[特別講演] 波動問題の数値解析アルゴリズム ‐Wiener-Hopf 法から Dijkstra 法まで‐ 内田一徳福岡工業大学情報工学部〒811-0295 福岡市東区和白東 3-30-1 E-mail: [email protected] あらまし過去４０年にわたり，電磁波の散乱・伝搬問題を解析するために筆者が用いて来た種々の計算法について概説する．最初に，半無限構造に極めて有効な Wiener-Hopf 法について述べる．次に，Wiener-Hopf 法の有限幅構造への適用がスペクトル領域での帯域制限に等価であることを述べ，その結果として開発した Spectral Domain 法のトンネル内伝搬問題と偏波弁別素子による散乱問題への応用について述べる．また，FVTD (Finite Volume Time Domain) 及び DRTM (Discrete Ray Tracing Method) 法について概説し，その応用例として閉じた空間内伝搬，ランダム粗面からの散乱及びランダム粗面上の伝搬問題について述べる．さらに，統計的手法であるランダム粗面生成や基地局配置に有効な PSO (Particle Swarm Optimization) 法について述べる．最後に，最短経路探索に有効なダイクストラ法をフェルマーの原理に関連付けることによって，波動問題への応用について考察する．キーワード Wiener-Hopf 法，FVTD，DRTM，PSO，Dijkstra 法 [Special Talk] Numerical Algorithms for Solving Wave-Related Problems - from Wiener-Hopf Technique to Dijkstra Algorithm Kazunori UCHIDA Fukuoka Institute of Technique 3-30-1 Wajiro-Higashi, Higashi-ku, Fukuoka, 811-0295 Japan E-mail: [email protected], Abstract This technical report describes several analytical and numerical methods that the author has used in the past 40 years to deal with electromagnetic (EM) scattering and propagation. First, he deals with the Wiener-Hopf (WH) technique which is very useful for solving semi-infinite boundary value problems. Second, he discusses that the WH technique is equivalent to the filtering operation in spectral domain and the spectral domain method combined with the sampling theorem can be successfully applied to EM propagation in tunnels and EM diffraction from planar gratings. Third, FVTD (Finite Volume Time Domain) and DRTM (Discrete Ray Tracing Method) are introduced and they have been applied to EM propagation in closed space, backscattering from RRS (Random Rough Surface) and propagation along it. Statistical methods such as RRS generation and PSO (Particle Swarm Optimization) are also discussed. Finally, applications of Dijkstra algorithm to wave propagation are described from a view point of Fermat's principle. Keyword Wiener-Hopf Technique, FVTD , DRTM, PSO, Dijkstra Algorithm. 1. まえがきこれまで我が国では，多くの研究者が厳密又は近似取り上げた課題は，電磁界の基本的な問題がほとんどであった．しかし今振り返ってみれば，その内容は研的な議論に基づいて，種々の電磁界問題の解析に当た究に当たった当時の社会の一面をも映し出しているよってきた [1],[2]．筆者は福岡工業大学に勤務して４０うに思われる．