工業力学 (A コース) 中間テスト 茨城大学 工学部 知能システム工学科 解答例・解説 井上 康介 2014/12/16 10:30∼12:00 実施 全体的なできぐあい・総評 ば，(9：反力) の方向は ( 10：接触面に垂直 ) と なる． • 鉄橋や鉄塔などのような骨組み構造を単純化し たモデルに ( 11：トラス ) がある．(11：トラス) は，棒状の要素である ( 12：部材 (メンバ) ) が， ( 13：節点 (ジョイント) ) と呼ばれる回転自由 ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع 平均点 74.5 点．最高点は 99 点．受験者 61 名 (欠試者 4 名)．それなりに理解度はあるとは思われたが，必ず出 すと宣言した 4 番の問題 (Newton-Eulre 法) の得点率が 52% と低迷した． 各設問について 1. 以下の文章の空欄に入る言葉・数式を記せ． • 複数の力が同時に作用したときの効果と同じ効果 を持つ単一の力を ( 1：合力 ) という．逆に，単 一の力を同じ効果を持つ複数の力に変換すること を力の ( 2：分解 ) といい，その際のそれぞれの 力を ( 3：分力 ) という． なピンで結合され，相対運動ができない構造と なっている．(11：トラス) の内部ではそれぞれの (12：部材) が引張力や圧縮力という内力を受け るが，その解析に利用できる 2 つの方法のうち， ( 14：節点法 ) と呼ばれる方法では，まず (11：ト ラス) 全体のつりあい条件を用いて (11：トラス) が受ける (9：反力) などの外力を導出し，続いて 各 (13：節点) が受ける力のつりあいの条件を用 いて各 (12：部材) の内力を計算していく．平面 上の (11：トラス) の解析では，作用している未 知力が ( 15：3 ) つ以上の (13：節点) については まだ計算が解けないため，解ける (13：節点) か ら順次計算していかなければならない． • 物体に作用する重力の作用線は物体上のある一点 を常に通る．この点を物体の ( 16：重心 ) とい う．物体上に微小部位をとり，その位置を x，そ (16：重心) の微小質量を dm とするとき，物体の dm ) のように積分計 の位置は ( 17： x dm 算により求められる． • 物体上で作用する力の作用線が物体上のある点 A を通らない時，力は物体を点 A まわりに回転 させる作用をもつ．この作用を ( 4：力のモーメ ント ) といい，その大きさは，力の大きさと ( 5： 点 A と力の作用線の距離 ) との積である．その • (16：重心) は物体のすわりのよさ，つまり安定性 値の正負については，回転させる作用の方向が反 時計回りの時，( 6：正 ) である． • 物体が現在の速度を維持しようとする傾向，つま • 大きさが等しく，向きが反対の 2 つの平行力を ( 7：偶力 ) という．(7：偶力) は物体を回転させ る作用はもつが並進運動させる作用はない．2 つ の力の作用線の間隔を d とし，それぞれの力の大 きさを F とするとき，(7：偶力) がもつ (4：力の モーメント) の大きさは ( 8：F d ) と計算できる． • 物体 A が他の物体 B を押す時，作用・反作用の 法則により，A は B により同じ大きさの逆向き の力で押し返される．この力を ( 9：反力 ) とい う．このとき，接触面がなめらかで摩擦がなけれ の重要な指標となる．水平面上にある物体を少し 傾けた時，(16:重心) の位置が最初の位置より上 る場合の安定性は ( 18：安定なすわり ) と呼ば れる． り並進運動に関する慣性に対応する量を質量とす れば，現在の角速度を維持しようとする傾向，つ まり回転運動に関する慣性に対応する量は ( 19： 慣性モーメント ) と呼ばれる．物体の (19：慣性 モーメント) を I とし，この物体にトルク N を 加えた時の物体の角加速度を ω˙ とすると，これ らの間には ( 20：N = I ω˙ ) のような式で表され る関係が成り立つ．