modèle simplifié de l'auto-génération du champ magnétique terrestre le champ magnétique terrestre remonte probablement à l'origine de la Terre elle-même, et serait dû aux mouvements de convections de matériaux conducteurs en fusion dans le noyau; actuellement orienté du Sud vers le Nord à la surface de la Terre, il a subi de fréquentes inversions au cours des âges, dont on peut voir les traces en étudiant les propriétés de certaines roches. On se propose d'étudier ici un exemple de "dynamo homopolaire" (Larmor 1919, Bullard 1955, Rikitake 1958, Robbins 1977 ) qui permet d'en interpréter certaines caractéristiques, quoique l'origine en reste obscure. rayon HK = a le disque (D) conducteur, de moment d'inertie J, est soumis à un couple extérieur Γ et tourne à la vitesse angulaire ω(t) ; un contact sans frottement en K assure le passage du courant, et on admettra que tout se passe comme si le courant circulait de H vers K en suivant un rayon ; r r r le bobinage traversé par I(t) sera représenté ici par une seule spire (S) qui crée au niveau du disque un champ B = B z u z + B r ur ; l'ensemble du circuit possède une résistance R et une inductance L réparties, non représentées sur le schéma. on rappelle la définition du coefficient d'inductance mutuelle M (on ne cherchera pas à le calculer) : Φ S→ D = ∫∫ ( D) r r B.dS = a ∫ B 2πrdr = MI z 0 r 1. en supposant qu'un courant circule dans le système, il existe un champ magnétique B au niveau du disque en rotation; r exprimer le champ électromoteur E m en un point du rayon HK; exprimer la fem induite eHK en fonction d'une intégrale , puis donner le résultat en fonction de ω, M et I . 2. faire le schéma équivalent du circuit et donner l'équation électrique (1) correspondante 3. exprimer la force de Laplace élémentaire agissant sur un élément dr du rayon HK, le moment de cette force élémentaire par rapport à Oz, puis le moment résultant des forces agissant sur le rayon HK en fonction de M et I. 4. écrire l'équation mécanique (2) associée au dispositif. 5. en faisant apparaître les puissances électriques et mécaniques mises en jeu, faire apparaître le terme de couplage électromécanique, dont on précisera la signification, et établir le bilan de puissance de l'ensemble. (on rappelle que l'énergie emmagasinée dans une inductance est LI²/2) 6. montrer qu'une solution stationnaire (I = cte et ω = cte) peut exister à condition que R, ω et I prennent des valeurs particulières RC, ωC et IC ; donner les relations existant entre ces valeurs. Cette solution convient-elle pour le champ magnétique terrestre ? 7. le modèle plus élaboré de Robbins, couplant plusieurs dynamos et introduisant du "bruit" dans les paramètres a montré que le courant pouvait présenter des fluctuations et s'inverser spontanément et aléatoirement : en quoi se rapproche-t-on davantage du champ magnétique terrestre? _______________________