509 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Νόμος των ημιτόνων Με τον νόμο αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλευρές και τις γωνίες ενός τριγώνου όταν δεν είναι ορθογώνιο(μπορεί να είναι οποιοδήποτε τρίγωνο). Οι πλευρές κάθε τριγώνου είναι Α ανάλογες προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του. γ β α β γ Δηλαδή: = = . ημΑ ημΒ ημΓ Γ Β α • Με το νόμο των ημιτόνων, αν γνωρίζουμε μια πλευρά ενός τριγώνου, την απέναντι γωνία της και μια άλλη πλευρά ή γωνία του, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα πρωτεύοντα στοιχεία του ( πλευρές – γωνίες ). Νόμος των συνημιτόνων Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε με το νόμο των ημιτόνων δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου, αφού δεν γνωρίζουμε μια πλευρά και την απέναντι γωνία της . Σε κάθε τρίγωνο με πλευρές α, β και γ ισχύουν: • α2=β2 + γ2 – 2 β γ συνΑ β2=γ2 + α2 – 2 γ α συνΒ γ2=α2 + β2 – 2 α β συνΓ Με το νόμο των συνημιτόνων αν σ’ ένα τρίγωνο γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα πρωτεύοντα στοιχεία του. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να γράψετε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο του διπλανού σχήματος 510 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 1800 η άγνωστη γωνία του τριγώνου ισούται με 1800 − (800 + 300 ) = 1800 − 1100 = 700. Επομένως έχουμε: x y ω = = 0 0 ημ80 ημ30 ημ70 0 2. Να γράψετε το νόμο των ημιτόνων α) στο τρίγωνο ΑΒΔ = = β) στο τρίγωνο ΑΔΓ = = ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αρχικά από το τρίγωνο ΑΒΔ θα υπολογίσουμε την γωνία ∧ Β = 1800 − (700 + 300) = = 1800 − 1000 = 800 .Επομένως ο νόμος των ηΒΔ ΑΔ ΑΒ μιτόνων για το τρίγωνο αυτό γράφεται : = = 0 0 ημ30 ημ80 ημ70 0 ∧ β) Θα υπολογίσουμε από το τρίγωνο ΑΔΓ την γωνία ΑΔΓ η οποία ∧ είναι 1800 − 700) = 1100 , ως παραπληρωματική της ΑΔΒ καθώς και ∧ την γωνία Γ = 1800 − (1100 + 200) = 1800 − 1300 = 500 . Σχετικά με τον ΔΓ ΑΓ ΑΔ νόμο των ημιτόνων τώρα έχουμε : = = 0 0 ημ20 ημ110 ημ50 0 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει αημΒ = βημΑ . ∧ ∧ β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 60 0 , Γ = 100 0 , τότε ισχύει β γ = 0 ημ100 ημ20 0 γ) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 2βγσυνΑ = β 2 + γ 2 - α 2 ∧ ∧ .δ) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 70 0 , Γ = 80 0 , τότε ισχύει β2=γ2+α2–2γασυν80 0. ∧ ε) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Γ = 60 0 , τότε ισχύει γ 2= α 2 + β2– αβ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 511 α) Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι: α β = ή α.ημΒ = β.ημΑ ,άρα η α είναι σωστή (Σ). ημΑ ημΒ β) Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι: β γ β γ , άρα η β είναι λάθος (Λ). = ή = 0 ημΒ ημΓ ημ20 ημ100 0 γ) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι: α2=β2 + γ2 – 2βγ συνΑ ή 2βγσυνΑ= β2 + γ2-α2 , άρα η γ είναι σωστή (Σ). δ) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι: β2=γ2 + α2 – 2γασυνΒ ή β2=γ2 + α2 – 2γασυν300 ,γιατί ∧ ∧ ∧ Β = 180 0 − Α − Γ = 180 0 − 70 0 − 80 0 = 30 0 , άρα η δ είναι λάθος (Λ). ε) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι: 1 γ2=α2 + β2 – 2αβσυνΓ ή γ2=α2 + β2 – 2αβσυν600 = α 2 + β 2 − 2αβ. = 2 = α 2 + β2– αβ , άρα η ε είναι σωστή (Σ). 4. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων 2 x =………. y 2 =……… ω 2= ………… ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι : x2 = y2 + ω2 −2yω⋅συν750 , Παρόμοια y2 = x2 + ω2 −2xω⋅συν600 . Αρχικά θα υπολογίσουμε την άγνωστη γωνία η οποία είναι απέναντι της πλευράς ω . Η γωνία αυτή ισούται με 1800 − (600 + 750) = =1800 − 1350 = 450. Είναι τώρα ω2 = x2 + y2 − 2xy⋅συν450 . 5. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις α) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των …… από την ισότητα ……….. β) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των …. από την ισότητα ……… 512 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ γ) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των … από την ισότητα ………. δ) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των … από την ισότητα …………. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των ημι12 10 τόνων από την ισότητα = 0 ημx ημ60 β) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των συνημιτόνων από την ισότητα x2 = 42 +52 − 2⋅4⋅5⋅συν500 γ) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των συνημιτόνων από την ισότητα 62 = 42 +52 −2⋅4⋅5⋅συνx ή 42 + 52 − 6 2 συνχ = = 2⋅4⋅5 δ) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των ημιx 10 τόνων από την ισότητα = 0 ημ50 ημ70 0 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 513 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις . α) β) γ) ΛΥΣΗ x 4 σχ.(1) ή = 0 ημ30 ημ45 0 8 x 4 ή 2x = = 1 2 2 2 2 8 4 4 2 = x= = = 2 2 2 2 2 α) Στη σχέση (1) αντικαθιστούμε 4 2 =2 2 2 x 15 β) σχ.