Mr :Khammour.K Année scolaire : 2013/2014 Série de

Mr :Khammour.K
Année scolaire : 2013/2014
4ème Math
Tél : 27509639
Série de révision :
Similitudes + Intégrales +Primitives
Exercice n°1 :
Soit ABC un triangle rectangle en B de sens direct tel que AB=3cm et BC=4cm.
1) Soit f la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C.
a) Déterminer l’angle et le rapport de f.
b) Soit H le projeté orthogonal de B sur (AC).Montrer que H est le centre de f.
2) Soit D=f(C).Montrer que D appartient à la droite (BH) puis construire D.
3) Soit g la similitude indirecte qui envoie A sur B et B sur C. On désigne par le
centre.
a) Montrer que
.
b) Soit E=g(C). Déterminer
.Construire alors E.
c) Préciser la nature de gog .Montrer que appartient à (AC) et à (BE).
d) Construire alors et l’axe de g.
Solution :
1) f la similitude directe telle que f(A) = B et f(B) = C.
a) Soit l’angle de f et k son rapport.
On a f(A) = B et f(B) = C donc :

.

b) Soit H le projeté orthogonal de B sur (AC). On note H’ le centre de f.
f(A) = B et f(B) = C donc :

appartenant au demi-cercle de diamètre [AB]
contenant H.

appartenant au demi-cercle de diamètre [BC]
contenant H.
Et comme f(B) B donc H est le centre de f.
2) D=f(C)
or
donc
Ainsi
.
3) Soit g la similitude indirecte telle que g(A) = B et g(B) = C. On désigne
centre de g.
a)
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le
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donc
et
sont deux similitudes indirectes qui coïncides en deux points
distincts donc elles sont égales.
.
d’où la construction de E.
b)E=g(C)
c) gog est une homothétie de centre
 gog(A) = g(B) = C, d’où
 gog(B) = g(C) = E, d’où
d)
g(
et de rapport
.
.
et g(A)=B
bissectrice intérieure de l’angle
, où k est le rapport de g.
est donc la droite qui porte la
.
Exercice n°2 :
Soit
1) Calculer
et
et
pour tout n de IN.
.
2) Montrer que pour tout
.
3) Montrer que pour tout n de IN on a :
Solution :
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1)
(Intégration par partie)
2) Pour tout
(Intégration par partie)
.
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3) Démonstration par récurrence.
 Pour n=0
=
(Vrai)
 On suppose que
Montrons que
.
On a
Rappel:


Conclusion:
Pour tout n de IN on a:
Exercice n°3 :
On considère la fonction f définie sur ]-1,1[ par
f sur ]-1,1[ qui s’annule en 0.
1) a)Calculer la dérivée de la fonction
déduire que pour tout x de ]-1,1[ H’(x)=0.
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.Soit F la primitive de
,pour tout x de ]-1,1[ et
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b)Déduire que F est une fonction impaire.
2) On pose
a)Calculer
et déduire
b)Trouver alors F(
et F(
.
.
Solution :
1) a)
+
b)On a :
or H(0)=0 donc k=0 ainsi que H(x)=0
et par suite F(-x)=-F(x) alors F est impaire .
2)
a)
=1.
=t+k or U(0)=F(sin0)=F(0)=0 donc k=0 et par suite U(t)=t.
b) F(
F(
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.
.
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