高校数学裏技ハンドブック Ver. 3 マスオ 2014 年 12 月 30 日 1 目次はじめに 3 1.1 ハンドブックの使い方，特長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 お問い合わせ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 大学受験編 4 1 2 2.1 式の計算，方程式，恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 複素数，複素数平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 図形（初等幾何） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 解析幾何（座標・ベクトル） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 二次，三次関数，二次曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7 三角比，三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 指数・対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.9 極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.10 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.11 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.12 組み合わせ，場合の数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.13 確率，統計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.14 数列，漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.15 整数問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 数学オリンピック編 61 3.1 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 幾何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3 組み合わせ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4 数論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 2 1 はじめにこんにちは，マスオです．高校数学裏技ハンドブックをダウンロードしていただき誠にありがとうございます！この高校数学裏技ハンドブックは，ウェブサイト「高校数学裏技公式集」（http://mathtrain.jp）の記事を元に，重要な部分を抜き出して加筆，修正したものです．高校数学の本質的な考え方，重要な証明方法などのエッセンスを凝縮しています． ※「高校数学裏技公式ハンドブック」の著作権はマスオに付随します．他のサイトで許可無く再配布とかされると悲しいですが，部分的にコピーして友達とかに配る分には構いません！ 1.1 ハンドブックの使い方，特長・簡潔さを追究したため細かい計算や証明，記号の定義は省略しまくってます，初見だと分からない部分だらけだと思います．ここに載せている全ての公式はウェブサイトで詳しく解説していますので，詳細が気になった部分はウェブサイトのサイト内検索を利用して確認してください．・ウェブサイトと併用してハンドブックの内容をひと通り理解した上で，通学の電車内などちょっとした時間に何度も流し読みをしていただけるとより効果的だと思います．・印刷して余白に補足や新しいポイントを追加するのもオススメです．・重要度，難易度を（ほぼ）３段階で評価しています重要度の★が多いほど頻出，難易度の ★が多いほど理解するのが難しいということを表しています．・重要度「★☆☆」はかなりマニアックなので最初は読み飛ばしても OK です．・Ver.3 では収録公式集を大幅に増やしました． 1.2 お問い合わせ質問，誤植，意見，依頼などあれば遠慮無く twitter で（@mathelegant）に聞くかマスオまでメール（[email protected]）してください！特に誤植の指摘が助かります！これからもウェブサイトの方はどんどん更新していくつもりです。今後ともよろしくお願いします！ 3 2 大学受験編 2.1 式の計算，方程式，恒等式 No.1：有名な因数分解公式１重要度★★★ 難易度★★☆ a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ・c = 1 など具体的な数字のときには気づきにくいので注意．・三変数の相加相乗平均の不等式の証明に用いられる． No.2：有名な因数分解公式２重要度★★★ 難易度★★☆ an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) また，n が奇数のときには， an + bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − abn−2 + bn−1 ) ・等比数列の公式の分母を払ったもの．・n = 3 の場合は教科書に載っている公式．・整数問題に応用されることが多い（an − bn の形の整数が素数でないことを示すなど）． No.3：交代式の因数分解重要度★★☆ 難易度★★☆ ３変数の交代式 f (a, b, c) は (a − b)(b − c)(c − a)g(a, b, c) と因数分解することができる．さらに，g(a, b, c) は対称式である．・因数定理と交代式の定義を用いて証明できる．・２変数の交代式も同様．・例：a3 (c − b) + b3 (a − c) + c3 (b − a) = (a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 4 No.4：発展的な乗法公式重要度★☆☆ 難易度★☆☆ (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 (a + b)(b + c)(c + a) = a2 b + ab2 + b2 c + bc2 + c2 a + ca2 + 2abc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2 b + ab2 + b2 c + bc2 + c2 a + ca2 ) + 6abc ・４乗の展開式の係数「1，4，6，4，1」は暗記しておくとよい．・公式を忘れたら１つずつ展開すればよいだけなので重要ではないが，余計なところで時間と労力を取られないように工夫すべき．・(a + b + c)3 の展開は対称性と多項定理を用いる． No.5：恒等式の証明問題重要度★★★ 難易度★☆☆ 「以下の恒等式を証明せよ」というタイプの問題は，両辺を展開することで必ず証明できる．・格好いい方法を考えるよりもひたすら展開する方が確実に解けるのでおすすめ．・多くの恒等式には「部分分数分解，x = a で展開する，完全平方式にする」など何かしら背景がある． No.6：ブラーマグプタの恒等式重要度★☆☆ 難易度★★☆ (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 (a2 + nb2 )(c2 + nd2 ) = (ac − nbd)2 + n(ad + bc)2 = (ac + nbd)2 + n(ad − bc)2 ・両辺ともに展開すると一致することから簡単に証明できる．・ペル方程式をはじめ整数問題の不定方程式を解く際に活躍する恒等式．・恒等式の証明の題材として頻出． 5 No.7：ラグランジュの恒等式重要度★☆☆ 難易度★★★ n n n ∑ ∑ ∑ ai bi )2 + b2i ) = ( ( a2i )( i=1 i=1 i=1 ∑ (ai bj − aj bi )2 1≤i<j≤n ・両辺ともに頑張って展開すると一致することから証明できる．・n = 2, 3 のときに恒等式の証明の題材として頻出．・コーシー・シュワルツの不等式の証明になっている．・ビネコーシーの恒等式の特殊系． No.8：代数学の基本定理重要度★★☆ 難易度★★★ 複素数係数の n 次方程式は複素数の範囲で（重複度も含めて）n 個の解を持つ．・高校範囲でも暗黙の了解として使っている偉大な定理．・数学的帰納法，因数定理，最大値の原理を用いてほぼ高校数学で証明できる． No.9：カルダノの公式重要度★☆☆ 難易度★★★ 三次方程式には解の公式（カルダノの公式）が存在するが，非常に複雑なので入試には出ない．・入試で出題される三次方程式は必ず因数定理で解ける．・数学好きなら雑学としてカルダノの公式の雰囲気を知っておくとよい． No.10：相反方程式の解法重要度★★☆ 難易度★★☆ 偶数次 (2n 次) の相反方程式は x + 1 = t とおくことによって t についての n 次方程 x 式に帰着することができる．奇数次 (2n + 1 次) の相反方程式は (x + 1) で割り切れ，x + 1 = t とおくことによっ x て t についての n 次方程式に帰着することができる．・偶数次については xn + 1 xn がx+ 1 x の n 次式で表されることから証明できる．・奇数次の場合は因数定理を用いて偶数次に帰着される．・入試で出題される相反方程式はほとんどの場合四次か五次． 6