ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΤΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΤΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Έρευνα‐Παρουσίαση
Μπάμπης Δημητριάδης
Μαθηματικός
Κέρκυρα 2012
1
ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
Πρωτεργάτες για τη μελέτη και τη λύση ξ
ρ β μ
μ ξ
εξισώσεων ανωτέρου βαθμού είναι μεταξύ άλλων, κυρίως οι εξής:
1 Scipione dal Ferro
1.
Μπολόνια 1465 – Μπολόνια 1526
Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια θ
ή
ή
λό
για πολλά χρόνια, βρήκε πρώτος τη λύση της εξίσωσης 3ου βαθμού 3
3
x

p
x

q
ή
x
 px  q   

2
Οι σχετικές εργασίες ήταν γνωστές μόνο σε Οι
σχετικές εργασίες ήταν γνωστές μόνο σε
λίγους μαθητές του ή συγγενείς του και δ
δημοσιεύτηκαν πολύ αργότερα.
ύ
λύ
ό
2. Niccolo Fontana ή Tartaglia
ή
g
Μπρέσια 1500 – Βενετία 1557
Βρήκε τη λύση της εξίσωσης 3ου βαθμού Βρήκε τη λύση της εξίσωσης 3
βαθμού
ανεξάρτητα από τον dal Ferro και την εμπιστεύθηκε στον Cardano
ύθ
C d
με τον όρο να ό
μην την κάνει γνωστή.
Έκανε πολλές εργασίες και στη γεωδαισία, τη βλητική κ.λ.π.
ηβ η ή
3
3. Gerolamo
3
Gerolamo Cardano.
Cardano
Παβία 1501 – Ρώμη 1576
Σπούδασε σε Πανεπιστήμια της Β Ιταλίας
Σπούδασε σε Πανεπιστήμια της Β. Ιταλίας, από όπου και πήρε δίπλωμα Ιατρικής. Δίδαξε σε Πανεπιστήμια της περιοχής, ξ
ήμ ης ρ χής,
κυρίως Ιατρική.
Σ` αυτόν οφείλεται η δημοσίευση του τύπου:
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
3
x  

  

2
4 27
2
4 27
3
ο λεγόμενος τύπος του Cardano ή πιο σωστά
τύπος των Tartaglia
g ‐ Cardano
4
4. Ludovico
udo co Ferrari
e a
Μπολόνια 1522 – Μπολόνια 1565
Μαθητής και αργότερα συνεργάτης του
Μαθητής και αργότερα συνεργάτης του Cardano, βρήκε τη λύση της εξίσωσης 4ου
β θ ύ
βαθμού με τη βοήθεια εξίσωσης 3
β ήθ
ξί
3ου βαθμού.
β θ ύ
5. Paolo Ruffini
Βαλεντάνο 1765
1765– Modena 1822
Modena 1822
Το 1799 απέδειξε ότι δεν υπάρχει μέθοδος επίλυσης της εξίσωσης 5
ίλ
ξί
5ου βαθμού, αλλά η β θ ύ λλά
απόδειξή του αυτή δεν ήταν πλήρης.
5
6. Niels
6
e s Abel be
Νησί Φίνεϊ κοντά Σταβάγκερ 1802 – Φρόλαντ 1829
Ιδιοφυία στα Μαθηματικά απέδειξε σε ηλικία μόλις 19 ετών ότι η εξίσωση 5
όλ 19 ώ ό
ξί
5ου βαθμού δεν β θ ύδ
λύνεται. Πέθανε φτωχός και βασανισμένος από φυματίωση. 6
7. Evariste Galois Μπούργκ λα Ρεν 1811 – Παρίσι 1832
Ιδιοφυία των Μαθηματικών, προσπάθησε
Ιδιοφυία των Μαθηματικών, προσπάθησε από 15 ετών και τελικά απέδειξε ανεξάρτητα από τον Abel με την περίφημη «θεωρία
από τον Abel, με την περίφημη «θεωρία Galois» ότι εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4ου δεν λύνονται γενικά.
ύ
ά
Σκοτώθηκε σε στημένη, όπως λένε, μονομαχία σε ηλικία 21 ετών περίπου.
7
Εξίσωση 3ου βαθμού
Η γενική μορφή εξίσωσης 3ου βαθμού με έναν άγνωστο και πραγματικούς συντελεστές
έναν άγνωστο και πραγματικούς συντελεστές 3
2
x


x
  x    0 (1)
είναι:

αν θέσουμε x  y  ,
αν θέσουμε 3
3
y
 py  q  0 (2)
η (1) ισοδυναμεί με την 2
 
2 3
και q   

.
όπου p   
3
3
27
8
Λύση της (2) όταν p
Λύση
της (2) όταν p•q
q0
0
3
y
1. αν pq0 η (2) ισοδυναμεί με την  0,
που έχει
έ μία
ί ρίζα
ίζ y1  0 τριπλή.
λή
q η (2)
( ) ισοδυναμεί
μ με
μ την
η y  y 2  p   0,,
2. αν p 0q
που έχει τις ρίζες y1  0,
0 y2   p , y3    p .
Προφανώς
Π
ώ οι y2 και y3
είναι αντίθετες πραγματικές αν p<0
και αντίθετες φανταστικές αν p>0.
9
3. αν p0 q η (2) ισοδυναμεί με την y 3  q (2)
με μορφές:
1
3
3.1 y  1, έχει τις ρίζες y1  1, y2    i

2
2
2
2
1
3
 
 i
  , y3    i

3
3
2
2
4
4
 
 i
 y2  
3
3
οι αριθμοί  και  είναι οι μη πραγματικές
3
κυβικές ρίζες του 1
10
και μ
μεταξύ
ξ τουςς υπάρχουν
ρχ
οι απλέςς σχέσεις
χ
ς:
1
3
3
 +   1,,     1,,     1,,   2   ,

1
3
    και          i
   

2
2
1
2
3.2 y 3   , με  > 0, έχει τις ρίζες :
y1  3  , y2   3  , y3   3 
3.3 y 3   , μ
με  < 0,, έχει
χ τιςς ρρίζες
ζ ς:
y1   3  , y2    3  , y3    3 
11
Λύση της (2) όταν p•q 0
Λύση της (2) όταν p
p
Αν θέσουμε
μ y z
η ((2)) ισοδυναμεί
μ μ
με την
η
3z
3
p
2
w + qw 
= 0 (3) μεε z 3  w.
27
q
q
Η (3) έχει τις ρίζες : w1    Δ, w 2    Δ
2
2
q 2 p3
όπου Δ 

4 27
 διακρίνουσα της (2)  τότε
z 3  w1 (4) ή z 3  w 2 (5).
12
I. αν Δ > 0 τότε w1 , w 2  Â με w1 > w 2 , w1 + w 2  q,
p3
w1  w 2  
οπότε p 3  27w1  w 2
27
αν w1w 2  0 τότε p  3 w1w 2 και y  z 
3
3
αν w1w 2  0 τότε
ό p  3  w1w 2 και y  z 
3
w1w 2
z
3
 w1w 2
z
.
I1. αν p  0 και q  0  w1  0 και w 2  0 και η (4) έχει
τις ρίζες : z1  3 w1 , z2   3 w1 , z3   3 w1 οπότε η (2) έχει
τις ρίζες
ίζ : y1  z1 
y2  z2 
y3  z3 
3
w1w 2
z2
3
w1w 2
z3
3
w1w 2
z1
 3 w1  3 w 2  0
  3 w1   3 w 2
  3 w1   3 w 2  y2
13
I 2 . αν p  0 και q > 0  w1  0 και w 2  0 και η (4) έχει
τις ρίζες
ίζ : z1   3  w1 , z2    3  w1 , z3    3  w1
οπότε η (2) έχει τις ρίζες : y1   3  w1  3  w 2  0,
y2    3  w1   3  w 2 , y3    3  w1   3  w 2  y2
I3 . αν p  0  w1  0  w 2 και η (2) έχει τις ρίζες :
y1  3 w1  3  w 2 , y2   3 w1   3  w 2 ,
y3   3 w1   3  w 2  y2
Παρατήρηση : αν για να βρούμε τις τιμές του y πάρουμε
τις τιμές
έ του z από
ό την (5)
(5), βρίσκουμε
β ί
τις ίδιες
ίδ ρίζες
ίζ για την (2)
(2).
Συμπέρασμα : αν Δ > 0 η (2) έχει μια πραγματική ρίζα
ετερόσημη του q και δύο μιγαδικές συζυγείς.
14
II. αν Δ  0, τότε p  0 και θέτουμε p  3 με  > 0
2
οπότε q  2 .
3
II1. αν q  0 η (2) ισοδυναμεί με την y 3  3 2 y  2 3  0
  y  
2
 y  2   0 άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες
y1   , διπλή και y2  .
II 2 . αν q  0 η (2) ισοδυναμεί
δ
ί με την y  3 y  2  0
3
  y  
2
2
3
 y  2   0 άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες
y1   , διπλή και y2  .
Συμπέρασμα : αν Δ  0 η (2) έχει δύο πραγματικές ρίζες
που η μία είναι διπλή
διπλή.
15
III. αν Δ < 0 τότε p  0 και θέτουμε p  3 2 με  > 0
q
οπότε βρίσκουμε  2  q  2  1   3  1.
2
q
    
