BIFURKACIJE U ŠUMAMA OBIČNE JELE (Abies alba Mill.) Karlo BEZAK* SAŽETAK: Sušenje i propadanje šuma problem je koji znanstvenici i istraživači proučavaju već stoljećima. Međunarodnim programom za procjenu i motrenje utjecaja zračnog onečišćenja na šume (ICP Forests), u Republici Hrvatskoj 2003. godine procijenjena je značajna oštećenost stabala jele obične 77%, a 2005. godine 88%. Značajno oštećenim stablima smatraju se stabla osutosti krošnje iznad 25%. Rezultati procjene osutosti dokazuju kako je jela obična (Abies alba Mill.) duboko ušla u nestabilno i kaotično stanje. Autor determinističkim kaosom i nelinearno dinamičkim pristupom osvjetljava problem sušenja šuma. Distribucije prsnih promjera jelovih sastojina na trajnim plohama razlikuju se od normala akademika Klepca i tipoloških normala Cestara. Tečajni debljinski prirast pokazuje signifikantne razlike prema stupnjevima oštećenja. Razvojni tijek visinskih krivulja uređajnog razreda jele pokazuje pomak po debljinskim razredima i inverziju visinske krivulje u debljinskom razredu iznad 50 cm. Početni uvjeti i nelinearni povratni učinak glavni je čimbenik fraktalne dimenzije distribucija prsnih promjera jelovih sastojina. Dosadašnjim krutim linearnim sustavom gospodarenja nastali su nelinearni dinamički sustavi s periodom 3. Sužena debljinska struktura u tri debljinska razreda i zapostavljanje starosti jele bili su početni uvjeti koji su doveli do nelinearno povratnog učinka, stanja u kojem je čak 77% stabala značajno oštećeno. Nelinearni dinamički pristup jedina je alternativa održivom razvoju jelovih šuma. Samo iskorak iz krutog linearnog sustava u nelinearni dinamički sustav osigurava održivo gospodarenje jelovim šumama. Ključne riječi: jela obična (Abies alba Mill.), kaotični sustavi, nelinearna dinamika, bifurkacije, održivo gospodarenje UVOD Sušenje i propadanje šuma problem je koji znanstvenici i istraživači proučavaju već stoljećima. Štete koje prouzrokuju sušenja i propadanja ekosustava mogu imati nesagledive posljedice za održivo gospodarenje šumama. Od 1950. godine u Hrvatskoj se pojavilo jače sušenje jele u njezinom prirodnom arealu rasprostranjenja. Godine 1960. u pojedinim sastojinama uzelo je katastrofalne razmjere. Nakon toga sušenje je pomalo oslabilo, pa se opet pojavilo s jačim intenzitetom 1967. godine. Zbog ugroženosti jelovih, a u to vrijeme i hrastovih sastojina, izrađen je 1968. godine u Poslovnom udruženju šumskoprivrednih organizacija prijedlog projekta za istraživanje uzroka sušenja jelovih i hrastovih sastojina. Kako je sušenje jele kompleksan problem, odmah je u početku istraživanja odlučeno da se sušenje rješava timskim radom istraživača raznih specijalnosti. U tom projektu sudjelovali su znanstvenici i istraživači Zavoda za istraživanja u šumarstvu Šumarskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu i Šumarskog instituta Jastrebarsko. Istraživanja problema sušenja jele bile su kompleksne naravi i obuhvatilo je istraživanje ekološko-bioloških i gospodarsko-ekonomskih problema. Rezultati tih istraživanja mogu se sažeti u nekoliko rečenica. Sušenje i propadanje jele uzrokovano je nizom čimbenika od kojih je posljednji u tome nizu jelin moljac (Argyresthia fundella F.R.). Utvrđene razlike u padu prirasta nisu bile signifikantne stupnju oštećenja. S obzirom na buduće gospodarenje jelovim šumama trebalo je prilagoditi ekološkim uvjetima. Dosadašnje gospodarenje stablimičnog prebora i održavanje relativno visokog promjera sječive zrelosti, bez obzira na ekološke uvjete, stvorilo je prezrele i fiziološke slabe sastojine (Androić et al. 1975). . *Dr. sc. Karlo Bezak, Viši znanstveni suradnik u mirovini, Idrijska 4, 1040 Zagreb, [email protected] 1 Krajem rujna 1990. godine održan je 6. IUFRO simpozij o jeli u Zagrebu, gdje su javno izloženi rezultati istraživanja sušenja jele. Šumarski institut je prezentirao rezultate dvadesetogodišnjih istraživanja sušenja jele na trajnim pokusnim plohama. Prikazane su oscilacije i odnos razvojnog tijeka tečajnog godišnjeg debljinskog prirasta jele prema stupnjevima oštećenja za razdoblje mjerenja 1960.1969, 1969.- 1978. i 1978-1987. godine (Bezak et al., 1991). Stanje i problem sušenja i gospodarenja jelom ostao je sve do današnjeg dana. Stanje je alarmantno, jer je 77% stabala jele značajno oštećeno. GOSPODARENJE JELOVIM ŠUMAMA Obična jela (Abies alba Mill.) u Hrvatskoj nalazi se u zoni svoga prirodnog rasprostranjenja. Pomiješana je s bukvom i smrekom u prirodnim biocenozama u relativno stabilnoj ekološkoj ravnoteži. Posljednjih 50 godina jelovim šumama uređajnog razreda raznodobne jelovo-bukove sjemenjače i uređajnog razreda jele, uređivanje šuma temelji se na načelima koja propisuje „Novi sistem uređivanja prebornih šuma“ akademika D. Klepca (Klepac, 1961). To znači da se gospodarenje propisuje na osnovi normala. Akademik Klepac konstruirao je 9 osnovnih normala za jelove preborne šume uz fiziološku zrelost i 9 normala za jelove preborne šume uz dimenziju zrelosti od 60 cm prsnog promjera. Struktura broja stabala po debljinskim stupnjevima odgovarala je Liocourtovom zakonu, gdje broj stabala po debljinskim stupnjevima opada po geometrijskoj progresiji. Raznodobne sastojine imaju stabla različite dobi na istoj površini, pa se one u praksi razvrstavaju u tri razreda sužene debljinske strukture. I. – s prsnim promjerom 10-30 cm II. – s