Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό “Γέφυρες”. Τεύχος 9, το 2003. Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Λεμονίδης, Χ. (2003). Μια διαφορετική διδασκαλία των αριθμών και των πράξεων στην αρχή του σχολείου. “Γέφυρες”. Τεύχος 9, σελ. 22-29. Μια διαφορετική διδασκαλία για τους αριθμούς και τις πράξεις στην αρχή του σχολείου Χαράλαμπος Λεμονίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Διδακτικής Μαθηματικών Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κείμενο που ακολουθεί θα παρουσιάσουμε κάποια βασικά σημεία μιας πρότασης διδασκαλίας για τις αριθμητικές έννοιες στην αρχή του σχολείου. Η πρόταση αυτή προέκυψε μέσα από έρευνες και εμπειρική εφαρμογή που πραγματοποιήθηκαν στο Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας. Πέρα από τα σύγχρονα ερευνητικά αποτελέσματα είχαμε ως βάση μια σειρά από έρευνες που πραγματοποιήσαμε για να διερευνήσουμε τις γνώσεις και ικανότητες των νηπίων και των μαθητών των πρώτων τάξεων του δημοτικού (Χ, Λεμονίδης, 1994, 1998, 2001, 2002, Λεμονίδης, Χ., Χατζηλιαμή, Μ., 2002). Τα αποτελέσματα των ερευνών αυτών μας οδήγησαν να σκιαγραφήσουμε και να προσδιορίσουμε τις βασικές αρχές μιας νέας πρότασης διδασκαλίας για τις αριθμητικές έννοιες. Με βάση τις αρχές αυτές έγινε η συγγραφή καινούργιων βιβλίων και εκπαιδευτικού υλικού που διδάσκονται πειραματικά στις δύο πρώτες τάξεις Δημοτικών Σχολείων. Οι θέσεις και οι προτάσεις που προτείνουμε παρακάτω εκτός από την επιστημονική και θεωρητική τους επεξεργασία είναι δοκιμασμένες πειραματικά μέσα στην πράξη των ελληνικών σχολείων. ΙΙ. ΑΡΙΘΜΟΙ Η εισαγωγή των αριθμών Από τη δεκαετία του ’80 μέχρι και σήμερα η εισαγωγή των αριθμών και των πράξεων γίνεται με βάση τη θεωρία των συνόλων και των προαριθμητικών εννοιών. Θεωρείται δηλαδή ότι πριν από την εισαγωγή των αριθμών πρέπει να προηγηθεί ένα στάδιο όπου θα διδαχτούν προαριθμητικές έννοιες όπως είναι οι αντιστοιχήσεις, διατάξεις, σειροθετήσεις κτλ. Θεωρείται ότι οι έννοιες αυτές, που αναφέρονται σε λογικές διεργασίες, θα προετοιμάσουν τη λογική συγκρότηση των παιδιών για τη μάθηση των αριθμών. Εμείς θεωρούμε ότι αυτή η θεώρηση για τη διδασκαλία των αριθμητικών εννοιών είναι τεχνική και δεν εκφράζει με φυσικό τρόπο τον κόσμο και τις εμπειρίες του παιδιού. Τα παιδιά σήμερα ζούνε μέσα σε ένα περιβάλλον το οποίο μπορεί να χαρακτηριστεί ψηφιακό. Έτσι, όταν έρχονται στο σχολείο κατέχουν μια σειρά από 1 γνώσεις, δεξιότητες και έχουν έρθει σε επαφή και εξοικειωθεί με αρκετές καταστάσεις αριθμητικού χαρακτήρα. Για παράδειγμα, η πλειοψηφία των νηπίων μπορούν να απαγγέλλουν την αριθμητική ακολουθία μέχρι αριθμούς κατά πολύ μεγαλύτερους από αυτούς που προβλέπει το αναλυτικό πρόγραμμα. Μπορούν επίσης να καταμετρούν αντικείμενα, να δείχνουν δάκτυλα, να αναγνωρίζουν ψηφία, να αντιμετωπίζουν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και μοιρασιάς με αντικείμενα. Όλες αυτές οι εμπειρίες μπορούν να αποτελέσουν τη βάση για να εισαχθούν οι αριθμητικές έννοιες. Με σκοπό, λοιπόν, να κατασκευάσουν οι μαθητές τη σημασία