電磁気学II(共通教育、田中担当クラス) レポート問題略解

2009/06/29
電磁気学 II(共通教育、田中担当クラス) レポート問題略解
1. A = (Ax , Ay , Az ) などと置いて，成分で計算すればよい．
2. S = E 0 × (k × E 0 ) sin2 (ωt − k · r)/(μ0 ω) となるが，公式 a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)
と k · E 0 = 0 を用いれば，S = k|E 0 |2 sin2 (ωt − k · r)/(μ0ω) となる．
3. 地表面の微小円柱 (底面積 δS) にガウスの法則を適用して，−EδS = σδS/ε0 ．よって表
面電荷密度 σ = −ε0 E ．地球の半径を R として，Q = −4πR2 ε0 E −4.6 × 105 C. エネ
ルギーは，W = (1/2) ρφ dV で，導体は等電位であることから，地球の電位を φ0 とす
ると，W = (1/2)φ0 ρ dV = φ0 Q/2. 地球外のポテンシャルは，地球の中心におかれた点
電荷 Q の作るポテンシャルに等しいから，φ0 = Q/(4πε0 R). よって，W = 2πε0 R3 E 2 1.5 × 1014 J.
√
4. (a) R = x2 + y 2 から
∂R d
x d
∂
φ(R) =
φ(R) =
φ(R) ,
∂x
∂x dR
R dR
R2 − x2 d
∂2
x2 d2
φ(R) =
φ(R) .
φ(R) + 2
∂x2
R3 dR
R dR2
y 微分についても同様．また，
∂2
φ(R) = 0 .
∂z 2
これらを
∂2
∂2
∂2
φ =
+
+
φ
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
に代入すればよい．
(b)
φ(R) = −
ρ0 2
(R − a2 ) (R < a) ,
4ε0
(c) 円柱座標では，
∇ = R̂
φ(R) = −
ρ0 a2
R
log
2ε0
a
1 ∂
∂
∂
+ ϕ̂
+ ẑ
∂R
R ∂ϕ
∂z
であるから，
⎧
⎪
⎪
⎨
ρ0
RR̂, (R < a)
d
2ε0
E = −∇φ(R) = −R̂ φ(R) =
ρ a2 R̂
⎪
dR
⎪
⎩ 0
, (R < a)
2ε0 R
となる．
5. p1 が作る電場は，
E 1 (r) =
1 3(p1 · r)r − r 2 p1
.
4πε0
r5
(R > a) .
エネルギーは，
W = −p2 · E 1 (r) =
1 r 2 p1 · p2 − 3(p1 · r)(p2 · r)
.
4πε0
r5
(⇒ ⇒) のとき，p1 · p2 = p1 p2 , p1 · r = p1 r, p2 · r = p2 r より，W = −p1 p2 /(2πε0r 3 ).
F = − dW
< 0 となるので，引力．同様にして，(⇒ ⇐) のとき斥力, (⇑ ⇑) のとき斥力,
dr
(⇑ ⇓) のとき引力．
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~tanaka/teaching.html

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