15.Обртна тела

VALJAK
Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
izvodnice normalne na ravan tih krugova.
Osa valjka je prava koja prolazi kroz centre baza.
Naravno kao i do sada oznake su:
-
P je površina valjka
V je zapremina valjka
B je površina baze
M je površina omotača
H je visina valjka
r je poluprečnik osnove ( baze ), onda je 2r prečnik
O2
O1
osa valjka
Početne formule za površinu i zapreminu valjka iste su kao i formule za P i V prizme:
P = 2B + M
i
V = B⋅H
www.matematiranje.com
1
Pre nego li sklopimo formule za P i V pogledajmo mrežu valjka:
B = r 2π
M = 2rπ H
H
2rπ
B = r 2π
Baze su očigledno krugovi čija je površina :
B = r 2π
.
Omotač je pravougaonik čije su stranice visina H i obim kruga O = 2rπ , pa je površina omotača jednaka
M = 2rπ H
P = 2B + M
V = B⋅H
P = 2r 2π + 2rπ H
P = 2rπ (r + H )
V = r 2π H
www.matematiranje.com
2
Pogledajmo sada kako izgleda osni presek valjka:
D
H
2r
osni presek
Ovde primenjujemo Pitagorinu teoremu:
Površina osnog preseka je
D 2 = (2r ) 2 + H 2
Pop = 2rH
Ako u tekstu zadatka kaže da je valjak RAVNOSTRAN, to znači da mu je osni presek kvadrat i da je
Napomenimo još da valjak može nastati obrtanjem kvadrata ili pravougaonika
stranice.
b
H=b
a
r=a
osa rotacije(stranica)
H = 2r
oko jedne stranice ili simetrale
b
H=b
a
r=a/2
osa rotacije (simetrala stranice)
www.matematiranje.com
3
1) Izračunati zapreminu pravog valjka ako je data površina P = 324πcm 3 i odnos
visine prema poluprečniku H : r = 7 : 2 .
P = 324πcm3
H :r = 7:2
________________
V =?
Kako imamo datu razmeru, upotrebićemo “trik sa k”
⎧H = 7k
H :r = 7:2⇒ ⎨
⎩r = 2 k
Obrazac za površinu je:
P = 2rπ (r + H )
H = 7 ⋅ 3 = 21cm
324 π = 2 ⋅ 2k ⋅ π (2k + 7 k )
324 = 4k ⋅ 9k
r = 2 ⋅ 3 = 6cm
V = r 2πH
324 = 36k 2
V = 6 2 ⋅ π ⋅ 21
k2 = 9
V = 756πcm 3
k =3
2) Površina pravog valjka je 84 πcm 2 , a visina mu je za 5cm veća od prečnika
osnove. Izračunati zapreminu valjka.
P = 84πcm 2
H = 2r + 5
_______________
V =?
P = 2 rπ ( r + H )
84π = 2rπ (r + 2r + 5)
84 = 2r (3r + 5)
84 = 6r 2 + 10r
6r 2 + 10r − 84 = 0
3r 2 + 5r − 42
− 5 ± 23
r1, 2 =
6
− 5 + 23 18
r1 =
=
=3
6
6
− 5 − 23
r2 =
→ Nemoguće
6
Dakle r = 3cm
H = 2r + 5
V = r 2πH
H = 2⋅3 + 5
V = 32 π ⋅11
H = 11cm
V = 99πcm
www.matematiranje.com
3
4
3) Od drvenog valjka poluprečnika osnove r = 9cm , visine H = 12cm istesana je
najveća moguća pravilna trostrana prizma. Kolika je zapremina odpadaka?
→ Najveća prizma je ona koja je upisana u valjak
→ Visine prizme i valjka su jednake
→ Zapreminu odpadaka ćemo dobiti kad od zapremine
valjka oduzmemo zapreminu prizme!
r = 9cm
H = 12cm
VOD = Vv − VP
Nadjimo najpre stranicu prizme.
VOD = Vv − VP
a 3
= ro
3
a2 3
VOD = r 2π H −
⋅H
4
a 3
=9
⎛
3
a2 3 ⎞
VOD = H ⎜⎜ r 2π −
⎟
a 3 = 27
4 ⎟⎠
⎝
2
27
⎛
a=
9
3
3 ⎞⎟
⎜
2
3
VOD = 12 ⎜ 9 π −
⎟
4
⎜
⎟
27 3
⎝
⎠
a=
⋅
3 3
⎛
243 3 ⎞
VOD = 12 ⎜⎜ 81π −
⎟
27 3
4 ⎟⎠
a=
⎝
3
⎛ 324π − 243 3 ⎞
a = 9 3cm
VOD = 12 ⎜⎜
⎟⎟
4
⎝
⎠
(
(
)
VOD = 3 ⋅ 81 4π − 3 3
(
)
)
VOD = 243 4π − 3 3 cm3
4) Izračunati površinu šupljeg valjka čija je visina H = 25cm , poluprečnik
spoljašnjeg omotača R = 15cm , a unutrašnjeg je r = 6cm
H = 25cm
R = 15cm
r = 6cm
___________
P=?
www.matematiranje.com
5
Razmišljamo:
→ Površina šupljeg valjka se sastoji iz omotača većeg valjka, omotača manjeg valjka i
dve baze koje čine kružni prsteni.
