzerine yapıldığının hissini vermesidir. En önemlisi
müzik, dinleyiciyi eğlendirmeli, pürüzsüz ve akıcı bir sunuma sahip olmalıdır. Birkaç
istisna dışında çoğu besteci, becerilerini geliştiren ve hünerlerini arttıran zeki
insanlardır. Kağıdın üzerine kalemi koyduklarında, müziğe ait masallarını anlatan sesler
ve sessizlikler dizisinin seçimlerini ölçüp tartarak yapmaktadırlar. Besteleme süreci
oyuna benzer özellikler taşır. Bu oyunun bazı kuralları, o eserin stilinden türer ve
kendine has özellikler taşır. Besteciler sadece besteci ve armonici değil aynı zamanda
oyuncudurlar (Lehmann ve Posamentier, 2007).
Bu yüzden eserlerini bestelerken kullandıkları malzemeler kimi zaman doğrudan
içten gelen duyguya ve bilinçaltına, kimi zamanda bilinçli düşünmeye dayanır. Böylece
besteciler, bazen birbirlerine eşit bazen de eşit olmayan ve kendi dönemlerinin dışındaki
istisna müziksel yapılar ile eserlerini yaratırlar. Bu da eserlerde tesadüfi veya bilinçli
matematiksel yapılar ortaya çıkarabilir ki aslında müziğin analitik yapısı fizik ve
matematiğe dayanmaktadır. Bu yüzden eserlerde bestecinin bilinçlice yapmış oldukları
dışında ortaya çıkan tesadüfi matematiksel kuramlar her zaman olabileceğinden önemli
bir değer ifade etmez, müziksel açıdan önemli olan eserin bütüncül değeridir. Böylece,
21
aynı bestecinin kullandığı belirli bir form kimi zaman eşit kimi zaman eşit olmayan
bölümlerden oluşabilir ki müzik tarihinde bu şekilde çok örnek bulunmaktadır. Bunlar
dışında, Çağdaş dönem müziğindeki 12 Ses Sistemi gibi ancak bilinçli bir şekilde
matematiksel özelliklerle yaratılıp aynı zamanda bir estetik değere de sahip eserler bu
farklı özelliğiyle önem kazanabilir. Bunun dışındakiler her biri ayrı değeri olan olağan
eserlerdir (Lehmann ve Posamentier, 2007).
İkili form dışında baştaki bölümü tekrar eden (ABA) veya etmeyen (ABC) üçlü
veya üç bölümlü formlar da vardır. Bazı kuramcılar baştaki bölümü tekrar eden formu
ikili form olarak niteleseler de baştaki bölümü tekrar etmeyen yani her bölümü özgün
olan (ABC) form üç bölümlü ise baştaki bölümü tekrar eden (ABA) form da üç
bölümlüdür. Temel ikili (AB) ve üçlü (ABA, ABC) müzik formları bu şekilde belirlenir
(Cangal, 2004).
4.2. Chopin’in Prelüdleri
Ondokuzuncu yüzyılın piyano eserlerinden biri Frederic Chopin’in (1810-1849)
Op. 28 Preludes’üdür1. Bu albüm, en müstesna müziksel minyatürlerin yirmi dört
tanesini içerir. Bunlardan ilki Chopin’in kendi kendine oynadığı bir oyun üzerine
kuruludur. Şekil 4.1’de sağ elin gerekli melodik hareketlerinin görülebileceği
basitleştirilmiş bir çizim vardır. Her ölçü (son altısı hariç), biri sol ele eşlik eden (içi boş
nota), diğeri etmeyen (siyah nota), birbirine birer adım uzakta iki nota içerir. Yaklaşık
yarım dakika süren bu eser, farklı ölçülerde iki belirgin bölüm olarak kurulmuştur.
Melodi Sol ve La notaları ile başlayıp 5. ölçüde Mi-Re notalarına kadar çıkmakta, üç
ölçü devam etmekte ve sonra 9. ölçüde tekrar Sol-La notalarına inmektedir. Buradan
sonra melodi daha fazla yükselip 21. ölçüde Re-Do notalarında doruk noktalarına
ulaşmaktadır. Sonra 25. ölçüde Sol-La notalarına inişe geçmektedir. Burada iki kez MiRe notalarına atlamakta ve sonra aşağısında Sol-La nota çiftleri ile birlikte olan Do’lu
ölçülere gelmektedir. Bu eserin doruk noktası, 34 ölçünün Altın Oran’ı olan 21. ölçüye
tekabül etmektedir. 21 ve 34 birer Fibonacci sayısıdır ve 34  0, 618  21 ’dir. Doruk
noktasının aynı Altın Oran’a yerleştirilmesi Prelude Op. 28 No.92 adlı eserde de vardır.
Bu eser 12 ölçü uzunluğundadır ve 48 vuruş içermektedir. Doruk noktası, tam olarak
29. vuruşta ( 48  0, 618  29 ), 8.ölçünün başında ortaya çıkmaktadır. Doruk noktasının
1
2
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=8wegyayhHcU
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=2ry_-2edtJo
22
yeri her zaman matematiksel bir formüle uymak zorunda değildir. Bazı durumlarda
Altın Oran’a yaklaşık bir değere ulaşılmaktadır. Prelude’lerin birçoğu Altın Oran’a
uygun değildir. Belki de Chopin, Fi’nin kullanımının müziksel başarıyı garantilemek
için gerekli olmadığını düşünmüş olabilir (Lehmann ve Posamentier, 2007).
Şekil 4.1: Chopin: Prelüd No. 1, C Major
Şekil 4.2, Şekil 4.1’in grafiksel eşdeğeridir ve doruk noktasının Altın Oran değerini
Ses Perdesi
perde dizisi içinde göstermektedir.
Zaman
Şekil 4.2: Chopin: Prelüd No. 1, C Major
4.3. Mozart’ın Piyano Sonatları3
Bazı ünlü besteciler tarafından eserin formunu belirlemede oynanan oyunlardan
biri, Altın Oran’ın kullanımı ile ilişkilidir. Wolfgang Amadeus Mozart (1756-1791),
sayıları ve her çeşit oyunu sevdiğinden bu uygulamaya düşkünlüğü ile bilinmektedir.
Piyano sonatlarını yazmak üzere oturduğunda, kafasında her zaman aynı plan vardı:
Altın Oran’ı kullanarak biçimsel zerafet ve dengeyi yaratmaya çalışmak. Mozart
zamanında, solo klavye sonatı üç bölümden oluşmaktaydı. Bölümlerden ilki, güçlü ve
3
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=QtFZC658RP8
23
enerjik, ikincisi yavaş ve şiirsel, üçüncüsü en yüksek hızdadır. Bu hızla sonata heyecanlı
bir son getirilmektedir (Lehmann ve Posamentier, 2007).
On sekizinci yüzyılın sonlarının müziğe en belirgin katkılarından biri, ‘sonatallegro’ formu olarak adlandırılan müzik formunun geliştirilmesidir. Bu isim, tamamı
sonatın bir formu olarak hesaba katılabilen, hemen hemen tüm büyük çalgısal formların
(oda müziği, senfoni, konçerto gibi) ilk bölümlerinde kullanılması durumundan
türemiştir. Örneğin, iki keman, bir viyola ve bir çellodan oluşan bir dörtlü oda müziği
çalgı topluluğu için bestelenen eser bir sonattır. Bir konçerto, bir solist ve bir orkestra
için bestelenen bir sonattır. Senfoni ise, bir büyük orkestra için bestelenen bir sonattır.