των αριθμών τούς προτείνουμε δραστηριότητες και καταστάσεις από την καθημερινή ζωή, οι οποίες δίνουν νόημα και επιτρέπουν τη συνειδητοποίηση της αναγκαιότητας και της σημασίας των αριθμών. Τέτοιες δραστηριότητες μπορεί να είναι: - η καταμέτρηση των αντικειμένων μιας συλλογής (Απάντηση στην ερώτηση πόσα είναι;) - η σύγκριση της ποσότητας σε δύο ή περισσότερες συλλογές (Ποια είναι περισσότερα; Ποια είναι λιγότερα;) - Οι υπολογισμοί ή η επικοινωνία ποσοτήτων αντικειμένων χωρίς τα ίδια τα αντικείμενα. κ.α. Εικόνα 1: Δραστηριότητες μέτρησης αντικειμένων Στη διδασκαλία των αριθμητικών εννοιών παίζει μεγάλο ρόλο ο τρόπος με τον οποίο αναπαριστάνονται οι αριθμητικές ποσότητες. Οι ποσότητες μπορεί να παρουσιάζονται με πραγματικά αντικείμενα, με εικόνες και με σύμβολα, περισσότερο ή λιγότερο αφηρημένα. Εντελώς αφηρημένα σύμβολα, τα οποία δεν έχουν καμία ομοιότητα με τα αντικείμενα που αναπαριστούν, είναι τα ψηφία των αριθμών και οι λέξεις-αριθμοί. Τα πραγματικά αντικείμενα, οι εικόνες και τα σύμβολα, όπως το ζάρι επιτρέπουν την καταμέτρηση, ενώ τα αφηρημένα σύμβολα, όπως τα ψηφία και οι 2 αριθμοί-λέξεις, δεν επιτρέπουν την καταμέτρηση. Οι διάφορες αυτές αναπαραστάσεις παρουσιάζουν κάθε φορά διαφορετική δυσκολία στους μαθητές ανάλογα με το πόσο αφηρημένες είναι, και ανάλογα με το αν δίνουν τη δυνατότητα καταμέτρησης ή όχι. Ο δάσκαλος θα πρέπει να γνωρίζει και να χειρίζεται τις διαφορετικές αυτές αναπαραστάσεις σύμφωνα με το βαθμό αφαίρεσης τους, και να τις προτείνει ανάλογα με το επίπεδο των μαθητών του. Εικόνα 2: Διάφορες αναπαραστάσεις της ίδιας αριθμητικής ποσότητας Αθροιστική ανάλυση των αριθμών και εκπαιδευτικό υλικό Εκτός από την πληθική και διατακτική φύση των αριθμών, μια άλλη σημαντική ιδιότητα τους είναι η δυνατότητα προσθετικής ανάλυσης και σύνθεσής τους σε άλλους αριθμούς. Στα πλαίσια της διδασκαλίας που προτείνουμε, κατά την αρχική φάση της μάθησης των αριθμών δίνουμε μεγάλη έμφαση στην ανάλυση των αριθμών σε άθροισμα. Παρουσιάζονται, δηλαδή, οι αριθμοί ως άθροισμα δύο ή περισσοτέρων αριθμών. Πολύ σημαντικά αθροίσματα είναι αυτά τα οποία αναλύονται με βάση το 5 και το 10. Το ότι οι υπολογισμοί με βάση το 10 είναι σημαντικοί δεν χωράει καμία συζήτηση. Το καταμαρτυρεί το ότι το δικό μας σύστημα αρίθμησης είναι δεκαδικό. Επίσης, τα δάκτυλα του χεριού είναι 10. Έτσι λοιπόν, όταν για παράδειγμα, συντελείται η μάθηση του αριθμού εννιά, μια από τις βασικές ιδιότητες του είναι ότι είναι κατά ένα λιγότερο από το δέκα ή ότι εννιά και ένα κάνει δέκα. Έτσι, τα συμπληρώματα του 10 (1+9, 2+8, 3+7, …) είναι στρατηγικά αθροίσματα και πολύ χρήσιμα στους υπολογισμούς. Στους διψήφιους αριθμούς η δομή του δεκαδικού συστήματος αλλά και η γλωσσική δομή των αριθμών ευνοούν μια ανάλυση των αριθμών με βάση το 10 (δέκα-τρία, είκοσι-τέσσερα, κτλ). Εκτός από το 10, στους μικρούς αριθμούς σημαντικός αριθμός είναι και το πέντε. Πέντε είναι τα δάκτυλα του ενός χεριού, έτσι για παράδειγμα το έξι εύκολα μπορούμε να το θεωρήσουμε ως πέντε και ένα. Δείχνουμε, λοιπόν, τους αριθμούς μεταξύ του πέντε και του δέκα πώς αναλύονται με βάση το πέντε (6=5+1, 7=5+2, …) Άλλα αθροίσματα τα οποία μαθαίνουν και χειρίζονται εύκολα οι μαθητές είναι τα διπλά αθροίσματα. Διπλά ή όμοια αθροίσματα είναι τα αθροίσματα της μορφής ν+ν, όπως 1+1, 2+2, 3+3, …. Τα αθροίσματα αυτά, όπως δείχνουν οι έρευνες στην ψυχολογία, είναι από τα πρώτα που αποθηκεύονται στη μνήμη μακράς διάρκειας. Οι μαθητές, λοιπόν, είναι από τα πρώτα αθροίσματα που ξέρουν απέξω. 