2014/11/22 4章ベルヌーイの定理とその応用 4.1 の定理（Bernoulli’s theorem）非粘性流体に関するオイラーの運動方程式(3.20)は，密度が一定の非圧縮性流体では流線sに沿って容易に積分でき，次式となる． v v2 p ds    gz  ct   t 2  ここで，c(t)はあるので， (4.1) で時間の関数である．定常流では第一項は0で v2 p   gz  const. [J/kg] 2  (4.2) 運動エネルギー＋圧力エネルギー＋位置エネルギー＝一定を表す．流体では，エネルギーを含む合計が一定であることに注意を要する．圧力エネルギーpAx/Axはに働く圧力がなす仕事／流体質量であり，4.2節では流れエネルギーとも呼ばれる．式(4.2)に密度をかけるとなる．当たりのエネルギーを表す次式と 1 2 v  p  gz  const. 2 [J/m3] (4.3) ここで，左辺の各項は，（dynamic pressure），（static pressure），（hydrostatic pressure）と呼ぶ．さらに，式(4.2) を重力加速度gで割ると次式が得られる． v2 p   z  const.  H [m = J/N] 2 g g (4.4) ここで，左辺の各項は，ヘッド（velocity head），圧力ヘッド（ pressure head），ヘッド（potential head）と呼び，合計を総ヘッドあるいは全ヘッド（total head）と呼ぶ．ヘッドはと呼ばれることもあり，流体の単位重量当たりのエネルギーを表す．式(4.2)～(4.4)は，いずれも（非粘性・非圧縮性流体）の定常流に対するベルヌーイの式（Bernoulli equation）と呼ばれる． 1 2014/11/22 ベルヌーイの定理はで成り立 v12 ち，管路内の流れでも摩擦等によるエ 2g ネルー損失が無視できれば適用できる．例えば，右図の場合A1 > A2 であるので， p1 g 連続の式よりとなるが，速度ヘッ 2 2 ドが v1 / 2 g から v2 / 2 g へ増えた分だけ p2はp1より低くなり，全ヘッドは一定のままである．全ヘッド v22 2g p2 g 圧力ヘッド v1 A1 ポンプと水車の理論動力と効率ポンプ（pump）は水などの液体を加圧して装置である．例えば，質量m（= V）の水を高さHまで揚げるためには，水にVgHの位置エネルギー[J]を与える必要がある．水に与える動力[W] ＝エネルギー／時間は体積流量がQ = V/Dt [m3/s]であるので，．速度ヘッド (4.5) ただし，揚水時に壁面摩擦等の損失ヘッド Hlossが生じるので， Hの代わりに全揚程Hp = Hloss + Hを用いる必要がある． v2 A2 x pump x ポンプの効率pは，モータやエンジンからポンプに伝えられた Ps（shaft power）の何割が水に伝わるかを表すものである． p  Pp Ps  QgH p (4.6) Ps （hydraulic turbine）は水の持つ位置エネルギーを使って回転軸に軸動力Psを伝える装置であり，ポンプとは逆の役割を果たす．水が水車に入るまでにの損失ヘッドHlossが生じるので，利用可能な位置ヘッド，すなわち（effective head）はHt = H - Hlossに減ってしまう．そのHtによって水車に伝えられる動力Ptをあるいは理論出力（theoretical power）と呼び，次式で表わす． x (4.7) 水車の効率tは，Ptの何割が発電機を回す回転軸に軸動力 Psとして伝えられるかを表すもので，次式で与えられる． t  Ps Ps  Pt QgH t turbine (4.8) x 2 2014/11/22 4.2 流体のもつエネルギーここでは圧力のエネルギーについて説明する． pの流体がシリンダー内に入っていて，受圧面積Aのピストンの外側には大気圧が働いている．そのゲージ圧によってピストンを距離xだけ移動したら，シリンダー内の圧力が大気圧と等しくなったとする．その間に流体は [J]の仕事をしたので，圧力は仕事をする能力を表すと考えることができる．そのような圧力のエネルギー[J]を単位質量あたりで表わすと，pV/V = p/となる． A p x 4.3 全圧と動圧球面状の先端を持つ円柱に沿う流れにおいて先端Oに衝突する流線を考える．上流の地点A（円柱の影響なし，O点と同じ高さ）からO点に近づくにつれて流線上の速度vは減速し，O点でゼロとなる．