x - ITIS "E. Mattei"

FORMULARIO DI MATEMATICA
FORMULARIO
DI
MATEMATICA
CONTENUTI
1.trasformazioni geometriche
2.piano cartesiano
3.retta
4.Parabola
5.Circonferenza
6.Ellisse
7.Iperbole
8.progressioni
9.logaritmi
10.calcolo combinatorio
11.limiti notevoli
12.trigonometria
13.derivate
14.integrali
15.volumi e superfici
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FORMULARIO DI MATEMATICA
1. TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
x ' =xa
y ' = yb
Traslazione di vettore v = (a;b)
x '=k x
y ' =k y
Omotetia di centro l'origine e rapporto k
x '=−x
y' =y
Simmetria rispetto all'asse y
x '=x
y ' =−y
Simmetria rispetto all'asse x
x '=−x
y ' =−y
Simmetria rispetto all'origine
x '= y
y ' =x
Simmetria rispetto alla bisettrice y=x
x '=2k −x
y' =y
Simmetria rispetto alla retta x=k
x '=x
y ' =2h− y
Simmetria rispetto alla retta y=h
2. PIANO CARTESIANO
Distanza tra due punti A(xA;yA) e B(xB;yB)
AB =
( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) 2
 x A + xB y A + yB 
;

Punto medio M tra due punti A(xA;yA) e B(xB;yB) M = 
2
2


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3. RETTA
Equazione generale
ax + by + c = 0
Equazione esplicita
y = mx + q
Coefficiente angolare:
m=
Retta per due punti:
x − xB
y − yB
=
x A − xB y A − y B
Rette parallele:
y = m1 x + q1
m1 = m2
y = m2 x + q 2
Rette perpendicolari:
( y A − yB )
( x A − xB )
y = m1 x + q1
m1 = −
y = m2 x + q 2
1
m2
y − yC = m( x − xC )
Fascio di rette proprio di centro C(xC;yC):
(retta per un punto)
x = xC
y = m1 x + k
Fascio di rette improprio
(rette parallele)
m1
fisso
k
parametro
Distanza di un punto A(xA;yA) da una retta r
ax + by + c = 0
AH =
Asse AB
( x − x A ) 2 + ( y − y A ) 2 = ( x − xB ) 2 + ( y − yB ) 2
Bisettrice dell’angolo tra due rette:
r: a1 x + b1 y + c1 = 0
s: a 2 x + b2 y + c 2 = 0
a1 x + b1 y + c1
ax A + by A + c
a2 + b2
2
a1 + b1
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2
= ±
a 2 x + b2 y + c 2
2
a 2 + b2
2
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4. PARABOLA
y = ax 2 + bx + c
Con asse parallelo all’asse y.
a0
∪
concavità verso l ' alto
a0
∩
concavità verso il basso
∆ 
 b
2
vertice : V  −
;−
 ∆ = b − 4ac
 2 a 4a 
∆ 
 b 1
fuoco : F  −
;
−

 2a 4a 4a 
b
asse : x = −
2a
1
∆
direttrice : y = −
−
4a 4 a
x = ay 2 + by + c
Con asse parallelo all’asse x.
a> 0 ⊂
concavità verso destra
a< 0 ⊃
concavità verso sin istra
b 
 ∆
2
vertice : V  −
;−
 ∆ = b − 4ac
 4 a 2a 
∆
b 
 1
fuoco : F 
−
;−

