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TS
avril 2014
Devoir de physique-chimie n°5
Nom:.......………..................………………….…
(2H)
LES EXERCICES SONT INDEPENDANTS – CALCULATRICE AUTORISEE
Exercice 1 : Quand
40
/5,0
Sébastien Loeb rencontre Isaac Newton …
"(…) Sébastien Loeb et son copilote Daniel Elena ont brillamment
remporté le rallye Monte Carlo 2013 disputé sur les routes de
l'Ardèche, de la Haute–Loire et des Alpes Maritimes entre le 15 et le
20 janvier 2013. Parcouru sous des conditions météorologiques
difficiles (neige, verglas), ce rallye est réputé pour les difficultés de
son parcours, avec des spéciales très longues, et la beauté de ses
paysages. Leur voiture, une Citroën DS 3 WRC, a montré encore sa
grande fiabilité.
Rappelons que Sébastien Loeb et Daniel Elena ont été 9 fois
consécutivement champions du monde de rallye WRC (World Rally
Championship) (…)"
On se propose d'étudier une des trajectoires suivies par la voiture lors de ce rallye. Le système étudié est donc la voiture avec
le pilote et son copilote. On note M le centre de gravité du système. Le référentiel choisi est le référentiel terrestre supposé
galiléen.
Données :
Masse de la voiture DS 3 WRC avec pilote et copilote : m = 1350 Kg
Intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 N.kg–1= 9,8 m.s–2
On fixe les échelles pour les constructions graphiques :
Echelle des documents : 1/200
Echelle des vitesses : 1 cm pour 10 m.s–1
–2
Echelle des accélérations : 1 cm pour 4,0 m.s
Echelle des forces : 1 cm pour 4,0.103 N
Intervalle de temps entre les différents points sur le graphique : = 250 ms
La trajectoire est une trajectoire circulaire uniforme dont 2 vecteurs vitesse sont déjà représentés.
1. Mesurer la vitesse v21.
2. Construire graphiquement le vecteur accélération a22 au point M22 et retrouver que a22 = 30 m.s–2. (noter précisément
vos mesures et vos calculs).
3. Quelle relation relie la norme de l'accélération en fonction de la vitesse et du rayon de courbure du virage dans ce type
de mouvement ?
A l'aide de la formule précédente, calculer l'accélération a22.
4. D'où peuvent provenir les raisons de l'écart éventuel entre les 2 mesures de a22 ?
5. Calculer l'écart relatif entre les 2 valeurs de a22 sachant que l'écart relatif entre 2 valeurs est le rapport entre la différence
entre les 2 valeurs sur la plus faible des 2 valeurs.
Exercice 2 :
Mars obéit–elle à Kepler ?
/8,0
On observe que la planète Mars décrit autour du Soleil une orbite circulaire de rayon r d'un mouvement uniforme à la vitesse v.
On admet que la planète Mars et le Soleil ont une répartition de masse à symétrie sphérique. On note TM la période de
révolution de la planète Mars autour du Soleil (TM = 687 jours terrestres).
Données :
Masse du Soleil : MS = 2,00.10 30 kg.
Masse de Mars : MM = 6,50.10 23 kg.
Rayon de Mars : RM = 3 400 km.
-11
Constante d'interaction gravitationnelle : G = 6,67.10 SI.
1. Exprimer la norme du vecteur accélération de Mars en fonction de v et de r.
2
2. Exprimer la vitesse en fonction de r et de TM. En déduire que la norme du vecteur accélération est a = 4 2.r .
TM
3. Exprimer la valeur de la force d'attraction universelle F que le Soleil exerce sur Mars en fonction de r, MS et MM.
T
2
2
4
4. En appliquant la 2ème loi de Newton à la planète Mars, montrer que r3M = G.M
(expression de la 3ème loi de Kepler).
S
5. Déduire des relations ci-dessus et des données que les valeurs numériques de la distance Soleil-Mars r et de la vitesse de
Mars v sont r = 228.106 km et v = 2,41.104 m.s–1.
Exercice 3 : Finale Federer–Newton à Roland–Garros ……
/27,0
Un terrain de tennis est un rectangle de longueur 23,8 m et de
B
largeur 8,23 m. Il est séparé en deux dans le sens de la largeur par
L
un filet dont la hauteur est 0,920 m.
