Energie mécanique

1.2 ENERGIE MECANIQUE 1 Énergie mécanique La mécanique est la science ayant pour objet l'étude des forces et des mouvements. L'énergie qui y est associée est la résultante de deux composants : l'énergie cinétique et l'énergie mécanique. I.
Comment caractériser un mouvement ? 1.
Le référentiel Le mouvement d'un point est relatif à un observateur fixe dans un référentiel d'étude. Observons par exemple le cas d'un voyageur dans un train. Il sera immobile si le référentiel est le wagon mais il sera en mouvement si le référentiel est le sol, donc la terre. Le référentiel se définit ainsi : c'est un ensemble de points, tous fixes les uns par rapport aux autres. L'observateur qui étudie le mouvement est lui même immobile dabs ce référentiel. a.
Référentiel de Copernic (ou héliocentrique) L'origine du repère définissant ce référentiel correspond au centre d'inertie du système solaire (pratiquement confondu avec le centre d'inertie du Soleil). Les 3 axes du repère sont dirigés vers 3 étoiles qui s'éloignent du soleil toujours dans la même direction. b.
Référentiel géocentrique Le repère caractérisant ce référentiel a pour origine le centre de la Terre et les 3 axes sont des axes qui restent parallèles à ceux du référentiel de Copernic. c.
Référentiel terrestre L'origine de repère choisi est liée à la Terre ainsi que les 3 axes. 2.
Trajectoires et mouvements La trajectoire d'un point M est la courbe géométrique décrite au cours du temps par les positions successives de ce point par rapport à un repère de référence. M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie 1.2 ENERGIE MECANIQUE 2 a.
Mouvement de translation Un solide est en translation dans un repère 𝑅 si n'importe quel bipoint (𝐴𝐵) du solide reste parallèle à sa position initiale au cours du mouvement. 𝑦 B B A A B A O 𝑥 Propriétés : •
Tous les points d'un solide en translation ont la même vitesse et la même accélération. •
Le mouvement est complètement défini par l'étude d'un seul point du solide. •
La trajectoire d'un point du solide étudié peut être quelconque ou : o si c'est une droite la translation est dite rectiligne (ex : funiculaire). o si c'est un cercle, la translation est dite circulaire (ex : grande roue). b.
Mouvement de rotation autour d'un axe fixe Un solide (S) est animé d'un mouvement de rotation autour de l'axe fixe (0, 𝑍! ) si 2 points 𝐴 et 𝐵 distincts appartenant à (S) coïncident en permanence avec les 2 points fixes 𝐴! et 𝐵! distincts appartenant à l'axe de rotation (0, 𝑍! ). Propriétés La trajectoire d'un point quelconque 𝑀 du solide (S) est le cercle contenu dans le plan perpendiculaire à l'axe de rotation, passant par le point 𝑀 et de rayon 𝑟. M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie 1.2 ENERGIE MECANIQUE 3 3.
Vitesses et accélération a.
Mouvement rectiligne Soit (S) un solide en mouvement rectiligne. Soit 𝑀 un point de ce solide. Dans un repère d'origine 𝑂 donné, ce point 𝑀 se trouve dans la position 𝑂𝑀. Son vecteur vitesse est la dérivée de son vecteur position par rapport au temps. Il s'agit alors de sa vitesse instantanée. 𝑣 =
𝑑 𝑂𝑀
𝑑𝑡
La vitesse s'exprime donc en 𝑚. 𝑠 !! . Dans la pratique, on utilise la vitesse moyenne. Soit 𝑀! la position du point 𝑀 à l'instant 𝑡! et 𝑀! la position du point 𝑀 à l'instant 𝑡! . La vitesse moyenne du point 𝑀 s'exprime donc par la relation : 𝑣!"# =
𝑀! 𝑀!
𝑡! − 𝑡!
!!!!!!!!!!!⃗
𝑀! 𝑀! 𝑀! 𝑀! 0 𝑡! 𝑡! 𝑡 L'accélération est définie comme étant le taux de variation de la vitesse par rapport au temps. On définit alors le vecteur accélération ainsi : 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
L'accélération s'exprime en 𝑚. 𝑠 !! . On note alors plusieurs cas particuliers : -‐ l'accélération tangentielle est nulle : le mouvement est rectiligne uniforme. Sa vitesse est constante. -‐ l'accélération tangentielle est constante : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie 1.2 ENERGIE MECANIQUE 4 b.