年目を迎えたが，ほぼ一貫して電磁界解析に関連するまず第１は，波長に比べて比較的大きい建造物によ理論的な研究に従事してきた．その解析の対象としてる散乱問題解析であった．これはサンシャインビルのような高層ビルが出始めた頃で，テレビのゴーストに出するフィルタリング演算子である [3]．代表される電波障害が大きくクローズアップされた時代であった．第２は，無線周波数の有効利用と関連して，偏波弁別素子の周波数特性を明らかにすること，及び保安用の無線通信に関連して，トンネル内の電波伝搬特性の解明を行うことあった．特に後者は，携帯電話の急速な普及と関連して，地下街や室内等の閉じた空間内の図 1 実空間とスペクトル領域内演算子の対応電波伝搬問題の解析へと結びついた．第３は，リモート・センシングと関連して，レーダ 2.1 半無限問題への適用波のランダム粗面からの後方散乱断面積の計算を行うさて半無限問題 (a=0) のとき，実空間は区間 [ −∞ , 0] ことであった．特に低グレージング角入射の問題は難及び区間 [0, ∞ ] の二つに分割できる．このとき，電磁波しく，解析に色々な工夫を施す必要があった．また，散乱に関する半無限問題は，次式に示す Wiener-Hopf センサネットワークの急速な普及と関連して，砂漠や方程式を解くことに帰着する [4]．丘陵地等のランダム粗面と見做される複雑環境下の電 − + V (ζζζζ ) + G ( )U ( ) + H ( ) = 0 波伝搬特性の解明を行うことであった．最後は，先の東日本大震災による被害の甚大さに関連して，津波の予測を PC で済ませることができるよここで U + (ζ ) は上半面で正則な未知関数 , (3) V − (ζ ) は下半面で正則な未知関数 , G (ζ ) は既知の核関数である．うな簡便なアルゴリズムを開発することであった．こまた H (ζ ) は入射波に関係する既知関数であり，特異点のことによって，津波による被害を少しでも減らすことして一位の極を有する．とが可能ではないかと考えた訳である．ネットワーク技術に些かの関心があったためか，電磁界解析の分野ではなくネットワーク分野で良く知られたダイクストラ法の応用へと考えが至った次第である．まず，この核関数を次のように因数分解する [4]． + − ) =G ( )/G ( ) G (ζζζ ただし上添え字以上述べた研究テーマに対して，使用してきた種々の解析手法は，多くの研究者にも良く知られたものがほとんどである．しかし，それでも筆者なりに色々と (4) ± は，ζ 平面の上又は下半平面で正則であることを示す．この因数分解は常に可能である [4]．このとき式 (3)は次のように変形できる．工夫を凝らし，解析手法の高度化と多様化を図ってき (5) G − (ζζζζζζ )V − ( ) + G + ( )U + ( ) + G − ( ) H ( ) = 0 た積りである．本稿ではその主要なものを披歴するこさて，式 (2)において a = 0 とおけば，区間 [ −∞ , 0] 及びとにする．この技術報告が無線通信分野の技術開発を [0, ∞ ] に対応するスペクトルを抽出するフィルタリン志す若い人達の参考になれば幸甚である．グ演算子が得られる．式 (5)にそれら２個のフィルタリング演算を施して結果を整理すれば，次のスペクトル領域における厳密解が得られる． 2. Wiener-Hopf 法フーリエ変換と逆変換を次式で定義しておく． ∞ f ( z )e F (z ) = ∫−∞ f (z) = − jz z dz + jz z ∞ dz ∫ F (z ) e 2π −∞ 1 (1) + + − + U (z ) = − L (z , z ) G ( z ) H ( z ) / G (z ) 0 − − − − U (z ) = − L (z , z ) G ( z ) H ( z ) / G (z ) 0 (6) ここで次の積分演算子を定義しておく． 2.2 有限幅問題への適用 + jz a − jza e e + ∞ L (z , z ) F ( z ) = dz ∫−∞ F ( z ) a z −z 2π j 1 ∞ sin[( z −z ) a ] La (z , z ) F ( z ) = ∫−∞ F ( z) dz z −z π さて有限区間 ( a ¹ 0 ) を含むとき，式 (3)に対応する (2) − jz a + jza e e − ∞ L (z , z ) F ( z ) = − dz ∫−∞ F ( z ) a z −z 2π j Wiener-Hopf 方程式は次のように書ける． − jζ a − +V( ) + G (ζζζ )U ( ) e + jζ a + + H( ) = )U ( ) e 0 G (ζζζ (7) このとき，図１に示すように式 (2)の第 1 式は実空間の区間 [a , ¥] に対して , 第 2 式は区間 [-a ,a ] に対して , ここで整関数 V (ζ ) は，有限区間に対応する未知スペク第 3 式は区間 [-¥,-a ] に対応するスペクトル成分を抽トル関数である．