prsnim promjerom 31-50 cm III. – s prsnim promjerom 51 cm i više Kada razvrstavamo debljinske razrede prema trećinama dimenzije zrelosti, tada se volumeni u svakoj trećini odnose 1 : 3 : 5. To znači da je volumen debelih stabala iznad 50 cm prsnog promjera 5 puta veći od volumena tankih stabala (prsni promjeri ispod 30 cm), odnosno za 2/5 veći od volumena srednje debelih stabala (prsni promjeri od 31 do 50 cm). Prema Pravilniku za uređivanje šuma (Meštrović, Fabijanić, 1995) broj stabala, temeljnica i drvna zaliha određuje se izmjerom broja živih stabala iznad taksacijske granice temeljem utvrđenog tarifnog niza za pojedine vrste drveća i iskazuje se za svaki odsjek. Prirast drvne zalihe određuje se metodom izvrtaka. U jednodobnim sastojinama na temelju tečajnog debljinskog prirasta, a u raznodobnim sastojinama na temelju vremena prijelaza. U raznodobnim sastojinama odsjeci se grupiraju po uređajnim razredima i bonitetima. U svakoj grupi uzimaju se izvrci sa 5 do 10 stabala po debljinskom stupnju. Visinska krivulja ustrojava se temeljem izmjerenih visina nasumice odabranih stabala tako da se svakom debljinskom stupnju izmjeri pet do deset visina. Kod prebornog načina gospodarenja, starost jele potpuno je zanemarena. PODRUČJE ISTRAŽIVANJA Osobna istraživanja uzroka i posljedica sušenja obične jele te proučavanja debljinske strukture u jelovim šumama oslanjaju se na trajne plohe Šumarskog instituta Jastrebarsko na području Gorskog Kotara i Like. Ploha 9 nalazi se u prašumi Čorkova Uvala, N.P. Plitvička jezera. Kontrolni podaci za sadašnje stanje debljinske strukture i oštećenosti jelovih stabala uzeti su iz redovne revizije osnove gospodarenja gospodarskom jedinicom „LIVIDRAGA“ tijekom 2003 godine (Pleše et al., 2004). Osnovni podaci trajnih ploha postavljenih 1968/69 godine i podaci za odjel 72 gospodarske jedinice Lividraga nalaze se u Tablici 1. Broj stabala N, temeljnica G i volumen V odnose se samo na jelu. 2 Tablica 1. Osnovni podaci trajnih ploha Ploha Gospodarska jedinica 1 2 3 4 5/1 5/2 5/3 6 7 8 9 10 Široka draga Bitoraj Brloško Bitoraj Velika Rebar Velika Rebar Velika Rebar Suho Veliki kotao-Godača Lom Čorkova Uvala Gosp. Jed. Lividraga Odjel 45 33 55 5/6 63 63 63 13 43 22 2/3 72 EGT I-C-30 I-C-10b I-C-40 I-C-10b I-C-10a I-C-10a I-C-10a I-C-11 I-C-50 I-C-10b I-C-10b I-C-10a N G V kom 611 232 509 166 174 201 165 318 493 822 89 157 m2/ha 18.17 23.85 34.97 26.13 35.63 33.83 31.39 33.89 19.01 35.59 13.04 25.81 m3/ha 203 287 480 378 533 491 468 395 184 355 206 325 Omjer Oštesmjese ćenost % 65 78 80 86 84 84 70 73 91 24 24 68 2+3+4 38 91 50 77 43 55 72 95 28 65 20 77 Najmanja osutost krošanja (2, 3 i 4) nalazila se na plohi 7. – 28 % i plohi 1. – 38%, a najveća osutost procijenjena je na plohi 6. – 95 % i plohi 2. – 91 %. PROBLEM Sušenje jele problem je koji se proučava u Europi preko jednog stoljeća. Prvi zapisi o sušenju jele u Hrvatskoj pojavljuju se 1900. godine. Obnova obilježenih stabala i istraživanja koja su provedena tijekom 1989. godine pokazala su neke čudne distribucije prsnih promjera u svih 10 ploha, uključujući i distribuciju stabala odjela 72 gospodarske jedinice Lividraga. Distribucije prsnih promjera na svim plohama pokazala su odstupanja od normala akademika Klepca, a također i od normala ekološko-gospodarskih tipova, (Cestar et al., 1986). Očigledna su odstupanja učestalosti broja stabala istraživanih sastojina od normalne Liocourtove krivulje. Naziru se najmanje tri sustava smještenih u tri debljinska razreda. Nastojanje šumarskih znanstvenika i šumara kako bi se postigla idealna Liocourtova krivulja izazvala je rezonanciju 1 : 3. U većini sastojina uređajnog razreda jele i bukve formirale su se distribucije prsnih promjera s rasponom starosti oko 50 godina u tri debljinska razreda. Samo na trajnim plohama 1, 3 i 7 nalazimo distribucije stabala približne Liocourtovoj krivulji. Sve normale akademika Klepca objavljene su za debljinske stupnjeve od 20 cm na više. Analizirajući panjeve jele tijekom 1987. godine na plohi 5/1, 5/2 i 5/3, nije nađena jela mlađa od 165 godina, bez obzira na promjer panja. Tijekom istraživanja ishrane jele (Komlenović i Cestar, 1981) u svim ekološko-gospodarskim tipovima na 26 ploha oboreno je i analizirano 78 dominantnih i vitalnih stabala s prosječnim prsnim promjerom 52 cm. Prosječna starost analiziranih stabala bila je 150 godina. Međunarodnim programom za procjenu i motrenje utjecaja zračnog onečišćenja na šume (ICP Forests), u Republici Hrvatskoj 2005. godine procijenjena je značajna oštećenost stabala: jele obične 77%, hrasta lužnjaka 43% i obične bukve 11%. Značajno oštećenim stablima smatraju se stabla osutosti krošnje iznad 25%. 