Trigonometrija 4 Sinusov i kosinusov poučak Primjena trigonometrije u planimetriji i stereometriji Projektna nastava Geodet iz 1913. godine Mira Mihajlović Petković 1 Forum za podršku nastavi na PMF-Matematičkom odjelu Pitanje: Zašto se netko sjetio da pomoću omjera stranica trokuta definira trigonometrijske funkcije? Jeli to nekome bilo dosadno ili je opet praksa zahtjevala taj naum? Odgovor: Kako se zovu preostala dva omjera stranica,mislim na 'hipotenuza kroz priležeća' i 'hip. kroz nasuprotna' i zašto ta dva omjera/funkcije nisu u uporabi? U ovom (a i mnogim drugim slucajevima matematike nastale prije 19. i 20. stoljeca) prvo je bila praksa, a tek onda teorija, tocnije: nesto je matematicki uvedeno jer je za nesto trebalo. Konkretno, trigonometrijske se funkcije pojavljuju u postklasicnom grckom razdoblju (2.st.pr.Kr.-5.st.n.e.) i to iz potreba astronomije. Prvi se varijantom na temu sinus bavi Hiparh (s tim da on u biti nema sinus, nego ono sto bi mi zvali dvostruki sinus polukuta, a on je zvao tetivom: racunao je duljinu tetive koja pripada zadanom sredisnjem kutu u kruznici danog radijusa, i to za razne kuteve i tako dobio prvu tablicu "sinusa"). Grcki matematicari do kraja klasicnog razdoblja racunaju samo s tetivama (npr. Ptolomej) i koriste ih za izracunavanje raznih astronomskih podataka. Od poznatih teorema, tu se pojavilo koristenje pravila koja mi zovemo adicioni teorem za sinus i teorem o sinusima. Polutetive tj. sinusi se iz istih potreba pojavljuju prvi put u Indiji oko 500.n.e. (Aryabhata), a Arapi ih oko 10. stoljeca prosiruju (nalaze bolje metode izracunavanja tablica, otkrivaju nova svojstva, uvode tangens...) U kasnom srednjem vijeku i renesansi se postavlja kompletna trigonometrijska teorija (Regiomontanus i neki arapsko-maorski matematicari prije nejga). Od kosinusa se u to doba puno cesce koristi 1 minus kosinus (i zove versinus). Imena sinus i kosinus ustaljuju se tek u 17. stoljecu. Sve do renesanse trigonometrija se koristi prakticki iskljucivo za astronomiju, a ne kao zasebna matematicka teorija. U biti se cak puno vise razradjivala sferna od ravninske trigonometrije, a ravninska se u pravilu koristila samo onoliko koliko treba za sfernu. Eto toliko o povijesti dragog vam sinusa Mira Mihajlović Petković 2 Formule : Pravokutni trokut sin   a c cos   b c tg  a b ctg  b a P ab 2 Sinusov poučak: a : b : c  sin  : sin  : sin  a b c    2R sin  sin  sin  Cosinusov poučak: a 2  b 2  c 2  2bc cos  b2  c 2  a 2 cos   2bc b 2  a 2  c 2  2ac cos  a 2  c2  b2 cos   2ac c 2  a 2  b 2  2ab cos  a 2  b2  c2 cos   2ab Formule za površinu trokuta: P ab sin  2 P ac sin  2 P Heronova formula P  s  s  a  s  b  s  c  Paralelogram P  av  ab sin  e2  f 2  2  a 2  b 2  Mira Mihajlović Petković Poluopseg s bc sin  2 abc 2 Površina četverokuta P ef sin  2 3 Primjena sinusovog poučka Sinusov poučak možemo primjeniti ako su nam zadani sljedeći elementi raznostraničnog trokuta:  Dvije stranice I kut nasuprot jedne stranice  Dva kuta I jedna stranica 1. Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta ako je a) a  3,68cm ,   3537 ',   3647 ' a  20cm, b  18cm,   4840 ' b) c) b  1, 2m, c  3, 4m,   6350 ' d) a  3,68cm ,   5537 ',   3647 ' Rješenje: Za rješavanje zadatka 1. koristimo skicu a) Kao je zadano a,  ,  dovoljno je uzeti iz formule sinusovog poučka samo: a b .  sin  sin  Kako tražimo b izrazimo ga iz formule: b  a sin  3, 68  sin 3647   3,78cm sin  sin 3537 Kut  dobijemo iz       180 =>   180  (   )  10736 Mira Mihajlović Petković 4 A stranicu c iz: a c  sin  sin  => c  a sin  3, 68  sin10736   6,02cm sin  sin 3537 A površinu možemo dobiti po bilo kojoj od tri formule: P ab ac bc sin  , P  sin  ili P  sin  => P  6,63cm 2 2 2 2 b), c) i d) zadatak se lako riješe po primjeru a) 2. U trokutu je c  11cm , R  12cm ,   5033' 28' ' . Odredi površinu. 3. Opseg trokuta je 20cm, a dva su kuta 41,6 i 69,5 . Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta. Rješenje: Zadano je o = 20 cm,   41, 6 ,   69,5 Možemo izračunati lako treći kut trokuta:   180      68,9 Iz sinusovog poučka dobijemo odnose stranica: a : b : c  sin  : sin  : sin  a : b : c  sin 41, 6 : sin 69,5 : sin 68,9  0,6639 : 0.9367 : 0,933 => a  0,6639k Pa možemo zapisati: b  0.9367k i uvrstiti u formuli za opseg o = a + b +c c  0,933k O = 0,6639k + 0,9367k + 0,993k = 2,5936 = 20 cm => k = 7,711 => a = 5,12cm, b = 6,66 cm, c = 7,06 cm. 4. Razlika duljina dvije stranice trokuta je 6cm, a kutevi nasuprot tim stranicama su 32,6 i 75,8 . Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta. Rješenje: Zadano je a – b = 6 cm,   32, 6 i   75,8 Izrazimo a = b + 6 i uvrstimo u formulu  b  6   0,5388  b  0,9694 a b b6 b => =>   sin  sin  sin 75,8 sin 32,6 => 0,5388b  3, 2328  0,9694b => b  7,51cm Mira Mihajlović Petković 5 a = 13,51 cm. Treći kut lako nađemo:   180      71, 6 A stranicu c iz jednakosti: a c a sin  => c    13, 22cm sin  sin  sin  5. Odredi duljine stranica i kutova trokuta sa slika: a) b) c) Zadatak ima jednostavno rješenje, kao i 1. Kraj poglavlja Mira Mihajlović Petković 6 Primjena kosinusovog poučka Cosinusov poučak možemo primjeniti ako su nam zadani sljedeći elementi raznostraničnog trokuta:  Dvije stranice I kut između te dvije stranice  Sve tri stranice 1. Odredi nepoznate elemente trokuta ako je a) a  20cm, c  18cm,   4840 ' c) a  20cm ,b  13cm ,c  21cm b) b  1,2m ,c  3,4m ,  6350' d) a  40cm,b  37cm ,   18 Rješenje: a) a  20cm, c  18cm,   4840 ' Primjenom formule: b 2  a 2  c 2  2ac cos   202  182  2  20 18  c cos 4840  248, 4841 b  15, 76cm Kut  dobijemo formulom: cos   => b 2  c 2  a 2 15,762  182  202   0,3038 2bc 2 15, 76 18   7218 Kut  dobijemo iz formule:   180      180  