Yani, sonat-allegro’su bir sonatın veya sonattan oluşan konçerto ve senfoni gibi
formların ilk bölümüdür. Bu yüzden sonat -allegro’nun içindeki sergi, gelişme ve sergi
tekrarı’na alt bölüm denir. Sonat-allegro formunun kendisinde olduğu gibi, senfoni de
üç temel alt bölümden oluşur ve her biri kendi içinde ve arasında tekrar eder. Sergi
(exposition) adı verilen ilk alt bölümde eserin müziksel malzemeleri sunulur. Bu alt
bölüm kendi içinde tekrarlanır böylece herşey tekrardan duyulabilir. Sergi’nin
tekrarından sonra sırasıyla ‘gelişme’ (development) ve ‘sergi tekrarı’ (reexposition) alt
bölümlerine geçilir.
Gelişme alt bölümü, serginin malzemelerinin değiştiği ve karıştığı yerdir. Çoğu
zaman coşku ve heyecan vericidir. Burada gerilimin yükselmesi, bu bölümü doruk
noktasına ulaştırır. Şiddet azaldıkça, bu bölümün başına dönülür. İşte bu ‘sergi tekrarı’
ile özetleme demektir. Bu nokta çalgıda en çok el becerisinin olduğu noktadır. Eğer
dikkat edilmiyorsa, sergi alt bölümünün tekrarının duyulduğu zannedilebilir, fakat
tekrar değildir. Bu alt bölümde çokça değişiklik yapılmasına rağmen, ustaca olduğu için
fark edilmez (Lehmann ve Posamentier, 2007; Cangal, 2004).
Barok dönemde (1600-1750) birçok müzik türü, özellikle dans formları, eşit ikili
formdadır. Her alt bölüm yaklaşık olarak aynı büyüklükte olup, benzer müzikler içerir
ve genellikle tekrar edilir. Klasik dönemin (1750-1825) bestecilerine kadar bu form şu
an ‘sonat-allegro’ formu olarak bilinen form haline getirilir. Bu şekline başa dönüşlü
form adı verilir. Çünkü bu alt bölümün sonunda, ki aslında üçüncü alt bölümde,
başlangıç kısmına dönüş yapılır. Şuna benzer:
Posamentier, 2007).
: A : :
A :
(Lehmann ve
24
Mozart on sekiz piyano eseri yazmıştır. Bunlardan biri dışında hepsinde sonatallegro formu kullanılmıştır. Kalan bir tanesinde ‘tema ve çeşitleme’ formu
kullanılmıştır. Çizelge 4.1’de görülebileceği gibi, on yedi eserden altı tanesi (%35) tam
olarak Altın Oran’a bölünebilmektedir. Bunlar, ölçü sütununda ‘altın’ kelimesi ile
belirtilmiştir. Sekiz tanesi (%47) Altın Oran’a çok yakındır ve bunlar ölçü sütununda -3
ile +4 arasında değişen hata oranlarıyla gösterilmiştir. Bu rakamlar, Altın Oran
olmadığının göstergesidir. Kalan üç tanesi (%18), 6, 8 ve 12 değerleri çok yüksek
olduğundan, değerlendirmeye alınma konusunda Altın Oran’a yeteri kadar yakın
değillerdir. İstatistiksel olarak, bu örneklerden yola çıkılarak Altın Oran’ın Mozart için
önemli olduğu sonucuna ulaşılır (Lehmann ve Posamentier, 2007).
Çizelge 4.1: Mozart’ın piyano sonatları
Mozart Sonatı
Anahtar
Uzunluk
Sergi
Sergi /Uzunluk
1-1/  ’den
sapma (%)
No. 1. K. 279
C major
100
38
0.38
Altın
No. 2. K. 280
F major
144
56
0.389
Altın
No. 3. K. 281
Bb major
109
40
0.367
-2
No. 4. K. 282
Eb major
36
15
0.417
1
No. 5. K. 283
G major
120
53
0.442
8
No. 6. K. 284
D major
127
51
0.402
3
No. 7. K. 309
C major
156
59
0.378
Altın
No. 8. K. 310
A minor
133
49
0.368
-1
No. 9. K. 311
D major
112
9
0.348
-3
No. 10 K. 330
C major
149
57
0.383
Altın
No. 11. K. 331
A major
135
55
Tema 
Çeşitleme
No. 12. K. 332
F major
229
93
0.406
6
No. 13. K. 333
Bb major
170
63
0.371
-1
No. 14. K. 457
C minor
185
74
0.4
4
No. 15. K. 545
C Major
73
28
0.384
Altın
No. 16. K. 570
Bb major
209
79
0.378
Altın
No. 17. K. 576
D major
160
58
0.363
-2
No. 18. K. 533
F major
240
103
0.429
12
‘Altın’ kelimesi ile belirtilen altı eserden bir tanesi olan Sonata No.1 (K279)4
adlı eserin sergi alt bölümü, 38. ölçüde sona eren ve tamamı 100 ölçüden oluşan bir
4
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=ZixdOZh7zo4
25
eserdir ki aralarında Altın Oran’a en yakın olanı budur. Şekil 4.3’teki gibi gösterilebilir
(Lehmann ve Posamentier, 2007).
Sergi
Gelişme Tekrarı
38 ÖLÇÜ
62 ÖLÇÜ
Şekil 4.3 : Mozart’ın Piyano Sonatı No.1 (K279)
Franz Joseph Haydn’ın (1732-1803) piyano sonatlarında Altın Oran’ı kullanıp
kullanmadığı
değerlendirilirse,
Haydn’ın
 ’ye
bağlılığının
Mozart
ile
kıyaslanamayacağı sonucuna varılır. Rastgele seçilen aynı sayıdaki piyano sonatları
incelendiğinde, sonat-allegro formlarının sadece %18’inde (3/17) tam olarak Altın
Oran, %53’ünde ise (9/17), Altın Oran’a yakınlık görülmektedir. Kalan %29’u (5/17)
ise, Altın Oran’la ilgisi olmadığından hesaba katılmamaktadır (Lehmann ve
Posamentier, 2007).
Çizelge 4.2: Haydn’ın piyano sonatları5
5
Haydn Sonatı
Anahtar
Uzunluk
Sergi
Sergi /Uzunluk
No. 14. 1767
E major
100
84
30
1-1/  ’den
sapma(%)
-2
No. 15. 1767
D major
144
110
36
-6
No. 16. 1767
Bb major
109
116
38
-6
No. 17. 1767
D major
36
103
42
2
No. 19. 1773
C major
120
150
57
Altın
No. 21. 1773
F major
127
127
46
-3
No. 25. 1776
G major
156
143
57
2
No. 26. 1776
Eb major
133
141
52
-2
No. 27. 1776
F major
112
90
31
-4
No. 31. 1778
D major
149
195
69
-6
No. 32. 1778
E minor
135
127
45
-4
No. 33. 1780
C major
229
172
68
2
No. 34. 1780
C # minor
170
100
33
-5
No. 35. 1780
D major
185
103
40
Altın
No. 42. 1786
G minor
73
77
30
Altın
No. 43. 1786
Ab major
209
112
38
-5
No.49. 1793
Eb major
160
116
43
-1
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=0kEQx2juCSo&list=PL2B7B03DC5CF1DBC9
26
Mozart’ın eserlerindeki Altın Oran’larının ortalaması 0,388 ve Haydn’ın
eserlerinin Altın Oran’larının ortalaması 0,364 olarak hesaplanır. Mozart’ın ölçüleri
yerleştirmesi  ’ye oranla -3 ile +12 aralığında bulunurken, Haydn’ınki ise sadece -6 ile
+2 arasında yer almaktadır. Müziğin kalitesinin ve estetik değerinin bu sayılarla bir
ilgisi yoktur. Bunu test etmek için bir Mozart ve bir Haydn’dan değerlendirmeye alınan
34 eser dinlendiğinde, hangisinin Altın Oran’a daha yakın olduğu sonucuna varılamasa
da çokça güzel müzik eserleri dinlenilmiş olur (Lehmann ve Posamentier, 2007).