そのようなO点を（Stagnation point）と呼び，そこでの圧力pOはA点－ O点間のベルヌーイの式より次式で与えられる． (4.9) ここで，左辺第一項は（dynamic pressure）あるいはよどみ圧，第二項は動圧と区別するために（static pressure）と呼ばれる．そして，両者の和pOは全圧あるいは（total pressure）と呼ばれる． Stream line Ax O x Stagnation point 3 2014/11/22 1 4.4 タンクオリフィスからの流れ大きなタンクの底や側面に設けた小孔を（tank orifice）と呼ぶ．ここでは，そのような小孔からの水の流出を数式化する．小孔の面積Agがタンク水面の面積A と比べて極端に小さければ，水の流出に伴う水面の降下は無視できるほどに小さい．このような場合について，ベルヌーイの式をに適用する． p1  v12 2  gz1  p 2  v22 2 (p1 = p2) p2 縮流部 (ベナコントラクタ) 水平基準面  gz 2 (4.10) ここで，p1 = p2 = 大気圧，の条件を上のベルヌーイ式に適用するとの定理と呼ばれる次式が得られる． v22  2 g ( z1  z 2 )  2 gh ⇒ しかし，実際の流出速度vexpは摩擦等によるエネルギー損失のためにv2よりも少し小さくなる． (4.13) ここで，Cvを速度係数（velocity coefficient）と呼ぶ．式(4.13)のvexp に小孔の断面積Agをかけると体積流量Qが出そうではあるが，（contraction）が生じて小孔の有効断面積が小さくなるので，Qは次式で与えられる． (4.11) 1 (p1 = p2) p2 縮流部 (ベナコントラクタ) 水平基準面 Cd：流出係数(= Cv×Cc，discharge coefficient) ≒ 0.6 Cc：縮流係数（= Aj/Ag ，contraction coefficient）≒ 0.65 （ベナコントラクタ部の断面積は穴65%くらいになるとういうこと） 4 2014/11/22 小孔面積Agが水面の面積Aと比べて無視できなければ，水の流出に伴って水面は降下し，式 (4.10)におけるv1は値を持つ．そのような場合，連続の式を式(4.10)に代入して整理すると次式を得る． v2  2 gh 1  Ag A 2 2 gh 1  Ag A 2 A 1  Ag A t1 C d Ag 2 g  h2 h2 dh h1 h 2 gh 1  Ag A 2 2 A 1  Ag A 2  小孔の断面積  Adh C d Ag 2 (t 2  t1 )   dt   h 容器の断面積  dt  dt  dh  A （hが減少するのでマイナス） t2 h1 (4.12) 次に，水位がh1からh2まで低下する時間を求める．高さhから間に－dhだけ低下すると，流出した体積dVは次式で与えられる． dV  C d Ag - dh C d Ag 2 g  h1  h2 pa 4.5ピトー管（Pitot tube）：流速測定に使用まず，を持つ流れ（open channel flow）に関する速度測定法を説明する．ピトー管よりも十分に上流の点Aとの先端点Bの間にベルヌーイの式を適用すると次式を得る． 1 p A  v A2  p B ⇒ v A  2 p  pA (4.17) 2g B g ここで， p B  pa  g h  z   h pa ， z A B Open channel flow (4.18) を式(4.17)に代入すると v  v A  2 gh (4.20) 次に，（pipe flow）の場合を説明する．点A－点B間の距離は短く，その間の圧力損失は無視できると考えると（細管内の流れでは不適であるが），次式が成り立つ． 5 2014/11/22 pa pa ， p B  pa  g h0  z  (4.21) h これを式(4.17)に代入すると v  v A  2 g h0  h z (4.23) A ただし，上の各式は理論上のものであって，実際にはピトー管製作時の加工精度や粘性の影響を考慮して， Cv（velocity coefficient  1）を乗じて速度を求める． pB  p A g v  Cv 2 g h0 B Pipe flow (4.24) 圧力差 (PB - PA)は，気流ではU字管水（あるいはアルコール）マノメータで，水流でも流速が大であれば水銀マノメータや差圧変換器で測る．