3 Σύμφωνα με τα παραπάνω, επειδή παίζει σημαντικό ρόλο η ανάλυση των αριθμών με βάση το πέντε και το δέκα, καλό είναι το εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιείται σε μια αρχική μάθηση να έχει αυτή τη δομή. Για παράδειγμα, τα ξυλάκια που χρησιμοποιούνται συνήθως δεν έχουν καμία δομή, οι αριθμοί δεν προσδιορίζονται με βάση το πέντε ή το δέκα και δεν υπονοείται καμία αθροιστική ανάλυση. Το παραδοσιακό μονόχρωμο αριθμητήριο (αυτό δηλαδή, στο οποίο οι χάντρες μιας σειράς έχουν το ίδιο χρώμα) είναι ένα υλικό το οποίο δείχνει τους αριθμούς με βάση μόνο τη δεκάδα. Το αριθμητήριο το οποίο έχει δομή με βάση τη δεκάδα αλλά και την πεντάδα είναι το δίχρωμο αριθμητήριο. Στο δίχρωμο αριθμητήριο οι δέκα χάντρες μιας σειράς φαίνονται σαν δύο πεντάδες γιατί έχουν διαφορετικό χρώμα (βλέπε εικόνα 3). Ένα άλλο υλικό το οποίο είναι οργανωμένο με βάση την πεντάδα αλλά και την δεκάδα είναι οι βάσεις. Οι βάσεις είναι υποδοχές με πέντε θέσεις. Το υλικό μπορεί να είναι ξύλο, πλαστικό ή κάτι άλλο. Στις πέντε κενές υποδοχές που έχει η κάθε βάση μπορεί να τοποθετούνται και να εφαρμόζουν μικρά αντικείμενα τα οποία μπορεί να μετακινούν, να βάζουν και να βγάζουν οι μαθητές. Εικόνα 3: Δίχρωμο αριθμητήριο και βάσεις Εισαγωγή του συστήματος αρίθμησης Στη σημερινή διδασκαλία οι ιδιότητες των διψήφιων αριθμών, δηλαδή, ο διαχωρισμός των δεκάδων και των μονάδων και οι μεταξύ τους σχέση, εισάγονται με ένα φορμαλιστικό τρόπο και χωρίς να βασίζονται στις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών. Η εισαγωγή αυτή στις ιδιότητες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης μπορεί να γίνει ομαλά και σταδιακά και να βασίζεται σε οικίες για τους μαθητές καταστάσεις. Τέτοιες καταστάσεις, τις οποίες μπορούν εύκολα οι μαθητές να χειριστούν, και οι οποίες θα τους προετοιμάσουν για το σύστημα αρίθμησης και τις ιδιότητές του, μπορεί να είναι οι ακόλουθες: 4 - Η γλωσσική δομή των αριθμών-λέξεων στην ελληνική γλώσσα προσφέρεται για την ανάλυση των αριθμών σε μονάδες και δεκάδες, π.χ. το είκοσι οκτώ μπορούμε να το δούμε ως είκοσι και οκτώ. Μπορούμε επίσης, να εξασκήσουμε τους μαθητές στο να βρίσκουν αθροίσματα και διαφορές της μορφής, 10+ν, 20+ν, 30+ν, … και 1ν-ν, 2ν-ν, 3ν-ν, …, π.