サマーセミナー（7 月 21 日第１限）　「知ってお得な図形あれこれ」　星城高校　信川正史 [問題編]の解答例【１】円周角の問題 ∠CBA = ∠CAB = (180 ー 48)÷2 = 66°　、　∠OAB = 90 ー 66 = 24°　∠CBD = ∠CBA ＋ 90° = 156° 【２】方べきの定理。 PT 2=PA×PB=8×14=112 , PT= √ 112=4 √ 7 ,また半径を r とすると 9 OP2 −r2=PT 2 =112 より (7+r)2−r2=112 , したがって r = 2 【３】円周角の定理・方べきの定理など。（０２年センター改題）（１）BI、AI が角の 2 等分線であるから、 ∠IBC＝∠IBA、　∠BAI＝∠CAI＝ ∠CBD　（円周角）したがって　∠BID ＝ ∠IBA ＋ ∠IAB ＝ ∠IBC ＋ ∠CBD ＝ ∠IBD 以上から△DBI は 2 等辺三角形で、BD ＝ ID 。（２）△EBD ∽ △AHI (なぜか分かります？)より AI ： ED ＝ IH ： BD ＝ IH ： ID よって AI・ID = ED・IH = 2R×r = 2rR （３）方べきの定理より 2 2 AI×ID = R −OI OI2 = R 2−AI×ID = R 2−2rR 【４】メネラウスの定理 BP BC QA SP SP 1 × × =1 よって ×3×2=1 , = AS PB CQ AS AS 6 よって △ ASB = 6 6 1 2 △ APB = × △ ABC = △ ABC 7 7 3 7 同様に考えて △ BCT = △CAU = 2 △ ABC 7 したがって △STU : △ ABC = 1 △ ABC : △ ABC = 1 : 7 7 【５】距離の平方和に関する定理 (1)　原点を中心とした半径１の円がある。周上の点 A の座標を( 1 , 0 ) とする。円周上に任意の 3 点 B , C , P を置く。 PA 2+PB2 +PC2 の値が、点 P の位置に関係ない定数になるとき、 △ABC はどういう三角形になるのか？（２）　（１）の場合のとき、 PA + PB + PC の最大値、最小値を求めよ。 (名古屋市立大、一橋大) （１）距離の平方和の公式で Q = G　とすると PA 2+PB2 +PC2−3PG 2 =AG 2+BG 2+ CG2 PA 2+PB2 +PC2 =3PG2 + AG 2+ BG2 +CG2 この左辺はPの位置に依存しないのであるから PG=一定、つまり G=O である。重心と外心が一致するので △ ABC は正三角形である。（２）このとき、トレミーの定理より PA×BC=PB×AC+PC×AB　=>　PA = PB + PC つまり PA+PB+PC = 2PA となる。ここで、点 P が上の弧 BC 上にあっても一般性は失わない。最小値は P＝B または C のとき、最大値は PA が円の直径の時である。したがって最小値　2 √ 3 最大値　４【６】極と極線の関係　数学２の図形の範囲です。（図１）　（図２）（１）原点が中心、半径１の円の外の点 P（ a , b )から接線を引く。その接点を A、B とする。直線 AB の方程式を求めよ。（図１）（２）また、P からこの円に割線を引く。（図２）その割線と円との交点を Q , T とし、直線 AB との交点を S とする。 PQ = r 1 , PT = r 2 , PS = r ならば 1 1 2 + = r1 r2 r が成り立つことを示せ。（大分医大）＜解答＞（１）略（２）を初等幾何で解こう。 OM⊥QT とすると PQ +PT PM = 2 四角形 OHSQ は同一円周上にあるので PS×PM = PH×PO △OAP は直角三角形なので 2 PH×PO = PA さらに、方べきの定理より PA 2 = PQ×PT ここで、 PQ = r 1 , PT = r 2 , PS = r , PM = r1 +r2 , PS×PM = PQ×PT 2 より r× r 1 +r 2 =r 1×r 2 , したがって 2 1 1 2 + = r1 r2 r (終) 【７】やはり極と極線の関係 (数学２の範囲) (1) 円 x 2 + y 2 =25 へ円外の点P (a , b) から２本の接線を引く。接点をA ,Bとしたとき、直線ABは定点C(1 , 2)を通る。