公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか学習塾･家庭教師の先生方へよく受ける質問内容をもとに、この教材の効果的な使い方をお伝えいたします。特に中学３年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります。中学１･２年生の学年では、１年間で数学の教科書１冊を終えればよいのですが、３年生の場合はそういうわけにはいきません。３年生の１年間で、３年生の教科書１冊と受験対策（１年～３年）を塾の講座で実施しなければなりません。学習塾におきましては、３年生の年間カリキュラムを以下のＡ．Ｂのように、大きく２つに分類できました。Ａ．３年生の教科書内容の日々の学習指導と並行して受験対策をされている学習塾Ｂ．３年生の教科書を前倒し（１１～１２月位）で終えて、それ以降受験対策をされる学習塾Ａ．３年の教科書と並行して受験対策を実施されている場合 ① ３年生の教科書のある単元が終了した後にその単元から出題されている公立高校入試の過去問を生徒に解かせて高校入試の学力レベルまで引き上げる使い方。 ② ①と並行して１年生で学習した内容の各単元の重要事項を説明した上で、その単元から出題されている公立高校入試の過去問を生徒に解かせて高校入試の学力レベルまで引き上げる使い方。Ｂ．３年生の教科書を前倒し（１１～１２月位）で終えて、それ以降受験対策をされる ① 前倒しで３年生の教科書を終え、その後に受験対策として受験する都道府県の出題傾向に沿った単元の過去問及びその類似問題を大量に解かせて高校入試レベルに引き上げる使い方。 ② 点数が取れない単元や不得意分野の過去問及び類似問題を大量に解かせて苦手を克服し得点につなげる使い方いずれの場合でも数学の受験対策は受験する都道府県の入試問題の出題傾向を分析した上で、その傾向に沿った問題（類似問題）の過去問演習をやらないわけにはいきません。（３年生対象の実力テスト・模試は、その都道府県の傾向に沿った出題形式・出題内容である場合が多いようです。）また、例えば公立高校入試に出題される関数の問題はミックス問題が出題される都道府県が多くあります。３年で学習する放物線（二次関数）と１年比例･２年一次関数との組み合わせ問題が出題される都道府県では３年生で学習する内容を終えなければ高校入試の過去問に手をつけられない事も起こりうる場合があります。中学１･２年生の講座でも単元終了時点で、あるいは、その日に学習した内容の練習問題として、徐々に高校入試レベルの問題に触れさせることも可能です。高校入試の問題が解けることによって生徒各自のモチベーションが上がるようです。学習塾や家庭教師の先生方は年間カリキュラムの中でアレンジしてお使い下さい。中学生各自で利用される場合公立高校入試の受験対策学習は各自が受験する都道府県の公立高校入試の出題傾向に沿った問題を数多く演習して下さい。まずは自分が受験する公立高校入試問題の出題傾向を一覧表で確認し、出題可能性の高い単元からの問題を確実に解けるようにして下さい。この教材は ■ 数学の成績を短期間に伸ばせる・定期テスト・実力テスト・公立高校入試のための実践力・得点力を付けられる！ ■ 点数が取れない分野・単元を克服できる！ ■ 不得意・苦手を克服できる！ ■ 中学１年生でも２年生でも学校で習った内容が高校入試でどのように出題されるのか、どんな問題が出るのか、早い段階から受験対策を進めることができる！ ■ 自分が受験する公立入試の傾向をつかんだ効率よい学習ができる！ ■ 自宅で自分のペースで学習を進めることができる！この様な中学生に最適な教材です。 1 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか５－２．平面図形その他の証明複合問題ほか２００３年度出題【問１】図のように，３つの内角がすべて鋭角である△ABCがあります。辺BCを直径とする円と辺AB，ACとの交点をそれぞれD，Eとし，線分CDとBEとの交点をFとします。点Cを通り，線分BEに平行な直線と円との交点をGとします。次の問いに答えなさい。（北海道 2003年度）問１．∠EGC＝25°のとき∠CEGの大きさを求めなさい。問２．DB＝DCのとき，BF＝CAを証明しなさい。解答欄度問１証明問２解答解説 2 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問２】図で，△ABCは∠ACB＝90°の直角三角形である。点Dは線分ACの右側に，点Eは線分AB上にあり，△ABC ≡△DECである。線分ACとDEの交点をF，線分ABとDCを延長した直線の交点をGとする。次の(1)，(2)の問いに答えなさい。（秋田県 2003年度） (1) EG＝EDとなることを証明しなさい。 (2) AB：BC＝5：3のとき，AF：FDを求めなさい。解答欄証明 (1) (2) ：解答解説 3 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問３】図のように，２つの円O，O′が２点A，Bで交わっている。OA，OBの延長と円O′との交点をそれぞれC，Dとする。このとき，AD＝BCであることを証明しなさい。