χ. 32-2=30, 48-8=40. Να βρίσκουν, δηλαδή, τους αριθμούς που προκύπτουν όταν προσθέτονται και αφαιρούνται από διψήφιους αριθμούς οι μονάδες. - Μια συνήθης συμπεριφορά των μικρών μαθητών είναι να εκτιμούν την αξία των νομισμάτων και γενικά των αντικειμένων ανάλογα με το πλήθος τους και όχι με την συμβατική αξία που έχουν κάποια από αυτά. Έτσι, ένας μικρός μαθητής θεωρεί περισσότερα και προτιμά να πάρει μια φούχτα νομίσματα του ενός ευρώ παρά μερικά νομίσματα των είκοσι ευρώ τα οποία είναι λιγότερα σε αριθμό αλλά έχουν πολύ μεγαλύτερη αξία. Μπορούμε, λοιπόν, να προτείνουμε δραστηριότητες και παιχνίδια τα οποία ασκούν τους μαθητές στις ανταλλαγές και τη συμβατική αξία των πραγμάτων. Για παράδειγμα, δέκα πράσινες μάρκες είναι ισοδύναμες με μία κόκκινη μάρκα. Η ικανότητα αυτή είναι θεμελιακή για την κατανόηση της λειτουργίας του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. Στα πλαίσια των δραστηριοτήτων των ανταλλαγών μπορούμε να εισάγουμε τον κάθετο άβακα. Ο κάθετος άβακας μπορεί να αποτελέσει ένα χρήσιμο εκπαιδευτικό υλικό στο οποίο φαίνονται ο αριθμός των μονάδων και των δεκάδων και η σχετική θέση μεταξύ τους. Στον άβακα, σε αντίθεση με το αριθμητήριο και τις βάσεις, οι δεκάδες δεν φαίνονται με βάση τη μονάδα αλλά με βάση τη δεκάδα. Είναι απαραίτητη η εξοικείωση των μαθητών με αυτήν την παρουσίαση των αριθμών με βάση τη δεκάδα. Η μετάβαση αυτή όμως πρέπει να γίνει ομαλά και σταδιακά. Ο άβακας είναι ένα μέσο το οποίο θα βοηθήσει στη συνέχεια στην υλική αναπαράσταση των πράξεων διψήφιων ή πολυψήφιων αριθμών. Εικόνα 4: Ο κάθετος Άβακας Στη δευτέρα τάξη του Δημοτικού Σχολείου η διδασκαλία των αριθμών περιλαμβάνει τους διψήφιους και τους τριψήφιους αριθμούς και μπορεί να φτάσει μέχρι το 1000. 5 Πιο συγκεκριμένα διδάσκεται, σύμφωνα με τη θέση, η αξία των αριθμών και των ψηφίων που τους αποτελούν. Ένα εμπειρικό υλικό για να δείξουμε τους αριθμούς είναι το χρήμα. Το χρήμα είναι οικείο διότι χρησιμοποιείται από τα παιδιά στην καθημερινή ζωή. Η αξία των νομισμάτων και οι ανταλλαγές μεταξύ τους είναι ένα καλό μέσο για να δείξουμε τη θεσιακή αξία των ψηφίων και την αθροιστική τους ανάλυση στις διάφορες μονάδες. Εκτός από το χρήμα άλλα εκπαιδευτικά υλικά, με τα οποία μπορεί να μοντελοποιηθεί και να αναλυθεί η αξία και οι σχέσεις των ψηφίων στους αριθμούς, είναι ο κάθετος άβακας, που είδαμε παραπάνω, οι κύβοι και το κοντέρ. Οι απλοί κύβοι αναπαριστούν τις μονάδες, η δεκάδα αναπαρίσταται από μια λουρίδα η οποία αποτελείται από δέκα κύβους που μπορούν να συνδέονται και να αποσυνδέονται μεταξύ τους. Η εκατοντάδα αναπαρίσταται από μια τετράγωνη πλάκα που αποτελείται από δέκα λουρίδες ή εκατό κύβους και η χιλιάδα δείχνεται με ένα κύβο ο οποίος αποτελείται από δέκα πλάκες, 100 λουρίδες και 1000 κύβους, κ.ό.κ Εικόνα 5: Εμπειρική αναπαράσταση των αριθμών με κύβους και το κοντέρ Το κοντέρ λειτουργεί με τη λογική του κοντέρ του αυτοκινήτου και μπορεί να κατασκευαστεί από τους ίδιους τους μαθητές. Σε κύκλους που μπορούν να περιστρέφονται είναι γραμμένα τα ψηφία από το 0 μέχρι το 9. Στα τετραγωνάκια φαίνεται κάθε φορά ένα ψηφίο. ΙΙΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ Οι νοεροί υπολογισμοί Το σημερινό αναλυτικό πρόγραμμα δεν δίνει έμφαση και δεν κάνει καμία ιδιαίτερη αναφορά στους νοερούς ή νοητικούς υπολογισμούς των πράξεων. Αντίθετα, στη δική 6 μας πρόταση διδασκαλίας οι νοεροί υπολογισμοί κατέχουν κεντρικό ρόλο και θεωρούνται πολύ σημαντικοί. Για