点Pの軌跡を求めよ。 (2) 線分CPの長さの最小値を求めよ。 (名工大) ＜解答例＞ (1) AB は　ax + by = 25 これが C( 1 , 2 )を通るので、　a + 2b = 25 つまり点 P（a , b）の軌跡は　x + 2y = 25 (2) 点 C( 1 , 2 ) と直線 x + 2y = 25 との距離が最小値 CPの最小値 = ∣1+2⋅2−25∣ √1 2 +2 2 = 20 = 4 √5 √5 【８】角の二等分線とメネラウスの定理 △ABC の頂点 A の外角の二等分線と BC との交点を P 。また ∠B 、 ∠C の角の 2 等分線と辺 CA、 BC との交点をそれぞれ Q , R とする。このとき、3 点 P , Q , R は一直線上にあることを示せ。＜証明＞角の2等分線より AR AC = , RB CB BP BA = PC AC , CQ CB = QA BA AR BP CQ AC BA CB × × = × × = 1 RB PC QA CB AC BA メネラウスの定理より点P 、Q 、 Rは一直線上に並ぶ。【９】円周角の定理円に内接する鋭角三角形 ABC の垂心を H とする。 AH と BC との交点を D , 円との交点を E とする。このとき DH = DE であることを示せ。 (明治大) △AHF ∽ △BHD より ∠HAF ＝ ∠HBD 円周角定理より ∠EAC ＝ ∠CBE したがって ∠HBD ＝ ∠EBD また BD ⊥ EH から △HBD と △EBD は合同したがって HD ＝ DE 【１０】方べきの定理２つの円の交点を A ,B とする。また共通接線 m を引いて、その接点を C , D とする。さらに AB と CD の交点を M とする。（１） M は CD の中点であることを示せ。（２） AB ⊥ CD ならば、２つの円の半径は等しいことを示せ。 (1) 方べきの定理より MC2= MA⋅MB = MD2 （岩手大）したがって MC = MD .(終) （２） △ACB と △ABD が合同よりそれぞれの外接円 O1 , O2 の半径は等しい。または、 △CO 1 A ≡△ DO2 A （2 等辺三角形）であることも分かる。したがって CO1 = DO 2 【１１】数学 B（ベクトル）の範囲。面積を上手に使う。 (京大) (1) 略 (2) BQ : QC = △ BPA : △CPA = 3×5 : 7×7 = 15 : 49 より 49 ⃗ b+15⃗ c 49 ⃗ 15 ⃗ ⃗ AQ = = b + c 15+49 64 64 (3) AQ : QP = △ ABC : △ PBC = 21 : 35 = 3 : 5 よって AP 8 8 49 ⃗ 5 = , ⃗ AP= ⃗ AQ= b + ⃗ c AQ 3 3 24 8 【１２】距離の平方和の公式を上手く使う。 (1) 半径１の円に内接する△ABC について BC = a , CA = b , AB = c としたとき S = a2 + b2 + c2 の最大値を求めよ。（２） S = 8 となる場合はどういう場合か。 (1) PA 2 +PB2 +PC2 −2PG2 =QA 2+QB2 +QC2 −3QG 2 (P , Qは任意の点、 Gは△ ABCの重心) ここで、 P=A , Q=G とすれば 2 2 2 2 2 AB +AC =4AG + BG +CG 同様に P=B , P=C の場合から 2 2 2 2 2 2 AB +BC +CA =3(AG +BG +CG ) ⋯⋯ (ア) また、公式で P=G , Q=O とすれば AG 2 +BG 2 +CG 2 =OA 2 +OB2 +OC2 −3OG 2 ⋯⋯ (イ) ここで、 OA =OB=OC=1 から AB2 +BC 2 +CA 2 = a 2 + b2 +c2 = 9 − 9OG 2 したがって、最大値はOG ＝０、つまり重心と外心が一致する場合で、このとき△ ABCは正3角形となり、最大値は９となる。 1 (2) S=8 からOG= .ところでHを垂心とすると、 OH=3OG であった。これより OH=1 3 したがって、垂心Hは円周上にある。つまり△ ABCは直角三角形となる。逆に、 △ ABCが直角三角形の場合、 S=8となることはすぐに分かる。