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高 2理系　数学 B　1学期期末考査対策 2（ベクトルの応用）　20120626
１
(1)　BP：PE= s：0 1 - s1 ，CP：PD= t：0 1 - t1 と
三角形 ABC と点 P があり，4PA+5PB+3PC=0 を満たしている。
3
= 0 1 - s1 b + sc　…… ①
5
(2)　面積比 △PAB：△PBC：△PCA を求めよ。
3
5AB + 3AC
2
5AB + 3AC
= %
12
3
8
A
2
s =
1
ゆえに，点 P は，線分 BC を 3：5 に内分する点を
D としたとき，線分 AD を 2：1 に内分する点である。
B
3
D
C
5
8
8
9
u =
２
9
3
AE=
AF=
D
AB= b，AC= c とするとき
3
(1)　AP を b，c で表せ。
B
P
2
Q
p = sa + tb，s + t =1
C
したがって，EF=
8
9
23
k+
k =1　これを解いて　k =
23
23
17
u 2 (1) の AP を求めるのにメネラウスの定理，(2) の AQ を求めるのにチェバの定
理を利用してもよい。
(1)　△ABE と直線 CD について，メネラウスの定理から
A
BP EC AD
=1
･
･
PE CA DB
4
BP 2 4
すなわち　･･ =1
PE 5 3
D
よって，BP：PE=15：8 であるから
3
8AB + 15AE
1
3
=
AP=
8b +15 ･ c
15 + 8
23
5
8
9
B
b
E
5
P
2
C
E
2
F
5
2
B
5b + 2d
3
2 2b + 5d1
- b= 0
5
7
35
EC=AC-AE= 0 b + d 1 -
(別解)　点 Q は辺 BC 上にあるから，③ より
E
3
5AB + 2AD
5b + 2d
=
2+5
7
よって　EF=AF-AE=
d
A
3
3
AB= b
5
5
AC=AB+BC= b + d
このことを利用すると，③ から直ちに k の値を求めることができる。
BC の交点を Q とする。
解説
解説
AB= b，AD= d とすると
9
8
9
を ④ に代入して　AQ=
b+
c
17
17
17
4
CD，BE の交点を P とする。また，AP の延長と辺
C
Q
内分する点を F とする。このとき，3 点 E，F，C は一直線上にあることを証明せよ。
点 P 0p1 が 2 点 A 0a1 ，B 0b1 を通る直線上にある
A
2
平行四辺形 ABCD において，辺 AB を 3：2 に内分する点を E，対角線 BD を 2：5 に
u 1 後の項目｢ベクトル方程式｣で次のことを学習する。
辺 AC を 3：2 に内分する点を E とし，2 つの線分
8AB + 9AC
8
9
=
b+
c
9+8
17
17
３
8
9
8
9
b+
c =
kb +
kc　…… ③
23
23
23
23
8
9
kb +
kc = 0 1 - u1 b + uc
23
23
8
9
b' 0，c' 0 で，b と c は平行でないから　k=1- u， k= u
23
23
23
9
これを解いて　k=
，u =
17
17
△ABC において，辺 AB を 4：3 に内分する点を D,
AQ=
E
3
15
14
，t =
23
23
③，④ から　=3：4：5
(2)　AQ を b，c で表せ。
C
3
D
よって，BQ：QC=9：8 であるから
c
(2)　AQ= kAP (k は実数) とすると
BQ：QC= u：0 1 - u1 とすると　AQ= 0 1 - u1 b + uc　…… ④
1
1
5
5
S： S +
S ： S
4
8
24
12
4
BQ 2 4
･･ =1
QC 3 3
15
8
9
を ① に代入して　AP=
b+
c
23
23
23
2
1
2
5
S，
ゆえに　△PAB= △ABD= S，△PCA= △ADC=
3
4
3
12
1
1
1
5
△ABD= S，△PDC= △ADC=
S
3
8
3
24
A
4
3
t， s =1- t
7
5
AQ= k
ゆえに　△PAB：△PBC：△PCA=
2
BQ CE AD
=1
･
･
QC EA DB
B
3
5
(2)　△ABC の面積を S とすると　△ABD= S，△ADC= S
8
8
△PBD=
すなわち　t
Q
よって　7s +4t =7，3s +5t =5　これを解いて　s =
P
よって　AP：PD=2：1
1- s
s
B
b' 0，c' 0 で，b と c は平行でないから　1- s =
2
AD
3
E
P
8
9
b+
c
23
23
(2)　チェバの定理から　3
4
①，② から　0 1 - s1 b + sc = tb + 0 1 - t1 c
5
7
5AB + 3AC
とおくと，点 D は線分
8
BC を 3：5 に内分する点であり　AP=
1- t
b
4
= tb + 0 1 - t1 c　…… ②
7
(1)　等式から　-4AP+50AB -AP 1 +30AC -AP 1 =0
3
D
AP= tAD+ 0 1 - t1 AC
解説
ゆえに　AP=
=
4
AP= 0 1 - s1 AB+ sAE
(1)　点 P の位置をいえ。
ここで，AD=
A
すると
3
2b + 5d
b=
5
5