3 160 N Pl. 1. I-C-30 II. bonitet G = 18,2 m2 140 120 Pl. 2 I-C-10b II/III bonitet G = 23,9 m2 100 Pl. 3. I-C-40 I/II bonitet G = 35.0 m2 80 Pl.4 I-C-10b I/II bonitet G = 26.1 m2 60 Pl. 5/1 I-C-10a I/II bonitet G = 35,6 m2 40 Pl. 5/2 I-C-10a I/II bonitet G = 33,8 m2 20 II normala fiziol. zrelost G = 37,3 m2 0 0 50 100 cm Grafikon 1. Fraktalna dimenzija distribucija prsnih promjera trajnih ploha i normala Klepca N 160 Pl. 5/3 I-C-10a II/III bonitet G = 31,4 m2 140 120 Pl. 6 I-C-11 II/III bonitet G = 33,9 m2 100 Pl. 7. I-C-50 III bonitet G = 19,0 m2 80 Pl. 8. I-C-10b II/III bonitet G = 10.8 m2 60 Pl. 9. I-C-10b I bonitet G = 13.0 m2 40 O.72 I-C-10a II/III bonitet G = 25,8 m2 20 EGT: I-C-10a G = 32.1 m2 0 0 20 40 60 80 100 cm Grafikon 2. Fraktalna dimenzija prsnih promjera trajnih ploha, distribucije prsnih promjera u odjelu 72 gospodarske jedinice Lividraga i normala ekološko-gospodarskih tipova 4 CILJ ISTRAŽIVANJA Istražiti dinamiku sušenja i propadanja jelovih šuma na trajnim plohama Šumarskog instituta, Jastrebarsko. Istražiti i objasniti čudne distribucije prsnih promjera na trajnim plohama i odjelu 72 gospodarske jedinice Lividraga. Istražiti dinamiku i oscilacije debljinskog prirasta prema stupnjevima oštećenja za periode 1960. – 1969., 1969. – 1978., 1978. – 1987. godinu i debljinskog prirasta jele sadašnjeg stanja za period 1994. – 2003. godinu uređajnog razreda jele i bukve. Istražiti dinamiku pomaka visinskih krivulja unutar debljinskih razreda sužene debljinske strukture. Teorijom kaosa i novom matematikom kaosa osvijetliti problem sušenja i objasniti čudne distribucije prsnih promjera u jelovim šumama. METODA RADA Mjerenja na trajnim plohama obavljena su prema metodologiji istraživanja rasta i razvoja, gospodarskih oblika te produkcija sastojina kao komponente: „Istraživanja tipova šuma i šumskih staništa“ (Cestar, 1966). Praćenje intenziteta oštećenja krošanja jele obavljeno je na primjernim prugama na trajno obrojčanim stablima. Primijenjena je metoda po kojoj su određena četiri stupnja oštećenja. 1. slabo oštećena ili neoštećena stabla, kojima je opadanje iglica obuhvatilo manje od 30% krošnje. 2. srednje oštećena stabla, kojima je opadanje iglica zahvatilo 31 – 60% krošnje. 3. jako oštećena stabla, kojima je opadanje iglica zahvatilo više od 60% krošnje. 4. suha stabla. Godine 1985. u okviru Konvencije UN i Europske komisije o prekograničnom onečišćenju (CLRTAP) osnovan je Međunarodni program za procjenu i motrenje utjecaja zračnog onečišćenja na šume, skraćeno (ICP Forests). Procjena se obavlja prema jedinstvenoj metodi propisanoj od ICP Forests. Opažanje se obavlja na bioindikacijskim plohama iz mreže 16 x 16 km, jednake međusobne udaljenosti. Na svakoj plohi ocjenjuje se 24 stabala, osutost krošnje, gubitak boje asimilacijskih organa te lako prepoznatljivi (biotski i abiotski) uzroci štete (Roša, 2001). Najvažniji parametar procjene oštećenosti je osutost (defolijacija) asimilacijskih organa. Procjena se obavlja u 5 klasa. 0 nema 0 – 10% 1 mala > 10 – 25% 2 umjerena > 25 – 60% 3 jaka > 60 – 99% 4 mrtva stabla 100% Značajno oštećenim stablima smatraju se stabla osutosti krošnje iznad 25% (oštećenje 2+3+4). U Tablici 2. prikazani su rezultati procjene oštećenosti jelovih krošanja na trajnim pokusnim plohama tijekom 1968 – 1989. godine, rezultati procjene stupnja osutosti jele odjela za ekologiju, Uprave šuma podružnica Delnice u 2003. godini i rezultati procjene u 2005. i 2010. godini Nacionalnog koordinacijskog centra za procjenu i motrenje utjecaja atmosferskog onečišćenja i drugih čimbenika na druge šumske ekosustave (Potočić et al., 2010). Trend propadanja jele obične (Abies alba Mill.) na području Gorskog kotara i Like s 54 % u 1989. godini povećava se na 77 % u 2003. godini. Taj trend se pogoršao u 2005. godini s time kako je broj zdravih stabala spao na samo 1 %, a značajna osutost 2, 3 i 4 se povećala na 89%. Osutost 66% u 2010. godini pokazuje pad i oscilacije osutosti tijekom vremena. 5 Tablica. 2. Procjena osutosti krošnje jele tijekom 1968-1987., 1989., 2003., 2005. i 2010. godine Godina opažanja 1968 1969 1972 1987 1989 2003 2005 2010 0 Slabo 1 24 7 1 12 23 27 42 34 22 16 10 22 Osutost srednje 2 % 54 33 40 41 42 72 69 49 jako 3+4 2+3+4 23 40 18 25 12 5 20 17 77 73 58 66 54 77 88 66 STANJE RASTA I PRIRASTA JELE Na trajnim pokusnim plohama na obrojčanim stablima, metodom izvrtaka izmjeren je 1987. godine debljinski prirast jele zadnjih 10, 20 i 30 godina. Izvrtci su razvrstani u tri grupe prema stupnju oštećenja. Najpovoljnija linija izjednačenja debljinskog prirasta za raznodobne šume je parabola. Za razdoblje mjerenja (1978. – 1987.) godine, te dužine predzadnjih 10 godina (1969. – 1978.) utvrđene su razlike i oscilacije tečajnog godišnjeg debljinskog prirasta jele (graf. 1.). Uočen je pad debljinskog prirasta za razdoblje mjerenja 1978. – 1987. godine u odnosu na razdoblja mjerenja 1969. – 1978. godinu. Na grafičkom prikazu (graf. 1) razvidne su signifikantne razlike debljinskog prirasta po stupnjevima oštećenja za razdoblje mjerenja 1969. – 1978. godine i razdoblje 1978. – 1987. godinu. Za period mjerenja 1960. – 1969. godinu nije bilo signifikantnih razlika po stupnjevima oštećenja. id mm 8 slabo ošteć. 1978-1987 7 srednje ošteć. 1978-1987 6 jako ošteć. 1978-1987 5 slabo oštć. 1969-1978 4 3 srednje ošt. 19691978 2 jako ošteć. 