Mouvement de rotation autour d'un axe fixe Pour décrire un mouvement de rotation, il est préférable d'utiliser le système de coordonnées polaires (𝑂, 𝑟, 𝜃, 𝑧) . Le vecteur position s'écrit alors : 𝑂𝑃 = 𝑟𝑛 On utilise préférentiellement la vitesse angulaire 𝜔(𝑡) en 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 !! et l'accélération angulaire. 𝜔 𝑡 =
𝑑 𝜃
= 𝜃 𝑑𝑡
Le vecteur accélération est la résultante de 2 autres vecteurs : -‐ l'accélération tangentielle 𝑎 ! = 𝜔𝑟 𝑡 -‐ l'accélération normale 𝑎! = 𝜔! 𝑟 𝑛 𝑎 = 𝑎 ! + 𝑎! = 𝜔𝑟 𝑡 + 𝜔! 𝑟 𝑛 II.
Quelles sont les conséquences du mouvement ? 1.
Énergie cinétique C'est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement par rapport à un référentiel donné. Cas du mouvement de translation L'énergie cinétique 𝐸!! en J d'un point matériel de masse 𝑚 en kg animé d'une vitesse 𝑣 en m.s-‐1 dans un référentiel donné s'exprime par : 1
𝐸!! = 𝑚𝑣 ! 2
Cas du mouvement de rotation L'énergie cinétique 𝐸!! d'un solide en rotation autour d'un axe fixe de moment d'inertie 𝐽 en kg.m2 et de vitesse angulaire 𝜔 en rad.s-‐1 s'exprime par : 1
𝐸!! = 𝐽𝜔! 2
M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie 1.2 ENERGIE MECANIQUE 5 Théorème de l'énergie cinétique Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux W des forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur le solide considéré : ∆𝐸!!" = 𝐸!! − 𝐸!! = ∑𝑊!!"#
2.
!"#
Énergie potentielle C'est l'énergie d'interaction entre deux corps qui s'attirent ou qui se repoussent. La gravitation est une énergie potentielle. Lorsqu'on éloigne un objet de masse 𝑚 du centre de la Terre, le système "Terre-‐objet" accumule de l'énergie potentielle. Il en va de même lorsqu'on tend un ressort. 3.
Energie potentielle de pesanteur 𝐸! = 𝑚𝑔ℎ Energie potentielle élastique 𝐸! =
1 !
𝑘𝑥 2
Énergie mécanique L'énergie mécanique d'un système est définie comme étant la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. 𝐸! = 𝐸! + 𝐸! Elle s'exprime donc en joules (J). Théorème de l'énergie mécanique La variation de l'énergie mécanique d'un solide indéformable entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces non conservatives (frottements …) appliquées à ce solide. M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie 1.2 ENERGIE MECANIQUE 6 Exercices Exercice 1 La Lune décrit autour de la Terre une orbite approximativement circulaire de rayon moyen 𝑅 égal à 3,84×10! m et met 27,3 jours pour effectuer une révolution. Déterminer sa vitesse orbitale moyenne en m/s. Exercice 2 Une sonde spatiale est lancée à partir d'une plate-‐forme et elle décrit une trajectoire rectiligne. Un observateur appelle cette trajectoire l'axe des 𝑥 et mesure la distance 𝑥 de la sonde à la plate-‐forme. Supposons que la position de la sonde est donnée, à tout instant, par l'expression 𝑥 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑡 ! où 𝐴 = 150 𝑚 et 𝐵 = 30,0 𝑚/𝑠 ! . 1. Déterminer la vitesse moyenne de la sonde entre les instants 𝑡! = 7,00 𝑠 et 𝑡! = 9,00 𝑠. 2. Quelle est sa vitesse instantanée pour 𝑡 = 8,00 𝑠 ? 3. Représenter graphiquement 𝑥 (𝑡) et 𝑣(𝑡). Exercice 3 Un véhicule automobile de masse 𝑚 = 1255 𝑘𝑔 passe de la vitesse 𝑣 = 55 𝑘𝑚/ℎ à la vitesse 𝑣 = 90 𝑘𝑚/ℎ. 1. Faire, sur un schéma, le bilan des forces appliquées au système. 2. Déterminer les forces intervenant dans l'accélération du système. 3. Calculer le travail de ces forces permettant au système d'accélérer. 4. Y-‐a-‐t-‐il d'autre source de travail par ailleurs ? Est-‐il possible de les évaluer ? Exercice 4 Une automobile de longueur 𝑙 = 5𝑚, roulant à la vitesse 𝑉! = 90𝑘𝑚. ℎ!! arrive derrière un camion de longueur 𝐿 = 10𝑚 , roulant à une vitesse 𝑉! = 72𝑘𝑚. ℎ!! . Les deux véhicules conservent des vitesses constantes. L'automobile va donc doubler le camion. M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie 1.2 ENERGIE MECANIQUE 7 En admettant que le dépassement commence quand l'avant de l'automobile est à la distance 𝑑! = 20𝑚 de l'arrière du camion et se termine quand l'arrière de l'automobile est à la distance 𝑑! = 30𝑚 de l'avant du camion, calculer : 1. La durée du dépassement 2. La distance parcourue sur la route par la voiture pendant le dépassement. Exercice 5 Sur une autoroute, 2 voitures roulent sur la même file avec une vitesse de 40m/s. Le pare chocs avant A de la seconde voiture est à 40m derrière le pare chocs arrière B de la première voiture. Le véhicule B freine avec une décélération de 5 m/s². Le véhicule A distrait freine 2s après avec la même décélération. 