（栃木県 2003年度）解答欄証明解答解説 4 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問４】ある中学校の数学の授業で，生徒がつくった問題を皆で考えた。次の各問に答えよ。（東京都 2003年度） Sさんは，次の問題をつくった。［Sさんの問題］図１右の図１で，△ABCは，AC＝BC＝10 cm， ∠ACB＝90°の直角二等辺三角形です。点Pは，△ABCの辺BC上にある点で，点B，Cのいずれにも一致しません。 △QBPは，QP＝BP，∠QPB＝90°の直角二等辺三角形です。 △PRCは，PC＝RC，∠PCR＝90°の直角二等辺三角形です。 BA＋AC＝ ℓ cm，BQ＋QP＋PR＋RC＝m cmとするとき，ℓとmの値を比べましょう。皆は，［Sさんの問題］について，いろいろな考え方でℓ とmの値を比べた。 Tさんは，BP＝3 cmとして，ℓ とmの値をそれぞれ求めて比べた。問１．［Sさんの問題］で，Tさんが決めたBP＝3 cmのとき，ℓ とmの値をそれぞれ求めよ。ただし，答えに根号がふくまれるときは，根号をつけたままで表せ。 Uさんは，［Sさんの問題］をもとにして，次の問題をつくった。［Uさんの問題］図２右の図２で，おうぎ形CABは，半径が10 cm，中心角が∠ACB＝90°のおうぎ形です。点Pは，おうぎ形CABの半径BC上にある点で，点B，Cのいずれにも一致しません。おうぎ形PQBは，半径がBP，中心角が ∠QPB＝90°のおうぎ形です。おうぎ形CPRは，半径がPC，中心角が ∠PCR＝90°のおうぎ形です。 ⌒ BA，⌒ BQ，⌒ PRが，それぞれ弧BA，弧BQ，弧PRの長さを表すとき， ⌒ BA＋AC＝⌒ BQ＋QP＋⌒ PR＋RCであることを確かめましょう。問２．［Uさんの問題］で，⌒ BA＋AC＝⌒ BQ＋QP＋⌒ PR＋RCであることを証明せよ。ただし，円周率はπとする。 5 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか解答欄問１ ℓ の値 mの値証明問２ ⌒ BA＋AC＝⌒ BQ＋QP＋⌒ PR＋RC 解答解説 6 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問５】図のように，ABを直径とする半円と，半円外の点Cがある。ACと半円の交点をD，Aを通りBCに平行な直線と∠ ACBの二等分線との交点をE，ECとABの交点をFとする。AD＝4 cm，DC＝2 cm，BC＝3 cmのとき，次の各問いに答えなさい。（長野県 2003年度） (1) AEの長さを求めなさい。 (2) DF∥AEを証明しなさい。 (3) AFの長さを求めなさい。 (4) △AECの面積を求めなさい。解答欄 (1) cm 証明 (2) (3) cm (4) cm2 解答解説 7 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問６】図のように，四角形ABCDと四角形GCEFはともに正方形で，線分BGと線分EDの延長との交点をHとする。このとき，BG⊥EHであることを，次のように証明した。下の(1)，(2)に答えなさい。（石川県 2003年度）証明 △GBCと△EDCにおいて四角形ABCDと四角形GCEFは正方形だから BC＝DC GC＝EC ∠BCG＝∠DCE＝90° よって，アから △GBC≡△EDC イ (1) アにあてはまる三角形の合同条件を書きなさい。 (2) イの部分には証明の続きが入ります。それを書きなさい。解答欄 (1) (2) 解答解説 8 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問７】四角形ABCDで，△ABD＝△ACD＝△BCDとなっているとき，この四角形は平行四辺形であることを次のように証明した。空欄に最も適した式を書け。（愛知県Ａ 2003年度） (証明) △ABD＝△ACDだから，AD∥BC また，△ACD＝△BCDだから，したがって，２組の向かいあう辺が，それぞれ平行であるので，四角形ABCDは平行四辺形である。解答欄解答解説 9 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問８】 △ABCで，∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をD，DからCAに平行な直線をひき，ABとの交点をEとする。このとき，AE＝DEとなることを次のように証明した。空欄に最も適した式を書け。（愛知県Ｂ 2003年度） (証明) 仮定より，∠BAD＝∠CAD DE∥CAだから， …① …② ①，②から，△EDAで，∠EAD＝∠EDA したがって，AE＝DE 解答欄解答解説 10 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問９】図１のように，半径2 cmの円Oの周上に，∠AOB＝90°となる２点A，Bをとり，半径1 cmの円O′が，⌒ AB上を，すべることなく反時計回りに回転していく。このとき，２つの円の接点をPとし，点Pは点Aから点Bまで移動するものとする。また，円O′の周上で，回転する前に点Aと重なっていた点をCとし，回転を始めてからできる線分CPの延長と円O との交点をQとする。ただし，円O′が回転する前は点Qも点Aに重なっていたものとする。