PCSI 2 Régime libre en mécanique REGIME LIBRE EN MECANIQUE I Portrait de phase On considère le portrait de phase d’un oscillateur amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à une force ! !de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide − fv ( v étant la vitesse de la masse m et x est l’écart à la position d’équilibre). L’étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. € € 1) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur. 2) Déterminer par lecture graphique : - la valeur initiale de la position xo ; - la valeur finale de la position xf ; - la pseudo-période T ; - le décrément logarithmique δ. 3) En déduire la pulsation propre ωo, le facteur de qualité Q de l’oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide f. π 1 Indications : ω = ω 0 1− et δ ≈ si Q >>1. 2 Q 4Q Réponse : xo = 3 cm ; xf = 0 ; T = 315 ms ; δ = 0,63 ; ωo = 20,05 rad.s-1 ; Q = 5 ; k = 201 N.m-1 ; f = 2 N.m-1.s € € II Essieu avant d’un véhicule On modélise l’essieu avant d’un véhicule à l’aide de deux ressorts de raideur k et de longueur à vide lo. m/2 Une masse m/2 égale à la moitié de la masse du véhicule est posée dessus. ! ! On travaille dans le référentiel terrestre Rg(O, ez ) supposé galiléen ( ez vertical vers le haut). z ! Le seul mouvement étudié est le mouvement vertical selon l’axe (0, ez ). € On suppose les roues indéformables (de rayons constants). € ez -1 Données : m = 1 t ; k = 19 000 N.m ; lo = 40 cm. € 1) Montrer que ce dispositif est équivalent à un unique ressort dont on déterminera les caractéristiques. roue O Rg 2) Le véhicule étant à l’arrêt, on enfonce la masse m/2 de 5 cm (à cet instant z = zo) et on la lâche à t = 0. a) Ecrire l’équation différentielle du mouvement. b) Déterminer la solution. c) Déterminer l’accélération maximale. Réponse : constante de raideur 2k et longueur à vide lo ; ε˙˙ + 4k ε = 0 avec ε = z – zeq ; z(t) = zeq + ( zo – zeq ) cos ωot ; 3,8 m.s-2. m € 2014 – 2015 1/4 PCSI 2 Régime libre en mécanique III Etude des vibrations d’élongation de la liaison de covalence O-H dans une molécule d’alcool 1) Molécule isolée On modélise une molécule d’alcool R-O-H isolée (en phase gazeuse par exemple) par l’oscillateur ci-contre. RO H Le support fixe représente le groupe R-O, le ressort (de longueur à vide lo = dOH) représente la liaison de covalence entre les atomes O et H, l’atome H étant représenté par un point matériel de masse mH. On considère que l’atome H est mH k, lo astreint à se déplacer sur un axe x’x, et on néglige tout phénomène de frottement. x a) Quel argument permet de considérer que R-O est fixe ? b) L’alcool considéré est capable d’absorber une onde électromagnétique dont la fréquence ν est égale à sa fréquence de résonance νo. Déterminer la raideur k du ressort en fonction de mH et νo. Application numérique : calculer k en sachant que la longueur d’onde λo absorbée est donnée par 1/λo = 3600 cm-1 (cette unité étant celle qui est utilisée habituellement). On donne la célérité de la lumière dans le vide c = 3,00.108 m.s-1 et mH = 1,67.10-27 kg. Dans quelle région du spectre électromagnétique se situe cette absorption ? 