このとき，因数分解された核関数によって式 (7)を変形すれば，次式が得られる．に対して精度の良い解を得ることができた． − − jζ a − + )e / G ( ) +V( ) / G ( ) + U (ζζζζ + + jζ a − + )e / G ( ) + H ( )/ G ( ) = 0 U (ζζζζ + − − jζ a (8) − )U ( ) e + G ( )V ( ) + G (ζζζζ + + + jζ a − )U ( ) e 0 + G ( )H ( ) = G (ζζζζ このとき，次の形式解が得られる． 3. FVTD 法 Maxwell の方程式を微小体積について体積分し，回転の項を体積分から面積分に変換すると次式を得る． d σ  m dV − − ∫V m H HdV ∫S n × EdS = ∫ i i Z dt Vi c d ε  dS = + ∫V σ ZEdV + EdV ∫S n × H ∫ i i dt Vi c (13) この体積分と表面積分を離散化すれば， Maxwell の方 jz a − jza − + − − G (z ) e / G ( z )] − U (z ) = L (z , z )[U ( z ) e a jz a − − + G (z ) e L (z , z )[ H ( z ) / G ( z )] a − 程式に対して次の近似式が得られる． σ mi d   H += H i mi dt i − jz a − jza + + + + − −[ e U (z ) = / G (z )] L (z , z )[G ( z )U ( z ) e ]− a (9) − jz a + + − [e / G (z )] L (z , z )[G ( z ) H ( z )] a − jza − − L (z , z )[ G ( z )U ( z ) e V (z ) = ]− a jza + L (z , z )[ G ( z )U ( z ) e ] − L (z , z ) H ( z ) a a ci ∑ ν × E ∆S i iν ∆i ν ∈N iν i σ d c  ∆S E + i E = − i ∑ νiν × H i iν ∆i ν ∈N dt i i i i (14) さらに，時間微分に対して Yee の方法で離散化すれば次式が与えられる [10]． n′+1 n′−1 H = Ξ H − Λ A ∑ nin × E ∆S i i i i i inn i n ∈Ni 式 (9)の解は厳密ではなく形式解である．その理由は，式 (9) の右辺が未知関数を含む積分形で与えられてい E るからである．具体的に解を求めるには，例えば最降 n +1 n −1 =ΩE + Γ B ∑ nin × H ∆S i i i i i inn i n ∈Ni (15) 下法等を用いて，未知スペクトル関数を近似的に求めここで時間間隔は Dt であり，離散点は t =n ' Dt なければならない [5],[6]． n ' =n -1/2 としている．また他のパラメータは次式で定及び義される． 2.3 Spectral Domain 法さて，式 (9)の第 3 式を数値的に解く方法について考察する．有限区間 [-a ,a ] で定義された関数のスペクトル関数列 Fn (z ) は次式を満足する． Ξ= exp( −α ), i mi Ω= exp( −α ) i i Λi =Γi =ci ∆t / ∆Vi =c0∆t / ri m ri ∆Vi [1− exp( −α mi )]/α mi , Ai = (10) Φ n (z ) La (z , z ) Φ n ( z ) = = α mi 式 (9)にこの関数列を乗じ，積分すると次式が得られる． [1− exp( −αi )]/αi Bi = α i σ i ∆t / 0ri σ= mi ∆t / m0 m ri , ∞ ∞ Φ ( )G ( )U − ( ) e − jζ a d − ∫−∞ )V ( ) d = ∫−∞ Φ n (ζζζζζζζ n jζ a + ∞ ∞ Φ ( ) H ( )d − ∫−∞ Φ n (ζζζζζζζ )G ( )U ( ) e d − ∫−∞ n (11) ここで，式 (11) を満足する関数列 Fn (z )= Yn (z ) 又は Fn (z )¹ Yn (z ) を用いて，未知関数 V (z ) を次のように展開しておく． N = V (ζζ ) ∑ Cn Ψ n ( ) n =1 (12) 図 2 TM セルと TE セルこのとき，式 (11)から得られる連立方程式によって，式 (12)の未知展開係数 Cn が決定できる．従って，この手法はスペクトル領域における離散化のためのモーメント法又は Galerkin 法と言うことができる . 