null

Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
5. Funkcije
5.1 Definicija
Na pitanje što je funkcija, najčešći ponuđeni odgovor je „to je zakon pridruživanja“, bez ikakvoga
pojašnjenja koga/što pridružujemo komu/čemu, i na koji način izvodimo to pridruživanje.
Pogledajmo najprije nekoliko primjera preslikavanja između dva skupa: svaki od ovih primjera
ilustrira nekakav „zakon pridruživanja“ – ali, samo su neki od njih doista grafički prikaz funkcije.
D
K
D
K
I
a
b
I
b
II
c
III
d
IV
b
II
c
c
III
IV
2
K
3
D
K
D
K
a
I
a
I
I
a
II
b
III
c
b
II
b
II
c
III
c
III
d
IV
4
a
a
III
D
K
I
II
1
D
5
6
Zadatak:
Razmotrite sliku i pokušajte intuitivno (na osnovi „vaše“ definicije funkcije) odrediti koja od
preslikavanja na dijagramima 1 – 6 jesu funkcije, a koja nisu. Argumentirajte odgovor.
Rješenje:
Uobičajeni pogrešni odgovori su „dijagram 1 prikazuje funkciju“ (zato što „izgleda lijepo“) i
eventualno izjava da dijagrami 3 i 4 ne prikazuju funkcije (zato što preslikavanje puno
elemenata u jedan element „ne izgleda lijepo“) – dakle, razmatranja se svedu na „argument“
„lijepi dijagrami prikazuju funkcije, a ružni ne“.
Kao neslužbenu definiciju funkcije (zapravo, kriterij za raspoznavanje koje preslikavanje jest, a
koje nije funkcija) možemo svojstvo preslikavanja da „preslikavanje mora biti takvo da svaki
element polaznog skupa zna u koji će se element drugoga skupa preslikati“.
Primjenom ovoga kriterija na prethodne primjere, vidimo da su funkcije prikazane na
dijagramima 2, 3, 4 i 6. Dijagram 1 ne prikazuje funkciju jer element IV nije nigdje preslikan („ne
zna kamo bi“), a na dijagramu 5 element III se preslikava u dva elementa skupa K (pa ni on „ne
zna kamo bi“).
46
Funkcije
Definicija:
Neka su D i K dva neprazna skupa. Preslikavanje koje svakom elementu skupa D pridružuje
točno jedan element skupa K zove se funkcija sa D u K, oznaka f : D → K .
Skup D nazivamo domena funkcije, a skup K kodomena funkcije.
Slika funkcije je skup funkcijskih vrijednosti, odnosno skup onih elemenata iz skupa K u koje
se preslikao barem jedan element skupa D. Sliku funkcije f označavamo sa R(f), Rf, Im(f)...
Prema tome, funkciju jednoznačno određuju tri elementa:
domena funkcije;
kodomena funkcije;
pravilo preslikavanja koje svakom elementu iz D pridružuje točno jedan element iz K.
Budući da je funkcija jednoznačno određena s tri podatka, dvije su funkcije jednake ako su im
jednake i domena i kodomena i pravilo preslikavanja.
Iz definicije vidimo da je slika funkcije očito podskup kodomene. Na primjer, slika funkcije na
dijagramu 2 je skup {a, b, c} , slika funkcije na dijagramu 3 je jednočlani skup {b} , a na
dijagramu 4 je slika funkcije jednaka kodomeni K – to je skup {a, b, c} .
Funkcije se mogu definirati nad bilo koja dva neprazna skupa. Ipak, budući da ćemo se u
daljnjim razmatranjima baviti funkcijama oblika f : Ω → R , Ω ⊆ R , preostale pojmove i svojstva
predstavit ćemo na primjerima takvih funkcija. Ovakve funkcije zovemo realne funkcije realne
varijable („realne funkcije“: kodomena je podskup skupa realnih brojeva; „realne varijable“:
domena je podskup skupa realnih brojeva).
5.2 Graf funkcije
Na početku razmatranja realnih funkcija realne varijable, definirat ćemo graf funkcije. Naime, svi
pojmovi vezani uz funkcije i svojstva realnih funkcija realne varijable najlakše se razumiju i
pamte upravo ilustriranjem na grafu funkcije.
Definicija: Graf funkcije f : Ω → R , Ω ⊆ R je skup Γ f =
{( x, f ( x ) ) , x ∈ Ω} .
Graf je, dakle, skup uređenih parova realnih brojeva takvih da je drugi član uređenog para
funkcijska vrijednost prvoga člana. Iz grafa funkcije možemo „pročitati“ kako funkcija djeluje na
pojedine elemente domene. Za realne funkcije realne varijable prirodno je ove uređene parove
prikazati u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini; zbog toga ćemo pod „grafom
funkcije“ podrazumijevati skup točaka ravnine čije su koordinate oblika ( x , f ( x ) ) , x ∈ Ω .
Za razumijevanje grafa funkcije, a pogotovo za prepoznavanje svojstava funkcije na temelju
njezina grafa, korisna je sljedeća preporuka: zamislite koordinatne osi kao „šetnicu“:
po x-osi „šetamo“ kada želimo razmatrati područje definicije i pojmove vezane uz njega;
po y-osi „šetamo“ kada želimo razmatrati funkcijske vrijednosti i pojmove vezane uz njih.