1969-1978 1 G. j. Lividraga 1992-2003 12 ,5 17 ,5 22 ,5 27 ,5 32 ,5 37 ,5 42 ,5 47 ,5 52 ,5 57 ,5 62 ,5 67 ,5 72 ,5 77 ,5 82 ,5 0 d cm Grafikon 3. Oscilacije i odnos razvojnog tijeka debljinskog prirasta jele prema oštećenjima za razdoblje mjerenja 1969. – 1978., 1978. – 1987. i 1994. – 2003. godinu 6 Debljinski prirast uređajnog razreda jele u gospodarskoj jedinici Lividraga prati trend srednje oštećenih stabala za 1969. – 1978. godinu, ali i pokazuje neku čudnu oscilirajuću krivulju (trajektoriju). Debljinski prirast jele u gospodarskoj jedinici Lividraga pokazuje krajnje kaotičnu strukturu. Do cca 30 centimetara prsnog promjera, debljinski prirast je podjednak za srednje oštećena stabla iz 1978. – 1987. godine, od 30 cm do 70 cm pokazuje oscilacije debljinskog prirasta, kaskade u tri ciklusa, ali i trend prirasta iz 1969. – 1978. godine, a poslije 70 cm prsnog promjera pokazuje nagli porast prirasta. To su obično najdeblja stabla u stabilnom i ravnotežnom stanju. id mm 40 Jela izmjerene visine 35 30 Izravnato Mihajlov 25 deb. razred 10 - 30 cm 20 15 deb. razred 31 - 50 cm 10 deb. razred 51 < 5 82,5 77,5 72,5 67,5 62,5 57,5 52,5 47,5 42,5 37,5 32,5 27,5 22,5 17,5 12,5 0 d cm Grafikon 4.: Razvojni tijek visinskih krivulja jele uređajnog razreda sjemenjače jele i bukve Visinske krivulje raznodobnih sastojina su stalne i nepromjenjive. Razvojni tijek izmjerenih visina jele za uređajni razred sjemenjača jele i bukve gospodarske jedinice Lividraga prikazan je na grafičkom prikazu (graf. 4.) Izmjerene visine izravnate su jednadžbom Mihajlova: (1) h = b0 e – b1/x + 1.3 Prvo sam izravnao izmjerene visine za uređajni razred kao cjelinu, a potom izmjerene visine u tri debljinska razreda. Očigledna su odstupanja izmjerenih visina jele u pojedinim debljinskim razredima od izravnatih za uređajni razred kao cjelinu. Visinske krivulje jele uređajnog razreda sjemenjače jele i bukve imaju pomak po debljinskim razredima analogan pomaku visinskih krivulja regularnih šuma (graf. 4). Svaki debljinski razred (dinamički sustav) u jelovim šumama ima svoju visinsku krivulju što će reći tarifu. 7 LOGISTIČKO PRESLIKAVANJE Logističkim preslikavanjem populacijskom jednadžbom: xn+1 = r xn (1-xn) (2) numeričkom i grafičkom metodom objašnjavam kako period tri vodi šume u kaos. Funkciju je osmislio 1845. godine belgijski matematičar P. F. Verhulst. U populacijskoj jednadžbi Verhulst je našao kompromis između realnosti i jednostavnosti, osmislivši funkciju koja utjelovljuje razdoblja obilja, prekomjernost populacije i izumiranje. Kasnije su tu jednadžbu proučavali Robert May, James Yorke i Mitchell Feigenbaum. Populacijska jednadžba, kasnije je dobila standardni naziv logistička jednadžba. Važno je napomenuti za tu jednadžbu kako je xn omjer populacije u n-toj godini i maksimalne populacije koja je sposobna preživjeti. Član (1-xn) je ograničavajući faktor, koji sprječava nezgodne posljedice koje ima linearni oblik funkcije, a funkcionira na jednostavan način: kada je xn malen, (1-xn) je velik, i obrnuto, pa njihov umnožak nikada ne ide u krajnost. Biološki gledano, to znači da je brojnost populacije jedne godine proporcionalna brojnosti populacije prošle godine xn i raspoloživoj hrani, životnom prostoru i ostalim životnim uvjetima (1-xn ). Posljedica toga je kako se xn u bilo kojoj iteraciji uvijek zadržava u intervalu ( 0, 1 ). Kontrolni parametar r odabire se u intervalu ( 0, 4 ). Ta struktura može se objasniti ako iteriramo (ponavljamo) logističku jednadžbu (2) i prikažemo je grafički unutar x u rasponu (0,1) i funkcije f(x) = x t.j. simetrale prvog i trećeg kvadranta, (Internet: http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-3-7-1-Graf_funkcije.htm, 2006). Na grafikonu 5. s kontrolnim parametrom r = 1 vidimo krivulju tipičnu za regularnu (periodičnu) strukturu koja sječe simetralu, funkciju f(x), samo u jednoj točki, u ishodištu (0,0), i to je atraktor perioda 1. Za parametar r = 2, krivulja siječe simetralu u (1/2,1/2) i u ishodištu. Atraktor perioda 2 nalazi se u 1/2, a vrijednost odbijanja u 0. Za kontrolni period r = 2.5 sjecište krivulje i simetrale je u (3/5,3/5), i u (0,0), pa je i atraktor u 3/5. Logističkim preslikavanjem dobivamo prikaz kako se krivulje sijeku u jednoj točki (bez ishodišta). Međutim, to ništa ne govori o periodu dva, ili tri. Zato moramo zanemariti kako je iteriranje isključivo numerička metoda, i iscrtati funkciju: f 2(x) = f (rx(1-x)) = r [rx (1-x)] [1-rx (1-x)] (3) dakle funkciju druge iteracije, zajedno sa f(x) = x, dobivamo krivulje prikazane na grafikonu 6. 1 y 1 0,9 period 2.5 prva iteracija 0,8 y 0,9 period 3.4 druga iteracija 0,8 0,7 period 2 prva iteracija 0,6 0,7 period 3 druga iteracija 0,6 0,5 0,5 0,4 period 1 prva iteracija 0,3 0,4 period. 2.5 druga iteracija 0,3 0,2 0,2 f(x)=x 0,1 f(x)=x 0,1 0 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x Grafikon 5. Atraktori prve iteracije 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 x Grafikon 6. Atraktori druge iteracije Na tom grafičkom prikazu vidimo kako za r = 2.5 krivulja sječe simetralu u (3/5, 3/5), kao i na prethodnom grafičkom prikazu, samo što u području perioda dva 3/5 nije atraktor, već vrijednost odbijanja, pa je to sjecište zapravo ostatak atraktora perioda jedan. Drugih sjecišta nema, što dovodi do zaključka da za r = 2.5 ne postoji atraktor perioda 2. Za r = 3 događa se prva bifurkacija, krivulja se toliko iskrivljuje u odnosu na prethodnu da simetrala f(x) = x postaje tangenta na logističku krivulju u 8 točki sjecišta (2/3, 2/3), što očigledno ukazuje na to kako će, ako se krivulja još malo iskrivi, taj pravac sječi simetralu u tri točke. Što znači kako je po definiciji stabilnosti ( f 2)'(2/3)=1, iz čega proizlazi da je to neutralna vrijednost, vrijednost u kojoj se izmjenjuje stabilnost, odnosno vrijednost prve bifurkacije. Za r = 3.4, simetrala stvarno sječe krivulju u tri točke. Središnja od tih točaka je nestabilna vrijednost odbijanja 12/17, a ostale dvije su atraktori perioda 2, koji iznose 0.433 i 0.843. Na grafičkom prikazu, (graf. 