中学校第３学年数学科学習指導案日時平成 25 年○月○日（○）第○校時対象第３学年学校名 ○○立○○中学校１単元名「式の計算第１章式の計算」２単元の目標文字を用いた簡単な多項式について、式の展開や因数分解ができるようにするとともに、目的に応じて式を変形したりその意味を読み取ったりする。・単項式と多項式の乗法及び多項式を単項式で割る除法の計算ができるようにする。・簡単な一次式の乗法の計算及び次の公式を用いる簡単な式の展開や因数分解ができるようにする。乗法公式１ ( x  a )( x  b)  x 2  (a  b) x  ab ２ ( x  a ) 2  x 2  2ax  a 2 ３ ( x  a) 2  x 2  2ax  a 2 ４ ( x  a)( x  a)  x 2  a 2 ・文字を用いた式で数量及び数量の関係を捉え、説明する。３単元の評価規準単ア数学へのイ数学的な元関心・意欲・態度見方や考え方・単項式と多項式の乗・単項式と多項式の乗法・除法、式の展開法・除法、式の展開や因数分解に関心をや因数分解の仕方もち、それらの計算を考察することが単をしようとする。できる。元・問題を解決するとき・具体的な場面で、式のに、式の展開や因数を目的に合うように評分解を活用して考え変形し、数量の関係価たり判断したりしよなどを考察して表現規うとする。したり、その過程を準振り返って考えを深めたりするなど数学的な見方や考え方を身に付けている。ウ数学的な技能・単項式と多項式の乗法・除法の計算、式を展開することや因数分解することができる。・具体的な場面で、数量やその関係を文字式で表現し処理する技能を身に付けている。エ数量、図形などについての知識・理解・単項式と多項式の乗法・除法の仕方、式の展開や因数分解の意味を理解している。・文字式に表現することにより、形式的に処理する事ができることを理解し、知識を身に付けている。学習活動に即した具体的な評価規準 ➀広さ比べで文字を使うよさに関心をもち、面積を文字で表そうとしている。 ➁式の展開に関心をもち、既習の計算の形になるように工夫して計算しようとしている。 ➂乗法の公式に関心をもち、自ら既習内容を使って、それらを見いだそうとしている。 ➃色板並べの活動を通して式の変形に関心をもち、多項式を因数の積の形に表そうとしている。 ➄因数分解の公式の関連に関心をもち、それらを使って積極的に因数を分解しようとしている。 ➅文字式を使って数量及び数量の関係を捉え説明することに関心をもち、問題の解決に生かそうとしている。 ➆かけ算の答えを簡単に求める方法について関心をもち、それらが正しいことを文字式を使って証明しようとしている。 ➇素因数分解に関心をもち、素因数分解をしたり、素数を見つけたりしようとしている。 ➀単項式と多項式の乗法・除法の計算の方法を、具体的な数の計算や既習の文字式の計算と関連付けて考えることができる。 ➁多項式と多項式の積の展開方法を考えることができる。 ➂ ( x  2)( x  4) の展開のしくみから乗法公式１を導くことについて考えることができる。 2 2 ➃ ( x  3) 、( x  4) の展開のしくみから、乗法公式２，３を導くことについて考えることができる。 ➄ ( x  a )x  ( a ) の展開のしくみから乗法公式４を導くことについて考えることができる。 ➅102×98 のような自然数の計算に乗法公式を活用することができる。 ➆項が３つある多項式どうしの乗法の仕方について考えることができる。 2 ➇ x  px  q で、和が p 、積が q となる 2 数を見付ければ因数分解できることについて考えることができる。 2 2 ➈ 55  45 のような自然数の計算に因数分解の公式を活用できることについて考えることができる。 ➉複雑な因数分解や多項式を一つの文字式に置き換える因数分解の仕方を考えることができる。 ⑪数の並びの性質を見いだし、文字を使って説明することができる。 ⑫具体例から一般的に成り立つ性質を予想したり、その性質の証明について考えたりすることができる。 ➀単項式と多項式の乗法及び多項式を単項式でわる除法の計算ができる。 ➁多項式と多項式の乗法の計算ができる。 ➂ ( x  a )( x  b) の類型の式を、乗法公式を用いて展開することができる。 2 2 ➃ ( x  a ) 、( x  a ) の類型の式を、乗法公式を用いて展開することができる。 ➄ ( x  a )( x  a ) の類型の式を、乗法公式を用いて展開することができる。 ➅分配法則や交換法則及び乗法公式を活用して、いろいろな計算をすることができる。 ➆多項式の共通な因数をくくり出す因数分解ができる。 ➇乗法公式１を基にする因数分解ができる。 ➈乗法公式２，３，４を基にする因数分解ができる。 ➉既習事項や例を参考にすることで、複雑な因数分解をすることができる。 ⑪数量及び数量の関係を文字式で表してあり、文字式の意味を読み取ることができる。 ⑫１より大きい自然数を素因数分解することができる。 ➀式の展開の意味を理解している。 ➁乗法公式のもつ意味とそれを活用するよさを理解している。 ➂四つの乗法の公式を互いに関連付けて理解している。 ➃多項式の因数、因数分解、共通な因数の意味を理解している。 ➄因数分解の公式を乗法の公式と関連付けて理解している。 ➅数量及び数量の関係を帰納や類推によって捉え、それを文字式を使って一般的に証明することができることを理解している。 ➆式の展開や因数分解は、文字式を使った証明にも活用できることを理解している。 ➇素数や因数、素因数、素因数分解の意味を理解している。４単元について（１）単元（題材）について小学校では、計算の仕方を考えたり、計算の確かめをしたりする学習をとおして、交換法則・結合法則・分配法則や計算の決まりを理解する。数量の関係をことばの式や、□、○などを用いて式に表す経験をしてきている。これらの経験をもとに、これからは、ことばや□、○などの代わりに、新たに a 、 x などの文字を使って、数量の関係を式で一般的に表していく。中学校では、計算の決まりを利用しながら、正負の数・文字を使用するよさを理解する。必要に応じて数量をいろいろな文字や数字を自由に変形し、表した式を操作する基礎を養う力を付ける。分配法則を用い、計算する決まりを見いだし、実際に計算できるようにする。第 2 学年では、事象の中に数量の関係を見いだし、それを文字を用いて式に表現したり式の意味を読み取ったりする能力を養うとともに、簡単な正式の加法・減法、単項式の乗法・除法の計算ができるようになっている。また、数量や数量の簡単な式を変形することを学習している。第 3 学年では、これらの学習の上に立って、単項式と多項式の乗法、多項式を単項式で割る除法及び簡単な一次式の乗法の計算ができるようにする。さらに、公式を用いる簡単な式の展開と因数分解を取り扱い、これによって、目的に応じて式を変形したり、その意味を読み取ったりする能力を伸ばすことがねらいである。高等学校では、中学校での既習事項を復習して、数や式の計算、方程式などの解法を正しく自由自在に扱える能力を養うため、公式の適切な使用について理解させる。また、可能な限り公式を利用して、能率よく計算を行う技能を養成する。中学校第１学年・正負の計算の概念教材の関連性・文字式の利用小学校第２，３学年・一次式の計算・乗法・一次方程式の解き方、利用小学校第４学年・数量の関係の式中学校第２学年・単項式、多項式の加減・単項式の乗除・等式の変形小学校第５学年・四則に関して成り立つ性質中学校第３学年・少数の乗法、除法・式の展開、因数分解・倍数、約数・平方根・異分母分数の加減・二次方程式の解き方、利用小学校第６学年高等学校数学Ⅰ ・分数の乗法、除法・式の展開、因数分解・二次方程式の解き方、利用数学Ⅱ ・二項定理（２）教材について本単元は、中学校３年間における方程式を除く、数と式の領域の集大成の場面となる学習内容である。