G01. 慣性モーメント

埼玉工業大学
テーマ G01:
機械工学学習支援セミナー(小西克享)
慣性モーメント-1/6
慣性モーメント(Moment of inertia)
コマ回しをすると,長い時間回転させるには重くて大きなコマを選ぶことや,ひもを早
く引くことが重要であることが経験的にわかります.遊びを通して,回転の運動エネルギ
ーを増やせば,回転の勢いが増すことを学習できるので,機械系の学生にとってコマ回し
も大切な体験学習のひとつと言えます.そもそも,回転体は機械には不可欠な要素であり,
回転運動への理解は機械工学において重要な項目の一つです.ここでは,その基礎として
回転運動における慣性の法則と,慣性の大小を表わす慣性モーメントを説明します.
(1) 慣性質量と慣性モーメント
外力が作用しないとき,静止している物体は静止し続け,運動している物体は等速直線
運動を続けようとする性質を慣性の法則 (law of inertia) もしくは,運動の第 1 法則(the first
law of motion)といいます.直線運動では,物体は運動エネルギー
1 2
mv [J]
2
を持っています.この運動エネルギーは慣性の大小を左右しますが,エネルギーが大きい
ほど,慣性が大きくなり,運動を止めにくくなります.運動エネルギーに含まれるのは質
量と速度ですが,質量 m [kg]は速度 v [m/s]に関係のない物体固有の値であり,慣性の大き
さを表わす指標となるため,慣性質量 (inertial mass) [kg]と呼ばれます.
一方,物体が回転する場合も,物体は回転を続けようとする性質があり,直線運動の場
合と同じように慣性の法則が成立します.回転体は,回転の運動エネルギー(回転エネル
ギー)
1 2
I [J]
2
を持っています.m は I,v は  に対応しており,回転エネルギーと運動エネルギーは式が
類似していることがわかります.I は回転体の慣性の大きさを表す指標になり,慣性モーメ
ント (moment of inertia) [kgm2]と呼ばれます.  は角速度 [rad/s] で,  を 2πで割ると回
転速度(回転数)[1/s]になります.
慣性質量は重量計で測定することができますが,慣性モーメントを直接測定する計測機
器はありません.慣性モーメントは,質量が同じでも物体の形状や回転軸の位置が異なる
と,値が変わってしまうため,実際に回転させてトルクを測定し,理論的に値を求めるし
かありません.工業力学や機械工学便覧には,代表例の形状に関して公式が記載されてい
るので,回転体を設計する際の参考にすることができます.しかし,複雑な形状になると,
自分で計算しなければなりません.そのためには,慣性モーメントの理論を理解する必要
があります.
(2) 慣性モーメントの定義
質量が無視できる半径 r のアームで固定回転軸に接続された質量 m の物体に対し,アー
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慣性モーメント-2/6
ムと垂直な方向に力 F を加えると,物体は軸を中心として半径 r の円軌道上を回転し始め
ます.
I
F
r
m
回転軸
このとき,物体の加速度を a とすると,ニュートンの運動の第 1 法則より,力と加速度の
関係は
(1)
F  ma
2
と表わされます.一方,回転の角速度を  [rad/s],角加速度を  [rad/s ]とすると,
(2)
a  r ,    ,  a  r
の関係から,
F  mr
(3)
となります.ところで,力 F に腕の長さ r を乗じた値 T  Fr は,アームを回転するための
トルクに他なりません.(3)式から,
(4)
T  Fr  mr 2
となります.ここで,
I  mr 2
とおくと,
T  I
(5)
(6)
と表記することができます.この I が慣性モーメントとよばれるものです.
次に,物体が複数あり,一体となって回転する場合を考えます.
I
m2
F1
r2
r1
F2
m1
回転軸
トルクは,それぞれの物体を回転するのに必要なトルクの合計になるので
n
n
 n
2
2
T   Fi ri   mi ri     mi ri   I
i 1
i 1
 i 1

(7)
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慣性モーメント-3/6
となり,慣性モーメントは
n
I   mi ri
2
(8)
i 1
と表わされます.物体が一つ一つ分かれておらず,連続した形の物体の慣性モーメント計
算する場合,合計を求める方法では物体を無数の物体に分割する必要があり,式は