この式を ( 21：角運動方程式 (Euler の運動方程式) ) という． • 物体上に微小部位をとり，その質量を dm，ある 回転軸と微小部位の距離を r とするとき，この 回転軸まわりの物体の (19：慣性モーメント) は ( 22： r2 dm ) のような積分で計算できる． • ある回転軸まわりの物体 A の (19：慣性モーメン ト) が I であり，この物体の一部分 B の回転軸ま わりの (19：慣性モーメント) が I であるとする と，A から B を除去した残りの部分の (19：慣性 モーメント) は ( 23：I − I ) となる． 配点・部分点 • • • • • • • • • • • 46 点 (各 2 点)． スカラーが太字・ベクトルが細字：−1 (2) 分割：NG (3) 直角分力：1 (4) トルク：(ホントはダメだけど) OK． (5)「作用線からの距離」「点 A からの距離」「距 「腕」 ：1 離」 ：1，「モーメントアーム」 (8) F d：1，2F d：1 (10)「垂直」のみ：1 (14)「接点法」：1 (18)「安定」のみ：OK (21) Euler (オイラー) の運動方程式：OK (22) r dm：NG， r2 dm：1 多かった間違い・補足 が受けている力を全て列挙し，次に力および力のモー メントのつりあい条件を定式化して解けば良い．ここ で，平面上で考える場合は力のつりあい条件は直交す る 2 方向についてそれぞれ成り立ち，この問題では水 平方向のつりあいと鉛直方向のつりあいを式にすれば 良い．一方，力のモーメントはどの点まわりで考える かにより値が変わるが，力がつりあっている場合，ど の点まわりで式を立てても等価な式となるため，任意 の点まわりで計算して良い．したがって，未知力 2 つ の作用線が貫いているジョイントの点を基準に計算す ることで (式 (2.3))，計算を簡略化してミスの可能性 を減らすべきである． なお，斜面から受ける反力 (Fig.2 の R2 ) が持つジョ イントまわりの力のモーメントは，教科書 p.8 の 例題 1.3 のように N = fy x − fx y の式を用いて求 める場合，ジョイントを原点とした斜面との接触点 の座標 (l cos 30◦ , l sin 30◦ )T と反力ベクトル R2 = (−R2 cos 30◦ , R2 sin 30◦ )T から求められる．あるい は，R2 が棒と 60◦ の傾きをもつことから，R2 のう ちの棒に垂直な成分の大きさが R2 sin 60◦ であり，こ れにモーメントアーム l をかけてもよい．重力のモー メントを求める方法についても同様である． 解答例 • (5) でモーメントアームを OK にしなかったのは 「この場合，モーメントアームとはどこか」を問 うているから．(10) で「垂直」のみがダメなのも 同様で「何と何が垂直なのか」を問うている． • (10) で「押したのと逆」だけなら，滑らかでない 面でも同様 (作用・反作用の法則)． できぐあい 平均得点率 83%．(5), (10), (17) のでき が 60% を切った． 2. Fig.1 に示すように，質量が 400 [g]，長さが 20 [cm] の細い棒の一端を地面上の自由回転ジョイントに固定 し，他端を地面からの傾き 60 [deg] のなめらかな斜面 に乗せたところ，棒の傾きは地面から 30 [deg] となっ た．このとき，棒がジョイントおよび斜面から受ける 反力を求めよ． 棒の質量を m (= 0.4 [kg])，長さを l (= 0.2 [m]) と 表記する． 水平右，鉛直上方向にそれぞれ x 軸，y 軸をとる． 斜面と棒の接触はなめらかなので，棒が斜面から 受 け る 反 力 は 斜 面 に 垂 直 で あ る ．こ れ を 踏 ま え ， 棒がジョイントおよび斜面との接触点において受 け る 反 力 を そ れ ぞ れ R1 = (R1x , R1y )T ，R2 = (−R2 cos 30◦ , R2 sin 30◦ )T とする．