Lorsqu’un joueur effectue un service, il doit envoyer la balle dans
O
une zone comprise entre le filet et une ligne située à 6,40 m du filet.
Lors du match opposant Roger Federer à Issac Newton, ce dernier
Filet
effectue un service en étant placé au point O.
Il souhaite que la balle frappe le sol en B tel que OB = L = 18,7 m.
Pour cela, Isaac Newton lance la balle verticalement et la frappe avec sa raquette en un point D situé sur la verticale de O à
la hauteur H = 2,20 m. La balle part alors de D avec une vitesse de valeur v0 = 126 km.h–1, avec un angle avec l'horizontale
y
comme le montre le schéma ci-contre.
D
La balle de masse m = 58,0 g sera considérée
comme ponctuelle et on considérera que toutes les
v0
actions de l’air sont négligeables.
L’étude du mouvement sera faite dans le référentiel
Filet
terrestre, galiléen, dans lequel on choisit un repère
j
Oxy comme l’indique le schéma ci-contre.
O
F
i
Données : intensité du champ de pesanteur : g = 9,81 m.s–2
vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,00.108 m.s–1
B
coefficient de Lorentz : =
x
1
1–
v2
c2
A– Équations horaires paramétriques
A.1. Faire le bilan des forces appliquées à la balle entre D et B. Calculer la(les) valeur(s) de la (les) force(s).
A.2. En appliquant la 2ème loi de Newton, établir les coordonnées de l'accélération a de la balle au cours de son mouvement.
A.3. Etablir les coordonnées de la vitesse initiale v0 .
A.4. Démontrer que les équations horaires paramétriques du mouvement de la balle sont : x(t) = (v0.cos ).t
y(t) = – 12.g.t2 – (v0 sin ).t + H
B– Trajectoire et qualité du service
Pour simplifier, nous supposerons désormais que = 0.
B.1. D'après A.4., démontrer que l'équation cartésienne de la trajectoire de la balle dans le plan xOy est y(x) = – g 2.x2 + H
2v0
B.2. Sachant que la distance OF = 12,2 m, la balle, supposée ponctuelle, passe-t-elle au-dessus du filet ?
B.3. Montrer que le service étudié est "faute", c’est-à-dire que la balle frappe le sol en un point B’ tel que OB’>OB.
B.4. En réalité, la balle tombe en B ………….. et Isaac Newton fait un ace : Newton : 15 – Federer : 0 !
Quel est le paramètre, non pris en compte dans ce problème, qui peut expliquer cette différence de distance entre B' et B ?
C– Énergie de la balle
C.1. Quelle est l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur de la balle au point D en choisissant l'origine de cette énergie
en y = 0 ? Calculer sa valeur.
C.2. Quelle est l’expression de l’énergie cinétique de la balle lorsqu’elle part de D ?
C.3. Écrire les expressions de
l’énergie mécanique de la balle en D notée Em(D)
l'énergie mécanique de la balle en B’ notée Em(B').
C.4. Quelle est la relation entre Em(D) et Em(B’) ? Justifier.
C.5. Retrouver l’expression et calculer la vitesse de la balle lorsqu’elle frappe le sol au point B' : vB’ =
v2D +2g.H.
C.6. En réalité, au point B, la vitesse vB = 104,4 km.h–1 et la différence d'énergie mécanique entre B (l'arrivée) et D (le
départ) est Em = – 24,4 J.
Que représente cette valeur ? Expliquer le signe négatif de cette valeur.
D– Balle de tennis relativiste ?
Mais imaginons que Einstein assiste à ce match de tennis opposant Federer à Newton. Einstein, pour prouver sa théorie
relativiste, place une horloge miniature, mais très précise, dans la balle de tennis sans que les propriétés de cette dernière ne
soient modifiées (horloge H1). Une autre horloge reste sur le bord du terrain (horloge H2). Ces 2 horloges mesurent la durée
entre la frappe d'un des joueurs et la frappe de l'autre joueur. La durée mesurée par l'horloge H1 est de t1 = 0,64 s.