4.4. Beethoven’ın Beşinci Senfonisi6
125/249
Sergi
182/306
248/372
Gelişme
268/392
Tekrar
374/498
478/602
Koda
Kodetta
502/626
Obua Durgusu
Ayrım
Şekil 4.4 : Beethoven’ın beşinci senfonisinin ilk bölümü
Op. 67 numaralı bu senfoninin Allegro con brio (neşeli gösterişle) tempolu ilk
bölümünün başlangıcındaki beş ölçü, belki de klasik müzikte evrensel olarak en çok
bilinen müziksel ifadedir. Bu eserin formu, Mozart ve Haydn’ın sonat ve
senfonilerinden farklıdır. Ludwig van Beethoven’ın (1770-1827) beşinci senfonisinde,
sergi, gelişme ve sergi tekrarı alt bölümleri yaklaşık olarak aynı uzunluktadır. Böylece
bu üç alt bölümde Altın Oran engellenmiştir. İlk alt bölümü sonuca götürmek yerine,
daha önceki müzisyenlerde görülmeyen şekilde, sergi tekrarı kodaya dönüştürülerek
yeni (ikinci) bir gelişme alt bölümü meydana getirilir. Kodaya bir de kodetta
eklendiğinde oluşan birleşmede, anlamlı ve benzersiz bir beşinci alt bölüm meydana
getirilmiş olur. Dolayısıyla 124 ile 128 ölçüden oluşan dört değil beş alt bölümle eserin
bu bölümü sona erer. Bu form, yeni bir sonat-allegro formu çeşidir. Şekil 4.4’te
görülebileceği gibi, bu yeni geliştirilmiş sonat-allegro formu, üç Altın Oran alt bölümü
içerir. İlk olarak, serginin tekrarı, 372. ölçüdedir ve bu tüm bölümün Altın Oran’ıdır.
Kodetta
olmadan
bu
bölümün
uzunluğu
602
ölçüdür
ve
Altın
Oran’ı:
602  0, 618  372 ’dir. Sergi alt bölümünün tekrarının son kesiti ( 124  2  248 ölçü),
6
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=6z4KK7RWjmk
27
hemen hemen tüm bölümün Altın Oran’ıdır ( 248  626  0,389 ). Serginin sonundaki iki
ölçü de çıkarılırsa Altın Oran’a daha çok yaklaşılır ( 244  626  0,389 ) (Lehmann ve
Posamentier, 2007).
Bu eserde oran üzerine iki biçimsel olay meydana gelir. İlki; dört notalı motifin
önce iki, sonra bire ayrıldığı gelişme alt bölümünde gerçekleşir. Bu dört notalı motifin
dağılımı 306. ölçüdedir ve bu, 498. ölçüdeki tekrar bölümünün sonuna kadar olan
kısmın Altın Oran’ıdır ( 306  498  0, 614 ). Tüm senfoninin en önemli anlarından biri,
392. ölçüde tekrar bölümünde, obua (oboe) dışında tüm orkestranın durduğu andır.
Obuanın çaldığı kısa durgunun hiçbir örneği yoktur ve sonat-allegro formunu bilenler
için olağan dışıdır. Bu solo, tüm bölümün Altın Oran’ına sadece altı ölçü uzaklıkta
gerçekleşir ( 626  0, 618  386 ). Beethoven’ın bu özel anı Altın Oran’a göre planlayıp
planlamadığı asla bilinemez. Fakat sonuç, Altın Oran’a yakındır.
4.5. Bartók’un İki Piyano ve Vurmalı Çalgı Sonatı
Béla Bartók’un (1881 - 1945) 1937’de bestelemiş olduğu Sonata for Two Pianos
and Percussion7 (İki Piyano ve Vurmalı Çalgı Sonatı) adlı eseri üç bölümden
oluşmaktadır. Bu bölümlerin her biri, biçimsel olarak parçalara ayrılmış ve bu
parçaların birbirlerine oranlarının Altın Oran’la ilişkisi incelenmiştir.
4.5.1. Birinci bölüm
Çizelge 4.3: Bölümün biçimsel planı
BÖLÜM 1: BİÇİMSEL TASLAK (PLAN)
1.Ölçü
43. Ölçü
84-101.Ölçü
105.Ölçü
161. Ölçü
175. Ölçü
Giriş
Allegro/Sergi
İlk tematik grup
İlk tematik grup
Ara tema
Kodetta
Sonuç
Geçiş
195. Ölçü
Gelişme
217. Ölçü
232. Ölçü
274. Ölçü
332. Ölçü
443. Ölçü
Ara temaya ilişkin
Dörtlüler tabakası
a) Mi notasında ana tema grubunun ikinci temasını ana
tema altında benzeterek ostino olarak kullanır.
b) Kısa ara fasıl.
c) Sol diyezde sırası değiştirilmiş ostinato.
Sergi Tekrarı
Koda
Son
Fugato başlangıcı; kapanış teması üzerine kurulmuştur.
32. Ölçü
7
Allegro’yu önceden belirtir
Do notasında bölümün başlangıcı
Tema 1 (Ana tema)
Tema 2
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=HRNYYGzbA5k
28
Birinci bölümün biçimsel ayrımı, hem uzun hem de kısa olan kesitlerde Altın
Oran ilkelerine uymaktadır. Bu bölümde Altın Oran’ı incelemek için biçimsel ayrımlar,
uzunluk olarak hesaplanmış ve Altın Oran’ın 0,618 ters değeri veya 0,382 değeri ile
çarpılmıştır. Girişin birinci ölçüsünden itibaren, sergi ve tematik malzemenin son ölçüsü
olan 171. ölçüye kadar olan birleşmenin uzunluğu, 170 ölçüdür. Öncesindeki 171.
ölçüyü de dahil ederek ‘geçiş’ kesiti ve 274. ölçüye kadar olan ‘gelişme’ alt bölümünün
birleşmesinden oluşan uzunluk, 104 ölçüdür. Birinci bölümün tamamının Altın Bölümü,
‘sergi tekrarı’ nın başı olan 274. ölçüde gözlenir ( 443  0, 618  274 ). Bölümün kalan
kısmı 274. ölçüden itibaren 169 ölçüdür. 169’un Altın Oran’ı 169  0, 618  104, 44
olur. Bu da, Bartók’un birinci bölümle ilgili tüm planının, Altın Oran’a sadık kalarak
simetrik bir tasarım yapmak olduğunu göstermektedir (Simons, 2000).
