480_２次方程式の解と係数の関係を利用する求値問題２次方程式の解と係数の関係を利用する求値問題 2 次方程式 ax + bx + c = 0 ( a ' 0) の 2 つの解を α , 2 β とすると α + β = − b , αβ = c a a の関係が成り立つ．証明 2 次方程式 ax + bx + c = 0 ( a ' 0) の解は，解の公式から 2 x = −b ± D （ただし， D = b 2 − 4ac とおく．） 2a −b + D , β = −b − D とおくとここで， α = 2a 2a α + β = −b + D + −b − D = −2b = − b 2a 2a 2a a 2 2 2 b − (b 2 − 4ac) 4ac c αβ = −b + D ⋅ −b − D = b − D = = 2 = 2a 2a a 4a 2 4a 2 4a 2 別証 ax + bx + c = 0 の 2 解が α , β であることから ax 2 + bx + c = a( x − α )( x − β ) ■ とおける．右辺を展開して整理すると ax 2 + bx + c = ax 2 − a(α + β ) x + aαβ 上式が x についての恒等式となるためには，両辺の係数を比較して −a(α + β ) = b , aαβ = c よって， a ' 0 より α + β = − b , αβ = c ■ a a 例題１．2 次方程式 2 x − 4 x + 5 = 0 の 2 つの解を α , 2 1 + 1 , (α − β ) 2 , α β 1 α +1 + β とするとき， 1 β +1 (甲南大) の値を求めよ． ) 2 次方程式の解を直接求めて代入してもよいが，2 解が有理数解にならない限り計算が煩雑になる．与えられた式が α , β についての対称式であるから，これを解と係数の関係から求められる基本対称式 α + β , s 解と係数の関係から αβ で表してから代入すると手際がよい． α + β = − −4 = 2 , αβ = 5 2 2 したがって 1 + 1 = α + β = 2× 2 = 4 5 5 α β αβ (α − β ) 2 = (α + β ) 2 − 4αβ = 22 − 4 ⋅ 5 = − 6 2 ( 1) ( 1) (α + β ) + 2 β α + + + 1 + 1 = = = 2+2 = 8 (α + 1)( β + 1) α +1 β +1 αβ + (α + β ) + 1 5 + 2 + 1 11 2 −1− http://www.geocities.jp/ikemath 例題２．2 次方程式 x − x + 1 = 0 の 2 つの解を α , 2 (1) 1 + 2 1 α + 3α + 1 β + 3β + 1 2 β とするとき，次の式の値を求めよ． α 10 + β 10 (2) (3) α 6 − 2α 3 β 3 + β 6 (改 ) 名城大) 3 式とも α , β についての対称式であるが，すぐ基本対称式で表す式変形はしないで，少し工夫を考えてみることが大切である． s(1) α , β は x 2 − x + 1 = 0 の解であるから α 2 − α + 1 = 0 , β 2 − β + 1 = 0 "" ① x = α が f ( x ) = 0 の解 ⇔ が成り立つ．したがって f (α ) = 0 α 2 + 3α + 1 = (α 2 − α + 1) + 4α = 4α β 2 + 3β + 1 = ( β 2 − β + 1) + 4 β = 4β また，解と係数の関係から α + β = − −1 = 1 , αβ = 1 = 1 1 1 よって α +β 1 + 2 1 = 1 + 1 = = 1 4αβ 4 α + 3α + 1 β + 3β + 1 4α 4β 2 t ①から α 2 = α − 1 , β 2 = β − 1 "" ② （←次数下げが可能）したがって α 2 + 3α + 1 = (α − 1) + 3α + 1 = 4α β 2 + 3β + 1 = ( β − 1) + 3β + 1 = 4β 以下，同様． (2) x2 + x + 1 = 0 ⇒ x 3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1) = 0 ⇒ x3 = 1 2 x − x +1 = 0 ⇒ x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1) = 0 ⇒ x 3 = −1 ①より ⎧⎪ α 3 + 1 = (α + 1)(α 2 − α + 1) = 0 ⎨ 3 2 ⎪⎩ β + 1 = ( β + 1)( β − β + 1) = 0 ⇔ α 3 = β 3 = −1 よって α 10 + β 10 = (α 3 )3 ⋅ α + ( β 3 )3 ⋅ β = (−1)3 α + (−1)3 β = −(α + β ) = − 1 t ②から 3 2 2 ⎪⎧ α = α ⋅ α = (α − 1)α = α − α = (α − 1) − α = −1 ⎨ 3 2 2 ⎪⎩ β = β ⋅ β = ( β − 1) β = β − β = ( β − 1) − β = −1 以下，同様． (3) α 6 − 2α 3 β 3 + β 6 = (α 3 ) 2 − 2(αβ )3 + ( β 3 ) 2 = (−1) 2 − 2 ⋅13 + (−1) 2 = 0 t α 6 − 2α 3 β 3 + β 6 = (α 3 − β 3 ) 2 = {(−1) − (−1)} = 0 2 −2− 480_２次方程式の解と係数の関係を利用する求値問題 ■ 練習問題．１．2 次方程式 x − 2 x + 3 = 0 の 2 つの解を α , 2 β とするとき， α 2 − αβ + β 2 = ア， β2 α2 + = イである． α β ２．方程式 x − 3 x + 7 = 0 の解を α , 2 (甲南大) β とするとき， (α − β ) 2 , 1 α −2 + 1 β −2 (北海道薬科大) よ．３．2 次方程式 3 x − 6 x + 5 = 0 の 2 つの解を α , 2 β とするとき，α 2 + β 2 と 13 + 13 の値を α β (滋賀大) 求めよ．４．2 次方程式 2 x + 3 x + 4 = 0 の 2 つの解を α , めよ． 2 ５．2 次方程式 x − x + 1 = 0 の 2 つの解を α , 2 (1) α + β , αβ を求めよ． (2) 整式 ( x + 1)( x − x + 1) を展開せよ． (3) α 3 , β 3 を求めよ． (4) (東京電機大) 2 1 + 1 を求めよ． 100 α 100 (長岡技術科学大) β 2 (2) β とするとき， α 4 + α 2 β 2 + β 4 の値を求 β とする．６．2 次方程式 x + 2 x + 4 = 0 の 2 つの解を α , (1) の値を求め β として，次の問いに答えよ． 1 + 1 の値を求めよ． 2 2 α β 2 次方程式 2 x + ax + b = 0 の解の 1 つが 2 β となるように，係数 a，b の値を定めよ． α ただし，a，b は実数とする． (3) α 3 および β 3 の値を求めよ． (4) i を虚数単位，n を自然数とするとき，c(n) = ( ) ⎧ α ⎨i − 2 ⎩ n 1 の値を求めよ． n ⎫⎧ ⎛ β ⎞ ⎫ ⎬ ⎨i − ⎜ ⎟ ⎬ ⎭⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎭ (早稲田大) −3−