(2) ή = 0 ημ45 ημ120 0 x 15 ή = 2 3 2 2 2 x 30 = ή 2 3 2 3 ⋅x = 30 2 ή επί α) ( ) = x= = 30 2 = 2 3 15 2 ⋅ 3 ( 3) 2 15 2 = 3 15 6 = =5 6 3 του ημ300 με 1 2 και του ημ450 με τις τιμές 2 2 κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου και τρέπουμε το κλάσμα 4 2 σε ισοδύναμο με ρητό παρο- νομαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του 2 β) Στη σχέση (2) αντικαθιστούμε του ημ450 με 2 2 − 600) = ημ600 = τις τιμές και του ημ1200 = ημ(1800 3 2 κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου και τρέπουμε το κλάσμα 15 2 3 σε ισοδύ- ναμο με ρητό παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του επί γ) 3 Στη σχέση (3) αντικαθιστούμε τις τιμές 514 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ x 8 σχ.(3) ή = 0 ημ45 ημ120 x 8 ή = 3 2 2 2 2 x 16 = ή 3 2 2 2 ⋅ x = 16 3 ή γ) x= = 16 3 2 2 = 8 3 2 = 8 3⋅ 2 ( 2)2 του ημ1200 = ημ(1800 − 600) = ημ600 = και του ημ450 με 3 2 2 2 Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά Διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου και τρέπουμε το κλάσμα = 8 3 2 σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του επί 2 8 6 =4 6 2 ΑΣΚΗΣΗ 2 Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις . α) β) γ) ΛΥΣΗ 8 4 α) σχ. (1) ή = ημx ημ30 0 8 8 8 4 ή = ή = ημx 1 ημx 1 2 8⋅ημx = 8 ή ημx = 1 ή x = 900 β) 5 5 3 σχ.(2) ή = ημx ημ120 0 α) Στη σχέση (1) αντικαθιστούμε το ημ300 = 1 2 Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά Διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι η γωνία x είναι 900 . β) Στη σχέση (2) αντικαθιστούμε τις τιμές 515 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 5 5 3 = ημx 3 2 5 10 3 5 10 = ή = ή ημx ημx 1 3 10⋅ημx = 5 ή 5 1 ημx = = ή x = 300 10 2 6 3 3 σχ. (3) ή γ) = ημx ημ60 0 6 6 3 6 3 3 ή = ή = ημx ημx 3 3 2 1 1 = ή ημx = 1ή x = 900 ημx 1 του ημ1200 = ημ(1800 − 600) = ημ600 = 3 2 Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά και κάνοντας τις σχετικές απλοποιήσεις . Επιλύουμε ως προς ημx. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι η γωνία x είναι 300 . γ) Αντικαθιστούμε 3 2 στην σχ.(3) το ημ600 με Κάνουμε τις πράξεις , τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό ,καθώς επίσης και τις σχετικές απλοποιήσεις, επιλύοντας ως προς ημx. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι η γωνία x είναι 900 . ΑΣΚΗΣΗ 3 Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, όταν ∧ α) α = 2 , β= 2 και Β = 30 0 ∧ β) β= 2 , γ= 3 και Γ = 60 0 ΛΥΣΗ α) α) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων α β = ή ημΑ ημΒ Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία 2 2 σχ.(1) ή = ημΑ ημ30 0 2 2 2 2 2 ή = = 1 ημΑ 1 ημΑ 2 1 2 = ή 2 ⋅ημΑ = 1ή ημΑ 1 ημΑ = 1 2 = 2 ( 2) 2 = 2 ή 2 Αντικαθιστούμε στην σχ.(1) το ημ300 με 1 2 Κάνουμε τις πράξεις , τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό ,καθώς επίσης και τις σχετικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημΑ και τρέπουμε το κλάσμα 1 σε ισοδύναμο με ρητό παρονο2 μαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του επί 2 Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρί∧ σκουμε την γωνία A 516 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ∧ ∧ ∧ A = 450 και Γ = 105 0 ή A = 1350 ∧ και Γ = 15 0 β) β) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία Αντικαθιστούμε στην σχ.(2) το ημ600 με β γ = ή ημΒ ημΓ 3 2 2 3 σχ.(2) ή = ημΒ ημ60 0 2 = ημΒ 3 ή 2 2 3 = ή ημΒ 3 3 2 2 2 = ή 2⋅ημΒ = ημΒ 1 Κάνουμε τις πράξεις , τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό ,καθώς επίσης και τις σχετικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημΒ Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρί∧ σκουμε την γωνία 2 ή B ∧ ∧ 2 ή B = 450 και A = 750 2 ημΒ = ΑΣΚΗΣΗ 4 ∧ Αν σ’ τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β = 30 0 , β = 10 , α = 10 3 , τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές . ΛΥΣΗ α β = ή ημΑ ημΒ Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων 10 3 10 σχ.(1) ή = ημΑ ημ30 0 Αντικαθιστούμε στην σχ.(1) το ημ300 με Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία Κάνουμε τις πράξεις , τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό ,καθώς επίσης και τις σχετικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημΑ Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρί- 3 2 3 1 = = ή ημΑ 1 ημΑ 1 2 2⋅ημΑ = 3 3 ή ημΑ = 2 ∧ ∧ Τότε : A =600 ή A = 1200 ∧ 0 1 2 ∧ Εάν A =60 τότε είναι Γ = = 1800− (600 +300) = ∧ σκου-με την γωνία A ∧ Παρατηρούμε ότι A =600 . Επειδή όμως είναι ημ1200 = ημ(1800− 600) = ημ600 η γωνία ∧ A είναι δυνατόν να είναι και 1200 517 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ = 1800 − 900 = 900 ∧ Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την Γ . ∧ ∧ ∧ Εάν A = 1200 τότε Γ =1800− (1200 +300) = 1800 − 1500 = 300 = Β . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής x του εναέριου σιδηρόδρομου στο διπλανό σχήμα .( Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες). ΛΥΣΗ Θα προσδιορίσουμε την τρίτη γωνία του τριγώνου που είναι 1800−(1300+300)=1800−1600= = 200. x 200m ή Είναι τώρα = 0 ημ130 ημ20 0 x 200m = ή 0,766 0,342 Ο,342⋅x = 0,766⋅200m ή 153,2m x= = 448m 0,342 Αφού γνωρίζουμε τις δύο από αυτές, από τις 1800 θα αφαιρέσουμε το άθροισμα των δύο γνωστών γωνιών. Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων. Για τον υπολογισμό του ημ1300 έχουμε: ημ1300= = ημ(1800−500)= ημ500=0,766 όπως διαπιστώνου-με από τους τριγωνομετρικούς πίνακες. Επιλύουμε την εξίσωση ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένας μαθητής απευθυνόμενος στον καθηγητή του των Μαθηματικών είπε - Κύριε, σε ένα βιβλίο βρήκα μια άσκηση στην οποία έδινε ένα τρίγωνο ∧ ΑΒΓ με α =12, β = 6 , Β = 60 0 και ζητούσε να βρεθούν τα υπόλοιπα στοιχεία του. Πώς λύνεται ; Ο καθηγητής αφού είδε την άσκηση τού είπε : - Κάποιο λάθος έχεις κάνει, γιατί δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Πώς το κατάλαβε ο καθηγητής ; ΛΥΣΗ Ο καθηγητής εφάρμοσε τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο και διαπίστωσε ότι: 518 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ α β 12 6 12 6 = ή ή = ή 6⋅ημΑ = 0,866⋅12 ή ημΑ = = 0 ημΑ ημΒ ημΑ ημ60 ημΑ 0,866 10,392 = =1,732>1 το οποίο δεν είναι δυνατό να συμβαίνει. 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 Οι δυνάμεις F1 , F2 έχουν συνισταμένη F = 10 N που σχηματίζει με την F1 γωνία 280 και με την F2 γωνία 350.Nα υπολογίσετε τις δυνάμεις F1 , F2 . ( Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες). ΛΥΣΗ Αρχικά θα υπολογίσουμε τις γωνίες του τριγώνου ΟFF1 και έχου∧ ∧ με: Ο F F1 = F O F2 = 350. Θα υπολογίσουμε τώρα την γωνία F1 η οποία είναι: F1= 180−(280+350) =1170 Έχουμε : F1 F2 F = = ή 0 0 ημ117 ημ35 ημ280 F1 F2 F = = ή 0 0 ημ63 ημ35 ημ280 F F2 10N = 1 = 0,891 0,573 0,469 Προκύπτουν τώρα οι εξισώσεις: F 10N = 1 (1) και 0,891 0,573 F2 10N (2) = 0,891 0,469 Οι γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ Αφαιρούμε από τις 1800 το άθροισμα των δύο γνωστών γωνιών. Εφαρμόζοντας κατάλληλα τον νόμο των ημιτό-νων. Είναι ημ1170 = ημ(1800−630) = ημ630. Βρίσκουμε τα ημίτονα των 630, 350και 280 από τους τριγωνομετρικούς πίνακες. Από την επίλυση των εξισώσεων (1) και (2) βρίσκουμε τις δυνάμεις F1 και F2. Από την επίλυση της εξίσωσης (1) έχουμε:0,891⋅F1=0,573⋅10N ή F1= 5,73N = 6,43N. 0,891 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 519 Παρόμοια από την επίλυση της (2) έχουμε: 0,891⋅F2=0,469⋅10N ή 4,69 N F2= = 5,26N 0,891 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένας τοπογράφος για να μετρήσει το ύψος ενός ψηλού κτιρίου τοποθέτησε το γωνιόμετρό του στο σημείο Α και βρήκε τη γωνία ∧ Ε Γ Ζ = 460. Στη συνέχεια μετακινήθηκε κατά 30m, τοποθέτησε το γωνιόμετρο στη θέση Β και βρήκε ∧ τη γωνία Ε Δ Γ= 260. Ποιο ήταν το ύψος του κτιρίου, αν το γωνιόμετρο έχει ύψος 1,4 m ;(Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες). Δραστηριότητα Η άσκηση 8 αποτελεί ένα υπόδειγμα για να κάνετε και εσείς ανάλογες μετρήσεις μεταξύ απρόσιτων σημείων. Αν δεν έχετε γωνιόμετρο , τότε μπορείτε να τοποθετήσετε ένα διαβήτη μπροστά στο μάτι σας , ώστε το ένα σκέλος του να είναι οριζόντιο. Αφού ανοίξετε το άλλο σκέλος, να μετρήσετε τη γωνία που σχηματίζεται μ’ ένα μοιρογνωμόνιο. Μπορείτε να χωριστείτε σε ομάδες , να μετρήσετε όλοι την ίδια απόσταση (π.χ. το ύψος του σχολείου σας) , να συγκρίνετε τις μετρήσεις σας και να διορθώσετε πιθανά λάθη. ΛΥΣΗ Εάν γνωρίζαμε το μήκος του τμήματος ΓΕ που είναι υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΖΓΕ θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το μήκος της κάθετης πλευράς του ΕΖ και από αυτό το ύψος του κτιρίου. Αρχικά θα εργασθούμε στο τρίγωνο ΓΔΕ, για να υπολογίσουμε το μήκος της ΓΕ. Θα υπολογίσουμε τις γωνίες του τριγώνου ΓΔΕ ∧ ∧ Είναι: Δ Γ Ε = 1800−Ε Γ Ζ = 1800−460=1340. Ακόμα είναι : ∧ ∧ ∧ Δ E Γ = 1800−(Ε Δ Γ + Ε Γ Δ) ή ∧ ∧ Οι γωνίες ΔΓΕ και ΕΓΖ είναι παραπληρωματικές. Από τις 1800 αφαιρούμε το άθροισμα των 520 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ∧ Δ E Γ = 1800−(260+1340) ή ∧ ∧ γωνιών ΕΔΓ και ΕΓΔ . ∧ Δ E Γ = 1800−1600 = 200 Έχουμε τώρα : ΓΔ ΓΕ ΕΔ = = ή ∧ ημΕ ημΔ ημ ΔΓΕ 30m ΓΕ ή = 0 ημ20 ημ26 0 30m ΓΕ = ή 0,342 0,438 0,342⋅ΓΕ = 0,438⋅30m ή 0,342⋅ΓΕ 13,14m = 13,14m ή ΓΕ = = 38,42m 0,342 Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΓΔΕ . Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε τα ημ200 , ημ260 και τέλος υπολογίζουμε το μήκος του ΓΕ ∧ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΓΕ έχουμε: ημ ΖΓΕ = ΕΖ ή ΕΓ ΕΖ ή ΕΖ = = ημ460⋅38,42m = 0,719⋅38,42m = 27,62m. Για να 38,42m βρούμε τέλος το ύψος του κτιρίου αρκεί στο μήκος του ΕΖ να προσθέσουμε το ύψος του γωνιομέτρου. Το ύψος λοιπόν είναι: 27,62m + 1,4m = 29,02m ημ460 = ΑΣΚΗΣΗ 9 Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις . α) β) γ) δ) ΛΥΣΗ Σε κάθε μία των περιπτώσεων θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων. 2 α ) Είναι : x2 = 72 + (3 2 )2 −2⋅7⋅(3 2 )συν450 = 49+18−42 2 = 2 ( 2)2 2 =67−42 = 67−42⋅ = 67−42 = 25, άρα x = 25 = 5 . 2 2 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 521 β) Είναι : 72 = 32+52 − 2⋅3⋅5⋅συνx ή 49 = 9+25− 30⋅συνx ή 30συνx = =9 + 25−49 ή 30συνx = −15 ή συνx = −0,5 = − συν600 = συν(1800−1200) = =συν1200 Άρα x = 1200 3 γ) Είναι:x2=42+(2 3 )2−2⋅4⋅2 3 ⋅συν300 =16+12−16 3 = 2 ( 3) 2 3 =28−16 =28−16 =28−8⋅3 = 28−24 = 4, άρα x = 4 = 2 . 2 2 2 2 δ) Είναι : 13 = 12 + 52 −2⋅12⋅5⋅συνx ή 169 = 144+25−120συνx ή 120συνx = 169−169 =0 ή συνx = 0 ή x = 900. ΑΣΚΗΣΗ 10 Να υπολογίσετε τις ίσες πλευρές β, γ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, αν ∧ Α = 120 0 και α =3 3 . ΛΥΣΗ Εάν θέσουμε β = γ = x , αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές , με εφαρμογή του νόμου των συνημιτόνων έχουμε: α2 = x2 + x2 −2⋅x⋅x⋅συν1200 ή 1 ή (3 3 )2 = 2x2 −2x2⋅συν1200 ή 32⋅( 3 )2 = 2x2 −2x2⋅(− ) ή 2 1 (γιατί συν1200 = συν(180−600) = − συν600 = − ) 2 27 27 = 2x2+x2 ή 27= 3x2 ή x2 = = 9 ή x = 9 = 3. 3 ΑΣΚΗΣΗ 11 Σε κύκλο με ακτίνα R = 10 c m , η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί σε τόξο 1200. Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής. ΛΥΣΗ ∧ Επειδή η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ = 1200 εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΟΒ έχουμε : (ΑΒ)2 = (ΟΑ)2 + (ΟΒ)2−2⋅(ΟΑ)⋅(ΟΒ)⋅συν1200 ή 522 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ (ΑΒ)2 =102 + 102 − 2⋅10⋅10⋅συν1200=100+100−200(− ΑΒ = 1 )=300 ή 2 300 = 100 ⋅ 3 = 100 ⋅ 3 = 10 3 cm ΑΣΚΗΣΗ 12 Να υπολογίσετε τις διαγωνίους παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με ΑΒ = 4 , ∧ ΒΓ = 3 και Α = 120 0 . ΛΥΣΗ ∧ ∧ Αρχικά παρατηρούμε ότι B = 1800− A = 1800−1200 = 600 ως παραπληρωματικές. Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων. α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ και έχουμε: 1 (ΑΓ)2=(ΑΒ)2+(ΒΓ)2−2⋅(ΑΒ)⋅(ΒΓ)⋅συν600=42+32−2⋅4⋅3⋅ =16+9−12=13 2 οπότε συμπεραίνουμε ότι ΑΓ= 13 β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ, αφού παρατηρήσουμε ότι ΑΔ = ΒΓ, ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου και έχουμε: 1 (ΒΔ)2=(ΑΒ)2+(ΑΔ)2−2⋅(ΑΒ)⋅(ΑΔ)⋅συν1200 = 42+32−2⋅4⋅3⋅(− )=16+9+12= 2 =37 άρα ΒΔ = 37 ΑΣΚΗΣΗ 13 Μια τεχνική εταιρεία θέλει να καταθέσει μια προσφορά για την κατασκευή μιας σήραγγας ΑΒ. Ένας μηχανικός της εταιρείας με τους συνεργάτες του έστησε ένα γωνιόμετρο στη θέση Μ που η απόστασή του από το Α ήταν 100 m και από το Β ήταν 154 m . Αφού μέτρησε τη γωνία ∧ Α Μ Β = 730 , ισχυρίστηκε ότι με αυτά τα στοιχεία μπορούσε να υπολογίσει το μήκος της σήραγγας. Είχε δίκιο ή άδικο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 523 Ο μηχανικός είχε δίκιο, γιατί με στοιχεία που γνωρίζει, μετά τις μετρήσεις που έκανε, εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΜΑΒ μπορεί να υπολογίσει το μήκος της σήραγγας ΑΒ. Συγκεκριμένα έχουμε: Στο τρίγωνο ΑΒΜ και έχουμε: (ΑΒ)2=(ΑΜ)2+(ΒΜ)2−2⋅(ΑΜ)⋅(ΒΜ)⋅συν730=1002+1542−2⋅100⋅154⋅0,29= =10000+23716-8932=24784 οπότε συμπεραίνουμε ότι (ΑΓ ) = 24784 = 157,42 m ΑΣΚΗΣΗ 14 Ένας πυροσβεστήρας αυτόματης κατάσβεσης πρόκειται να στηριχτεί πάνω από τον καυστήρα ενός καλοριφέρ. Ένας τεχνικός θέλει να κατασκευάσει τη βάση στήριξής του και διαθέτει τρεις μεταλλικές βέργες ΑΒ = 0,70 m , ΑΓ = 1,30 m και ΒΓ=1,80 m . Για να κολλήσει όμως κατάλληλα τις βέργες ΑΒ , ΑΓ , όπως φαίνεται στο σχήμα , πρέπει να γνωρίζει τη γωνία ω. Μπορείτε εσείς να την υπολογίσετε, ώστε να βοηθήσετε τον τεχνικό ; ΛΥΣΗ Θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ και θα υπολογίσουμε την γωνία ω. (ΒΓ)2 = (ΑΒ)2+(ΑΓ)2−2⋅(ΑΒ)⋅(ΑΓ)συνω ή 1,82 = 0,72+1,32 −2⋅(0,7)⋅(1,3)συνω ή 1,82.συνω = 0,49+1,69−3,24 ή 1,82.συνω = −1,06 ή 1,06 1,82συνω = −1,06 ή συνω = − = −0,582 ή συνω = − συν540 περίπου. 1,82 0 0 Επειδή − συν54 = συν(180 −540) = συν1260 προκύπτει ότι ω = 1260. 524 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Να αποδείξετε ότι: α) (1 − ημx + συνx ) = 2(1 − ημx )(1 + συνx ) β) 2 ημx 1 + συνx 2 + = ημx 1 + συνx ημx ΛΥΣΗ 2 α) Θεωρούμε το 1ο μέλος της σχέα) (1 − ημx + συνx ) = σης που θέλουμε να αποδείξουμε =12 + ημ2x + συν2x −2ημx +2συνx και κάνουμε τις πράξεις. Βρίσκουμε το ανάπτυγμα του τε−2ημxσυνx = τραγώνου =1+1−2ημx+2συνx−2ημxσυνx= Θέτουμε ημ2x + συν2x = 1 = 2 −2ημx+2συνx−2ημxσυνx = Παραγοντοποιούμε εξάγοντας κοινό παράγοντα το 2 και στη συνέχεια με = 2(1 −ημx+συνx−ημxσυνx ) = ομαδοποίηση. =2[(1 −ημx) +συνx⋅(1 −ημx)] = =2(1 −ημx)⋅(1 −ημx). 