Bolum_3-B

AKIMDA KÜTLENİN KORUNUMU VE SÜREKLİLİK DENKLEMİ
Kütlenin korunumu kısaca; akım alanındaki bir hacme, bu hacmin
bütün yüzeylerinden belli bir zamanda giren kütle miktarı, bu
hacımdaki kütlenin aynı zaman içindeki artmasına ( veya çıkan kütle
miktarı hacımdaki kütlenin azalmasına ) eşittir şeklinde tariflenir.
Kartezyen Koordinatlarda Üç boyutlu Gösteriliş
Kartezyen koordinatlarda süreklilik denklemini yazmak için boyutları
dx, dy ve dz ve bu elemanın (x,y,z) merkezindeki hız bileşenleri de
u,v,w olan sonsuz küçük bir kontrol hacim göz önüne alınsın.
Kütlenin korunumu prensibine göre;
Kontrol Hacme Birim  Kontrol Hac min den Birim Kontrol Hacim İçinde 
 Zamanda Giren Kütle −  Zamanda Çııka Kütle
 = Birim Zamanda Yıığıla 


 
 

Miktarı
 Miktarı
 Miktarı
z
C
u−
∂u dx
∂x 2
B
dz
x eksenine dik
ortalama hızlar;
G
w
v F
(x,y,z)
u+
u
D
yüzeylerdeki
∂u dx
∂x 2
H
ABCD yüzeyinde: u −
∂u dx
∂x 2
EFGH yüzeyinde: u +
∂u dx
∂x 2
dy
A
dx
E
y
x
Elemanın merkezinde birim yüzeyden birim zamandaki
kütle akısı: ρu , ρv, ρw

∂ (ρu ) dx 
dydzdt
2 


∂ (ρu ) dx 
dydzdt
∂x 2 
ABCD yüzeyinden dt zamanında giren kütle: ρu −
∂x

EFGH yüzeyinden dt zamanında çıkan kütle: − ρu +
1
x yönünde dt zamanında elemana giren net kütle:
∂(ρu ) dx 
∂ (ρu ) dx 
∂(ρu )


dxdydzdt
ρu − ∂x 2 dydzdt − ρu + ∂x 2  dydzdt = −




∂x
y yönünde:dt zamanında elemana giren net kütle:
−
∂ (ρv)
dxdydzdt
∂y
z yönünde:dt zamanında elemana giren net kütle: − ∂(ρw ) dxdydzdt
∂z
dt zamanında elemana giren toplam kütle:
 ∂ (ρu ) ∂ (ρv) ∂ (ρw ) 
−
+
+
 dxdydzdt
∂y
∂z 
 ∂x
Elemanın kütlesi: m = ρdxdydz
dt zamanında hacim içindeki kütlenin artma miktarı:
dm =
∂ρ
∂m
dt =
dx dy dz dt
∂t
∂t
Eleman içinde kütlenin yaratılması veya yok edilmesi söz konusu
olmadığına göre bu iki değer eşit olmalıdır.
 ∂(ρu ) ∂ (ρv) ∂(ρw ) 
∂ρ
−
+
+
dx dy dz dt
 dxdydzdt =
∂y
∂z 
∂t
 ∂x
veya
∂(ρu ) ∂(ρv) ∂ (ρw ) ∂ρ
+
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂t
2
Süreklilik denkleminin Diferansiyel formu elde edilir.
Vektörel olarak:
r ∂ρ
r r ∂ρ
div(ρV) + = 0 ⇒ ∇.ρV + = 0
∂t
∂t
(3.13) Denklemi açılırsa:
∂ρ ∂ρ ∂u ∂ρ ∂v
∂ρ ∂w
+u +ρ + v +ρ +w +ρ = 0
∂t ∂x ∂x ∂y ∂y
∂z
∂z
∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ  ∂u ∂v ∂w 
+u + v + w + ρ + +  = 0
∂t ∂x
∂y
∂z  ∂x ∂y ∂z 
dρ  ∂u ∂v ∂w 
+ ρ + +  = 0
dt  ∂x ∂y ∂z 
Vektörel olarak, Sıkışan Değişken akım için
r r
∂ρ r r
+ V.∇ρ + ρ∇.V = 0
∂t
∂ρ
=0
∂t
r r
r r
V.∇ρ + ρ∇.V = 0
Düzenli Akım:
yazılarak
Sıkışmayan Akımda ρ = sabit ⇒
r
∂ρ
= 0 , ∇ρ = 0
∂t
r r
∇.V = 0
∂u ∂v ∂w
+ +
=0
∂x ∂y ∂z
3
Akım Çizgisi Koordinatlarında Bir boyutlu Gösteriliş
Akım çizgisi Koordinatlarında kütlenin korunumu prensibini ele
alalım. ds uzunluklu eleman akım tüpünün bir parçası olsun ve
merkez A kesitindeki ortalama hız V olsun. Buna göre giriş ve çıkış
kesitlerindeki ortalama hızlar:
V−
∂V ds
∂s 2
, V+
∂V ds
∂s 2
1 Yüzeyinden dt zamanında giren kütle:
∂(ρAV) ds 

