An application of Euler Formula (オイラーの特性式の応用) (p.96) (オイラー・ポアンカレの特性式: 連結な平面グラフなら，|F| − |E| + |V| = 2). 定理 4.8: 単純な平面グラフ G = (V, E) において，|V| ≥ 3 ならば， |E| ≤ 3|V| − 6 である．つまり，辺の数 |E| は高々3|V| − 6. (まず，次の図で確かめてみる！) Topics in Graph Theory (グラフ理論における幾つかの話題) f1 f2 f3 |E| = 7, |V| = 9 |E| = 8, |V| = 5 f4 f5 f6 |E| = 10, |V| = 6 1 3 How to know it is Planar? (平面グラフの判定) v1 v5 v4 v2 K5 v3 v1 v2 v3 v1 v2 Degree of a face (面の次数) v3 K3,3 f1 f2 f3 v4 面の境界にある辺の数を面の次数といい，deg と書く． (頂点の次数は既に定義済み) K5 と K3,3 は両方とも平面グラフではないが，その判断は容易であるか？(K3,3 は完全二部グラフ (complete binary graph) という.) 上の例：deg(f1) = 3, deg(f2) = 6, deg(f3) = 7. 面の次数に関する事実確認： K5 は平面グラフではないの判断：まず 3 つの頂点とそれらを繋ぐ辺を書く,. . . 面の次数の総和は辺の数の 2 倍である: deg(f1 ) + · · · + deg(f|F| ) = 2|E|. (どの辺も次数にちょうど 2 回を数得る) 連結な平面グラフなら，|F| − |E| + |V| = 2 (オイラーの特性式). 使用注意事項. 頂点 3 つ以上をもつ連結な単純平面グラフにはどの面の次数も 3 以上である？Yes! 2 4 Look back on K3 and K3,3 (K3 と K3,3 に戻る) A proof to Theorem 4.8 (定理 4.8 の証明)(p.132) K5 単純な平面グラフ G = (V, E) において，|V| ≥ 3 ならば，|E| ≤ 3|V| − 6. Proof: 連結なグラフに対する証明のみで十分．連結な G の面の集合を F とする． |V| ≥ 3 なので，どの面 fi ∈ F も, deg(fi) ≥ 3 である． fi ∈F |E| ≤ 3|V| − 6? どう使うか？ (単純平面グラフ → |E| ≤ 3|V| − 6) ⇔ (|E| > 3|V| − 6 なら，平面グラフではない) 理由：deg(fi) = 2 である有界な面 fi をもつグラフは単純グラフではない. その fi が有界でないと，|V| = 2 になるので，|V| = 3 に矛盾する． 2|E| = K3,3 K5: |E| = 10, 3|V| − 6 = 15 − 6 = 9. |E| > 3|V| − 6 ので，平面グラフではない！しかし，K3,3 は平面グラフではないが (証明は別途) deg(fi ) = deg(f1 ) + · · · + deg(f|F| ) ≥ 3|F|. |E| = 9, 3|V| − 6 = 18 − 6 = 12. |E| ≤ 3|V| − 6 を満たす！ 5 Kuratowski Theorem (定理 4.9) (p.97) A proof to Theorem 4.8, part 2 (定理 4.8 の証明)(続き) 2|E| = fi ∈F 7 2 deg(fi ) = deg(f1 ) + · · · + deg(f|F| ) ≥ 3|F|. よって， |E| ≥ |F|. 3 K5,K3,3 を含むグラフは平面グラフではないが，平面グラフである必要十分条件はないか?← Kazimierz Kuratowski (1896-1980)．グラフの細分: 次のグラフ G/J はグラフ H/K5 の細分 (subdivision) であるしかし，連結な平面グラフなら，|F| − |E| + |V| = 2. 代入すると， v1 v5 1 2 |E| ≥ 2 + |E| − |V|, つまり，− |E| ≥ 2 − |V|. 3 3 v4 v2 これより，|E| ≤ 3|V| − 6 v1 v5 v4 v2 v3 H を得る．Q.E.D. v1 v5 v4 v2 v3 G K5 v1 v5 v4 v2 v3 J v3 明らかに，G が平面グラフなら，その細分も平面グラフ． 6 8 Kuratowski Theorem (定理 4.9) (p.97, 証明なし) Fermat’s Last Theorem and Open Problems (フェルマーの大定理と未解決問題) 定理 4.9: G が平面グラフである必要十分条件は Fermat’s Last Theorem (フェルマーの大定理): (1637) G が K5 または K3,3 の細分を部分グラフとして持たない． j f f e a n > 2 の整数に対して，xn + yn = zn となる xyz = 0 の自然数 x, y, z がない. a 同型グラフ b d (Pierre de Fermat, (1607.12(1608.1)?-1665.1.12), フランスの数学者) e a g c i g b d g c b d h i g c h Solved by Andrew Wiles (1953-) in 1995. Princeton. c d K3,3 h a b h Goldbach 予想 (1742): 任意の偶数 n(n > 2) に対して, 二つの素数の和で n を表すことができる．例：12 = 7 + 5. n2 + 1 が素数であるような n は無限個ある．例：5 = 22 + 1, 37 = 62 + 1, . . . 9 11 Graph Coloring (色彩問題) Open Problems (未解決問題) グラフにある隣接の頂点を異なる色で色塗りすることを色彩という． p と p + 2 の両方が素数であるような p が無数個ある．例：3, 5; 13, 15; . . . b c a d e B A C E D 3x + 1 予想：f(x) を次にように定義する： x/2, x が偶数 f(x) = 3x + 1, その他 b a G c d e すると，任意の正整数 x に対して，次の f(·) を繰り返す使うと， H 最終的に f(f · · · (f(x) · · ·) = 1 になる！双対グラフ：H が G の双対グラフである (p. 114) 地図の 4 色塗り問題 (1850s-1976): どんな地図でも，4 色以下で色彩できる．壮大かつドラマ的な歴史：Alfred Kempe, 1879, (1890 まで認められた) ; Kenneth Appel and Wolfgang Haken, 1976. 10 例：f(13) = 39 + 1 = 40, f(40) = 20, f(20) = 10, f(10) = 5, f(5) = 16, f(16) = 8, f(8) = 4, f(4) = 2, f(2) = 1. グラフ同型判定問題，P と N P 問題 12