Öncesindeki 171. ölçüyü de dahil ederek geçiş kesiti ve 274. ölçüye kadar olan
gelişme alt bölümünün birleşmesinden oluşan uzunluk 104 değil, 103’tür. Bölümün
kalan kısmı 274. ölçüden itibaren 169 değil, 170 ölçüdür. Dolayısıyla hesaplama
170  0, 618  105, 06 şeklinde olmalıdır. Bunun ise, 103’le bir ilgisi yoktur. Bu
durumda ortaya konan Altın Oran iddiası yanlış olur.
Giriş
Sergi
Ölçü 1
32
104.ö
169.ö
170.ö
Geçiş
171
175
Gelişme
195
Tekrar
274
Koda
329
332
Şekil 4.5: İlk bölümün biçimsel ayrımı. Üstteki rakamlar büyük kısımlardaki ölçü sayısı, alttaki
rakamlar, küçük kısımlardaki ölçü sayısıdır
Daha küçük ölçülü Altın Oran’lar da bu biçimsel taslak dahilinde
görülebilmektedir. Örneğin, giriş alt bölümündeki yapısal ayrımlar, ayrı kanonik
kısımlarla birlikte, Altın Oran’a bağlı yapısal özellikler göstermektedir (Şekil 4.5). İlk
kanonik (giriş) bölümdeki 55 vuruşun Altın Oran’ı, 6. ölçüde veya 34. vuruşta ortaya
çıkan fortissimo (çok güçlü) çıkışı ile vurgulanmaktadır ( 55  0, 618  33,99 ). 8.
ölçüdeki es (sus), 55 vuruşun 52. sindedir ve ilk iki kanonik alt bölümün birleşiminin
Altın Oran’ına tekabül eder: Toplam 84 vuruş 0, 618  51,912 . Aynı zamanda ilk dört
kanonik alt bölüm iki eşit kısımdan oluşur. Her biri 55 vuruşluk bir alt bölümün
ardından, 26 vuruşluk tematik malzeme alt bölümü ile devam eder. Birinci ve üçüncü alt
29
bölümlerdeki 55 vuruşun Altın Oran’ı 26,01’dir ve bu da ikinci ve dördüncü alt
bölümlerdeki tematik malzemenin 26 vuruşudur (Şekil 4.6) (Simons, 2000).
Burada 55 sayısının Altın Oran’ı yanlış hesaplanmıştır. Birinci ve üçüncü alt
bölümlerdeki 55 vuruşun Altın Oran’ı 26,01 değil, 55  0,382  21, 01 ’dir. Bu da ikinci
ve dördüncü bölümlerdeki tematik malzemenin 26 vuruşuna karşılık gelmemektedir.
Dolayısıyla iddia edilen Altın Oran söz konusu değildir.
I
55
34
VURUŞ 1
52
II
III
26
55
82
56
85
IV
V
26
140
89
166
176
265
Şekil 4.6: Birinci bölümün girişten 32. ölçüye kadar Altın Oran’ları. En üsttekiler; kanonik bölümlerin
sayısı, ortadakiler; saniyedeki vuruş sayıları, alttakiler; vuruşlar
32. ölçüde serginin başından, 101. ölçüdeki ikincil (ara) temanın sonuna kadar
70 ölçü vardır. 70’in Altın Oran’ı ( 70  0, 618 ) 43,2’dir. Bu rakam, sayısal olarak 43.
ölçüdeki ilk tematik grubun 2. temasına denk gelmektedir (Şekil 4.7).
Sergi
Kodetta
Ara Tema
Tema 2
(A.O.)
Vivo
Sonuç
133
161
Geçiş
Kodetta
Tema 1
Ölçü 32
43
84
(12 Ö.)
(51 Ö.)
101
105
(55 Ö.)
(21 Ö.)
175
(14 Ö.)
195
(21 Ö.)
Şekil 4.7: Sergiden geçişe, Birinci bölümün Altın Oran’ları. Alttakiler, kısımların toplam ölçü sayıları
Yukarıdaki bölünmede küçük ölçülü başka Altın Oran’ları da gözlemlemek
mümkündür. Örneğin, sergi alt bölümünün ilk tematik grubunun ( 84  32  52 ) Altın
Oran’ı ( 52  0, 618  32,13 ), bu alt bölümün başlamış olduğu ölçüye tekabül eder. Aynı
zamanda, kodettadan vivo (canlı)ya kadar olan kısmın (28 ölçü) Altın Oran’ı
hesaplandığında,
Kodetta’nın
28  0, 618  17,304 , ikincil (ara) temanın uzunluğu bulunur.
sonuç
alt
bölümüne
kadar
olan
uzunluğunun
Altın
Oran’ı
( 55  0, 618  33,99 ), sonuç alt bölümü ile geçiş kesitinin birleşmesinden meydana
gelen ölçü uzunluğu olan 34 ile ilişkilidir. Böylece, kodetta ile geçiş kesitinin sonuna
kadar olan kısmın ölçü sayısının Altın Oran’ı ( 89  0, 618  55,02 ), kodettanın 161.
ölçüdeki sonuç alt bölümüne olan uzaklığına eşittir. Bu rakamlar, giriş alt bölümünün
30
Altın Oran hesaplamalarıyla yakından ilişkilidir. Sonuç alt bölümünden geçiş alt
bölümüne
kadar
olan
kısmın
ölçülerin
toplamının
(34)
Altın
Oran’ının
( 34  0, 618  21, 01 ), geçiş kesitinin uzunluğuyla (20 ölçü) çok yakından ilişkili olduğu
da görülmektedir. Bununla birlikte, tüm bölümün kalan kısımlarında da Altın Oran
görülmektedir (Şekil 4.8). Geçiş kesitinden itibaren, gelişme alt bölümünün sonuna
kadar olan kısmın uzunluğunun (99 ölçü) Altın Oran’ı 67,362 dir ve bu da ara müzik
(interlude) ile gelişme alt bölümünün bitimine kadar olan kısmın ölçü sayısına eşittir
(Simons, 2000).
Bağlantı
Geçiş
Ölçü
Ostinato
175
Ara müzik
195
Ostinato
217
232
Tekrar
Koda
A.O
viva
274
Son
332
443
171
(4.Ö)
(20. Ö)
(22. Ö)
(15.Ö)
(42. Ö)
(58. Ö)
(111. Ö)
Şekil 4.8: 1. Bölümün Altın Oran’ları: geçişten sonuna kadar
Kodettanın sonuç alt bölümüne kadar olan uzunluğu 55 değil, 56’dır.
Dolayısıyla bu değerin Altın Oran’ı da 56  0, 618  34, 608  35 ’tir. Sonuç alt
bölümünden geçiş kesitine kadar olan kısmın belirtilen ölçüsü 34 değil, 35 ölçüdür.
Kodettadan itibaren geçiş kesitinin sonuna kadar olan kısım ise 89 değil, 90 ölçüdür.