2
EC であるから，3 点 E，F，C は一直線上にある。
7
C
D
４
５
これを解いて　t =
1
7
4
1
，k=
したがって　OC=
a+ b
5
15
15
5
△ABC と点 P に対して，等式 5AP+4BP+3CP=0 が成り立つとき，次の問いに答え
△OAB において，OA= a，OB= b とする。
よ。
(1)　辺 OA を 3：2 に内分する点を C，辺 OB を 3：4 に内分する点を D とし，線分
(1)　点 P の位置をいえ。
AD と BC との交点を P とする。このとき，OP を a，b で表せ。
(2)　面積比 △PBC：△PCA：△PAB を求めよ。
(2)　辺 OA を 1：2 に内分する点を P，辺 AB を 3：4 に内分する点を Q とし，線分 OQ ゆえに　QC = 8 よって　OC：CQ=7：8
CO
7
と BP の交点を C とする。このとき，OC を a，b で表せ。
7
7 4a + 3b
4
1
したがって　OC=
OQ=
a+ b
=
･
15
15
15
5
3 +4
解説
(1)　与えられた等式から　5AP+40 AP -AB 1 +30 AP -AC 1 =0
A
OP= 0 1 - s 1OA+ sOD = 0 1 - s1 a +
7
4AB + 3AC
7
=AQ とおくと　AP=
AQ
7
12
OP= tOC+ 0 1 - t 1OB =
P
よって　BQ：QC=3：4，AP：PQ＝7：5
したがって，辺 BC を 3：4 に内分する点を Q とする
と，点 P は線分 AQ を 7：5 に内分する点である。
よって　0 1 - s1 a +
5
B
3
Q
4
C
C
2
b
a
A
3
Q
4
B
これを解いて　s =
よって，△PBQ=3S とすると　△PCQ=4S
ゆえに　△PBC=3S +4S =7S
O
3
sb，
7
3
ta + 0 1 - t1 b
5
3
3
sb = ta + 0 1 - t1 b
7
5
a ' 0 ，b ' 0 ，aTb であるから　1 - s =
(2)　△PBQ：△PCQ＝BQ：QC＝3：4
△PBQ：△PAB＝5：7 であるから　△PAB=
P
(1)　AP：PD=s：0 1 - s1 ，BP：PC=t：0 1 - t1 とすると
4AB + 3AC
7 4AB + 3AC
=
･
12
12
7
△PCQ：△PCA＝5：7 であるから　△PCA=
1
AB QC OP
7 QC 1
より　=1 よって　･
･
･
･ =1
BQ CO PA
4 CO 2
解説
よって　12AP=4AB+3AC
ゆえに　AP=
O
t　△OAQ と直線 BP について，メネラウスの定理に
1-t
3
3
D
C
a
2
4
1-s
b
t
B
s P
A
3
3
t， s = 1 - t
5
7
分する点を R とする。
(1)　3 点 P，Q，R は一直線上にあることを証明せよ。
7
10
6
3
，t =
したがって　OP=
a+
b
13
13
13
13
(2)　PQ：QR を求めよ。
t　OP の延長と辺 AB の交点を Q とすると，
7
28
S
･ 4S =
5
5
△OAB において，チェバの定理により
7
21
S
･ 3S =
5
5
28
21
したがって　△PBC：△PCA：△PAB=7S： S： S =5：4：3
5
5
O
3
AQ BD OC
AQ 4 3
=1 よって　･
･
･･ =1
QB DO CA
QB 3 2
ゆえに　AQ
1
= よって　AQ：QB=1：2
QB
2
C
a
A
2
解説
3
D
4
b
P
(1)　AB= b，AC= c とすると
B
Q
△OAQ と直線 CB について，メネラウスの定理により
AB QP OC
3 QP 3
=1 よって　･
･
･
･ =1
BQ PO CA
2 PO 2
ゆえに　QP
4
= よって　OP：PQ=9：4
PO
9
したがって　OP=
9
9 2a + b
6
3
OQ=
a+
b
=
･
13
13 1 + 2
13
13
(2)　PC：CB= t：0 1 - t 1 とすると
OC= 0 1 - t 1OP+ tOB=
1
P
t
1-t
4
3
a + tb = ka + kb
7
7
3
a ' 0 ，b ' 0 ，aTb であるから　1-t
4
3
= k，t = k
7
7
3
3
1
1
AC= c
2
2
AR=
1
1
AB= b
3
3
Q
4
b
B
R
2
B
よって　PQ=AQ-AP=
1
2b - 3c
c - 0-b +2c1 =
2
2
PR=AR-AP=
1
2 2b - 3c1
b - 0-b +2c 1 = 0
3
3
4
PQ　…… ①
3
(2)　① から　PQ：QR=3：1
1 -t
a
A
AQ=
したがって，3 点 P，Q，R は一直線上にある。
C
2
4
3
4OA + 3OB
= ka + kb
OC= k･
7
7
3+4
A
-AB + 2AC
=-b +2c
AP=
2 -1
ゆえに　PR=
O
1 -t
a + tb
3
OC= kOQ (k は実数) とおけるから
よって　６
△ABC で，辺 BC を 2：1 に外分する点を P，辺 CA の中点を Q，辺 AB を 1：2 に内
1
Q
C
2
1
P

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