多くの学生を苦しめる数学者の遺産れが自然数の「数学原理」となる発想がなかったからであ 1. 解析学の夜明け ∼近代数学の幕開け∼ ろう。実数というものは、数直線に小数が目盛られていて、大 19 世紀に学校教育のカリキュラムが整備されていく中で昔からあったように思われがちであるが、せいぜい 16 世紀は、数列や級数は、しばしば代数の一部に位置づけられ、せ末のオランダのシモン・ステヴィン (1548{1620) あたりかいぜいが微積分の予備段階に留まってきた。しかしそれはらである。当時はオランダが商業経済の中心であって、イ、数量化の思想的底流として、解析学の歴史を流れて現代ンドネシアに進出しており、日本にもオランダ商館が作らにいたっている。れるのも、そうした背景があった。そして本国ではプロテ微積分の成立のためには、世界を理解しようとの、スコラスタント系貴族を中心に、カトリックのスペイン帝国に対哲学以来の思想的伝統とともに、商業経済のもたらした、数して独立戦争が戦われていた。列や級数の数値解析が、基礎にならなければならなかった。やがて経済の中心はイギリスに移り、ここでもクロムウェ 2. アルキメデス ∼枠にはまった無限∼ ルの革命がおこる。カトリックの王はヨーロッパ大陸へ亡命する。そしてイギリスでは数値計算を中心として、級数微積分は、ニュートンやライプニッツの以前にも、ガリの研究が盛んとなった。それはニュートンによる微積分のレオやケプラー以来の歴史があり、中でもケプラーが回転成立へ向けて、 17 世紀解析学の底流をなすものであった。体の体積の計算をしたり、パスカルが積分の変数の変換を n 日目の経済量 x をはかることは、 n が連続変数の時間考えたことなどがあるが、さらにその淵源を尋ねると、ギ t となると、関数 x(t) を解析することになった。そしておリシャの数学者、中でのシチリアにいたアルキメデス (前そらくその背景には、小数点以下 n 桁までの小数が無限小 287?{212) に、微積分の発想を見出すことができる。数として実数を近似していくことがあった。ライプニッツその超技術者ぶりは、プルタークに出ているが、これはの微積分の記号法にしても、数列と級数の記号法が基礎にちょっと信じがたい。ローマの軍艦を鉄の角で海底に突きなった。刺したり、鉤で吊り上げて岩にぶつけたり、鏡で太陽光線そこには、世界を数量化しようとする 17 世紀の時代精を集めて遠くの歓待を燃やしたり、といった調子である。神があり、その金字塔として、ニュートンの「自然哲学のまた一方では、入浴中に発見したことに、「ユリイカ (わ数学原理」がある。同じ背景のもとに、社会科学に関してかった) ！」と叫びながら街頭を裸で走った話も有名であはウィリアム・ペティの「政治算術」がある。る。もっとも、これと矛盾するようだが、ものを考え出す自然数を記述するのに、微積分があまりにも成功したたと風呂に入らなかったという説もあり、無理に風呂に入れめに、数学は自然科学の言語となって、連続変数の解析がて油を塗ると、それに線を引いて幾何を考えはじめたとも主流となった。とはいえ、 18 世紀や 19 世紀の解析学者たいう。ちは、いつも数列と級数に立ち戻ったものである。どうも、この 2 つのタイプの逸話は、とても信じられなそして現代、コンピュータの発展は、また新たな様相をい技術の持ち主か、まったくの世俗性を持たない真理への与えている。まずそれは、数値解析のあり方を根本的に変貢献者とういように、ドラマチックに誇張したきらいがあえた。数値的に処理するかぎりは、数列や級数として処理る。いまに残っているアルキメデスの書簡はむしろ生活者するよりない。そしてまた、数理経済学数理生物学では、 n の抑制のきいた文体である。しかし、ローマ軍がシラクサ年目の生産や n 年目の個体数のように、連続変数でない場に侵入したとき、図形をかいて考えていて、兵士に殺され合の重要性が認識されるようになってもいる。たことによって、歴史物語に名をとどめている。「わしの図形からどけ」とわめいたとの説もある。なお、 17 世紀から 18 世紀にかけての日本の和算は、数列や級数の研究において、ヨーロッパ数学に匹敵するレベそれはともかく、アルキメデスの発想には、確かに後代ルに達していた。しかし、それが連続変数の解析として微の微積分につながるものがあった。しかし、そのことはま積分につなげることはなかった。そのことはおそらく、そた、ギリシャ数学の正統から離れることでもあり、アルキ江戸時代の日本では、和算という独特の数学が発展した。和算家という人たちもいたらしいが、イメージ的には俳諧師とか、囲碁・将棋の勝負師のような一種の芸人だったらしい。日本各地の神社に幾何学模様の描かれた絵馬が掛けられていたりするが、当時は難問を解いたときに、その問題と解答を「算額」といわれる絵馬にして神社に奉納する習慣があった。難問を解いて神社で公開することは、当時の芸人としての宣伝効果も高かったようである。その絵馬の中には数列や級数を駆使して解かれたものもあり、和算のレベルの高さがうかがえる。 1 メデス自身、このことを苦にしていた。そもそも、無限と帝都プラーハの帝室天文台で軌道計算に熱中していた時期いった発想は、ギリシャ数学のタブーだったのである。ギだけが、安定していたといえるだろう。当時の皇帝は、占リシャにあっては、有限の世界に完全な調和をもって万物星術と錬金術に打ち込んだルドルフ 2 世で、ケプラーは皇はあらねばならなかった。ガリレオやケプラーが降伏せね帝の占星術師だったのである。ばならなかったのも、そうしたギリシャ的制約だったのでもっとも妻は神経を病んでやがて病死、 2 児が残されてある。いる。皇帝は死んで、帝室俸給は支払われなくなる。再びこの時代は、ギリシャといってもアレクサンダー大王の数学教師と占星術とで生活すべく、各地を放浪せねばなら没後の時代の東地中海一帯だが、その時代のギリシャ数学ない。再婚した妻との間には 40 歳代の間に 8 人の子をつの高揚は、ギリシャ数学の限界を突き破る域に達していた。くってしまった。それになにより、ケプラーの母親が魔女アルキメデスにしても、そうしたギリシャ数学の矛盾を先の嫌疑で検挙されたので、母を救うための法廷闘争に身を鋭に体現していたのである。学問がある発想の枠組で成熟ささげなければならなかった。し、やがてはその枠組を突破することがある。時代が成熟しかも当時のドイツは 30 年戦争の戦火のもとにあった。していれば、それは学問の転換の契機になるだろう。ケプラーも一時、ワレンシュタイン将軍の占星術師をつとただし、ギリシャ数学の場合、アルキメデスの時代で、そめたことがある。魔女の一家として村八分に近い状態となっの矛盾は凍結されてしまった。ギリシャ数学正統は、それた大家族を養うためにも、戦火の中を占星術師として放浪から数世紀にわたって、精緻に学問の花を咲かせるのではしなければならなかったのである。こうして 50 歳代をほあるが、 17 世紀のヨーロッパまで、その問題が論ぜられるとんど旅に過ごした老占星術師は、だれも知る人のいないことはなかった。旅路に、その一生を終えねばならなかった。しかし、この占星術師の神秘的数学主義が、近代の出発 3. ケプラー ∼宇宙と数学を結びつけた占星術師∼ となった。やがてニュートンがケプラーの法則を力学に体円錐曲線の研究は、遠くギリシャのアポロニウスにさか系だてる。パスカルやフェルマーの幾何学は円錐曲線にはのぼるが、その意味が大きくなったのは、ケプラーが楕円じまるし、樽の体積についてのケプラーの研究は積分への軌道を発見してからであろう。