L`énergie interne & le premier principe Liste des exercices

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TD du Chapitre n°4 : L’énergie interne & le premier principe Liste des exercices : I Mélange de deux gaz :  II – Mélange de gaz mono et diatomique :  III Transformation cyclique :  IV – Les Fœhns :  V – Liquéfaction de l’azote :  VI – Cycle du moteur Diesel :   VII – Étude du cycle d'une pompe à chaleur :  (facultatif) VIII – Comparaison de deux évolutions possibles entre deux états :  (facultatif) IX Calcul du travail des forces de pression, de la variation d’énergie interne et du transfert thermique …  (facultatif) 1P005 : Energie & Transformations de la matière 1
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I Mélange de deux gaz : Objectif : calcul des énergies internes d’un gaz parfait ; Difficulté :  Une enceinte de volume V = 20 L est séparée en deux compartiments égaux par une paroi escamotable. Les parois extérieures et la paroi escamotable sont des isolants thermiques parfaits. Le compartiment de droite contient n1 moles d'argon à la température T1, celui de gauche contient n2 moles de diazote à la température T2. 1. Exprimer les énergies internes initiales de chaque gaz, puis du système. 2. On enlève la paroi, les gaz se mélangent et on appelle Tf la température finale du mélange. Donner l’expression de l’énergie interne finale du mélange. En déduire l’expression de Tf. 3. Calculer Tf pour n1 = n2= 1 mole, T1 = 320 K et T2 = 400 K. 4. Déterminer la pression finale Pf qui règne dans l'enceinte, ainsi que la pression partielle finale de chacun des gaz (la pression partielle est la pression qui règnerait dans l’enceinte si l’un des gaz occupait seul le volume V). II – Mélange de gaz mono et diatomique : Objectif : calcul de l’énergie interne d’un gaz parfait ; Difficulté :  Dans une enceinte de volume V, on enferme un mélange de gaz mono et diatomique. Ce mélange est en équilibre à une température T0 sous une pression P0. Les parois isolantes ne laissent pas passer la chaleur. Données numériques : V = 10 litres ; T0 = 300 K ; P0 = 105 Pa. 1. Calculer le nombre n de moles contenues dans l’enceinte. 2. A l’aide d’une résistance on chauffe le mélange jusqu’à ce que la nouvelle température d’équilibre soit T1=500 K. La quantité de chaleur Q fournie par la résistance sert entièrement à chauffer le gaz. Exprimer la variation de l’énergie interne ΔU du mélange en fonction de (T1 – T0), R, x et n, où x est le nombre de moles de gaz monoatomique présent dans le mélange et R la constante des gaz parfaits. 3. En déduire l’expression de x en fonction de Q. Calculer x pour Q = 1500 J. III Transformation cyclique : Objectif : étude d’un cycle avec transformation isotherme, isochore et isobare ; Difficulté :  1P005 : Energie & Transformations de la matière 2
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Une mole de GPM contenue dans un cylindre décrit de manière quasistatique et mécaniquement réversible le cycle ABCA décrit ci‐contre. L’évolution AB est isotherme à la température TA = 301 K. En A, PA = 1, 0 bar. L’évolution BC est isobare à la pression PB = 5, 0 bars. L’évolution CA est isochore. 1) Calculer les volumes VA, VB et VC et la température TC. 2) Calculer le travail et le transfert thermique reçus par le gaz au cours de chacune des évolutions AB, BC et CA. Calculer leur somme et commenter. IV – Les Fœhns : Objectif : étude d’une transformation adiabatique ; Difficulté :  Les Fœhns sont des vents forts qui soufflent au nord des crêtes alpines entre le Vorarlberg (province de l’ouest de l’Autriche) et le Léman (Suisse) pendant certaines saisons. Lorsqu’une dépression atteint l’Allemagne, l’air méridional est aspiré vers le nord et franchit les Alpes. Il s’élève le long du versant sud des monts et le refroidissement provoque une abondante nébulosité et des pluies « au vent » du relief (voir schéma ci‐dessous). En revanche, cet air en descendant sur le versant nord du mont où l’atmosphère est plus dégagée réchauffe la vallée en contrebas de ce versant. Les températures peuvent alors grimper en quelques minutes de 20 °C ! On supposera que la masse d'air considéré n'échange pas de chaleur avec l'extérieur. 1. Quel est le processus qui explique que la Données numériques :  = 1,4 ; 0,67(–2/7) = 1,12 ;