また、第２学年で学習した「文字を利用した説明」や、「図形の証明」から継続、発展している論証指導の貴重な学習内容でもある。そこで、第１学年から継続して育成している「文字や式を利用することのよさ」をさらに深められるような授業展開や、筋道を立てて論理的に考える場面を大切にした授業の充実を図る。本時の指導に当たっては、生徒が文字や式を利用することの目的意識をもてるような授業展開を目指す。そのため、具体的な整数の計算式から答えの規則性を帰納的に見いだし、それがいつでも成り立つことを演繹的に証明していく流れを大切にし、文字や式を利用することのよさや論理的思考力の伸長を図る。また、レディネステストの結果、苦手とする生徒の多かった２桁の整数を 10a  b と表すことが必要な問題を出題することで、理解と習熟を図る。なお、証明を苦手とする生徒も多い。そこで、証明で上手く表現したり適切に解釈したりすることばかりに重点をおくのではなく、数学的な表現に慣れ、自分なりに説明し伝え合う活動に取り組むことを大切にして、数学的な表現のよさを実感できるようにする。５単元の指導計画（全２２時間扱い）節 1 章の扉１節式の展開項 ➀ 単項式と多項式の乗法、除法 ➁ 式の展開時数 0.5 学習内容【導入】身近な話題への文字式の活用ア－➀ 1.5 ・単項式と多項式の乗法・多項式を単項式でわる計算イ－➀➁ ウ－➀➁ １・展開の意味・2 項式どうしの積の展開ア－➁ イ－➁ エ－➀ ・ ( x  a )( x  b)  x  ( a  b) x  ab を使う式の展開ア－➂ イ－➂ ウ－➂ エ－➁ ア－➂ イ－➃ ウ－➃ エ－➁ ア－➂ イ－➄ ウ－➄ エ－➁ ア－➃ イ－➅➆ ウ－➅ エ－➂ ➂ ( x  a)( x  b) 2 １の展開・ ( x  a )  x  2ax  a を使う式の展開 ➃ ( x  a) 2 、 ( x  a) 2 2 2 １の展開 ➄ ( x  a)( x  a) 2 ・ ( x  a )( x  a )  x  a を使う式の展開 2 2 １の展開２節因数分解 ➅ 乗法公式の活用２・乗法公式を活用した数の計算・乗法公式を使ったいろいろな計算基本の問題１・本節のまとめと確かめの問題 ➀ 因数分解２・因数、因数分解の意味・共通因数をくくり出す因数分解 ➁ 乗法公式１をもとにする因数分解 ➂ 乗法公式２，３，４をもとにする因数分解・ x  ( a  b) x  ab  ( x  a )( x  b) を利用した因数分解 2 １・ x  2ax  a  ( x  a ) 、 x  a  ( x  a )( x  a ) を利用した因数分解・因数分解の公式を活用した数の計算 2 １ 2 2 2 2 評価規準ア－➄ ウ－➆ エ－➃ ア－➄ イ－➇ ウ－➇ エ－➄ ア－➄ イ－➈ ウ－➈ エ－➄ ３節文字式の活用４節１基本の問題１ ➀ 数の性質を見いだし伝え合おう（本時１／２時間）ア－➄ イ－➉ ウ－➉ エ－➄ ・いろいろな因数分解 ➃ 因数分解の公式の活用・本節のまとめと確かめの問題・数の性質を見いだし発展させ、文字を使って説明し合う活動ア－➅➆ イ－⑪⑫ ウ－⑪ エ－➅ ・式の展開や因数分解を使った数の性質に関する問題の解決ア－➅ イ－⑪⑫ ウ－⑪ エ－➅➆ ・因数、素数、素因数、素因数分解の意味・素因数分解の方法とその活用ア－➇ イ－⑫ ウ－⑫ エ－➇ ２ ➁ 文字を使った証明１ ➀ 素因数分解素因数分解１章のたしかめ１２・Ａ問題（主に知識・技能の問題）・Ｂ問題（活用の問題）６本時の指導（16/22 時間目）（１）本時の目標・式の計算に関心をもち、式の展開や因数分解などを使って問題を解決しようとする。・式の展開や因数分解を活用して説明する中で、文字を用いることのよさを知る。（２）本時の展開時間導入５分展開３５分学習内容と学習活動、予想される生徒の反応 ○指導上の留意点 ◆評価 ○時間制限を設けて乗法公式を確認する。復習問題乗法公式の問題練習３桁の整数を表す問題課題次の計算をしなさい。 ➀２４×２６ ➁２５×２５ ➂３５×３５ ➃２８×２２ ➄７１×７９何か工夫して計算することができましたか。【生徒の予想される反応】・頑張って計算する。・一の位をかけて、十の位はその数と、それより一つ大きい数をかけたものにする。 ○本時に必要な知識を確認できるように問題を設定する。 ○インド式の計算方法の一つであることを伝え、何か工夫できないか、考えさせる。 ◆ア－➆（観察） ○式をたてに書いてみせる。 ○予想できたことを十分に取り上げる。・十の位をかけたものに十の位の数を足して、一の位はそのままかける。どういう問題のときに、このような計算で答えがでるのですか。問題の特徴が分かりますか。 ○どんな数の並びのときに、この方法が使えるのかを考えさせ、言葉で表現させる。【生徒の予想される反応】・十の位の数が同じ。・一の位の数をたすと１０になる。 ○規則性が分からない場合には、同じような問題や、 65  25 など、一の位はたして１０だが、十の位が違っているものを紹介して比べさせ、考えさせる。 ○板書に y  z  10 を残す。 ○説明には３段階あることを示す ➀文字で表すこと ➁立式すること ➂最終的な形の式にすること ○机間指導で、文字の表し方についてヒントを与える。十の位の数が同じで、一の位の数が足して１０になっているときだけに成り立つものです。いつでも本当にそうなるのかを、説明してみましょう。説明には３段階あります。一つでも段階が最後までいけるように、取り組んでみましょう。手順は ➀説明したいことを文字で表すこと ➁問題のとおりに立式すること ➂最終的に説明したいことを計算結果の式にすることです。時間は３分です。（個人解決）それでは、これからグループで解答を作り上げて ○具体から抽象化できるよう、板書の工夫をする。ほしいと思います。３人または４人グループになり、お互いの考えた ○質疑・応答後、ベストアンサーを決める。内容を発表し、ベストアンサーを決定しましょう。 ◆イ－⑪（ノート、観察）（グループ解決）２けたの整数の十の位の数を x 、一の位の数を y 、 z とする。 y  z  10 より、 (10 x  y )(10 x  z )  100 x 2＋10 xy  10 xz  yz  100 x 2  10 x( y  z )  yz  100 x 2  100 x  yz  100 x( x  1)  yz 72  78 5616 72  7  28  100 10x  y  10 y  z x 2  x yz  100 では、みんながみつけた法則は説明ができたので、 ○時間制限をもうける。公式を活用することのよさを実感させる問題とする。公式として今後は使っていいことになりますね。実際に公式を活用して、次の問題を解いてみましょう。 ➀ 17  13 ➁ 84  86 ➂ 65  65 実は、みんなで解決したこの問題は教科書に程度の高い問題として紹介されています。どんな風に証明されているか、確認してみましょう。まとめ ○特によかった説明については取り上げ、何を工夫したらよいかが分かるようにする。 ◆エ－➅（ノート）他にも、工夫した計算方法があることを紹介する。 ○関心をもたせる話をする。（斜線での掛け算、マスを利用した掛け算、ネイピアの棒）１０分（３）本時の評価・式の計算に関心をもち、式の展開や因数分解などを使って問題を解決しようとしたか。・式の展開や因数分解を活用して説明する中で、文字を用いることのよさを知ることができたか。（４）板書計画課題・十の位が同じ ➀ 24  26  624 ➃ 28  22  616 ➁ 25  25  625 ➄ 71  79  5609 ➂ 35  35  1225 ・一の位の数を足すと１０ → y  z  10 72  78 5616 72  7  28 10x  y 10  yz x 2  x yz  100  100 ベストアンサーＩＪＧＥＣＡＨＦＤＢ時間によっては、紙面上での発表や、できたグループでの発表とする。