47
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Za neki x 0 ∈ Ω , točka ( x 0 , y 0 ) koordinatnoga sustava u ravnini nalazi se:
na grafu ako je y 0 = f ( x 0 ) (točka A na slici);
ispod grafa ako je y 0 < f ( x 0 ) (točka B na slici);
iznad grafa ako je y 0 > f ( x 0 ) (točka C na slici).
Kada na grafu funkcije f : Ω → R , Ω ⊆ R razmatramo funkcijske vrijednosti, zanima nas jedan
od sljedeća dva „smjera“:
za odabrani x 0 ∈ Ω želimo na grafu očitati funkcijsku vrijednost f ( x 0 ) ; to je druga
koordinata točke u kojoj uspravni pravac x = x 0 siječe graf funkcije;
za odabrani y 0 ∈ R želimo na grafu očitati za koje je sve vrijednosti x 0 ∈ Ω f ( x 0 ) = y 0 ;
to su prve koordinate točaka u kojima vodoravni pravac y = y 0 siječe graf funkcije.
U koliko točaka graf funkcije može sjeći proizvoljan uspravni, odnosno vodoravni pravac?
Uspravni pravac x = x 0 može sjeći graf funkcije u najviše jednoj točki (ako neki
uspravni pravac x = x 0 ne siječe graf, to znači da x0 nije u domeni funkcije). Samo je
prvi graf na sljedećoj slici graf funkcije (za druge dvije krivulje postoji uspravni pravac
koji ih siječe u dvije točke);
Vodoravni pravac y = y 0 može sjeći graf u proizvoljno mnogo točaka (uključujući i
nijednu – ako neki vodoravni pravac y = y 0 ne siječe graf, y0 nije u slici funkcije). Svaki
od tri grafa na sljedećoj slici je graf funkcije.
48
Funkcije
5.3 Pojmovi i svojstva
Nakon što definiramo neki pojam, najčešće tragamo za posebno „lijepim“ predstavnicima toga
pojma. U slučaju funkcija, razmotrit ćemo dva „lijepa“ svojstva koje funkcija može imati.
Definicija:
Funkcija f : D → K je injekcija ako se različiti elementi domene preslikaju u različite
elemente kodomene;
Funkcija f : D → K je surjekcija ako je slika funkcije jednaka kodomeni;
Funkcija f : D → K je bijekcija ako je surjekcija i injekcija.
Ako ovu definiciju primijenimo na primjer s početka poglavlja, vidimo:
injekcije prikazuju dijagrami 2 i 6;
surjekcije prikazuju dijagrami 4 i 6;
bijekciju prikazuje dijagram 6 (to je jedini dijagram koji prikazuje i surjekciju i injekciju).
Na koji način možemo prepoznati injekciju i surjekciju razmatrajući graf funkcije? Ova svojstva
utvrđujemo razmatrajući u koliko točaka možemo vodoravnim pravcima sjeći graf funkcije.
Vrijedi:
Ako je funkcija injekcija, svaki vodoravni pravac siječe graf u najviše jednoj točki;
Ako je funkcija surjekcija, za svaki y0 iz kodomene vodoravni pravac y = y 0 siječe graf
(u jednoj točki ili u više točaka).
Definicija:
Prirodno područje definicije funkcije f je skup svih realnih brojeva x za koje se može
izračunati funkcijska vrijednost f ( x ) .
Ako razmatramo graf funkcije, prirodno područje definicije funkcije čine svi x 0 ∈ R u kojima
uspravni pravac x = x 0 siječe graf funkcije (naravno, točno u jednoj točki – to je preduvjet da krivulja
uopće bude graf funkcije).
Definicija:
Neka su zadane funkcije f : Ω1 → R , Ω1 ⊆ R i g : Ω 2 → R , Ω 2 ⊆ R . Kompozicija funkcija f i g je
funkcija h : Ω1 → R , h ( x ) = g ( f ( x ) ) . Kompoziciju funkcija f i g označavamo sa g f ( x ) .
Primjer:
Odredite g f ( x ) ako je f ( x ) = 2 x + 3 , g ( x ) = x 2 − 2 .
Rješenje:
Moramo odrediti čemu je jednako g ( f ( x ) ) , odnosno g ( 2 x + 3 ) :
g f ( x ) = g ( 2 x + 3 ) = ( 2 x + 3 ) + 2 = 4 x 2 + 12 x + 7 .
2
49
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Definicija:
Neka je f : D → K bijekcija. Definiramo f −1 : K → D takvu da je ∀ x ∈ D, f −1 f ( x ) = x . Funkciju
f −1 zovemo inverzna funkcija funkcije f.
Definicija:
Nul-točka funkcije je svaki x0 iz domene funkcije f za koji je f ( x 0 ) = 0 ;
Funkcija f : D → K je parna ako je f ( x ) = f ( − x ) , ∀ x ∈ D ;
Funkcija f : D → K je neparna ako f ( x ) = − f ( − x ) , ∀ x ∈ D .
Sljedeća slika prikazuje redom:
nul-točke funkcije (dvije točke u kojima graf siječe x-os);
parnu funkciju (graf je simetričan s obzirom na y-os);
neparnu funkciju (graf je simetričan s obzirom na ishodište).