dt
ρAV − ∂s
2 

2
V+
1
ds
2 Yüzeyinden dt zamanında çıkan kütle:
∂ (ρAV) ds 

− ρAV +
dt
∂s
2 

V−
∂V ds
∂s 2
dt zamanında elemana giren toplam kütle:
−
∂ (ρAV)
ds dt
∂s
dt zamanında eleman hacmindeki kütle artması:
−
∂V ds
∂s 2
∂ (ρA)
ds dt
∂t
∂ (ρAV)
∂ (ρA )
ds dt =
ds dt
∂s
∂t
Buradan sıkışan değişken akımda süreklilik denklemi:
∂ (ρA) ∂(ρAV)
+
=0
∂t
∂s
Sıkışan Düzenli Akımda:
∂ (ρA)
=0
∂t
∂ (ρAV)
= 0 ⇒ m = ρAV = Sabit kg/s (kütle debisi)
∂s
Bu ifade sıkışan düzenli akımda bir kesitten saniyede geçen kütlenin
sabit olduğunu gösterir. Bu akışkanın kütle debisi olarak adlandırılır.
4
Sıkışmayan Değişken Akım: ρ=sabit, A=A(s,t)
∂ (ρA) ∂ (AV)
+
=0
∂t
∂s
∂ (ρ A )
=0
∂t
Sıkışmayan düzenli Akımda: ρ=sabit,
∂ (AV)
=0
∂s
Akım Debisi m3/s
Q = A V = Sabit Akım Debisi m3/s
AKIŞKANIN YERSEL HAREKET BİLEŞENLERİ
y
Akışkan
akımı
içinde
boyutları dx, dy, olan son
derece küçük dikdörtgen
akışkan elemanını x,y
kartezyen
koordinat
sistemine göre ele alalım
v+
∂v
dy
∂y
v+
∂u
u+
dy
∂y
∂v
∂v
dy +
dx
∂y
∂x
u+
∂u
∂u
dx +
dy
∂x
∂y
dy
v+
v
(x,y)
u
dx
∂v
dx
∂x
∂u
u+
dx
∂x
x
(x,y) noktasındaki hız vektörünün skaler bileşenleri u,v olsun. Akım
şartları noktadan noktaya değişeceğinden herhangi bir anda hız
bileşenleri elemanın her noktasında değişik olacaktır.
x,y düzlemindeki dx,dy yüzünün dört köşesindeki yersel hızlar farklı
olduğuna göre dt zamanı içinde bu köşe noktalarının yer değiştirmeleri
de farklı olacaktır. Yani elemanın yüzü dt zamanı içinde ötelenme
hareketinden başka bir de şekil değişikliğine uğrayacaktır..
5
Ötelenme
ABCD eleman yüzünün u ve v hızları ile dt zaman sonra A’B’C’D’
konumuna gelmekle yaptığı harekettir. x ve y yönündeki ötelenme
hızları u ve v olduğuna göre dt zamanındaki ötelenmeler udt ve vdt
dir.
udt
y
C’
v
C
u
v
A’
(x,y)
A
D’
v
u
D
B’
v
u
B
vdt
u
x
Doğrusal Genleşme (Deformasyon)
Paralel kenarlardaki boy değişmeleridir ki buda BD ve CD
kenarlarının x ve y yönünde AC ve AB kenarlarına göre farklı hızda
olmasından kaynaklanmaktadır. dt zamanındaki değişmeler
deformasyonlar aşağıdaki gibidir;
y
∂v
dy
∂y
C
∂u
dx dt
∂x
∂v
dy
∂y
∂v
dy dt
∂y
D
∂u
dx
∂x
A
B
∂u
dx
∂x
x
Boy değişmeler Doğrusal deformasyon
∂u
dt
∂x
x yönünde :
∂u
dx dt
∂x
y yönünde :
∂v
∂v
dydt ∈ y = ∂ y dt
∂y
∈x =
x ve y yönündeki deformasyon hızları:
&x =
∈
∂u
∂x
∈& y =
∂v
∂y
6
Açısal Genleşme (Deformasyon)
Köşelerdeki açıların değişmesi sonucu ortaya çıkan deformasyondur.
Bu da BD ve CD kenarlarının y ve x yönünde AC ve AB kenarlarına
göre farklı hızda olmasından kaynaklanır. dx ve dy kenarlarının dt
gibi kısa bir zamandaki dönmeleri dα ve dβ küçük olduğu kabul
edilirse bu açılar tanjantları ile temsil edilebilirler. Yani
y
∂u
dy
∂y
∂u
dy dt
∂y
C
∂v
dx
∂x
∂u
dy
∂y
D
dβ
∂v
dxdt
∂x
dα
A
B
∂v
dx
∂x
∂v
dxdt
∂v
∂
x
dα=
= dt
dx ∂x
∂u
dydt
∂u
∂y
dβ =
= dt
dy ∂y
x
Eleman yüzeyinin xy düzlemindeki toplam açısal genleşmesi:
 ∂v ∂u 
γ xy = dα + dβ =  +  dt
 ∂x ∂y 
xy düzlemindeki açısal deformasyon hızı:
 ∂v ∂u 
γ& xy =  + 
 ∂x ∂y 
yz düzlemindeki açısal deformasyon hızı:
 ∂w ∂v 
γ& yz = 
+ 
 ∂y ∂z 
zx düzlemindeki açısal deformasyon hızı:
 ∂u ∂w 
γ& zx =  +