D.1. Comment s'appellent les durées que vont mesurer ces 2 horloges ? (justifier)
D.2. Si la balle se déplace à la vitesse de 104,4 km.h–1, quelle sera la durée mesurée par l'horloge H2 ?
D.3. Quelle devrait être la vitesse de la balle pour que la durée mesurée par l'horloge H2 soit t2 = 1,28 s ? Conclusion.
M21
v21
M22
M23
v23
M20
M24
Document 2
Correction Devoir de physique-chimie n°5
Exercice 1 : Quand Sébastien Loeb rencontre Isaac
1. v21 mesure 2,8 cm donc v21 = 28 m.s–1
donc en réalité
v23 – v21
2
a22 =
v23 – v21
=
avec l'échelle, a22
v21
M21
2. v23 – v21 mesure 1,5 cm
/0,5+2+1+0,5+1= 5,0
Newton
M22
v23 – v21
=15 m.s–1
M20
M23
v23
v23 – v21
15
= 30 m.s–2
2 x 250.10–3
30
mesure
= 7,5 cm
4,0
M24
a22
v222
282
=
= 31 m.s–2
R
12,5.10–2 x 200
4. L'écart éventuel provient de la construction et des mesures graphiques.
31–30
5. Ecart relatif :
x 100 = 3,3 % ou 4% (chiffre majoré avec 1 CS)
30
3. a22 =
Exercice 2 :
/1+2+1+2+2= 8,0
Mars obeit elle à Kepler ?
2
1. aMars = vr
2. v = Td = 2T .r avec d : distance parcourue par Mars pendant sa période de révolution TM donc d = 2 .r
M
M
2
2 1
Ainsi aMars = (2T .r) x = 4 2.r
r
M
TM
M
3. FSoleil/Mars = G.MSr.M
2
4. On applique la 2ème loi de Newton à la planète Mars en supposant le référentiel galiléen pendant l’expérience donc
Fext = MM.aMars
On obtient donc FSoleil/Mars = FSoleil/Mars. n = MM.aMars. n
avec n : vecteur unitaire dirigé de Mars vers le Soleil (vecteur centripète)
On a ainsi G.
MS.MM
4 2.r
n = MM . 2 . n
2
r
T
M
M
4 2.r
Après simplification par MM et n , on obtient : G. 2S = 2
r
TM
2
2
3
TM.G.MS
TM.G.MS 3
r=
=
2 3
4 r
4 2
2 .r 2 x 2,28.1011
v=
=
= 2,41.104 m.s–1
TM 687 x 24 x 3600
5. r3 =
Exercice 3 :
2
TM
4 2
3 =
r
G.MS
(687 x 24 x 3600)2 x 6,67.10-11 x 2,00.1030
= 2,28.1011 m = 228.106 km
4 2
Finale Federer–Newton à Rolland–Garros ……
/1,5+2+1,5+2,5 (7,5)
+2+1,5+2+1(6,5)
+1+1+2+1+2+1,5 (8,5) + 1,5 +1+2 (4,5) = 27
A.1. La balle, dans le référentiel terrestre galiléen, est soumise uniquement à son poids P . En effet d’après l’énoncé "les actions
de l'air sont négligeables" : on ne tient pas compte de la poussée d’Archimède et de la force de frottement de l’air sur la
balle.
P = m.g = 58,0.10–3 x 9,81 = 0,569 N
A.2. D'après la 2ème de Newton,
Fext = m a . Ici,
Fext = P = m. g .
On obtient donc m. g = m. a
d'où a = g .
Or a ax
ay
Ainsi a ax = 0
ay = –g
= g gx = 0
gy = – g
A.3. D'après le graphique ci–contre : v0
y
v0
v0.cos
v0 x = v0.cos
v0 y = – v0.sin
Le "–" apparait car la longueur
v0.sin est "dirigée" vers le bas
v0
j
O
i
x
v0.sin
A.4. Détermination du vecteur vitesse :
ax = x"(t) = 0
x'(t) = C1
mais x'(t=0) = v0 x = C1 = v0.cos
ay = y"(t) = –g
y'(t) = – g.t + C2
mais y'(t=0) = v0 y = C2 = – v0.sin
vx = x'(t) = v0.cos
v vy = y'(t) = –g.t – v .sin .