Definicija:
Funkcija f : Ω → R , Ω ⊆ R je:
(
)
rastuća ako ( x1 < x2 ) ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ;
(
)
padajuća ako ( x1 < x2 ) ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ;
strogo rastuća (strogo padajuća) ako su prethodne nejednakosti stroge;
monotona ako je rastuća ili padajuća;
strogo monotona ako je strogo rastuća ili strogo padajuća;
po dijelovima rastuća/padajuća/monotona/... ako se područje definicije može
podijeliti na konačno mnogo dijelova na kojima je funkcija rastuća/padajuća/...
Sljedeća slika redom prikazuje rastuću, strogo rastuću i po dijelovima strogo monotonu funkciju.
50
Funkcije
Definicija:
Funkcija f : R → R je periodična ako postoji pozitivan broj P takav da je
∀ x ∈ R , f ( x + P ) = f ( x ) . Najmanji takav broj P zove se osnovni period funkcije f.
Neformalno možemo reći da je funkcija periodična ako „se ponavlja“. Sljedeća slika prikazuje
graf periodične funkcije.
Definicija:
Funkcija f : Ω → R , Ω ⊆ R je:
ograničena odozgo ako je njena slika odozgo ograničen skup realnih brojeva;
ograničena odozdo ako je njena slika odozdo ograničen skup realnih brojeva;
ograničena ako je neograničena i odozdo i odozgo.
Za graf funkcije, ograničenost funkcije znači da je funkcija:
ograničena odozgo ako postoji pravac y = y 0 takav da je cijeli graf ispod tog pravca;
ograničena odozdo ako postoji pravac y = y 0 takav da je cijeli graf iznad tog pravca;
ograničena ako postoje pravci y = y 0 i y = y 1 takvi da je cijeli graf između tih pravaca.
Sljedeća slika prikazuje redom:
odozgo ograničenu funkciju;
odozdo ograničenu funkciju; i
ograničenu funkciju.
Uočite da vodoravni pravci koji ograničavaju funkcije namjerno nisu „priljubljeni“ uz graf funkcije
– dovoljno je naći bilo koji vodoravni pravac koji ograničava funkciju (odozdo ili odozgo) pa da
ona bude ograničena (odozdo ili odozgo).
51
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
5.4 Osnovne elementarne funkcije
Prije nego što započnemo razmatranje tzv. elementarnih funkcija, navedimo sljedeće podjele.
Sljedeće funkcije definiramo kao tzv. osnovne elementarne funkcije:
Konstantna funkcija;
Potencija;
Eksponencijalna funkcija;
Logaritamska funkcija;
Trigonometrijske funkcije;
Ciklometrijske (arkus) funkcije.
Konstantna funkcija
Ovo je najjednostavnija elementarna funkcija. Oblika je f ( x ) = c , c ∈ R . Prirodno područje
definicije je cijeli skup R. Graf je vodoravni pravac y = c .
Potencija
Potenciranje prirodnim brojem, tj. funkciju oblika f ( x ) = x n , n ∈ N definiramo kao množenje
niza od n faktora koji su svi jednaki x: x n = x ⋅ x ⋅ … ⋅ x . Neka od svojstava ove funkcije su:
prirodno područje definicije je cijeli skup R;
za neparne n, funkcija je neparna i bijekcija (pa možemo definirati inverznu funkciju);
za neparne n, funkcija nije ograničena. Jedina nul-točka je x = 0. Slika je cijeli skup R;
za parne n, funkcija je parna i nije bijekcija;
za parne n, funkcija je ograničena odozdo, ima minimum i jedinu nul-točku u x = 0. Slika
funkcije je skup [0, ∞ ) .
Sljedeća slika prikazuje pravac y = x te opći oblik grafa potencija y = x 2n kojima je eksponent
paran broj i potencija y = x 2 n +1 kojima je eksponent neparan broj:
52
Funkcije
Potenciranje cijelim brojem definiramo tako da je x − n =
definicije ovakvih funkcija je R \ {0} .
1
, n ∈ N . Prirodno područje
xn
Sljedeća slika prikazuje opći oblik grafa potencija x −2 n +1 i potencija x −2n :
Potenciranje racionalnim brojem oblika
1
xn =
n
1
definiramo tako da je definiramo tako da je
n
x , n ∈ N inverzna funkcija funkcije f ( x ) = x n , n ∈ N (pri čemu u slučaju parnoga n
ograničimo domenu i kodomenu). Vrijedi:
ako je n neparan, područje definicije i slika funkcije je cijeli skup R;
ako je n paran, područje definicije i slika funkcije je skup [0, ∞ ) .
Drugim riječima, „parni“ korijeni su definirani za x ≥ 0, a „neparni“ korijeni za sve realne brojeve.
Sljedeća slika prikazuje opći oblik grafa „parnih“ i „neparnih“ korijena:
Potenciranje racionalnim brojem oblika
m
xn
 1
= xn 
 
 
m
m
definiramo na sljedeći način:
n
( )
m
(ili x n = x m
1
n
m
, oznaka: x n = n x m ).
Ako je m negativan, moramo izbaciti nulu iz područja definicije.
