数学B　4STEP(53 ～ 61)　⑥ ベクトルと図形 [改4SB問53]位置ﾍﾞｸﾄﾙの関係から3点が一直線上の証明など [改4SB問56]ベクトルの分解の性質から係数決定 [改4SB問58]三角形の辺の分点が一直線上の証明,線分比 OA=-2a，OB=4a，OC=2a +4b，OD=6a +2b，OE=-2a -6b であるとき，次 a' 0，b' 0，aTb とする。次の等式を満たす実数 s，t の値を求めよ。 △ABC において，辺 BC を 2：1 に外分する点を P，のことを証明せよ。ただし，a' 0，b' 0，aTb とする。 (1)　2a + sb = ta - b　(2)　sa + 0 3 -2t1 b =0 (1)　3 点 O，A，B は一直線上にある。　(2)　ACSBD (3)　c = a -2b，d =2a +3b のとき　sc + td =4a +13b 辺 AB を 1：2 に内分する点を Q，辺 CA の中点を Q R とするとき，3 点 P，Q，R は一直線上にあること (2)　AC=OC-OA= 02a +4b1 - 0-2a1 =40a + b1 (2)　a' 0，b' 0，aTb から　s =0，3-2t =0　よって　s =0，t = 3 2 P 1 解説 AB= b，AC= cとすると BD=OD-OB= 06a +2b1 -4a =20a + b1 (3)　sc + td = s0a -2b1 + t02a +3b1 = 0 s +2t1 a + 0 -2s +3t1 b a' 0，b' 0，aTb から　AC ' 0，BD ' 0 よって，与えられた等式から　0 s +2t1 a + 0 -2s +3t1 b =4a +13b -AB + 2AC AP= =-b +2c 2-1 また　AC=2BD　よって　ACSBD a' 0，b' 0，aTb から　s +2t =4，-2s +3t =13 AQ= (3)　(2) から　BD=20a + b1 ゆえに　s =-2，t =3 BE=OE-OB= 0-2a -6b1 -4a =-60a + b1 △ABC の辺 AB，BC，CA を 2：1 に内分する点を，それぞれ A 1，B 1，C 1 とする。更 v a' 0，b' 0，aTb の条件から，直線 AB の存在が認められる。 3 点 0 1，x1 ，0 x，01 ，0 -1，61 が一直線上にあるように x の値を定めよ。 2 2 AB= b 3 3 A0 1，x1 ，B0 x，01 ，C0 -1，61 とする。 AB 1 = AB + 2AC b + 2c = 3 2+1 3 点 A，B，C が一直線上にあるとき，　AB= kAC (k は実数) …… ①　とおける。ゆえに　x -1=-2k　…… ②，　-x = k0 6 - x1 …… ③ x-1 2 8 9 8 9 AA 2 = AA 1 + 2AB 1 1 2 b + 2c = b +2 ･ 3 3 2+1 3 = 4b + 4c 9 これを ③ に代入して整理すると　x -5x +6=0 2 A B1 1 C ゆえに P (1)　3 点 P，Q，C は一直線上にあることを証明せよ。 (2)　PQ：QC を求めよ。 Q B (1)　BP= 1 1 BA= a 3 3 BQ= 1 1 1 BD= 0BA +BC1 = 0a + c1 4 4 4 よって　PQ=BQ-BP= b + 4c 4b + 4c 1 1 =- b =- AB 3 3 9 9 A 2B 2 ' 0，AB ' 0 であるから　A 2B 2SAB　D 点を P，対角線 BD を 1：3 に内分する点を Q とする。解説 b + 4c 9 A 2B 2 = AB 2 - AA 2 = 平行四辺形 ABCD において，辺 AB を 2：1 に内分する 2 また，BA= a，BC= c とする。 A2 すなわち　A 2B 2SAB 2 B2 1 B ここで　AB= 0 x -1， - x1 ，AC= 0 -2，6 - x1 よって，① から　0 x -1， - x1 = k0 -2，6 - x1 9 [改4SB問59]平行四辺形の辺の分点と2点が一直線上,線分比 C1 A1 1 1 AC 1 = AC= c 3 3 = 1 b 3 1 2 AB 1 + 2AC 1 1 b + 2c 1 = +2 ･ c AB 2 = 3 3 2+1 3 解説 P C A AA 1 = よって　[改4SB問55]3点(1,x),(x,0),(-1,6)が一直線上にあるxの値 B ゆえに　QP=4QR　したがって，3 点 P，Q，R は一直線上にある。 AB= b，AC= c とおくとよって　AP=-2AB　ゆえに，点 P は直線 AB 上にある。 R また　QR：QP=1：4 解説 AP=OP-OA= 03a -2b1 - a =2a -2b =-20b - a1 QP=AP-AQ= 0-b +2c1 - 8 このとき，A 2B 2SAB であることを示せ。解説 AB=OB-OA= b - a， A 2 1 1 c- b 2 3 4 1 1 =- b +2c =4 - b + c 3 3 2 に，△A 1B 1C 1 の辺 A 1B 1，B 1C 1 を 2：1 に内分する点を，それぞれ A 2，B 2 とする。 OA= a，OB= b，OP=3a -2b であるとき，点 P は直線 AB 上にあることを証明せよ。ただし，a' 0，b' 0，aTb とする。 