それ以前では、星というも道を歩み始めている。近代数学のはじまりにたつ神秘派ののは完全な円に従って永遠の循環をなすべきであり、ケプ占星術師、それがケプラーだった。ラー自身、その観測が楕円を示していながらも、一生、円にこだわり続けている。 4. パスカル ∼精細すぎる美青年∼ ヨハネ・ケプラー (1571{1630) は、南ドイツの出身、父は財産をなくして傭兵 (ようへい) となっていて、修道院から神学書生への道を歩んだ。コペルニクス派の影響を受け確率の数学的考察は、賭博に長じていた 16 世紀の魔術ていたゆえか、僧職につくことはできず、生活は数学教師師数学者カルダノに始まるが、１ 7 世紀のパスカルになっと占星術師の 2 本立てである。この当時では、数学と占星て世に知られ、ヤコブ・ベルヌーイから、近代数学の流れ術というのは、べつに矛盾するものではない。そして、神秘のひとつになっていく。的数学的宇宙論とでもいったものがケプラーの関心で、ガブレーズ・パスカル (1623{1662) は租税官の家に生まれリレオにも著書を送っているが、ケプラーほどに神秘主義た。父もデカルトなどと同じネルセンヌのサロンの一員で者でもなく、数学にも取り付かれていなかったガリレオは、数学上の業績もある。このころには行政知識人層が社会、冷たい態度だったようである。的に重要な地位を占め始め、デカルトもパスカルもそうしケプラーは信心深い新教徒だったのだが、新教の町ではた階層の出身で、サロンを中心に交流していたのである。パ新教徒から追害されがちだし、旧教の町では旧教徒から迫スカルの数学的早熟はサロンの評判で、彼の円錐曲線論を害されがちで、一生を安楽に過ごしたことはなかった。たみたデカルトは、それが 16 歳の少年のものであるとは信だ、 30 歳代の数年間、ティコ・ブラーエのあとを継いで、じなかったという。世紀のイタリアでは、数学師たちが方程式の術を競い合っていた。方程式の術は何故か魔術師の看板芸だったようである。次方程式の術を編み出したタルタリアは、その秘術をカルダノに奪われたことに怒って挑戦したが、カルダノの弟子の青年フェラリが、次方程式の術で老タルタリアを返り討ちにした。近代ヨーロッパの分析学のはじまりをデカルトに見るものもいる。しかし、本人はいたってグウタラな人間だったようで、朝寝坊でゴロゴロと考えごとをするのが常だったらしい。ところが、スェーデンの早起きの若い女王が、朝寝坊のデカルトを起こしたため、彼は風邪をひいて死んでしまったという。マンガのような話である。 2 もっとも同時はフロンドの乱などもあって、パスカル家ガリレオの死んだ 1642 年にニュートンが生まれたといもそれほど安泰ではなく、計算機の発明への苦労もあってわれるが、当時のイギリスは旧暦であって、ニュートンの、パスカルはその一生を病身で過ごした。もともと神経質生まれた旧暦の 1642 年のクリスマスというのは、ヨーロッであったし、姉や妹への愛情も少し病的なところがあった。パ大陸のほうの新暦では 1643 年の正月である。当時はまだ、ヨーロッパといっても、国ごとに暦すら違っていた。真空についての実験も 20 歳代の前半だが、実験の数値には偽造の跡がある。図太いデカルトならば、数値なしですアイザック・ニュートン (1643{1727) は、月足らずの未熟ませたろうが、ともかく数値を付けずにおけないところが児として生まれた。誕生前に父は死んでいて、母は彼を残パスカルである。して再婚したので、ほとんど父母を知らずに過ごした。父神経をいやすために医者のすすめで社交界に出入りするを失い、母を奪われた心の傷が、彼の性格を作ったとも言ようになったのは 24 歳のときである。当時の社交界に賭われている。博はつきもので、そのときの問題から確率論がはじまる。幼児から機械づくりや錬金術に興味をもっていて、そのフェルマと文通して議論したりして、確率の問題が微積分好みは晩年までおよんでいる。ケンブリッジ大学では給費の問題に発展した。ニュートンやライプニッツの以前の段生で、寮の雑役をして寮費の免除を受けていた。この頃に階、パスカルやフェルマの時代の微積分は賭博に起源を持っ恋愛をしたという説もあるが、一生を「女嫌い」で過ごすている。こととなる。 22 歳の頃には科学の最先端に達しているが、このころは宗教上の争いの時代であって、パスカルの属このころはペストが流行して大学が閉鎖されたり、ロンドしたのはポール・ロアヤル派で、これが 18 世紀にはフランに大火が起こったりで、ニュートンは故郷へ帰って、リンス文化の主流になるのだが、このころはまだイエズス会ンゴの木を眺めながら暮らすことになる。このときに微積派に弾圧されていた頃である。 30 歳の頃に馬車の暴走か分学と力学を構想し、引力と天体運行の法則とを導出したら奇跡的に助かったのを機に、パスカルはこの宗派活動に身を捧げることになる。これ以後の著作「田舎人への手紙」という。かつてケプラーは天体の運行を法則化し、ガリレオは物体落下を法則化したのだが、ここで天と地も、 1 つも「瞑想録」も、そして数学論文もすべて変名で書かれての「数学原理」として考えられるようになったのである。いる。そして孤立の中で、宗派幹部の妥協に反発して尖鋭 26 歳でケンブリッジの教授、 30 歳で王室協会に入る。王になっていき、弾圧を逃れて隠れていた姉の家で淋しく死室協会といっても、カトリックの王が帰ってきたので、大学んだ。なお、ヤコブとヨハンのベルヌーイ兄弟はライプニッツを離れたプロテスタント系科学者が、王の許可をとってはの同伴者で、微積分の事実上の完成者だが、兄弟は仲が悪じめた在野団体で、知識人サークルのよなものである。そくて、いつも数学上の争いをしていた。確率論で有名なのはの中心人物は、 7 歳年上のフックで、彼とニュートンは終、兄のヤコブの方で、兄が死んだ後で、ヨハンが 18 世紀生、憎しみあい論争しあう。後年にニュートンが王室協会前半のヨーロッパ数学界に君臨するようになるのだが、その会長になったとき、最初にしたのは論敵フックの痕跡をれはまた別の話である。完全に消去することだったという。パスカルというと、どちらかというと宗教者ないしは文カトリックの王とケンブリッジとの対立の中で、ニュート学者のような資質と考えられやすいが、その数学は鋭く堅ンは政治づいて、名誉革命後は国会議員になるのだが、さ固だった。ライプニッツがその微積分学を完成したのも、パらに政治的地位を求めて親友ロックとの不和、精神錯乱のスカルに学んでであった。いろんな資質の数学者があるもきざしがある。やがて、造幣局長官となり、ニセ金を追放すのだ。確かに、人間とは「考える葦 (あし) 」であった。詩るが、アイルランド収奪のもとをくったろもいわれている。人で数学好きの美少年といえば、女性に受けそうな気もす王室協会の会長となっては、かつてのサークルの儀式的権るが、パスカルはまさにそうで、幾何学の精神と繊細な精威で固め、自らは真紅の部屋に閉じこもっていたという。神を兼ね備えていた。彼を愛した女性はみな尼さんになっこの間も論争は続き、ベルリン学士院長ライプニッツとた。か、グリニッジ天文台長フラムティッドとか、すべての知性を敵とし、知的最高権威を一心に集めずにはすまなかった。 5. ニュートン ∼ゆがんだ大天才∼ パスカルは奥様キラーとして有名であるが、数学少年にもっとも憧れられる数学者というのもいる。ガロアである。