παράδειγμα, αν σε μια τάξη ζητήσουμε από τους μαθητές να υπολογίσουν πόσο κάνει 28 και 13 αυτοί θα χρησιμοποιήσουν διαφορετικές στρατηγικές για να υπολογίσουν το αποτέλεσμα. Κάποιοι θα σκεφτούν όπως στην γραπτή πρόσθεση 8 και 3 κάνει 11, ένα το κρατούμενο, 2 και 1 κάνει 3, 3 και 1 ίσον 4, άρα 41. Με παρόμοιο τρόπο κάποιοι άλλοι θα σκεφτούν 20 και 10 κάνει 30, 8 και 3 κάνει 11, 30 και 11 κάνει 41. Μερικοί θα πουν 28 και 2 κάνει 30, 30 και 11, ίσον 41. κ.ό.κ. Παρατηρούμε. λοιπόν, ότι οι μαθητές όταν υπολογίζουν νοερά - σε αντίθεση με τις γραπτές πράξεις - μπορεί να σκεφτούν με διαφορετικούς τρόπους και να χρησιμοποιήσουν διαφορετικές μεθόδους. Οι νοεροί υπολογισμοί θεωρούνται ότι είναι σημαντικοί γιατί, κατά πρώτον είναι χρήσιμοι και εφαρμόζονται πολύ στην καθημερινή ζωή. Οι περισσότεροι υπολογισμοί που κάνουμε στην καθημερινή ζωή γίνονται νοερά και χρησιμοποιούνται μέθοδοι προσέγγισης στις περιπτώσεις όπου οι αριθμοί είναι σύνθετοι και μεγάλοι. Κατά δεύτερο λόγο, η εξάσκηση με νοερούς υπολογισμούς βοηθάει γνωστικά και διδακτικά τους μαθητές. Η ενασχόληση με νοερούς υπολογισμούς ασκεί την ικανότητα των παιδιών να σκέφτονται σε ένα αφηρημένο επίπεδο. Ασκούνται, επίσης, στον αναστοχασμό ή τη μεταγνωστική ικανότητα όταν γίνεται συζήτηση για τον τρόπο που υπολόγισαν και χρειάζεται να ανατρέξουν και να σκεφτούν ξανά την μέθοδο με την οποία υπολόγισαν. Οι υπολογισμοί με το μυαλό δίνουν τη δυνατότητα να τις προσαρμόζει και να τις εφαρμόζει καθένας ανάλογα με το προσωπικό του στυλ και τις γνωστικές του ικανότητες. Τέλος, οι νοεροί τρόποι υπολογισμού, επειδή χρησιμοποιούνται πολύ και είναι οικείοι στους μαθητές, μπορεί να αποτελέσουν τη βάση για να προσεγγίσουμε άλλους υπολογισμούς πιο σύνθετους και πιο φορμαλιστικούς, όπως είναι οι γραπτοί αλγόριθμοι των πράξεων. Οι πρώτοι υπολογισμοί και οι στρατηγικές των μαθητών Όπως είναι γνωστό, αρχικά οι μικροί μαθητές για να υπολογίσουν απλές πράξεις έχουν ανάγκη από την αισθητοποίηση των αριθμών των πράξεων. Ποσοτικοποιούν ή υλοποιούν, δηλαδή, τους αριθμούς των πράξεων, με τη βοήθεια των αντικειμένων ή των δακτύλων τους και υπολογίζουν με αυτά. Τα τελευταία χρόνια έχουν πραγματοποιηθεί πολλές έρευνες, οι οποίες δείχνουν ότι τα παιδιά διαθέτουν μια ποικιλία στρατηγικών ή διαδικασιών για τη λύση απλών προσθέσεων και αφαιρέσεων (Carpenter, T.P., Moser, J. M., 1982, Steffe, L.P., Cobb, P., 1988, K. Fuson, K.C., 1992). Οι διάφορες αυτές στρατηγικές των πράξεων της πρόσθεσης και αφαίρεσης μπορεί να διαχωριστούν σε τρεις μεγάλες κατηγορίες: Διαδικασίες με υλικά. Όπως αναφέραμε και παραπάνω αρχικά τα παιδιά χρησιμοποιούν αντικείμενα ή τα δάκτυλα τους για να κατασκευάσουν ένα άμεσο μοντέλο της πράξης της πρόσθεσης και της αφαίρεσης που προτείνεται σε μια κατάσταση. Για παράδειγμα, αν οι μικροί μαθητές έχουν να υπολογίσουν ένα πρόβλημα το οποίο καταλήγει στην πράξη 3+2, θα μετρήσουν τρία δάκτυλα ή αντικείμενα, θα μετρήσουν άλλα δύο, θα τα βάλουν όλα μαζί και θα τα μετρήσουν πάλι όλα. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται απαρίθμηση όλων. Διαδικασίες αρίθμησης. Στην κατηγορία των διαδικασιών αυτών οι μαθητές χρησιμοποιούν την ακολουθία των αριθμών (αριθμογραμμή). Κινούνται στην αριθμογραμμή, είτε με την υποστήριξη αντικειμένων ή δακτύλων, είτε νοερά χωρίς 7 υλική υποστήριξη. Για παράδειγμα, εάν έχουν να εκτελέσουν τα παιδιά την πρόσθεση 2+4, κάποια θα ξεκινήσουν να αριθμούν ένα-ένα ανεβαίνοντας. Μπορεί να ξεκινήσουν από το μεγαλύτερο αριθμό, (4), 5, 6, (Αρίθμηση από το μεγαλύτερο) ή από το μικρότερο, (2), 3, 4, 5, 6, (Αρίθμηση από το μικρότερο). Στην αρίθμηση αυτή μπορεί να χρησιμοποιήσουν τα δάκτυλά τους, για να μετρήσουν τα βήματα που κάνουν (Αρίθμηση με δάκτυλα), ή να μην χρησιμοποιήσουν τα δάκτυλά τους και να μετρήσουν τα βήματα νοερά (Αρίθμηση χωρίς δάκτυλα). Αντίστοιχες διαδικασίες μπορεί να έχουμε και στην αφαίρεση. Διαδικασίες ανάκλησης ή νοερές διαδικασίες. Στην κατηγορία αυτή έχουμε τις διαδικασίες κατά τις οποίες γίνεται ανάκληση πράξεων από τη μνήμη. Οι διαδικασίες αυτές διαχωρίζονται στις δύο παρακάτω υποκατηγορίες: Διαδικασίες άμεσης ανάκλησης, εδώ το παιδί γνωρίζει το αποτέλεσμα της πράξης απέξω και το ανακαλεί αυτόματα από τη μνήμη μακράς διάρκειας. Για παράδειγμα, την πράξη 3+3=6 κάποιοι μαθητές στην πρώτη τάξη την γνωρίζουν απέξω και όταν ερωτηθούν λένε αμέσως το αποτέλεσμα. Διαδικασίες ανάκλησης πράξεων ή υπολογισμού, σε αυτές το παιδί, για να βρει το αποτέλεσμα μιας πράξης, ανακαλεί από τη μνήμη μακράς διάρκειας γνωστές πράξεις, τις επεξεργάζεται και υπολογίζει στη μνήμη βραχείας διάρκειας για να κατασκευάσει την απάντηση. Για παράδειγμα, στην πράξη 7+4 κάποια παιδιά μπορεί να υπολογίσουν ως εξής: 7+3=10, 10+1=11. Ο παραπάνω διαχωρισμός των τριών επιπέδων δεν γίνεται, βεβαίως, κατά απόλυτο τρόπο. Είναι δυνατόν να υπάρχουν και άλλες διαδικασίες οι οποίες συνδυάζουν συμπεριφορές από δύο διαφορετικά επίπεδα. για παράδειγμα, διαδικασίες υπολογισμού με δάκτυλα, κατά τις οποίες το παιδί υπολογίζει το αποτέλεσμα (3ο επίπεδο), αλλά το επιβεβαιώνει χρησιμοποιώντας τα δάκτυλα του (1ο επίπεδο). Η απαρίθμηση και οι νοεροί υπολογισμοί. Πορεία προς τους νοερούς υπολογισμούς Όπως είναι γνωστό τα περισσότερα παιδιά αρχικά χρησιμοποιούν τις διαδικασίες της μέτρησης όπως η απαρίθμηση όλων με αντικείμενα, ή οι διαδικασίες αρίθμησης. Ένα σημαντικό ερώτημα το οποίο τίθεται για τη διδασκαλία είναι το εξής: Με ποιον τρόπο μπορεί να μεθοδευτεί η διδασκαλία ώστε να οδηγηθούν οι μαθητές από τις διαδικασίες μέτρησης προς τους νοερούς υπολογισμούς ή τις διαδικασίες άμεσης ανάκλησης; Κάνοντας μια ιστορική αναδρομή στα προγράμματα διδασκαλίας, παρατηρούμε ότι κατά την περίοδο της παραδοσιακής διδασκαλίας, προτού από τη δεκαετία του 1980, στόχος της διδασκαλίας των απλών πράξεων ήταν η άμεση και μηχανική απομνημόνευση με τη συνεχή επανάληψη. Στη συνέχεια εγκαταλείφθηκε αυτή η λογική. Σήμερα στη διδασκαλία δεν υπάρχει συγκεκριμένη μεθόδευση με στόχο να οδηγηθούν οι μαθητές σε μια αποτελεσματική μάθηση υπολογισμού των πράξεων. Στο βιβλίο του μαθητή της Α’ τάξης παρατηρούμε ότι κυριαρχούν και υπάρχουν σε υπερβολικό