Bunun Altın Oran’ı ise, 90  0, 618  55, 62  56 ’dır. Bu durumda kodettadan sonuç alt
bölümüne kadar olan kısmın ölçü sayısı elde edilmiş olur. Geçiş kesitinden itibaren,
gelişme alt bölümünün sonuna kadar olan kısmın uzunluğunun (99 ölçü) Altın Oran’ı
99  0, 618  61,182  61 ’dir. Bu da belirtildiği gibi, ara müzik ile gelişme alt
bölümünün bitimine kadar olan kısmın ölçü sayısına eşit değildir. Ara müzik ile gelişme
alt bölümünün sonuna kadar olan kısmın ölçü sayısı 67 değil 57’dir. Bunun da bulunan
61 sayısı ile bir ilgisi yoktur. Burada hem 99’un Altın Oran’ı yanlış hesaplanmış, hem
de ölçü sayıları yanlış sayılmıştır. Yani belirtildiği gibi bir Altın Oran bulgusu yanlıştır.
4.5.2. İkinci bölüm
İkinci bölümün tamamı Altın Oran ilkelerine dayandırılarak yapılmıştır.
Biçimsel ayrımı Şekil 4.9’da görmek mümkündür.
31
A
Giriş
B
Bağlantı
Ölçü 1 5
28
a
b
31
48
c
A1
56
66
92
Şekil 4.9: 2. Bölümün alt bölümlerinin biçimsel ayrımı
Büyük ölçekte, toplam ölçü sayısı (92), Altın Oran’a uygulandığında, 56,85
bulunur. 56. ölçüdeki müziksel malzemelerde önemli bir değişiklik söz konusudur. Bu
bölümde zaman işaretlerinde dalgalanma sıklığına bağlı olarak, ölçü numaralarının
Altın Oran’ını hesaplamada zorluklar olabilir. Altın Oran’ın daha kesin sonucu için,
çeşitli bölümler, dörtlük nota vuruşlarına göre hesaplanmalıdır.
Fibonacci sayılarından bazıları şöyle verilir:
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377 610
İkinci bölümün biçimsel şeması tekrar gözden geçirildiğinde, biçimsel alt
bölümler arasındaki dörtlük notaların hesaplanmasında bu sayıların önemi ortaya çıkar
(Şekil 4.10). Şekildeki her alt bölüm anlamlı müziksel bir olayı temsil eder ve her
olayın arasındaki vuruş sayısı, Fibonacci Dizisinin belirli tamsayılarıyla ilişkilidir
(Simons, 2000).
A
Giriş
8
(bağlantı)
Ölçü 1
Vuruşlar
21
5
21
14
9
21
21
18
8
28
8
A1
A.O
a
31
13
45
c
b
48
56
55
60
89
66
70
21
81
74
21
85
89
55
92
13
Şekil 4.10: İkinci Bölümün Altın Oran’ları: alt, bölümdeki vuruşların sayısı
Bu bölümde toplam 377 vuruş vardır ve Altın Oran’la çarpıldığında 233 sayısına
ulaşılır. Muhtemelen en önemli geniş ölçülü müziksel olay tam olarak 233. vuruşta, 66.
ölçüde, A alt bölümüne dönüşte gerçekleşir. Bu hem matematiksel hem de müziksel
anlamda ikinci bölümün Altın Oran’ını oluşturur. Bu bölümün üç ana kısmına
bakıldığında, Altın Oran’la olan sıkı bağ açıkça görülür. A alt bölümü, 126 dörtlük nota
vuruşu uzunluğundadır. B alt bölümünde 114 ve A1 alt bölümünde 107 vuruş vardır.
32
Her bir A alt bölümünün vuruşlarının toplamı 233’tür ve bu, bölümün toplam 377
vuruşunun Altın Oran’ıdır (Simons, 2000).
Bu bölümde birinci ölçüden itibaren vuruşlar sayıldığında, A alt bölümünde 113,
B alt bölümünde 157 ve C alt bölümünde 110 vuruş olmak üzere, belirtildiği gibi
toplam 377 değil 380 vuruş olduğu görülmektedir. Bu değerin Altın Oran’ı
380  0, 618  234,84  235 olarak hesaplanmakta ancak bu değer hiçbir şey ifade
etmemektedir. Her bir A alt bölümünün vuruşlarının toplamı ise 233 değil, 223’tür ve
bu da yine 380 sayısının Altın Oran değeri değildir. Burada da vuruşlar yanlış sayılmış
ve Altın Oran hesaplamalarında hata yapılmıştır.
4.5.3. Üçüncü bölüm
Bu bölüm de Altın Oran prensiplerinden hariç tutulmamaktadır. Biçimsel taslak
bağlamında, bu bölümün alt bölümlerinin doğrusal ifadesi, alt bölümlerin toplam
uzunlukları ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişkiyi göstermektedir (Çizelge 4.4).
Çizelge 4.4: Üçüncü bölümün biçimsel planı
BÖLÜM 3 : BİÇİMSEL TASLAK (PLAN)
A
A1
B
B1
C
A
D
A
A
B
C
A
A1
1.Ölçü – Ana tema (1)
18.Ölçü – Tema 1 (değişim)
28.Ölçü – Geçiş
44.Ölçü – İkinci tema
56.Ölçü – Tema 2 (değişim)
91.Ölçü – Geçiş
103.Ölçü – İlk Parça (1)
134.Ölçü – Nakarat, Tema 1
140.Ölçü – Gelişme
229.Ölçü – Nakarat, Tema 1
248.Ölçü – Tekrar
260.Ölçü – Yeniden geçiş
269.Ölçü – Tema 2
287.Ölçü – Yeniden geçiş
301.Ölçü – İkinci Parça
351.Ölçü – Nakarat, Tema 1 (değişim)
365.Ölçü – Nakarat, Tema 1 (değişim)
379.Ölçü – Koda
(420.Ölçü – Son)
(Do)
(Do)
(Do)
(Mi)
(Fa-diyez)
(Do-diyez)
(Si)
(Sol)
(Mi-bemol)
(Si-bemol)
(Do)
(Sol)
(Mi-bemol)
(Si-bemol)
(Mi)
(Mi-bemol)
(Fa)
(Do)
(Do)
A
B
A
C
A
B
A
(Koda)
Bölüm toplamda 843 dörtlük nota vuruşu içerir. Şekil 4.11’in üç büyük parçaya
bölümü, dörtlük nota vuruşlarının hesaplanması ile alt çizgide gösterilmiştir. Parantez
içinde, Fibonacci sayıları, biçimsel taslağın daha küçük bölümlerinde, hem toplam
dörtlük nota vuruşlarına, hem de toplam ölçü sayılarına karşılık gelir. Sonata-rondo
planının geniş ölçülü alt bölümleri, A, B ve C, Altın Oran’lara tekabül eder. A alt
bölümündeki toplam ölçü sayısı 161, neredeyse B ve C alt bölümlerinin birlikte toplam
33
ölçü sayılarının gerçek Altın Oran’ı olur ( 261 0, 618  161, 298 ). Dolayısıyla A,
B+C’nin Altın Oran’ıdır (Simons, 2000).
A
A
B
B
A1
34
C
D
B
1
c
55
1
44
1
8
A
A
(13)
89
56
103
B
B
A
A
14
0
22
9
A
A
(11
4)
8 vuruş
134
C
A
24
8
30
1
26
9
36
5
35
1
koda
37
9
42
0
144 vuruş
610 vuruş
89 vuruş
A
1
Şekil 4.11: Üçüncü bölümün kısımlarının doğrusal gösterimi: üstteki(kalın) sonata-rondo kısımları; ikinci
sıra, tematik bölümler, parantez içindekiler, bölümdeki vuruş veya ölçü sayısı
Bu bölümde, A alt bölümündeki ölçü sayısı 161 değil 158 olduğundan B ve C alt
bölümlerinin toplam ölçü sayısı olan 261’in Altın Oran’ı, 261 0, 618  161, 298 bir şey
ifade etmemektedir. Yani A alt bölümü B+C’nin Altın Oran’ı değildir.