学生運動から革命に走り、牢獄の中で新しい数学を思考し、出獄後に女性のための決闘によって命を失った。歳の若さであった。決闘前夜に「もう時間がない」としたためた数学的遺言が、「ガロア理論」として後の数学の流れを変えることになった。 3 一方、ユニテリアンの異端神学に没頭し、錬金術の実験をのだが、このころオイラーは、ベルリンのフリードリッヒ深夜に行うことも一生続いた。大王によばれる。ときに 33 歳、それからの最盛期をベルリンで過ごすことになる。しかし、籍はなおロシアにあったそして 84 歳で死んだときは、もう論敵はだれも生きてらしい。やがて、 7 年戦争でベルリンは、オーストリア・いなかった。経済学者のケインズは、ニュートンのことをロシア連合軍の騎兵の蹄鉄に荒らされることになる。ロシ「最後の魔術師」とよんでいる。アはエカテリーナ女帝の時代、 59 歳のオイラーは再びペ 6. オイラー ∼多産な大数学者∼ テルブルクへ移り、死ぬまで孫に囲まれて暮らした。数学者の中でもっとも多産といわれたオイラーの遺産は 16 世紀に小数が市民権をうるようになるとすぐに、その、数学のどの分野にも「オイラーの定理」として顔を出し加法と乗法を媒介するものとして、対数が生まれた。それている。もっとも、オイラーの時代は生真面目な証明などは 0 の個数として、いわは桁数が小数表示するものだからしなくても、計算を背景に定理を洞察するだけで、数学者である。そこには、何人かの数学者の名が上げうるが、中は満足していた。 19 世紀になって、証明が重視されたのはでもスコットランドのジョン・ネピア (1550{1617) の功が、もはやオイラーのようにはやれなくなったからでもあっ大きい。これも 16 世紀から 17 世紀にかけて、数量的世た。そのため、オイラーの遺産を整理するためには、後世界の成立の一幕であった。複利計算表は対数表に変えられの数学者が彼の定理を証明しなければなく、失明してしま、天文計算にそれはなくてはならないものになった。うほど生産し続けた数学的遺産は、彼の死後 200 年たってしかし、その意味は計算に留まるものではない。指数的も整理しきれず、その全集が完成していない。そして多くな変化は、自然の基本法則であり、やがて微積分の形成にの学生が彼の遺産に泣かされることになった。力をつくしたのは、スイスのペルヌーイ兄弟だが、それを完成したのは、弟のヨハン・ベルヌーイの弟子だったレオ 7. ダランベール ∼波動と三角関数の融合∼ ンハルト・オイラー (1707{1783) である。指数関数とならぶ重要な関数である三角関数を、指数関数と結合させた三角関数は、天体の「円運動」や、三角形を計算するものもオイラーである。オイラーは、現代につながるあらゆのとして生まれ、中性イスラムで天文学に使われながら発る分野の礎石をつくり、豊富な数値計算による洞察は、 19 展したが、近代になってその重要性が高まったのは、それ世紀以後のような論理的な証明つけなかったにも関わらず、が波の現象を表すものだからである。とくに 19 世紀にな基本的につねに正しい結果に到達した。オイラーのようにると、それは、弾性波や電磁波の解析にはなくてはならな計算力も洞察力もない後世の人間たちは、証明によってオいものとなった。それは、 18 世紀のダランベールの弦振イラーの結果の正しさを確認している。そして、おそらく動の解析にはじまる。ヨハン・ベルヌーイの息子のダニエは計算の過労によって、 28 歳で右眼の視力を失い、 64 歳ル・ベルヌーイや、オイラーと共に、その問題は大きな話には両眼ともに視力を失うだが、それでも数学を生産し続題となり、またその表現問題が、近代的な関数の概念の確け、計算をしながら孫と遊んでいたオイラーが「もう死ぬ立への契機にもなった。当時のフランスは、宮廷サロンの時代である。宮廷の貴よ」といって死んだのは、 76 歳のときであった。 18 世紀のヨーロッパは、文化先進国であるフランスのパ婦人たちの間では、「英国の赤い星」ニュートンがアイドルリについで、新興国のプロシアのベルリンと、ロシアのペであり、その「数学原理」を翻訳したのは、ヴォルテールテルブルク、今のレニングラードとが新しい文化の中心だっの恋人のシャトレ夫人でだった。た。しずれも、ライプニッツの手によって、アカデミーのジャン・ルロン・ダランベール (1717{1783) は、そのサつくられたところである。当時の数学界に君臨していたヨロンの貴婦人タンサン夫人の子、ジャン・ルロン教会の石ハン・ベルヌーイは、二人の息子をペテルブルクに派遣し段にえい児は置かれていたので、ジャン・ルロンと名づけていたが、やがてオイラーもペテルブルクにいく。彼は 20 られ、実の父の砲兵将校デトーシュはダレンベルクとの名歳、ロシアはアンナ女帝の時代である。やがて、アンナがを与えたが、自分で勝手にダランベールと名乗った。そし死んで宮廷は陰謀が続き、エリザベータ女帝の時代になるて 20 歳代でサロンの寵児となり、そのころには一流の数ライプニッツの新しい数学、微積分を発展させたのは、ベルヌーイの若き兄弟、ヤコブとヨハンだった。ところが、この兄弟は仲が悪く、互いに自分のほうが数学ができると信じていた。争いあっていた兄が死んだあと、弟のヨハンはヨーロッパ数学界に君臨することになったが、イギリスのニュートン一門とも争い、ついには自分の息子のダニエルとも、流体力学の業績をめぐって争った。オイラーの国籍はスイスかロシアかドイツか、ラグランジュの国籍はイタリアかドイツかフランスか決めようがない。いまでも国籍不明の数学者がときどきいる。 4 学者だった。オイラーやラグランジュのように専門的数学歳のときに砲兵学校の教官をして、自分より年長の砲兵た者として多産ではないが、才気にあふれ、その多くは、 19 ちに数学を教えていた。 20 歳代ですでに数学の才能をヨ世紀数学を半世紀前に先取りしたものだった。エネルギーーロッパ中に知られていたが、胃腸が弱くて、典型的な無概念や極限概念はダランベールに始まるし、方程式論や関力体質であったらしい。当時のベルリンは、プロシアのフリードリヒ大王のもと数論で、 19 世紀が複素数の時代を開幕するに先立って、前で、サロン文化が栄えていたが、そこにいた大数学者のオ奏曲のファンファーレを奏でたのも彼だった。しかし彼は、数学者である以上に、サロンにあって、文化イラーが、ロシア女帝エカテリーナによってペテルブルクの指揮者でもあった。新興国の歩視亜のベルリン、ロシアに引き抜かれた後釜に推薦された。フリードリヒ大王はおっのペテルブルクは、熱心にダランベールを招請したが、彼とりしたラグランジュをオイラーより好んだようである。こは結局、ベルリンにはラグランジュ、ペテルブルクにはオの時期には、力学を体系だててハミルトンの力学系へと引イラーを配置した。そして、百科全書の刊行につくすことき継いだ「解析力学」を完成してもいるのだが、べつに力になる。その編集を引き受けたのは、まだ 30 歳のときでまずに、 40 歳代半ばで人生を達観したようなところが、ラある。グランジュの人柄である。フリードリヒ大王が死んでから「啓蒙主義」の時代の「百科全書」というと、雑多な知は、パリへよばれて、マリー・アントワネットの寵愛を受識を押し付けられるようなイメージになりかねないが、当ける。この人生を静かに語る 50 歳代の中老の数学者の言時のサロンの知識人としては、すべての学問をひとつ連環葉に、王妃は耳を傾けることが多かったという。