2) Molécule engagée dans une liaison hydrogène La molécule précédente est maintenant située à ROH+ proximité d’une autre molécule identique. R On suppose qu’il y a donc une liaison hydrogène entre l’atome H+ de la molécule précédente et mH k, lo l’atome O- de la molécule voisine. Dans un x liaison Omodèle très simplifié de cette liaison, on ne va hydrogène considérer que l’influence électrostatique de l’atome O- de la molécule voisine, molécule que H+ l’on supposera fixe. Pour les applications numériques, on prendra par la suite k = 750 N.m-1 et δ = 5,7.10-20 C. a) Quel est l’allongement Δl de la liaison de covalence O-H (modélisée par le ressort) dû à la présence de la molécule voisine ? Application numérique : calculer la valeur de Δl et montrer que cet allongement est négligeable par rapport à la longueur dH = 0,17 nm de la liaison hydrogène. On donne εo = 8,85.10-12 F.m-1. b) Quelle est la nouvelle valeur de la longueur d’onde λ’o absorbée par l’alcool ? Détailler le raisonnement suivi et préciser les approximations éventuellement faites, en les justifiant si besoin a posteriori. Application numérique : donner la valeur 1/λ’o en cm-1. Comparer avec 1/λo. δ δ δ δ δ δ δ Réponse : k = 4π2mHνo2 ; Δl = δ2 ; 1/λ’o = 3527 cm-1. 4 πε o kd H 2 € un ressort de masse nulle, de longueur à IV On considère vide lo = 25 cm et de constante de raideur k = 80 N.m-1. Il est placé sur un plan incliné d’un angle α = 60° par rapport à l’horizontale. L’extrémité supérieure de ce ressort est fixée à un support immobile ; à l’opposé se trouve un point matériel M, de masse m = 0,2 kg, se déplaçant sans frottement sur le plan incliné. On repère par x l’élongation du ressort par rapport à sa position d’équilibre sur le plan incliné. On prendra g = 10 m.s-2. (k, lo) x g M (m) α 1) Déterminer la longueur du ressort à l’équilibre. 2) Etablir l’équation différentielle du mouvement en x(t). 3) On note respectivement xo et x˙ o l’élongation et la vitesse initiales. a) Etablir l’équation horaire x(t) = xm cos ( ω t + ϕ ) ; on exprimera xm, tan ϕ et ω en fonction des données du problème. b) Etablir l’équation horaire x(t) = A cos ωt + B sin ωt ; on exprimera A, B et ω en fonction des données du problème. 1 1 4) Montrer que l’énergie € mécanique du système s’écrit E = mx˙ 2 + kx 2 si l’on choisit la constante de telle façon que l’énergie 2 2 2014 – 2015 € 2/4 PCSI 2 Régime libre en mécanique potentielle soit nulle à la position d’équilibre. On pourra utiliser ce résultat pour la suite même s’il n’a pas été établi. 5) On considère les conditions initiales suivantes : xo = 0,1 m et x˙ o = - 2 m.s-1. a) En déduire l’équation horaire x(t). b) Calculer la vitesse à l’instant où l’élongation s’annule. 6) On considère les conditions initiales suivantes : Eco = 0,5 J et Epo = 0,5 J. € Calculer l’élongation maximale par rapport à l’équilibre dans ce cas (on choisira la constante de telle manière que l’énergie potentielle soit nulle à la position d’équilibre). Réponse : le = 27,165 cm ; ˙x˙ + k x=0 ; ω= m € € V Modélisation d’un oscillateur ⎛ x˙ ⎞2 x˙ k x˙ ; x m = x o 2 + ⎜ o ⎟ ; tan ϕ = − o ; A = x o ; B = o ; ± 2,83 m.s-1 ; 15,8 cm. ⎝ ⎠ ωx o ω m ω € € € € € ! Soit un point matériel de masse m, en mouvement dans le champ de pesanteur g uniforme. 1) Etude énergétique d’un oscillateur ! a) Définir l’énergie potentielle associée à une force F . Pour une force de rappel élastique de constante k, déterminer l’expression de l’énergie potentielle en fonction de l’écart x à € la position d’équilibre, à une constante additive près. b) On considère un mouvement conservatif de m sur l’axe horizontal Oy, autour d’une position d’équilibre Yo, avec l’énergie potentielle Ep(y) = Eo + α (y-Yo)2, où α est une constante positive. Etablir l’équation différentielle du mouvement et en déduire € qu’il s’agit d’oscillations harmoniques dont on précisera l’expression de la période. c) Application : considérons le dispositif horizontal de la figure suivante. m y Les ressorts sont identiques, de raideur k et de longueur à vide Lo, tandis que les points d’attache sont distants de 2Lo. Exprimer Ep(y) si y désigne l’écart à la position