température de l’air augmente lorsque le vent descend les pentes des montagnes ? Pourquoi est‐il important que le vent se déplace vite ? 2. On appelle T1, P1 et V1 (respectivement Versant Sud
Versant Nord T2, P2 et V2), les température, pression et volume de l’état initial (respectivement final) du processus considéré. Écrire la relation liant P et V qui caractérise ce processus. En déduire une relation exprimant T2 en fonction de T1, P1 et P2. On introduira le rapport  = Cp/Cv. 3. On suppose qu’un vent fort souffle d’une montagne à une altitude de 4000 m (où la pression est de 6×104 Pa et la température de ‐10 °C) vers une ville située en contrebas à une altitude de 1000 m (où la Schéma en coupe des deux versants d’un mont
pression est de 9×104 Pa et où la température est de +5°C avant que le vent arrive). Quelle sera l’augmentation de la 1P005 : Energie & Transformations de la matière 3
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température dans la ville ? V – Liquéfaction de l’azote : Objectif : application d’une transformation adiabatique ; Difficulté :  Une masse m d'azote diatomique, considéré comme un gaz parfait, est contenue dans un cylindre fermé par un piston qui peut se déplacer horizontalement sans frottement. Elle est initialement dans l'état A0 caractérisé par une pression P0, un volume V0 et une température T0. On fait subir au gaz deux transformations quasi‐statiques successives : i) Une compression isotherme A0B0 qui fait passer le gaz de l'état A0 à l'état B0 (αP0, VB0, T0), α étant un coefficient supérieur à 1. ii) Une détente adiabatique B0A1 qui fait passer le gaz de l'état B0 à l'état A1 (P0, V1, T1). Données : P0 = 1 atm ; T0 = 300 K ; V0 = 10 L ; M(N2) = 28 g.mol‐1 ; α = 4 ;  = 1,4 1. Exprimer VB0, V1 et T1 en fonction de V0, T0, α et . Application numérique. 2. On réitère les 2 transformations : compression isotherme A1B1 avec PB1=.P0 puis détente adiabatique B1A2 avec P2=P0. a) Exprimer T2 en fonction de T1 puis en fonction de T0. b) En déduire, en fonction de T0, l’expression de TN température atteinte après N séries de transformation. c) Sachant que l’azote se liquéfie à 77,4K sous 1 atm et à 91,4 K sous 4 atm, dans quel état AN (ou BN) aura‐t‐on liquéfaction de l’azote ? VI – Cycle du moteur Diesel : Objectif : étude d’un cycle thermodynamique moteur ; Difficulté :  Un moteur Diesel est un moteur à explosion dont l’allumage spontané se fonde sur la propriété d’auto‐inflammation du gaz (inflammation instantanée ne nécessitant pas de bougie d'allumage). Pour ce type de moteur, on injecte par un moyen mécanique un carburant lourd dans de l’air fortement comprimé et porté à haute température. Sous l'effet de cette compression, le mélange s'enflamme spontanément. On se propose dans cet exercice d’analyser le cycle d’un tel moteur. Une mole de gaz parfait diatomique subit les transformations lentes suivantes : A ‐ B: Compression adiabatique B ‐ C : dilatation isobare C ‐ D : Détente adiabatique D ‐ A : Refroidissement isochore On rappelle que pour un gaz parfait diatomique, les capacités thermiques molaires valent : ‐ cp=7R/2 à pression constante et cv=5R/2 à volume constant ; avec R=8,31 J.K‐1.mol‐1 la constante des gaz parfaits. On note = cp/ cv. On pose a=VA/VB et b=VD/VC les rapports volumétriques des transformations adiabatiques. 1P005 : Energie & Transformations de la matière 4
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1. Tracer dans le diagramme P=f(V) les transformations du cycle Diesel. 2. Rappeler la relation existant entre les variables P, V et  pour une transformation adiabatique d’un gaz parfait. Donner l’expression de PB en fonction de PA, a et . Que vaut PC ? Donner l’expression de PD en fonction de PC, b et . En déduire l’expression de PD en fonction de PA, a, b et . 3. Dans un état donné, comment à partir de P et V, peut‐on déterminer T ? Préciser les unités des différentes grandeurs employées dans le système international. 4. Compléter le tableau 1 ci‐dessous avec les valeurs obtenues dans les unités du système international. On prendra a=9 et b=3 pour les calculs. Tableau 1
État
Pression P (S.I.)
Volume V (S.I.)
Température T (S.I.)