ところがのなかにつらね、「なんでもわかってやろう」という、彼らフランス革命が起こり、知人の天文学者の家に身を隠すのの自身の知的どん欲さの表現としてあった。ときは産業革だが、そこの娘に慕われて結婚する。 30 歳も若い妻と連命前夜、技術専門家の分業体制以前で、職人の世界と知識れ立って舞踏会へと足を運ぶ 56 歳の老数学者の姿をパリ人の世界とが混ざり合っていた、「古きよき時代」のサロンの市民は目にしたのだろう。このころは、新生フランスのである。現代の専門家体制で、文化が透視にくくなってい文化の中心で、メートル法の制定に、新しい教育制度の発る中で、しばしば百科全書の精神の復権が説かれるが、そ足と、すっかり若返ってもいる。やがてナポレオンの時代、皇帝もまた、この洗練されたれがどのようにして可能かは、いまも課題としてある。物静かな老科学者と、世界や科学についての哲学を論ずるダランベール自身は、サロンの中にあっても、なかなか戦闘的であったようで、もともと無神論だったこともあっことを何よりも好んだ。フリードリヒ大王、マリー・アンて、イエズス会やカルバン派との争い、ルソーと喧嘩したトワネット、ナポレオン皇帝と、王侯のだれもに愛されたりもしている。ラグランジュであったが、彼自身の好んだのは、栄誉よりもむしろ静寂であったという。激しい時代に出会ったのに、 8. ラグランジュ ∼多くの人々に愛された数学者∼ 彼はいつも物静かに数学と哲学を語っていた。その激しい時代の主役たちが彼を愛したのは、そうした物静かさでも 1 次方程式は古代のバビロニアからあったが、連立 1 次あったろう。方程式が系統的に研究されたのは、中世の中国である。し 9. モンジュ ∼時代に流された幾何学者∼ かし、そこにある原理としての線形性が注目され出したのは、ラグランジュの線形微分方程式の研究あたりからにな 3 次元の空間を平面への投影で理解するために、平面図る。それは 19 世紀になって、ベクトルや行列が考えられると立体図面に分解することは、いまでは「図学」として設計ようになるための基盤でもあった。ジョゼフ・ルイ・ラグに利用されることが多いが、それを画法幾何として開発しランジュ (1736{1813) は、ヨーロッパを代表するオイラーたのは、フランス工兵学校で測量に従事していた平民出身と並ぶ大数学者だった。の少年だった。上官はこれを軍事機密とした代わりに、少年はやがてこの学校の教官となる。この少年が、ガスパーラグランジュは、サヴォイ公国のトリノ出身、当時のイル・モンジュ (1746{1818) である。タリアは国家としてまとまっておらず、北部のサヴォイが後年のイタリア統一の核になる。もっともラグランジュは、モンジュは刃物研ぎの行商の子で、宗教団体の学校に入るのだが、測量地図に感心した工兵学校によって、工兵学校デカルトと同じ家系というから、フランス系ではある。 18 次元の立体を見るために、真上からの平面図と真正面からの立面図とを組み合わせて立体の幾何を考ることが一般的である。いまでは中学の「図学」等で当たり前のように教わっているが、この作図法を発見したのがモンジュであり、フランスはこの作図法を軍事機密とした。彼はフランス革命で技術指導者として活躍したが、ナポレオン没落後は浮浪者になってしまった。 5 に入ることになったのである。フランス革命の前夜で、平数学のいろいろな概念が生まれた。ディレクの関数概念の民出身では将校の仲間にはなれないところだが、軍関係の定式化も、リーマンの積分の基礎づけも、カントルの集合技術者として過ごしていた。概念も、そこからはじまった。ところが 43 歳のときに革命が起こり、新政府の防衛でジャン・バチスト・ショゼフ・フーリエ (1768{1830) はは海軍大臣の要職につく。鉄砲関係は 47 歳の幾何学者モ、修道院に入る直前、フランス革命が起こり、この 21 歳のンジュ、火薬関係は 49 歳の化学者ベルトレが担当である。青年を若い闘志にしてしまった。僧院に入る前にと、書い新政府の教育改革にも力を尽くし、このころの微分式の研たばかりの数学の処女論文をパリに届けに行っていたとき究は、微分幾何学の創成期を飾ってもいる。のこと、運命というものは不思議なものだ。やがて 50 歳になると、ベルトレと二人で、将軍ナポレ 30 歳のとき、ナポレオンのエジプト遠征軍に加わり、エオンと行を共にするようになる。エジプト遠征のときにはジプト学士院に残されたが、以来彼は、偉大な文明は炎暑、モンジュたちの小船が襲撃されたとの報に、ナポレオンから生まれるという奇妙な信念を持つにいたった。それでが単騎救援に駆けつけたところ、モンジュは大砲を発射し、夏でも締め切った部屋で、体に真綿を巻きつけて、汗を続けていた。フランスへの帰国に際しては、万一イギリス流しながら数学を考えたという。そのテーマが「熱の理論」船に遭遇したときに船を自爆させるのがモンジュの役目でだったから面白い。グルノーブルの知事になって、政治的手腕もなかなかだっ、幸いと最初にフランス船に出会ったとき、モンジュはラたらしいが、そのころに熱伝導論を仕上げたものだが、炉ンプ片手に、船底の火薬庫にいた。ナポレオンが皇帝になってからは、伯爵で理工科学校校論敵に不十分だったので、それの完成に賞金がかけられ、の長、それでも常に口ずさんだのは革命家マルセイエーズでちにフーリエが学士院のボスになったときに、自分で賞金、この学校の進歩と自由の伝統は、モンジュによって開かを獲得している。しかし、フーリエの一生をいろどっているのは、政治的れた。しかしやがてナポレオンは没落して、モンジュも公職か激動期での行動である。ナポレオンがエルバ島に流されたら追放される。浮浪者の群れの中に、よろよろした足取りとき、フーリエはルイ 18 世に忠誠を誓って知事を続けていで、マルセイエーズを口ずさむ元数学者の老人があったとた。そして、ナポレオンがフランスに帰ってきたのに、自らいう。それでも彼が 72 歳で淋しく死んだときには、政府が馬を駆ってブルボン家に通報、グルノーブルに帰ってみる反対したにも関わらず、墓地へ花輪を捧げる理工科学校のと、もうナポレオンがいて、エジプト以来の仲で、またナ学生たちを留めることはできなかった。ポレオンに忠誠を誓う身となってしまった。そして、ナポ 19 世紀の数学は、数理物理学と幾何学が中心となり、そレオンの百日天下が終わって、さすがに知事のほうはあきれがまた理工科学校を中心としたフランスの伝統の一部とらめるが、セーヌの統計局長に納まっているのだから、よもなるのだが、それはこの学校の創始者モンジュの位置かほど行政手腕を見込まれたのだろう。もっとも、例の炎熱地獄で暮らしたせいか心臓を病み、らもきていよう。 19 世紀の数学では、純粋数学の隆盛といった表面が見られがちではあるが、理工科学校に発する 1830 年の政情騒然たる中で、それほど老人ともいえぬ 62 底流が脈うってもいた。歳で、フーリエは息をひきとった。熱と波とはずいぶん違いそうなものだが、フーリエの一こうした激しい時代には、その時代の流れを激しく生き生が熱と波の中にあったとはいえなくもない。以来、三角る幾何学者もまた、あったのである。関数というのは、円弧や三角形と離れて、数学の基本的素材と考えられるようになった。 10. フーリエ ∼世渡り上手な政治家∼ 11. ガウス ∼大数学者の日記∼ 三角関数は、三角形や円弧の問題から生まれたが、 18 世数学的な適正については、いろいろと考えられる。理論紀ごろには、弦の振動の解析に関係して、波を調べるために使用するようになった。