Altın Oran’lar aynı zamanda biçimsel taslaktaki daha küçük kısımlarda da
görülmektedir. Bölümün ilk kırk dört ölçüsünün içinde, Altın Oran uygulamalarının
delilleri vardır. Örneğin, toplam 43,5 ölçünün Altın Oran’ı ( 43,5  0, 618 ) 26,88’dir
(Şekil 4.12). Buna paralel olarak iki A alt bölümünün toplamı 27 de neredeyse bu
sayıdır. A1’in uzunluğu (10,5 ölçü) A’nın uzunluğunun tam Altın Oran’ıdır
( 17  0, 618  10, 506 ). Geçiş kesiti veya T, 27 ölçülük Altın Oran bölünmesinden
hemen sonra başlar. Aynı zamanda T’nin uzunluğu 17 ölçüden biraz daha azdır ve bu,
A+A1: 27,5  0, 618  16,995 Altın Oran eşitliği ile ilişkilidir (Simons, 2000).
A
1
A1
18
T
28
44
Şekil 4.12: 3. Bölüm 1-44 ölçüleri
Altın Oran, bu eserin üç temel bölümünün tamamında da büyük çoğunlukla
görülmektedir. Bazı oranlar tüm çalışmayı kapsamasa da, varlıkları belirgin ve
önemlidir. Sonuç olarak, bazı oranlara güçlü bağlılık, Bartók’un biçimsel planla alakalı
büyük ilgisine ışık tutmaktadır. Altın Oran prensiplerinin kullanımında Bartók’un belirli
bilimsel bir formülü yoktur, sadece tüm doğada bulunan, kökleri temel matematiksel
kavramlara dayanan bir şeydir. Her şeyden önemlisi, Bartók’un müziksel yaratıcılığı
katı formülsel kurallarla parlamaktadır. Ağır basan zamanlarda veya sadece gerektiği
34
durumlarda oranı büyük bir müziksel ihtiyacı karşılamak için kullandığını vurgulamak
gerekmektedir (Simons, 2000).
4.6. Bach’ın Kromatik Fantezisi
Altın Oran’ın bir diğer örneği, Johann Sebastian Bach’ın (1685-1750)
Chromatic Fantasy8 (Kromatik Fantezi) (BWV 903/1) adlı eseri birbirine eşit olmayan
iki parçaya bölündüğünde görülebilir. Bu örnekte, kesirlerden kaçınmak için ölçü birimi
olarak dörtlük notalar kullanılmıştır. Ölçüler sayılarak da aynı sonuca ulaşılır.
Chromatic Fantasy, 316 dörtlük nota uzunluğundadır ve biçimsel olarak eşit olmayan
iki parçaya bölünmüştür. İlki 195, ikincisi 121 dörtlük nota uzunluğundadır. İlk bölüm
için ‘tokkata’ (toccata) biçiminde yazıldığı söylenebilir. 195. dörtlük nota için ise, pek
çok kaynak ‘resitatif’(recitativo) ifadelerini kullanmaktadır. Tam bu noktada ani ve
planlı bir biçim değişikliği başlamakta ve parçanın kalanı, yarı-resitatif biçimde
yazılmaktadır. Chromatic Fantasy’nin bu bölünmesi Şekil 4.13’teki gibi gösterilebilir:
Biçim:
Prelüd
Resitatif
Dörtlük notalar: <----------195-----------------><------------121----------->
<-------------------------------316--------------------------->
Şekil 4.13: Chromatic Fantasy (BWV 903/1)’nin bölünmesi
Tüm parçanın dörtlük notalarının (316), Prelüd’deki dörtlük notalara (195)
bölünmesinin, eserin Altın Oran’ı ile örtüştüğü görülebilir. Matematiksel olarak:
316 195  1, 621   . Eğer parçanın büyük bölümü olan Prelüd, küçük bölümü olan
Resitatif’e bölünürse 195  121  1, 616 bulunur. Yine bu değer, ufak sapmalarla Fi
değerine yaklaşır. Bu iki hesaplama, parçanın bölünmesinin Altın Oran’la ilişkisini
göstermektedir (Power, 2001).
J. S. Bach’ın Orgelbüchlein9 (Org Kitapçığı) (1714-15) adlı org eserlerinden
Gott durch deine Güte10 (Tanrı senin iyiliğinde) (BWV 600) adlı eseri 26 ölçü
uzunluğundadır ve ‘Bach’ motifleri 16. ölçüde görülmektedir. Bu işaret, ilki 16 ölçü
uzunluğunda ve ikincisi 10 ölçü uzunluğunda olmak üzere, bu eseri iki bölüme
ayırmaktadır. Tüm eserin ölçü sayısı, büyük olan bölümün ölçü sayısına bölündüğünde,
Fi değerine çok yakın bir değer bulunur: 26  16  1, 625   . Benzer şekilde, büyük
8
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=sFn_zVOlDAo
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=EM1ql_YUngc
10
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=j-b3Bqqb_NQ
9
35
olan bölümün ölçü sayısı, küçük olan bölümün ölçü sayısına bölündüğünde de, Fi
sayısına yakın bir değer elde edilir: 16  10  1, 6   . Yani Bach, müziksel imzasını,
bölümün Altın Oran’ına yerleştirmiştir (Power, 2001).
Bestecinin Clavier Übung III11 (Klavye Alıştırmaları) adlı eser albümünde yer
alan Prelude (Prelüd) ve Fugue12 (Füg) (BWV 552), adlı eser iki bölümünde de Altın
Oran prensiplerini sağladığından önemli bir örnektir. Prelüd 205 ölçü ve Füg 117 ölçü
uzunluğundadır. Toplam ölçü uzunluğu (332), Prelüd’ün ölçü uzunluğuna (205)
bölündüğünde sonucun Fi’ye yakınlığı dikkat çekmektedir: 332  205  1,571 . Prelüd
bölümü, Füg bölümüne bölünerek aynı hesaplama yapıldığında ise 205 117  1, 752
sonucuna varılır. Böylelikle, bu eserin iki bölümünün de Altın Oran’a yakınlığı
görülmüş olur (Power, 2001).
Bach’ın 1713’teki en eski başa dönüşlü aryası (da capo aria), ilk kalıcı kantatı
olan Was mir behagt, ist nur die muntre Jagd13 (Beni memnun eden şey sadece şen
şakrak avcılık) (BWV 208)’de görülmektedir. Bu çalışmada, iki koronun yanı sıra, üç
tane de arya vardır ve iki arya, Altın Oran’ı yansıtan ölçü ve biçime (başa dönüşlü arya)
sahiptir. Başlangıç formunu Şekil 4.14’te görmek mümkündür. Bu örnekteki ölçümler
Bach’ın adı geçen ilk kantatından günümüze kalan başlangıç aryasındandır. İlk bakışta
aryanın oranlarının Altın Oran’ı ortaya koyduğu görülebilmektedir. Ölçü sayılarına
bakılacak olursa, A bölümünde 21, B bölümünde 13 ölçü bulunmaktadır. Yani A ve B
bölümleri birlikte 34 ölçüyü vermekte ve toplamda 55 ölçü olmaktadır. A, B bölümleri
ve birleşimleri düşünüldüğünde, bu sayıların Fibonacci dizisinin sayıları olduğu göze
çarpmaktadır: 1, 2, 3, 5, 8, 13, ‘21, 34, 55,’. Bach’ın muhtemelen bilgisi dahilinde olan
bu sayı dizisi, bu bölümün tesadüf eseri değil, planlanarak hazırlandığını ortaya
koymaktadır (Power, 2001).