その場合，式(4.20)と(4.23)は使えないので，測定法に応じて（pB - pA）を正しく求めて式(4.24)に代入して速度を求める． 4.6ベンチュリ管 (Venturi tube) ベンチュリ管は管内流の流量測定に使われる．水平なベンチュリ管の上流1と（throat）2間にベルヌーイの式を立てるとすると v2  (4.25) ，v1 = (A2/A1)v2，を代入して整理 1 2 1  ( A2 / A1 ) 2  よって，理論 Qth  A2 v2  throat 2 1 p1 v12 p 2 v 22    ∵z1 = z2 g 2 g g 2 g z ’  p1  p2  (4.26) ノズル形ベンチュリ管 Qth [m3/s]は A2 1  ( A2 / A1 ) 2 2   p1  p2  (4.27) 6 2014/11/22 実際には二つの断面間でエネルギーの損失があるので， Q  Cd A2 2 1  ( A2 / A1 ) 2   p1  p2   A2 2   p1  p2  (4.29), (4.31) であり，は流量係数（discharge ここで，Cdは0.98～0.97の coefficient）である．なお，図示のマノメータではは次式となる． p1  g z  h  p2  gz   ' gh より， p1  p2   '  gh これを式(4.31)に代入すると，次式となる．  '  Q  A2 2 gh  1   throat 2 1 z ’ 4.7オリフィスとノズル（Orifice, Nozzle）とノズルは，ベンチュリ管と同じく管内流の流量測定に使われる．体積流量はベンチュリ管に関する式（4.31）と同じく次式で求められる． Q  A2 2   p1  p2  (4.38) ただし， の値はベンチュリ管におけるの値とは違うので，使用に際しては次に示す規格を調べること． •オリフィス（テキストの図4.7(a)）： JIS Z 8762-2 •ノズル（テキストの図4.7(b)）及びノズル形ベンチュリ管： JIS Z 8762-3 •円錐形ベンチュリ管（テキストの図4.6と同じ形）： JIS Z 8762-4 オリフィス前後の流れの様子と壁面静圧分布を図4.8に示す． 7 2014/11/22 オリフィスの1D上流（Dは管内径）の断面1付近からオリフィスによるの影響が現れ，縮流が始まり圧力は上昇し始める．オリフィス通過後には急低下し，縮流は 0.5 D下流の断面2まで続く．その後，は徐々に広がって，オリフィスから5Dの地点で元に戻る．それに伴い，圧力は次第に回復し，流れにおける圧力勾配と同じ勾配をとるようになっていく．オリフィスは容易に製作できるが，ノズルやベンチュリ管と比べて圧力損失が大きいのが難点である．なお，圧力p1とp2の測定位置は，図4.8の断面1と2をとることもあるが，通常はオリフィス板の直前と直後からとる． 2 4.8サイホン（siphon） x h1 右図(a)，(b)において管内を水で満たし 1 x ておくと，水面のを駆動力として水が流下する．このような管路をサイホンと Tank 1 呼ぶ．ここでは，サイホンを通る水のエネルギー損失が無視できるとして，ならびに流出速度を与える式を導く．作動限界水面上の点1と最高点2の間の式より， p1 p v2  2   h1 g g 2 g h2 3 x Tank 2 (a) 2 の (4.39) x h1 1x h2 ⇒    p 2  p a   gh1  v 2  2   (4.40) 3 x (b) これより，h1とvが大きいほど圧力p2が下がることが分かる． 8 2014/11/22 液体の pvまでp2が下がると，液体中の溶存ガスと水蒸気の気泡が現れ，その気泡によって流れが途切れてサイホン機能は停止する．すなわち，サイホンのは次式で表わされる． p2  pv 2 (4.41) x h1 1 流出速度 x h2 3 水面上の点1と地点3の間のベルヌーイの Tank 1 式より， p3 v 2 p1  h2   g g 2 g x Tank 2 (4.42) (a) なお，図(a)の場合には，サイホンからタンク2に入る水流の持つエネルギーがタンク内で消散されるので，その消散分として 2 v /2gを右辺に加えた．これをあるいは廃棄損失と呼び，詳しくは8.2.2項で述べる．式(4.42)にp1 = p3 = paを代入すると v  2gh2 (4.43) 9