熱の伝導の問題にそれを応用して、の堅固さ、強靭な計算力、本質への洞察、体系化への意思などが上げられるが、評価を受けている数学者がそれらを一般の関数を三角関数に分解したのはフーリエである。そのため、三角関数の級数のことをフーリエ級数という。もっすべて備えているとは限らない。ところが、それらすべてとも論理的にはフーリエの理論に不十分なところがあって、の点で卓越した数学者というと、まずガウスが上げられるが、ガウスは完璧主義で、論文が十分に成熟するまで発表 19 世紀の数学者たちは、その基礎づけに努力し、そこから 6 12. コーシー ∼論文のページ数を制限させた男∼ せず、若い数学者たちの仕事をすでに知っていたかのように無視しがちだった。しかし彼の死後、彼自身の日記の中で、確かにガウスがその高みに達していたことが確認され 19 世紀になって解析学は、極限の概念の確立の上にたったが、同時に、仮にガウスがいなかったとしても、人類は同て、厳密な論理に従うようになっていた。その意味で純粋じような数学を発想しえたことを証明するものでもあった。数学の幕を切ったガウスとコーシーは、純粋数学者のようヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス (1777{1855) はに思われやすい。ところが、当時は二人も数理物理学者と、まったく学問とは縁の無い職人の家に生まれたが、才能考えられていた。大学での職がともに天文台教授であったをブランシュワイク公に認められ、その庇護のもとに、 10 ことも面白い。そして、ともに保守主義者だった。歳代ですでに数論を中心に多くの業績をあげ、 20 歳代のオーギュスタン・ルイ・コーシー (1789{1857) は、フラ前半には方程式論の基礎定理や小惑星の軌道計算で、ヨーンス革命の中で生まれた。父はカトリックの王党派で、パロッパ中に知られていた。このブランシュワイク公というリ警察の主任警部をしていたので、革命から隠れて暮らさのは、フランス革命に反対する連合軍の司令官で、のちにねばならず、その不自由が彼に一生に渡る病身を約束した。アウステルチッツでナポレオンに敗北して死ぬ。そしでパナポレオンのクーデタ後、父は元老院書記の職を得、病弱トロンに死なれたガウスは、 30 歳からゲッチンゲン大学な数学少年のコーシーは、ナポレオンのサロンの科学者た天文台教授として職業に的に自立することになった。前半ちに可愛がられた。ラグランジュは、未来の大数学者にな性が 18 世紀風に貴族の庇護のもとにあり、後半生は 19 世るためには、若い間は文学にも親しむようにと忠告したと紀風に大学教授として職業的に自立するというのは、ガウいう。スの時代の位置を示してもいる。実際にその数学は、 18 世コーシーは工兵士官になってシェルブール要塞の建設に紀風に計算を基礎に洞察することと、 19 世紀風に理論体従事したのだが、ナポレオンの英本土攻略の夢は破れ、パ系を構築していくこととの、双方をかね備えていた。リに帰ってからは、数学者としての生活に入ることになった。 23 歳のときである。やがてソルボンヌ大学教授、新しそればかりか、 30 歳代では天文台で観測を重ね、 40 歳く解析学の基礎を確立したのは、 30 歳代の時代である。代では測量隊に参加して測地学を建設し、 50 歳代では電信機の製作にまでおよぶ電磁気学がある。数理物理学者で 1830 年には神権的なシャルル 10 世は追放されて「人民あるばかりか、観測家であり、実験家でもあった。それ自の王」ルイ・フィリップの時代になった。これは王党派の体が数学でもあり、観測誤差の理論は確率過程論の定礎と「厳密主義者」コーシーに受け入れがたいもので、王子の侍なったし、測量は非ユークリッド幾何を展望しながら、微積講となったのである。このころ、光の散乱の研究があるが幾何学の原型を作った。電磁気学はポテンシャル論のはじ、プラハの空は暗かった。神権的な王は、手を差し伸べるまりでもあり、 19 世紀理論物理学の最初を飾ってもいる。だけで病を癒すと信じられていたが、健康を害したコーシーを救うことはできなかった。この時期、若い数学者の業績に冷たかったとも言われるのだが、考えようによっては、自分の日記に秘められた数挫折してパリへ戻ったコーシーはもう 50 歳、ルイ・フィが宇賀時代に引き出されるのを見守っていたともとれなくリップとの関係は悪かったが、学士院はコーシーの数学論もない。毎日 1 時間ほどかけて新聞を読むのに前かがみに文の山に埋まることになった。それで 4 ページ以下の論文なっていたというこの老人の心の中は、他人にはその日記しか受け付けない、という習慣がいまに続いている。ここ同様に覗きえないものだった。ただその晩年、若いリーマでも、ルイ・ナポレオンのクーデタのあと、妥協が成立しンがガウスの思想をはっきり新しく展開させたのを聞いたて正式に天文台教授として安定することになった。王党派ときは、ひどく興奮したと伝えられている。 18 世紀からのくせに、 2 人のナポレオンのクーデタの後に生活が正常 19 世紀へと転換していく時代を、ひそかに見守って、この化しているところが皮肉である。神権的な王がパリに戻る保守的な老人は息を引きとった。それは、数学研究層が専ことはなかったが、コーシーのカトリック信仰のほうは終門家制度となっていく時代にあたっていた。つまり、時代生にわたって変わらなかった。身体の弱さと精神の固さとが、コーシーにあっては同居が 18 世紀から 19 世紀に転回していくその船首に、つねにしていた。ラグランジュの忠告が有効であったかはわから大ガウスが立っていたのである。 é 反転した Ä の場所を指すことになる。中学校で数直線を学ぶ。数直線上の点に Ä をかけると、その値はを基点としてにを回かけて Ä になるのであれば、を回だけかけたは é だけ回転することになる。従って、高校の複素平面では縦軸が虚数を表すことになる。この平面は「ガウス平面」ともよばれている。 7 ないが、コーシーが大数学者になったことには間違いない。ていた。 60 歳で死んだとき、この一人暮らしの老人の部時代には沿わなかったかもしれないが、それでも代数学者屋は、食べかけの羊の骨と、計算しかけの紙切れにに埋めにはなれる。それどころか、 19 世紀の数学における厳密尽くされ、足の踏み場もなかったという。そこには、かつ主義のように、ひとつの時代風潮をつくることさえできる。ての神童の栄光ではなく、孤独な老人が数学の夢にかけた執念の結末があった。時代の中で生きることと、時代をつくって生きることとの彼の四元数論はやがて海を越えた新興アメリカで、プラ関係は、微妙なところがある。歴史における進歩と反動とグマチズムのサークルの間で流行したものである。そのサは、なんであろうか。ークルは、今日のアメリカ哲学の源流となったし、その土 13. ハミルトン ∼神童の中の神童∼ 壌の上に、今日のアメリカ数学が築かれていった。 14. ワイエルシュトラス ∼遅咲きの高校教師∼ ベクトルは、力学の中で使われてきたが、それが決定的有効性を持つようになったのは、電磁気学の成立へ向けて、 19 世紀にあって、解析の神様といえばワイエルシュトラ電磁場のベクトルを解析することにあった。そして、それはスが上げられる。そのワイエルシュトラスが数学者として現代へ向かってもっと一般的な多次元の量を解析する手段知られたのは、 39 歳のときである。それまでの田舎の高へと発展した。そうした流れにあって、電磁気学を先取り校で、数学に国語に地理、そして体操まで教えていたのでしながら現代への道を開いたのは、アイルランドの数学者ある。