Biçim:
A
B
A2
Dörtlük notalar: <----------21----------><-----13-----><----------21---------->
<-------------------34------------------>
<-----------------34------------------->
Şekil 4.14: Bach’ ın ilk kalıcı başlangıç aryası (BWV 208/4)
11
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=oFkBfsd1kYs
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=zDVfbFjOFDQ
13
Bkz. https://www.youtube.com/watch?v=yc_btdk-_d4
12
36
Aşağıdaki hesaplamalar yapılarak oranlar desteklenebilir. A ve B bölümlerinin
birleşmesi ve tüm aryanın ölçüleri göz önüne alındığında: (Tüm aryadaki ölçü sayısı =
A  B  A2)  (A  B) = 55  34  1, 618   bulunur. Eğer A ve B bölümlerinin
birleşimi (34), A bölümüne (21) bölündüğünde, benzer şekilde Fi’ye yakınlık
görülebilir: 34  21  1, 619 . Bu aryada gözlenen diğer bir Altın Oran, parçanın
tamamının A bölümünden sonraki kısmın ölçüsünün sayısına bölünmesiyle ortaya
çıkmaktadır:
(giriş
aryasındaki
ölçüler
55  34  1, 618   bulunur (Power, 2001).
=
A  B  A2)

(B+A2)
=
37
5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER
5.1. Sonuçlar
Bu tez çalışmasında ilk olarak müziğin temelindeki matematikten bahsedilmiştir.
Bazı müziksel kavramlara karşılık gelen matematiksel gösterimler ifade edilmiş,
matematik ve müziğin ilişkisi incelenmiştir. Özel olarak ele alınan Fibonacci Dizisi ve
Altın Oran’ın çalgı yapımında kullanımı ve bazı çoksesli müzik bestecilerinin eserlerini
besteleme sürecinde bu oranı dikkate alıp almadığı konularında yapılmış çalışmalar
incelenerek doğrulukları tartışılmıştır.
Öncelikle bir oktavın 8 sesten oluştuğu kabulünden yola çıkılarak piyano
tuşlarının siyah ve beyaz tuşlarının Fibonacci Dizisini oluşturduğu varsayımının yanlış
olduğu, oktavın 7 farklı sesten oluştuğu ve dolayısıyla oluşan dizinin Fibonacci Dizisi
olmadığı sonucuna varılmıştır.
Yapılan incelemeler sonucunda, Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ın kullanıldığı
iddia edilen eserler incelendiğinde, birkaç istisna dışında Altın Oran’la bir ilgisinin
olmadığı sonucuna varılmıştır. Özellikle eserlerdeki ölçü sayıları baz alınarak yapılan
bu incelemelerde, eserlerin bölümlerinin veya alt bölümlerinin birbirine oranlarının
sonucunun Altın Oran’a yakın olduğu görülmektedir. Fakat incelemeler bir bütün olarak
düşünüldüğünde, yapılan hesaplamaların, bazı müzik eserlerinde Altın Oran’ın 1,618
değerini, bazılarında 0,618 değerini, bazılarında ise 0,382 değerini kullanarak yapıldığı
tespit edilmiştir. Bu da, eserlerdeki Altın Oran’ın varlığını araştırmaya değil, varsayımı
gerçekleştirmeye yönelik bir çalışma olduğu sonucunu vermektedir.
Tek tek ele alınan eserlerde Altın Oran’a yakınlık söz konusudur. Ancak
sonuçları değerlendirirken belirlenen bir hata aralığı bulunmadığı görülmektedir.
Örneğin 1,618 değerinin baz alındığı bir eserde 1,571 değeri de, 1,616 değeri de Altın
Oran olarak kabul edilmiştir. Altın Oran’a yakın olarak değerlendirilen 1,616 ile 1,618
sayılarının arasında bile sonsuz tane reel sayı bulunmaktadır. Bu durum hangi değere
kadar ‘altın’ kabul edileceğinin bir kuralı olmadığını göstermektedir. Dolayısıyla, müzik
ve Altın Oran’ı inceleyen ve bu çalışmada irdelenmiş kaynaklarda yöntem sorunları
vardır.
Bazı eserlerde karşılaşılan Fibonacci Sayılarının ise tesadüfi olmadığının bir
ispatı bulunmamaktadır ki Altın Oran’ın bulunduğu her eserde bestecinin onu kasten
38
yaptığı anlamına gelmemektedir. Böyle bir iddianın gerçek olabilmesi için bestecilerin
bunu bilinçli yaptıklarına dair bulgular olması gerekmektedir. Yani, çoksesli/çağdaş
müzik bestecilerinden seçilen bu örneklerle, bestecilerin eserlerini matematiksel
ilişkileri bilerek ve kullanarak değil, sanatsal sezgilere dayanarak yaptıkları ve bu
yapıtlardaki matematiksel özelliklerin sonradan yapılan incelemelerle saptandığı
görülmektedir.
5.2. Öneriler
Altın Oran’ın üç farklı değerinin (1.618, 0.618, 0.382) ve Altın Oran’a yakın
değerlerin baz alınarak yapıldığı bu incelemelerin, tek bir değer kullanılarak yapılması
inceleme sonucunun doğruluğunu arttırır. Bir bestecinin matematiksel özellikleri
kullanıp
kullanmadığı
araştırılırken,
bestecinin
tüm
eserlerinin
incelenmesi
önerilmektedir. Ayrıca gerçekten Fibonacci Dizisi’ni kullandığı bilinen (Iannis Xenakis,
Luigi Nono, Ernst Krenek ve Karlheinz Stockhausen gibi) çağdaş müzik bestecilerinin
eserlerinin bu kuram bağlamında incelenmesi daha gerçekçi ve bilimsel olacaktır.
39
KAYNAKLAR
Bergil, M.S., 1993, Doğada/Bilimde/Sanatta Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları,
İstanbul, 3-7.
Bora, U., 2002, Bilim ve Sanatın Kesiştiği Temel Bir Nokta: Matematik ve Müzik
İlişkisi, Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, XV, Sayı:1, 1-7.
Cangal, N., 2004, Müzik Formları, Arkadaş Yayınevi, Ankara.
Hammond, J. K., 2011, Mathematics of Music, UW-L Journal of Undergraduate
Research, XIV, 1.
Hoggatt, V. E., 1969, Fibonacci and Lucas Numbers, Albert E. Meder (Editorial
Adviser), A Publication of The Fibonnacci Association, University of Santa Clara,1-7.
Karasar, N., 2002, Bilimsel Araştırma Yöntemi, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 263265.
Koshy, T., 2001, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, Wiley-Interscience
Publication, Canada, 6-38.