7.), za r =3 prikazane su krivulje prve, druge i treće iteracije. Kod treće iteracije dolazi do druge bifurkacije. Krivulje prve i treće iteracije sijeku drugu u istoj točki gdje krivulja druge iteracije tangira simetralu prvog i trećeg kvadranta, a na lijevoj strani u istoj točki sijeku simetralu drugog i četvrtog kvadranta. Tu su vrijednosti u kojoj se izmjenjuje stabilnost, odnosno vrijednosti druge bifurkacije. Ova podvostručavanja (grananje) perioda poznata su kao kaskada podvostručenja perioda 3 i vode u kaos. y 1 Kaos perioda tri prva iteracija 0,9 0,8 Kaos perioda tri druga iteracija 0,7 0,6 Kaos perioda tri treća iteracija 0,5 f(x)=x 0,4 0,3 f(x)=1-x 0,2 Fazna ravnina 0,1 0 0 0,5 1 x Grafikon 7. Kaos perioda tri u tri iteracije Na grafičkom prikazu (graf. 7.), lijeva i desna točka dijeli os x na tri jednaka dijela (1/3, 1/3, 1/3). Fazna ravnina tih presjecišta tvore fraktalan skup koji je prepoznatljiv kao Cantorov skup. Cantorov skup sadrži dvije kopije samoga sebe umanjene na trećinu. Ako izbacimo središnji dio između dva presjecišta, dijelovi simetrala u središtu i fazna ravnina čine trokut. Ako svakoj dužini trokuta izbacimo srednju trećinu i zamijenimo dvjema dužinama iste duljine te taj postupak ponavljamo u beskonačnost dobivamo Kochovu krivulju ili krivulju snježne pahuljice (LesmoirGordon et al. 2000), (Lopac, 2003). LEVAKOVIĆEVA FUNKCIJA SASTOJINSKE STRUKTURE Levaković u svom radu „O analitičkom izražavanju sastojinske strukture“ (Levaković, 1948) relativnu raspodjelu učestalosti broja stabala po debljinskim stupnjevima analitički je prikazao funkcijom: Y = K d c1 (1 – d) c2 (4) Analitički izraz Levakovićeve funkcije koju su testirali Hren i Kovačić (Kovačić i Hren, 1984) omogućuje praćenje razvoja karakterističnih vrijednosti sastojinske debljinske strukture. Funkcija s parametrima c1 i c2 primjenjuje se samo na jednomodelne šumske sastojine, regularne s jednom kulminacijom. Parametar c2 s vrijednošću oko 3 daje lijevu asimetriju distribucije prsnih promjera kao 9 i distribucija kod druge i treće iteracije logističke jednadžbe, a razvidno u prvom kvadrantu grafičkog prikaza, (graf. 7.) Lijeva asimetrija distribucije prsnih promjera indicira mlade i vitalne sastojine, kao što su to prve lijeve distribucije na plohama 1, 2, 3, 7 i 8. Parametar c1 s vrijednošću oko 3 daje desnu asimetriju distribucije prsnih promjera kao i distribucija kod druge i treće iteracije logističke jednadžbe, razvidno u trećem kvadrantu grafičkog prikaza, a prepoznatljivo na desno asimetričnim distribucijama ploha 5/1, 5/2 i 6. Desna asimetrija distribucije prsnih promjera indicira stare i prezrele sastojine. Kada su parametri c1 i c2 podjednaki s vrijednošću 2.7, distribucije postaju simetrične, periodične, odnosno regularne. Takve distribucije nalazimo u srednjoj trećini kod prve i treće iteracije perioda tri, a vidljive u grafičkom prikazu (graf. 7.) Stabilne, regularne distribucije nalaze se fragmentalno i na trajnim plohama, 2, 3 i 9. Sve distribucije prsnih promjera na trajnim plohama su višemodelne što znači kako u njima nalazimo po tri i više nelinearnih dinamičkih sustava. BIFURKACIJE U DEBLJINSKOJ STRUKTURI JELE Izmjerom stabala jele tijekom 1987 godine dobivene su neke čudne oscilirajuće distribucije prsnih promjera za koje do danas nisu nađena objašnjenja. Čudne distribucije broja stabala na trajnim plohama s trajektorijama koje se nisu podudarale s Liocourtovom krivuljom geometrijske progresije spremio sam u ladicu. Danas, Teorijom determinističkog kaosa otvorio se prozor razumijevanja, kako bi se objasnile mnoge pojave u prirodi. Izvadio sam iz ladice izmjerene podatke debljinskih distribucija trajnih ploha te ih logistički preslikao. Približno Liocourtovoj krivulji u normalama nalazimo samo na plohi 7., ali naziru se i bifurkacije u debljinskim stupnjevima oko 30 cm i 50 cm. Na plohi 7. značajno je bilo oštećeno 28% stabala jele. N 160 Pl. 2 I-C-10b II/III bonitet G = 23,9 m2 140 120 Pl.4 I-C-10b I/II bonitet G = 26.1 m2 100 Pl. 6 I-C-11 II/III bonitet G = 33,9 m2 80 Pl. 7. I-C-50 III bonitet G = 19,0 m2 60 Pl. 8. I-C-10b II/III bonitet G = 10.8 m2 40 Pl. 9. I-C-10b I bonitet G = 13.0 m2 20 O.72 I-C-10a II/III bonitet G = 25,8 m2 0 0 20 40 60 80 100 cm Grafikon 8. Fraktalna dimenzija distribucija prsnih promjera na trajnim plohama 10 Nove nelinearne dinamičke sustave nalazimo na svim trajnim plohama. Mlade sastojine na lijevoj strani grafičkog prikaza (graf. 8) su početni uvjeti, razvidno bifurkacijama perioda tri treće iteracije (graf. 7.). Vremenski period oko prve kulminacije prirasta su početni uvjeti o kojima ovisi daljnji razvoj događanja u šumi. Početni uvjeti ključni su za kaos, a poznati su kao učinak leptira (butterfly effect). Na plohi 2. i 4. nalazimo četiri nelinearna dinamička sustava. Značajno oštećenih stabala na plohi 2. bilo je 91%, a 77% stabala jele na plohi 4.. Na plohi 6. vidimo dinamički sustav nestabilnog i kaotičnog stanja oko debljinskog razreda 3050 cm, razvidno prvoj i trećoj iteraciji perioda tri (graf 7.). Značajno je oštetećeno 95% stabala jele. Na plohi 8. nalazimo tri nelinearna dinamička sustava, početni uvjeti i bifurkacija perioda tri u trećoj iteraciji. Značajno je oštetećeno 65% stabala jele. Na plohi 9. u prašumi Čorkove uvale distribucija stabala ima široku varijacionu širinu, ali nazire se više dinamičkih