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第4章 ベルヌーイの定理とその応用

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2014/11/22
4章 ベルヌーイの定理とその応用
4.1
の定理(Bernoulli’s theorem)
非粘性流体に関するオイラーの運動方程式(3.20)は,密度が一定の
非圧縮性流体では流線sに沿って容易に積分でき,次式となる.
v
v2 p
ds

  gz  ct 
 t
2 
ここで,c(t)は
あるので,
(4.1)
で時間の関数である.定常流では第一項は0で
v2 p
  gz  const. [J/kg]
2 
(4.2)
運動エネルギー + 圧力エネルギー + 位置エネルギー = 一定
を表す.流体では,
エネルギーを含む合計が一定であることに注
意を要する.圧力エネルギーpAx/Axは
に働く圧力がなす仕
事/流体質量であり,4.2節では流れエネルギーとも呼ばれる.
式(4.2)に密度をかけると
なる.
当たりのエネルギーを表す次式と
1 2
v  p  gz  const.
2
[J/m3]
(4.3)
ここで,左辺の各項は,
(dynamic pressure),
(static
pressure),
(hydrostatic pressure)と呼ぶ.さらに,式(4.2)
を重力加速度gで割ると次式が得られる.
v2
p

 z  const.  H [m = J/N]
2 g g
(4.4)
ここで,左辺の各項は,
ヘッド(velocity head),圧力ヘッド(
pressure head),
ヘッド(potential head)と呼び,合計を総ヘッド
あるいは全ヘッド(total head)と呼ぶ.ヘッドは
と呼ばれること
もあり,流体の単位重量当たりのエネルギーを表す.
式(4.2)~(4.4)は,いずれも
(非粘性・非圧縮性流体)の定常
流に対するベルヌーイの式(Bernoulli equation)と呼ばれる.
1
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ベルヌーイの定理は
で成り立
v12
ち,管路内の流れでも摩擦等によるエ
2g
ネルー損失が無視できれば適用できる.
例えば,右図の場合A1 > A2 であるので, p1
g
連続の式より
となるが,速度ヘッ
2
2
ドが v1 / 2 g から v2 / 2 g へ増えた分だけ
p2はp1より低くなり,全ヘッドは一定の
ままである.
全ヘッド
v22
2g
p2
g
圧力ヘッド
v1
A1
ポンプと水車の理論動力と効率
ポンプ(pump)は水などの液体を加圧して
装
置である.例えば,質量m(= V)の水を高さHまで揚げ
るためには,水にVgHの位置エネルギー[J]を与える必要
がある.水に与える動力[W] =エネルギー/時間は体積流
量がQ = V/Dt [m3/s]であるので,
.
速度ヘッド
(4.5)
ただし,揚水時に壁面摩擦等の損失ヘッド
Hlossが生じるので,
Hの代わりに全揚
程Hp = Hloss + Hを用いる必要がある.
v2
A2
x
pump
x
ポンプの効率pは,モータやエンジンからポンプに伝えられた
Ps(shaft power)の何割が水に伝わるかを表すものである.
p 
Pp
Ps

QgH p
(4.6)
Ps
(hydraulic turbine)は水の持つ位置エネルギーを使って回転軸に
軸動力Psを伝える装置であり,ポンプとは逆の役割を果たす.水が水
車に入るまでに
の損失ヘッドHlossが生じるので,利用可能な位
置ヘッド,すなわち
(effective head)はHt = H - Hlossに減って
しまう.そのHtによって水車に伝えられる動力Ptを
あるいは
理論出力(theoretical power)と呼び,次式で表わす.
x
(4.7)
水車の効率tは,Ptの何割が発電機を回す回転軸に軸動力
Psとして伝えられるかを表すもので,次式で与えられる.
t 
Ps
Ps