Άρα υπάρχει γωνία    0,    ,   με    3 .
2
 2 2 
Αν θέσουμε y  2   η (2) ισοδυναμεί με την :
q
3
3
3
3
8     6    q  4   3  3
2
       2   , με   Ä.
Αν θέσουμε   3   με   Ä και   1, 0,1 τότε
2  
  6  2      2 

3
3
3
2  
   
3
16
III1. αν   τότε   

3
 y  2  

3
0
2  
III 2 . αν   τότε   
οπότε :
3


2  
1
III 2.1.   
     3    
3
2
3
3



 y      3     0.
3
3

2  
1


III 2.2 .   
     3    
3
2
3
3



 y      3    , ομόσημη του q.
3
3

17
Συμπέρασμα : αν Δ  0 η (2) έχει τρεις πραγματικές ρίζες :

y1  2    
3
2  



     3     
y2  2  
3
3
3

2  



y3  2  
     3    
3
3
3

ομόσημη του q.
18
Βοηθήματα
1. Το βιβλίο του Ν. Μιχαλόπουλου, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Αθήνα 1955
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ –
Αθή 1955
2. Ιστορία των Μαθηματικών του Loria
ρ
ημ
3. Εγκυκλοπαίδειες: Ιταλική, Πάπυρος –
Λαρούς – Μπριτάνικα, Μεγάλη Σοβιετική.
Μπριτάνικα Μεγάλη Σοβιετική
4. Περιοδικά – εκδόσεις της Ε.Μ.Ε. 5. Σύγχρονη Έκθεση των στοιχειωδών Μαθηματικών του Lucienne Felix –
Μαθηματικών του Lucienne
Felix –
Αθήνα 1964
19
ΕΞΙΣΩΣΗ 4 ΒΑΘΜΟΥ
Η γενική μορφή της εξίσωσης 4 βαθμού με έναν άγνωστο και
πραγματικούς συντελεστές είναι x 4 + αx3 + βx 2 + γx  δ  0 (1)
α
και αν x  y 
ισοδυναμεί με την y 4 + py 2 + qy  r  0 (2)
4
3α 2
όπου p  β 
,
3
αβ α3
q  γ
 ,
2
8
αγ α 2β 3α 4
r δ 

4 16 256
20
Λύση της (2)
Για να αποφύγουμε τα πολλά γράμματα θεωρουμε ότι τα παρακάτω α
α,β,
βγ
είναι άσχετα με τους συντελεστές της (1) θεωρούμε την εξίσωση :
 y  α  β  γ  y  α  β  γ  y  α  β  γ  y  α  β  γ   0 (3)
που προφανώς έχει τις ρίζες :
y1  α  β  γ,
γ y2  α  β  γ,
γ y3  α  β  γγ, y4  α  β  γ
Η (3) μετά τις πράξεις ισοδυναμεί με την εξίσωση :
y  2  α  β  γ  y  88αβγ
β y  α  β  γ
4
2
2
2
2
2
2