 ∂z ∂z 
7
Açısal Dönme Çevrinti (Rotasyon)
Akışkan elemanı şeklini değiştirmeden elemanın kenarlarının belli
bir açı kadar dönmesi halidir. Akışkan elemanının hacmi
değişmemektedir. Akışkan elemanının saat akrebinin tersi yönündeki
dönmesi pozitif alınır. Bu tür yersel hareketi içeren akımlara
Çevrintili akım denir.
∂u
dy dt
∂y
y
dα − dβ
2
D
C
dβ
x
A
dα
B
∂v
dx dt
∂x
Kenarların dönmeleri:
∂v
dx dt
∂v
∂
x
dα =
=
dt
dx
∂x
∂u
dy dt
∂y
∂u
dβ =
=
dt
dy
∂y
ortalama net açısal dönme
:
dα − dβ 1  ∂v ∂u 
=  −  dt
2
2  ∂x ∂y 
Buna göre z eksenine dik açısal hız
:
1  ∂v ∂u 
ω z =  − 
2  ∂x ∂y 
diğer eksenlere göre açısal hız bileşenleri :
ωx =
1  ∂w ∂v 

− 
2  ∂y ∂z 
1  ∂u ∂w 
ωy =  −

2  ∂z ∂x 
8
r
r
r
r
Bileşke açısal hız: ω = ω x i + ω y j + ω z k
i
j
k
r 1
r
r 1 ∂ ∂ ∂
1
ω=
= rot V = ∇xV
2 ∂x ∂y ∂z 2
2
u v w
Bileşke açısal hız sıfır ise yani ω x , ω y , ωz sıfır ise akışkan elemanında
net bir dönme söz konusu olmaz bu tip akımlar çevrintisiz
(potansiyel) veya irrotasyonel olarak isimlendirilirler.
r
2ω değerine hidromekanikte çevrinti vektörü adı verilir.
r  ∂w ∂v  r  ∂u ∂w  r  ∂v ∂u  r
2ω = 
−  i + 
−
 j +  −  k
 ∂z ∂x 
 ∂y ∂z 
 ∂x ∂y 
r r r
2ω = ∇ x V
r
Çevrintisiz akımlarda açısal hız vektörü ω = 0 olduğundan çevrinti
vektörü sıfır olacaktır.
r r r
2ω = ∇ x V = 0
Ayrı ayrı skaler bileşenlerin sıfıra eşitlenmesi ile çevrintisizlik
şartları elde edilir.
x-y düzleminde
:
∂v ∂u
=
∂x ∂y
y-z düzleminde
:
∂w ∂v
=
∂y ∂z
:
∂u ∂w
=
∂z ∂x
x-z düzleminde
9
HIZ POTANSİYEL FONKSİYONU
Hız potansiyel fonksiyonu yer ve zamana bağlı öyle bir fonksiyondur
ki herhangi bir doğrultuda diferansiyeli alındığında o doğrultudaki
hızı verir. Yani Hız Potansiyel Fonksiyonu:
∂φ
φ = φ (x, y, z, t) ⇒
= Vs
∂s
Vektörel olarak:
r
V = grad φ = ∇ φ
Kartezyen koordinatlarda :
r r
r
r
V=u i + v j + wk
r
r
∂φ r
∂φ r ∂φ r
V = ∇φ =
i +
j+
k
∂x
∂y
∂z
u=
∂φ
∂φ
∂φ
,v =
, w =
∂x
∂y
∂z
Hız potansiyelinin mevcut olduğu akımlar çevrintisiz (irrotasyonel)
akımlardır. Bu tür akıma Potansiyel Akım denir.
r s
Çevrintisiz akımda ∇xV = 0 şartı sağlanmalıdır.
∂v ∂u
∂ 2φ ∂ 2φ
