MP: PREPARATION AUX ORAUX 4 Thème : électromagnétisme-ondes Exercice 1 : (CCP) Modèle de l’atome de Thomson. 1) Calculer le champ électrostatique créé en tout point de l’espace par une sphère de rayon R uniformément chargée en volume. 2) L’électron, de masse m et de charge –e, se déplace dans le nuage protonique où la charge est uniformément répartie. Donner l’équation de son mouvement. Pourquoi dit-on qu’il est élastiquement lié ? Montrer que ce mouvement est plan. Résoudre vectoriellement l’équation en prenant pour condition initiale OM 0 et v 0 . Donner l’allure de la trajectoire. Quelle est la période du mouvement ? En donner un ordre de grandeur ainsi que la longueur d’onde associée et le domaine de rayonnement. Exercice 2 : (CCP) Pour donner les réponses, on introduira la base des coordonnées cylindriques (0, 𝑒𝑟 , 𝑒 , 𝑒𝑧 ) Une spire de rayon R et d’axe Oz, est parcourue par un courant I. 1) Donner sens et direction du champ magnétique créé par la spire en un point M tel que :  M est un point de l’axe Oz de cote z.  M est dans le plan de la spire  M est quelconque. 2) Calculer le champ magnétique en un point M quelconque de l’axe Oz de cote z. 3) Calculer la circulation du champ magnétique sur l’axe de - à +. Exercice 3 : (CCP) Un courant de densité de courant j circule entre deux plans infinis dans les directions x et y. Déterminer le champ magnétique B en tout point de l’espace 𝑗 𝑢 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑧 ∈ [−𝑎, 𝑎] sachant que 𝑗 = 0 𝑥 0 𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 J0 est uniforme et stationnaire. On donne, si  est scalaire 𝑟𝑜𝑡 𝑉 = . 𝑟𝑜𝑡 𝑉 + (𝑔𝑟𝑎𝑑 ) ∧ 𝑉 Exercice 4 : (CCP) On considère une sphère radioactive de centre C, émettant des charges électriques de façon isotrope. On note Q(r,t) la charge contenue dans la sphère de rayon r à l'instant t. 1) Calculer le champ 𝐸 . 2) Calculer 𝐵. 3) Calculer la densité volumique de courant 𝐽. 4) Calculer le courant de déplacement 𝐽𝑑 . 5) Montrer que l'équation de Maxwell-Ampère reste vérifiée. Exercice 5 : (CCP) P particule de masse m de moment dipolaire 𝑝 = 𝑝𝑢𝑧 1) Calculer la force qu’exerce le cercle sur la particule. 2) Quels sont les positions d’équilibre. Discuter de la stabilité. 𝑢𝑧 P a O Charge linéique  Exercice 6 : (TELECOM INT) L’espace est rapporté à un repère galiléen R(O,x,y,z). La région z>0 est vide. La région z<0 est remplie d’un métal parfait. 𝑥 La surface du métal (z = 0) porte une charge superficielle 𝜎 = 𝜎0 cos⁡ (2 𝑝 ), où p est une constante homogène à une longueur. On cherche à priori le potentiel électrique dans le vide sous la forme V(x,y,z) = f(x).g(y).h(z). 1. Le potentiel est indépendant de y : justifier. 2. Enoncer le Principe de Curie et proposer une forme raisonnable pour f(x) en justifiant. 3. Etablir l’équation de LAPLACE et en déduire h(z). 4. A l’aide d’une relation de passage, déterminer l’expression du potentiel et du champ électrique en fonction de σ0, p, x, z. Exercice 7 : câble coaxial (CCP) On considère deux cylindres coaxiaux de rayons respectifs R1<R2 et de hauteurs identiques h. Le cylindre intérieur est chargé à la charge q0, le cylindre extérieur n’étant pas chargé. Un gaz isolant sépare les deux cylindres. A la suite d’un flash, on suppose que le gaz devient conducteur. Il est alors caractérisé par sa conductivité . 1) Expliquer qualitativement pourquoi le gaz devient conducteur. Que se passe-t-il après le flash ? 2) Calculer le champ 𝐸 à l’intérieur du cylindre de rayon R1, entre les deux cylindres et à l’extérieur du système. Calculer 𝑗 et obtenir 𝐵 à l’aide de considération symétrique. 3) Avec l’équation de maxwell-Ampère, trouver une équation différentielle vérifiée par 𝐸 entre les deux cylindres. En déduire l’expression de la charge du cylindre intérieur en fonction du temps, puis celle de la charge du cylindre extérieur. 