2 2
 4  α 2β 2  β 2 γ 2  γ 2 α 2   0 (4)
Θεωρούμε ότι οι εξισώσεις (2) και (4) ταυτίζονται οπότε p  2  α 2  β 2  γ 2  ,
q  8αβγ, r   α  β  γ
2
2

2 2
 4  α 2β 2  β 2 γ 2  γ 2 α 2 
2
2
p
q
q
p
r
άρα α 2  β 2  γ 2   , αβγ   , α 2β 2 γ 2  , α 2β 2  β 2 γ 2  γ 2 α 2 

2
8
64
16 4
p 2  p2 r 
q2
2
2
2
3
τότε
ό τα α ,β
β , γ είναι
ί ρίζες
ίζ της εξίσωσης
ξί
:w  w 
 w 
 0 (5)
2
64
 16 4 
21
που λέγεται επιλύουσα της (2) και λύνοντάς την βρίσκουμε
τα α 2 ,β 2 , γ 2 και από αυτά τα α,β, γ οπότε και τις ρίζες
y1 , y2 , y3 , y4 της
ης (2).
( )
Αφού α 2 ,β 2 , γ 2 είναι ρίζες της (5), επομένως ένα τουλάχιστον
θα είναι πραγματικός αριθμός.
2
2
2
Υπολογισμός
των
α,β,
γ
από
τα
α
,β
,
γ

2
q
q
2 2 2
Έχουμε α β γ 
 0, με αβγ   οπότε έχουμε
64
8
τις περιπτώσεις :
22
I. α 2 > 0, β 2 > 0, γ 2 > 0 τότε α 2   2 , β 2   2 , γ 2   2
με  ,  ,   0 οπότε α   , β   , γ    .
Επειδή τα α
α, β
β, γ παίζουν τον ίδιο ρόλο για τις ρίζες
y1 , y2 , y3 , y4 εκλέγουμε τα 2 από αυτά αυθαίρετα ως προς
q
το πρόσημο και βρίσκουμε το τρίτο από τη σχέση αβγ   .
8
II. α 2 > 0, β 2 < 0, γ 2 < 0 τότε α 2   2 , β 2   2 , γ 2    2
με  ,  ,   0 οπότε α   , β  i, γ    i.
Η επιλογή των α
α, β
β, γ γίνεται όπως πριν.
πριν
23
III. α 2 > 0, β 2 , γ 2 μιγαδικοί συζυγείς τότε α 2   2 , με   0
γ  β
2
2
  β 
2
 γ   β  α   , β      i  ,
γ      i  με  ,  Â,   0 και    i   β 2 ,
2
   i 
2
 γ . Η επιλογή των α, β, γ γίνεται όπως πριν.
2
24
Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση y 4  3 y 2  6 y  10  0 (1)
Η (1) είναι
ί της μορφής
ή y 4  py 2  qy  r  0 με p  3,
3 q  6
2
2


p
p
r
q
r  0 και έχει επιλύουσα την w 3  w 2     w   0,
0
2
64
 16 4 
3 2 31
9
3
δηλαδή την w  w  w   0 (2).
2
16
16
Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (2) με 64
64, οπότε η (2) ισοδυναμεί
με την 64w 3  96w 2  124w  36  0 
  4w   6   4w   31   4w   36  0 και αν 4w  t ισοδυναμεί
3
2
με την t 3  6  t 2  31  t  36  0 (3)
(3).
Δοκιμάζοντας για ακέραιες ρίζες βρίσκουμε την t1  1
και κατόπιν τις t2  t3  9.
25
t
1
9
και αφού w  η (2) έχει τις ρίζες w1   , w 2   w 3   .
4
4
4
1 2
9
1
3
2
2
Δηλαδή α   , β  , γ   , οπότε α   i, β  , γ   i
4
4
2
2
q 3
i
3i
3
με αβγ    και αν α  , γ 
τότε αγ   , άρα β  
8 4
2
2
4
άρα οι ρίζες της (1) είναι :
i
3i
y1  α  β  γ        2i,
2
2
i
3i
y2  α  β  γ        i,
2
2
i
3i
y3  α  β  γ         2i,
2
2
i
3i
y4  α  β  γ         i.
2
2
26
ΤΕΛΟΣ
27

Download Report