、ウィリアム・ロウアン・ハミルトン (1805{1865) だった。カール・ワイエルシュトラス (1815{1897) は、ボン大学彼を神童とよぶのでなければ、世に神童なんて存在しなに学んでいたが、 4 年間に単位を少しもとらないで、ビーい。なにしろ 10 歳のときには、 15 カ国語を話し、しかもルと決闘に熱中していたという。それからミュンスター大その半数以上は東洋語だったという。ダブリンの大学で 22 学で教職単位をとって、 26 歳で高校教師になった。歳で学生であることをやめるのだが、それはこの大学の教教師をしながら数学を研究、やがてはベルリン大学長、と授になってしまったからである。いうと出世物語のようだが、田舎の高校教師の生活に充足そのときの業績は、光学に新しい原理を与えるもので、さしていたらしく、 41 歳でベルリン大学助教授になっても、らにその原理を力学系で考えようというのが、現代にいたむしろ田舎の生活を懐かしんでいたらしい。 19 世紀の半るハミルトンの力学系の理論になる。統計力学も量子力学ばというと、研究者が大学に職を持つ専門研究者体制が確もその上に築かれている。こうして 30 過ぎのハミルトン立した時期だが、彼はそれになじめず、論文を書きかけては、美しい妻をめとり、アイルランドのアカデミー院長と紛失することが多かったし、未発表の結果をどんどん他人なって、栄光の頂点を占めていた。に利用させていた。そうした人柄がかえって彼を学長にましかし、彼は数学にひとつの夢をもっていた。複素数 x+yi でしたのかもしれない。は、 2 次元のベクトルを (x; y) によって表すので、 2 次元彼は一生を独身で過ごしたのだが、その生涯に花を添えのベクトルの幾何になっている。彼は何とかして「 3 次元たのは、幅広の帽子にうるんだ瞳のロシア娘、ソーニャ・コの数」を見つけようと考えたのである。バレフスカヤである。このころのベルリン大学は女性の聴しかし、それはうまくいかず、愛妻は病んで、彼女を介講を許可しなかったので、 54 歳の老先生は週に一度、少女抱しながら、彼はアルコール中毒になっていった。を訪問し、 19 歳の少女は週に一回老先生を訪問した。 10 年間の不毛な思索のあとで、やっと啓示が現れた。 3 次ソーニャはロシア貴族の娘、世界で最初の女性の大学教元ではなくて、時間を入れた「 4 次元の数」 t+ ix + jy + kz 授として、 41 歳の人生の盛りで死んだ。その一生は、 15 を考えればよかったのである。これはハミルトンの四元数歳のときのドストエフスキーへの初恋から始まって、多くとよばれる。さらにその完成に 10 年、かつての神童も、もの恋にいろどられている。ベルリンに学んだときも、じつう 48 歳になっていた。は偽装結婚した「夫」とともに、ロシアを脱出したのだっ四元数は一時は熱狂的に迎えられ、やがて冷たくあしらた。それからも、ワイエルシュトラスのところから消えてわれた。いまでは、その位置づけは確定しているが、それ、姉とともにパリ・コミューンに参加したり、ロシアへ帰以上に、その理論を通して、ベクトルや行列の理論の先駆国しては詩と小説と劇作で売り出したり、やがてストックとなったことが、高く評価されている。しかし、彼は妻をホルム大学教授として社交界の花となったりした。最後の失い、中風となって、孤独な老人として暮らすようになっ恋人とイタリア旅行で別れた帰途、北に向かうソーニャの 8 胸を冬の寒風が襲った。あっけなく死んだ彼女の遺稿は一スに興じ、「詩の法則」というベスト・セラーをものにした篇の小説「ニヒリストの女」と題されていた。りしていたが、 61 歳のときに、アメリカに新設のジョンワイエルシュトラスは、長生きしたが、やがて病気がちズ・ホプキンス大学教授になり、一時は、ケイリーをよんとなった。決闘でならした体のしなやかさは消え、酒量もで旧友を暖める。アメリカ数学界は、直接的にはこの 2 人落ちた。 20 世紀にあとわずかの世紀末、悪性の感冒におによって開かれたのでもある。そして、シルヴェスターがそわれた。 81 歳だった。、本国イギリスで正式にオクスフォード大学教授になった彼は 19 世紀後半のドイツ数学界の指導者であり、特に若のは、 69 歳になったときである。彼の生涯はケイリー以い数学者たちへのよき理解者であったことでも知られてい上に奇妙で、弁護士として数学をつくり、隠居して詩をつるが、なにより、その人柄がよい。大学生としては大学生くったあとで、大学教授になる、といった具合になる。活を楽しみ、高校教師としては教師生活を楽しみ、大学教これはイギリス文化の持っていたいい意味でのアマチュ授としては研究生活を楽しんだ。その生活をありのままにアリズムが有効に作用してもいたろう。弁護士というのが、楽しむ以外、地位とか名誉とかへの欲望がまったく感じら知的職業の代表格で、そうした身分と無関係に、数学がなれない。結果として、最高の地位に達しはしたが、それはされていた。当時すでにドイツなどでは研究者の職業化が環境がそうさせただけだった。研究者が専門的制度となっ進んでいたのだが、イギリスの一種の文化的伝統が、こうた時期に、こうした人がいたというのは面白い。それに 40 したアマチュアリズムを支えてもいたのだ。そして産業革歳からでも数学者になれるというのがまたいい。命の先進国としての文化の層の厚みもあったろう。実際に 19 世紀前半のイギリスでは、アカデミックな形ばかりでな 15. ケイリーとシルヴェスター ∼マトリックスの世界∼ く、初等数学の教育にかかわっても、代数学の整備が市民レベルでなされていて、そうしたことも基盤になったはず行列 (マトリックス) の理論を展開したのは、 19 世紀イである。ギリスの 2 人の弁護士、アーサー・ケイリー (1821{1895) とジェイムス・シルヴェスター (1814{1897) である。 16. リーマン ∼パンドラの箱を開けた数学者∼ ケイリーはリッチモンドの商人の息子、ケンブリッジで数学を学び、若い数学者として出発した。ところが、 25 歳 2 年生で学ぶ積分は、「リーマン積分」と呼ばれている。のとき法学校に入り、法律家としての道を歩み始める。このときに一緒だったのが、 7 歳年上のシルヴェスターであリーマンがその基礎づけを試みたからである。ベルンハルる。彼はユダヤ人の息子で、ケンブリッジに数学を学ぶのト・リーマン (1826{1866) は、ナポレオン戦争で疲弊しただが、アメリカ移民だった兄を頼って渡米、兄は保険会社ドイツの寒村に貧乏牧師の子として生まれた。貧乏のためにいたので保険会計士になり、帰国して法学校に入ったのか、幼児期から虚弱体質であったという。牧師になろうとである。してゲッチンゲン大学に入ったのだが、やがて関心は物理こうして 2 人は弁護士事務所を開業した。ケイリー 29 学と数学に向かう。ドイツの大学生は、あちらこちらの大歳、シルヴェスター 36 歳のときである。そして本格的に学を移るのが普通で、彼もベルリン大学に通っている。や数学の研究を始めることになる。やがてシルヴェスターは、がてゲッチンゲンに戻ってからは、物理のウェーバーの助陸軍士官学校の数学教官に転身するが、ケイリーはなおも手となった。現代の数学者はアイデアの源泉をリーマンに弁護士を続けながら、数学者としてもっとも多産な時期を求めることが多く、それでリーマンは現代純粋数学の父の迎え、イギリス最大の数学者として知られるようになる。