105
A
300
B
C
D
5. a. Énoncer le premier principe de la thermodynamique. b. Donner l’expression de la variation d’énergie interne U pour une mole de gaz parfait en fonction de la variation de température T et de cV. c. Calculer numériquement les variations d’énergie interne pour les 4 transformations du cycle. d. Combien vaut la chaleur échangée lors d’une transformation adiabatique ? Justifier. e. Donner l’expression de la chaleur échangée pour la mole de gaz parfait lors de la transformation isobare BC en fonction de TC, TB et cp. f. Combien vaut le travail échangé lors d’une transformation isochore ? Justifier. 6. a. A l’aide des questions précédentes, compléter le tableau 2. Tableau 2
Transformation Chaleur Q (kJ) Travail W (kJ) Énergie interne U (kJ) AB
BC
CD
DA
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b. Calculer la variation totale d’énergie interne sur l’ensemble du cycle. Le résultat est‐il conforme à ce qu’on attendait ? Justifier. VII – Étude du cycle d'une pompe à chaleur : (facultatif) Objectif : étude d’un cycle thermodynamique ; Difficulté :  E: milieu extérieur: source froide à la température TA R: réservoir d'eau à chauffer D: détendeur C: compresseur Une pompe à chaleur fonctionne entre deux sources : une nappe souterraine ou le milieu extérieur à température ambiante (cas de l'exercice) qui constitue la source froide, et l'eau du réservoir du circuit de chauffage qui constitue la source chaude. Un fluide circulant dans le circuit de chauffage reçoit de la chaleur du milieu extérieur qui est transférée au réservoir d'eau. Le fluide utilisé dans cette pompe est un gaz diatomique assimilable à un gaz parfait de constante de capacité thermique molaire à volume constant Cv = 5/2 R. Le rapport des capacités thermiques molaires à pression constante Cp et à volume constant Cv vaut  = Cp/Cv = 1,4. On considère une mole de gaz diatomique prise à la température TA = 280 K du milieu extérieur E sous la pression atmosphérique PA = 105 Pa. On lui fait décrire le cycle suivant : Le gaz passe dans un compresseur C; à sa sortie, il peut chauffer l'eau contenue dans le réservoir R puis il passe dans un détendeur D pour se retrouver dans son état initial. On admettra que le cycle qu'il subit peut être représenté par une suite de transformations réversibles successives:  une compression adiabatique AB amenant le gaz à la température TB = 320 K, effectuée lors du passage dans le compresseur,  une compression isotherme BC amenant le gaz à la pression PC = 2.105 Pa, effectuée dans le réservoir,  une détente adiabatique CD amenant le gaz à la température TD = TA, effectuée lors du passage dans le détendeur,  une détente isotherme DA, effectuée dans le milieu extérieur. 1P005 : Energie & Transformations de la matière 6
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État A
État B État C État D VA = ?
VB = ?
VC = ?
VD = ?
TA = 280 K
TB = 320 K
TC = ?
TD = 280 K
PA = 105 Pa
PB = ?
PC = 2.105 Pa
PD = ?
1. Représenter le cycle correspondant à l'ensemble de ces transformations dans un diagramme (P,V). 2. Déterminer les volume, température et pression de chaque étape du cycle et remplir le tableau précédent. 3. Calculer le travail reçu au cours de chaque transformation. En déduire le travail Wtot reçu au cours d'un cycle. 4. Calculer la quantité de chaleur Q1 reçue du milieu extérieur par le gaz au cours d'un cycle. 5. Calculer la quantité de chaleur Q2 cédée par le gaz au réservoir d'eau au cours d'un cycle. 6. Calculer le coefficient de performance du cycle : e = |Q2/Wtot|. VIII – Comparaison de deux évolutions possibles entre deux états : (facultatif) Objectif : étude de transformations thermodynamique travail / chaleur et énergie interne d’un gaz parfait ; Difficulté :  Un récipient de volume VA = 5L fermé par un piston contient n = 0, 5 mol de gaz parfait, initialement à la température TA = 287 K. On porte de façon quasi statique le volume du gaz à une valeur VB = 20L, à la température TB = 350 K. On donne pour ce gaz le coefficient  = 1, 4. Le passage de A à B s’effectue de deux manières différentes : ‐ évolution (a) (A  C  B) : chauffage isochore de 287 K à 350 K (transformation A  C) puis détente isotherme de VA à VB à la température T1 = 350 K (transformation C  B) ; ‐ évolution (b) (A  D  B) : détente isotherme de VA à VB à la température T2 = 287K (transformation A  D) puis chauffage isochore de 287 K à 350 K (transformation D  B). 1) Représenter les deux évolutions précédentes en coordonnées de Clapeyron (= dans le diagramme (P, V )). 2) Exprimer puis calculer le travail W(a) et le transfert thermique Q(b) reçus par le gaz ainsi que la variation d’énergie interne U(a) du gaz lors de la première série de transformations. 3) Exprimer puis calculer le travail W(b) et le transfert thermique Q(b) reçus par le gaz ainsi que la variation d’énergie interne U(b) du gaz lors de la seconde série de transformations. 4) Comparer les deux possibilités d’évolution de A à B. Conclusion ? 1P005 : Energie & Transformations de la matière 7
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IX Calcul du travail des forces de pression, de la variation d’énergie interne et du transfert thermique … (facultatif) Objectif : comme le titre l’indique ! ; Difficulté :  Le système est un gaz parfait. Dans l’état initial, le gaz a une pression P1, une température T1 et occupe un volume V1. Dans l’état final, le gaz a une pression P2, une température T2 et occupe un volume V2. En cours de transformation, le gaz a une pression P, une température T et occupe un volume V. Toutes les transformations sont quasi‐statiques. 1°) Calculer le travail des forces de pression exercée sur le gaz pour • une transformation isochore V1 = V = V2. • une transformation monobare Pext = cste. • une transformation isobare Pext = P = P1 = P2. • une transformation isotherme T = Text = T1 = T2. 2°) Dans les quatre cas précédents, calculer la variation d’énergie interne. 3°) Dans les quatre cas précédents, calculer le transfert thermique. 4°) Dans les quatre cas précédents, calculer la variation d’enthalpie. 1P005 : Energie & Transformations de la matière 8
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