sustava. Značajno oštetećenih stabala jele bilo je najmanje, 20%. Nelinearne dinamičke sustave nalazimo i u odjelu 72 gospodarske jedinice Lividraga. s bifurkacijom u prsnim promjerima oko 50 cm. Razvidno drugoj iteraciji perioda tri (graf. 7) Značajno je oštetećeno 77% stabala jele. Kaskade debljinskog prirasta (graf. 4) za uređajni razred jele ukazuju na pojavu, kako svaki dinamički sustav ima svoju brzinu rasta i svoju tarifu, što će reći kako svaki regularni dinamički sustav ima i svoj volumni prirast. Slične pojave nalazimo i na plohama 5/1, 5/2 i 5/3. sa značajnim oštećenjima 43%, 55% i 72%. Nastojanje šumarskih znanstvenika i šumara kako bi se postigla idealna Liocourtova krivulja u tri debljinska razreda izazvala je rezonanciju 1 : 3. U većini sastojina formirale su se distribucije prsnih promjera s rasponom starosti oko 50 godina u tri debljinska razreda. Bifurkacije s nestabilnim stanjem vidljive su na trajnim plohama 4, 5/1, 5/2, 5/3, 8, 9 i u odjelu 72. Šume obiluju bifurkacijama. Sušenje jele pedesetih godina prošlog stoljeća u srednje debelim stablima (Tomaševski, 1958) ukazuju na bifurkaciju. Srednje debela stabla bila su prag nestabilnosti kada su spontano nastali oblici reda, novi dinamički sustavi. N; h m; 10 x id mm 80 70 60 N debljinska. struktura 72 odjel g.j. Lividraga Debljinski prirast 10 x id mm 50 40 30 visine h m deb. razred 10 - 30 cm visine h m deb. razred 31 - 50 cm 20 10 0 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 82,5 visine h m deb. razred 51 < d cm Grafikon 9. Bifurkacije u debljinskoj strukturi, pomak visina i kaskade debljinskog prirasta 11 Razvidna je fraktalna dimenzija na grafičkom prikazu (graf. 8.), Sličnost ponašanja krivulje druge iteracije i distribucije prsnih promjera u odjelu 72 je očigledna. Očigledne su tri bifurkacije s nestabilnim stanjem oko 22.5 cm, oko 32.5 cm i oko 47.5 cm prsnog pomjera što je vidljivo na grafičkom prikazu (graf. 3.). Ovakve kaskade bifurkacija perioda tri i više nalazimo manje više na svim trajnim plohama. Regularnu (periodičnu) strukturu prsnih promjera do 22.5. cm, nalazimo na svim trajnim plohama uključujući i u odjelu 72, gdje su stabla mlada i vitalna, a osutost je najmanja. Odnos debljinske strukture broja stabala, debljinskog prirasta i pomak razvojnog tijeka visina UR sjemenjače jele gospodarske jedinice Lividraga prikazan je na grafikonu 9. Razvidne su bifurkacije u tri debljinska razreda. Kaskade distribucije broja stabala i kaskade debljinskog prirasta. Četiri nelinearna dinamička sustava, svaki sa svojim debljinskim prirastom i svojom visinskom krivuljom, odnosno tarifom. Lijeva distribucija broja stabala do 22.5 debljinskog stupnja je mlada sastojina. Tu su početni uvjeti o kojima ovisi daljnji razvoj događanja u kaotičnoj debljinskoj strukturi jele obične. Distribucija prsnih promjera jele na trajnim plohama i u odjelu 72 gospodarske jedinice Lividraga za debljinske stupnjeve između 30 cm i 50 cm pokazuje bifurkaciju s periodom tri, a debljinski prirast pokazuje oscilacije s ciklusom perioda tri. KAOTIČNE SPOZNAJE Teorija relativnosti, kvantna teorija i teorija determinističkog kaosa obilježila je proteklo 20. stoljeće. Deterministički kaos je znanost budućnosti, koji će omogućiti onaj mentalni pomak koji je potreban da ljudi shvate u kojoj mjeri je priroda deterministički sustav, podobna za iskorišćivanje, a u kojoj mjeri je ćudljiva i nepredvidljiva. Šuma je kaotični nelinearni dinamički sustav. Dinamički sustav je pravilo koje opisuje promjenu stanja u nekom prostoru u ovisnosti o vremenu. Prostor može biti običan koordinatni sustav, ali isto tako može biti kompleksna konfiguracija promatranog ekosustava u kojem se šuma nalazi. Dinamika je pravilo kako od sadašnjeg stanja doći na sljedeće. Pravilo koje opisuje promjenu stanja sustava kroz vrijeme je determinističko. Karakteristična osobina sustava što ih proučava kaos je nestabilno, neperiodično gibanje. Vrlo jednostavni, strogo definirani, matematički modeli mogu pokazivati zastrašujuće složeno ponašanje. Karakteristična značajka kaotičnih sustava je njihova osjetljiva ovisnost o početnim uvjetima. Infinitezimalno male promjene na početku mogu dovesti do velikih promjena na kraju. To se ponašanje opisuje kao obilježje kaosa. Proučavanjima kaosa i njegovih učinaka otkrilo se kako sustavi mogu prelaziti iz kaotičnih u regularne i obrnuto. Sve iznenadne promjene ponašanja uslijed malih promjena u okolnostima su bifurkacije (grananje). Bifurkacije su opće prirodno načelo. Nelinearni sustavi koje proučava teorija kaosa su kompleksni sustavi u smislu kako vrlo mnogo nezavisnih varijabli međudjeluju jedna s drugom na bezbroj načina. Ti kompleksni sustavi imaju sposobnost uravnoteživanja reda i kaosa. Točka ravnoteže nazvana je rubom kaosa, gdje je sustav u nekoj vrsti pritajena očekivanja između stabilnosti i kolapsa. Deterministički kaos, nova je znanost koja interdisciplinarno obuhvaća tradicionalne znanstvene discipline povezujući različite pojave i otvara nove vidike determinizma događanja u prirodi. Kaos je ne samo teorija već metoda kako objasniti pojave u prirodi. Kaos je stvorio novu vrstu fiziologije, temeljenu na zamisli kako matematička sredstva mogu pomoći znanstvenicima u razumijevanju kompleksnih sustava. Kaos i kompleksnost treba zajedno čitati kao kaotičnost. Kaotičnost se može upotrijebiti kako bi se stvorio okvir unutar kojeg se mogu nalaziti nova rješenja za probleme, istodobno kako se istražuju načini razmišljanja. Kaotični sustavi nisu u svim mogućim stanjima kaotični, već kako, osim pravilnosti u kaosu, postoje i potpuno pravilna, periodična stanja, u kojima ne vlada kaos. Što će reći, definicija ne govori kako teorija kaosa proučava samo kaotična stanja dinamičnih sustava, nego sva stanja sustava koji mogu u određenim uvjetima biti i kaotični. Nestabilno ponašanje je ono kod kojeg je za prijelaz između periodičkog i neperiodičnog, potrebna vrlo mala promjena u sustavu što uključuje vrlo značajnu osjetljivost o početnim uvjetima. 