I   mi ri
2
(9)
i 1
と無限個の合計となるため計算は容易ではありません.この場合,次のようにΣ記号を積
分記号に置き換える必要があります.
I   r 2 dm
(10)
円盤を例に,具体的な計算をしてみましょう.
dr
R
R
r
回転中心
回転軸
引き延ばすと
円盤を上から見た状態
円盤(半径 R,厚さ h)の回転中心から,半径 r の位置に微小な幅 dr のリングを考えま
す.リングを伸ばすと,長さ 2r ,幅 dr テープ状となるので,このリングの微小重量 dm
は,円盤の密度を  [kg/m2] とすると
(11)
dm  2r  dr  h    2hrdr
となります.(11)式を(10)式に代入すると
I   r 2 dm   r 2 2hrdr  2h  r 3 dr
(12)
となり,質量による積分を半径による積分に置き換えることができます.積分範囲は円盤
の中心 r  0 から円盤の半径 r  R までです.したがって,定積分を行うと,
R
r4 
R4 1
I  2h  r dr  2h    2h
 hR 4
0
4 2
 4 0
R
3
(13)
さらに,円盤の質量を M [kg]とすると,密度は

M
R 2 h
(14)
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なので,これを(13)式に代入すると
1
M
MR 2
4
I 
hR

2 R 2 h
2
慣性モーメントを
(15)
(16)
I  Mk 2
とおいたとき,k を回転半径 (radius of gyration) [m]と言います.円盤の場合,(15)式との比
較から
I
R

(17)
M
2
となります.円盤の場合,回転半径 k は円盤の半径 R に一致するわけではありませんが,
k
R に比例していることを理解しておく必要があります.
(3) 慣性モーメントの定理
① 平行軸の定理
重心 G から d 離れた,z 軸に平行な回転軸 w を考えます.
w
z
I
R
d
r
G
x
x
y
y
w 軸回りの慣性モーメントを I とすると,

  x
I  r 2 dm 
2
 d  x 
2

 y 2 dm 

 y 2  2dx  d 2 dm 
 r
 x
G
2
2

 2dx  d 2  y 2 dm




 2dx  d 2 dm  rG dm  2d xdm  d 2 dm
2
(18)
右辺第 1 項は,物体の重心回りの慣性モーメント I G に等しく,
I G   rG dm
2
(19)
となる.次に,右辺第 2 項の積分は,重心回りのモーメントを M G に等しく,モーメント
のバランスから
M G   xdm  0
となる.右辺第 3 項の積分は,全質量 M に等しい.
(20)
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M   dm
慣性モーメント-5/6
(21)
したがって,(18)式は
I  IG  d 2M
(22)
となります.これを平行軸の定理と言います.
② 直交軸の定理
回転軸として,図のように,x, y, z の直交する 3 つの軸を考えます.
z
R
x
y
x
r
y
図より
r 2  x2  y2
の関係があり,両辺に dm を掛けると
r 2 dm  x 2 dm  y 2 dm
(23)
(24)
さらに,両辺を積分すると
r
2
dm   x 2 dm   y 2 dm
(25)
各項は,3 つの軸の慣性モーメント I x , I y , I z に等しいので,次の関係が存在します.
Iz  Ix  Iy
(26)
この関係を,直交軸の定理と言います.
ここで, I z は円盤の面に垂直な軸(回転対称軸)回りの慣性モーメントであり,極慣性モ
ーメント (polar moment of inertia)と呼ばれます.
(4) 慣性モーメントとコマ回し
回転速度が同じ場合,慣性モーメントの大きな回転体の方が静止状態から回転し始める
際の起動トルク注が大きくなり,同時に蓄えられる回転エネルギーも大きくなって,回転を
止めにくくなります.慣性モーメントを大きくするには,(16)式から分かるように,質量
か回転半径を増やせばよいわけですが,質量より,2 乗に比例する回転半径を増やす方が
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慣性モーメント-6/6
効果的と言えます.すなわち,同じ質量なら,円盤の半径を大きくする方が良いことにな
ります.このことは,コマ回しの場合も,慣性モーメントの大きいものを選ぶ方が,回転
の勢いを増し,回転時間を長くできることを意味しています.ただし,あまり大きくなり
すぎると,起動トルクが大きくなり過ぎて,手では十分な回転速度が得られないため,限
界は存在します.
注:起動トルクは,静止時から物体が回転し始める際に必要なトルクです.
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Moment_of_inertia.pdf
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