Dakle: P = M 1 + M 2 + 2 B
M 1 → Omotač većeg valjka
M 1 = 2 RπH = 2 ⋅15 ⋅ π ⋅ 25 = 750πcm 2
M 2 → Omotač manjeg valjka
M 2 = 2rπH = 2 ⋅ 6 ⋅ π ⋅ 25 = 300πcm 2
B = ( R 2 − r 2 ) π = (152 − 62 ) π = 189π cm 2
P = 750π + 300π + 2 ⋅189π
P = 1428π cm 2
5) Kvadrat stranice a rotira oko ose koja je od centra kvadrata udaljena za
a⎞
⎛
p⎜ p > ⎟ . Odrediti zapreminu obrtnog tela ako je osa paralelna stranici kvadrata i
2⎠
⎝
leži u njegovoj ravni.
Razmišljamo:
→ Na ovaj način smo ustvari dobili šuplji valjak.
a
→ Poluprečnik osnove većeg valjka je R = p +
2
a
→ Poluprečnik osnove manjeg valjka je r = p −
2
→ Visine oba valjka su iste ako i stranica kvadrata, tj. H = a
→ Zapreminu šupljeg valjka ćemo dobiti kad od zapremine većeg oduzmemo zapreminu
manjeg valjka!!!
⎡
a2
a2 ⎤
V = π H ⎢ p 2 + pa +
− p 2 + pa − ⎥
4
4 ⎦⎥
V = V1 − V2
⎣⎢
V = R 2πH − r 2πH
V = π H ⋅ 2 pa
V = πH R 2 − r 2
V = 2 paH π
(
)
2
2
⎡⎛
a⎞ ⎛
a⎞ ⎤
V = πH ⎢⎜ p + ⎟ − ⎜ p − ⎟ ⎥
2⎠ ⎝
2 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝
V = 2 pa ⋅ aπ
www.matematiranje.com
V = 2a 2 pπ
6
6) Osnova prizme je jednakokraki trapez osnovica 8cm i 2cm. U trapez je upisan
valjak. Izračunati razmeru zapremine valjka i zapremine prizme ako je njegova
visina jednaka kraku trapeza.
a = 8cm
b = 2cm
H =C
_________
VV : VP = ?
Ako pogledamo bazu vidimo da je trapez tangentni
četvorougao (može da se upiše krug) pa je:
a + b = 2c
8 + 2 = 2c
Primenom Pitagorine teoreme na trapez:
10 = 2c
c = 5cm ⇒ H = 5cm
⎛ a −b⎞
h = c −⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
2
⎛8−2⎞
h = 5 −⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
h 2 = 25 − 9
2
2
2
2
2
h 2 = 16
h = 4cm
Površina trapeza je:
a+b
8+2
P=
⋅h =
⋅4
2
2
P = 20cm 2
Površina kruga je:
P = r 2π gde je
h
r = = 2cm
2
P = 4πcm 2
VV : VP = BV H : BP H
= BV : BP
= 20 : 4π
= 5:π
VV : VP = 5 : π
www.matematiranje.com
7
7) Ravan prolazi kroz centar donje osnove kružnog valjka i nagnuta je prema ravni
osnove pod uglom α. Ta ravan seče gornju osnovu po tetivi b, kojoj odgovara
centralni ugao β. Izračunati zapreminu valjka.
Kod ovog zadatka slika je neophodna i sa nje ćemo uočiti zavisnost izmedju elemenata.
Pošto se zapremina valjka računa V = r 2πH , naš “posao” je da r i H izrazimo preko datih
elemenata α, β i b.
Proučimo najpre gornju bazu!!
Onda je:
b
β
sin = 2
2 r
b
r=
β
2sin
2
b
β
i tg = 2
2 x
b
x=
β
2tg
2
Dalje ćemo izvući polovinu osnog preseka (onu desnu, naravno)
→ odavde je
tgα =
H
H=
H
b
⇒ H = xtgα =
⋅ tgα
β
x
2tg
2
btgα
2tg
β
2
Konačno, zapremina je:
www.matematiranje.com
8
V = r 2π H
2
⎛
⎞
⎜ b ⎟
btgα
V =⎜
π⋅
⎟
β
β
⎜ 2sin ⎟
2tg
⎝
2⎠
2
2
b
btgα
π⋅
V=
β
β
4sin 2
2tg
2
2
3
b π tgα
V=
β β
8sin 2 tg
2 2
8) Zapremina kosog valjka kod koga izvodnica zaklapa ugao α = 60o sa ravni
osnove je V = 8π 3 . Odrediti poluprečnik osnove ako se zna da je osni presek
romb.
a=2r
V = 8π 3
a
_____________
r =?
a=2r
Izvucimo osni presek ‘’na stranu’’
a
Odavde je:
H
a
a
H = a sin 60o → I pošto je a = 2r onda je
sin 60o =
H = 2r ⋅
3
2
H =r 3
Upakujemo ovde dve dobijene jednakosti:
V = r 2π H
r2H = 8 3
8π 3 = r2 π H
r2 ⋅ r 3 = 8 3
r2H = 8 3
r3 = 8
r 3 = 23
r=2
www.matematiranje.com
9

Download Report