1. Quelle distance parcourt le deuxième véhicule avant de commencer à freiner ? 2. Quelle distance parcourt le premier véhicule pendant ce même temps ? 3. Quelle est la distance séparant A et B lorsque le second véhicule commence à freiner ? 4. Quelle est la vitesse du premier véhicule à ce moment ? 5. En prenant comme origine des dates l'instant où débute le freinage du second véhicule et comme origine des espaces la position où il se trouve alors, établir les équations horaires des mouvements de A et B. 6. Un choc aura t il lieu? Si oui à quelle date? Exercice 6 Les pales de l'hélice d'un hélicoptère ont 7,5m de rayon et tournent à 315 tours par minute. 1. Quelle est la vitesse périphérique à leur extrémité ? 2. Quelle est l'accélération centripète de cette extrémité ? Exercice 7 Le Soleil est à une distance d'environ 30 000 AL (années lumière) du centre de la galaxie autour duquel il tourne avec une vitesse de 250 km/s. Déterminer la vitesse périphérique et l'accélération centripète du Soleil. M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie 1.2 ENERGIE MECANIQUE 8 Exercice 8 𝜋
Un point décrit un cercle de rayon 5 cm. Sachant que 𝜃 = 52𝑡 + 8 en décrire : 1. La position après une seconde. 2. La vitesse angulaire, la fréquence et la période du mouvement. 3. La vitesse linéaire et l'accélération centripète. Exercice 9 Une pierre de masse 800g tombe sur le sol (z2) d'une hauteur (z1) de 25m par rapport au sol, sa vitesse initiale est nulle. Calculer l'énergie cinétique acquise juste avant l'impact. En déduire la vitesse de la pierre à cet instant. Exercice 10 Une balle de masse m=100g est lâchée sans vitesse d'une hauteur h=1 m. La balle rebondit sur le sol. L'énergie cinétique juste après le rebond est égale à l'énergie cinétique juste avant multipliée par une constante k=0,9. 1. Quelle est la vitesse de la balle juste après un rebond ? 2. Quelle est l'altitude maxi atteinte après un rebond ? 3. Quelle est la durée de la seconde descente ? 4. Répondre aux mêmes questions après le 3ème rebond. Exercice 11 Un jongleur lance verticalement vers le haut une balle de masse m = 480 g. La balle quitte la main située en un point A à l’altitude zA = 1,50 m au-‐dessus du sol et s’élève à l’altitude zB = 5,0 m. On néglige les frottements de l’air et on assimile la balle à un point matériel. 1. Donner l’expression de l’énergie mécanique au moment où la balle quitte la main. 2. Donner l’expression de l’énergie mécanique lorsque la balle atteint le point le plus haut. 3. Vitesse de la balle : a. Montrer que la vitesse de la balle lorsqu’elle quitte la main de jongleur peut s’écrire : 𝑣! =
2𝑔ℎ . Identifier ℎ. M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie 1.2 ENERGIE MECANIQUE 9 b. Calculer sa valeur. Donnée : 𝑔 = 9,81 𝑚. 𝑠 !! . Exercice 12 Arrivé sur le green horizontal, un joueur de golf doit effectuer un put de longueur ℓ𝓁 = 6,0 𝑚 pour que sa balle, de masse 𝑚, aille dans le trou. Le joueur communique à la balle une vitesse initiale de valeur 𝑣0 . La balle, assimilée à un point matériel, est alors animée d’un mouvement rectiligne. Durant son mouvement, elle est soumise à une force constante de valeur 4,0 x 10–2 N. 1. Travail et forces. a. Faire l’inventaire des forces qui s’exercent sur la balle et les représenter sur un schéma. b. Donner l’expression du travail de chacune des forces au cours du mouvement. 2. L’énergie mécanique de la balle se conserve-‐t-‐elle au cours du mouvement ? 3. Quelle doit être la valeur de 𝑣! pour que la balle atteigne le trou avec une vitesse nulle ? Exercice 13 On accroche une boule d'acier à une grue mécanique par une chaîne de 3m de long afin de détruire un bâtiment. Si la grue permet à la boule un mouvement de balancier de 40° de part et d'autre de la verticale, à quelle vitesse maximale, en km/h, la boule d'acier peut-‐
elle frapper le mur à démolir ? Exercice 14 Un train de montagne russe initialement au repos descend une pente vertigineuse et prend une boucle de 9m de hauteur. Au sommet de cette boucle, le train possède une vitesse de 42 km/h. Quelle était la hauteur de la pente au départ ? M.MOURAGNON BTS MS-‐SP Physique et Chimie

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