4) Déterminer l’évolution au cours du temps de l’énergie électromagnétique totale d’un cylindre de rayon r tel que R1 < r < R2. Exercice 8 : (TELECOM INT) Un milieu conducteur métallique (dont les porteurs de charges sont des électrons de charge e , et de densité volumique n) a une conductivité γ et une forme parallélépipédique, dont les dimensions sont indiquées sur le schéma suivant : a) La face d’équation y=0 est portée au potentiel V0 constant alors que la face d’équation y=L est reliée à la masse. Donner l’expression du champs de vecteurs densité de courants volumiques, noté 𝑗(M) au sein du milieu conducteur. b) Tout en maintenant cette différence de potentiels, ce matériau est soumis à un champ magnétique uniforme et permanent de la forme 𝐵0 = 𝐵0 𝑢𝑥 . De quel signe vont être chargées les faces z=0 et z=a ? c) Une différence de potentiels notée UH apparaît entre les faces z=0 et z=a, telle que UH=V(z=a)‒V(z=0). Exprimer en régime permanent cette tension, dite tension de Hall en fonction de γ, V0, B0, a, L, n et e. Proposer des applications pour l’effet Hall. Exercice 9 : (CCP) Un piston adiabatique de section S et d’épaisseur nulle, peut se déplacer sans frottement dans un compartiment parfaitement adiabatique isolé thermiquement. Il est relié, par une tige indéformable, à une barre rigide de résistance négligeable. La barre repose sur 2 rails conducteurs et peut se déplacer sans frottement. L’ensemble { piston, tige, barre} a une masse m. Le circuit, formé par les rails et la barre, est plongé dans un champ magnétique uniforme. On déplace légèrement le piston de x0 par rapport à la position d’équilibre de départ où tout est au repos. 1) Prédire physiquement le mouvement du piston puis établir l’équation régissant son mouvement. On supposera que les lois s’appliquant aux phénomènes réversibles sont valables. 2) Exprimer la forme de la tension u(t) aux bornes de la résistance fermant le circuit. On ne cherchera pas à exprimer les constantes d’intégration. Donner l’allure de la courbe, après avoir déterminé les grandeurs caractéristiques. AN : L0=1m ; S=100cm² ; x0=1cm ; l=10cm ; B=0.1mT ; R=100 ; P0=1bar P0 P0 T0 T0 V0 -L0 R l U V0 0 x L0 Exercice 10 : (CCP) On considère une barre de masse m et de longueur l pouvant coulisser librement sans frottement le long de deux rails orientés suivant 𝑒𝑦 . Le champ de pesanteur est représenté par 𝑔 = 𝑔𝑒𝑥 . Un condensateur de capacité C est monté sur un circuit parallèle à la barre métallique (MN) (voir figure). C 𝑒𝑦 x 𝐵 M 𝑒𝑥 1.a) En s'appuyant sur la loi de Lenz, donner le sens du courant induit dans la barre métallique. 𝑑𝑣 b) Par deux méthodes différentes, déterminer l'expression de cette intensité en fonction de C, m, l et 𝑑𝑡 . Vérifier ainsi que le sens du courant est conforme à ce qui était prévu à la question précédente. 2. Calculer l'accélération de la barre (MN). Exercice 11 : (CCP) On fixe un cadre conducteur à un ressort vertical de longueur à vide l0 et de raideur k. L'autre extrémité du ressort est fixée au plafond en O. Le cadre est carré de côté a, et le ressort est fixé au milieu d'un côté. La résistance du cadre est R. On note (Oz) l'axe descendant. Le cadre est plongé dans un champ magnétique perpendiculaire au plan du cadre de norme B=B0(1−αz). Le mouvement du cadre est plan et on néglige l'auto-induction. On tire le cadre vers le bas de δ depuis la position d’équilibre. Le mouvement est oscillatoire. Décrivezle. N Exercice 12 : (CCP) On considère deux OPPM polarisées selon Oz, de même amplitude 𝐸0 , de même pulsation , en phase en O à t=0. Elles se propagent dans le vide, dans le plan xOy, leurs vecteurs d'onde faisant un angle respectivement  et - avec Ox. 1.a) Déterminer le vecteur d'onde de chacune des deux ondes. 1.b) Exprimer le champ électrique 𝐸 (𝑀) de chacune en un point quelconque de l'espace. 2.a) Calculer le champ résultant de la superposition de ces deux ondes. Structure de l'onde résultante et vitesse de phase ? 2.b) Exprimer 𝐵 (𝑀). 3.a) Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting. 3.b) Si  est dans le domaine visible, qu'observe-t-on dans les plans xOz, xOy, yOz ? Exercice 13 : guide d’ondes (CCP) Des plans métalliques parfaitement conducteurs sont en y=0 et y=a. On suppose 𝐸 = 𝑓 𝑦 cos 𝑡 − 𝑘𝑥 𝑒𝑧 1) A l'aide de l'équation de propagation, déterminer f(y). 2) Déterminer l'équation de dispersion. 3) En déduire la vitesse de phase vφ et la vitesse de groupe vg.