1 + συνx ημx β) Θεωρούμε το 1ο μέλος της σχέβ) + = σης που θέλουμε να αποδείξουμε ημx 1 + συνx και κάνουμε τις πράξεις. (1 + συνx) ⋅ (1 + συνx) ημx ⋅ ημx = + = Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παρατηρώντας ότι το ΕΚΠ των παημx ⋅ (1 + συνx) (1 + συνx) ⋅ ημx ρονομαστών είναι το γινόμενο (1 + συνx) 2 ημ 2 x ημx ⋅ (1 + συνx) . = + = Κάνουμε τις σχετικές πράξεις ημx ⋅ (1 + συνx) (1 + συνx) ⋅ ημx 2 2 (1 + συνx) + ημ x Βρίσκουμε το ανάπτυγμα του τετρα= = γώνου. ημx ⋅ (1 + συνx) Θέτουμε ημ2x + συν2x = 1 2 2 1 + 2συνx + συν x + ημ x = ημx ⋅ (1 + συνx) Παραγοντοποιούμε εξάγοντας κοινό παράγοντα το 2 και κάνουμε τις 1 + 2συνx + 1 2 + 2συνx = = = σχετικές απλοποιήσεις ημx ⋅ (1 + συνx) ημx ⋅ (1 + συνx) 2(1 + συνx) 2 = = ημx ⋅ (1 + συνx) ημx 2. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy δίνεται το σημείο Α ( 4 , 0) και το σημείο Μ που έχει τετμημένη – 5 και η απόστασή του από το Ο εί∧ ναι 13. Αν ω είναι η γωνία Α Ο Μ , να υπολογίσετε το συνω και την απόσταση ΑΜ . ΛΥΣΗ 525 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Αφού γνωρίζουμε την τετμημένη του σημείου Μ η οποία είναι x = − 5 και x −5 την απόσταση του από το Ο η οποία είναι ρ =13 το συνω = = ρ 13 Θα υπολογίσουμε την τεταγμένη y του σημείου M . Είναι ρ2 = x2+y2 ή 132 = (−5)2+y2 ή 169 = 25+y2 ή y2 = 169−25 =144 ή y = ± 144 = ±12 Οπότε Μ(−5,12) ή Μ((−5,−12) και επομένως : (AM) = (− 5 − 4)2 + (12 − 0)2 = 81 + 144 = 225 = 15 ή (AM) = (− 5 − 4)2 + (− 12 − 0)2 = 81 + 144 = 225 = 15 ∧ ∧ 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ=30cm , Β = 45 0 και Γ = 75 0 . Να χαράξετε τη διχοτόμο ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ , να εξηγήσετε γιατί το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε το μήκος της διχοτόμου ΑΔ . ΛΥΣΗ Αρχικά θα υπολογίσουμε την Α ∧ γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ . ∧ ∧ ∧ Είναι Α = 1800−( B + Γ )= =1800−(450+750) = 1800−1200 = =600. Γ Β ∧ Άρα η ΓΑΔ = 300 αφού η ΑΔ Δ ∧ είναι η διχοτόμος της γωνίας Α . ∧ Θα υπολογίσουμε τώρα την γωνία ΑΔΓ του τριγώνου ΑΔΓ. ∧ ∧ ∧ ∧ Είναι ΑΔΓ = 1800−( ΓΑΔ + Γ ) = 1800−(300+750) = 1800−1050 = 750 = Γ . ∧ ∧ Επομένως το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές αφού ΑΔΓ = Γ = 75 0 , οπότε ΑΔ = ΑΓ. Για να υπολογίσουμε τώρα το μήκος της διχοτόμου ΑΔ αρκεί να υπολογίσουμε το μήκος της ΑΓ .Αυτή θα υπολογισθεί με εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ. Έχουμε: ΑΓ ΒΓ ΑΓ 30cm ΑΓ 30cm = ή ή = ή = 0 0 ημΒ ημΑ ημ45 0,707 0,866 ημ60 21,21 0,866⋅ΑΓ = 0,707⋅30cm ή ΑΓ = = 24,49 cm . Άρα και ΑΔ = 24,49cm. 0,866 526 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ . Να αποδείξετε ότι: β ημω γ ημφ α) β) = = ΒΔ ημΑ 1 ΓΔ ημΑ 2 γ ΒΔ = β ΓΔ γ) ΛΥΣΗ ΑΒ γ ΒΔ ΒΔ α) ή ή = = ημφ ημΑ 1 ημφ ημΑ 1 γ ημφ σχ(1). = ΒΔ ημΑ 1 ΑΓ β ΔΓ ΔΓ β) ή ή = = ημω ημΑ 2 ημω ημΑ 2 β ημω σχ(2) = ΔΓ ημΑ 2 γ) Είναι ημφ = ημ(1800−ω) = ημω σχ(3) παρόμοια είναι ημΑ1= ημΑ2, σχ(4) Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι τα δεύτερα μέλη των σχέσεων (1) και (2) είναι ίσα, αφού έχουμε κλάσματα με ίγ ΒΔ γ β = ή = σους όρους. Επομένως β ΓΔ ΒΔ ΔΓ 5. α) Να αποδείξετε ότι το εμβα- δόν του τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι 1 Ε = β γ ημΑ 2 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κήπου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος . α) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα β) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα γ) Οι γωνίες ω και φ είναι παραπληρωματικές Οι γωνίες Α1 και Α2 είναι ίσες γιατί η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα 527 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΛΥΣΗ α) Παρατηρούμε ότι το ΓΔ είναι το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΒ = γ. Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου είναι 1 Ε = (ΑΒ)⋅(ΓΔ). (1) 2 ∧ ΓΔ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΔ προκύπτει ότι ημ ΓΑΔ = ή ΑΓ ∧ ∧ ∧ ΓΔ = (ΑΓ)⋅ ημ ΓΑΔ . Οι γωνίες όμως ΒΑΓ και ΓΑΔ είναι παραπληρωμα∧ ∧ ∧ ∧ τικές, επομένως είναι ημ ΓΑΔ = ημ(1800− ΒΑΓ ) = ημ ΒΑΓ = ημ Α . ∧ Άρα τελικά ΓΔ = β⋅ημ Α , (2). Η σχέση τώρα (1) αν λάβουμε υπό όψη μας 1 1 την σχέση (2) γίνεται Ε = γβημΑ = βγημΑ. 2 2 β) Θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ και θα υπολογίσουμε το συνΑ και στη συνέχεια την γωνία Α. Είναι (ΒΓ)2 = (ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 − 2(ΑΒ)(ΑΓ)συνΑ ή α2 = β2 +γ2 − 2βγσυνΑ ή (28m)2 = (12m)2 + (20m)2 − 2(12m)(20m)συνΑ ή 784m2 = 144m2 +400m2 − 480m2συνΑ ή 480m2συνΑ=144m2+400m2−784m2 ή − 240m 2 1 480m2συνΑ = −240m2 ή συνΑ = =− . 2 2 480m 1 Έχουμε λοιπόν συνΑ = − = −συν600 = −συν(1800−1200) = συν1200. Άρα 2 ∧ A = 1200. Σύμφωνα τώρα με τον τύπο του εμβαδού του τριγώνου που είδα1 1 με στο ερώτημα (α) είναι: Ε = (ΑΒ)(ΑΓ)ημΑ = (20m)(12m)⋅ημ120 = 2 2 1 240m2 ⋅ημ(1800−600) = =120m2⋅ημ600 = 120m2⋅0,866 = 103,92m2. 