棒はこれら反力 の他に，重心 (中点) において y 軸負の方向に重力 mg を受けている (Fig.2)． R2 30r R1 30r mg 60r 3 l 4 30r 60r Fig.1 Fig.2 棒が受ける水平方向の力のつりあい式は， R1x − R2 cos 30◦ = 0， 考え方 物体のつりあいの解析 (教科書 2.3 節) では，まず物体 (2.1) 鉛直方向の力のつりあい式は， R1y + R2 sin 30◦ − mg = 0， (2.2) y [cm] ジョイントまわりの力のモーメントのつりあい式は， R2 sin 60◦ · 0.2 − mg sin 60◦ · 0.1 = 0. 6 (2.3) 3 式 (2.3) より R2 = x [cm] 1 mg ． 2 O 3 これを式 (2.1)，式 (2.2) に代入して， R1x √ 3 1 3 mg ， R1y = mg − R2 = mg = 4 2 4 mg = 4 [N] なので，ジョイントから受ける反力は水 √ 平右方向に 3 1.73 [N]，鉛直上方向に 3 [N] であ り，斜面から受ける反力は斜面に垂直な方向に 2 [N] である． 配点・部分点 18 点．水平力・鉛直力・モーメントの つりあい式：各 4 点，変数設定等・残りの計算：6 点． • • • • 正負のミス：−1∼−2 斜面からの反力の方向のミス：−2 単位変換ミス (1[N] = 1[g·m·s−2 ])：−1 最初の設定の段階で，ジョイント反力の要素・壁 反力の方向を指定していない：−2 Fig.3 取り除いた際の重心 xG は， (mA − mB )xG = mA xA − mB xB により求まる (教科書 p.36 例題 3.2)． 回転体の体積については教科書 3.2.2 項のパップス・ ギュルダンの定理を愚直に適用すれば良い． 解答例 平面図形を正方形の物体 1 から直角二等辺三角形の 物体 2 を除去したものと考え，物体 1 の面積・重心 を A1 ，x1 = (x1 , y1 )T ，物体 2 の面積・重心を A2 ， x2 = (x2 , y2 )T とする (Fig.4)． y [cm] 6 多かった間違い • 力のモーメントの計算ができていない例が非常 に多かった．ジョイントまわリで計算するなら， 方法は 2 つある．ひとつはジョイントを原点と して水平右向き・鉛直上向きに xy 座標軸をと り，壁との接点の座標は (l cos 30◦ , l sin 30◦ )T ， 力ベクトルは (−R cos 30◦ , R sin 30◦ )T だから， N = fy x − fx y を適用して ◦ 6 A2 3 x2 x1 A1 O 3 x [cm] 6 Fig.4 ◦ N = R sin 30 · l cos 30 −(−R cos 30◦ ) · l sin 30◦ −mg · (l/2) cos 30◦ とする方法．もう一つは，2 つの力，mg ，R の うちの棒に直交する成分を求め，棒に沿ったモー メントアーム (l/2 と l) をかける方法 (力のうち の棒に沿った成分はモーメントを作らないので)． できぐあい 平均得点率は 76%． 3. Fig.3 に示すように，一辺が 6 [cm] の正方形から斜辺 が 6 [cm] の直角二等辺三角形を切り取った形状の平 面図形を考え，図のように座標軸をとった時，この図 形を x 軸および y 軸まわりに一回転させてできる回 転体の体積をそれぞれ求めよ． 考え方 物体の重心 (図心) を考える時，質量 mA ，重心位置 xA の物体 A から質量 mB ，重心位置 xB の物体 B を 物体 1，2 はそれぞれ直線 x = 3 に関して線対称なの で，x1 = x2 = 3 であり，物体 1 は y = 3 に関して 対象なので y1 = 3 である．物体 2 は三角形なので， 重心は上の水平な辺の中点へ頂点から下ろした線分を 2:1 に内分した点であることから，y2 = 5 である． よって平面図形の重心を xG = (xG , yG )T とすると， xG = 3, yG = 7 36 · 3 − 9 · 5 = 36 − 9 3 と求まる． 平面図形を x 軸および y 軸まわりに一回転させてで きる回転体の体積をそれぞれ Vx ，Vy とし，平面図形 の面積を S = 36 − 9 = 27 とすると，Vx = 2πyG S = 126π 396 [cm3 ]，Vy = 2πxG S = 162π 509 [cm3 ] である． 