476_点 ( x + y , xy ) の存在範囲問題の解法点 ( x + y , xy ) の存在範囲問題の解法 y 2 x，y がすべての実数値をとるとき，点 ( x + y , xy ) の存在範囲は，x，y の実数条件から y ( 1 x2 4 したがって，xy 平面上に図示すると，右図の斜線部 1 y= x 2 4 1 -2 分となる．ただし，境界線上の点も含む． -1 O 1 2 x -1 Step1． α , β を 2 解とする x についての 2 次方程式は x 2 − (α + β ) x + αβ = 0 x = α , β を解にもつ 2 次方程式は ( x − α )( x − β ) = 0 2 展開して整理すると x − (α + β ) x + αβ = 0 ■ r 2 , − 5 を解とする 2 次方程式は 2 + (−5) = −3 , 2 × (−5) = −10 x 2 − (−3) x + (−10) = 0 ⇔ x 2 + 3 x − 10 = 0 より説明 ⎧ x+ y = p を満たす x , y を解とする t についての 2 次方程式は ⎩ xy = q Step2．連立方程式 ⎨ t 2 − pt + q = 0 説明 t = x , y を解とする t についての 2 次方程式は x + y = p , xy = q を代入して t 2 − ( x + y ) x + xy = 0 t 2 − pt + q = 0 ■ ⎧ x + y = 1 "" ① r 連立方程式 ⎨ の解法として，基本的には“1 文字消去”の方針から ⎩ xy = −6 "" ② s ①より y = 1 − x これを②に代入して x(1 − x) = −6 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 ⇔ ( x − 3)( x + 2) = 0 ⇔ x =3, −2 x = 3 のとき y = −2 ， x = −2 のとき y = 3 よって， ( x , y ) = (3 , − 2) , ( −2 , 3) このように求めてもよいが，Step2 を利用すると x , y を解とする t についての 2 次方程式は t 2 − t − 6 = 0 ⇔ (t − 3)(t + 2) = 0 ⇔ t = 3 , − 2 よって， ( x , y ) = (3 , − 2) , ( −2 , 3) t どちらかが x で，他方がとして解くと手際がよくなる． y だから組合せは 2 通り −1− http://www.geocities.jp/ikemath ⎧ x+ y = p が実数解 x , y をもつための必要十分条件は ⎩ xy = q Step3．連立方程式 ⎨ p 2 − 4q ) 0 Step2 から x , y を解とする t についての 2 次方程式は説明 t 2 − pt + q = 0 この方程式の判別式を D とすると，実数解条件から D = p 2 − 4q ) 0 ■ ⎧ x+ y = a 例題１．連立方程式 ⎨ 2 2 ⎩ x + y =a+4 が実数解をもつ必要十分条件はア ( a ( イ (関東学院大) である． ( x + y ) 2 − 2 xy = a + 4 s 第 2 式を変形して x + y = a "" ① より xy = 1 (a 2 − a − 4) "" ② 2 したがって，①，②より， x , y を 2 解とする 2 次方程式は t 2 − at + 1 (a 2 − a − 4) = 0 2 上式の判別式を D とすると，実数解条件から D = a 2 − 2(a 2 − a − 4) ) 0 ⇔ a 2 − 2a − 8( 0 ⇔ (a + 2)(a − 4) ( 0 a 2 − 2 xy = a + 4 ⇔ よって，求める必要十分条件は - 2 ( a ( 4 ■ 練習問題．１．x，y，z を実数とする． x + y + z = 0 , xyz = 2 であるとき，z のとりうる値の範囲を求めよ． (熊本県立大) ２． x + y + z = a , x + y + z = 2a を同時に満たす実数 x，y，z が存在するときの a の値の範囲を次のようにして求める． (1) x，y に注目して， x + y と xy を z，a で表すことを考える． 2 2 2 x + y = a − z "" ① , x 2 + y 2 = 2a − z 2 "" ② であるが，①，②から xy = アしたがって，x，y を解とする 2 次方程式を 1 つ考えると，この方程式が実数解をもつ条件から z と a の関係式イ ( 0 "" ③ が得られる． (2) 関係式③を満たす実数 z が存在する条件を考えて，a の値の範囲を求めよ． (神戸学院大) −2− 476_点 ( x + y , xy ) の存在範囲問題の解法例題２．実数 x，y が x + y = 1 という関係を満たしながら動くとき，点 P ( x + y , xy ) の軌跡を求め，図示せよ． (名古屋市立大) 2 s 2 x + y = p , xy = q とおくと，x，y は 2 次方程式 t 2 − pt + q = 0 "" ① の解である．①の判別式を D とすると，実数解条件から D = p 2 − 4q ) 0 ⇔ q ( 1 p 2 "" ② 4 y このとき，条件式を変形して 1 ( x + y ) − 2 xy = 1 ⇔ p − 2q = 1 y= x 2 4 1 ⇔ q = 1 p 2 − 1 "" ③ 2 2 2 1 1 1 2 2 O 1 U2 2 x q = p と q = p − を連立させて解くと -U 2 -1 4 2 2 1 1 1 1 p2 = 1 p2 − 1 ⇔ p2 = 2 y= x 2 2 2 2 4 2 2 ⇔ p=± 2 1 2 1 よって，点 P の軌跡は，放物線 y = x − の − 2 ( x ( 2 の部分で，図示すると上図 2 2 2 2 の実線部分となる． ■ 練習問題．