βαθμό οι διαδικασίες αρίθμησης ένα προς ένα για την εύρεση των απλών αθροισμάτων και διαφορών. Μια έρευνα στο τέλος της Α’ τάξης, σε μαθητές από την περιοχή της Φλώρινας και της Θεσσαλονίκης (Λεμονίδης, Χ., 1998), διαπιστώνει ότι ένα μεγάλο ποσοστό 8 μαθητών χρησιμοποιεί συστηματικά τις διαδικασίες αρίθμησης. Αυτοί οι μαθητές χρησιμοποιούν τις διαδικασίες αρίθμησης ένα προς ένα ακόμη και σε αθροίσματα όπως το 10+4, το 10+6, το 6+5, το 8-3 αφού έχει δοθεί αμέσως προηγούμενα το 3+5 και το 10-3 αφού έχει δοθεί αμέσως προηγούμενα το 7+3. Για παράδειγμα, οι μαθητές που χρησιμοποιούν τη διαδικασία της ευθείας αρίθμησης από (ή επαρίθμησης) στο άθροισμα 6+5 ξεκινούν από το 6 και ανεβαίνουν 5 βήματα αριθμώντας ένα-ένα με τα δάκτυλα ή νοερά τους αριθμούς 7, 8, 9, 10, 11 και βρίσκουν τελικά το άθροισμα 11. Στη διαδικασία αυτή, το ποιοι είναι οι αριθμοί και οι σχέσεις μεταξύ των αριθμών δεν έχει καμιά σημασία. Η διαδικασία ξεκινά από το μεγαλύτερο αριθμό, οποιοσδήποτε και αν είναι αυτός, χωρίς να εκτιμάτε η σχέση του με τον άλλο αριθμό. Στο παραπάνω παράδειγμα 6+5, το 6 θα μπορούσε να θεωρηθεί ως 5+1 και να εφαρμοστεί η διαδικασία ¨της υπέρβασης της δεκάδας¨ 6+5= 5+1+5= 10+1. Στον υπολογισμό των αθροισμάτων 10+4 και 10+6 με τις αριθμητικές διαδικασίες φαίνεται ακόμη πιο έντονα ότι οι μαθητές δεν ελέγχουν τους αριθμούς προτού εφαρμόσουν τη μέθοδο γιατί το αποτέλεσμα της πράξης μας το δίνει η ίδια η γλώσσα: δεκατέσσερα, δεκαέξι. Αυτές οι διαδικασίες μέτρησης ένα προς ένα δεν δίνουν κανένα προνομιακό ρόλο στον αριθμό 10, ο οποίος είναι βασικός και βοηθάει σε μια καλή αντίληψη των ποσοτήτων. Οι διαδικασίες της αρίθμησης, όταν βεβαίως εκτελούνται σωστά, είναι συστηματικές και εφαρμόσιμες σε όλους τους μικρούς αριθμούς και επιτρέπουν στο μαθητή να βρίσκει κάθε φορά το σωστό αποτέλεσμα. Στερούν όμως από το μαθητή τη δυνατότητα να βλέπει τους αριθμούς σαν ποσότητες (ποσοτικοποίηση των αριθμών) να τους συγκρίνει μεταξύ τους, να σκέπτεται πάνω σ’ αυτούς και να έχει τα κριτήρια για να ελέγχει το αποτέλεσμα που βρίσκει. Δηλαδή, οι διαδικασίες αυτές επιτρέπουν να βρίσκεται το αναμενόμενο αποτέλεσμα χωρίς να εκτιμούνται, να αναλύονται και να συγκρίνονται οι αριθμοί οι οποίοι χρησιμοποιούνται. Αυτό δεν επηρεάζει θετικά τη μάθηση των αριθμητικών εννοιών γιατί σε μια πρώτη φάση και οι πράξεις συμβάλουν στην κατανόηση και την εμπέδωση των αριθμών. Θα πρέπει, λοιπόν, να είμαστε επιφυλακτικοί σε μια συστηματική και υπέρμετρη διδασκαλία των διαδικασιών της αρίθμησης, όπως γίνεται σήμερα. Τα παιδιά όταν χρησιμοποιούν συστηματικά τις διαδικασίες μέτρησης ένα προς ένα και εγκλωβίζονται μόνο σ’ αυτές έχουν σοβαρές δυσκολίες για μεγάλο χρονικό διάστημα στους υπολογισμούς. Η μάθηση της αρίθμησης, όπως θα δούμε στη συνέχεια, είναι αναγκαία και αναπόφευκτη αλλά δεν είναι ικανή από μόνη της να οδηγήσει γρήγορα και αποτελεσματικά τους μαθητές στους υπολογισμούς. Εμείς προτείνουμε μια πορεία για τη διδασκαλία των πράξεων η οποία βελτιώνει πάρα πολύ τις επιδόσεις των μαθητών και ακολουθεί την παρακάτω εξέλιξη. Όπως