12 Nadalje, neperiodično ponašanje označava kako nijedan parametar sustava ne prolazi kroz periodičke promjene vlastitih vrijednosti, tj. kako se niti jedno stanje sustava ne ponavlja u potpunosti. Bilo koja cjelina koja se mijenja tijekom vremena naziva se sustav. Složeni sustavi, općenito, iskazuju osobinu koju matematičari nazivaju atraktorima. Atraktori predstavljaju stanja u kojima se sustav napokon ustali, ovisno o svojstvima samog sustava. Atraktor je dio faznog prostora kojemu se svaka točka koja je započela gibanje blizu njega sve više približava. Kako prolazi vrijeme bliska područja se stežu prema stablu. Svako stablo u šumi ima svoju matematičku strukturu, atraktor kojem teži. Volumen stabla i njegova novčana vrijednost drvnih sortimenata teže svom atraktoru. Postoji posebna kategorija atraktora poznati kao kaotični ili čudni atraktori. Čudni atraktori žive u matematički konstruiranom prostoru poznatom kao fazni prostor. Fazni prostor je imaginarni prostor u kojem se brojevi mogu pretvoriti u slike. Najčuveniji čudni atraktor je Lorenzov atraktor, koji je povezan s učinkom leptira. Leptirov učinak (butterfly effect) ističe tvrdnju kako su početni uvjeti i male smetnje vrlo važni za kaos. U rastenju šuma to je vremenski period oko prvih kulminacija prirasta. Nelinearni sustav je onaj sustav čiji je model opisan nelinearnim jednadžbama. Nelinearnost zakona koji vladaju sustavom preduvjet je za nastanak determinističkog kaosa u njemu, kao i ostalih pojava vezanih za kaos. Kaotični sustavi su sustavi kojima se bavi teorija kaosa. Europski znanstvenici George Anderla, Anthony Dunning i Simon Forge su predložili kako kaos i kompleksnost treba zajedno čitati kao kaotičnost. Kaotičnost se može upotrijebiti kako bi se stvorio okvir unutar kojeg se mogu nalaziti nova rješenja za probleme, istodobno kako se istražuju novi načini razmišljanja. Kompleksnost i kaos izazov su duboko usađenim uvjerenjima o uzroku i posljedici koje možemo nazvati očuvanjem kompleksnosti. Kompleksni sustavi imaju sposobnost uravnoteživanja reda i kaosa. Otkriće kaosa proistječe iz nelinearnih međudjelovanja malog broja jednostavnih komponenata. Teorija kompleksnosti naglašava suprotno, kako se međudjelovanja visoke složenosti, koja djeluju u sustavima sastavljenima od mnoštva individualnih elemenata, često udružuju, kako bi stvorila, u velikom mjerilu, jednostavne uzorke – emergentne fenomene (Stewart, 1996.). Matematičar James York sa Sveučilišta u Marylandu, zaslužan je za tvorbu imena kaos. Izraz je prvi put upotrijebljen u njegovom često citiranom članku s neobičnim naslovom „Period tri ukazuje na kaos“. Što je to period tri? Ako se u bilo kojem jednodimenzionalnom sustavu ikad pojavi regularni ciklus perioda tri, taj će sustav pokazivati pravilne cikluse svakog drugog trajanja, a isto tako i cikluse koji su potpuno kaotični. Yorke je pokazao kako je nemoguće postaviti sustav koji će se ponavljati u oscilaciji s periodom tri, a da pritom ne stvori kaos (Sardar & Abrams, 1998). To je vrlo važna i neobična spoznaja. Robert May (r. 1938), engleski fizičar, matematičar i biolog otkrio je kako su jednadžbe kojima se opisuju fluktuacije u životinjskim populacijama složene. Pri višim vrijednostima parametara populacija počinje oscilirati između dviju izmjeničnih vrijednosti. Matematički model kojim se služio kako bi opisao populaciju je populacijska jednadžba, u kojoj je simbol x predstavljao sadašnju populaciju neke vrste u nekom području. Kad je parametar r (brzina rasta) bio 2.7 našao je kako je populacija 0.629. Kako je parametar r rastao i konačna je populacija rasla. Iznenada, kad je parametar prešao vrijednost tri, populacija se raspala u dvije. Taj je rascjep značio kako je populacija prešla iz jednogodišnjeg u dvogodišnji period. Kako je parametar dalje rastao, broj se točaka uvijek nanovo podvostručavao. Ponašanje je bilo kompleksno, a opet pravilno. A opet, usred kaosa, nakon daljnjeg povećanja parametara, stabilni su se periodi vratili. Njegovo je djelo potvrdilo zamisao kako biološkim sustavima upravljaju nelinearni mehanizmi. Obilježje kaosa je fraktalni atraktor, a fraktali su uzorci kaosa. Robert May, Mitchel Feigenbaum i A. N. Sarkovski pokazali su kako se za određene vrijednosti kontrolnog perioda r u sustavu nikada neće uspostaviti ravnoteža. Normalne frekvencijske krivulje broja stabala za jelu akademika Klepca za sve bonitetne razrede prikazane su od 20-tog debljinskog stupnja (Klepac, 1961), što će reći kako su zanemareni početni 13 uvjeti. Problem je akademik Klepac riješio prilivom, brojem jedinki pomladka koji uraste u debljinsku strukturu. ZAKLJUČAK Šume su kaotični nelinearni dinamički sustavi. Dinamički sustavi koji se mijenjaju