Pt QgH t
turbine
(4.8)
x
2
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4.2 流体のもつエネルギー
ここでは圧力のエネルギーについて説明する.
pの流体が
シリンダー内に入っていて,受圧面積Aのピストンの外側には大気圧
が働いている.そのゲージ圧によってピストンを距離xだけ移動した
ら,シリンダー内の圧力が大気圧と等しくなったとする.その間に流
体は
[J]の仕事をしたので,圧力は仕事をする能力を表すと
考えることができる.そのような圧力のエネルギー[J]を単位質量あた
りで表わすと,pV/V = p/となる.
A
p
x
4.3 全圧と動圧
球面状の先端を持つ円柱に沿う流れにおいて先端Oに衝突する流線を
考える.上流の地点A(円柱の影響なし,O点と同じ高さ)からO点に
近づくにつれて流線上の速度vは減速し,O点でゼロとなる.そのよう
なO点を
(Stagnation point)と呼び,そこでの圧力pOはA点-
O点間のベルヌーイの式より次式で与えられる.
(4.9)
ここで,左辺第一項は
(dynamic pressure)あるいはよどみ圧,第
二項は動圧と区別するために
(static pressure)と呼ばれる.そし
て,両者の和pOは全圧あるいは
(total pressure)と呼ばれる.
Stream line
Ax
O
x
Stagnation point
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1
4.4 タンクオリフィスからの流れ
大きなタンクの底や側面に設けた小
孔を
(tank orifice)
と呼ぶ.ここでは,そのような小孔か
らの水の流出を数式化する.
小孔の面積Agがタンク水面の面積A
と比べて極端に小さければ,水の流出
に伴う水面の降下は無視できるほどに
小さい.このような場合について,ベ
ルヌーイの式を
に適用する.
p1 
v12
2
 gz1  p 2 
v22
2
(p1 = p2)
p2
縮流部
(ベナコン
トラクタ)
水平基準面
 gz 2
(4.10)
ここで,p1 = p2 = 大気圧,
の条件を上のベルヌーイ式に適用
すると
の定理と呼ばれる次式が得られる.
v22  2 g ( z1  z 2 )  2 gh ⇒
しかし,実際の流出速度vexpは摩擦等
によるエネルギー損失のためにv2よ
りも少し小さくなる.
(4.13)
ここで,Cvを速度係数(velocity
coefficient)と呼ぶ.式(4.13)のvexp
に小孔の断面積Agをかけると体積
流量Qが出そうではあるが,
(contraction)が生じて小孔の有効
断面積が小さくなるので,Qは次
式で与えられる.
(4.11)
1
(p1 = p2)
p2
縮流部
(ベナコン
トラクタ)
水平基準面
Cd:流出係数(= Cv×Cc,discharge coefficient) ≒ 0.6
Cc:縮流係数(= Aj/Ag ,contraction coefficient)≒ 0.65
(ベナコントラクタ部の断面積は穴65%くらいになるとういうこと)
4
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小孔面積Agが水面の面積Aと比べて無視できな
ければ,水の流出に伴って水面は降下し,式
(4.10)におけるv1は値を持つ.そのような場合,
連続の式
を式(4.10)に代入して整理
すると次式を得る.
v2 
2 gh
1  Ag A
2
2 gh
1  Ag A
2
A 1  Ag A
t1
C d Ag 2 g

h2
h2
dh
h1
h
2 gh
1  Ag A
2
2 A 1  Ag A
2

小孔の
断面積
 Adh
C d Ag
2
(t 2  t1 )   dt  
h
容器の断面積
 dt 
dt  dh  A
(hが減少するのでマイナス)
t2
h1
(4.12)
次に,水位がh1からh2まで低下する時間を求
める.高さhから
間に-dhだけ低下す
ると,流出した体積dVは次式で与えられる.
dV  C d Ag
- dh
C d Ag 2 g

h1  h2
pa
4.5ピトー管(Pitot tube):流速測定に使用
まず,
を持つ流れ(open channel flow)
に関する速度測定法を説明する.ピトー管よりも
十分に上流の点Aと
の先端点Bの間にベ
ルヌーイの式を適用すると次式を得る.
1
p A  v A2  p B ⇒ v A 
2
p  pA
(4.17)
2g B
g
ここで,
p B  pa  g h  z 

h
pa
,
z
A
B
Open channel flow
(4.18)
を式(4.17)に代入すると
v  v A  2 gh
(4.20)
次に,
(pipe flow)の場合を説明する.点A-点B間の距離
は短く,その間の圧力損失は無視できると考えると(細管内の流れで
は不適であるが),次式が成り立つ.
5
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pa pa
,
p B  pa  g h0  z 
(4.21)
h
これを式(4.17)に代入すると
v  v A  2 g h0  h
z
(4.23)
A
ただし,上の各式は理論上のものであって,実
際にはピトー管製作時の加工精度や粘性の影響
を考慮して,
Cv(velocity coefficient 
1)を乗じて速度を求める.
pB  p A
g
v  Cv 2 g
h0
B
Pipe flow
(4.24)
圧力差 (PB - PA)は,気流ではU字管水(あるいはアルコール)マノメ
ータで,水流でも流速が大であれば
水銀マノメータや差圧変換
器で測る.その場合,式(4.20)と(4.23)は使えないので,測定法に応じ
て(pB - pA)を正しく求めて式(4.24)に代入して速度を求める.
4.6ベンチュリ管 (Venturi tube)
ベンチュリ管は管内流の流量測定に使われる.水平なベンチュリ管
の上流1と
(throat)2間にベルヌーイの式を立てると
すると
v2 
(4.25)
,v1 = (A2/A1)v2,を代入して整理
1
2
1  ( A2 / A1 ) 2

