MP 2014-2015 Parc des loges Exercices : magnétostatique 1 Champ créé par un solénoïde inni Un solénoïde circulaire est constitué de N spires (N ≫ 1) de même rayon R, de même axe Oz , réparties régulièrement le long d'un cylindre de longueur ℓ et de même intensité I. On étudie le modèle limite d'un solénoïde inni nc'est-à-dire qu'on néglige les eets de bord. On admet que le champ magnétique est nul à l'extérieur du solénoïde. 1. Déterminer le nombre de spires n par unité de longueur présentes sur le solénoïde. 2. Déterminer en tout point de l'espace le champ magnétostatique créé par le solénoïde. 3. Evaluer le champ magnétique produit par le solénoïde au CERN. ℓ=13 m, N=2120, I=19500A, µ0 = 4π.10−7 H.m−1 . Savez-vous pourquoi la température du solénoïde est de -267◦ C ? 2 Cartes de champ 1. Retrouver par application du théorème d'Ampère le champ créé par un l inni parcouru par une → intensité I selon − uz . Tracer l'allure des lignes de champ dans un plan perpendiculaire au l. − → → On constate le long de l'axe des abscisses x que le champ B est de la forme B(x)− uy . Tracer l'allure de la fonction B(x). 2. On a tracé par simulation numérique deux cartes de champs magnétiques créés par deux ls rectilignes innis perpendiculaires au plan de la gure. Pour chacun des deux cas, • Déterminer les plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de courants. En déduire une relation entre les intensités traversant les deux ls. • Que peut on dire du champ magnétique en O, P1 , P2 , P3 et P4 ? − → → − • On constate le long de l'axe des abscisses que le champ B est de la forme B(x)uy . Tracer l'allure de la fonction B(x) (on s'aidera de la première question). 3 Moment magnétique atomique Un électron de charge −e = −1, 6.10−19 C et de masse m = 9, 1.10−31 kg décrit dans une représentation classique une trajectoire circulaire d'axe Oz et de rayon r autour de Oz . On admet que son moment cinétique h où h est la constante de Planck et vaut 6, 6.10−34 J.s. par rapport à O est, selon l'axe z , Lz = 2π Calculer le moment magnétique associé à ce mouvement orbital de l'électron. 1 Exercices : magnétostatique 4 Cylindre avec cavité sphérique 1. Déterminer le champ magnétique créé par un l inni de rayon R parcouru par une densité volumique − → → de courant uniforme j = j − uz selon l'axe du cylindre. 2. Retrouver le cas du l inni en faisant tendre R vers 0. − → −−→ 3. Ecrire le champ à l'intérieur du cylindre en fonction de j et OM. − → → − → 4. Un cylindre d'axe − uz et de centre O1 est parcouru par une densité volumique de courant j = j uz . Ce cylindre contient une cavité cylindrique vide de courant, de centre O2 . vide − → j O2 O1 En appliquant judicieusement le théorème de superposition et la question précédente, déterminer le champ magnétique dans la cavité. 5 Mesure du champ magnétique terrestre − → Un boussole assimilable à un dipôle magnétique de moment dipolaire M est libre de tourner autour de l'axe ∆ = Oz . On note J son moment d'inertie par rapport à ∆. → − → Elle est plongée dans un champ magétique uniforme B = B− ux . On néglige tout frottement. − → B z − → M θ x 1. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle d'interaction entre le dipôle et le champ. En déduire les positions d'équilibre et étudier graphiquement leur stabilité. 2. On éloigne la boussole de sa position d'équilibre stable d'un angle faible θ0 , sans vitesse initiale. Déterminer l'équation diérentielle du mouvement et résoudre en utilsiant les conditions initiales. − → − → → − 3. On rappelle que la boussoule est soumise à un couple Γ = M ∧ B . Retrouver l'équation diérentielle précédente. 4. Comment évaluer le champ B ? 5. Tracer l'allure du portrait de phase. 2