po određenim pravilima koje diktiraju zakoni prirode. Distribucije prsnih promjera na trajnim plohama i u odjelu 72 gospodarske jedinice Lividraga pokazuju neke čudne trajektorije koje se razlikuju od normala akademika Klepca i tipoloških normala Cestara. Signifikantne su razlike debljinskog prirasta na trajnim plohama po stupnjevima oštećenja za period 1969. – 1978. i period 1978. – 1987. godinu. Izmjeren debljinski prirast po stupnjevima oštećenja na trajnim plohama za period 1978. – 1987. godinu niži je od perioda mjerenja 1969. – 1978. godine. Izmjeren debljinski prirast u gospodarskoj jedinici Lividraga za period 1994. – 2003. godinu na nivou uređajnog razreda pokazuje oscilacije i trend debljinskog prirasta srednje oštećenih stabala za period 1969. – 1978. godinu. Izravnate visine Mihajlovom funkcijom uređajnog razreda u gospodarskoj jedinici Lividraga pokazuju znatne razlike u odnosu na izmjerene visine u debljinskim razredima sužene debljinske strukture. Razvidan je pomak visinskih krivulja po debljinskim razredima i inverzija visinskih krivulja trećeg debljinskog razreda. Sadašnjim načinom obrade i obračunom podataka dendrometrijske izmjere na nivou uređajnog razreda dobivaju se prosjeci koji su neupotrebljivi za svako planiranje u prostoru i vremenu. Sužena debljinska struktura u tri debljinska razreda i zapostavljanje starosti jele bili su početni uvjeti koji su doveli do nelinearno povratnog učinka, stanja u kojem je čak 77% stabala značajno oštećeno. Početni uvjeti i nelinearni povratni učinak glavni je čimbenik fraktalne dimenzije distribucija prsnih promjera jelovih sastojina. Teorijom determinističkog kaosa osvjetljavam čudne trajektorije distribucije na trajnim plohama. Determinističkim kaosom mogu se objasniti mnoge pojave u šumi, a koje se dosada nisu mogle objasniti linearnim modelom istraživanja. Nelinearni dinamički pristup jedina je alternativa održivom razvoju šuma. Samo iskorak iz krutog linearnog sustava u nelinearni dinamički sustav osigurava potrajno gospodarenje jelovim šumama. LITERATURA Androić, M. et all., 1975: Istraživanje uzroka i posljedica sušenja prirodnih jelovih šuma u SR Hrvatskoj. Rad.Šumar.inst. br. 23., str. 1-163, Zagreb. Androić, M., Cestar, D., Hren, V., 1975: Zaključne napomene i preporuke za gospodarenje: Rad.Šumar.inst. br. 23., str. 1-154, Zagreb. Bezak, K., Krejči V., Vrbek B., 1991: Propadanje jele praćeno promjenama vitalnosti i prirasta šume bukve i jele od 1969-1990 godine, Rad.Šumar.inst. br.1., Vol. 26:115-128, Zagreb. Cestar, D., 1974: Razdjeljenje SR Hrvatske na tipološke jedinice. BILTEN br. 5/74. Poslovnog udruženja šumsko privrednih organizacija, Zagreb. Cestar, D., 1975: Odnos prirasta i sušenja jele. Rad. Šumar.inst. br. 23, str. 125-130, Zagreb. Cestar D., Hren V., Kovačević Z., Martinović J., Pelcer Z., 1986: Uputstvo za izradu karte ekološkogospodarskih tipova gorskog područja (I) SR Hrvatske, Radovi br. 4, izvanredno izdanje: 1-125, Zagreb. 14 Hren, V. 1975: Oblik sastojina i njihov odnos prema sušenju jele. Rad. Šumar.inst. br. 23, str. 96-114, Zagreb. Klepac, D., 1961: Novi sistem uređivanja prebornih šuma. Poljoprivredna šumarska komora NR Hrvatske. str. 1-46, Zagreb. Klepac, D., 1975: Gubitak prirasta u jelovim šumama koje se suše. Rad. Šumar.inst. br. 23, str. 130139, Zagreb. Klepac, D., 2001: Rast i prirast obične jele. Monografija: Obična jela u Hrvatskoj. Akademija šumarskih znanosti: „Hrvatske šume“ p.o. Zagreb, str. 503- 521, Zagreb. Komlenović, N., Cestar, D. 1981: Istraživanje stanja ishrane obične jele (Abies alba Mill.) u utvrđenim ekološko-gospodarskim tipovima šuma u SR Hrvatskoj, Radovi br. 45, str.1-37, Zagreb. Kovačić, Đ., Hren, V., 1984: Normalna raspodjela stabala po debljinskim stupnjevima i dobnim razredima u ekološko-gospodarskim tipovima II–G–20 i II–G–21. Rad. Šumar. Inst. 61: 1-65, Zagreb. Lesmoir-Gordon, N., Rood, W. i Edney, R. 2000: Introducing Fraktal Geometry. prijevod Lopac, V., 2001: Fraktalna geometrija za početnike. Naklada Jesenski Turk, str. 1-176, Zagreb. Levaković, A., 1948: O analitičkom izražavanju sastojinske strukture. Glasnik za šumske pokuse, str. 293-366, Zagreb Lopac, V. 2003: Do kaosa i natrag: putovanje u nepredvidljivost. Naklada Jesenski i Turk. str. 1-75, Zagreb. Meštrović, Š., Fabijanić, G. 1995: Priručnik za uređivanje šuma, Ministarstvo poljoprivredu i šumarstvo. str. 1-416, Zagreb. Nakić, I., Internet: http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-3-7-1-Graf_funkcije.htm Pleše, B., et al. 2004: Osnova gospodarenja gospodarskom jedinicom „Lividraga“ (2004-2013). Hrvatske šume d.o.o., Podružnica Delnice, Delnice. Potočić, N., Seletković, I., Indir, K., Jakovljević, T., 2010: Oštećenost šumskih ekosustava Republike Hrvatske, izvještaj, Hrvatski šumarski institut, str. 1-48, Jastrebarsko. Roša, J., 2001: Praćenje šumskih ekosustava, Hrvatske šume, , ISBN 953-6253-19-14, str. 1-76, Zagreb Sardar, Z., Abrams, I., 1998: Introducing Chaos. Prijevod Lopac, V., 2001: Kaos. Naklada Jesenski Turk, str. 1-176 str., Zagreb. Stewart, I. 1996: Does God play dice? Prijevod, Lopac, V., 2003: Kocka li se bog? Nova matematika kaosa. Naknada Jesenski Turk, str. 1-480, Zagreb. Tomaševski, S. 1958: U kojim debljinskim razredima i na kojim ekspozicijama dolazi najveći broj sušaca i izvala kod jele. Šumarski list, Zagreb. 15
© Copyright 2024 Paperzz