7218  4840  592 Površinu trokuta možemo izračunati formulom: P ab 20 15, 76 sin   sin 592  135,136 ¨135,14cm 2 2 2 b) b  1,2m ,c  3,4m ,  6350' Rješenja: a  3, 7 m ,   1851 ,   9719 , P  1,99m2 c) a  20cm ,b  13cm ,c  21cm Mira Mihajlović Petković 7 Rješenja:   7544 ,   3652 ,   6724 , P  120,02cm 2 d) a  40cm,b  37cm ,   18 Rješenja: c  12, 4cm ,   6710 ,   9450 , P  228, 67cm2 2. Izračunaj površinu i opseg trokuta ako je a  11,4cm ,b  15cm ,  4715' 3. Ne rabeći računalo, izračunaj površinu trokuta ako je a  1  3 ,b  6 , c  3  1 Rješenje: Primjenom kosinusovog poučka:    2  2 2 1 3  3 1  6 1 2 3  3 1 2 3  3  6 a 2  c 2  b2 2 1 cos       2 2ac 42 2 2  1  3  3 1 2  1 3    60 ( iz tablice) => =>        2 1 3 3 1 ac 3 2 3 1 3 2 3  cm P  sin    sin 60     2 2 2 2 2 2 2 Bilo je idealno za ponoviti korijene. 4. Ako je površina trokuta P  14cm 2 , a dva njegova kuta 5822' ,6448' odredi duljine stranica. Rješenje: Ako je   5822 i   6448 i znamo formule za površinu trokuta: bc bc sin   .sin 5822  14 2 2 ac ac P  sin   .sin 6448  14 2 2 P => bc 2 .0,8514  14 /  2 0,8514 2 ac .0,9048  14 /  2 0,9048 => 32,887 32,887 30,946 30,946  b b =>  a  0,941b => 30,946 b a 32,887 ac  30,946  c  a bc  32,887  c  Izračunamo treći kut: .   180      5650 i iz treće formule za površinu: Mira Mihajlović Petković 8 ab 0,91b  b sin   14  sin 5650  14 2 2 14 0,381b 2  14  b 2   36, 7454  b  6,1cm 0,381 a  0,91 6,1  5.55cm P => c 32,877  5, 4cm 6,1 5. Odredi površinu trokuta ako je b  c  11,5cm , a  2 ,5cm ,  23 . Rješenje: Iz b  c  11,5cm  b  11,5  c Po kosinusovom poučku: a 2  b 2  c 2  2bc cos  => 2 2,52  11, 5  c   c 2  2 11,5  c   c  cos 23 => 6, 25  132, 25  23c  c 2  c 2  (23c  2c 2 )  0,9205 3,841c 2  44,1715c  126  0 44,1715  44,17152  4  3,841 126 44,1715  3,9061   2  3,841 7, 682 c1  5, 24  b1  11,5  c1  6, 26cm Kako su c1  b2 i c2  b1 oba rješenja daju isti c2  6, 26  b2  11,5  c2  5, 24cm trokut samo druge orjentacije, pa površinu možemo izračunati odmah formulom: c1,2  P b1c1 sin   6, 408cm2 2 6. Odredi duljine stranica i kutova trokuta sa slika: b) a) Mira Mihajlović Petković 9 7. Odredi stranice a i b ako je c  10cm ,vc  5cm ,  6210' Rješenje: vc Iz pravokutnog tokuta ADC možemo izračunati stranicu b: sin 6210  vc b => b  vc 5   5, 65cm  sin 6210 sin 6210 A onda primjenom kosinusovog poučka na trokutu ABC dobijemo a: a 2  b 2  c 2  2bc cos   5, 652  102  2  5, 65 10  c cos 6210  79,1626 => a  8,9cm 8. Od redi t c ako je a  82cm ,b  56cm ,  9826' Rješenje: Kosinusovim poučkom iz dobivenih elemenata trokuta ABC možemo dobiti c: c 2  a 2  b 2  2ab cos   822  562  2  82  56  cos 9826 => c  105,86cm Mira Mihajlović Petković 10 A kut  iz formule: cos   => b 2  c 2  a 2 562  105,862  822   0,64255 2bc 2  56 105,86   501 Iz trokuta ACD primjenom cosinusovog poučka i spoznaje da težišnica tc dijeli stranicu