−
=0 ⇒
−
=0
∂x ∂y
∂x∂y ∂y∂x
∂w ∂v
∂ 2φ ∂ 2φ
−
=0 ⇒
−
=0
∂y ∂z
∂y∂z ∂z∂y
∂u ∂w
∂ 2φ ∂ 2φ
−
=0 ⇒
−
=0
∂z ∂x
∂z∂x ∂y∂x
10
AKIM FONKSİYONU
Akım fonksiyonu çevrintili ve çevrintisiz akımlarda akım çizgilerinin
geometrisini temsil eden matematiksel bir fonksiyondur. İki boyutlu,
düzenli ve sıkışmayan bir akımda akım fonksiyonu yere bağlı olarak
aşağıdaki gibi gösterilebilir.
ψ = f ( x , y)
Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir.
•Akım fonksiyonunun y ve x e göre kısmi türevleri hız vektörünün x ve y
doğrultusundaki bileşenlerini verir.
u=
∂ψ
∂y
v= −
∂ψ
∂x
Akım fonksiyonu ile akım çizgisi ilişkisi: Bir akım alanındaki akım
çizgilerini temsil eden Ψ sabit bir değere eşitlendiğinde bu akım
alanındaki akım çizgilerinden birinin denklemi elde edilir. Farklı
sabitler farklı akım çizgilerini gösterirler
ψ = C1 , C 2 , ......, C n
Akım fonksiyonu ile akım çizgisi arasındaki ilişki şöyle gösterilebilir.
Akım çizgisi denklemi:
dy v
=
dx u
, u dy − v dx = 0
∂ψ
∂ψ
değerleri yerine konursa
ve v = −
∂y
∂x
∂ψ
∂ψ
olur. Bu denklem Ψ nin tam diferansiyelidir.
dy +
dx = 0
∂y
∂x
u=
dψ = 0 ψ = Sabit
olur ki bu da akım çizgileri ailesinin denklemidir.
11
Akım fonksiyonu – debi ilişkisi : (x,y) düzlemine dik birim
derinlikteki iki akım çizgisi arasından geçen hacim debisi akım
fonksiyonlarının farkına eşittir.
dq = dψ = C 2 − C1
ψ 1 = C 1 , ψ 2 = C 2 ise
İki akım çizgisini birleştiren AB hattı üzerinden geçen debi dq olsun
dq = u sin θ ds + v cos θ ds
ds sin θ = dy
ds cos θ = − dx
dq = u dy − v dx
y
Ψ+dΨ
B
ds
dy θ
dx
A
Ψ
x
∂ψ
∂ψ
ve v = −
yazılırsa
∂y
∂x
∂ψ
∂ψ
dq =
dy +
dx
∂y
∂x
u=
dq = dψ
Akım çizgilerinden biri orijinden geçiyor ise debi doğrudan diğer
akım çizgisinin değerine eşittir.
İki farklı akım alanının bileşiminden meydana gelen bir akım alanını
temsil eden yeni akım fonksiyonu bu iki akım fonksiyonunun
toplanması ile elde edilir.
u=
∂ψ
∂ψ
ve v = −
∂y
∂x
ifadeleri süreklilik denklemini sağlamalıdır.
r r ∂u ∂v ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ  ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ

+
∇. V =
+
=
−
=0
−
=
∂x ∂y ∂x  ∂y  ∂y  ∂x  ∂x∂y ∂y∂x
12
O halde iki boyutlu düzenli sıkışmayan bir akımda akım
fonksiyonunun varolması için süreklilik denkleminin sağlanması
matematiksel olarak gerekli ve yeterli bir şart olmaktadır.
Akım çevrintisiz ise :
u=
∂ψ
∂ψ
ve v = −
∂y
∂x
∂ 2ψ
∂x
2
+
∂ 2ψ
∂y
2
∂v ∂u
−
= 0 olmalı
∂x ∂y
değerleri çevrintisizlik şartında yerine konursa
= ∇ 2ψ = 0
olur. Bu da iki boyutlu kartezyen koordinatlarda Laplace
denklemidir. Çevrintisiz akımlar için akım fonksiyonu da belirli sınır
şartları için Laplace diferansiyel denkleminin çözümünden elde
edilmektedir.
İKİ BOYUTLU ÇEVRİNTİSİZ BİR AKIMDA φ İLE Ψ ’NİN GEOMETRİK İLİŞKİSİ:
x, y düzleminde φ=φ1 ve Ψ=Ψ1 çizgileri A noktasında kesişsinler.
y
φ=φ1 üzerinde;
φ=φ1
∂φ ∂φ
dφ= dx+ dy=0
∂x ∂y
∂φ
∂φ
=u ve = v olduğuna göre
∂x
∂y
ψ=ψ1
A
u dx+ vdy= 0
x
u,
 dy 
∂ψ
∂ψ
Ψ=Ψ1
=−
 
dψ = dx+ dy= 0
v üzerinde ,
 dx  φ = φ1
∂x
∂y
∂ψ
∂ψ
= − v ve
= u buradan − v dx + u dy = 0
∂x
∂y
v
 dy
=−
 