2 2 2 2 6. α) Αν σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ Α = ημ Β + ημ Γ, τότε να απο- δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. β) Αν σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ(Β+Γ) + συν (Β – Γ ) = 2, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΛΥΣΗ α) Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο α β γ ΑΒΓ έχουμε = = ή ημΑ ημΒ ημΓ Υψώνουμε τα μέλη της ισότητας αυτής στο τετράγωνο και έχουμε. 528 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ α2 β2 γ2 = = ή (ημΑ) 2 (ημΒ) 2 (ημΓ) 2 α2 β2 γ2 = = ή ημ 2 Α ημ 2 Β ημ 2 Γ α2 β2 + γ2 = (1) ή ημ 2 Α ημ 2 Β + ημ 2 Γ Γνωρίζουμε ότι ένα έχουμε ίσα μεταξύ τους κλάσματα τότε αυτά είναι ίσα και με ένα κλάσμα που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών. Επειδή ημ2Α = ημ2Β + ημ2Γ αντικαθιστούμε στην (1) το ημ2Β + ημ2Γ με ημ2Α Αφού στη σχέση (2) έχουμε ίσα κλάσμα-τα με ίσους παρονομαστές αυτά θα έχουν και ίσους αριθμητές. δηλ. ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά α. α2 β2 + γ2 = σχ(2).ή ημ 2 Α ημ 2 A α2 = β2 + γ2 β) Η δοσμένη σχέση ημ(Β+Γ) + συν (Β – Γ ) = 2 ισχύει μόνο στην περίπτωση που καθένας από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ(Β+Γ) και συν(Β−Γ) πάρει την μεγαλύτερη δυνατή τιμή, δηλ. εάν ημ(Β+Γ) =1 και συν(Β−Γ) = 1. Επειδή όμως Α+Β+Γ = 1800 συμπεραίνουμε ότι Β+Γ = 1800 −Α άρα και ημ(Β+Γ) = = ημ(1800 −Α) = ημΑ. Επομένως είναι ημΑ = ημ(Β+Γ) =1,ή ημΑ= ημ900. Άρα Α= 900, δηλ. το τρίγωνο είναι ορθογώνιο . Από την σχέση τώρα συν(Β−Γ) = 1 επειδή συν00 = 1 συμπεραίνουμε ότι συν(Β−Γ) = = συν00. Επομένως πρέπει Β−Γ = 0 ή Β = Γ . Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές. 7. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι α) α(ημΒ–ημΓ) + β ( ημΓ – ημΑ)+γ ( ημΑ– ημΒ) = 0. β) α = β συν Γ + γ συν Β γ) β2 – γ2 = α( β συνΓ– γ συν Β) συνΑ συνΒ συνΓ α 2 + β 2 + γ 2 δ) = + + γ 2αβ γ α β ΛΥΣΗ α) Εάν συμβολίσουμε με λ την τιμή καθενός από τα ίσα κλάσματα του νόμου των ημιτόνων για το τρίγωνο ΑΒΓ δηλαδή θέσουμε : α) Εξισώνοντας καθένα από τα κλάσματα με α β γ = = =λ τότε έχουμε: την τιμή λ και επιλύοντας την σχέση που προημΑ ημΒ ημΓ κύπτει ως προς την πλευρά του τριγώνου καταλήγουμε στις σχέσεις (1), (2),(3) από τις οποίες α αποδίδεται κάθε πλευρά του τριγώνου ως συ= λ ή α = λ⋅ημΑ, (1) νάρτηση του ημιτόνου της απέναντι γωνίας. ημΑ β = λ ή β = λ⋅ημΒ, (2) ημΒ ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 529 γ = λ ή γ = λ⋅ημΓ , (3) ημΓ Θεωρούμε τώρα το 1ο μέλος της σχέσης που μας δίνεται και αντικαθιστούμε κάθε μία από τις πλευρές όπως τις έχουμε στις παραπάνω σχέσεις .Τότε: α ⋅( ημΒ – ημΓ) + β⋅( ημΓ – ημΑ ) + γ ⋅( ημΑ – ημΒ ) = = λ⋅ημΑ⋅( ημΒ – ημΓ ) + λ⋅ημΒ⋅( ημΓ – ημΑ ) + λ⋅ημΓ ⋅( ημΑ – ημΒ ) = = λ⋅[ ημΑ⋅( ημΒ – ημΓ ) + ημΒ⋅( ημΓ – ημΑ ) + ημΓ ⋅( ημΑ – ημΒ )] = =λ⋅( ημΑ⋅ ημΒ – ημΑ⋅ ημΓ + ημΒ⋅ ημΓ –ημΒ⋅ ημΑ + ημΓ ⋅ημΑ –ημΓ⋅ ημΒ ) =λ⋅0 = 0. β)Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ για τις πλευρές γ και β. β) Επιλύουμε την σχέση αυτή ως προς το βσυνΓ. ∧ γ2 = α2 + β2 − 2αβσυν Γ ή ∧ 2αβσυν Γ = α2 + β2 − γ2 ή ∧ α2 + β2 − γ2 . (1) βσυν Γ = 2α Παρόμοια Παρόμοια υπολογίζουμε το γσυνΒ Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2) και κάνουμε πράξεις. ∧ β2 = γ2 + α2 − 2γασυν B ή ∧ 2γασυν B = γ2 + α2 − β2 ∧ γ2 + α2 − β2 γσυν B = (2) 2α ∧ ∧ ∧ ∧ βσυν Γ + γσυν B = α 2 + β 2 − γ 2 γ 2 + α 2 − β 2 α 2 + β 2 − γ 2 + γ 2 + α 2 − β 2 2α 2 = ή + = 2α 2α 2α 2α βσυν Γ + γσυν B =α γ)Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ για τις πλευρές β και γ. Έχουμε λοιπόν: ∧ β2 = γ2 + α2 − 2γασυν B (1) γ) Επιλύουμε την σχέση αυτή ως προς το βσυνΓ. ∧ γ2 = α2 + β2 − 2αβσυν Γ (2) ∧ β2 − γ2 = (γ2 + α2 − 2γασυν B )− ∧ -(α2 + β2 − 2αβσυν Γ ) ή ∧ β2 − γ2 = γ2 + α2 − 2γασυν B −α2 − β2 Παρόμοια υπολογίζουμε το γσυνΒ Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2) και κάνουμε πράξεις. Αφαιρούμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και κάνουμε τις σχετικές πράξεις. 530 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ∧ + 2αβσυν Γ ή β2 − γ2 +β2− γ2= ∧ ∧ = − 2γασυν B + 2αβσυν Γ ή ∧ ∧ 2β2 − 2γ2 = 2αβσυν Γ − 2γασυν B (3) ή ∧ Παραγοντοποιούμε τη σχέση (3).Εξάγουμε στο 1ο μέλος κοινό παράγοντα το 2 και στο 2ο το 2α , και στη συνέχεια διαγράφουμε το 2. ∧ 2(β2 − γ2)= 2α(βσυν Γ − γσυν B ) ή ∧ ∧ β2 − γ2 = α(βσυν Γ − γσυν B ) δ) Από τον νόμο των συνημιτόνων για την πλευρά α έχουμε : δ) Επιλύουμε την σχέση (1) ως α2 = β2 + γ2 − 2βγσυνΑ (1) ή προς συνΑ 2 2 2 2βγσυνΑ = β + γ − α ή Διαιρούμε τα μέλη της σχέσης β2 + γ2 − α2 (2) διά του α οπότε προκύπτει η συνΑ = (2) ή 2βγ σχέση (3). συνΑ β 2 + γ 2 − α 2 = (3) . 2αβγ α συνB α 2 + γ 2 − β 2 = (4) 2αβγ β συν Γ β 2 + α 2 − γ 2 = (5) 2αβγ γ Εργαζόμενοι αντίστοιχα έχουμε τις σχέσεις (4) και (5). Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (3), (4) και (5) και στη συνέχεια κάνουμε τις πράξεις στο 2ο μέλος προσθέτοντας τα ομώνυμα κλάσματα που προκύπτουν. συνΑ συνB συν Γ + + = α β γ = β2 + γ2 − α2 α2 + γ2 − β2 β2 + α2 − γ2 + + = 2αβγ 2αβγ 2αβγ β2 + γ2 − α2 + α2 + γ2 − β2 + β2 + α2 − γ2 = 2αβγ α2 + β2 + γ2 = 2αβγ 8. Να βρείτε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, αν τα μήκη τους είναι διαδοχι3 κοί φυσικοί αριθμοί , η γ είναι η μικρότερη πλευρά και συν Γ = . 4 ΛΥΣΗ Αφού οι πλευρές του τριγώνου είναι φυσικοί αριθμοί με μικρότερη από αυτές είναι η γ οι άλλες πλευρές θα είναι γ+1 και γ+2. Έστω λοιπόν ότι = 531 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ α = γ+2 και β = γ+1.Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε: γ2 = β2 + α2 −2βασυνΓ ή 3 3 γ2 = (γ+1)2 + (γ+2)2 −2(γ+1)(γ+2)⋅ ή γ2 = (γ+1)2 + (γ+2)2 − (γ+1)(γ+2) ή 4 2 3 2γ2 = 2(γ+1)2 + 2(γ+2)2 −2 (γ+1)(γ+2) ή 2 2γ2 = 2(γ+1)2 + 2(γ+2)2 −3 (γ+1)(γ+2) ή 2γ2 = 2(γ2 +2γ+1) + 2(γ2 +4γ+4) −3 (γ+1)(γ+2) ή 2γ2 = 2γ2 +4γ+2 + 2γ2 +8γ+8 −3 (γ2+3γ+2) ή 2γ2 = 2γ2 +4γ+2 + 2γ2 +8γ+8 −3γ2−9γ−6 ή 2γ2 = γ2 +3γ+4 ή 2γ2 − γ2 −3γ−4 =0 ή γ2 −3γ−4 =0 Επιλύουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση στην οποία η διακρίνουσα Δ = (−3)2−4⋅1⋅(−4) = 9 + 16 = 25. − (−3) ± 25 3 ± 5 3+5 8 . Άρα ή γ = Είναι τώρα γ = = = =4 ή 2 ⋅1 2 2 2 3−5 2 γ= = − = −1 Επειδή το γ εκφράζει μήκος πλευράς τριγώνου είναι 2 2 γ>0 άρα γ = 4 , η τιμή γ = −1 απορρίπτεται. Τα μήκη των πλευρών του τριγώνου είναι α = 4+2 =6 , β = 4+1 = 5 και γ = 4 ή α=5, β=6 και γ=4. 9. Δύο φίλοι τοποθέτησαν τα γωνιόμετρά τους στις θέσεις Α , Β μιας ακτής και παρατήρησαν δύο βράχους που προεξείχαν από την επιφάνεια της θάλασσας . Αν η απόσταση ΑΒ ήταν 30 m και τα αποτελέσματα των μετρήσεών τους φαίνονται στο διπλανό σχήμα , τότε να υπολογίσετε την απόσταση των δύο βράχων. ( Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες). ΛΥΣΗ ∧ ∧ Επειδή στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β =520 + 540 =1060 η γωνία Γ του τριγώ∧ νου ΑΒΓ είναι Γ =1800 −(490 + 1060) = = 1800 − 1550 = 250. Με την βοήθεια του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ θα υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ΑΓ = β. 532 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ β γ β 30m = ή ή = 0 ημΒ ημΓ ημ106 ημ25 0 β 30m β 30m = ή ή = 0 0 0,961 0,423 ημ74 ημ25 Έχουμε 0,423⋅β = 0,961⋅30m ή 0,423⋅β = 28,83m ή β = 28,83 m = 68,15m. 0,423 Είναι λοιπόν ΑΓ= 68,15m. Θα εργασθούμε τώρα στο τρίγωνο ΑΒΔ ∧ ∧ Επειδή όμως στο τρίγωνο ΑΒΔ η γωνία Α = 580 + 490 = 1070 η γωνία Δ ∧ του τριγώνου ΑΒΔ είναι Δ = 1800 − (1070 + 520) = 1800 − 1590 = 210 Με την βοήθεια του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΔ θα υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ΑΔ . ΑΔ 30m ΑΔ ΑΒ ή 0,358⋅ΑΔ = 0,788⋅30m Έχουμε ή = = 0 0 0,788 0,358 ημ52 ημ21 23,64m ή 0,358⋅(ΑΔ) = 23,64m ή ΑΔ = = 66,03m 0,358 Από το τρίγωνο ΑΓΔ στο οποίο γνωρίζουμε τις πλευρές ΑΓ, ΑΔ και ∧ την γωνία Δ A Γ = 580 θα υπολογίσουμε την ΓΔ με την βοήθεια του νόμου ∧ των συνημιτόνων. Είναι(ΓΔ)2 = (ΑΓ)2 +(ΑΔ)2 −2(ΑΓ)(ΑΔ)συν Δ A Γ ή (ΓΔ)2 = (68,37)2 + (66,03)2 −2(68,15)(66,03)συν 580 ή (ΓΔ)2 = 4674,46 + 4359,96−8999,89⋅0,530 ή (ΓΔ)2 = 4264,48 ή ΓΔ = 65,30 m 533 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Να συμπληρώσετε το σταυρόλεξο: Κάθετα Οριζόντια 1. Είναι οι αριθμοί ημω, συνω και εφω. 2. Είναι το συνημίτονο της ορθής γωνίας. 1. Μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. 2. Καθεμιά έχει και το …ημίτονο της. 3. Μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. 3. Η ισότητα ημ2ω+συν2ω=1 είναι τριγωνομετρική…….. 4. Είναι το ημίτονο της ορθής γωνίας. 5. Είναι οι αριθμοί του συνημιτόνου και της εφαπτομένης οποιασδήποτε οξείας ή αμβλείας γωνίας. 4. Είναι το ημίτονο οποιασδήποτε γωνίας τριγώνου. 5. Υπάρχει και τριγωνομετρική……. 6. Η …. Του σημείου Μ είναι το συ∧ νημίτονο της γωνίας xΟΜ , όταν ΟΜ=ρ=1 . 7. Είναι οι τιμές του συνημιτόνου των αμβλειών γωνιών. 8. Είναι τα ημ300 και ημ1500. 2 6. Έχει και αυτό τους τριγωνομετρικούς του αριθμούς. 7. Χρησιμοποιούνται για να ορίσουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς αμβλείας γωνίας. 8. Δεν ……. Η εφαπτομένη ορθής γωνίας. 