ように思われがちだが、彼はもともと数理物理学者なのである。そして、 42 歳の大数学者の弁護士ケイリーは、ケンブリッジ大学教授となって結婚する。数学者としての最盛期学位論文は関数論のリーマン面で、多様体論や位相幾何は弁護士時代の最後の数年にある。若い数学者が華やかなの起源とされている。さらに講師資格試験に向けて、ベル初業績のあとで、就職して結婚するのならば珍しくもないリンでディリクレに学んだフーリエ級数の基礎をまとめよだろうが、ケイリーはすでに、功なり名とげた身であった。うとした。これは死後に公表され、そこに「リーマン積分」シルヴェスターの方は、 55 歳で定年のあと、詩やチェがある。しかし、老ガウスが指定した題目は「幾何学の基世紀のイギリスには、産業革命の先進国のゆえか、アマチュアの科学者が多い。その代表格がこの人で、当時のイギリス数学界の頂点にあって、線形代数を建設した。ルイス・キャロルといえばだれでも「不思議の国のアリス」を連想しがちだが、この本のファンだった女王が、キャロルが書いた別の本を買い求めたら、数学書だったので大変驚いたとの話が残っている。実はキャロルもこの時代の数学者である。 9 礎」であって、それが一つの時代を画した。慎重なガウスけでは点数がとれないので、入学試験もあやうかった。放は、半世紀間にわたって多くのアイデアを隠し暖めていた心したようになって、他のことに手がつかなくなったようのだが、そのパンドラの箱がこの 27 歳の若者の手で開かである。そうした調子は終世変わらなかったので、アイデれるのに驚嘆したという。興奮のあまりに、帰路にドブにアのままに書いた論文が粗雑だという非難は絶えなかった。落ちて死期を早めたとの説まである。もっともリーマン 32 歳には理論物理の教授となり、天体力学の研究を通じの方も、物質的に恵まれず、その上に虚弱体質で、しばして、 20 世紀に発展することになった位相幾何学や力学系ば神経を病んだ。神経がおかしくなると、山中をひと月もの理論を用意した。なお、アメリカ数学界は、第二次大戦ほっつきあるいて、それでやっと回復したという。後にドイツの影響のもとに大発展するのだが、それ以前の 30 歳代で助教授からやがて教授になり、生活もようやくアメリカ数学界が本国フランス以上にポアンカレの影響を安定した。数理物理学での指導的地位が約束されていた。し受けたのは興味深い。ポアンカレの数学スタイルは、どちかし、病魔が彼をとらえ、 36 歳での結婚と同時に結核が発らかというと 19 世紀風の色彩が強かったにも関わらず、そ病した。ゲッチンゲンとイタリアを往復しながらの療養のれが 20 世紀になって発展する分野の源流になっているの日々が、彼の 30 歳代後半だった。そして 40 歳直前に 3 歳も不思議である。ともあれ、 19 世紀末に世界最大の数学者と思われ、第にもならない娘のことを気にしながら、リーマンは死んだ。微分と積分というのは、もともとは独立に生まれて、ど 1 回ボヤイ賞はポアンカレに与えられ、ドイツのヒルベルちらというと積分が先行していた。しかし、ニュートンやトは「ポアンカレほど多面的でなく専門分野が限定されてライプニッツの時代、積分を逆微分として計算することかいる」との理由で、第 2 回ボヤイ賞となった。その多面性ら、微分が先行するようになった。そしてダランベールかゆえに、ポアンカレを「最後の万能選手」とよんだ人もいらコーシーにかけて、極限の概念が成立することによってるが、 20 世紀になるとヒルベルトがそれ以上の多面性で、、微分を習ってから積分を習うという 19 世紀の微積分教「最後」などは存在しないことを証明した。といっても、そ育課程がつくられた。さらに理論的要請から、コーシーかの数学のスタイルの違いから、「ポアンカレが 19 世紀の幕らリーマン、そしてダランベールへという 19 世紀の数学を閉じ、ヒルベルトが 20 世紀の幕を開いた」と評した人もの流れの中で、積分論が確立していった。だから今でも積ある。それにしても、この 2 人の大数学者がともに、ボン分先行の教育課程を主張する人もある。一方、微分についヤリといった特徴を持っていたことは奇妙な暗合といえる。ての理論化は、これもリーマンに始まる多様対論として 20 20 世紀になってからのポアンカレは病気がちだった。1900 世紀に開花した。微分と積分の 2 つが絡まりあいながら、年の有名なヒルベルトの講演「数学の将来」のあと、 1908 数学の歴史をいろどっているところが面白いが、この歴史年にポアンカレの「数理物理学の将来」が予定されていたの中で最も美しい花を咲かせたのが、薄幸の天才リーマンが果たせなかった。そのころはむしろ、文章家として有名であった。である。幼時の文学好きが開花したのだった。 18. ヒルベルト ∼数学者への 23 の宿題∼ 17. ポアンカレ ∼ 19 世紀最後の万能選手∼ 数学というものでは、それがかなり昔につくられたもの決定論的法則と確率論的法則とは対立しそうに思えるがであっても、新しい時代には新しく構造化され、その姿が、現代の力学系の理論では、微分方程式論と確率過程論がよく見えるようになる。高校の数学の大部分は 17 世紀か交差している。その源流はポアンカレにさかのぼれよう。ら 18 世紀につくられたものだが、それらに照明をあてているのは 20 世紀の数学である。アンリ・ポアンカレ (1854{1912) は、ナンシーの医科大学教授の長男だが、ときどきボンヤリする変わった子供だっ 20 世紀の数学の形を生み出したのは、ダビッド・ヒルベた。幼時はむしろ文学好きで、数学に熱中しはじめたのはルト (1862{1943) とされている。彼はプロシアの美しい城 15 歳頃からという。計算はよく間違ったし、答案は粗っぽと橋の都ケニヒスベルクで生まれた。プロシアがドイツ帝かったので、試験の成績はよくなかったらしい。不器用な国へ歩み始めていた頃だった。ので、三角形を書いても歪んでしまったという。数学に関幼年は、どちらかといえば、ぼんやりした子だったらしするアイデアのひらめきは認められていたが、アイデアだい。大学時代の親友ミンコフスキーは 2 歳年下のユダヤ少曲面は、空間に存在する物のようなイメージがある。しかしガウスは、曲面も空間の中でつの世界を作っていると考え、曲面論を作った。さらにリーマンは、空間に曲面を含めるのではなく、曲面自体を独立した一般的な世界として提示し、多様体とよんだ。若いリーマンのこの講演を聞いた帰りに老ガウスは感激のあまりドブに落ちたといわれている。 10 年で、 3 歳年長の若い助教授フルビッツは卓抜なアイデアノバート・ウィーナー (1894{1964) は、ハーバード大学の奇才として知られ、三人組でリンゴの木の下で数学を語教授の息子で、神童として世界中に知られていた。 9 歳でり合ったものだが、ヒルベルトの役割は鈍才といったとこ高校に入り、 14 歳で大学を卒業した。しかし、極度の近眼ろである。に極度の不器用、そして 9 歳の子供が高校生活を楽しめた 20 歳代前半は、ダンス上手の評判のわりには数学では目とは思えない。それに、ドイツ出身の知的エリートと思っ立たないのだが、そのころに、当時の技巧を駆使した不変ていたのが、自分がユダヤ人であるのを知ったのは、大学式論に対して、計算なしに構造を理解しようとする新しい卒業後の 15 歳のときだった。エリートの父、元神童、そし方法を見出した。「これは数学ではない、神学だ」と言われてユダヤ人というコンプレックスが彼の一生を支配した。