dx
u
 ψ=ψ1
uv
 dy
 dy
. 
=−
= −1
 
vu
 dxφ=φ1  dxψ=ψ1
olur ki bu da A kesişme noktasında potansiyel çizgi ile akım çizgisi
birbirine dik olmaktadır
13
AKIM FONKSİYONU İLE HIZ POTANSİYELİNİN VAROLMA ŞARTI
r r
∇ .V = 0 ise sıkışmayan bu akımı temsil eden bir Ψ fonksiyonu vardır.
Akım çevrintili veya çevrintisiz olabilir.
r r
∇.V = 0 ise akım çevrintisiz sıkışmayan bir akımdır. Ψ vardır ve
r r
∇ xV = 0
∇ 2 ψ = 0 denklemi sağlanır.
}
r r
dolayısıyla potansiyeldir. Sıkışan veya
∇xV = 0 ise akım çevrintisiz,
r
r
sıkışmayan olabilir. V = ∇ φ yazılabilir.
r r
r r
∇ x V = 0 ve ∇ . V = 0 ise akım sıkışmayan potansiyel bir akımdır.
r
r
V = ∇ φ yazılabilir. ∇ 2 φ = 0 eşitliği sağlanır.
İki boyutlu çevrintisiz akımda Ψ ile φ arasındaki ilişki kartezyen
koordinatlarda:
u=
∂ψ ∂φ
=
∂y ∂x
Cauchy – Riemann Denklemleri
∂ψ ∂φ
v=−
=
∂x ∂y
(3.37)
AKIM AĞI
İki boyutlu bir akım alanında birbirine dik olarak çizilen potansiyel
ve akım çizgilerinden oluşan çizgiler topluluğuna akım ağı denir.
Akım ağı, iki boyutlu çevrintisiz bir akımın verilen sınır şartlarına
göre grafiksel olarak çözümünü sağlar.
Akım çizgilerinin aralıkları eşit debi geçirecek şekilde; potansiyel
çizgilerinin aralıkları da akım çizgileri ile küçük kareler teşkil edecek
şekilde ayarlanır. Çözülecek problemin sınır şartları göz önüne alınır.
∆q
∆q
∆q
∆ q=birim derin likten geçen debi
∆q
14
Akım çizgisinin yönü s ve buna dik olan potansiyel çizgisinin yönü n
ile gösterilecek olursa;
∆ φ ∆ψ
=
∆s ∆n
yazılabilir ve bir akım tüpünden geçen debi;
∆q = ∆ψ = V. ∆n
olacağından bir noktadaki hızın değeri yaklaşık olarak
V≅
∆ψ ∆φ
≅
∆n ∆s
Bu ifadeden akım ağının sıklaştığı yerlerde hız büyük, seyrekleştiği
yerlerde ise küçüktür.
AKIM AĞININ YER ALTI AKIMINA UYGULANMASI
∆H
A
H1
H2
∆s
Refereans düzlemi
Darcy’nin yaptığı deneylerden şekildeki özelliklere sahip bir
toprağın içindeki suyun hızı aşağıdaki gibi bulunmuştur.
V=k
H1 − H 2
∆s
Q= kA
H1 − H 2
∆s
k= geçirgenlik katsayısı olup akışkanın viskozitesine ve zeminin
özelliklerine bağlıdır.
15
Yukarıdaki hız ifadesi diferansiyel formda yazılırsa;
V= −k
V=
H 2 − H1
∆H
dH
= −k
=−k
∆s
∆s
ds
d
dφ
( − kH ) =
ds
ds
Bu potansiyel akıma uymaktadır. Yani yer altı akımı potansiyel
akımdır
φ=−kH
İki boyutlu akım alanında
u=
d ( − kH ) dφ
=
dx
dx
v=
d (− kH )
dφ
= −
dy
dy
olarak elde edilir.
REGÜLATÖR ALTINDAN GEÇEN AKIMIN DEBİSİ
H1
φ1 = -kH 1
H2
φ2 =-k H 2
∆n
∆s
φ
φ+dφ
Akım ağının bir karesini ele alalım. Resim düzlemine dik birim
genişlikten geçen akımın debisi;
∆s = ∆n
∆n
V=
∆s
φ
İki potansiyel çizgi arasındaki ortalama hız
φ+∆φ
∆φ
∆s
Debi: ∆q = V ∆n ⇒
∆q =
∆φ
∆n
∆s
16
∆s = ∆n olduğuna göre, ∆q = ∆φ
elde edilir.
Akım çizgilerinin sayısı NΨ ise
q = N ψ . ∆φ , resim düzlemine dik genişlik b ise, Q = b N ψ . ∆φ
∆φ =
φ 2 − φ1
Nφ
Nφ : Potansiyel çizgileri aralık sayısı
φ 2 = − k H 2 , φ 1 = − k H 1 olduğuna göre
∆φ =
−k H
2
+ k H1
N
φ
=
k (H 1 − H
Nφ
2
)
=
k ∆H
Nφ
Sonuç olarak regülatörün altından geçen debi
Q = b k ∆H
Nψ
Nφ
elde edilir.
17

Download Report