後の(1)～(4)の問いに答えなさい。（滋賀県 2003年度） (1) 次の(ア)，(イ)の内にあてはまる記号や数を書きなさい。 (ア) ⌒ APと図１ ① の長さは等しい。 (イ) 点Qは円Oの周上を ② °回転する。 (2) O′C∥OQであることを証明しなさい。図２ (3) 図２のように，∠AOP＝65°のとき，∠OQPの大きさを求めなさい。 (4) △OQPの面積が最大になるとき，線分CQの長さを求めなさい。解答欄 (ア) ① (イ) ② (1) 証明 (2) (3) (4) cm 解答解説 11 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問10】図において，図形OAPは半径が10 cmで中心角∠AOPが鋭角のおうぎ形である。Mは線分OPの中点である。Q は，線分OA上にあってMQ＝MOとなる点のうちOと異なる点である。円周率をπとして，次の問いに答えなさい。（大阪府後期 2003年度） (1) 中心角∠AOPの大きさが60°であるときの線分QAの長さを求めなさい。 (2) 下のの【証明】は，次の証明中の㋐～㋒の中のことがらを中心角∠AOPの大きさをa°として証明したものである。のそれぞれに入れるのに適している角の大きさをaを用いて表しなさい。中心角∠AOPの大きさが何度であっても，PとQとを結んでできる△OQPの内角∠OQPの大きさは90°である。【証明】中心角∠AOPの大きさをa°とする。 △MOQはMQ＝MOの二等辺三角形だから ∠MQO＝∠MOQ ∠AOP＝a°だから ∠MQO＝a°…① よって ∠QMP＝㋐ ° 三角形の内角の和は180°だから ∠MQP＋∠MPQ＝㋑ ° Mは線分OPの中点であり，また，MQ＝MOだから，△MQPはMQ＝MPの二等辺三角形となり ∠MQP＝∠MPQ よって ∠MQP＝㋒ °…② ①，②より ∠OQP＝∠MQO＋∠MQP＝90° (3) おうぎ形OAPが解答欄に示した図形であるとき，点Qを定規とコンパスを使って解答欄の図中に作図しなさい。作図の方法がわかるように，作図に用いた線は残しておくこと。 (4) ２点P，Q間の距離が6 cmのとき，PとQとを結んでできる△OQPをOAを軸として１回転させてできる円すいの側面積を求めなさい。 12 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか解答欄 (1) (2) cm ㋐㋑㋒ (3) (4) cm2 解答解説 13 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問11】次の①では指示に従って答え，②ではに適当な数を書き入れなさい。（岡山県 2003年度） ① 図１のように，AB＝ACの二等辺三角形ABCがあり，∠BACの二等分線と辺 BCとの交点をDとする。このとき，ADは辺BCを垂直に２等分することを証明しなさい。図１ ② 図２のように，半径2 cmの円Oの円周上にある３点P，Q，Rを頂点とする△ PQRがある。ここで，PQ＝2 cmであり，PRは円Oの直径である。点Oと点Qを結び，∠POQの二等分線と円Oとの交点のうち，点Rに近い方の点をSとし，点 Sと点P，点Sと点Rをそれぞれ結ぶ。このとき， QR＝ (ア) cm，∠RPS＝ RSの長さは短い弧 ⌒ (ウ) また，四角形PQRSの面積は (イ) °であり，円周の長さの図２ cmである。 (エ) 1 より 2 cm2である。解答欄証明 ① (ア) (イ) ② (ウ) (エ) 解答解説 14 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問12】図のように，△ABCにおいて，∠B，∠Cの二等分線と辺AC，ABの交点をそれぞれD，E，また，点Eを通り，辺 BCに平行な直線と辺ACとの交点をFとする。ただし，AB＞ACとする。次の(1)～(3)の問いに答えなさい。（大分県 2003年度） (1) △FECが二等辺三角形であることを証明しなさい。 (2) AF＝4 cm，BC＝15 cmのとき，線分EFの長さを求めなさい。 (3) AF＝5 cm，FD：DC＝1：5であり，また，線分EBがFCより6 cm長いとき，線分AEの長さを求めなさい。解答欄証明 (1) (2) cm (3) cm 解答解説 15 http://zaitaku-study.net 公立高校入試過去問数学４.平面図形５.その他の証明ほか【問13】図は，ABを直径とする円Oの周上に点Pを，∠BOPが鋭角になるようにとり，点Pにおける円Oの接線とABの延長との交点をCとし，点Aから直線CPに垂線をひき，直線CPとの交点をD，直線ADと円Oとの交点をEとしたものである。このとき，次の１～３の問いに答えなさい。（鹿児島県 2003年度）１．点D以外の６つの点O，A，B，C，E，Pのうち，３つの点を適当にとり三角形をつくるとき直角三角形となるものを１つあげよ。２．∠OAP＝∠EAPであることを証明せよ。３．円Oの半径を2 cm，BCの長さを1 cmとするとき次の(1)，(2)の問いに答えよ。 (1) 線分ADの長さは何cmか。 (2) 四角形DEOPの面積は何cm2か。解答欄１証明２ (1) cm (2) cm2 ３解答解説 16 http://zaitaku-study.net