筆者らはこの手法を用いて，十字型分岐を持つトンネル内電波伝搬問題の解析 [7]，平面格子による偏波弁別特性の解析 [8] ，マイクロストリップ線路の解析 [9] 図3 FVTD の基本セル (16) さて微小体積を直方体とし，図２に示す TM セルと 4. DRTM TE セルを重ねることによって，図３に示す基本セルを Wiener-Hopf 法や Spectral Domain 法を用いれば，精考える．このときセル表面の電磁界は隣接するセル中度の良い解を得ることができる．しかし，その適用可心の電磁界の平均値で表現できる．デカルト座標系に能な散乱体構造は，特殊な場合に限られている．一方，おける FVTD 法では，電磁界及び媒質定数の値がセル FVTD 法は，任意の形状を持つ不均質媒質に適用でき内の平均値で与えられるので，この座標系におけるるという長所を有するが，コンピュータ・メモリの制 FVTD 方程式は次のように簡潔にまとめられる [10]．限を強く受けるという短所も持っている．従って，これらの解析手法については，長距離の電波伝搬問題の解析には不向きと言う欠点がある．その解決策の一つとして，電波を光とみなして解析する近似解法が知られている [1],[2]．筆者らは，その近似解法の一つである RTM（レイ・トレース法）を拡張して DRTM (離散型レイ・トレース法 )を開発し，地上電波伝搬問題に適用した [14]． (17a) 4.1 レイの探索と電界計算 DRTM のレイ探索では，まず離散化された散乱体表面に代表点を与え，代表点同士が見える (LOS)か，見えない (NLOS)かの単純な情報から，図４，５に示すようにレイをトレースする．この方法によって，計算時間の大幅な短縮が可能となった [14]．図 4 見通し内におけるレイ探索図 5 見通し外におけるレイ探索 (17b) ただし，上式のパラメータは式 (16)の異なるセル毎の平均値である．この FVTD 方程式は，不均質誘電体媒質に対して境次に，探索されたレイに基づいて電磁界計算を行う界条件が自動的に満足されているという特徴があるが，この場合の解の精度を確保するため，図６及び７ [10]．その簡便さ故に応用範囲も広く，屋内電波伝搬に示すような半無限及び有限幅の平面導体に関連するに関連する任意形状トンネル内伝搬問題 [11]，リモー Wiener-Hopf 解とその近似解を援用している．このとト・センシングに関連するランダム粗面による低入射きの電界計算は，イメージ回折係数角電波の後方散乱問題 [12]，センサネットワークに付数随するランダム粗面上の電波伝搬問題 [13]など，多くれる [14]．の電磁波問題の数値解析に応用することができた. とソース回折係を導入することによって，形式的に次式で与えら図８に示している畳み込み法は，粗面の統計量を空間上で連続的に変化できるので，不均質問題にも有効な粗面生成法である [16]．これまでの粗面生成法では，粗面スペクトルを数値的に与えてきた [16]．しかし，一様分布，ガウス分布及び指数分布の場合については，次式のガウス分布のように解析的に不均質粗面の生成が可能である [17]． (21) 図 6 半無限平板による平面波の回折 (22) 5. PSO 法この手法は，昆虫の大群や魚群の動きを多次元空間における位置と速度を持つ粒子群でモデル化する．このとき，群れのメンバーはより良い位置について情報図 7 有限幅平板による円筒波の回折交換し、それに基づくコスト関数によって自身の位置と速度を調整する．また，最も良い位置にいる粒子が全体に通知されるので，局所解に陥る可能性が少ない (17) 最適化法である．さらに，コスト関数の微係数を必要としないとの特徴も有している [18]．また N 個のレイの長さ次式で与えられ PSO 法では，まず個々の粒子の初期解を適当に選び，その中で最適な粒子を全体の最適解としておく． (18) 回折係数はフレネル関数を用いて表現できる． (23) 次にランダム変数γとΓを用いて，各粒子の位置ｒと速度νを決定する． (19) (20) また次の操作によって，次の段階の各粒子の最適値ここでは２次元問題の表現式を与えたが，３次元問題と全粒子の最適値を決定して行く．にも DRTM は適用可能である [15]． (25) 4.2 畳み込み法による RRS 生成ランダム粗面からの後方散乱問題やそれに沿う伝搬問題をモンテカルロ法で数値解析する場合，任意長のランダム粗面を連続的に生成する必要がある [16]．最後に，解が落ち着くまで以上の操作を繰り返せば，許容範囲内で近似解を得ることができる [18]． 5.1 通信距離関数ランダム粗面に沿う伝搬や市街地伝搬のような複雑な伝搬環境下で伝搬特性を記述する際，２波モデルを組み入れた１波モデルの表現式が有効である．このモデルは，振幅補正値αと伝搬距離のオーダーβを導入して，次のように記述される [19]．図 8 RRS(1D)生成の概略図 (26) ここでは入射波であり，例えば微小ダイポール・ア適化に対して有効な数値シミュレーションの方法であンテナを仮定すれば解析的に表現できる．