３．a，b が実数のとき x = a + b , y = ab とすると，a，b は t に関する方程式 t − xt + y = 0 2 の解であるから， y ( x2 アが成り立つ．したがって，実数 a，b が a 2 + 4ab + b 2 + 4a + 4b − 8 = 0 を満足しながら変化するとき，( x , y ) を座標とする点 P の軌跡は， y=− x2 イ − ウ x+ エ ( x(− オ , x) カ ) (東京薬科大) となる．４．実数 x，y について， 3 x − 2 xy + 3 y = 16 が成り立つとする． 2 (1) 2 x + y = u , xy = v とおくと， 3x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 16 は v = ア u2 + イ "" ① と表せる．また，t に関する 2 次方程式 t − ut + v = 0 が実数解 x，y をもつので，u，v 2 は u − 4v ) 0 を満たす．この不等式に①を代入して得られる 2 次不等式を解けば 2 ウ ( u ( エである． (2) (上智大) xy のとりうる値の範囲を求めよ． −3− http://www.geocities.jp/ikemath 例題３．実数 x，y が x + y (1 を満たしながら変化するとする． 2 2 s = x + y , t = xy とするとき，点 ( s , t ) の動く範囲を st 平面上に図示せよ． (2) 負でない定数 m をとるとき， xy + m( x + y ) の最大値，最小値を m を用いて表せ． (1) (東京工業大) s(1) x，y を 2 解とする 2 次方程式は X 2 − sX + t = 0 "" ① ①の判別式を D とすると，実数解条件から D = s 2 − 4t ) 0 ⇔ t ( 1 s 2 "" ② 4 t 1 1 2 O -U 2 -1 このとき t= 1 2 s 4 1 U2 s 1 x 2 + y 2 (1 ⇔ ( x + y ) 2 − 2 xy (1 1 1 2 -1 t= s 22 2 1 1 "" ③ ⇔ s 2 − 2t (1 ⇔ t ) s 2 − 2 2 よって，②，③から点 ( s , t ) の動く範囲は右上図の斜線部分となる．ただし，境界線上の点も含む． (2) x + y = s , xy = t とおくと xy + m( x + y ) = t + ms ここで， t + ms = k とおくと t = −ms + k (m ) 0) "" ④ ④は st 平面上では，傾きが − m ( ( 0) ，t 切片が k の t k：最大 1 1 2 直線を表す．直線④が(1)で求めた領域を通るとき，t 切片 k が最大 -U 2 -1 となるのは，点 ( ) 2 , 1 を通るときで，このとき k 2 - O 1 U2 s 1 2 1 + 2 m をとる． 2 1 2 1 "" ⑤ 上の点 − 2 , 1 における接線の傾きは，t ′ = s より，次に，放物線 t = s − 2 2 2 − 2 である．このことから t (ⅰ) − 2 ( − m ( 0 ，すなわち 0 ( m ( 2 のとき，直線④が放物線⑤に接するとき k は最小となる．は最大値 ( ) ④，⑤より 1 s 2 − 1 = −ms + k 2 2 ⇔ s 2 + 2ms − (2k + 1) = 0 判別式を D′ とすると重解条件から，求める最小値は D′ = m 2 + 2 k + 1 = 0 ⇔ k = − m 2 + 1 4 2 −4− 1 2 -U 2 O U2 k：最小 -m = -U 2 s 476_点 ( x + y , xy ) の存在範囲問題の解法 ( ) − m < − 2 ，すなわち m > 2 のとき，直線④が点 − 2 , 1 を通るとき k は最小 2 (ⅱ) となる．したがって，求める最小値は t 1 − 2m 2 1 2 以上から， xy + m( x + y ) の最大値は 1 + 2m 2 最小値は O -U 2 ⎧ m2 + 1 0 m 2 − ( ( のとき ⎪ 2 ⎨ 1 ⎪ m> 2 のとき − 2 m 2 ⎩ U2 s -m = -U 2 k：最小 ■ 練習問題．５．点 P (α , 図示せよ． β ) が α 2 + β 2 + αβ < 1 を満たして動くとき，点 Q (α + β , αβ ) の動く範囲を (岐阜大) ６．s，t を実数とする． (1) x = s + t + 1 , y = s − t − 1 とおく．s，t が s ) 0 , t ) 0 の範囲を動くとき，点 ( x , y ) の動く範囲を座標平面内に図示せよ． (2) x = st + s − t + 1 , y = s + t − 1 とおく．s，t が実数全体を動くとき，点 ( x , y ) の動く範囲を座標平面内に図示せよ． (東北大) ７．2 つの数 x，y に対し， s = x + y , t = xy とおく． (1) x，y が実数を動くとき，点 ( s , t ) の存在範囲を求めよ． (2) 実数 x，y が ( x − y ) + x y = 4 を満たしながら変化するとする． 2 2 2 (ア) 点 ( s , t ) の描く図形を st 平面上に図示せよ． (イ) (1 − x)(1 − y ) のとりうる値の範囲を求めよ． −5− (東京理科大)