Konačno, prisjetimo se pravila računanja s potencijama:
Zbrajati možemo samo potencije s istim eksponentom: npr. 2 x 3 + 3 x 3 = 5 x 3 ;
x m ⋅ x n = x m + n : npr. x 2 ⋅ x −3 = x 2 + ( −3) = x −1 ;
x m ⋅ y m = ( xy ) : npr. 2 3 ⋅ 3 3 = ( 2 ⋅ 3 ) = 6 3 ;
m
(x )
m
n
3
( )
= x m ⋅n : npr. 2 2
3
= 2 2 ⋅3 = 2 6 .
53
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Eksponencijalna i logaritamska funkcija
Za realni broj a > 0, a ≠ 1 definiramo opću eksponencijalnu funkciju f ( x ) = a x . Prirodno
područje definicije ove funkcije je R, slika je ( 0, ∞ ) . Ako je a > 1 funkcija strogo raste, ako je
a < 1 funkcija strogo pada.
Posebno je (zbog svojih „lijepih“ svojstava) značajna funkcija ex, gdje je e ≈ 2.7182 beskonačan
decimalni broj.
Inverznu funkciju eksponencijalnoj funkciji f ( x ) = a x zovemo logaritamska funkcija baze a,
oznaka g (x ) = log a x . Posebno, inverznu funkciju za f ( x ) = e x označavamo s ln x i zovemo
prirodni logaritam.
Slika eksponencijalne funkcije, skup ( 0, ∞ ) , prirodno je područje definicije logaritamske funkcije.
Vrijedi:
a x ⋅ a y = a x + y ; loga ( x ⋅ y ) = loga x + loga y ;
x
ax
= a x − y ; loga = loga x − loga y ;
y
y
a
(a )
x
n
= a n ⋅ x ; loga ( x ) = n ⋅ loga x .
n
Svojstva logaritamske funkcije slijede iz svojstava eksponencijalne funkcije i lako ih je očitati s
grafa funkcija koje dajemo kao primjer ponašanja sličnih funkcija:
f ( x ) = 2 x : primjer ponašanja eksponencijalne funkcije kad je a > 1;
f ( x ) = (1 / 2 ) : primjer ponašanja eksponencijalne funkcije kad je a < 1;
x
f ( x ) = ln x : primjer ponašanja logaritamske funkcije kad je baza veća od 1;
f ( x ) = log 1 x : primjer ponašanja logaritamske funkcije kad je baza manja od 1.
2
f ( x ) = 2x
f ( x ) = (1 / 2 )
f ( x ) = ln x
54
f ( x ) = log 1 x
2
x
Funkcije
Trigonometrijske funkcije
Postavimo u koordinatnoj ravnini jediničnu kružnicu, a pravac x = 1 označimo kao brojevni
pravac. Ovu jediničnu kružnicu nazivat ćemo trigonometrijska kružnica.
Namotajmo pravac na kružnicu, i pritom zamislimo da je pravac beskonačno tanak, tj. da se pri
njegovome namatanju na kružnicu jedinična kružnica „ne deblja“. Uočimo: svakoj točki pravca
(odnosno svakom realnom broju) pridružena je točno jedna točka kružnice. S druge strane,
svakoj točki kružnice pridruženo je beskonačno mnogo točaka pravca (odnosno, beskonačno
mnogo realnih brojeva)
y
x
sin x
x
cos x
0
1
x
Napomene:
Namatanje brojevnoga pravca na jediničnu kružnicu je surjekcija: u svaku točku
jedinične kružnice preslika se barem jedna točka brojevnog pravca.
Namatanje brojevnoga pravca na jediničnu kružnicu nije injekcija: postoji više točaka
brojevnoga pravca koje se preslikaju u istu točku kružnice.
Znamo da je opseg jedinične kružnice jednak 2π , pa je onda i „duljina jednoga
namotaja“ brojevnoga pravca na kružnicu jednaka 2π . Prema tome, svake dvije točke
brojevnoga pravca koje se u ovome preslikavanju preslikaju u istu točku jedinične
kružnice, međusobno su udaljene za višekratnik od 2π .
Definicija:
Trigonometrijske funkcije definiramo kako slijedi:
Sinus realnoga broja x je ordinata točke pridružene broju x na jediničnoj kružnici;
Kosinus realnoga broja x je apscisa točke pridružene broju x na jediničnoj kružnici;
Tangens realnoga broja x je omjer
sin x
;
cos x
Kotangens realnoga broja x je omjer
cos x
.
sin x
55
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Na sljedećim slikama skicirani su grafovi trigonometrijskih funkcija.
Razmatranjem trigonometrijske kružnice i grafova trigonometrijskih funkcija, možemo vidjeti:
Za sinus vrijedi:
Prirodno područje definicije funkcije je cijeli skup R;
Slika funkcije je interval [ − 1, 1] ;
Funkcija je pozitivna u prvom i drugom, a negativna u trećem i četvrtom kvadrantu;
Funkcija je periodična s osnovnim periodom 2π ;
Funkcija je neparna;
Funkcija je po dijelovima strogo monotona;
Funkcijske vrijednosti su jednake nuli kada je x višekratnik broja π .
Za kosinus vrijedi:
Prirodno područje definicije funkcije je cijeli skup R;
Slika funkcije je interval [ − 1, 1] ;
Funkcija je pozitivna u prvom i četvrtom, a negativna u drugom i trećem kvadrantu;
Funkcija je periodična s osnovnim periodom 2π ;
Funkcija je parna;
Funkcija je po dijelovima strogo monotona;
Funkcijske vrijednosti su jednake nuli kada je x neparni višekratnik broja π / 2 .