別解 図形的に考えると，x 軸まわりに回転してでき る回転体は，上面が半径 3，底面が半径 6，高さが 3 の円錐台を 2 つつなげた物体の体積として計算でき， 2 · (π/3)(216 − 27) = 126π となる． y 軸まわりに回転してできる回転体は，半径 3，高さ 6 の円柱から上記の円錐台の分をくりぬき，半径 3，高さ 3 の円錐を乗せたとみなせるので，(216 − 63 + 9)π = 162π と計算できる． ※ 試験において，重心を利用して計算せよと指示す るのを忘れていたため，この解法で正解した場合も満 点とします．試験中はこの解法をやめて欲しかった ので「こっちの方が面倒だぞ」的なことを言っていた わけですが，実際には労力は同程度．だけど…それを やっちゃったらもう工業力学じゃねーじゃん，とい う…．かといって，途中までこれで計算しちゃった人 にいきなり「それだと 0 点です」というのも，その人 達が不利になるのでできないと判断しました． まず Fig.6 のように物体に作用する力をもれなく列挙 すると，物体は 300 [N] の力 F の他に，重心 (中心軸 上) に鉛直下に作用する重力 mg ，地面との接地点で 鉛直上方向に作用する垂直抗力 R，地面との接地点 で水平右もしくは左方向に作用する摩擦力 F を受け ている．ここで，摩擦力が左右どちらを向くかは分か らなくてよく，反対を正として定義した場合は値がマ イナスになるだけである．物体は鉛直方向に運動しな いので，mg と R，および F の鉛直方向成分はつり あい状態であり，ここでは問題にしなくて良い． F 45r 配点・部分点 18 点．重心で解く場合は，各部位の重 心：計 8 点，全体の重心：6 点，変数設定等・残りの 計算等：4 点．図形的に解く場合は，考え方の説明：6 点，それぞれの軸まわりの体積：各 6 点． • 部位ごとの重心の導出過程が抜けている：−4 • 部分・全体の重心の導出過程がまるごと抜けてい る：−8 • x 軸まわりと y 軸まわりの取り違え：−1 できぐあい 平均得点率 72%．まあ理解できている みたい．ただし，こちらのミスのせいもあって，重心 を使ってない解答例が多かった．図形的にやる場合に ついて，この程度の計算をミスなくやれないのでは困 るという認識をもつこと． 4. Fig.5 に示すように，質量 100 [kg]，直径 1 [m] の均 一な円柱を水平な地面におき，図の位置において斜め 下 45 [deg] 方向に 300 [N] の力を加えたところ，円 柱は地面との間に滑りを生じずに右方向に転がった． この際の円柱中心の加速度を求めよ．ただし，質量 m，半径 r の円柱の中心軸まわりの慣性モーメントは I = mr2 /2 である． 300 [N] 45r Fig.5 mg R F’ Fig.6 あとは水平方向に受けている力を用いて運動方程式 を，重心周りに受ける力のモーメントを用いて角運動 方程式を立てれば良い． ただし，未知数は円柱の加速度 a，角加速度 ω˙ ，摩擦 力の大きさ F の 3 つなのに対して，これでは拘束条 件が 2 つしかない．もう一つの条件は「滑らずに転が る」ということである．物体が転がらずに右に距離 x 進むため回転しなければならない角度を θ とすると， 回転が時計回りであることを踏まえて x = −rθ が成 り立つ．この式を 2 階微分すると，a = −r ω˙ となり， これが 3 つ目の拘束条件となる． 解答例 円柱に加える 300 [N] の力を Fig.6 に示すように F と表記し，円柱の質量を m (= 100 [kg])，半径を r (= 0.5 [m]) と表記する．円柱の加速度は右向きで， その大きさを a [m/s2 ] とし，円柱の角加速度を反時 計回りを正として ω˙ [rad/s2 ] とする． 図に示す通り円柱が受ける力は F ，重心における鉛直 下向きの重力 mg ，地面との接触点で水平方向に作用 する摩擦力 F (ここでは右を正とする)，接触点で鉛 直上に作用する垂直抗力 R である． 