0
Détermination des équations horaires paramétriques du mouvement :
vx = x'(t) = v0.cos
x(t) = (v0.cos ).t + C3
mais x(t=0) = 0 = C4
x(t) = (v0.cos ).t
OG z(t) = – 1.g.t2 – (v .sin ).t.+ H
0
y(t) = – 1.g.t2 – (v0.sin ).t + C4 mais y(t=0) = H = C6
vy = y'(t) = –g.t – v0.sin
2
2
On retrouve bien les expressions demandées.
B.1. D'après A.4., x = (v0.cos ).t
t=
x
v .cos
0
= vx
car = 0
0
(x)
y = – 12.g.t2 – (v0 sin ).t + H = – 12.g.t2 + H = – 21.g. v0
2
+ H = – g 2 x2 + H
On a donc y(x) = – g 2.x2 + H
2v0
2v0
B.2. La balle passe au-dessus du filet si pour x = OF = 12,2 m , y(x) > 0,920 m.
2
D'après B.1. : y(x=12,2 m) = – 2 9,81
x (12,2) + 2,20 = 1,60 m > 0,920 m
x 35,02
donc la balle passe au-dessus du filet.
avec v0 = 126 km.h–1 = 126 m.s–1= 35,0 m.s–1
3,6
B.3. Le service est "faute" si xB’ > OB = L = 18,7 m. De plus, B' est tel que yB’= 0 donc on doit avoir y(xB’) = 0
2
y(xB’) = 0 soit – g 2.xB'
+H
D'après B.1. :
2
xB'
=
2v0
2
2
2v0.H
g
2v0.H
g
xB' =
=
2 x 35,02 x 2,20
=
9,81
23,4 m
Donc xB’ > 18,7 m, le service est effectivement « faute ».
B.4. En réalité, la balle tombe en B. Le paramètre, non pris en compte dans ce problème, qui peut expliquer cette différence
est la force de frottement de l’air sur la balle.
Remarque hors programme de terminale : Au tennis, l’effet donné à la balle est essentiel. La balle est mise en rotation, et l’effet Magnus modifie la
trajectoire de façon sensible.
mais Epp(y=0) = 0 = C donc Epp = m.g.y ; Au point D, Epp(D) = m.g.H = 58,0.10–3 x 9,81 x 2,20 = 1,25 J
C.1. Epp = m.g.y + C
C.2. Ec(D) = 21.m.v2D
C.3. Em(D) = EC(D) + Epp(D) = 12.m.v2D + m.g.H
Em(B') = EC(B') + Epp(B') = 21.m.v2B' + 0
;
C.4. Les frottements ont négligés donc l'énergie mécanique est conservée : Em(D) = Em(B')
1
.m.v2D
2
C.5. Em(D) = Em(B')
+ m.g.H = 21.m.v2B'
2
v2B' = vD
+ 2g.H
vB’ =
v2D +2g.H = 35,02 +2x9,81x2,20 = 128 km.h–1
Remarque : la balle arrive au sol en B’ plus rapidement qu’elle n’est partie du point D car les frottements sont négligées.
C.6. Cette valeur représente le travail des forces de frottements WOD( f ). Ce travail est négatif car il est résistant, il s'oppose à
l'avancée de la balle.
D.1. La durée propre mesure une durée entre 2 évènements dans un repère où ils se passent au même endroit.
H1 mesure donc une durée propre et H2 mesure la durée impropre.
D.2. t2 = . t1 =
D.3. t2 = . t1 =
1
v2
1– 2
c
1
1–
v2
c2
. t1 =
1
29,02
1–
(3,00.108)2
. t1
t1 =
2
ainsi v = c.
1–
t1
2
t2
= 3,00.108 x
1–
x 0,64 = 0,64 s donc la relativité du temps n'est pas décelable.
v2
.
c2
1–
t2
(0,64)2
(1,28)2
v2
c
t21 = (1 – 2 ). t22
2
1–
t1
v2
2 =
c
t2
2
t1
v2
2 =1 –
2
c
t2
= 2,6.108 m.s–1 = 9,4.108 km.h–1 Vitesse totalement impossible à
atteindre ... même pour Federer !!!

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