1 1 1 =- b + c 3 2 [改4SB問57]三角形内に作った三角形と辺の平行(ﾍﾞｸﾄﾙ利用) [改4SB問54]OA=a,OB=b,OP=3a-2b⇒Pは直線AB上にあるの証明 Q 1 1 1 1 AB= b，　AR= AC= c 3 3 2 2 よって　QR=AR-AQ= よって　BE=-3BD　ゆえに，3 点 B，D，E は一直線上にある。これを解いて　x =2，3 C 2 (1)　a' 0，b' 0，aTb から　2= t，s =-1　よって　s =-1，t =2 (1)　OB=4a =-2OA　よって，3 点 O，A，B は一直線上にある。 ② から　k =- R B 解説解説 A 2 を証明し，QR：QP を求めよ。 (3)　3 点 B，D，E は一直線上にある。 1 1 1 1 1 a + c1 - a =- a + c 40 3 12 4 PC=BC-BP= c - 1 1 1 a =4 - a + c 3 12 4 8 9 ゆえに　PC=4PQ …… ① したがって，3 点 P，Q，C は一直線上にある。 (2)　① から　PQ：PC=1：4　よって　PQ：QC=1：3 C [改4SB問60]三角形の交点の位置ベクトル(ベクトルの相等利用) △ABC において，辺 AB を 1：2 に内分する点を D， [改4SB問61]三角形の分点のベクトル表示,線分比 △OAB において，辺 OB の中点を M，辺 AB を 1：2 A 辺 AC を 3：1 に内分する点を E とし，線分 CD，BE D の交点を P とする。AB= b，AC= c とするとき，AP 3 2 線分 CM と線分 BD の交点を P とする。 D OA= a，OB= b とするとき，次の問いに答えよ。 2 を b，c を用いて表せ。 O に内分する点を C，辺 OA を 2：3 に内分する点を D， 1 P E 1 C B M 3 (1)　OP を a，b を用いて表せ。 P (2)　直線 OP と辺 AB の交点を Q とするとき， Q AQ：QB を求めよ。 A 1 C B 2 解説 BP：PE= s：0 1 - s1 ，CP：PD= t：0 1 - t1 とすると AP= 0 1 - s1 AB+ sAE= 0 1 - s1 b + AP= tAD+ 0 1 - t1 AC= A 3 sc …… ① 4 (1)　CP : PM= s : 0 1 - s1 ，BP : PD= t : 0 1 - t1 とすると D 1 tb + 0 1 - t1 c …… ② 3 2 ①，② から　3 1- t s 3 1 0 1 - s1 b + sc = tb + 0 1 - t1 c 4 3 P B 1 3 b' 0，c' 0，bTc であるから　1- s = t， s =1- t 3 4 これを解いて　s = 8 1 ，t = 9 3 8 よって，① から　AP= 1 - 解説 1 1- s E 1 C t OP= 0 1 - s1 OC+sOM= 0 1 - s1 ･ 8 3 8 1 2 b+ ･ c= b + c 9 4 9 9 3 9 D = s t P Q A 2 1 - s1 2+s 2 0 a+ b = ta + 0 1 - t1 b 3 6 5 よって，② から　OP= 2 2 5 5 2 4 ･ a + 1 - b = a + b …… ③ 5 9 9 9 9 8 9 ゆえに，点 P は線分 BE を 8：1 に内分する点であるから 9 C 2 5 ，t = 3 9 (2)　OQ= kOP 0 k は実数1 とすると，③ から　OQ= 3 c 4 1 2 1 - s1 2 2+s a' 0，b' 0，aTb であるから　0 = t， =1- t 5 3 6 これを解いて　s = b +8･ 2 4 ka + kb …… ④ 9 9 また，AQ：QB= u：0 1 - u1 とすると　OQ= 0 1 - u1 a + ub …… ⑤ 1 2 = b + c　9 3 2 4 ④，⑤ から　ka + kb = 0 1 - u1 a + ub 9 9 2 4 a' 0，b' 0，aTb であるから　k=1- u， k= u 9 9 これを解いて　u = 2 3 ，k= 3 2 したがって　AQ：QB=2：1 u　次の項目「ベクトル方程式」で学習する以下のことを用いてもよい。点 P 0p1 が 2 点 A 0a1 ，B 0b1 を通る直線上にある C p = sa + tb，s + t =1 t　(2)　OQ= kOP (k は実数) とすると，③ から 2 4 2 4 8 9 a+ 9 b9= 9 ka+ 9 kb OQ= k 2 4 Q は辺 AB 上にあるから　k+ k =1 9 9 よって　k= M 3 2 ta + 0 1 - t1 b　…… ② 5 EC 1 AD 1 BP 1 1 = ， = であるから　が成り立つ。･･ =1 CA 4 DB 2 PE 4 2 BP =8 PE 1- s 1- t OP= tOD+ 0 1 - t1 OB BP EC AD =1 ¦ABE と直線 CD にメネラウスの定理を適用すると　･･ PE CA DB AB + 8AE = AP= 8+1 O 2 2 1 - s1 2+s = 0 a+ b …… ① 3 6 ①，② から　t　メネラウスの定理を用いる。すなわち　2a + b s + b 3 2 3 2 ゆえに　OQ= 2 3 4 3 a + 2b 1･a + 2b = ･ a+ ･ b= 3 2+1 9 2 9 2 よって　AQ：QB=2：1 B