第 1 回入試で使える数学小技 ○正射影ベクトル(数学 B) 光・正射影ベクトルとは? b 直感的にはベクトルの影と思えばよい. 右の図のように, a と b の 2 つのベクトルを考える. a a に垂直な方角から光を当てたとき, a に沿った b の影ができるはずである. この影をこの正射影ベクトルを b′ とすると, b′ = b の a 上の正射影ベクトルという. (a ⋅ b) , b′ = (a ⋅ b) ⋅ a a 2 となる. a ( ) ※ a ⋅ b は a と b の内積である. 証明 b 右図のように b の始点を a 上に重なる b θ ように平行移動し, a と b のなす角を θ b cos θ とすると, b′ = b ⋅ cos θ … ① θ が鈍角の場合, cos θ < 0 なので長さの場合は絶対値をつける. cos θ = (a ⋅ b) であるから,①より a⋅b b′ = b ⋅ (a ⋅ b) = b ⋅ (a ⋅ b) = (a ⋅ b) a⋅b a⋅b となる. a また, a と同じ方向を向いた長さ 1 のベクトルは 1 a ⋅ a であるから, a (ⅰ) a と b′ が同じ方向を向いている場合 b ′ = b′ ⋅ 1 ⋅a = a (a ⋅ b) ⋅ a 1 ⋅a = b (a ⋅ b) 2 a ⋅a θ a (ⅱ) a と b′ が逆の方向を向いている場合 b ′ = − b′ ⋅ 1 a ⋅a = − (a ⋅ b) a ⋅ 1 ⋅a = − a a b′ b (a ⋅ b) 2 θ ⋅a a b′ ( ) (ⅱ)となるのは θ が鈍角のときより cos θ < 0 であるから (a ⋅ b ) < 0 (a ⋅ b) ⋅ a となる.(証明終) であるから,どちらの場合も b′ = (ⅰ)となるのは θ が鋭角のときより cos θ > 0 であるから a ⋅ b > 0 2 a ・使いどころこの正射影ベクトルの公式の最大の特徴は, ベクトルの長さと内積が分かるだけで求めることができるということである. ベクトルの長さと内積が与えられている問題はもちろん, 成分が与えられている問題では,外積と合わせて非常に便利な公式である. ※外積については第 2 回にて説明する. a 入試例題 ∆OAB において, OA = a , OB = b , a = 3 , b = 2 , a ⋅ b = t とする.点 A から直線 OB に垂線 AP を下ろし,点 B から直線 OA に垂線 BQ を下ろし,直線 AP と直線 BQ の交点を R とする. (2) OP を t と b で, OQ を t と a で表しなさい. (2013 大分大学抜粋) [解答] O (2) OP は a の b 上の正射影ベクトルより, OP = (a ⋅ b) ⋅ b = t b 2 b Q P 2 R OQ は b の a 上の正射影ベクトルより OQ = (a ⋅ b) ⋅ a = t a 2 a 3 比較のため, 一般的な解法を次ページに載せる. A B 正攻法 OP は b と平行であるから, k を実数として OP = k b … ① と表される.このとき AP = −OA + OP = − a + k b AP ⊥ b より AP ⋅ b = 0 (− a + k b)b = 0 2 − a ⋅b + k ⋅ b = 0 − t + 2k = 0 より k = t 2 これを①に代入して OP = t b 2 OQ も同様にして求めるので省略する.