είδαμε παραπάνω κατά την εισαγωγή των αριθμών δουλεύουμε αρκετά την αθροιστική ανάλυση και σύνθεση των αριθμών. Δίνουμε ιδιαίτερη βαρύτητα στα συμπληρώματα του 10. Οδηγούμε τους μαθητές να χρησιμοποιούν τα αποτελέσματα που τους είναι γνωστά και αποθηκεύονται πρόωρα στη μνήμη τους για να υπολογίζουν άλλες πράξεις. Στην πρόσθεση θα χρησιμοποιήσουμε σαν βάση τα αθροίσματα των ομοίων όρων (ν+ν=2ν: 1+1=2, 2+2=4, 3+3=6, ...), τη δεκάδα και τα αθροίσματά της 10+ν, και την πεντάδα και τα αθροίσματά της 5+ν, για τους αριθμούς τους μικρότερους από το 10. Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών είναι ευκαιρία να γίνεται συζήτηση και να εκθέτουν οι μαθητές τους τρόπους με τους οποίους υπολόγισαν την 9 πράξη. Όταν ο μαθητής σκέφτεται και ανακοινώνει τον τρόπο με τον οποίο υπολόγισε λειτουργεί μεταγνωστικά και αυτό είναι πολύ ωφέλιμο. Οι μαθητές, λοιπόν, ανακοινώνουν τρόπους υπολογισμού, συζητούν διορθώνουν λάθη συγκρίνουν τις διάφορες μεθόδους. Κάθε φορά ανάλογα με το άθροισμα υπάρχουν τρόποι υπολογισμού οι οποίοι προσφέρονται καλύτερα για τη συγκεκριμένη περίπτωση. Για παράδειγμα, το άθροισμα 9+4 είναι κατάλληλο για να εφαρμοστεί ¨η υπέρβαση της δεκάδας¨ (9+1=10, 10+3=13), το άθροισμα 4+3 είναι κατάλληλο για να εφαρμοστεί η μέθοδος ¨των ομοίων¨ (4+3=3+1+3=6+1 ή 4+4=8-1=7), κτλ. Θα πρέπει όμως να σημειώσουμε ότι οι υπολογισμοί της πρόσθεσης και της αφαίρεσης με τον τρόπο “της υπέρβασης της δεκάδας” είναι σημαντικοί και θα πρέπει η διδασκαλία να δίνει ιδιαίτερη προσοχή. Εικόνα 6. Υπολογισμός με υπέρβαση της δεκάδας ΑΝΑΦΟΡΕΣ Carpenter, T.P. - Moser, J.M. (1982). The development of addition and substraction problem-solving skills. In Carpenter, T.P. - Moser, J.M. - Romberg, T.P. (Ed.). Addition and Sustraction. A cognitive perspective. Hillsdale, Erlbaum. Fuson, K. C.(1992). Research on whole number addition and subtraction. In D. Grouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 243275). New York: Macmillan. Λεμονίδης, Χ., (1994). Περίπατος στη Μάθηση της Στοιχειώδους Αριθμητικής. Εκδόσεις Αδελφών Κυριακίδη, Θεσ/νίκη, σελ. 240. Λεμονίδης, Χ., (1998). Διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Περιοδικό, Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών, Τεύχος 3. Περιοδική έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. σσ. 87-122. Λεμονίδης, Χ., (2001). Οι αρχικές αριθμητικές ικανότητες των παιδιών όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο. Περιοδικό, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ’. Τεύχος 55 σσ. 5-21. 10 Λεμονίδης, Χ., Χατζηλιαμή Μ. (2002). Έρευνα στις γνώσεις των νηπίων σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες. Στο Ε. Κούρτη. Η έρευνα στην προσχολική εκπαίδευση. Τόμος Β΄. 153-167. Αθήνα: Τυπωθήτω- Γιώργος Δάρδανος. Λεμονίδης, Χ., (2002). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας στα Μαθηματικά για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Themes in Education. (υπό δημοσίευση) Steffe, L.P., Cobb, P., (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag. 11