Lehmann, I., Posamentier, Alfred S., 2007, The (Fabulous) Fibonacci Numbers, Alfred
S. Posamentier, Ingmar Lehmann, Prometheus Books, 2007, 271-291.
Marie, J. S., 2012, Theology As The Basis For Golden Section Analysis: A Model of
Construction For Johann Sebastian Bach’s St. John Passion, Doctoral Thesis, Faculty of
the Usc Thornton School of Music, University of Southern California, 1.
Power, T., 2001, J. S. Bach and the Divine Proportion, Doctoral Thesis, Department of
Music, Duke University, 85-108.
Simons, H., A., 2000, Béla Bartók’s Sonata for Two Pianos and Percussion, Doctoral
Thesis, Department of Music, University of Alberta, 62-93.
Wright, D., 2009, Mathematics and Music, Department of Mathematics, Washington
University, St. Louis, 6-13.
Yıldırım, A., Şimşek, H., 2005, Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri, Seçkin
Yayıncılık, Ankara, 366.
40
EKLER
EK-1 Bach’ın Kromatik Fantezisi
41
EK-2 Bartók’un İki Piyano ve Vurmalı Çalgı İçin Sonatı
42
EK-3 Chopin’in Prelüdleri
43
EK-4 İlk 100 Fibonacci Sayıları ve Fn1 / Fn , Fn / Fn 1 , Fn / Fn  2 oranları
Fibonacci Sayıları ( Fn )
Fn1 / Fn
Fn / Fn 1
Fn / Fn  2
0
1
1
1
0
1
2
0.5
0.5
2
1.5
0.67
0.33
3
1.67
0.60
0.40
5
1.60
0.625
0.375
8
1.625
0.6154
0.3846
13
1.6154
0.6190
0.3810
21
1.6190
0.6176
0.3824
34
1.6176
0.6182
0.3818
55
1.6182
0.6180
0.3820
89
1.6180
0.6181
0.3819
144
1.6181
0.6180
0.3820
233
1.6180
0.6180
0.3820
377
1.6180
0.6180
0.3820
610
1.6180
0.6180
0.3820
987
1.6180
0.6180
0.3820
1597
1.6180
0.6180
0.3820
2584
1.6180
0.6180
0.3820
4181
1.6180
0.6180
0.3820
6765
1.6180
0.6180
0.3820
10946
1.6180
0.6180
0.3820
17711
1.6180
0.6180
0.3820
28657
1.6180
0.6180
0.3820
46368
1.6180
0.6180
0.3820
75025
1.6180
0.6180
0.3820
44
121393
1.6180
0.6180
0.3820
196418
1.6180
0.6180
0.3820
317811
1.6180
0.6180
0.3820
514229
1.6180
0.6180
0.3820
832040
1.6180
0.6180
0.3820
1346269
1.6180
0.6180
0.3820
2178309
1.6180
0.6180
0.3820
3524578
1.6180
0.6180
0.3820
5702887
1.6180
0.6180
0.3820
9227465
1.6180
0.6180
0.3820
14930352
1.6180
0.6180
0.3820
24157817
1.6180
0.6180
0.3820
39088169
1.6180
0.6180
0.3820
63245986
1.6180
0.6180
0.3820
102334155
1.6180
0.6180
0.3820
165580141
1.6180
0.6180
0.3820
267914296
1.6180
0.6180
0.3820
433494437
1.6180
0.6180
0.3820
701408733
1.6180
0.6180
0.3820
1134903170
1.6180
0.6180
0.3820
1836311903
1.6180
0.6180
0.3820
2971215073
1.6180
0.6180
0.3820
4807526976
1.6180
0.6180
0.3820
7778742049
1.6180
0.6180
0.3820
12586269025
1.6180
0.6180
0.3820
20365011074
1.6180
0.6180
0.3820
32951280099
1.6180
0.6180
0.3820
53316291173
1.6180
0.6180
0.3820
86267571272
1.6180
0.6180
0.3820
45
139583862445
1.6180
0.6180
0.3820
225851433717
1.6180
0.6180
0.3820
365435296162
1.6180
0.6180
0.3820
591286729879
1.6180
0.6180
0.3820
956722026041
1.6180
0.6180
0.3820
1548008755920
1.6180
0.6180
0.3820
2504730781961
1.6180
0.6180
0.3820
4052739537881
1.6180
0.6180
0.3820
6557470319842
1.6180
0.6180
0.3820
10610209857723
1.6180
0.6180
0.3820
17167680177565
1.6180
0.6180
0.3820
27777890035288
1.6180
0.6180
0.3820
44945570212853
1.6180
0.6180
0.3820
72723460248141
1.6180
0.6180
0.3820
117669030460994
1.6180
0.6180
0.3820
190392490709135
1.6180
0.6180
0.3820
308061521170129
1.6180
0.6180
0.3820
498454011879264
1.6180
0.6180
0.3820
806515533049393
1.6180
0.6180
0.3820
1304969544928660
1.6180
0.6180
0.3820
2111485077978050
1.6180
0.6180
0.3820
3416454622906710
1.6180
0.6180
0.3820
5527939700884760
1.6180
0.6180
0.3820
8944394323791460
1.6180
0.6180
0.3820
14472334024676200
1.6180
0.6180
0.3820
23416728348467700
1.6180
0.6180
0.3820
37889062373143900
1.6180
0.6180
0.3820
61305790721611600
1.6180
0.6180
0.3820
99194853094755500
1.6180
0.6180
0.3820
46
160500643816367000
1.6180
0.6180
0.3820
259695496911123000
1.6180
0.6180
0.3820
420196140727490000
1.6180
0.6180
0.3820
679891637638612000
1.6180
0.6180
0.3820
1100087778366100000
1.6180
0.6180
0.3820
1779979416004710000
1.6180
0.6180
0.3820
2880067194370820000
1.6180
0.6180
0.3820
4660046610375530000
1.6180
0.6180
0.3820
7540113804746350000
1.6180
0.6180
0.3820
12200160415121900000
1.6180
0.6180
0.3820
19740274219868200000
1.6180
0.6180
0.3820
31940434634990100000
1.6180
0.6180
0.3820
51680708854858300000
1.6180
0.6180
0.3820
83621143489848400000
1.6180
0.6180
0.3820
135301852344707000000
1.6180
0.6180
0.3820
218922995834555000000
1.6180
0.6180
0.3820
47
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı
Uyruğu
Doğum Yeri ve Tarihi
Telefon
Faks
e-mail
:
:
:
:
:
:
Sümeyye BAKIM
TC
İstanbul 30.09.1989
05533533303
[email protected]
EĞİTİM
Derece
Lise
:
Üniversite
:
Yüksek Lisans :
Doktora
:
Adı, İlçe, İl
Özel Arda Asalet Lisesi, Üsküdar, İstanbul
Fatih Üniversitesi, Büyükçekmece, İstanbul
Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
Bitirme Yılı
2005
2009
2014
İŞ DENEYİMLERİ
Yıl
2009
2013
Kurum
İstanbul Ümraniye Kültür Dersanesi
KTO Karatay Üniversitesi
UZMANLIK ALANI
Matematik
YABANCI DİLLER
İngilizce
BELİRTMEK İSTEĞİNİZ DİĞER ÖZELLİKLER
YAYINLAR
Görevi
Etüt Öğretmenliği
Öğretim Görevlisi
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
5
File Size
1 454 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content