c na dva jednaka dijela i dobivamo izraz za izračunavanje težišnice iz vrha C: 2 2 c 105,86 c  105,86  2 t     b 2  2  b cos     56  cos501  5869,56299   56  2  2 2 2  2  => tc  76,61cm 2 c 9. Iz točke A vidi se točka C pod kutom od 15 , a iz točke B, koja je 300m udaljeno od točke A, pod kutom od 38 . Koliko su udaljene točke A i C, a koliko B i C? Rješenje: Primjenom sinusovog poučka na trokut ABC dobijemo: y x c   sin15 sin 38 sin  a iz spoznaje da je       180    180  15  38   127 pa lako dobijemo x i y. Kraj poglavlja! Mira Mihajlović Petković 11 Primjena na planimetriju i stereometriju 1. Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta ako je a  10cm , a duljine težišnica ta  9cm i tc  6cm Rješenje: Trebali bi znati da težište dijeli težišnicu u omjeru 2:1 od vrha prema polovištu suprotne stranice. Iz toga možemo zaključiti da: 2 2 CT  tc   62 4 3 31 1 1 DT  ta   93 3 3 31 CD  1 1 a  10 5  5 2 21 Pogledajmo trokut ADT i vidimo da su nam poznate sve tri stranice pa pomoću kosinusovog poučka možemo naći kut  : 2 cos   2 CD  DT  CT 2  CD  DT 2  52  32  42  0,6 =>   587 253 Sada pogledajmo trokut DCA i iz njegovih poznatih elemenata možemo izračunati 2 a a stranicu b: b     ta2  2   ta  cos   52  92  10  9  cos 587  58, 4627 => 2 2 2 b = 7,64 cm Mira Mihajlović Petković 12 Iz istog trokuta možemo izračunati i kut  : 2 a 2 2    b  ta 52  7, 642  92 2    0, 031 =>   8813 cos   a 10  7, 64 2  b 2 I konačno iz trokuta ABC možemo izračunati treću stranicu: c 2  a 2  b 2  2ab cos   102  7, 642  2 10  7, 64  cos8813  153, 6144 => c = 12,39 cm Kutove  ili  možemo dobiti formulom: cos   b 2  c 2  a 2 7, 642  12,392  102   0,5909 =>   5346 2b c 2  7,64 12,39 A preostali kut je najlakše izračunati formulom:   180      381 2. Izračunaj duljinu stranice a trokuta ako je b  12,4cm ,c  17 ,2cm ,t a  11cm . 3. Dvije stranice paralelograma su jednake 11,5cm i 16 ,8cm , a jedan unutarnji kut iznosi 13516' . Odredi duljine dijagonala paralelograma. 4. Duljine stranica paralelograma jednake su 15cm i 20cm, a duljina jedne njegove dijagonale je 32cm. Odredi unutarnje kutove te duljinu druge dijagonale. 5. Duljina stranice romba je 13 cm, a kraća dijagonala 15 cm. Odredi dulju dijagonalu, unutrašnje kutove romba i površinu. 6. Površina paralelograma iznosi 50 cm 2 , a njegove stranice 10 cm i 6 cm. Odredi kut između dijagonala i unutrašnje kutove paralelograma. 7. Dijagonale deltoida (zmaja) razlikuju se za 4 dm, a jedna stranica je duga 7 dm. Izračunaj površinu deltoida, te njegove unutrašnje kutove. 5. Odredi kutove i dijagonale trapeza ako su osnovice 6 cm i 4 cm, a krakovi 3 cm i 4 cm. Mira Mihajlović Petković 13 6. Duljine osnovica trapeza jednake su 12.5 cm i 4 cm, a dva šiljasta kuta 72 i 58 . Izračunaj površinu trapeza. 7. Površina trokuta je 80cm 2 , jedna stranica 16cm i kut na njoj 30 . Odredi stranice i polumjer opisane kružnice. 