たという。鈍才の勝利だった。「 10 で神童、 15 で才子、 20 過ぎればただの人」とい 30 歳代でゲッチンゲン大学教授になってからは、代数的うが、ウィーナーはまさにその見本だった。第一次大戦中数体の理論、そしてやがて、毎年のように新しい主題に挑は、電気技師、辞典の編集者、試射場の射程表の作成、新聞戦した。そのため、自分のつくった理論を忘れてしまった記者などの職を転々とする。これらの雑多な職業の総和をとも言われている。 1900 年のパリ国際会議で「数学の将とると後年のサイバネチックスになるところが妙だが、彼来」と題した講演で、後に「ヒルベルト問題」と呼ばれるはすっかり落ち込んで、映画館とブリッジ・クラブに通っ 23 の未解決問題を提出したため、この問題が 20 世紀の数ていたらしい。 25 歳でマサチューセッツ工科大学の講師に学者への宿題となった。なるが、この大学がウィーナーの名とともに理学と工学のこうしてゲッチンゲンは、 20 世紀初頭の数学の中心と総合の象徴になるのは後年のことで、ウィーナーの言によなった。かつての親友ミンコフスキーを同僚に迎えて、物れば「三流技術者養成大学」である。理に熱中したのもこの時代である。ハイキングやダンスもヨーロッパとアメリカを往復しながら、数学者としての欠かせなかった。業績を重ねてくのだが、終始にわたって異端であり、アメやがて、この友も死に、第一次大戦と戦後の暗さが不吉リカやドイツの数学界の主流とはうまくいかず、しばしばな影を投げかける頃、敗戦国ドイツは国際会議への参加を神経を病んでもいる。それはヒトラーの時代であり、ユダ許されなかった。それでも、新しい時代の数学の中心として、老年のヒルベルトは多くの数学者たちに囲まれていた。ヤ人への敵意の時代でもあった。転落は急速に来た。彼が 70 歳になって間もなく、ヒトラ第二次大戦になると、再び弾道の問題に関わることになーが政権についたのである。彼を取り巻いていた数学者たり、計算機と自動制御の問題にいたる。電子工学や神経生ちの多くは亡命し、誰もいなくなってしまった。増えるの理学も関係してくる。情報の制御と予測、サイバネチックは軍服ばかりである。 80 歳のときの伝記からは、多くのスとして集大成される新しい分野の開拓である。なお、協友人や学生の名前を削除せねばならなかった。力した生理学者のローゼンブルースというのも面白い人物かつてのダンスの友達だった妻に、「ケニヒスベルクこそで、ナイトクラブでピアノを弾き、チェスとブリッジは名ドイツでもっとも美しい町だ」と主張し、「私が一生を過ご人級というメキシコ・インディアンである。した町だからだ」と断言したという。ゲッチンゲンは 50 年戦後に、サイバネチックスは新しい学問として評判にな間の夢だったのだ。しかし、ヒルベルトが死んで間もなく、この古い都ケニヒスベルクは戦争で破壊された。かつて哲学者カントの歩んだ散歩道も消えてしまったが、哲学者や数学者の思い出を残して、美しい町は消え去っても、その哲学や数学は人間の文化の中に生き続けている。るのだが、壮大な分野だけに、数学者の中には、 30 歳代の数学の仕事の方を、数学者ウィーナーの真価とする人もなくはない。しかし、未来への展望としての規模からいって、ウィーナーはやはりサイバネチックスとともに語られるべきだろう。 19. ウィーナー ∼昔、神童、今、ただの人∼ 幼いときの神童も、多くは成人して挫折する。ところが、複雑な現象のからまりあった中で、集団としての法則性その挫折したのが復活するのがウィーナーである。神童もが現れてくることがある。気象現象などが上げられる。こ落ちこぼれることがあるし、落ちこぼれも学問の創始者にうしたものを「半精密科学」とよんだのはウィーナーであなることがある。その両方を実際にやってのけたのがウィる。彼はそうした中で舵をとるための数学「サイバネチッーナーであった。人間というのは、わからんものだ。そしクス (舵とり学) 」つまり「制御理論」の創始者となった。て、そのコンプレックスに満ちた人格は、素直とはとても 11 だたし、ノイマンの個人は、円満な笑顔を持った極めていえないのだが、そうした人格がまた彼の学問につながっ社交的な人物であり、ゲームの理論の引例にしても、ブリッているところも面白い。ジやポーカーは当然として、推理小説が登場したりもする。 20. ノイマン ∼悪魔の数学者といわれた大天才∼ ブダペストの大学時代に鍛えたビリヤードの腕を自慢する 20 世紀の数学者のなかで、天才伝説の多い数学者はなんこともあった。そして、彼が悪魔ではない証拠に、ガンにといっともノイマンである。彼の真の姿は悪魔であるが、人おかされて死んだ。ワシントンの陸軍病院においてだった。間の真似をしすぎて自分でも人間のつもりになっているとノイマン以前は、数学が良くも悪くも社会に直接的な影の噂さえあった。響を持たなかったし、今でもそうした影響と遠いところでヨハン・フォン・ノイマン (1903{1957) は、ハンガリー数学を研究している数学者が大部分である。しかし、社会のユダヤ系銀行家の長男で、中学生のころから数学にすぐを動かす重要な部分が、数学として考えられる時代になっれ、数学基礎論や量子力学の基礎や数理経済学の基礎など、てきたのは、ノイマン個人というよりも、時代というもの後年に有名になる仕事のはじまりは 20 歳代前半からであかもしれない。る。 23 歳でベルリン大学講師、 26 歳で渡米、 29 歳でプリンストン高等研究所の最年少教授になっている。この年は、ヒトラーが政権をとってユダヤ人を追放した年であった。名もヨハンからジョンに変った。そのころのノイマンは、当時の花形の関数解析の第一人者であり、さまざまのノイマン伝説はこのころから始まっているようだ。極端な記憶力でギボシの「ローマ帝国衰亡史」を全部暗唱できたとか、極端な計算力で電話帳を眺めて瞬時に番号の総和を答えたなどがある。さしずめ人間コンピューターといったところのようである。後にノイマンが計算機のプログラム内臓方式を考察したとき、「世界で 2 番目に計算の速いやつが生まれた」と豪語したという伝説もある。そのノイマンが数学の論文をあまり書かなくなったのは、第二次大戦がはじまってからである。日本でも、ノイマンほどの純粋数学者が軍事研究を始めたと伝えられたそうだが、もともとノイマンには数理科学者としての資質もあった。そして、数学が軍事を含めて世界を改変するものにつながっていくのは、この戦争が契機だった。ノイマンはそうした時代を象徴してもいた。マンハッタン計画の中で、計算機を実現したのもこの頃である。ゲームの理論は、数理経済学の出発であり、確率とゲームが融合した。これは戦争ゲームを解析する基礎ともなった。この頃には軍に関わっていて、朝鮮戦争以降は原子力委員会で水爆の開発、冷戦の時代には ICBM 委員長をしている。最後の頃には、情報伝達と神経について研究して、自己増殖機構について論じている。つまり、地球の破壊と生命の創成といった、紙の業に関わったとも言える。ノイマンが悪魔と言われたのは、極度の怜悧 (れいり) さもさることながら、こうした業績を寓意してもいよう。ゲームでは、相手がどんな手を使うかわからない。そのいろいろな可能性と確率に応じて、最も損をしない戦術を考えるのが「ゲームの理論」である。ノイマンはポーカーのハッタリの分析から、この理論を考えたともいわれる。しかし、ベトナム戦争のときに、アメリカの国防省はこのゲームの理論で戦術をたてたが、データ不足により失敗した。 12