32 6 式の計算⑵ 例題 1 因数分解① Ⓐ 次の式を因数分解しなさい。 ⑴ a2＋5a 次の式を因数分解しなさい。 x ＋2x ⑴ くくり出す ⑶ 2ax＋8ay x2＋3x＋2 ] [ x ＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b） a＋b＝5，ab＝6 2 ＝x ＋（2＋3）x＋2×3 ＝（x＋2）（x＋3） x2−3x−10 a＋b＝−5，ab＝−14 ＝x ＋{2＋(−7)}x＋2×(−7) ＝(x＋2)(x−7) (x＋1)(x＋2) ] [ (x＋2)(x−7) ] ⑵ 8ab＋12ac ＝x×x−6×x ＝x(x−6) [ ⑶ ＝4a×2b＋4a×3c ＝4a(2b＋3c) x(x−6) ] 2 x −8x＋15 [ [ 4a(2b＋3c) ] 2 ⑷ x ＋2x−24 ＝x2＋{(−3)＋(−5)}x＋(−3)×(−5) ＝(x−3)(x−5) ＝（x＋2）（x−5）例題 2 因数分解② ] 2 ⑴ x2−6x ab＝−10 ＝x ＋{2＋（−5）}x＋2×（−5） 3x(2x−y) Ⓑ 次の式を因数分解しなさい。 a＋b＝−3， 2 [ ⑷ x2−5x−14 a＋b＝3，ab＝2 ＝x ＋(1＋2)x＋1×2 ＝(x＋1)(x＋2) ＝ 2a（x＋4y） 2 ⑶ x2＋5x＋6 a(a＋5) 2 ＝ 2a ×x＋ 2a ×4y (x−3)(x−5) ＝x2＋{(−4)＋6}x＋(−4)×6 ＝(x−4)(x＋6) ] [ (x−4)(x＋6) ] Ⓐ 次の式を因数分解しなさい。 ⑴ x2＋10x＋25 次の式を因数分解しなさい。 2 x2＋2ax＋a2＝（x＋a） 2 ⑴ x ＋8x＋16 ⑵ x2−4x＋4 ＝x2＋2×5×x＋52 ＝x2−2×2×x＋22 ＝(x＋5)2 ＝(x−2)2 2 x2−2ax＋a2＝（x−a） (x＋5)2 [ ⑶ ] 2 (x−2)2 ] (a＋7)(a−7) ] [ 2 16x ＋8x＋1 ⑷ a −49 ＝x2＋2×4×x＋42 ＝(4x)2＋2×1×4x＋12 ＝a2−72 2 ＝（x＋4）＝(4x＋1)2 ＝(a＋7)(a−7) 2 [ ⑵ x −18x＋81 ＝x2−2×9×x＋92 2 ＝（2x＋3） x2−a2＝（x＋a）（x−a）＝x2−32 ＝（x＋3）（x−3） [ ⑵ x2−12x＋36 ＝a2＋2×7×a＋72 ＝(a＋7)2 2 44x2＝（2x） 2 ＝（2x）＋2×3×2x＋32 x2−9 ] ⑴ a2＋14a＋49 ＝（x−9） ⑶ 4x2＋12x＋9 (4x＋1) 2 Ⓑ 次の式を因数分解しなさい。 2 ⑷ 3x が共通因数＝3x(2x−y) [ 共通因数を＝ x（x＋2） ⑷ ＝ 3x ×2x− 3x ×y a が共通因数 x が共通因数＝ x ×x＋2× x ⑵ ＝ a ×a＋5× a ＝a(a＋5) 共通因数でくくる 2 ⑵ 6x2−3xy (a＋7)2 [ ⑶ ＝x2−2×6×x＋62 ＝(x−6)2 ] 9x2−24x＋16 (3x−4)2 ] (a＋8)(a−8) ] ⑷ a2−64 ＝(3x)2−2×4×3x＋42 ＝(3x−4)2 [ (x−6)2 [ ＝a2−82 ＝(a＋8)(a−8) ] [ 33 例題 3 いろいろな因数分解 Ⓐ 次の式を因数分解しなさい。 ⑴ の式を因数分解しなさい。 2 4x −8x−12 ⑴ 共通因数は 4 2 ＝3b(a ＋4a＋4) ] ⑷ x＋y＝X とおくと， x＋y が＝X2−Y2 ＝(X＋Y)(X−Y) ＝{(x＋3)＋(y＋2)}{(x＋3)−(y＋2)} ＝(x＋3＋y＋2)(x＋3−y−2) ＝(x＋y＋5)(x−y＋1) x＋y＝X とおくと，共通な式＝X 2＋5X 5 ＋6 因数分解する＝(X ( ＋2)(X ( ＋3) ＝（x＋y＋2）（x＋y＋3）もとにもどす (x＋1)2−(y＋4)2 ⑷ X y＋4＝Y とおくと， x＋1＝X， (x＋1)2−(y＋4)2 2 ＝X −Y 2 因数分解 Y (X Y ＝(X ( ＋Y) ( −Y) [ (x＋y＋2)(x＋y＋4) ] する＝{(x ( ＋1)＋(y ( ＋4) 4 }{(x ( ＋1)−(y ( ＋4) 4} ＝(x＋1＋y＋4)(x＋1−y−4) ＝（x＋y＋5）（x−y−3） [ (x＋y＋5)(x−y＋1) ] Ⓑ 次の式を因数分解しなさい。 3a2＋9a−30 ⑵ 2x2y−16xy＋32y ＝3(a2＋3a−10) ＝3(a−2)(a＋5) ＝2y(x2−8x＋16) ＝2y(x−4)2 ⑴ [ ，におきかえる (x＋3) −(y＋2) 3(a−2)(a＋5) ] 2 2 ⑶ (a＋b) −7(a＋b)＋12 a−2＝X，b＋5＝Y とおくと， (a−2)2−(b＋5)2 ＝X2−Y2 ＝(X＋Y)(X−Y) ＝{(a−2)＋(b＋5)}{(a−2)−(b＋5)} ＝(a−2＋b＋5)(a−2−b−5) ＝(a＋b＋3)(a−b−7) [ (a＋b＋3)(a−b−7) ] Ⓐ 次の式をくふうして計算しなさい。 ⑴ 572−432 ⑵ ＝(57＋43)×(57−43) い。＝100×14 ＝1400 2 68 −32 ⑴ ] 2 ⑷ (a−2) −(b＋5) a＋b＝X とおくと， (a＋b)2−7(a＋b)＋12 ＝X2−7X＋12 ＝(X−3)(X−4) ＝(a＋b−3)(a＋b−4) 次の式をくふうして計算しなさ 2 2y(x−4)2 [ [ (a＋b−3)(a＋b−4) ] 例題 4 式の計算への利用 ] 2 (x＋3)2−(y＋2)2 ＝X2＋6X＋8 ＝(X＋2)(X＋4) ＝(x＋y＋2)(x＋y＋4) Xにおきかえる 5a(b＋1)(b−1) 2 x＋3＝X，y＋2＝Y とおくと， (x＋y) ＋6(x＋y)＋8 (x＋y)2＋5(x＋y)＋6 (x＋y)2＋5(x＋y)＋6 [ 2 2 ＝3b （a＋2） ⑶ 2(x＋3)2 ⑶ (x＋y) ＋6(x＋y)＋8 は 3b 共通因数は 5a ＝5a(b −1) ＝5a(b＋1)(b−1) 2 共通因数 5ab2−5a 2 ＝2(x ＋6x＋9) ＝2(x＋3)2 [ ＝4 （x＋1）（x−3） 3a2b＋12ab＋12b ⑵ 共通因数は 2 2 ＝4(x2−2x−3) ⑵ 2x2＋12x＋18 982 98＝100−2 ＝(100−2)2 ＝1002−2×2×100＋22 ＝10000−400＋4 ＝9604 ＝(68＋32)×(68−32) ＝100×36 [ ＝3600 1032 ⑵ 1400 [ ] 9604 ] Ⓑ 次の式をくふうして計算しなさい。 