5 6 8 1 1 3 2 3 4 7 4 5 6 7 8 534 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΛΥΣΗ 1 3 7 Α Τ Η Ρ Ρ Ι 1 Σ Υ Ν Η Μ Ι Ι Τ Ο Ν Ο 6 Ν Η 2 Γ Ω Ν Ι Α 3 Τ Α Υ Τ Ο Τ Η Τ Α Ω Ν Ο 2 Ν Ε Ι 4 Θ Ε Τ Ι Κ Ο 5 Ο Μ Ε Μ Ο Σ Η Μ Η Δ Ο Ι 6 Τ Ο Ξ Ο 5 Ε Ε Μ Η Μ Ε Ε 8 Σ Ι Ρ Ν 4 7 Α Ξ Ο Ν Ε Σ Ι Κ Ε Ν Ι Σ Η Α 8 Ο Ρ Ι Ζ Ε Τ Α Ι Ω Ι Σ Η 535 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 2.1-2.2 ΘΕΜΑ 10 : α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α γ = i. ημΓ ημΑ γ β ii. = ημΓ ημΒ iii. α 2 = β 2 + γ 2 + 2βγσυνΑ iv. β 2 = α 2 + γ 2 − 2αγσυνΒ (4 μονάδες) α β = β) Να αποδείξετε ότι σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημΑ ημΒ (4 μονάδες) 0 ΘΕΜΑ 2 : ∧ ∧ Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία B = 45 0 και η γωνία Γ = 30 0 . Να υπολογίσετε την πλευρά β του τριγώνου αν γνωρίζετε ότι γ= 6cm. (6 μονάδες) 0 ΘΕΜΑ 3 : Η απόσταση ενός ιστιοφόρου Ι από τον ύφαλο Υ είναι 5 ναυτικά μίλια ενώ ∧ από τον φάρο Φ είναι 3 ναυτικά μίλια. Αν η γωνία ΦΙΥ = 120 0 να υπολογίσετε την απόσταση του φάρου από τον ύφαλο. Υ Φ 3 120° 5 Ι (6 μονάδες) 536 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΜΕΡΟΥΣ Β (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ) ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΑ 10 : ημω και ημ 2 ω + συν 2 ω = 1 . συνω ⎞ ⎛ συνω ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎟⎟.⎜ − ημω ⎟⎟ = 1 . − συνω ⎟.⎜⎜ Β. Να αποδείξετε ότι: ⎜⎜ εφω + ημω ⎠ ⎝ συνω ⎠ ⎝ ημω ⎠ ⎝ Α. Να δείξετε ότι: εφω = ΘΕΜΑ 20 : Α. Να αποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων. Β. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν δίνονται: ∧ ∧ Α = 40o , Β = 20o , α = 2 cm. (ημ40 o = 0,643 , ημ20 o = 0,342 , ημ120 o = 0,866 ) 537 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΑ 10 : Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες-ανισότητες: i) ημ (90 o − ω ) = ................ ii) συν (90 o − ω ) = ................ iii) .......... ≤ συνω ≤ ......... iv) .......... ≤ ημω ≤ ......... ( ) v) ημ 180 o − ω = ................ ( ) ( ) vi) συν 180 o − ω = ................ vii) εφ 180 o − ω = ................ ∧ Β. Αν Α = 20o ,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ⎛ 3Α ⎞ Κ = 10.ημ ⎜ ⎟ + 6.συν3Α ⎝ 2 ⎠ ΘΕΜΑ 20 : Α. Να αποδείξετε το νόμο των συνημιτόνων. Β. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν ∧ δίνονται Β = 45o , α = 2 cm , γ = 4 cm. συν45o = 0,707 ( ) 538 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 2Ο Κεφάλαιο 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. Β΄ Μέρους ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές του είναι ................. με τα ημίτονα των .............. γωνιών του. Ο νόμος των ημιτόνων χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός τριγώνου όταν δίνονται: ...... πλευρά και ....... οποιεσδήποτε γωνίες. Σε κάθε τρίγωνο το τετράγωνο μιας πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των .............. των δύο άλλων πλευρών, μειωμένο κατά το .............. γινόμενο των πλευρών αυτών επί το ..................... της περιεχόμενης σε αυτές γωνίας. Ο νόμος των συνημιτόνων χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός τριγώνου όταν δίνονται ...... πλευρές του και η ......... μεταξύ αυτών γωνία. Το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω εξαρτάται από το ................. στο οποίο βρίσκεται κάθε φορά ένα σημείο της ........... πλευράς της γωνίας. ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; ημω = −0,2 συν ω = 0,7 εφω = 3,2 ημω = 1,4 Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; α 2 = β 2 + γ 2 − 2βγσυνΑ β 2 = α 2 + γ 2 − 2βγσυνΒ β 2 = α 2 + γ 2 − 2αγσυνΒ γ 2 = α 2 + β 2 − 2αβσυν Γ Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι το συν300; 3 3 1 1 2 3 2 Σε ποιο από τα παρακάτω τεταρτημόρια όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί; 1o 2o 4o 3o Με ποιόν από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίση η παράσταση ημ450+συν450; 2 2 2 3 3 3 ∧ 2 2 6. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( Α = 90 ) ΑΒΓ η παράσταση ημ Β+ημ Γ με o ποιόν από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίση; 0 2 1 −1 539 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 2Ο Κεφάλαιο Β΄ Μέρους ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ» Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες. 1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το ημίτονο μίας οξείας γωνίας είναι ίσο με το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Σ Λ 2. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το συνημίτονο μίας οξείας γωνίας είναι ίσο με το λόγο της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την απέναντι κάθετη πλευρά. Σ Λ 3. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η εφαπτομένη μίας οξείας γωνίας είναι ίση με το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Σ Λ 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το εμβαδόν του δίνεται από την ισότητα 1 Σ Λ Ε ΑΒΓ = αγημΒ 2 5. Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισότητες β2 + γ2 − α2 α2 + γ2 − β2 α2 + β2 − γ2 συνΑ = συνΒ = συνΓ = 2βγ 2αγ 2αβ Σ Λ 540 ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 2Ο Κεφάλαιο Β΄ Μέρους ΤΕΣΤ ΣΥΖΕΥΞΗΣ Να ενώσετε κάθε μία από τις παραστάσεις που βρίσκονται αριστερά με τις αντίστοιχες παραστάσεις που βρίσκονται δεξιά. 0 1. ημ(180 -ω) 0 2. συν(180 -ω) 0 3. εφ(180 -ω) 0 4. ημ(90 -ω) 5. ημω 7. εφω 2 8. ημ ω+συν ω 9. ημω συνω 10. εφΒ συνω ρ x ημω x ρ -συνω y x y ρ 6. συνω 2 -εφω εφω β γ 1