よって,理論
Qth  A2 v2 
throat
2
1
p1 v12
p 2 v 22



∵z1 = z2
g 2 g g 2 g
z
’
 p1  p2 
(4.26)
ノズル形ベンチュリ管
Qth [m3/s]は
A2
1  ( A2 / A1 )
2
2

 p1  p2 
(4.27)
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実際には二つの断面間でエネルギーの損失があるので,
Q  Cd
A2
2
1  ( A2 / A1 )
2

 p1  p2   A2
2

 p1  p2 
(4.29), (4.31)
であり,は流量係数(discharge
ここで,Cdは0.98~0.97の
coefficient)である.
なお,図示のマノメータでは
は次式となる.
p1  g z  h  p2  gz   ' gh より,
p1  p2   '  gh
これを式(4.31)に代入すると,次式となる.
 ' 
Q  A2 2 gh  1


throat
2
1
z
’
4.7オリフィスとノズル (Orifice, Nozzle)
とノズルは,ベンチュリ管と同じく管内流の流量測定に
使われる.体積流量はベンチュリ管に関する式(4.31)と同じく次式
で求められる.
Q  A2
2

 p1  p2 
(4.38)
ただし,
の値はベンチュリ管におけるの値とは違うので,
使用に際しては次に示す
規格を調べること.
•オリフィス(テキストの図4.7(a)): JIS Z 8762-2
•ノズル(テキストの図4.7(b))及びノズル形ベンチュリ管:
JIS Z 8762-3
•円錐形ベンチュリ管(テキストの図4.6と同じ形): JIS Z 8762-4
オリフィス前後の流れの様子と壁面静圧分布を図4.8に示す.
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オリフィスの1D上流(Dは
管内径)の断面1付近からオリ
フィスによる
の影響が
現れ,縮流が始まり圧力は上
昇し始める.オリフィス通過
後に
は急低下し,縮流は
0.5 D下流の断面2まで続く.そ
の後,
は徐々に広がって,
オリフィスから5Dの地点で元
に戻る.それに伴い,圧力は
次第に回復し,
流れ
における圧力勾配と同じ勾配
をとるようになっていく.
オリフィスは容易に製作できるが,ノズルやベンチュリ管と比べて
圧力損失が大きいのが難点である.なお,圧力p1とp2の測定位置は,
図4.8の断面1と2をとることもあるが,通常はオリフィス板の直前と直
後からとる.
2
4.8サイホン(siphon)
x
h1
右図(a),(b)において管内を水で満たし
1
x
ておくと,水面の
を駆動力として水
が流下する.このような管路をサイホンと Tank 1
呼ぶ.ここでは,サイホンを通る水のエネ
ルギー損失が無視できるとして,
ならびに流出速度を与える式を導く.
作動限界
水面上の点1と最高点2の間の
式より,
p1
p
v2
 2 
 h1
g g 2 g
h2
3
x
Tank 2
(a)
2
の
(4.39)
x
h1
1x
h2
⇒
 

p 2  p a   gh1  v 2 
2 

(4.40)
3
x
(b)
これより,h1とvが大きいほど圧力p2が下がることが分かる.
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液体の
pvまでp2が下がると,液体中の溶存ガスと水蒸気の気
泡が現れ,その気泡によって流れが途切れてサイホン機能は停止する.
すなわち,サイホンの
は次式で表わされる.
p2  pv
2
(4.41)
x
h1
1
流出速度
x
h2
3
水面上の点1と地点3の間のベルヌーイの Tank 1
式より,
p3 v 2
p1
 h2 

g
g 2 g
x
Tank 2
(4.42)
(a)
なお,図(a)の場合には,サイホンからタンク2に入る水流の持つエネ
ルギーがタンク内で
消散されるので,その消散分として
2
v /2gを右辺に加えた.これを
あるいは廃棄損失と呼び,詳
しくは8.2.2項で述べる.式(4.42)にp1 = p3 = paを代入すると
v  2gh2
(4.43)
9
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