56
Funkcije
Za tangens vrijedi:
Prirodno područje definicije funkcije je skup R bez točaka u kojima je kosinus jednak
π
nuli, dakle vrijedi D ( f ) = R \ ( 2k + 1) , k ∈ Z  ;

2

Slika funkcije je cijeli skup R;
Funkcija je pozitivna u prvom i trećem, a negativna u drugom i četvrtom kvadrantu;
Funkcija je periodična s osnovnim periodom π ;
Funkcija je neparna;
Funkcija je strogo rastuća;
Funkcijske vrijednosti su jednake nuli kada je x višekratnik broja π .
Za kotangens vrijedi:
Prirodno područje definicije funkcije je skup R bez točaka u kojima je sinus jednak nuli,
dakle vrijedi D ( f ) = R \ {k ⋅ π , k ∈ Z } ;
Slika funkcije je cijeli skup R;
Funkcija je pozitivna u prvom i trećem, a negativna u drugom i četvrtom kvadrantu;
Funkcija je periodična s osnovnim periodom π ;
Funkcija je neparna;
Funkcija je strogo padajuća;
Funkcijske vrijednosti su jednake nuli kada je x neparni višekratnik broja π / 2 .
Trigonometrijske funkcije bogate su međusobnim vezama, od kojih ovdje navodimo samo
najosnovnije:
π

sin  − x  = cos x
2

π

cos  − x  = sin x
2

sin2 x + cos 2 x = 1
sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y
sin 2 x = 2 sin x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin2 x
1 − cos 2 x
2
1
+
cos
2x
cos 2 x =
2
sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y
cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y
sin 2 x =
Definicija:
Inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama (odnosno, njihovim redukcijama na bijektivne
funkcije) nazivamo ciklometrijske ili arkus funkcije. Tako imamo funkcije arcsin(x), arccos(x),
arctg(x) i arcctg(x) (čitamo „arkus sinus“, „arkus kosinus“, „arkus tangens“ i „arkus kotangens“).
57
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
5.5 Neke elementarne funkcije
Elementarne funkcije su osnovne elementarne funkcije i sve funkcije koje se dobivaju
zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem, dijeljenjem i kompozicijom temeljnih elementarnih
funkcija. U ovom ćemo odjeljku upoznati polinome i racionalne funkcije (bolje rečeno, prisjetiti ih
se).
Polinomi
Definicija:
Polinom n-tog stupnja je funkcija oblika P ( x ) = an x n + an −1x n −1 + … + a1x + a0 , gdje je
n ∈ N0 , ai ∈ R, an ≠ 0 . (Ako želimo naglasiti stupanj polinoma P, pišemo Pn ( x ) ).
Broj an nazivamo vodeći koeficijent, a broj an nazivamo slobodni koeficijent polinoma P(x).
Vidimo da se u polinomu x pojavljuje samo s potencijama koje su prirodni brojevi (eventualno
možemo reći da se uz slobodni koeficijent x pojavljuje s potencijom nula).
Prirodno područje definicije svakog polinoma je cijeli skup R.
Po ponašanju na lijevome i desnom rubu područja definicije (odnosno, „u minus i plus
beskonačno“) razlikuju se polinomi parnoga i neparnog stupnja:
Za polinom parnog stupnja vrijedi:
ako je an > 0, polinom parnog stupnja ograničen je odozdo, a za jako male i jako velike
x-ove (tj. na lijevom i desnom kraju grafa) funkcijske vrijednosti neograničeno rastu;
ako je an < 0, polinom parnog stupnja ograničen je odozgo, a za jako male i jako velike
x-ove (tj. na lijevom i desnom kraju grafa) funkcijske vrijednosti neograničeno rastu.
Za polinom neparnog stupnja vrijedi:
polinom neparnog stupnja je neograničena funkcija;
ako je an > 0, funkcijske vrijednosti polinoma neparnog stupnja neograničeno padaju na
lijevom a neograničeno rastu na desnom kraju grafa;
ako je an < 0, funkcijske vrijednosti polinoma neparnog stupnja neograničeno rastu na
lijevom a neograničeno padaju na desnom kraju grafa;
Za realne nul-točke polinoma vrijedi:
Polinom n-tog stupnja ima najviše n realnih nul-točaka;
Polinom neparnog stupnja ima barem jednu realnu nul-točku.
Zbrajanje, oduzimanje i množenje polinoma definiramo kako slijedi (budući da je iskazivanje
pravila za dijeljenje nepregledno, dijeljenje polinoma ćemo pokazati na primjeru):
Polinome zbrajamo (odnosno, oduzimamo) tako da zbrojimo (oduzmemo) članove s
jednakim eksponentima;
Polinome množimo primjenom distributivnosti množenja potencija prema zbrajanju
(„svaki sa svakim“).
58
Funkcije
Primjer:
Izračunajte zbroj, razliku i umnožak polinoma P ( x ) = 2x 3 + x − 1 i Q ( x ) = x 2 − 2 x .
