13.03.2014 MEH535 Örüntü Tanıma 1.B. Lineer Cebir Doç.Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü web: http://akademikpersonel.kocaeli.edu.tr/kemalg/ E-posta: [email protected] Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • d-Boyutlu sütun vektörü ve devriği: • nxd-Boyutlu matris ve devriği: • Matris çarpımı: 2 1 13.03.2014 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Vektörler: – İç/noktasal/skaler çarpım (inner/dot/scaler product): x●y = – Vektör genliği (norm): – x ve y vektörleri arasındaki açı: – x ve y vektörleri 3 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • y vektörünün x vektörüne dikgen izdüşümü: • Doğrusal bağımsız vektörler: x1,x2,…,xn vektörlerinin a1,a2,…,an katsayıları ile doğrusal kombinasyonu yalnızca apaçık (trivial) çözüme sahipse bu vektörler doğrusal bağımsızdır. 4 2 13.03.2014 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Matrisler: • Bir A kare matrisinin determinantı (eş çarpan açılımı): • Bir A kare matrisinin izi (trace): • Bir A matrisinin rankı (boyutluluk): Matristeki bağımsız satır/sütun sayısıdır. • nxn boyutlu bir A matrisinin rankı = n ise bu matris tekil değildir (tersi alınabilirdir). 5 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Bir A kare matrisi için AAT=ATA=I ise bu matris birim dik (orthonormal) matristir • Bir A kare matrisi için xTAx > 0 , her x≠0 sağlanıyor ise A pozitif tanımlı matristir (positive definite) (örn; ortak değişinti matrisi) xTAx ≥ 0 , her x≠0 durumunda ise A pozitif yarı tanımlı matristir (positive semi-definite) • Bir A kare matrisinin varsa tersi A-1 ile gösterilir ve AA-1=A-1A=I • Tersi tanımlı değilse matris tekildir (singular) • Sözde Ters (Pseudo-inverse): A-1 tanımlı değilse (kare matris de olmayabilir), A matrisinin sözde tersi (AƗ): 6 3 13.03.2014 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Vektör Uzayları: n-Boyutlu vektörler üzerine yerleşen n-boyutlu uzaya vektör uzayı denir. • {u1,u2,…,un} taban vektörlerinin oluşturduğu küme vektör uzayı için taban oluşturur ve herhangi bir keyfi vektör şu şekilde ifade edilebilir: • Uzayda taban oluşturabilmesi için {u1,u2,…,un} vektör kümesinin doğrusal bağımsız olması gerekir! 7 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Dikgenlik: • Vektör uzayında 2 nokta arasındaki Euclidean uzaklığı, vektör farkının genliği ile hesaplanır 8 4 13.03.2014 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Doğrusal Dönüşümler: – RN vektör uzayından RM uzayına eşleme yapar – Ölçeklenebilirlik ve toplanabilirlik şartlarını sağlar – Örüntü tanımada genelde M<N dir (düşük boyutlu uzaya izdüşüm) – Eğer M=N ise A matrisi operatör olarak tanımlanmaktadır (örn; R2’de döndürme operatörü) 9 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • A kare matrisi ile tanımlana bir doğrusal dönüşüm AAT=ATA=I durumunda birim normal dönüşümdür • Bu durumda AT=A-1 dir • Birim dikgen dönüşüm vektör genliğini değiştirmez • Birim dikgen dönüşümün satır vektörleri birim dikgen taban vektör kümesi oluşturur 10 5 13.03.2014 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Özdeğerler ve Özvektörler (Eigenvalues & Eigenvectors): NxN boyutlu A matrisi için Av = λv eşitliğini sağlayan λ skaleri özdeğer; λ’ya karşılık gelen v vektörü özvektör olarak adlandırılır • Özdeğer hesabı: • Sütunları özvektörlerden oluşan matris (modal matris): 11 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Özellikler: – A tekil değil ise tüm özdeğerler sıfırdan farklıdır – A gerçek ve simetrik ise • Tüm özdeğerler gerçektir • Özdeğerlere karşılık gelen özvektörler dikgendir – A pozitif tanımlı ise tüm özdeğerler pozitiftir 12 6 13.03.2014 Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler • Σ Gauss dağılımının ortak değişinti matrisi olsun – Σ’nın özvektörleri dağılımın temel (principal) yönlerini gösterir – Özdeğerler ise temel yönlere karşılık gelen değişintilerdir 13 7
© Copyright 2024 Paperzz