 4a 4a 2a 
b
asse : y = −
2a
1
∆
direttrice : x = −
−
4a 4a
5. CIRCONFERENZA
1) x 2 + y 2 = r 2
2)
(x −
xC ) + ( y − y C ) = r 2
2
2
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
a
a = − 2 xC ⇒ xC = −
2
b
b = − 2 yC ⇒ yC = −
2
3)
Centro C(xC;yC) e raggio r
2
2
c = xC + y C − r 2 ⇒ r =
2
2
C.E. : xC + y C − c ≥ 0
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2
2
xC + y C − c
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6. ELLISSE
x2 y2
+
=1
a2 b2
Equazione con centro nell'origine
se a > b i fuochi F1 e F2 sono sull’asse x
OA: semiasse maggiore = a
OB: semiasse minore = b
OF1: semidistanza focale = c
k = PF1 + PF2 = 2a
se a < b i fuochi sono sull’asse y
k = PF1 + PF2 = 2b
OB: semiasse maggiore = b
OA: semiasse minore = a
b2=a2+c2
a2=b2+c2
(x −
eccentricità:
eccentricità:
c
<1
a
c
<1
b
xC )
( y − yC )
+
=1
2
a
b2
Ellisse traslata di centro C(xC;yC)
2
2
7. IPERBOLE
Equazione con centro nell'origine e fuochi
F1e F2 sull'asse delle x
Iperbole traslata di centro C(xC;yC)
x2 y2
−
=1
a2 b2
eccentricità:
(x −
c2=a2+b2
c
>1
a
asintoti: y = ±
b
x
a
xC )
( y − yC )
−
=1
2
a
b2
2
2
Equazione con centro nell'origine e fuochi
F1e F2 sull'asse delle y
x2 y2
− =−1
a2 b2
asintoti: y = ±
Iperbole equilatera
x2 − y2 = a2
asintoti: y = ± x
Iperbole equilatera traslata
di centro C (xC;yC)
( x − xc ) 2 − ( y −
xy = h
Iperbole equilatera riferita agli asintoti
(
2
y=
oppure
(
vertici = ±
F2 =
yc ) = a 2
h ;± h
2h ; 2h
)
)
h
x
h
ax + b
oppure y =
x − xc
cx + d
FUNZIONE OMOGRAFICA:
y − yc =
Iperbole equilatera riferita agli asintoti
traslata di centro C (xC;yC)
con gli assi : x = −
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d
c
y=
a
c
b
x
a
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8. PROGRESSIONI
a n =a 1 n−1 q
S n =n
a 1a n
2
a n =a 1 q
n −1 
n-esimo termine di una progressione aritmetica
somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
n-esimo termine di una progressione geometrica
S n =a 1
q n−1
q−1
somma dei primi n termini di una progressione geometrica
S n =a 1
1
1−q
somma degli infiniti termini di una progressione geometrica con ∣q∣1
9. LOGARITMI
definizione
y
y=log b x  b = x  b
log b x
=x
log a a = 1
Casi particolari
log a 1 = 0
n = n log a a = log a a n
log ( ab ) = log a + log b
log ( a : b ) = log a - log b
Proprietà dei logaritmi:
log a n = n log a
1
log a = log a 2 =
Cambiamento di base
⇒
log b a=
1
loga
2
log x a
log x b
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log
1
= log b -1 = − log b
b
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10. CALCOLO COMBINATORIO
n fattoriale
n!=nn−1n−2....2⋅1
Permutazioni semplici
di n oggetti
P n=n!
Permutazioni di n
oggetti con ripetizioni
q1, q2,...
P=
Disposizioni semplici
di n oggetti in k posti
D n ;k =n n−1 n−2....n−k 1
Disposizioni con
ripetizione di n oggetti
in k posti
D n ;k =n
Combinazioni semplici
di n oggetti in k posti
C n ; k= n
k
Potenza di un binomio
senx
=1
x→ 0 x
x→ 0
1 − cos x
=
x2
k
n!
  = n n−1n−2k !....n−k 1 = k ! n−k
!
ab = n  a  n  a b n  a b ....... n  ab  n  b
n
n−1
n−2
1
0
n
n
n−1
n−2
2
11. I LIMITI NOTEVOLI
sen( f ( x ) )
lim
=1
f ( x)
x → x0
lim
lim
n!
q 1!q2!...
n−1
con lim f ( x ) = 0
x → x0
1
2
x
1