Rješenje:
(
) (
)
(
) (
)
P ( x ) + Q ( x ) = 2x 3 + x − 1 + x 2 − 2 x = 2x 3 + x 2 − x − 1
P ( x ) − Q ( x ) = 2x 3 + x − 1 − x 2 − 2 x = 2x 3 − x 2 + 3 x − 1
P ( x ) ⋅ Q ( x ) = 2 x 3 ⋅ x 2 + 2 x 3 ⋅ ( −2 x ) + x ⋅ x 2 + x ⋅ ( −2 x ) − 1 ⋅ x 2 − 1 ⋅ ( −2 x )
= 2x 5 − 4 x 4 + x 3 − 3 x 2 + 2x
Primjer:
Izračunajte P ( x ) : Q ( x ) za polinome P ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 3 i Q ( x ) = x 2 + 1 .
Rješenje:
Polinome dijelimo tako da im podijelimo vodeće koeficijente, nakon čega rezultatom ovoga
dijeljenja pomnožimo djelitelj i rezultat oduzmemo od djeljenika, nakon čega ponavljamo
postupak s novodobivenim polinomom. Ovaj je opis nepregledan pa je bolje pogledati postupak:
( 2x
2x
3
)(
)
− 3 x 2 + 2 x − 3 : x 2 + 1 = 2x − 3
+ 2x / −
3
− 3x
2
−3 x 2
−3
−3 / −
0
Dakle, u prvom smo koraku podijelili 2 x 3 : x 2 , a u drugom −3 x 2 : x 2 .
Napomena:
Jedan polinom možemo podijeliti drugim samo ako je stupanj prvoga polinoma veći ili
jednak stupnju drugoga;
Dijeljenjem jednoga polinoma drugim ne dobivamo nužno polinom; kao što postoje cijeli
brojevi koji jesu i koji nisu djeljivi („bez ostatka“), jednako tako postoje i polinomi koji su
djeljivi („bez ostatka“) jedan drugim i polinomi koji nisu djeljivi jedan drugim (odnosno,
kod kojih pri dijeljenju ostatak nije jednak nuli).
Polinom Pn ( x ) možemo faktorizirati primjenom sljedećeg teorema:
Ako je x0 nul-točka polinoma Pn ( x ) , tada je Pn ( x ) = ( x − x0 ) ⋅ Qn −1 ( x ) ;
Na primjer, x0 = 2 je nul-točka polinoma P2 ( x ) = 2 x 2 − 7 x + 6 , koji možemo faktorizirati
kao P2 ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( 2 x − 3 ) .
59
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Racionalne funkcije
Definicija:
Racionalna funkcija je funkcija oblika R ( x ) =
Pn ( x )
Qm ( x )
, gdje su Pn ( x ) i Qm ( x ) polinomi.
Racionalne funkcije („polinom kroz polinom“) po tvorbi su nalik racionalnim brojevima („cijeli broj
kroz cijeli broj“). Slijedom te sličnosti se definiraju prave i neprave racionalne funkcije (kao što
je 3/4 pravi, a 7/2 nepravi razlomak).
Definicija:
Racionalna funkcija R ( x ) =
Pn ( x )
Qm ( x )
je prava ako je n < m, u protivnom je neprava.
Osnovna svojstva i značajke racionalnih funkcija:
Prirodno područje definicije racionalne funkcije f ( x ) =
Pn ( x )
Qm ( x )
je sljedeći skup:
D ( f ) = R \ { x ∈ R, Q ( x ) = 0} . Dakle, to su svi realni brojevi osim nul-točaka nazivnika.
Ako je n < m, graf racionalne funkcije na lijevom i desnom kraju se približava x-osi
(funkcijske vrijednosti se približavaju nuli) – vidi primjer na prvoj slici;
Ako je n = m, i ako sa an i bm označimo vodeće koeficijente polinoma P(x) i Q(x), graf
a
racionalne funkcije na lijevom i desnom kraju se približava vodoravnom pravcu y = n bm
vidi primjer na drugoj slici;
Ako je n > m, graf racionalne funkcije se na lijevom i desnom kraju ponaša slično grafu
a
polinoma P ( x ) = n x n − m - vidi primjer na trećoj slici.
bm
Ako je x0 nul-točka nazivnika racionalne funkcije, graf funkcije se blizu x0 približava pravcu
x = x0 (tj. funkcijske vrijednosti neograničeno rastu ili neograničeno padaju).
60
Funkcije
Pokažimo sada kako se, slično postupku izdvajanja cijeloga dijela iz nepravoga razlomka, iz
neprave racionalne funkcije također može izdvojiti cijeli dio (koji je u ovom slučaju polinom).
Prisjetimo se, u slučaju nepravog razlomaka dijelimo brojnik s nazivnikom i tako razlomak
prikazujemo kao zbroj cijelog broja (količnik) i pravog razlomka (kojemu je brojnik ostatak pri
dijeljenju). Na primjer:
13
3
= [13 : 5 = 2, ostatak je 3] = 2 + .
5
5
U sljedećem primjeru primijenit ćemo analogan postupak u slučaju neprave racionalne funkcije.
Primjer:
Izdvojit ćemo cijeli dio iz neprave racionalne funkcije R ( x ) =
x4
.
x4 − 1
Rješenje:
Dijeljenjem brojnika nazivnikom kao cijeli dio dobivamo 1 (polinom nultog stupnja) i ostatak 1.