以上から，円柱の運動方程式は F sin 45◦ + F = ma, 考え方 剛体の動力学解析 (教科書 6.6 節) では，並進運動の 基本式である Newton の運動方程式と回転運動の基 本式である Euler の運動方程式 (角運動方程式) を連 立させて解く (Newton-Euler 法)． (4.1) 角運動方程式は (F − F )r = である． mr2 ω˙ 2 (4.2) • 最終的な答えは有効数値 3 桁で数値化しなければな また，円柱は滑ることなく転がることから， a = −rω. ˙ (4.3) 式 (4.3) を式 (4.2) に代入し， F − F = 1 ma. 2 (4.4) 式 (4.1) と式 (4.4) を両辺足しあわせて， √ 2 3 1+ F = ma 2 2 これを解いて， √ 2+ 2 F a= 3m これに m = 100，F = 300 を代入し，a = 2 + 3.41 [m/s2 ]． √ 2 配点・部分点 18 点．運動方程式・角運動方程式・転 がり拘束の式：各 4 点，変数設定等・残りの計算：6 点． • • • • r = 1 とした：−1 摩擦力をそもそも設定していない：−3 摩擦力の位置・方向を設定していない：−1 ω˙ を時計回りを正として定義しているがその旨を 明記していない：−1 • 転がり拘束の式 a = −rω˙ の符号が逆：−2 多かった間違い・補足 • 興味深いこととして，2 + √ 2 3.14 とした計算 ミスがすごい勢いで多発した．これをやってし まった人は，エンジニアとしての神経質さが足り ないという自覚を持つこと． できぐあい らないが，その計算は最後の最後に行うこと．途中途 中で何度も四捨五入を行うと，そのたびに四捨五入に よる誤差 (丸め誤差) が累積していき，最終回答にズ レが出ます． • 変な計算ミスがやたら多いようです．いつも言ってい るように，我々は少しでもややこしい問題につきあた ると，ほぼ必ずミスをします．これはプログラミング でも，機械設計や電子回路製作でも全く同じです．そ して，ミスを徹底的になくすチェックの努力を惜しむ ことによって，後々，チェックすることの数倍の努力 をかけてデバッグする結果につながることもしばしば です (井上研の卒論でも例年起こっている事態で，と きには数ヶ月スパンのロス (金額にして数十万) にな ります)．特に，早めに試験会場を退出したにも関わ らず凡ミスが残っていた学生は反省して下さい． • 技術的な内容を相手に説明するための方法が理解でき ていないように思われる解答例が多いことが気がか り．例えば変数をきちんと定義しなければ，いくら式 を書いても相手にはそれがどういう式なのかが理解で きません．一般的な説明の方法については，例えば以 下の書籍などの安価な入門書があります． また，今後 (研究室でも会社でも) プレゼンなどの機 会が増えていくことを考えれば，プレゼンの参考書な ども今から読んで，パワポをどう作れば相手に伝わる のかの訓練を自分でこなしていくことも重要．森先生 の講義はあるものの，こういうのはいちいち大学教員 が手取り足取り細かいところまで教えてくれるもの ではないということが，のちのち分かってくると思い ます． 説明の厳密性と，説明に必要な情報をもれなく提示 することを神経質に実施することが求められるわけ です． 参考文献 平均得点率が 52% と低迷． 「必ず出す」と宣言して おいた Newton-Euler 法であり，またこの講義での中 心的な項目であるだけに，教員としてはかなり残念． できなかった人はきちんと Newton-Euler 法 (教科書 6.6 節) を復習しておいてください．もしかしたら期 末にも出すかもしれない． 全体的な注意点 • 力の表示方法を理解していない例が多い．平面上の力 学では，力は 2 次元ベクトルである．ということは， 力を記述するには (1) 2 つの直角分力を提示する，あ るいは (2) 力の大きさと方向を提示する，のいずれか を行う必要があります．この 2 つは情報量として等 価ですから，いずれかだけを行えば良いです (両方や るのは冗長)．(1) を行っているなら力の大きさを示 す必要はないし，力の大きさを示したのであれば力の 方向もあわせて表示しなければ意味がありません． • 藤沢 晃治： 「分かりやすい説明」の技術，講談社ブルーバッ クス，864 円 以上
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