8. Osnovice trapeza su 10cm i 6cm. Dijagonala duljine 8cm zatvara s manjom osnovicom kut od 30 . Odredi drugu dijagonalu. 9. Kvadratna prizma koja u bazi ima kvadrat stranice a = 5 cm nagnuta je na jednu stranu za kut od   30 , a bočni brid joj je b = 7 cm. Koliki su volumen i oplošje te prizme. 10. Baza uspravne trostrane prizme je raznostraničan trokut bridova od 4, 5 i 6 cm, a visine 8 cm. Odredi oplošje i volumen te prizme. Kraj poglavlja Mira Mihajlović Petković 14 Primjena trigonometrije 1. Odredi udaljenost točaka A i C koje rastavlja rijeka ako znamo udaljenost točaka na istoj strani rijeka AB  300m . Kutovi pod kojim se vide dužine BC i AC su 5218' ,10340' 2. Udaljenost točaka P i Q na suprotnim stranama rijeke nije se mogla izmjeriti direktno zbog otoka na sredini. Točkom Q na obali prolazi dužina AB. Nađi udaljenost PQ ako su izmjereni elementi AB  74,3m ,  4234' ,   5745' . Mira Mihajlović Petković 15 3. Iz točke A na moru vidi se vrh svjetionika pod kutom   1119' , a iz točke B koja je za d = 52,7m bliže, vidi se vrh pod kutom   3048' , a podnožje pod kutom   945' . Kolika je visina svjetionika? 4. Ne vrhu nebodera nalazi se reklama. Iz točke udaljene 150m od nebodera podnožje reklame vidi se pod kutom 42 , a njen vrh pod kutom 45 . Kolika je visina reklame? Mira Mihajlović Petković 16 5. Na putu iz grada A u grad B zrakoplov je skrenuo s kursa 1238' . Nakon 78 km leta pilot je ispravio kurs i letio još 120km do mjesta B. Ako zrakoplov leti stalnom brzinom 420km na sat, izračunajte koliko je vremena zrakoplov dulje letio zbog skretanja? 6. Brod plovi prema luci i od nje je udaljen 12km. Nakon što su prešli 5 km kapetan shvati da je skrenuo s kursa za 21 . Koliko su tada bili udaljeni od luke? Mira Mihajlović Petković 17 7. Dva broda isplovila su pod kutom od 37 . Dok je jedan brod prešao 32km, drugi je prešao 25km. Koliko su tada bili udaljeni jedan od drugoga? 8. Iz krajnjih točaka dužine 100m vidi se vrh brda pod kutovima 7133' i 6326 ' . Odredi visinu brda. 6326' Mira Mihajlović Petković 7133 ' 18 9. Sa prozora visokog 20m vrh susjedne zgrade vidi se pod kutem od 12 , a sa zemlje (točno ispod prozora) pod kutom od 58 . Koliko je visoka zgrada? Rješenje: Zgrada je visoka h = x + y Iz trokuta BDA je tg12  x x  DB  DB tg12 Iz trokuta CEA je tg 58  x y x y  CE  CE tg 58 A kako je DB  CE  x x y x x  20 i y  20 =>   tg12 tg 58 tg12 tg 58 => x  tg 58   x  20   tg12 Riješimo jednadžbu po x: x  tg 58  x  tg12  20  tg12 x  tg 58  x  tg12  20  tg12 Izračunamo tangense kutova i uvrstimo i dobijemo: 1,3875 x  4, 2511/ :1,3875 x  3, 06  3m => Zgrada je visoka h=23 metra. U prilogu su dva projekta učenika Opće gimnazije s pravom javnosti iz Rijeke Mira Mihajlović Petković 19 Mira Mihajlović Petković 20 Mira Mihajlović Petković 21