Prema tome, vrijedi:
x4
1
= 1+ 4
4
x −1
x −1
Još jedna korisna transformacija racionalnih funkcija je njihov rastav na parcijalne razlomke.
U ovoj transformaciji racionalnu funkciju prikazujemo kao zbroj više jednostavnijih racionalnoh
funkcija.
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke provodimo po sljedećim pravilima:
Ako je racionalna funkcija neprava, izdvojimo njen cijeli dio i ostatak postupka provodimo
samo nad ostatkom koji je prava racionalna funkcija;
Faktoriziramo nazivnik racionalne funkcije koliko god je to moguće, tj. dok faktori u
nazivniku nisu oblika ( x − xi )
(
ki
ili x 2 + ai x i + bi
)
li
(pri čemu u drugom slučaju kvadratni
polinom nema realnih nul-točaka);
Svakome faktoru oblika ( x − xi )
ki
odgovara zbroj parcijalnih razlomaka
Ak i
A1
A2
;
+
+…+
k
2
x − xi ( x − xi )
( x − xi ) i
(
Svakome faktoru oblika x 2 + ai x i + bi
A1x + B1
A2 x + B2
+
x + ai xi + bi
x 2 + ai xi + bi
2
(
)
2
+…+
)
li
(x
odgovara zbroj parcijalnih razlomaka
Al i x + Bl i
2
+ ai xi + bi
)
li
;
Nepoznate koeficijente Ai i Bi određujemo takozvanom metodom neodređenih koeficijenata,
a koja se sastoji u izjednačavanju koeficijenata uz iste potencije od x u jednom poznatom i
jednom nepoznatom polinomu. Alternativno (i jednostavnije), do ovih se koeficijenata može
doći izjednačavanjem funkcijskih vrijednosti jednoga poznatoga i jednoga nepoznatog
polinoma.
Iako o svome općem opisu zvuči komplicirano, rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
tehnički je jednostvan, što se lako može vidjeti iz sljedećeg primjera.
61
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Primjer:
Rastavite na parcijalne razlomke racionalnu funkciju R ( x ) =
x4
.
x4 − 1
Rješenje:
Kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, ovo je neprava racionalna funkcija koja se nakon
1
izdvajanja cijelog dijela zapisuje kao R ( x ) = 1 + 4
. U nastavku rastavljamo na parcijalne
x −1
1
razlomke samo pravu racionalnu funkciju 4
.
x −1
(
)
Faktoriziranjem nazivnika dobivamo: x 4 − 1 = ( x − 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ x 2 + 1 . Prema pravilima za
rastav, ovi faktori u rastav na parcijalne razlomke „donose“ sljedeće članove:
1
A
B
Cx + D
=
+
+ 2
.
x −1 x −1 x +1 x +1
4
Množenjem lijeve i desne strane sa x 4 − 1 , dobivamo:
(
)
(
)
1 = A ⋅ ( x + 1) ⋅ x 2 + 1 + B ⋅ ( x − 1) ⋅ x 2 + 1 + (Cx + D ) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) .
Ovo je jednakost dvaju polinoma, pa bismo koeficijente A, B, C i D mogli dobiti tako da
redom izjednačavamo članove uz iste potencije x na lijevoj i desnoj strani jednakosti. Tako
bismo dobili sustav četiri jednadžbe s četiri nepoznanice – ali, općenito je takav sustav
nešto teži i za rješavanje (a imamo posla i dok ga uspostavimo).
Do ovih ćemo koeficijenata bitno lakše doći tako da jednakost polinoma interpretiramo tako
da lijeva i desna strana za iste vrijednosti x moraju poprimati iste vrijednosti. Odabrat ćemo
„lijepe“ vrijednosti x koje će nam dati jednostavne jednadžbe:
1
4
x =1
1= A ⋅ 2 ⋅ 2
⇒ A=
x = −1
1 = B ⋅ ( −2 ) ⋅ 2
⇒B=−
x=0
1= A − B − D
x=2
1 = 15 A + 5B + 6C + 3D
1
4
1
⇒D=−
2
⇒C =0
Prema tome, vrijedi:
x4
1
1 1
1 1
1
1
= 1+ 4
= 1+ ⋅
− ⋅
− ⋅ 2
.
4
x −1
x −1
4 x −1 4 x +1 2 x +1
Algebarske i transcendentne funkcije
Funkcije koje su dobivene primjenom zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i kompozicije
racionalnih funkcija i potenciranja racionalnim eksponentima zovu se algebarske funkcije.
Funkcije koje nisu algebarske zovu se transcendentne funkcije.
Pojednostavnjeno, algebarske funkcije smiju sadržavati samo potencije (uključujući i
razlomljene, odnosno korijene). Trigonometrijske, ciklometrijske, eksponencijalne i logaritamske
funkcije su transcendentne.
62
Funkcije
5.6 Linearna transformacija grafa. Graf funkcije g(x) = A⋅f (Bx + C) + D
Razmotrit ćemo vezu grafa funkcije f i funkcije g ( x ) = A ⋅ f ( Bx + C ) + D , tj. o utjecaju
koeficijenata A, B, C i D na promjene „osnovnoga“ grafa funkcije f. Često se linearna
transformacija grafa pogrešno vezuje isključivo uz trigonometrijske funkcije, točnije uz graf
funkcije A ⋅ sin ( Bx + C ) + D , pa se umjesto logike koristi prisjećanje na gotove formule.