lim  1 +  = e
x
x→ ∞ 
1
1
lim (1 + f ( x ) ) f ( x ) = e
lim (1 + x ) x = e
lim f ( x ) = 0
con
x → x0
x→ 0
x → x0
log a (1 + x )
= log a e
x
x→ 0
lim
ln(1 + x )
=1
x
x→ 0
lim
ln(1 + f ( x ) )
=1
f ( x)
x → x0
lim
con
lim f ( x ) = 0
x → x0
ax − 1
= ln a
x→ 0 x
lim
e f ( x) − 1
lim
=1
f ( x)
x → x0
ex − 1
lim
=1
x→ 0 x
lim
x→ 0
(1 + x ) α
x
−1
= α
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con
lim f ( x ) = 0
x → x0
n
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12. TRIGONOMETRIA
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
sen(α + β ) = sen α cos β + sen β cos α
sen(α − β ) = sen α cos β − sen β cos α
cos(α + β ) = cos α cos β − sen α sen β
cos(α − β ) = cos α cos β + sen α sen β
tgα + tgβ
1 − tgα tgβ
tgα − tgβ
tg (α − β ) =
1 + tgα tgβ
cot gα cot gβ − 1
cot gα + cotgβ
cot gα cot gβ + 1
cot g (α − β ) =
cot gβ − cotgα
tg (α + β ) =
cot g (α + β ) =
DUPLICAZIONE
sen2α = 2 senα cos α
α
α
senα = 2 sen cos
2
2
tg 2α =
α
α
− sen 2
2
2
α
cos α = 1 − 2sen 2
2
α
cos α = 2 cos 2 − 1
2
cos 2α = cos 2 α − sen 2α
cos α = cos 2
cos 2α = 1 − 2sen 2α
cos 2α = 2 cos 2 α − 1
2tgα
1 − tg 2α
cot g 2α =
cot g 2α − 1
2 cot gα
BISEZIONE
sen
tg
α
1 − cos α
= ±
2
2
sen 2α =
1 − cos 2α
2
α
1 − cos α
senα
1 − cos α
= ±
= ±
= ±
2
1 + cos α
1 + cos α
senα
cos
α
1 + cos α
= ±
2
2
cot g
cos 2 α =
1 + cos 2α
2
α
1 + cos α
senα
1 + cos α
= ±
= ±
= ±
2
1 − cos α
1 − cos α
senα
PARAMETRICHE
2t
1+ t2
con α ≠ π + 2π k
senα =
tgα =
2t
1− t2
con α ≠ π + 2π k e α ≠
t = tg
α
2
1− t2
cos α =
1+ t2
con α ≠ π + 2π k
t = tg
α
2
1− t2
cot gα =
2t
α
≠
π
+ πk
con
π
+ πk
2
t = tg
α
2
t = tg
α
2
PROSTAFERESI
senα + senβ = 2 sen
α + β
α − β
cos
2
2
cos α + cos β = 2 cos
senα − senβ = 2 cos
α + β
α − β
sen
2
2
cos α − cos β = − 2 sen
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α + β
α − β
cos
2
2
α + β
α − β
sen
2
2
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13. DERIVATE
FUNZIONE:
y=f(x)
FUNZIONE DERIVATA: y' = f(x)
y=k
y ' =0
y=x
y ' =1
y=∣x∣
∣x∣
y' =
x
y=x 
y ' = x
y= x
y' =
−1
1
2x
y=a
x
y ' =a ln a
x
y=e
x
y ' =e
x
y=lg a x
1
y ' = lg a e
x
y=lnx
y' =
y=sen x
y ' =cos x
y=cos x
y ' =−sen x
y=tg x
y ' =1tg x
y=cotg x
y ' =−1−cotg x
y=arc sen x
y' =
1
1−x 2
y=ar cos x
y' =
−1
1−x 2
y=arctg x
y' =
1
1x 2
1
x
2
oppure
2
y' =
oppure
1
cos2 x
y' =
REGOLE DI DERIVAZIONE
y= f  xg  x 
y ' = f '  xg '  x
y=k⋅ f  x 
y ' =k⋅ f '  x 
y= f  x⋅g  x
y ' = f '  x⋅g  x  f  x ⋅g '  x
y=
1
f x
y' =
y=
f x
gx
y' =
y= f  g  x 
− f ' x
f 2 x 
f '  x  g  x − f  x  g '  x 
g 2 x 
y ' = f '  g  x ⋅g '  x 
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−1
sen 2 x
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14. INTEGRALI INDEFINITI
INTEGRALI INDEFINITI
FONDAMENTALI
INTEGRALI INDEFINITI
GENERALIZZATI
∫ a dx=axk
∫ x  dx=
1
x
k con ≠−1
1
se=−1  ∫ x  dx=∫
1
dx=ln∣x∣k
x
1
∫ f   x  f '  x  dx= f 1 x k
∫
con ≠−1
f '  x
dx=ln∣ f  x∣k
f x
∫ sen x dx =−cos xk
∫ sen  f  x  f '  x  dx=−cos  f  xk
∫ cos x dx=sen xk
∫ cos  f  x  f '  x dx=sen f  x k
1
∫ 1tg2 x dx=∫ cos 2 x =tg xk
1
∫ 1tg 2  f  x  f '  x dx =tg  f  xk
∫ 1cotg 2 x dx =∫ sen2 x =−cotg xk
∫ 1cotg 2  f  x f '  x  dx=−cotg  f  x k
∫ e x dx=e x k
∫ e f  x f '  x dx=e f  xk
∫ a x dx=
∫
ax
k
ln a
1
dx=arc sen x k
 1−x 2
1
∫ 1x 2 dx=arc tg xk
∫ a f  x f '  x dx=
∫
f '  x
 1− f 2  x 
f '  x
a f  x
k
ln a
dx =arc sen  f  x k
∫ 1 f 2  x dx=arc tg  f  xk
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15. VOLUMI E SUPERFICI
PRISMA RETTO
Area totale =P base⋅h2⋅Abase
Volume=Abase⋅h
PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO
Area totale =P base⋅h2⋅Abase
Volume=Abase⋅h
Area totale =2 abacbc 
Volume=abc
Diagonale= a 2b 2c 2
CUBO
Area totale =6 l
2
Volume=l
3
Diagonale=l  3
PIRAMIDE RETTA
1
Area totale = P base⋅apotemaAbase
2
1
Volume= Abase⋅h
3
CILINDRO RETTO
Area totale =P base⋅h2⋅Abase
2
Volume=r ⋅h
CILINDRO EQUILATERO: h = 2r
Area totale =6 r 2
Volume=2  r 3
CONO RETTO
Area totale = r⋅ap r
2
1
Volume= r 2⋅h
3
CONO EQUILATERO: apotema = 2r
Area totale =3 r
2
3
Volume=  r 3
3
SFERA
Area superficie sferica =4 r 2
4
Volume=  r 3
3
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ap= h 2r 2

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