d’équilibre, et calculer la période T o des oscillations de m si m = 200 g et k = 40 N/m. d) On envisage d’un frottement fluide d’intensité proportionnelle à la vitesse de m par rapport à l’axe du ! l’existence ! mouvement : F = −βmv où β est une constante positive. Donner la dimension ou l’unité SI de β. e) Etablir l’équation différentielle du mouvement. Quelle est la valeur numérique maximale de β permettant les oscillations de m? € 2) Modélisation d’un dispositif expérimental a) On dispose d’un banc à coussin d’air rectiligne (Ox), incliné par une cale de hauteur h d’un angle α par rapport à l’horizontale, selon la figure ci-dessous. Sur ce banc, un aimant est fixé à l’origine O, et un autre aimant, de masse m, est fixé sur un palet mobile sans frottement : Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement. La possibilité pour m d’osciller ! autour d’une position d’équilibre résulte de la compétition entre la répulsion électromagnétique, réduite à une force notée F , prépondérante lorsque les aimants sont proches, et le poids, qui devient prépondérant lorsque la distance augmente. Faire un bilan des forces à l’équilibre sur un schéma. b) Sans connaissances préalables en électromagnétisme, on cherche dans la suite à vérifier si la force électromagnétique agissant € 2014 – 2015 3/4 PCSI 2 Régime libre en mécanique ! ⎛ x ⎞n ! dans cette expérience peut être modélisée par une loi de la forme : F (x) = k ⎜ o ⎟ ex , avec k > 0 et n entier naturel. Exprimer ⎝ x ⎠ dans cette hypothèse la position d’équilibre xe en fonction de xo, k, m, g, L, h et n dans le cas des petits angles (h<<L). NB : cette approximation sera toujours utilisée dans la suite. c) On mesure xe pour différentes cales, puis on représente Ln(h) en fonction de Ln(xe/xo). En prenant xo = 1 m, déduire des mesures ainsi représentées ci-dessous les valeurs de n et k. € On donne : L = 120 cm ; m = 189 g ; g = 9,81 m.s-2. valeurs correspondantes : ln(xe / xo) ln(h) – 2,19 – 4,61 – 2,39 – 3,91 – 2,56 – 3,22 – 2,63 – 2,81 – 2,73 – 2,53 – 2,76 – 2,30 – 2,81 – 2,12 d) Exprimer littéralement l’énergie potentielle totale Ep(x) de m, à une constante additive près, en fonction de x, xo, k, m, g, L, h et n, puis en fonction de x, xo, xe, k et n seulement. e) Lorsqu’on se limite à des oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre, on rappelle qu’on peut utiliser 2 2 x − x e ) ⎛ d E p ⎞ ( ⎜ ⎟ pour l’énergie potentielle un développement de Taylor d’ordre 2 : E p (x) ≈ E p ( x = x e ) + . ⎜ dx 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠x= x e 1 2 En déduire une expression de E p (x ≈ x e ) sous la forme : K ( x − x e ) + cste ; le détail de la constante additive n’est pas 2 demandé, mais on exprimera la constante K en fonction de xe, xo, k et n. € f) Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultante des forces subies par m équivaut à une force de rappel élastique dont on précisera la constante de € raideur équivalente. g) Toutes choses égales par ailleurs, montrer que la€période T des petites oscillations autour de l’équilibre est proportionnelle à une puissance de h que l’on déterminera ; en déduire une méthode de mesure de n que l’on décrira succinctement. m m 8k 2α 2α 2k 2k 2 ; ˙y˙ + ; ˙y˙ + βy˙ + ; y= Yo ; E p (y) = k ( y − Lo ) ; T o = 2π y= Lo ; β max = 2α 2k m m m m m ⎛ x ⎞n kx n 1−n ⎛ kL ⎞1/ n mgh kx o n 1−n n −n−1 -6 ; n = 4 et k = 2.10 N ; ; E (x) = x + x + Cte = k x e = x o ⎜ ⎜ o ⎟ + o x + Cte ; K = knx o x e ⎟ p L n −1 n −1 ⎝ mgh ⎠ ⎝ x e ⎠ € € € n +1 € € € − 2n T proportionnelle à h . € € Réponse : T = 2π € 2014 – 2015 4/4
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