2 ＝(100＋3) ＝1002＋2×3×100＋32 ＝10000＋600＋9 ⑴ 742−262 ⑵ ＝(100＋5)2 ＝1002＋2×5×100＋52 ＝10000＋1000＋25 ＝11025 ＝(74＋26)×(74−26) ＝100×48 ＝4800 ＝10609 [ 4800 1052 ] [ 11025 ] 34 確認問題次の式を因数分解しなさい。 ⑴ ➡例題 1 2 8a ＋2a ⑵ 9xy−15y =3y*3x-3y*5y ＝3y(3x−5y) ＝2a×4a＋2a×1 ＝2a(4a＋1) 解法のポイント 2 ⑴ 共通因数は 2a ⑵ 共通因数は 3y ⑶∼⑹ x2＋(a＋b)x＋ab [ 2a(4a＋1) ] ⑶ x2＋7x＋6 [ ⑷ ＝x2＋(1＋6)x＋1×6 ＝(x＋1)(x＋6) 3y(3x−5y) ＝(x＋a)(x＋b) ] a2−11a＋18 ＝a2＋{(−2)＋(−9)}a＋(−2)×(−9) ＝(a−2)(a−9) を用いて因数分解する。 ⑶ たすと 7，かけると 6 になる 2 数はともに正の数である。 ⑷ たすと−11，かける [ (x＋1)(x＋6) [ ] ⑸ a2＋a−20 ⑹ ＝a2＋{(−4)＋5}a＋(−4)×5 ＝(a−4)(a＋5) (a−2)(a−9) ] x2−5x−24 と 18 になる 2 数はともに負の数である。 ⑸，⑹ ＝x2＋{3＋(−8)}x＋3×(−8) ＝(x＋3)(x−8) かけると負の数になる 2 数は，正の数と負の数である。 [ (a−4)(a＋5) [ ] (x＋3)(x−8) 次の式を因数分解しなさい。 ⑴ ] ➡例題 2 a2＋16a＋64 ⑵ ＝a2＋2×8×a＋82 ＝(a＋8)2 x2−8x＋16 ⑴，⑶ x2＋2ax＋a2 ＝(x＋a)2 ＝x2−2×4×x＋42 ＝(x−4)2 を用いて因数分解する。 ⑵，⑷ x2−2ax＋a2 ＝(x−a)2 を用いて因数分解する。 [ 2 (a＋8) ⑶ 4a2＋28a＋49 2 ⑷ 2 (2a＋7)2 [ ] ⑸ y −36 ⑹ 2 2 (y＋6)(y−6) ] (5x−2)2 を用いて因数分解する。 ] 2 9a −16b [ ⑸，⑹ x2−a2 ＝(x＋a)(x−a) 2 ＝(3a)2−(4b)2 ＝(3a＋4b)(3a−4b) ＝y −6 ＝(y＋6)(y−6) [ ] 25x2−20x＋4 ＝(5x) −2×2×5x＋2 ＝(5x−2)2 2 2 (x−4) 2 ＝(2a) ＋2×7×2a＋7 ＝(2a＋7)2 [ [ ] 2 (3a＋4b)(3a−4b) ] 35 次の式を因数分解しなさい。 ⑴ ➡例題 3 4x2−12x−40 ⑵ ＝4(x2−3x−10) ＝4(x＋2)(x−5) x2y−10xy＋21y 解法のポイント ⑴∼⑷ 共通因数をくく＝y(x2−10x＋21) ＝y(x−3)(x−7) り出してから，かっこの中を公式を用いて因 [ ⑶ 4(x＋2)(x−5) [ ] 6ab2−24ab＋24a ⑷ ＝6a(b2−4b＋4) ＝6a(b−2)2 y(x−3)(x−7) ] 2bx2−32by2 数分解する。 ⑴ 共通因数は 4 ⑶ 共通因数は 6a ＝2b(x2−16y2) ＝2b(x＋4y)(x−4y) ⑸ x＋y＝X とおくと，式は X2−8X 8 ＋12 [ ⑸ 6a(b−2)2 ] (x＋y)2−8(x＋y)＋12 [ ⑹ x＋y＝X とおくと， (x＋y)2−8(x＋y)＋12 ＝X2−8X＋12 ＝(X−2)(X−6) ＝(x＋y−2)(x＋y−6) 2b(x＋4y)(x−4y) これを因数分解する。 ] (x−2)2−6(x−2)＋9 最後に，X を x＋y にもどすのを忘れない x−2＝X とおくと， (x−2)2−6(x−2)＋9 ＝X2−6X＋9 ＝(X−3)2 ＝(x−2−3)2 ＝(x−5)2 ようにする。 ⑹ x−2＝X とおいて，式を因数分解する。 X を x−2 にもどしたあと，かっこの中を [ [ (x＋y−2)(x＋y−6) ] ⑺ (a＋6)2−(b＋5)2 ⑻ a＋6＝X，b＋5＝Y とおくと， (a＋6)2−(b＋5)2 ＝X2−Y2 ＝(X＋Y)(X−Y) ＝{(a＋6)＋(b＋5)}{(a＋6)−(b＋5)} ＝(a＋6＋b＋5)(a＋6−b−5) ＝(a＋b＋11)(a−b＋1) (x−5)2 ] (x＋1)2−(y−4)2 x＋1＝X，y−4＝Y とおくと， (x＋1)2−(y−4)2 ＝X2−Y2 ＝(X＋Y)(X−Y) ＝{(x＋1)＋(y−4)}{(x＋1)−(y−4)} ＝(x＋1＋y−4)(x＋1−y＋4) ＝(x＋y−3)(x−y＋5) 計算する。 a＋6＝X，b＋5＝Y ⑺ とおいて，式を因数分解する。 X，Y をもとにもどしたあと，それぞれのかっこの中を計算する。 ⑻ x＋1＝X，y−4＝Y とおく。 [ (a＋b＋11)(a−b＋1) ] [ (x＋y−3)(x−y＋5) ] 次の式をくふうして計算しなさい。 ➡例題 4 ⑴ 852−152 ⑵ 1072 ＝(x＋a)(x−a) ＝(100＋7)2 ＝1002＋2×7×100＋72 ＝10000＋1400＋49 ＝11449 ＝(85＋15)×(85−15) ＝100×70 ＝7000 ⑴ x2−a2 を用いる。 ⑵ 107＝100＋7 であることを利用する。 ⑶ 72＝70＋2 [ ⑶ 7000 ] [ 11449 ] 72×68 68＝70−2 であることを利用する。＝(70＋2)×(70−2) ＝702−22 ＝4900−4 ＝4896 [ 4896 ] 36 練習問題次の式を因数分解しなさい。 ⑴ xy2＋5xy ⑵ =xy*y+5*xy ＝xy(y＋5) 12ab−16b ＝4b×3a−4b×4 ＝4b(3a−4) [ xy(y＋5) ] ⑶ x2＋8x＋12 [ ⑷ ＝x2＋(2＋6)x＋2×6 ＝(x＋2)(x＋6) 4b(3a−4) ] a2−10a＋9 ＝a2＋{(−1)＋(−9)}a＋(−1)×(−9) ＝(a−1)(a−9) [ (x＋2)(x＋6) ] 2 ⑸ a −a−30 [ ⑹ 2 ] [ (x−4)(x＋8) ] [ (a−9)2 ] [ (5a−2)2 ] [ (6x＋7y)(6x−7y) ] x ＋4x−32 ＝x2＋{(−4)＋8}x＋(−4)×8 ＝(x−4)(x＋8) ＝a ＋{5＋(−6)}a＋5×(−6) ＝(a＋5)(a−6) [ (a−1)(a−9) 2 (a＋5)(a−6) ] 次の式を因数分解しなさい。 ⑴ x2＋10x＋25 ⑵ ＝x2＋2×5×x＋52 ＝(x＋5)2 ＝a2−2×9×a＋92 ＝(a−9)2 [ (x＋5)2 ] ⑶ 9x2＋24x＋16 ⑷ ＝(3x)2＋2×4×3x＋42 ＝(3x＋4)2 25a2−20a＋4 ＝(5a)2−2×2×5a＋22 ＝(5a−2)2 [ (3x＋4)2 ] 2 ⑸ 64a −1 2 a2−18a＋81 ⑹ 2 2 2 36x −49y ＝(6x)2−(7y)2 ＝(6x＋7y)(6x−7y) ＝(8a) −1 ＝(8a＋1)(8a−1) [ (8a＋1)(8a−1) ] 37 次の式を因数分解しなさい。 8a2−24a＋16 ⑴ ⑵ ＝8(a2−3a＋2) ＝8(a−1)(a−2) ＝a(x2＋12x＋36) ＝a(x＋6)2 [ ⑶ 8(a−1)(a−2) ] 2 2x y＋10xy−48y ⑷ 2 [ 2y(x−3)(x＋8) a(x＋6)2 ] [ 3x(a＋5b)(a−5b) ] [ (x＋7)(x−2) ] 2 3a x − 75b x ] 2 (a＋b) −7(a＋b)＋10 ⑹ a＋b＝X とおくと， (a＋b)2−7(a＋b)＋10 ＝X2−7X＋10 ＝(X−2)(X−5) ＝(a＋b−2)(a＋b−5) [ (a＋b−2)(a＋b−5) ] ⑺ 2 [ ＝3x(a2−25b2) ＝3x(a＋5b)(a−5b) ＝2y(x ＋5x−24) ＝2y(x−3)(x＋8) ⑸ ax2＋12ax＋36a (x−4)2−(y−5)2 2 (x＋3) −(x＋3)−20 x＋3＝X とおくと， (x＋3)2−(x＋3)−20 ＝X2−X−20 ＝(X＋4)(X−5) ＝(x＋3＋4)(x＋3−5) ＝(x＋7)(x−2) ⑻ (x＋6)2−(y−6)2 x＋6＝X，y−6＝Y とおくと， (x＋6)2−(y−6)2 ＝X2−Y2 ＝(X＋Y)(X−Y) ＝{(x＋6)＋(y−6)}{(x＋6)−(y−6)} ＝(x＋6＋y−6)(x＋6−y＋6) ＝(x＋y)(x−y＋12) x−4＝X，y−5＝Y とおくと， (x−4)2−(y−5)2 ＝X2−Y2 ＝(X＋Y)(X−Y) ＝{(x−4)＋(y−5)}{(x−4)−(y−5)} ＝(x−4＋y−5)(x−4−y＋5) ＝(x＋y−9)(x−y＋1) [ (x＋y−9)(x−y＋1) ] [ (x＋y)(x−y＋12) ] [ 9025 ] [ 6384 ] 次の式をくふうして計算しなさい。 ⑴ 612−392 ⑵ ＝(100−5)2 ＝1002−2×5×100＋52 ＝10000−1000＋25 ＝9025 ＝(61＋39)×(61−39) ＝100×22 ＝2200 [ ⑶ 952 2200 ] 84×76 ＝(80＋4)×(80−4) ＝802−42 ＝6400−16 ＝6384