2.5 平面性(pp. 41

組合せ最適化 - 理論とアルゴリズム
2.5 平面性 (pp. 41 - 49)
本日のお品書き
1. 平面的グラフの定義
2. オイラー (Euler) の公式
(a) ジョルダンの閉曲線定理 (定理 2.30)
(b) オイラーの公式 (命題 2.31, 定理 2.32)
(c) 平面的グラフの辺の数と平面的グラフでないグラフ (系 2.33, 系 2.34)
3. クラトウスキー (Kuratowski) の定理 (定理 2.39)
(a) マイナーの定義
(b) 補題 2.36 Tutte の車輪定理 (Tutte’s wheel theorem) の心
(c) クラトウスキーの定理 (3-連結平面的グラフの場合 → 3-連結でない場合)
1. 平面的グラフの定義
注意：本節では，無向グラフについて扱う．
定義 2.28
• 単純ジョルダン曲線 (simple Jordan curve): 単射連続関数 ϕ : [0, 1] → R2 の像．また，ϕ(0) と ϕ(1)
を両端点と呼ぶ．
• 閉ジョルダン曲線 (closed Jordan curve): ϕ(0) = ϕ(1)，かつ任意の 0 ≤ τ < τ 0 < 1 で ϕ(τ ) 6= ϕ(τ 0 )
となる連続関数からなる ϕ : [0, 1] → R2 の像．
• 折れ線 (polygonal arc): 有限個の直線分 (区間) からなる単純ジョルダン曲線．
• 多角形 (polygon): 有限個の直線分からなる閉ジョルダン曲線．
• 連結領域 (connected region): ある同値関係のもとでの同値類
J を有限個の直線分の和集合とし，R = R2 \ J とする． R の 2 点 p, q が R の内部のみを通る折れ線
で結べるとき，そしてそのときのみ，p と q は関係がある，とする関係．
定義 2.29 単射写像 ψ : V (G) → R2 と各辺 e = {x, y} ∈ E(G) に対応する両端点が ψ(x), ψ(y) である折れ
線 Je の集合を考える．このとき，どの辺 e でも
(
(Je \ {ψ(x), ψ(y)}) ∩ {ψ(v) : v ∈ V (G)} ∪
∪
)
J e0 = ∅
e0 ∈E(G)\{e}
が成り立つとき，Φ = (ψ, {Je : e ∈ E(G)} をグラフ G の平面埋め込み (planar embedding) という．グラ
フが平面埋め込みを持つとき，平面的 (planar) であるという．
関数と折れ線の集合の組 Φ = (ψ, {Je : e ∈ E(G)} をグラフ G の平面埋め込みとする．平面から点と折
(
)
∪
れ線をすべて除去した領域 R := R2 \ {ψ(v) : v ∈ V (G) ∪ e∈E(G) Je } は Φ の面 (face) と呼ばれる連結
な開領域に分割される．
1
2. オイラーの公式
定理 2.30 (ジョルダンの閉曲線定理: Thomassen, 1981) J を直線分の集合とし，R = R2 \ J とする．
• J が多角形のとき，R はちょうど二つの連結領域に分割され，かつ領域はいずれも J を境界に持つ．
• J が折れ線のとき，R は 1 つしか連結領域を持たない．
定義外面 (outer face): 平面埋め込みされた平面的グラフの面のうち非有界のもの
命題 2.31 グラフ G を 2-連結な平面的グラフとし，平面埋め込み Φ = (ψ, {Je : e ∈ E(G)} をもつとする．
• どの面も境界は閉路となり，どの辺もちょうど二つの面の境界上にある．
• 面の数は |E(G)| − |V (G)| + 2 である．
定理 2.32(Euler 1758, Legendre 1794) 任意の連結な平面的グラフ G と任意の平面埋め込み Φ = (ψ, {Je :
e ∈ E(G)} に対して，面の数 r は |E(G)| − |V (G)| + 2 である（式 r = |E(G)| − |V (G)| + 2 をオイラーの
公式と呼ぶ）．
定義グラフ G の内周 (girth): G の閉路の長さの最小値．
系 2.33
k
• G が 2-連結単純平面的グラフ，かつ，G の内周が k =⇒ |E(G)| ≤ (n − 2) k−2
．
• G が 3 点以上の単純平面的グラフ =⇒ |E(G)| ≤ 3n − 6．
系 2.34 K5 と K3,3 はどちらも平面的グラフではない．
3. Kuratowski の定理
定義 2.35 G と H を無向グラフとする．H のある部分グラフ H 0 と H 0 の点集合の連結な部分集合への分
˙ k が存在して，H 0 の各 V1 , . . . , Vk をそれぞれ 1 点に縮約すると G に同型なグラフ
割 V (H 0 ) = V1 ∪˙ . . . ∪V
になるとき，G は H のマイナー (minor) であるという．
言い換え：H から 3 つの操作：点を除去する，辺を除去する，辺を縮約する，を繰り返し施して G が得ら
れるとき，G を H のマイナーであるという．
補題 2.36 (Tutte の車輪定理の心) (Tutte 1961, Thomassen 1980) 5 点以上の 3-連結グラフ G は，G/e
が 3-連結となるような辺 e を含む．
定理 2.37 (Kuratowski 1930, Wagner 1937) 3-連結グラフ G が平面的である．⇐⇒ G が K5 と K3,3 のど
ちらもマイナーとして含まない．
補題 2.38 (Thomassen 1980) G は 3-連結でない 5 点以上のグラフであり，K5 と K3,3 のいずれもマイナー
として含まないとする．すると，新しい辺 e = v, w を加えたグラフ G + e が K5 と K3,3 のいずれもマイ
ナーとして含まないようなある隣接しない 2 点 v, w ∈ V (G) が存在する．
定理 2.39 (Kuratowski 1930, Wagner 1937) 無向グラフ G が平面的である．⇐⇒ G が K5 と K3,3 のどち
らもマイナーとして含まない．
定理 2.40 (Hopcroft and Tarjan 1974) 与えられたグラフに対して，平面的かどうか判定し，平面的なら
ばその平面埋め込みを与える線形時間アルゴリズムが存在する．
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