Upravo zbog toga ćemo osim sinusa razmotriti i djelovanje ovih koeficijenata na primjeru
kvadratne funkcije.
Odnos f (x) i (f (x) + D)
Kako od grafa funkcije f dobivamo graf g ( x ) = f ( x ) + D ? Za svaki x iz područja definicije
najprije izračunamo vrijednost polazne funkcije f i potom pribrojimo vrijednost D. Drugim
riječima, svakoj točki grafa funkcije ordinatu povećavamo za vrijednost D. Dakle, graf funkcije f
translatiramo (pomičemo) za vrijednost D paralelno s y-osi. Naravno, D može biti i
negativan pa „pribrajanje“ D ne znači nužno i zbrajanje, tj. translaciju grafa „prema gore“.
Odnos f (x) i f (x + C)
Kako od grafa funkcije f dobivamo graf g ( x ) = f ( x + C ) ? Za svaki x iz domene funkcije g, na
graf nanosimo „vrijednost susjeda“, tj. pogledamo kolika je funkcijska vrijednost funkcije f u
vrijednosti „susjeda“ x + C. Ako je, npr., C pozitivan (naravno da ne mora biti), mi u svakome x
„pogledamo“ kako izgleda graf funkcije f za „desnoga susjeda“ x + C, tj. graf funkcije g nastaje
kao graf funkcije f pomaknut ulijevo; drugim riječima, translatiramo graf funkcije f paralelno
x-osi za vrijednost –C. (Ako niste sigurni treba li translatirati „ulijevo“ ili „udesno“, najlakše je
razmotriti čiju vrijednost f ( x + C ) nanosite da biste nacrtali g(0)).
63
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Odnos f (x) i A⋅⋅f (x)
Ako je koeficijent A različit od 1, u svakoj točki x iz domene funkcije f funkcijsku vrijednost f (x)
množimo brojem A i tako dobivamo g(x). Lako se vidi da ova transformacija deformira graf
funkcije f u smjeru y-osi: (izdužuje graf ako je A > 1 ili ga „stišće“ ako je 0 < A < 1). Posebno,
ako je A negativan dodatno imamo simetriju (zrcaljenje) s obzirom na x-os.
Napomena:
Utjecaj koeficijenta A puno se bolje vidi na primjeru sinusoide – naime, na grafu kvadratne
funkcije nije jasno je li deformacija nastala „stiskanjem“ u y-smjeru ili širenjem u x-smjeru.
Odnos f (x) i f (B⋅⋅x)
Da bismo dobili funkcijsku vrijednost g(x), pri čemu je g ( x ) = f ( B ⋅ x ) , za svaki x iz domene
funkcije g kao funkcijsku vrijednost nanosimo vrijednost koju f pridružuje broju B⋅x.
Djelovanje koeficijenta B najlakše je uočiti na sinusoidi: krenemo li od x = 0, vidimo da je
sinusoida prošla cijeli svoj osnovni lik („potrošila“ temeljni period) za x = 2π /B (na primjer, ako je
B = 2, osnovni lik sinusoide iscrtali smo već za x = π, dok na primjer za vrijednost B = 0.5, za cijeli
osnovni lik trebamo crtati graf sve do x = 4π).
Očito, koeficijent B deformira graf funkcije f u smjeru x-osi, odnosno „širi“ ga ako je B > 0, i
„sužava“ ako je 0 < B < 1. Posebno, ako je B negativan, dodatno imamo simetriju (zrcaljenje) s
obzirom na y-os.
64
Funkcije
Primjer: Odredit ćemo prirodno područje definicije za nekoliko složenih funkcija:
1
a) f ( x ) =
, D (f ) = R .
x2 + 1
1
, mora biti x 2 − 1 > 0 , D ( f ) = ( −∞, − 1) ∪ (1, ∞ ) .
b) f ( x ) =
2
x −1
c)
f (x ) =
d)
f (x ) = ln(4 − x ) , mora biti 4 − x > 0 , D ( f ) = ( −∞, 4 ) .
e)
f (x ) =
x 2 − 4 x + 3 , mora biti x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 , D ( f ) = ( −∞, 1] ∪ [3, ∞ ) .
2+x
2+ x
≥ 0 , 1 − x 2 ≠ 0 , D ( f ) = ( −∞, − 2] ∪ ( −1, 1)
, mora biti
2
1− x2
1− x
Zadatak: Skicirajte grafove funkcija:
a) f ( x ) = x 2 − 4
d) f (x ) = 1 − x
2
e) f ( x ) = −2 sin x
b) f ( x ) = ( x − 4 )
c)
f (x ) =
x +1
f)
g)
h)
f ( x ) = sin ( 2 x )
i)
f ( x ) = ( sin x ) + π
f ( x ) = sin ( x + π )
f ( x ) = e x +1
Rješenje: Rješenja su prikazana na sljedećim slikama:
a) f ( x ) = x 2 − 4
b) f ( x ) = ( x − 4 )
d) f (x ) = 1 − x
e) f ( x ) = −2 sin x
f) f ( x ) = sin ( 2 x )
g) f ( x ) = ( sin x ) + π
h) f ( x ) = sin ( x + π )
i) f ( x ) = e x +1
2
c) f (x ) =
x +1
65

Download Report