Mon CV - Graphiste Charlène

TSI 1 - Lycée Pierre-Paul Riquet
MECANIQUE - TRAVAUX DIRIGES N° 2
Dynamique du point matériel
Exercice n°1 :
Exercice n° 2 :
Une fusée balistique, assimilée à un point matériel M de masse m, est mise
Un solide supposé ponctuel de masse m est déposé à
l’extrémité supérieure de la ligne de plus grande
pente Ox d’1 plan incliné d’1 angle par rapport à
l'horizontale, sans vitesse initiale. On note H la
distance de ce point O au plan horizontal et g
l’accélération de pesanteur. On note f le coefficient de
frottement solide.
à feu à la surface de la Terre, avec une vitesse
v 0 faisant un angle  avec
l’horizontale. On fera une figure dans le plan de tir défini par ( g , v 0 )
ramené au trièdre (O ; i , j ) où i est unitaire suivant l’horizontale et
unitaire suivant la verticale ascendante.
Le champ de pesanteur
j
g est supposé uniforme (g = 9,81 m.s-2).
1) On néglige en première approximation la résistance de l’air.
a) Etablir l’équation de la trajectoire.
b) Exprimer la portée OC puis la flèche AH (A point d’altitude
maximale, H sa projection sur l’horizontale) en fonction de v0,  et
g. Calculer la portée maximale et la hauteur maximale alors
atteinte si v0 = 1 km.s-1.
c) Ecrire l’équation vérifiée par l’angle de tir  pour que la trajectoire
passe par un point B de l’espace de coordonnées (xB, yB).
Calculer  pour xB = 73,2 km et yB = 19,6 km si v0 a la valeur
précédente.
2) On tient compte maintenant de la résistance de l’air, opposée à la
vitesse de la fusée : f = - km v avec k constante positive et k<< 1.
a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse.
b) Projeter puis établir les équations paramétriques x (t) et y (t) du
mouvement de M.
c) Sachant que pour v0 = 1 km.s-1 et  30°, la fusée atteint le sommet
de sa trajectoire au bout d’un temps t0 = 46 s, déterminer k puis
l’équation de l’asymptote verticale de la trajectoire de M et enfin la
vitesse limite de M.
On admet que pour x<< 1 : ex = 1 + x/1! + x2/2! +… (On se limite au 2nd
ordre).
O

x
A
1) Quelle est la condition sur le coefficient f de frottement pour que le
solide commence à glisser à t = 0.
2) En supposant la condition précédente réalisée, exprimer la vitesse au
point A. (Refaire cette question avec le TEC ou le TEM, plus rapide!)
Exercice n° 3 :
On considère un ressort de raideur k et de longueur
au repos l0, dont les extrémités sont reliées à un point
fixe O et à un point matériel M de masse m. On
suppose qu’il n’existe pas de frottement sur le plan
incliné. Soit un axe Ox sur le plan incliné (voir la
figure).
1) Déterminer l’abscisse xe du point M à l’équilibre en fonction de l0, m, g,
k et 
2) A partir de la position d’équilibre, M est déplacé d’une distance d
comptée algébriquement sur Ox et lâché sans vitesse initiale. Etablir
l’équation horaire x (t) en fonction de d, k, m et xe.
H
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Exercice n° 4 :
Un jeune esquimau s’élance du sommet de son igloo de forme
hémisphérique de centre O, de rayon r, avec une vitesse v0 tangente à la
sphère et contenue dans le plan vertical passant par O. Il glisse le long sur
le toit sans frottement.
Le rayon de l’igloo est r = 2 m et g l’intensité du champ de pesanteur vaut
9.8 m.s-2. On repère la position de l’esquimau par  l’angle entre la
verticale et la droite passant par le centre de l’igloo et l’esquimau.
1) Projeter la RFD dans la base la plus appropriée.
2) Multiplier par la dérivée temporelle de  l’équation différentielle
obtenue selon
u . Résoudre l'équation obtenue.
2) Etablir l'équation horaire z(t) lorsque M est entre B et C.
3) En déduire la hauteur totale de chute zc. (Refaire cette question avec le
TEC ou le TEM, plus rapide!)
Exercice n° 6 :
Une tige rectiligne horizontale (OX) tourne autour de l’axe (Oz) à la vitesse

angulaire constante    en restant dans le plan (Oxy). Un anneau M de
masse m est enfilé sur cette tige et peut y glisser sans frottements. A un
instant quelconque, la rotation de la tige est repérée par l’angle (t) et la
position de l’anneau sur la tige par r (t )
 OM .
3) En déduire la réaction R du support sur l’esquimau en fonction des
données du problème. (Refaire cette question avec le TEC ou le TEM, plus
rapide et plus facile !)
4) Montrer qu’il existe un angle limite au delà duquel l’esquimau décolle.
5) Pour quelle vitesse v0 l’esquimau décolle-t-il dés le départ ?
Exercice n° 5 :
Un sauteur à l’élastique modélisé par un point
matériel M de masse m = 70 kg, tombe depuis un
pont, en A, avec un élastique accroché aux pieds.
Pendant les 20 premiers mètres de chute
(jusqu’en B), l’élastique n’est d’aucune utilité et le
sauteur est donc en chute libre. A partir du point
B, l’action de l’élastique est modélisable par un
ressort, de masse négligeable, de longueur à vide
l0 = 20 m et de raideur k = 120 N.m-1. On néglige
tous les frottements.
On suppose le référentiel terrestre (O ;
ex , e y ,
ez )
galiléen et g l’intensité du champ de
pesanteur vaut 9.81 m.s-2.
1) Déterminer la vitesse du sauteur en B. (Refaire
cette question avec le TEC ou le TEM, plus rapide!)
A l’instant t = 0, l’anneau démarre du point M0 sans vitesse initiale par
rapport à la tige repéré par les coordonnées polaires (0) = 0, r(0) = r0.
Le mouvement de M peut être étudié soit dans le référentiel terrestre


R’ 0 ; e , e , e . On néglige les frottements de l’air.
R 0 ; e x , e y , e z , supposé galiléen, soit dans le référentiel lié à la tige
r

z
1) Peut-on appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans R’ ?
Justifier.
2) Quelle est la base la plus adaptée à l’étude du mouvement de M ?
3) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par r.
4) La résoudre.
5) En déduire l’expression de la réaction de la tige sur l’anneau en
fonction de t.

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