またこのとる [23]．最短パス探索は，フェルマーの原理と密接にきの界の整合因子関係しているので，種々の波動の動きをシミュレートは次式で定義される [19]．する場合にも，このアルゴリズムは有効である．筆者 (27) このモデルは奥村・秦モデル [20]に対応している．市街地伝搬に適用できることは言うまでもなく．パラメータαとβを適当に定めることによって，ランダムらはこれまで，津波の伝搬シミュレーションやルーネベルグ・レンズにおけるレイ探索への応用に対して，良好な数値結果を得ることができた [24],[25]．さて，チルド符号でノードの集合，添え字 f で固定粗面上伝搬問題にも適用できる [19]．このモデルから，ノード，添え字ｃで候補ノードとする．まず始点ノー通信距離が次式によって推定できるので，基地局の最ドをと仮定して，次の初期化を行う．適配置のためのコスト関数として利用できる [21]． (29) (28) ここで，ノードであり， 5.2 基地局配置シミュレーション先に述べた１波モデルによって通信距離が計算できるので，コスト関数の微係数を計算する必要のない PSO 法 [18]は，複雑な伝搬環境すなわち場所毎に通信は始点ノードに連結するノードはその始点からの総コスト，はその近接ノードを示す．この段階では，始点とパスを持たないノードのコストは∞としておく．次に候補ノードの中から総コストが最小のものを選び，次式のようにそれを固定ノードに追加する．距離が変化する地上での基地局の最適配置の問題に適 (30) 用できる [22]．図 10 に仮想的な通信距離関数の分布を示す．また，図 11 にこの関数をコスト関数とみなして PSO 法で求めた３角形メッシュの基地局配置の例を示この新たに得られた固定ノードに連結する固定ノードす [22]．通信距離の値が小さい地域では，３角形メッ以外のノードに関して，候補ノードでないものは次式シュの間隔が密になっていることが示されている．のように新たに候補ノードとして追加する． (31) 一方すでに候補ノードである場合，新固定ノード経由の総コストが小さいとき次の変更を行う． (32) 上の操作を繰り返して，新たな候補ノードがない場合，すなわちとなったとき，このアルゴリズム図 9 仮想的な都市の通信距離関数は終了する． 6.1 津波のシミュレーション津波速度は重力加速度と海の深さの積の平方根であり，ノード間の伝搬時間は次式で与えられる． (33) 従って，波源からの津波の伝搬時間を総コストとすれ図 10 三角形メッシュによる基地局配置の一例ば，フェルマーの原理によりダイクストラ法に基づいて津波の動きを数値的に知ることができる [24]．図８ 6. Dijkstra 法と波動 Dijkstra 法は連結グラフの最短パスを決定するアルゴリズムであって，計算時間と安定性の両面から，最に仮想的なリアス式海岸を示し，図 12 に反復計算回数を変えたときの津波波面の動きに関するシミュレーションの例を示している． 6.2 Luneburg Lens のシミュレーション不均質誘電体の屈折率をとすると，ノード間の光路 (Optical Path) は次式で計算される [26]． (34) この光路をコストに選べば，ダイクストラ法によってレイの軌跡を知ることができる [25]．次式は 2D ルーネベルグ・レンズの屈折率を示す．レンズの半径はであり，その中心の屈折率は２の平方根，周辺ではその値は１となる．（ a）反復計算回数＝３万回のとき (35) 図 14 に，この 2D ルーネベルグ・レンズに対して，各点における光路値を示している．また図 15 に，このときの近似レイ様子を示している． (b) 図 11 反復計算回数＝７万回のとき仮想的リアス式海岸における津波の進行図 14 図 12 2D Luneburg Lens における光路値分布津波の伝達時間分布図 15 2D Luneburg Lens におけるレイの軌跡 7. あとがき過去４０年にわたり，筆者が電磁波散乱・伝搬問題を解析するために用いて来た計算法，すなわち解析的な手法である Wiener-Hopf 法及び Spectral Domain 法，数値解析的手法である FVTD 及び DRTM，数値的な最適化法である PSO 及び Dijkstra 法について概説し，それらの応用例について述べた．この報告が，電磁界分野の将来を担う若い研究者にとって，些かでも参考になれば幸いである．図 13 津波の被害地域この研究は，平成 26 年度採択の科学研究費補助金 (基盤研究 (C))(課題番号 : 24560487）の補助を受けて行われた．ここに謝意を表する．文献 [1] 飯島泰蔵監修 :” 電磁界の近代解法 ” , 電子通信学会 , コロナ社 , (1979-08). [2] 山下榮吉監修 :” 電磁波問題の基礎解析法 ” , 電子情報通信学会 , コロナ社 , (1987-10). 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